Guia matematicas

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la presente guía la realice con la intención de poder brindar un poco de información acerca de los principios del álgebra y esta destinado mas que nada aquellos que cursan la secundaria o el bachillerato.
podrán encontrar una sencilla clasificación de los números reales
productos notables(binomios conjugados,binomios al cuadrado, binomios a cubo y como desarrollar un binomio con el triangulo de pascal)
también aborde el tema de factorizacion en sus diferentes formas y la simplificación de fracciones algebraicas.
la intención es poder dar un a sencilla explicación sin abordar demasiado en el tema y con sencillos ejemplos; y que de ninguna manera trata de suplir el trabajo de los profesores en el aula de clases. espero sea de su agrado y comenten.

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Guia matematicas

  1. 1. MATEMATICAS<br />
  2. 2. Algebra y aritmética.<br />
  3. 3. Números reales<br />
  4. 4. Productos notables.<br />Hablando del caso particular de la multiplicación de polinomios, existen ciertos productos que se pueden resolver por simple inspección sin verificar dicha multiplicación; estos productos obedecen reglas fijas que nos permiten determinarlos de manera inmediata y por ello se les conoce como productos notables. Estos son:<br /><ul><li>Binomios conjugados.
  5. 5. Binomios al cuadrado.
  6. 6. Binomios al cubo.
  7. 7. Binomio de newton
  8. 8. Y binomios desarrollados mediante el triangulo de pascal.</li></li></ul><li>Binomios conjugados<br />Es igual a una diferencia de cuadrados. Formada por el cuadrado del primer termino menos el cuadrado del segundo<br />Por simple inspección<br />Multiplicación:<br />2x-3y<br />2x+3y<br />4x2-6y<br /> +6y-9y2<br />4x2 -9y2<br />(2x-3y)(2x+3y)<br />EJEMPLO:<br />=<br />4x2-9y2<br />Se cancela por que al sumar es igual a 0<br />Como tiene los mismos términos, ambos se elevan al cuadrado , respetando los signos<br />
  9. 9. Binomios al cuadrado<br />Es igual a un trinomio cuadrado perfecto formado por el cuadrado del primer termino, mas el doble del producto del primer termino por el segundo, mas el cuadrado del segundo termino. <br />Simple inspeccion<br />multiplicacion<br />(2x-3y)2 <br />2x-3y<br />2x-3y<br />4x2-6xy<br /> -6xy+9y2<br />4x2-12xy+9y2<br />=<br />(2x)2 = 4x2<br />Cuadro del primer termino.<br />El doble del producto del primer y segundo termino.<br />Cuadrado del segundo termino<br />(2)(2x)(-3y)= -12xy<br />(-3y)2 =9y2<br />4x2 – 12xy+9y2<br />
  10. 10. Binomios al cubo<br />Es igual al cubo del primer termino; mas el triple producto del cuadrado del primer termino por el segundo; mas el triple producto del primero por el cuadrado del segundo; mas el cubo del segundo termino.<br />Desarrollar: (X2-2y)3<br />X2-2y<br />X2-2y<br />X4-2x2y<br /> -2x2y+4y2<br />X4-4x2y+4y2<br /> X2-2y<br />X6-4x4y+4x2y2<br /> -2x4y+8x2y2-8y3<br />X6-6x4y+12x2y2-8y3<br />(X2)3 = x5<br /><ul><li>Cubo 1er termino.
  11. 11. Triple producto de 1er termino al cuadrado y 2º .
  12. 12. Triple producto del 1er por el 2º termino al cuadrado.
  13. 13. Cubo del segundo termino.</li></ul>(3)(X2)2 (-2y) = -6x4y<br />(3)(X2) (2y) 2 = 12x2y2<br />(-2y)3 = -8y3<br />X6-6x4y+12x2y2-8y3<br />
  14. 14. Binomios de Newton<br />Es la elevación de un binomio a cualquier exponente natural.<br />Newton descubrió la siguiente formula que nos permite obtener el producto de cualquier binomio elevado a cualquier exponente sea entero positivo.<br />FORMULA GENERAL<br />(x+y)n = xn+nxn-1y+ n1)(n-1)2) + xn-2y2 + n(n-1)(1)(2)(3)(n-2)xn-3y3+…+yn<br />
  15. 15. Triangulo de Pascal.<br />Existe una herramienta que determina los coeficientes de los términos en el desarrollo de cualquier binomio a cualquier potencia natural; esta herramienta es el triangulo de pascal y se construye de así:<br />1<br />1 1<br />1 2 1<br />1 3 3 1<br />Ejemplo:<br />1 4 6 4 1<br />(3x2+4y5)5= <br /> 1 5 10 10 5 1<br /> 1 6 15 20 15 6 1<br />=(3x2)5 +5(3x2)4(4y5)+ 10(3x2)3(4y5)2+ 10(3x2)2(4y5)3+ 5(3x2)(4y5)4+ (4y5)5<br />1 7 21 35 35 21 7 1<br />………….<br />243x10+ 1620x8y5+ 4320x6y10+ 5760x4y15+ 3480x2y20+ 1024y25<br />
  16. 16. Factorización <br />En algebra, la factorización es expresar un objeto o numero como producto de otros objetos mas pequeños (factores)que, al multiplicarlos todos, den el objeto original.<br />FACTORIZAR UN POLINOMIO<br />Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales. Existen métodos de factorización para casos especiales.<br /><ul><li>Binomios.</li></ul> - Diferencia de cuadrados.<br /> - Suma o diferencia de cubos.<br /> - Suma o diferencia de potencias pares e impares.<br /><ul><li>Trinomios.</li></ul> -Trinomio cuadrado perfecto.<br /> -Trinomio de la forma x2+bx+c<br /> -trinomio de la forma ax2+bx+c<br /><ul><li>Polinomios.</li></ul> -Factor común.<br />
  17. 17. Factorización de un polinomio con un termino común<br />Si el polinomio Ax+bx en el cual el factor común de sus términos es x. al dividir el polinomio entre el factor común, se obtiene: <br />Ax+bx = a+b<br /> x <br />por tanto, ax+ bx = x(a+b)<br />Ejemplo:<br />4a 3 +6a 2b<br />Factor común = 2a 2 4a 3 +6a 2b = 2a + 3b<br /> 2a 2<br />4a 3 +6a 2b = 2a 2 (2a + 3b)<br />5a 2bx 4 – 15ab 2x 3 +20ab3x4=<br />= 5abx3 (ax -3b+4b2x) ya que 5a 2bx 4 – 15ab 2x 3 +20ab3x4 = ax -3b+4b2x<br /> 5abx3<br />Factor común se obtiene con el MCD de los exponentes y letras que se repiten de menor exponente <br />
  18. 18. Factorización por agrupación<br />Sea el polinomio ax+bx+ay+by<br />Se observa que los dos primeros términos tienen como factor común a x y los dos últimos a y. Y agrupamos los dos términos en paréntesis. La agrupación puede hacerse generalmente de mas de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor común.<br />Ax+bx+ay+by<br />X(a+b) y (a+b)<br />(x+y)(a+b)<br />Factor comun de (ax+bx) = x(a+b)<br />Factor comun de (ay+by) = y(a+b)<br />Termino comun (a+b)<br />Como (a+b) se repite dos veces solo se repite una vez.<br />Ejemplo:<br />3m2 – 6mn +4m -8n<br />3m (m-2n) 4(m-2n)<br />=(3m+4)(m-2n)<br />
  19. 19. Factorización de un Trinomio cuadrado perfecto.<br />Se llama trinomio cuadrado perfecto al producto que se obtiene al elevar un binomio al cuadrado. En consecuencia, factorizar un trinomio cuadrado perfecto significa encontrar el binomio que multiplicado por si mismo de cómo producto el trinomio cuadrado perfecto.<br />Regla: se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer termino y se separan estas raíces por el signo del segundo termino. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio , se eleva al cuadrado.<br />m2 +2m + 1 = √m2 +2m + √1 = (m+1)2 = (m+1)(m+1)<br />Ejemplo:<br />9x2 -12xy +4y2 = √9x2 -12xy +√4y2 = (3x-2y) (3x-2y)= (3x-2y)2<br />Verificar si es trinomio cuadrado perfecto:<br /><ul><li>Se observa que 9x2 es el cuadrado de 3m
  20. 20. El tercer termino 4y2 es el cuadrado de 2y
  21. 21. El doble producto de 2(3m)(-2y)= -12my</li></ul>9x2 -30xy +25y2 =<br /> √9x2 -30xy +√25y2 =<br /> (3x-25)2<br />
  22. 22. Diferencia de cuadrados = binomios conjugados.<br />Regla para factorar una diferencia de cuadrados.<br />Factorizar la siguiente expresión<br />Diferencia de cuadrados = binomios conjugados<br />9x2 – 16y2 = (3x- 4y)(3x+4y)<br />Se extrae la raíz cuadrada del primer termino 9x2 = 3x<br />Se extrae la raíz cuadrada del segundo termino 16y2 = 4y<br />Y a continuación se escriben los binomios conjugados<br /><ul><li>25x2y4 – 121 = (5xy2+11) (5xy2-11)
  23. 23. 100m2n4 – 169y6 = (10mn2 – 13y3) (10mn2 + 13y3)
  24. 24. 25 – 36x6 = (5+6x3) (5-6x3)</li></li></ul><li>Trinomio de la forma a2 +bx +c<br />Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término lineal<br />Ejemplo:<br />X2 +5x +6<br />Termino cuadrático: x2<br />Termino lineal: 5x<br />Termino independiente: 6<br />X2 +5x +6 (3)(2) = 6 multiplicados <br />X +3 3+2 = 5 (se suman o restan según el caso)<br />X +2<br />(x +2) (x+3)<br />a2 -13a +40<br />a - 8 (-5)(-8)= 40 multiplicados= termino independiente<br />a - 5 -8 -- -5 = -13 sumados/restados = termino lineal.<br />(a - 8) (a - 5)<br />
  25. 25. Ejemplo:<br />X2 +6x – 216<br />Necesitamos dos números cuya diferencia sea 6 y cuando se multiplique de 216. Este número no se ve fácilmente, para hallarlo, descomponemos en sus factores primos el tercer término,<br />216 2<br />108 2<br />54 2<br />27 3<br />9 3<br />3 3 <br />1<br />Ahora, formamos con estos factores primos dos productos, por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos dos números que estamos buscando.<br />2x2x2 = 8 3x3x3 = 27 27 – 8 = 19 no sirve<br />2x2x2x3= 24 3x3 = 9 24 – 9 = 15 no sirve<br />2x2x3 = 12 2x3x3 = 18 18 -12 = 6 sirve<br />X2 +6x – 216<br />X +18<br />X -12<br />(x + 8)(x - 12)<br />
  26. 26. = <br />Trinomio de la forma ax2 +bx +c<br />En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, ósea sin una parte literal, así: : <br />Ejemplo:<br />Factorar: 6x2 – 7x – 3<br />Regla: se multiplica el trinomio por el coeficiente de x2 que en este caso es 6 y dejando indicado el producto de 6 por 7x se tiene:<br />6(6x2) – (6)(7x) –(6)(- 3)<br />36x2 – (6)(7x) – 18<br />6x -9<br />6x +2<br />Descomponiedo el trinomio queda 6x<br />Dos números que multiplicados nos den -18<br />Restados o sumados nos den -7<br />Como la multiplicación por 6 para no alterar lo dividimos entre 6<br />(6x – 9) (6x + 2) = <br /> pero como ninguno de los binomios es divisible entre 6 descomponemos 6 entre 2x3 y dividiendo (6x - 9)entre 3 y (6x + 2)entre 2<br />= <br /> = (2x – 3) (2x +1)<br />Luego: 6x2 – 7x – 3 = (2x – 3) (2x +1)<br />
  27. 27. Operaciones con fracciones algebraicas.<br />Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en el que el numerador y denominador son polinomios.<br />Este tipo de fracciones tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.<br />Se pueden realizar las operaciones básicas:<br /><ul><li>Suma.
  28. 28. resta.
  29. 29. Multiplicación.
  30. 30. División.</li></ul>Son fracciones algebraicas:<br />
  31. 31. Simplificación de fracciones algebraicas<br />Simplificar <br />Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3,  ,  <br /> <br />Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos.<br /> <br />Simplificar  <br />Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de simplificar hay que factorizarlo.<br />En este caso el método adecuado es sacar factor común  así<br /> <br />Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.<br />Ejemplo:<br />Ejemplo<br />
  32. 32. Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador, basta dividir numerador y denominador por los factores comunes.<br />Ejemplo:<br />aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma.<br />Ejemplo:<br />aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia.<br />Ejemplo:<br />
  33. 33. Suma y resta de fracciones algebraicasPara sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.<br />Simplificamos antes de efectuar el producto:<br />El m.c.m. de los denominadores es  <br />Ejemplo:<br />Producto de fracciones algebraicas<br />Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.<br />Multiplicamos numeradores y denominadores, pero lo dejamos indicado:<br />Ejemplo:<br />Simplificamos antes de efectuar el producto:<br />Finalmente, podemos multiplicar, si es preciso<br />
  34. 34. Cociente de fracciones algebraicas<br />Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.<br />Ejemplo:<br />Hacemos el producto cruzado, dejándolo indicado:<br />Simplificamos:<br />Finalmente, podemos multiplicar, si es preciso:<br />

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