我的数学之路(丘成桐)

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我的数学之路(丘成桐)

  1. 1. 我的數學之路 丘成桐教授 哈佛大学 中国科学院 浙江大学 二零零四年三月二十日
  2. 2. 我在香港的郊區──元朗和沙田──長大。 那裏沒有電,也沒有自來水。小時候就在河 中洗澡。家中有八兄弟姐妹,食物少得可 憐。五歲時參加某著名小學的入學試,結果 沒考上。原因是用了錯誤的記號,如把57反 寫成75,69反寫成96等。
  3. 3. 我只能上一所小小的鄉村學校。那裏有很多 來自農村的粗野小孩。受到這些小孩的威 嚇,加上老師處理不善,不到一年,我便身 患重病。在家中養病的半年,我思索如何跟 同學老師相處。升上小六時,我已經是一群 小 孩 的 首 領 , 帶 著 他 們 在 街 頭 亂 闖 。
  4. 4. 家父是位教授。他教了我不少中國文學。可 是,他並不知道我曾曠課好一段日子。﹙或 者這是因為我在家中循規蹈矩,他教授的詩 詞我也能背誦如流。﹚逃學的原因是老師不 怎樣教學,在學校悶得發慌,不久連上街也 覺得無聊了。當時香港有統一的升中試。我 考得並不好,但幸好分數落在分界線上。
  5. 5. 政 府 允 許 這 些 落 在 分 界 線 上 的 學 生 申 請 私 立 中 學 , 並 提 供 學 費 。 我 進 入 了 培 正 中 學 。 培 正 是 一 所 很 好 的 中 學 。 中 學 生 涯 的 第 一 年 乏 善 可 陳 。 我 的 成 績 不 大 好 , 老 師 常 常 對 我 很 生氣。大概剛從鄉村出來,“野性”未改吧。 我 熱 中 於 養 蠶 、 養 小 魚 , 到 山 上 去 捉 各 種 小 動物。沙田的風景美麗清新,在大自然的懷抱裏, 倒 是 自 得 其 趣 , 到 如 今 還 不 能 忘 懷 。
  6. 6. 當時武俠小說盛行,我很喜歡讀這些小說, 沒有錢去買,就向鄰居借。父親不贊成我讀 這些小說,認為膚淺,但我還是偷偷去看, 也看了各種不同的章回小說如七俠五義、說 岳全傳、東周列國志等雜書。
  7. 7. 父親從我小學五年級教我詩詞、古文和古典 小說如三國演義、水滸傳、紅樓夢、西廂記 等。父親堅持我在看這些小說時,要背誦其 中的詩詞。當時雖以為苦,但順口吟誦,也 慢慢習慣。總覺得沒有看武俠小說来得刺激。
  8. 8. 但是真正對我有影響的卻不是武俠小說。中 國古典文學深深影響了我做學問的氣質和修 養。近代的作品,如魯迅的也有閱讀。記憶 深刻的︰ 「 路 是 人 行 出 來 的 , 自 己 的 路 更 要 自己去走。」
  9. 9. 我 們 家 中 常 有 父 親 的 學 生 來 訪 , 往 往 興 高 采 烈的談學問。他們討論時常常談及希臘哲學,雖然 我對希臘哲學不大了解,但卻對它留下深刻的印 象。希臘學者對真理和美無條件的追求是我一生做 學問的座右銘。他們對康德的哲學、對自然辦證法 的討論使我莫名其妙,但是久而久之,竟然引起了 我對自然科學的興奮。西方的作品如浮士德、戰爭 與和平等文學著作,雖有接觸,但遠不如中國文學 對我的印象深厚。
  10. 10. 我開始研讀史學名著史記和左傳。對史記尤 其著迷。這不僅是由於其文字優美、音調鏗 鏘,還是因為它敘事求真,史觀獨特。直到 現在,我還不時披閱這書。史學大師駐足高 涯,俯視整個歷史,與大科學家的思入風 雲,干宇宙之奧秘遙相呼應。
  11. 11. 在當時讀這些文章,大多部份不能夠領會,尤其困難的是讀 馮友蘭寫的新原道和新原人,但是重複的去讀,總有點收 穫。 晉‧陶淵明 好讀書,不求甚解, 每有會意,便欣然忘食。 其實在做科學時,也往往有同樣的經驗,讀書只要有興趣, 不一定要全懂,慢慢自然領會其中心思想,同時一定要做 到︰ 不戚戚於貧賤,不汲汲於富貴。 這是古人的經驗,陶淵明的古文和詩有他的獨特氣質,深得 自然之趣,我們做科學的學者也需要得到自然界的氣息,需 要同樣的精神。
  12. 12. 在 以 後 的 日 子 裏 , 我 都 以 此 作 為 原 則 , 以 研 讀 學 問 為 樂 事 , 不 以 為 苦 。 在 父 親 的 循 循 善 導 下 , 我 開 始 建 立 我 對 人 生 的 看 法 。 到如今,我讀史記至以下一段時,仍然使我心志清 新︰ 司馬遷 孔子世家贊 天下君王至於賢人,眾矣! 當時則榮,沒則已焉,孔子布衣, 傳十餘世,學者宗之。
  13. 13. 假如我們追求的永恆的真理,即使一時的挫折,也不覺灰心。 韓愈 苟余行之不迷,雖顛沛其何傷。 我讀左傳,始知有不朽的事情。 左傳 叔孫豹論三不朽 太上有立德,其次有立功,其次有立言, 雖久不廢,此之謂不朽。 以前我以為立德跟立言沒有關係,但是數十年的觀察才知道 立德的重要性。立德立功立言之道,必以謙讓質樸為主。
  14. 14. 我有一個學生在南京大學電視台訪問自炫︰ 「會當凌絕頂,一覽眾山小」,真輕妄浮誇 之言。其實遠山微小,越近越覺其宏大。往 往眾人合作才能跨過困難的地方,在沒有嘗 試創作性的學問時,才會說這種膚淺的說話。
  15. 15. 在培正的第二年,我多言多動,老師要記我 小過。她是我的班主任,責任心強,誠然是 為我好。當她知道家父是位教授,但卻拿著 微薄的薪酬後,大為震動。此後在她悉心栽 培下,我在課堂上規矩多了。 就在這年,我們開始學習平面幾何。
  16. 16. 同學對抽象思維都不習慣。由於在家中時常 聽父親談論哲學,對利用公理進行推導的做 法,我一點也不覺得見外。 學習幾何後,我對父親的講話,又多明白了 幾分。利用簡單的公理,卻能推出美妙的定 理,實在令人神往。
  17. 17. 對幾何的狂熱,提高了對數學──包括代數 ──的鑑賞能力。當你喜歡某科目時,所有 有關的東西都變得淺易。 我對歷史也甚有興趣。它培養我對事物要作 一整體觀。 事件是如何發生的? 到底是甚麼原故? 將來會如何?
  18. 18. 就在這時,父親完成了他的西方哲學史。他 跟學生談話,總是說應整體地看歷史。這種 觀念深深地影響了我。 這種想法,在往後的日子中,指引我去尋找 研究項目。 父親的書對我有很深的影響。
  19. 19. 書中第一頁的引言︰ 文心雕龍 諸子 身與時舛,志共道申。 標心於萬古之上,而送懷與千載之下。 這是何等的胸襟。
  20. 20. 哲學史的目的有三, 一曰求因,哲學思潮其源甚夥,必先上溯以 求之。 二曰明變,往昔哲學思想交纏屈結,故重理 其脈絡,是為要務。 三曰評論,所有思潮及其流派,皆一一評論, 作警策精闢之言。 這三點和自然科學的研究有密切的關係,再 加上創新,則可以概括研究的方法了。
  21. 21. 十四歲時,父親便去世了。這或許是我一生 中最大的打擊。在一段頗長的日子裏,對父 親離開了我和家人的事實,我都不能置信。 家中經濟,頓入困境,我們面臨輟學。幸得 母親苦心操持,先父舊交弟子的援手,我們 才倖免如此。
  22. 22. 家中遽變,令我更成熟堅強。困境中人情冷 暖,父親生前的教導,竟變得真實起來。以 前誦讀的詩詞古文,有了進一步的體會。 我花了整整半年,研習古典文學和中國歷 史,藉此撫平繃緊的心弦。典麗的詩詞教人 欣賞自然之美。
  23. 23. 我閱讀了大量數學書籍,並考慮書中的難題。當這些難題都 解 決 掉 後 , 我 開 始 創 造 自 己 認 為 有 挑 戰 性 的 題 目 。 由個人去創造問題此後變成我研究事業中最關鍵的環節。學 校的課本已經不能滿足我了。我跑到圖書館、書店去看書。 我花了許多時間打書釘,閱讀那些買不起的書本。我讀了華 羅庚先生寫的很多參考書,無論在分析或數論上的討論,都 漂亮極了。也看了很多幫助課堂解題,例如陳明哲寫的一些 小冊子,一般來說,我會比課程早一個學期做完所有的習 題,所以聽數學課是一程享受。
  24. 24. 打從十五歲起,我開始替低年級學生當家 教,以幫補家計。我找到一些巧妙的方法, 使成績低劣的孩子搖身變成優等生,為此我 覺得有點飄飄然。 我積累了教導年青人的經驗,同時也體會到 教學相長的道理。
  25. 25. 我們的數學老師十分好。他教授的內容,比 課程要求來得艱深,但我覺得絲毫不費氣 力。其實我的同學們雖然叫苦,但是總的來 說,數學都不錯,這叫做取法乎其上,得乎 其中。 近代數學的教學方法,恐怕適得其反,取法 乎其中,得乎其下。
  26. 26. 當時我們的物理老師不太行,對此不無失 望。中學時養成不了物理上的基本直觀,至 今於心還有戚戚焉。 國文老師卻是無懈可擊。他是我的父執輩。 他教導我們思想要不落俗套。
  27. 27. 國 文 教 師 說 思 惟 要 自 出 機 杼 , 讀 好 書 之 餘 , 爛 書 也 無 妨 一 讀 , 以 資 比 較 。 因 此 我 甚 麼 書 都 啃 。 他 這 種 觀 點 , 就 是 放 諸 我 日 後 的 科 學 生涯中,也有其可取之處。 作文堂的一個典型題目︰ 豬的哲學觀 於是大伙兒興高采烈,自由發揮。 在班裏我並非名列前茅,數學科的等級也不見得最 高。但我比同班諸子想得更深,書也讀得更多。
  28. 28. 中學讀書,除數學外,真正對我前途有影響的是國 文和歷史。 現在來談談中學國文和歷史對我的影響。最重要的 是立志,覺得做學問是一輩子的志願。 典論 論文 曹丕 蓋文章,經國之大業,不朽之盛事。年壽有時 而盡。榮樂止乎其身。二者必至之常期,夫若文章 之無窮。是以古之作者,寄身於翰墨,見意於篇 籍,不假良史之辭,不託飛馳之勢,而聲名自傳於 後。
  29. 29. 立志之後,必需培養興趣,而做習題和思考 是不二法門︰ 論語 學而時習之,不亦樂乎。 學而不思則罔,思而不學則殆。 楚辭 路曼曼其修遠兮 吾將上下而求索
  30. 30. 做學問要有興趣,才能深入,但追求學問的道路曲 折有致,必須要有毅力,才能持久。 楚辭 亦余心之所善兮 雖九死其猶未悔 抽思 惟郢路之遼遠兮 魂一夕而九逝
  31. 31. 在中學和大學的教育中最重要的一環是︰ 培養氣質 孟子︰我知言,我善養吾浩然之氣。 曹丕︰譬諸音樂,曲度雖均,節奏同檢, 至於引氣不齊,巧拙有素,雖在父兄,不 能以移子弟。 岑參︰性靈出萬象。
  32. 32. 但是師友和讀書的環境卻足以轉變人的情懷 雅志。 汪中︰撫弦動曲,乃移我情。
  33. 33. 做學問,無論是自然科學或文學都有氣質的 問題,從文章中,往往可以看出作者的修養。 古代注重音樂,從樂聲中可以看見國家的盛 衰,也是同樣的道理。
  34. 34. 季札觀樂﹙左傳﹚ 吳公子札來聘,請觀於同樂,使工為之歌周南召 南。曰美哉,始基之矣。猶未也,然勤而不怨矣…… 為之歌鄭,曰美哉,其細已甚。民不堪也,是其先 亡乎。 為之歌齊,曰美哉,泱泱乎,大風也哉。表東海 者,其太公乎…… 為之歌大雅,曰廣哉,熙熙乎,曲而有直體,其文 王之德乎。
  35. 35. 在培養氣質上,師友的關係至為重要。 韓愈 師者,傳道授業解惑者也。 論語 三人行,必有我師焉。
  36. 36. 在與師友相交之際,言必及義,而最重要的善於發問。 善問者如叩鐘,問之大者則大鳴,問之小者則小鳴。 中國科學家最欠缺的是發問的精神。歷史上最著名的是 屈原的天問篇︰ 遂古之初,誰傳道之,上下未形, 何由考之……。日月安屬,列星安陳。 以後的學者很少有這種精神,可能是科學不發達的一個 原因。
  37. 37. 善於發問後,才能尋找到自己志趣所在,才能夠擇 善而固執之。 楚辭 民生各有所樂兮 余獨好修以為常 雖體解吾猶未變兮 豈余心之可懲 涉江 苟余心其端真兮 雖僻遠之何傷
  38. 38. 很多同學開始時讀書讀得很好,以後就灰心了,不求上進,一方 面是基礎沒有打好,又不敢重新再學,一方面是跟師友之間的關 係沒有搞好,言不及義,得不到精神上的支持。有些則名利薰 心,不求上進。我有些學生畢業時很踏實,受到表揚,就以為自 己了不起,事實上學問還沒有成熟就凋謝了。 離騷 何昔日之芳草兮, 今直為此蕭艾也。 豈其有他故兮, 莫好修之害也。
  39. 39. 以下引韓愈作文的態度實在值得各人去參考︰ 韓愈 答李翊書 始者非三代兩漢之書不敢觀,非聖人之志不敢存,處 若忘,行若遺,儼乎其若思,茫乎其若迷。當其取於心而注 於手也,惟陳言之務去,戛戛乎其難哉!…… 其觀於人也,毀之則以為喜,譽之則以為憂,以其猶有 人之說者存也。如是者亦有年,然後浩乎其沛然矣。吾又惧 其雜也,迎而距之,平心而察之。其皆醇也,然後肆焉。雖 然,不可以不養也。行之乎仁義之途,遊之乎詩、書之源, 無迷其途,無絕其源,終吾身而己矣。
  40. 40. 一九六六年我進了中文大學。雖然對歷史抱 著濃厚的興趣,我還是選擇了數學作為我的 事業。 就在這時,中學時唸的高等數學漸漸消化, 開始時還不大懂,但一下子全都懂了。我比 班中同輩高明不少。
  41. 41. 大學的數學使我大開眼界。連最基本的實數系統都 可以嚴格的建立起來,著實另人興奮萬分。當我了 解數學是如此建構後,我寫信給教授,表達我的喜 悅。這是本人賞析數學之始。 一位剛從柏克萊畢業的博士來了香港,他名叫史提 芬沙拉夫﹙Stephen Salaff﹚。他對我大為讚賞, 我們合寫了一本有關常微分方程的書。
  42. 42. 另外一位老師布狄﹙Brody﹚來自普林斯 頓。他有一套獨特的教學法。他找來一本高 深的數學著作,然後要求學生在書中找尋錯 誤,並提出改正的方法。 這是讓我們不要盲目依賴書本的良方。同時 也訓練了我對書本上定理採取存疑的態度。 我有時將某些定理推廣了,在課堂上說出 來,他聽了很高興。
  43. 43. 這些教導的重要性在於 ── 培養成獨立思考的習慣 ── 在人前表達數學同時在表達數學的時 候,找出自己的弱點,與同學和老師一同 切磋。 這不論對自己或對自己日後的教學都十分要 緊。
  44. 44. 古人說學無常師,其實教亦無常法,有之,因人而 施教也。 孔門弟子問仁,孔子對每個人有不同的回答方法, 而孔門弟子因此各有所長。 孔子教學有禮樂射御書數。 西方Plato教學有幾何、數論、天文和音樂,合稱 數學。 古今中外都以培養通材為訓練領袖的主要過程。
  45. 45. 現代社會需要政界和工商業的領袖,也需要大量的 工人、會計師、律師等的白領階級和藍領階級,訓 練他們可能有不同的層次。 但是有一點很重要的︰作為一個知識份子必需要具 有推理的能力。 自古以來最要緊和最富用途的就是三段論證方法。 在學校學習邏輯方法最好的莫過於平面幾何的公理 系統。熟習證明使我們思考清晰。
  46. 46. 良好的中學教科書,必需要包含公理系統的 學習。平面幾何的本身可能沒有用途,但是 它的方法卻是最重要的。 正如朱自清寫的荷塘月色的內容可能不重要, 但我們要學他的文字的應用,書寫流暢的做 法。 學習需要融匯貫通,更需要博聞強記。
  47. 47. 有些人以為數學每一步都可推理,不宜強 記,這是極為可笑的說法,我還沒有親眼看 過一個偉大的數學家有這種能力。即使在做 研究的時候,我們不能不記憶前人或近人的 工作,使我們能夠向前作新的研究。
  48. 48. 往往記熟某一門技巧後,我們會突然融匯貫 通,所以多做習題是很緊要的事,假如能夠 讓學生在課堂上有所表現,不單老師對他們 瞭解,他們也瞭解自己有甚麼不懂的地方。
  49. 49. 學生既要強記,亦要貫通,兩者能混而為一乃是絕 妙之處。 同一個問題,可能有超過很多個不同的解法,學生 能用不同的方法解題,值得鼓勵。譬如來說,畢氏 定理是數學中最基本的定理,古往今來有無數的不 同證明,能夠舉出一些不同的證明,會讓學生瞭解 不同的看法可以達到同一的目標。近代數學的大發 展,往往起源於用不同的手法解決同一的問題,所 以不可少看這些不同的證明。
  50. 50. 數學既可以實用,亦獨立為一至為美麗的學科,習 題可以重視實用,但絕對要討論看來無用但美麗的 工作,重要的數學的發展可以從實用而形成,也可 以追求純美而成功,要注意的是︰所有重要的實用 數學都建基在純美的數學上。 數學家和數學是分不開的,能夠多談數學歷史和數 學家的經歷,會對培養學生的興趣有極大的幫助。
  51. 51. 一本數學教科書能夠引導學生的興趣是一本最成 功的教科書,可以講故事﹙數學家的故事、創造 這些命題的過程、中國數學、希臘數學、巴比倫 的數學、阿拉伯的數學,都是有意思而影響著近 代數學家思維的常識。﹚,可以跟其他學科如物 理、工程、經濟、音樂等等溝通的數學都值得討 論。 能使學生以學數學為樂乃是成功的教科書。
  52. 52. 雖然只讀了三年大學,已經完成了大學的課程。在沙拉 夫教授的幫助下,我進入了柏克萊的研究院。柏克萊的 數學系當時在世界數一數二。我八月入校,便認識了陳 省身教授。他後來成為我的論文導師。 在香港時我醉心於極度抽象的數學﹙當然我的分析功夫 也很紮實﹚,覺得數學愈廣泛愈好。我打算唸泛函分 析,已經學了不少這方面的東西,包括丹福一史華滋有 關的巨冊,還有不少有關算子代數的書。 到柏克萊後,認識不少卓越的學者,我的看法改變了。
  53. 53. 我如飢似渴地從他們處學習不同的科目。從早上八 時到下午五時我都在上課﹙有時在班上吃午飯﹚。 這些學科包括拓樸、幾何、微分方程、李群、數 論、組合學、概率及動力系統。我並非科科都精 通,但對某幾門學問格外留神。 學拓樸時,發現跟以前學的完全不同。班上五十 人,每個人看來都醒目在行,比我好多了。他們表 現出色,說話條理分明。
  54. 54. 於是我埋首做好功課,不久之後,我發現自己畢竟也不 賴。關鍵是做好所有棘手的題目,並把這些題目想通想 透。 我讀了約翰米拿﹙John Milnor﹚的一本書,對裏面 講到的曲率的概念深深著迷。米拿是位卓越的拓樸學 者。 我開始思考與這書有關的問題,並大部分時間呆在圖書 館。當時研究生並沒有辦公室。柏克萊名牌教授不少, 然而不久之後,我對他們竟有英雄見慣的感覺。在圖書 館裏我讀了不少書藉和期刊。
  55. 55. 在柏克萊的第二個學期,我漸漸能證出一些 不簡單的定理。這些定理與群論有關。在崇 基時,我跟老師聊天時曾談及有關的內容, 我現在把它用到幾何上去。教授都為我的進 展而驚訝不已,欣慰非常。其中一位教授開 始與我合作,寫了兩篇論文。陳省身教授其 時正在放年假。當他回來時,對我的表現甚 為嘉許。
  56. 56. 縱然如此,對這些工作我倒不覺得怎樣。摩里教授 ﹙Charles B. Morrey﹚有關非線性偏微分方程的課, 另人難忘。他教授的非線性技巧,當時並不流行。 他的書也佶屈聱牙。但我隱隱感覺到他發展的技巧 十分深奧,對未來幾何學的發展舉足輕重。我用心 地學習這些技巧。雖在盛名之下,聽他課的學生同 事都不多。到學期終結時,我竟成為他班上唯一的 學生。他索性就在辦公室裏授課了。這科目後來成 為我數學生涯的基石。
  57. 57. 完成幾篇文章後,陳教授到處說我是何的出 色,雖然他對我的工作認識不深。我開始全 盤地思考數學,尤其是幾何。我也試圖去研 究幾何學的其它問題,可是進度緩慢。 這年夏天老友鄭紹遠從香港來了,我們在校 園旁租了一所〝柏文〞,心情更加開朗了。
  58. 58. 就在這個夏天,我請求陳教授當我的論文導師,他 答應了。約一個月後,他告訴我,我在一年級時的 文章,已夠格作為畢業論文。我有點悶納,心想這 些工作還不夠好,而且我還希望多學點東西。 就這樣,在第二個學年中我學了不少複幾何及拓 樸。陳師對我期望甚殷,他提議考慮黎曼猜想。十 分遺憾的是,到目前為止,我還沒有想過它。
  59. 59. 代而之者,我嘗試去了解空間的曲率。我確 認卡拉比﹙E. Calabi﹚在五十年代作出的某 建議,會是理解這概念的關鍵。當時我不認 為卡拉比是對的。我開始對此深思苦想。這 並不是個當代幾何學者研究的標準課題,明 顯地,這是分析學上的一道難題,沒有人願 意跟它沾上邊。
  60. 60. 我漸漸養成把分析作為工具引進幾何中的志 趣。在此之前,曾有人把非線性理論用於三 維空間的曲面上。但我考慮的,卻是任意維 數的抽象空間。 由於摩里教授及陳師對極小曲面的興趣,我 亦對這項目深深著迷。對調和映照尤其情有 獨鍾,並因此鑽研了變分法。
  61. 61. 我對幾何中的所有分析內容都感興趣。簡而 言之,就是要把非線性微分方程和幾何融匯 成一體。要了解非線性方程,就必須先了解 線性方程。因此我建立了在流形上調和函數 的主要定理。在我的影響下,鄭紹遠研究了 有關的特徵值及特徵函數等問題。我們合作 寫了幾篇重要文章,到而今還是這項目的基 礎。
  62. 62. 畢業時我得到幾份聘書。陳師提議我到高等研 究所,那兒的薪水不及哈佛提供的一半。但我 還是到那兒去了。在高等研究所我認識了其它 科目出色的數學家。同時提升了對拓樸,尤其 是空間對稱理論的鑑賞力。事實上,利用分析 的想法﹙在流形上的群作用﹚,我解決了這科 目的一些重要課題。
  63. 63. 由於簽証的問題,我到了紐約石溪分校。當時石溪 是尺度幾何的重鎮,事實上那兒真的不錯,聚集了 一批朝氣勃勃的幾何學家。我學習他們的技巧,但 並不認為那是幾何的正確方向。 一年後我到了史丹福,當時那裏並沒有幾何學者。 史丹福環境安寧,非線性偏微分方程很出色。在那 裏我碰見好友李安西門及共同的弟子孫理察。我們 一起拓展了在幾何上的非線性分析。
  64. 64. 晉‧陶淵明 久在樊籠裏,復得返自然。
  65. 65. 我剛到史丹福時,一個幾何大會正在舉行。 有位物理學家應邀就廣義相對論發言。 當時我對物理還不算在行。但對他提及有關 相對論的一個幾何問題卻一見傾心。賦予空 間的數學解釋,與空間物理導出數學問題, 兩者皆令人神往。
  66. 66. 這問題當時對我而言,還是遙遠不可及。但 我對它念念不忘。 在會議期中,我找到了一個辦法,去反證卡 拉比的提議。我發表了我的想法,反應似乎 不錯,沒人提出異議。人們都鬆了口氣,畢 竟大家都猜對了,卡拉比猜想是不對的。
  67. 67. 兩個月後,卡拉比教授寫信給我,釐清了我 的一些想法。 我在推理中找到一個嚴重的決口。在我的研 究生涯中,這可說是最痛苦的經歷了。我輾 轉反側,不能成眠。
  68. 68. 差不多兩個星期都失眠,眼見名譽因犯錯 ﹙雖然我沒把想法成文發表﹚而毀於一旦。 經過反覆仔細審閱每個步驟後,我相信問題 反過來才對。為卡拉比猜想舉出反例,其論 據是先假設它是對的,然後考慮其後果。數 年後,當我解答了這個猜想,很多有關的自 然推論就水到渠成了。
  69. 69. 意識到卡拉比猜想是對的後,我便朝著正確的方 向邁進。在準備最後的證明前,需要大量的準備 工作。我和鄭紹遠合作研究蒙奇─安培方程、仿 射幾何、極大曲面等相關問題。與孫理察合作搞 調和影照,與孫理察和李安西門搞極小曲面。在 短短兩年裏,我們於與幾何有關的非線性分析, 碩果纍纍。這是幾何學的黃金時代。
  70. 70. 屈原 固余心之所善兮, 雖九死而猶未悔。
  71. 71. 新婚伊始,我找到完成卡拉比猜想的正確想法。 我終於掌握了凱勒﹙Kahler﹚幾何中的曲率了。 一些老大難的代數幾何問題,都因卡拉比猜想的 證明而解決掉。 當時我認為我首先瞭解到Kahler幾何的曲率結構 後,有物我相融的感覺︰ 落花人獨立 微雨燕雙飛
  72. 72. 紐約時報 2003年9月2日 宇宙一懸案 眾人答案殊 弦 理 論 中 的 一 個 困 難 在 於 它 要 用 十 維 的 時 空 來 描 述 , 而 我 們 生 存 的 空 間 只 有 四 維 而 已 。 史 創 敏 格 ﹙Strominger﹚博士回憶起他在找到數學家丘成桐博士 的 一 份 論 文 時 的 萬 分 喜 悅 之 情 。 丘 博 士 現 在 任 教 於 哈 佛 大 學 及 香 港 中 文 大 學 。 在 這 篇 文 章 裏 他 證 明 了 尤 金 尼奧‧卡拉比﹙Eugenio Calabi﹚博士提出的猜想。卡拉 比 博 士 現 已 從 賓 夕 凡 尼 亞 大 學 退 休 。 猜 想 指 出 這 些 額 外的維數雖然不可捉摸,但在微觀下可以想像它們卷曲起來, 就像地毯的小毛圈。
  73. 73. 完 成 卡 拉 比 猜 想 的 證 明 後 , 我 看 出 自 己 建 立 了 融 合 兩 門 重 要 科 目 ─ ─ 非 線 性 偏 微 分 方 程 和幾何──的架構。 一 九 七 六 年 我 在 U C L A 碰 見 老 友 麥 克 斯 ﹙Meeks﹚,他是我在研究院時的同學 。他的 景況不大好。Meeks是位具原創性的數學家, 我 向 他 提 議 合 作 , 試 圖 把 極 小 曲 面 和 三 維 流 形的拓樸聯繫起來。
  74. 74. 結果成績斐然。我們解決在這兩門科目中的 兩個經典難題︰ 1.當一塊肥皂膜的邊界是凸時,膜面不能自相 交。 2 . 史 密 斯 猜 想 的 證 明 , 這 是 與 霍 斯 頓 ﹙Thurston﹚工作結合的成果。 一旦把方向校正了,很多古典問題便能迎刃 而解。
  75. 75. 次年,我回到柏克萊訪問,並組織了“幾何 上 非線性問題”的研討班。孫理察和鄭紹遠都 在 那兒。和理察一起,我們終於解決了那個使 我念念不忘的有關廣義相對論的難題。 這道難題叫做正質量猜想,它在廣義相對論 中佔基本的地位。﹙只有當質量為正時,時 空才能穩定。﹚
  76. 76. 一九七八年我又回到史丹福。和蕭蔭棠一 起,我們利用極小曲面作為工具,解決了複 幾何上有名的法恩科﹙Frenkel﹚猜想。我也 利用了調和映照作為工具去研究離散的群對 稱。這些想法,迄今仍有其價值。 利用我們在廣義相對論的工作,孫理察和我 研究了具正純量曲率的流形的結構。
  77. 77. 一九七九年我們在高等研究所舉辦微分幾何 年。差不多所有幾何學家都來了。我們為幾 何學釐定了發展的方向。我提出一百條在幾 何裏的有趣問題。到目前為止,有的已經解 掉了,但有的還是迄立不動。 七十年代確是幾何學的豐收期。
  78. 78. 到了七十年末期,我在數學界可說是略有名 望。對於我解決的難題,媒體也有廣泛報導。 然而,認為我的奮鬥目標是獎項,是成名成 家,那就不對了。這些都不是本人研究的首要 目標。 我對數學的興趣,源於人類智能足以參悟自然 的欣喜。從幾何上看,大自然的美是永恒不朽 的。
  79. 79. 與朋輩如孫理察、西門、鄭紹遠、麥克斯 ﹙Meeks﹚、烏蘭貝克﹙K. Uhlenbeck﹚、漢 密爾頓﹙R. Hamilton﹚,和稍後的當勞遜﹙S. Donaldson﹚、塔貝斯﹙H. Taubes﹚、惠斯根 ﹙G. Huisken﹚等人的共同努力下,幾何上的 非線性分析已匯成大流。它於探討自然之美 中的作用不容低估。晚近的進展更顯示它在 物理及其它應用科學中的重要性。
  80. 80. 當幾個重要領域──幾何、非線性分析、代 數幾何、數學物理──自然地融合在一起 後,經典的老大難題便會迎刃而解。解決難 題可以視為人們理解大自然的路燈柱。
  81. 81. 但是幾何學實在超越了科學家的想象,它日新月 異,觀念層出不窮,偉大的數學家高斯曾說︰ C. F. 高斯 (1817) “竊意以為幾何之本,其真偽實非人類心智所能證 明,亦非人類心智所能理解者,余意於此,日久邇 堅。此等空間之屬性,莫測高深,後之來者,或有 灼見,得窺堂奧。惟今之世,吾輩宜視幾何學與純 先驗之算術為殊途,宜彼與力學並列也。”
  82. 82. 在過去十年間,我和合作伙伴正在致力研究 基本物理在幾何中的作用。為了從物理中掌 握動機後面的直觀,我花了不少時間參加物 理系辦的研討班。在與理論物理學家的交往 中,我們獲得了一些數學上深刻的定理。 其中重要的概念是所謂對偶性。
  83. 83. 對偶性這概念,優美典雅。它指出在某理論 中的強作用等同於另一理論中的弱作用。 這與中國道家或陰陽有不少共通之處。但對 偶性嚴格得多,同時它是定量的。利用它我 們可以算出某些數學量。如果用其它方法來 進行,那是極度困難的。
  84. 84. 為數學而數學,實屬顯然,何須三思。 於無用諸物理學之種種數學理論,均需 一視同仁,與其它理論無分軒輊。 - 彭加箂
  85. 85. 使余復稚年,童蒙初習,則願從柏拉圖 之教晦,自數學始。 - 伽里略
  86. 86. 關於香港數學課程的評論,在上述個人 的經歷中,我已經指出我在香港受到良 好的數學教育,但是由我接觸到的香港 學生和教育工作同事的談論中,我發覺 香港的數學教育質素,與當年的名校相 比,質素有明顥的下降。
  87. 87. 一 方 面 注 重 普 及 教 育 , 在 有 意 和 無 意 間 , 將 有興趣和有意義的數學教育忽略。即使學生質素良 好,只是學習淺易的課題,既無挑戰性又無興趣, 慢慢就喪失學習的目標,而自暴自棄。在九零年 代,香港很多好的中學生高中到外國留學實在不 少,但是即使留學的中學生,大多不想念研究院, 與五零年代到八零年代中葉大不相同,留在香港讀 大學的學生,對基本科學的興趣也極為缺乏。
  88. 88. 但是這三年來香港學生開始對學問又重 新拾起興趣,但是太過注重普及教育, 而不教育美麗而能夠幫助訓練學生邏輯 的幾何學,是一個很大的錯誤。
  89. 89. 數學裏面種種的分枝,如概率論、線性 方程組、微積分、代數和它們在物理 學、工程學和經濟學上的應用都應當使 學生有所接觸,更重要的是要求他們做 習題,融會貫通的唯一方法是多學多思 考多討論,並多接觸課外書。
  90. 90. Thank you all!

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