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1                UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO                      FACULTAD TÉCNICA                  CURSO PREUNIVERSITARI...
2TEMA 1               DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL1.1 DEFINICIÓNLa factorización nos ayuda a simplificar fórmulas o expresione...
3            9a 2 − 12ab + 15a3b 2 − 24ab3 = 3a 3a − 4b + 5a 2b 2 − 8b3                                                ...
4                      x(x + 1) − a 2 ( x + 1) = ( x + 1) x − a 2                                                       ...
5Ejemplo 8:               a 2 − 10a + 25Se halla la raíz cuadrada del primer y tercer términos, que son                 ay...
6                     4 a 2 + 20 ab + 25 b 2                      2a                 5b   ⇒ 2·(2 a )(5b ) = 20 ab         ...
7                   x − y                   x + y                   x 2 − xy                       + xy − y 2             ...
8Ejemplo 13:                (x + 1)2 − 16 x 2Sacando raíz cuadrada de ambos términos y aplicando el teorema setiene:      ...
9                 a 4 + 6a 2 + 9 − 4a 2                 a2               3    ⇒ 2·  a 2 · (3 ) = 6 a 2                  ...
1   0          4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 − 16 xy           2x             3y       ⇒ 2· (2 x )(3 y ) = 12 xy                  ...
1   1    4 x8 + 4 x 4 y 4 + y 8 − 4 x 4 y 4    2x4                y4        ⇒ 2·  2 x 4 ·  y 4  = 4 x 4 y 4           ...
1   2     término. Estos números son los segundos términos de los     binomios.  4. Si los dos factores binomios tienen en...
1   3Descomponiendo el tercer término en sus divisores y hallando dosnúmeros que multiplicados nos de 21, y que restados n...
1                                                                                                4                  =     ...
1                                                                          5Ejemplo 23:           8a 3 − 36a 2 b + 54ab 2 ...
1   6  - La diferencia de sus raíces cúbicas.  - El cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos    raíces, mas...
1                                                                                                   7                     ...
1   8      x n + y n = ( x + y ) x n − 1 − x n − 2 y + x n − 3 y 2 − ... − xy n − 2 + y n − 1                           ...
1   9Hasta que el último término (Independiente), se anule. Entonces ladescomposición será:                               ...
2   0Hasta que el último término (Independiente), se anule. Entonces ladescomposición parcial será:          (x − 2)( x + ...
2   1Hasta que el último término (Independiente), se anule. Entonces ladescomposición parcial será:          (x + 1)( x − ...
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2                                                                                      4Hallando raíz cuadrada del primer ...
2                                                                                  5Ejercicio 5:             4n 2 + n − 33...
2   6                           a 18 + 3 a 12 + 3 a 6 + 1                           a6                               1    ...
2                                                                                               7Ejercicio 9:       x 4 + ...
2   8⇒    (6 x + 9)(6 x − 4) = 3(2 x + 3) ⋅ 2(3x − 2) = (2 x + 3)(3x − 2)            6                     6              ...
2   9TEMA 2               ECUACIONES DE PRIMER GRADO                    CON UNA INCOGNITA2.1 DEFINICIÓNEs una igualdad en ...
3   0                           55 − 25 − 7 325 − 252   73 73                       ⇒              =          ⇒   =       ...
3   1Verificación:        ⇒ (4 − 2 )2 + 4(4 − 3) = 3(4 + 4 )(4 − 3) − (4 + 2 )(4 − 1) + 2        ⇒ 4 + 4 = 24 − 18 + 2 ⇒ 8...
3   22.7 ECUACIONES NUMÉRICAS FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO    CON DENOMINADORES COMPUESTOS                        3     2...
3   32.9 ECUACIONES LITERALES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO                            x−b      x−aEjemplo 41:            ...
3                                                                                        4        3 x + [− 5 x − x − 3] = ...
3                                                                                           5                             ...
3   6    ⇒ abx + a 2 x = − a 2 b + 3a 2 b + 2a 3 ⇒ xa (a + b ) = 2 a 2 b + 2a 3                      2 (a + b ) ⇒ x = 2a (...
3                                                                                              7                          ...
3   8Verificación:            (1 + a )(1 − b ) − (1 + b )(1 − 2a ) = b(a − 2) + 3a            1 − b + a − ab − 1 + 2a − b ...
3   9TEMA 3                 ECUACIONES DE PRIMER GRADO                     CON DOS INCOGNITAS3.1 SISTEMA DE ECUACIONESEs l...
0                                                                                     4              1         5 + 4  ...
1                                                                            4Verificación en (2).                  − 7(− ...
2                                                                          4Resolviendo por el método de eliminación por i...
3                                                                                4Generalizando:             c   b        ...
4   4                        7 − 5y                   x=                                    (3)                           ...
4   5Reemplazando (3) en (2).      8 − 4y                 64 − 32 y                64 − 32 y − 27 y     8        − 9...
6                                                                     4Verificación en (1).                7(− 2 ) − 15(− ...
4   7TEMA 4                POTENCIACIÓN, RADICACIÓN                    Y EXPONENCIACIÓN4.1 POTENCIAEs la misma expresión o...
8                                                                                                      4       (a + b )n =...
9                                                                                                        44.1.2 TRIÁNGULO ...
0                                                                                      5         Así: 2a es raíz cuadrada ...
1                                                                                               5EJEMPLO 52:              ...
2                                                                                54.3 EXPONENCIACIÓN  a) EXPONENTE CERO   ...
3                                                                                                        54.3.1   MULTIPLI...
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  1. 1. 1 UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD TÉCNICA CURSO PREUNIVERSITARIO (TURNO DIURNO MAÑANA)MATERIA: ALGEBRADOCENTE: Ing. Jhonny Freddy Copa RoqueTEMARIO: TEMA 1: DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL. TEMA 2: ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA. TEMA 3: ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS. TEMA 4: POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y EXPONENCIACIÓN. TEMA 5: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA.EVALUACIÓN: ASISTENCIA: 10 % PRÁCTICAS: 20 % DOS EXAMENES PARCIALES: 30 % EXAMEN FINAL: 40 % TOTAL: 100 % SEMESTRE 1/2011
  2. 2. 2TEMA 1 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL1.1 DEFINICIÓNLa factorización nos ayuda a simplificar fórmulas o expresionesalgebraicas y a resolver ecuaciones.Existen 11 casos a mencionar los cuales se desglosaran acontinuación:1.2 CASO I: FACTOR COMÚNEste caso se presenta cuando en cada término hay un mismo factorque puede ser numérico o literal.Ejemplo 1: 6a − 15bSacando común numérico resulta 3, siendo este máximo común divisorde la parte numérica del polinomio.No se tiene otro común en los términos por lo tanto resulta: 6a − 15b = 3(2a − 5b )Ejemplo 2: 2 xy + 6 xzSacando común numérico resulta 2, siendo este máximo común divisorde la parte numérica del polinomio.Se tiene otro común en los términos literales que es x, por lotanto resulta: 2 xy + 6 xz = 2 x( y + 3 z )Ejemplo 3: 9a 2 − 12ab + 15a 3b 2 − 24ab 3Sacando común numérico resulta 3, siendo este máximo común divisorde la parte numérica del polinomio.Se tiene otro común en los términos literales que es , por lotanto resulta:
  3. 3. 3 9a 2 − 12ab + 15a3b 2 − 24ab3 = 3a 3a − 4b + 5a 2b 2 − 8b3     Ejemplo 4: (a + 3)(a + 1) − 4(a + 1)Sacando común polinomio resulta (a + 1) , siendo este máximo comúndivisor del polinomio.Entonces se tiene: (a + 3)(a + 1) − 4(a + 1) = (a + 1)[(a + 3) − 4] = (a + 1)(a − 1)Ejemplo 5: 5 x a 2 + 1 + ( x + 1) a 2 + 1        Sacando común polinomio resulta  a +1 , siendo este máximo común 2    divisor del polinomio.Entonces se tiene: 5 x a 2 + 1 + ( x + 1) a 2 + 1 =  a 2 + 1[5 x + ( x + 1)] =  a 2 + 1(6 x + 1)                1.3 CASO II: FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOSEjemplo 6: x2 − a2 + x − a2xAgrupamos y hallamos el ó los comunes del primer y tercer términoque es x .Agrupamos y hallamos el ó los comunes del segundo y cuarto término 2que es a .Entones se tiene: x 2 − a 2 + x − a 2 x = x( x + 1) − a 2 (1 + x ) = x( x + 1) − a 2 ( x + 1)Se tiene aún un común que es ( x + 1) , para finalmente tener:
  4. 4. 4 x(x + 1) − a 2 ( x + 1) = ( x + 1) x − a 2     Entonces el resultado es: x 2 − a 2 + x − a 2 x = ( x + 1) x − a 2     Ejemplo 7: 5ac − 30ad + 6bc − 36bdAgrupamos y hallamos el ó los comunes del primer y segundo términoque es 5a .Agrupamos y hallamos el ó los comunes del tercer y cuarto términoque es 6b .Entones se tiene: 5ac − 30ad + 6bc − 36bd = 5a(c − 6d ) + 6b(c − 6d )Se tiene aún un común que es (c − 6d ) , para finalmente tener: 5a(c − 6d ) + 6b(c − 6d ) = (c − 6d )(5a + 6b )Entonces el resultado es: 5ac − 30 ad + 6bc − 36bd = (c − 6 d )(5a + 6b )1.4 CASO III: TRINOMIO CUADRADO PERFECTORecordando que el cuadrado de un binomio indica que: “el primertérmino del binomio al cuadrado, mas el doble producto del primeropor el segundo términos, más el segundo términos al cuadrado”, queresulta: (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2Este caso de la factorización es inverso al mencionadoanteriormente.
  5. 5. 5Ejemplo 8: a 2 − 10a + 25Se halla la raíz cuadrada del primer y tercer términos, que son ay 5 respectivamente.Posteriormente se multiplica por 2 ambos raíces halladas 2 ⋅ (a ) ⋅ (5) ,resultando 10a . Si este término resulta ser igual al segundotérmino, entonces se escribe las dos raíces halladas separadas porel signo del segundo término y todo elevado al cuadrado. En resumense tiene: a 2 − 10 a + 25 a ⇒ 2· (a )(5 ) = 10 a · ⇒ a 2 − 10 a + 25 = (a − 5 )2Ejemplo 9: 4a 2 − 20ab + 25b 2Se halla la raíz cuadrada del primer y tercer términos, que son 2a 2y 5b 2 respectivamente.Posteriormente se multiplica por 2 ambos raíces halladas2 ⋅  2a 2  ⋅  5b 2  , resultando 20a 2 b 2 . Si este término resulta ser igual        al segundo término, entonces se escribe las dos raíces halladasseparadas por el signo del segundo término y todo elevado alcuadrado. En resumen se tiene:
  6. 6. 6 4 a 2 + 20 ab + 25 b 2 2a 5b ⇒ 2·(2 a )(5b ) = 20 ab · ⇒ 4 a 2 + 20 a + 25b 2 = (2 a + 5b )2 a2Ejemplo 10: − ab + b 2 4 aSe halla la raíz cuadrada del primer y tercer términos, que son 2y b respectivamente. aPosteriormente se multiplica por 2 ambos raíces halladas 2 ⋅   ⋅ (b ) , 2resultando ab . Si este término resulta ser igual al segundotérmino, entonces se escribe las dos raíces halladas separadas porel signo del segundo término y todo elevado al cuadrado. En resumense tiene: a2 − ab + b 2 4  a  a b ⇒ 2 ·  · (b )= ab  2  2 a2 2 a  ⇒ − ab + b 2 =  − b  2 2 1.5 CASO IV: DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOSRecordando que (x + y )( x − y ) , se opera de la siguiente manera:
  7. 7. 7 x − y x + y x 2 − xy + xy − y 2 x2 + 0 − y2 ⇒ x2 − y2El presente caso es inverso al ejemplo.Para resolver este caso se sigue la siguiente regla: “Se extrae laraíz cuadrada de ambos términos y se multiplica la suma de estosraíces por la diferencia de las mismas.Ejemplo 11: 16 − n 2Sacando raíz cuadrada de ambos términos y aplicando el teorema setiene: 16 − n 2 4 n ⇒ (4 − n )(4 + n )Ejemplo 12: 4 x 2 − 25 y 2Sacando raíz cuadrada de ambos términos y aplicando el teorema setiene: 4 x 2 − 25 y 2 2x 5 y ⇒ (2 x − 5 y )(2 x + 5 y )
  8. 8. 8Ejemplo 13: (x + 1)2 − 16 x 2Sacando raíz cuadrada de ambos términos y aplicando el teorema setiene: (x + 1)2 − 16 x 2 ( x + 1) 4x ⇒ [(x + 1) − 4 x ][(x + 1) + 4 x ] = (1 − 3 x )(1 + 5 x )1.6 CASO V: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓNEjemplo 14: a 4 + 2a 2 + 9Hallando raíz cuadrada del primer y tercer término y hallando eldoble producto de ambos se tiene: a4 + 2a2 + 9 a2 3 ⇒ 2·  a 2 · (3 ) = 6 a 2    El resultado 6a 2 no es igual al segundo término del trinomio 2a , 2para que sea trinomio cuadrado perfecto, es necesario sumarle y 2restarle 4a .Entonces se tendrá: a 4 + 2a 2 + 9 + 4a 2 − 4a 2 =  a 4 + 6a 2 + 9  − 4a 2    Hallando raíz cuadrada del primer y tercer término y hallando eldoble producto de ambos se tiene:
  9. 9. 9 a 4 + 6a 2 + 9 − 4a 2 a2 3 ⇒ 2·  a 2 · (3 ) = 6 a 2     2  a 2 + 3  − 4a 2 ⇒     a2 + 3   2a ⇒   a 2 + 3  − 2 a  ⋅   a 2 + 3  + 2 a                 a 2 − 2a + 3  ⋅  a 2 + 2a + 3         Ejemplo 15: 4 x 2 − 28 xy + 9 y 2Hallando raíz cuadrada del primer y tercer término y hallando eldoble producto de ambos se tiene: 4 x 2 − 28 xy + 9 y 2 2x 3y ⇒ 2· (2 x )(3 y ) = 12 xy ·El resultado 12 xy no es igual al segundo término del trinomio28 xy , para que sea trinomio cuadrado perfecto, es necesariosumarle y restarle 16 xy .Entonces se tendrá: 4 x 2 − 28 xy + 9 y 2 + 16 xy − 16 xy =  4 x 2 − 12 xy + 9 y 2  − 16 xy    Hallando raíz cuadrada del primer y tercer término y hallando eldoble producto de ambos se tiene:
  10. 10. 1 0 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 − 16 xy 2x 3y ⇒ 2· (2 x )(3 y ) = 12 xy · ⇒ (2 x − 3 y )2 − 16 xy (2x − 3y) 4 xy [ ][ ⇒ (2 x − 3 y ) − 4 xy ⋅ (2 x − 3 y ) + 4 xy ] (2 x − 4 xy − 3 y )⋅ (2 x + 4 xy − 3 y )Ejemplo 16: 4x8 + y8Hallando raíz cuadrada del primer y tercer término y hallando eldoble producto de ambos se tiene: 4 x8 + + y8 2x4 y4 ⇒ 2  2 x 4 ·  y 4  = 4 x 4 y 4 ·      4 4 no existe en el ejemplo por lo que se sumará yEl resultado 4 x yrestará el mismo.Entonces se tendrá: 4 x8 + 4 x 4 y 4 + y8 − 4 x 4 y 4
  11. 11. 1 1 4 x8 + 4 x 4 y 4 + y 8 − 4 x 4 y 4 2x4 y4 ⇒ 2·  2 x 4 ·  y 4  = 4 x 4 y 4         2⇒  2x4 + y4  − 4x4 y4      2 2  2 2 2 x 2 y 2 ⇒  2 x + y  − 2 x y  ⋅  2 x + y  + 2 x y   2x4 + y4  4 4 4 4              2x − 2x y + y  ⋅2x + 2x y + y   4 2 2 4  4 2 2 4     1.7 CASO VI: TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + cDeben cumplir las siguientes condiciones: - El coeficiente del primer término es 1. - El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. - El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquier, positiva o negativa. - El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primero y segundo términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.REGLA PRÁCTICA 1. El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio. 2. En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio. 3. Si los dos factores binomios tienen en el medio SIGNOS IGUALES se buscan dos números cuya suma sea el valor del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor del tercer
  12. 12. 1 2 término. Estos números son los segundos términos de los binomios. 4. Si los dos factores binomios tienen en el medio SIGNOS DISTINTOS se buscan dos números cuya diferencia sea el valor del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio.Ejemplo 17: x 2 − 5 x − 36En primer lugar se descompone el tercer término (independiente) ensus divisores y hallar los correspondientes números que verificanlos coeficientes del segundo y tercer término. En este caso dosnúmeros que multiplicados nos de -36, y que restados nos de -5.Entonces el resultado es: x 2 − 5 x − 36 = ( x − 9 )( x + 4 )Ejemplo 18: m 2 − 20m − 300Descomponiendo el tercer término en sus divisores y hallando losdos números, este caso dos números que multiplicados nos de -300, yque restados nos de -20.Entonces el resultado es: m 2 − 20m − 300 = (m − 30 )(m + 10 )Ejemplo 19: x 2 + 10 x + 21
  13. 13. 1 3Descomponiendo el tercer término en sus divisores y hallando dosnúmeros que multiplicados nos de 21, y que restados nos de 10.Entonces el resultado es: x 2 + 10 x − 21 = ( x + 7 )(x + 3)1.8 CASO VII: TRINOMIO DE LA FORMA ax 2 + bx + cEn este caso se transforma el trinomio al caso anteriormultiplicando y dividiendo todo por el coeficiente para noalterar la expresión.Ejemplo 20: 2x 2 + 7x + 6Multiplicando numerador y denominador por 2, y procediendo deacuerdo al teorema se procede: 2 2 x 2 + 7 x + 6    2 2 x 2 + 2(7 x ) + 12 (2 x )2 + 7(2 x ) + 12  = = = 2 2 2 = (2 x + 4)(2 x + 3) = 2(x + 2)(2 x + 3) = (x + 2)(2 x + 3) 2 2Ejemplo 21: 9a 2 + 10a + 1Multiplicando numerador y denominador por 9, y procediendo deacuerdo al teorema se procede: 9 9a 2 + 10a + 1   9 2 a 2 + 9(10a ) + 9 (9a )2 + 10(9a ) + 9 ⇒  = = = 9 9 9
  14. 14. 1 4 = (9a + 9)(9a + 1) = 9(a + 1)(9a + 1) = (a + 1)(9a + 1) 9 9Ejemplo 22: 15 x 2 − ax − 2a 2Multiplicando numerador y denominador por 15, y procediendo deacuerdo al teorema se procede: 1515 x 2 − ax − 2a 2     = 15 x − 15(ax ) − 30a = (15 x ) + a (15 x ) − 30a = 2 2 2 2 2 ⇒  15 15 15 = (15 x − 6a )(15 x + 5a ) = 3(5 x − 2a ) ⋅ 5(3x + a ) = (5 x − 2a )(3x + a ) 15 151.9 CASO VIII: CUBO PERFECTO DE BINOMIOSRecordando: (a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 (a − b )3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3El procedimiento es el siguiente: - Hallamos raíz cúbica de los términos primero y cuarto. - Posterior hallamos el triplo de la primera raíz al cuadrado por la cuarta raíz. El resultado debe ser igual al segundo término del polinomio. - Se halla el triplo de la primera raíz por la cuarta raíz elevado al cuadrado. El resultado debe ser igual al tercer término del polinomio. - El resultado final es la raíz del primer término mas (+) o menos (-) la raíz del cuarto término, elevado al cubo.
  15. 15. 1 5Ejemplo 23: 8a 3 − 36a 2 b + 54ab 2 − 27b 3 8 a 3 − 36 a 2 b + 54 ab 2 − 27 b 3 2a 3b ⇒ 3  2a 2 · (3b ) = 36 a 2b ·    ⇒ (2 a − 3 b )3 ⇒ 3 (2a )(3b )2 = 54 ab 2 · ·Ejemplo 24: 125 x 3 + 1 + 75 x 2 + 15 x 125 x 3 + 75 x 2 + 15 x + 1 5x 1 ⇒ 3· (5 x )2· (1 ) = 75 x 2 ⇒ (5 x + 1 )3 ⇒ 3· (5 x )(1 )2 = 15 x ·1.10 CASO IX: SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOSRegla 1:La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores. - La suma de sus raíces cúbicas. - El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz.La fórmula nos dice: a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 − ab + b 2     Regla 2:La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores.
  16. 16. 1 6 - La diferencia de sus raíces cúbicas. - El cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz.La fórmula nos dice: a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2     Ejemplo 25: a 3 + 27La raíz cúbica de a es 3 a ; la de 27 es 3 .Según la regla 1 es: a 3 + 27 a 3 ⇒ (a + 3) a2 − a ⋅ 3 + 32  = (a + 3) a2 − 3a + 9        Ejemplo 26: a 6 + 125b12La raíz cúbica de es a6 a2 ; la de 125 b 12 es 5b 4 .Según la regla 1 es: a 6 + 125 b12  2 2 a2 5 b 4 ⇒  a + 5b   a  −  a 2  5b 4  +  5b 4  2 4 2                       ⇒  a 2 + 5 b 4   a 4 − 5 a 2 b 4 + 25 b 8       Ejemplo 27: (m − 2)3 + (m − 3)3La raíz cúbica de (m − 2 ) es 3 (m,−2) ; la de (m − 3)3 es (m − 3) .Según la regla 1 es:
  17. 17. 1 7 (m − 2 )3 + (m − 3 )3 (m − 2 ) (m − 3 ) ⇒ [(m − 2 ) + (m − 3)](m − 2 )2 − (m − 2 )(m − 3) + (m − 3)2      = [m − 2 + m − 3] m 2 − 4m + 4  −  m 2 − 2m − 3m + 6  +  m 2 − 6m + 9               = [2m − 5]m 2 − 4m + 4 − m 2 + 5m − 6 + m 2 − 6m + 9     = [2m − 5]m 2 − 5m + 7    Ejemplo 28: x 6 − 8 y12La raíz cúbica de x es 6 x 2 ; la de 8 y 12 es 2 y 4 .Según la regla 2 es: x 6 − 8 y 12  2 2 x2 2 y 4 ⇒  x 2 − 2 y 4   x 2  +  x 2  2 y 4  +  2 y 4                       ⇒  x 2 − 2 y 4   x 4 + 2 x 2 y 4 + 4 y8       1.11 CASO X: SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALESSe tienen dos condiciones:Condición 1: x n − y n = ( x − y ) x n − 1 + x n − 2 y + x n − 3 y 2 + ... + xy n − 2 + y n − 1     Condición 2:
  18. 18. 1 8 x n + y n = ( x + y ) x n − 1 − x n − 2 y + x n − 3 y 2 − ... − xy n − 2 + y n − 1     Ejemplo 29: n 5 + 243 5La raíz quinta de n es n ; la de 243 = 3 es 3 . 5Según la condición 1 es: n 5 + 243 = n 5 + 3 5 n 3 ⇒ (n + 3 ) (n )4 − (n )3 (3 ) + (n )2 (3 )2 − (n )(3 )3 + (3 )4      ⇒ (n + 3 ) n 4 − 3 n 3 + 9 n 2 − 27 n + 81     Ejemplo 30: 32 − m 5La raíz quinta de 32 = 2 es 5 2 ; la de m 5 es m .Según la condición 2 es: 32 − m 5 = 25 − m 5 2 m ⇒ (2 − m ) (2 )4 + (2 )3 (m ) + (2 )2 (m )2 + (2 )(m )3 + (m )4      ⇒ (2 − m )16 + 8 m + 4 m 2 + 2 m 3 + m 4     1.12 CASO XI: REGLA DE RUFFINIEjemplo 31: x 3 + 4 x 2 + 12 x + 27Se hallan los divisores del término independiente, que son: 27: -1,-3,-9,-27,+1,+3,+9,+27Se prueban con cada uno de los divisores.
  19. 19. 1 9Hasta que el último término (Independiente), se anule. Entonces ladescomposición será: (x − 3) x 2 + x + 9     Ejemplo 32: x 4 − x 3 − 16 x 2 + 4 x + 48Se hallan los divisores del término independiente, que son: 48: -1,-2,-3,-4,-6,-12,-24,-48,+1,+2,+3,+4,+6,+12,+24,+48.Hasta que el último término (Independiente), se anule. Entonces ladescomposición parcial será: (x − 2) x 3 + x 2 − 14 x − 24     Se hallan los divisores nuevamente del término independiente, quecorresponde al segundo paréntesis que son: 24: -1,-2,-3,-4,-6,-12,-24,+1,+2,+3,+4,+6,+12,+24.
  20. 20. 2 0Hasta que el último término (Independiente), se anule. Entonces ladescomposición parcial será: (x − 2)( x + 2) x 2 + x − 12  = (x − 2)(x + 2)( x − 4)( x + 3)    El tercer paréntesis es posible descomponer por el caso V:Ejemplo 33: x 4 − 2 x 3 − 13 x 2 + 14 x + 24Se hallan los divisores del término independiente, que son: 24: -1,-2,-3,-4,-6,-12,-24,+1,+2,+3,+4,+6,+12,+24.Hasta que el último término (Independiente), se anule. Entonces ladescomposición parcial será: (x + 1) x 3 − 3x 2 − 10 x + 24     Se hallan los divisores nuevamente del término independiente, quecorresponde al segundo paréntesis que son: 24: -1,-2,-3,-4,-6,-12,-24,+1,+2,+3,+4,+6,+12,+24.
  21. 21. 2 1Hasta que el último término (Independiente), se anule. Entonces ladescomposición parcial será: (x + 1)( x − 2) x 2 − x − 12  = (x + 1)(x − 2)(x − 4)( x + 3)    El tercer paréntesis es posible descomponer por el caso V:Ejemplo 34: 2 x 3 − x 2 − 18 x + 9Se hallan los divisores del término independiente, que son: 9: -1,-3,-9,+1,+3,+9.Hasta que el último término (Independiente), se anule. Entonces ladescomposición parcial será: (x − 3) 2 x 2 + 5 x − 3     Se hallan los divisores del término independiente, que son: 3: -1,-3,+1,+3.
  22. 22. 2 2Hasta que el último término (Independiente), se anule. Entonces ladescomposición parcial será: (x − 3)( x + 3)(2 x − 1) RESOLUCIÓN PRÁCTICA #1Ejercicio 1: 3a 2 − 7b 2 x + 3ax − 7 ab 2De los términos primero y tercero, el término común es 3a . De lostérminos segundo y cuarto es 7b 2 realizando las respectivasoperaciones se tiene: 3a (a + x ) − 7b 2 ( x + a ) = ( x + a ) 3 − 7b 2     Ejercicio 2: 9 x 2 − 1 + 16 a 2 − 24 ax = 16 a 2 − 24 ax + 9 x 2 − 1Después de ordenado los términos podemos indicar que corresponde auna combinación de los casos III y IV.Los tres primeros términos se resuelven por el método del trinomiocuadrado perfecto.Se halla la raíz cuadrada del primer y tercer términos, que es 4a y3x respectivamente.Posteriormente se multiplica por 2 ambos raíces halladas 2 ⋅ (4a ) ⋅ (3x ) ,resultando 24ax . Este término resulta ser igual al segundotérmino, entonces se escribe las dos raíces halladas separadas porel signo del segundo término y todo elevado al cuadrado (4a − 3 x )2 .Entonces el ejercicio se planteará de la siguiente manera(4a − 3x )2 − 1 , y se resolverá como diferencia de cuadrados:
  23. 23. 2 3Se halla la raíz cuadrada del término (4a − 3x )2 que es (4a − 3x ) y delsegundo término 1 que es 1 , aplicando posteriormente la regla.Hallando como resultado final (4a − 3x + 1)(4a − 3x − 1) . La secuencia es lasiguiente: 16 a 2 − 24 ax + 9 x 2 − 1 4a 3x ⇒ 2 ·(4 a ) ·(3 x ) = 24 ax ⇒ (4 a − 3 x )2 − 1 (4 a − 3 x ) 1 ⇒ [(4 a − 3 x ) + 1][(4 a − 3 x ) − 1] = (4 a − 3 x + 1)(4 a − 3 x − 1)Ejercicio 3: 81m8 + 2m 4 + 1El ejercicio corresponde al caso V (Trinomio cuadrado perfecto poradición y sustracción).Hallando raíz cuadrada del primer y tercer término y hallando eldoble producto de ambos se tiene: 81m 8 + 2 m 4 + 1 9m 4 1 ⇒ 2  9m 4 · (1) = 18m 4 ·    4El resultado 18m no es igual al segundo término del trinomio 2m 4 ,para que sea trinomio cuadrado perfecto, es necesario sumarle yrestarle 16m 4 . Entonces se tendrá: 81 m 8 + 2 m 4 + 1 9m 4 1 ⇒ 2·  9 m 4 · (1) = 18 m 4     81 m 8 + 2 m 4 + 1 + 16 m 4 − 16 m 4 = 81 m 8 + 18 m 4 + 1 − 16 m 4
  24. 24. 2 4Hallando raíz cuadrada del primer y tercer término y hallando eldoble producto de ambos se tiene: 81 m 8 + 18 m 4 + 1 − 16 m 4 9m 4 1 ⇒ 2  9m4  (1) = 18m4 · · 2   ⇒  9 m 4 + 1  − 16 m 4    Se forma otra expresión que corresponde a una diferencia decuadrados y se resuelve aplicando el procedimiento adecuado.Hallando las raíces cuadradas de los dos términos ydescomponiéndola en dos paréntesis separados con signos alternoscomo se muestra: 2  9 m 4 + 1 − 16 m 4      9m 4 + 1    4m 2   ⇒  9m4 + 1 − 4m2  9m4 + 1 + 4m2  =  9m4 − 4m2 + 1 9m4 + 4m2 + 1                Ejercicio 4: x 2 − 5 x + 36Corresponde al caso VI. Descomponiendo el tercer término en susdivisores y hallando dos números que multiplicados nos de 36, y querestados nos de -5.Entonces el resultado es: (x − 9)(x + 4)
  25. 25. 2 5Ejercicio 5: 4n 2 + n − 33Corresponde al caso VII. Multiplicando numerador y denominador por4, y procediendo de acuerdo al teorema se plantea: 4 4n 2 + n − 33    4 2 n 2 + n − 132 (4n )2 + 1(4n ) − 132 ⇒  = = = 4 4 4De los términos del numerador se descompone en sus divisores eltérmino independiente 132Y con los números hallados se busca dos números que multiplicadosnos de -132 y restados nos de 1. Estos números son 12 y -11respectivamente. Posterior se realiza una factorización dentro delprimer paréntesis. ⇒ (4n + 12)(4n − 11) = 4(n + 3)(4n − 11) = (n + 3)(4n − 11) 4 4Ejercicio 6: 3a12 + 1 + 3a 6 + a18 = a18 + 3a12 + 3a 6 + 1Corresponde al caso VIII, que es cubo perfecto de binomios. Enprimer término se ordena en forma descendente respecto a lavariable a , a continuación se hallan las raíces cúbicas de lostérminos primero y cuarto que son a 6 y 1 respectivamente. Seaplica la regla para los términos segundo y tercero. Para elsegundo el triplo de la primera raíz al cuadrado por la segunda 2raíz 3 a 6  ⋅ (1) = 3a12 , este término es idéntico. Y el triplo de la    primera raíz por la segunda raíz al cuadrado 3 a 6  ⋅ (1)2 = 3a 6 , también    es idéntico. Por lo tanto el resultado es las dos raíces halladas 3separadas por el signo + y elevados al cubo  a 6 + 1 . El    procedimiento es el siguiente:
  26. 26. 2 6 a 18 + 3 a 12 + 3 a 6 + 1 a6 1 2 ⇒ 3·  a 6  · (1) = 3 a12   3   ⇒  a6 + 1     ⇒ 3  a 6 · (1)2 = 3a 6 ·    3 3Ejercicio 7: x 6 − b9 =  x 2  −  b3         Corresponde al caso IX que es diferencia de cubos perfectos. Sehallan las raíces cúbicas de ambos términos y se aplican las reglasque corresponden a cada una de ellas: 3 3  x 2  −  b3           2 2 x2 b3 ⇒  x2 − b3  ⋅  x2  + x2b3 +  b3                  ⇒  x2 − b3  ⋅  x4 + x2b3 + b6          5Ejercicio 8: x10 + 32 y 5 =  x 2  + (2 y )5     5  x 2  + (2 y )5     x2 2y  4 3 2  ⇒  x 2 + 2 y   x 2  −  x 2  (2 y ) +  x 2  (2 y )2 −  x 2  (2 y )3 + (2 y )4                         ⇒  x 2 + 2 y   x 8 − 2 x 6 y + 4 x 4 y 2 − 8 x 2 y 3 + 16 y 4       
  27. 27. 2 7Ejercicio 9: x 4 + 6 x 3 + 3 x + 140 140: -1,-2,-4,-5,-7,-10,-14,-35,-70,-140 +1,+2,+4,+5,+7,+10,+14,+35,+70,+140 (x + 4) x 3 + 2 x 2 − 8 x + 35      (x + 4)( x + 5) x 2 − 3x + 7     Ejercicio 10: 6 x 3 + 23 x 2 + 9 x − 18 18: -1,-2,-3,-6,-9,-18,+1,+2,+3,+6,+9,+18 (x + 3) 6x 2 + 5x − 6     6 6 x 2 + 5 x − 6    (6 x )2 + 5(6 x ) − 36 ⇒  = 6 6
  28. 28. 2 8⇒ (6 x + 9)(6 x − 4) = 3(2 x + 3) ⋅ 2(3x − 2) = (2 x + 3)(3x − 2) 6 6 ⇒ ( x + 3)(2 x + 3)(3 x − 2 )
  29. 29. 2 9TEMA 2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA2.1 DEFINICIÓNEs una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidasllamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera paradeterminados valores de las incógnitas.Las incógnitas se representan por lo general, por las últimasletras del alfabeto: x, y, z, u, v.2.2 REGLA GENERAL a) Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay. b) Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas. c) Se reducen términos semejantes en cada miembro. d) Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros por el coeficiente de la incógnita.2.3 ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADOEjemplo 35: 11x + 5 x − 1 = 65 x − 36Haciendo la transposición de términos se tiene: − 35 11x + 5 x − 65 x = −36 + 1 ⇒ −49 x = −35 ⇒ x = − 49 5 ⇒x= 7Verificación: 5 5 5 55 25 325 11  + 5  − 1 = 65  − 36 ⇒ + −1 = − 36 7 7 7 7 7 7
  30. 30. 3 0 55 − 25 − 7 325 − 252 73 73 ⇒ = ⇒ = 7 7 7 72.4 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON SIGNOS DE AGRUPACIÓNEjemplo 36: x − [5 + 3 x − {5 x − (6 + x )}] = −3 ⇒ x − [5 + 3 x − {5 x − 6 − x}] = −3 ⇒ x − [5 + 3 x − 5 x + 6 + x ] = −3 ⇒ x − 5 − 3 x + 5 x − 6 − x = −3 ⇒ x − 3 x + 5 x − x = −3 + 5 + 6 8 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = ⇒x=4 2Verificación: 4 − [5 + 3 ⋅ 4 − {5 ⋅ 4 − (6 + 4 )}] = −3 ⇒ 4 − [5 + 12 − {20 − 10}] = −3 ⇒ 4 − [5 + 12 − 10] = −3 ⇒ 4 − 7 = −3 ⇒ −3 = −32.5 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON PRODUCTOS INDICADOSEjemplo 36: (x − 2)2 + x( x − 3) = 3(x + 4)(x − 3) − (x + 2)(x − 1) + 2 ⇒ x 2 − 4 x + 4 + x 2 − 3 x = 3 x 2 − 3 x + 4 x − 12  −  x 2 − x + 2 x − 2  + 2         ⇒ 2 x 2 − 7 x + 4 = 3 x 2 + 3 x − 36 − x 2 − x + 2 + 2 ⇒ 2 x 2 − 7 x + 4 = 2 x 2 + 2 x − 32 ⇒ 2 x 2 − 7 x − 2 x 2 − 2 x = −32 − 4 − 36 ⇒ −9 x = −36 ⇒ x = ⇒x=4 −9
  31. 31. 3 1Verificación: ⇒ (4 − 2 )2 + 4(4 − 3) = 3(4 + 4 )(4 − 3) − (4 + 2 )(4 − 1) + 2 ⇒ 4 + 4 = 24 − 18 + 2 ⇒ 8 = 82.6 ECUACIONES NUMÉRICAS FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES MONOMIOS x + 2 5xEjemplo 38: x− = 12 2 12 x − ( x + 2 ) 5 x 12 x − x − 2 5 x 11x − 2 5 x = ⇒ = ⇒ = 12 2 12 2 12 2 2(11x − 2 ) = 12(5 x ) ⇒ 22 x − 4 = 60 x ⇒ 22 x − 60 x = 4 4 2 − 38 x = 4 ⇒ x = ⇒x=− − 38 19Verificación: 2  2 − 2 + 38 10 + 2 5 −  − − =  2 19  2 ⇒ − − 19 ⇒ − − 19 = 19 19 12 2 19 12 2 36 10 − 2 2 36 10 ⇒ − − 19 = 19 ⇒ − − =− 19 12 2 19 19 ⋅ 12 19 ⋅ 2 1 36  1  10  ⇒  − 2 −  =  −  ⇒ −2 − 3 = −5 ⇒ −5 = −5 19  12  19  2 
  32. 32. 3 22.7 ECUACIONES NUMÉRICAS FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES COMPUESTOS 3 2 8Ejemplo 39: = + x − 4 x − 3 x 2 − 7 x + 12 3 2 8 3 2( x − 4 ) + 8 ⇒ = + ⇒ = x − 4 x − 3 ( x − 3)( x − 4 ) x − 4 ( x − 3)( x − 4 ) ⇒ 3( x − 3) = 2( x − 4 ) + 8 ⇒ 3 x − 9 = 2 x − 8 + 8 ⇒ 3x − 2 x = 9 ⇒ x = 9Verificación: 3 2 8 3 2 8 3 1 8 = + ⇒ = + ⇒ = + 9 − 4 9 − 3 9 2 − 7 ⋅ 9 + 12 5 6 81 − 63 + 12 5 3 30 3 1 4 3 5+ 4 3 9 3 3 ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = 5 3 15 5 15 5 15 5 52.8 ECUACIONES LITERALES ENTERAS DE PRIMER GRADOEjemplo 40: a( x + b ) + x(b − a ) = 2b(2a − x ) ⇒ ax + ab + bx − ax = 4ab − 2bx ⇒ ax + bx − ax + 2bx = 4ab − ab 3ab ⇒ 3bx = 3ab ⇒ x = ⇒x=a 3bVerificación: a(a + b ) + a(b − a ) = 2b(2a − a ) ⇒ a 2 + ab + ab − a 2 = 4ab − 2ab ⇒ 2ab = 2ab
  33. 33. 3 32.9 ECUACIONES LITERALES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO x−b x−aEjemplo 41: = 2− a b x − b 2b − ( x − a ) x − b 2b − x + a = ⇒ = ⇒ b( x − b ) = a(2b − x + a ) a b a b ⇒ bx − b 2 = 2ab − ax + a 2 ⇒ bx + ax = 2ab + a 2 + b 2 ⇒ x(a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ⇒ x(a + b ) = (a + b )2 ⇒ x = (a + b )Verificación: (a + b ) − b = 2 − (a + b ) − a ⇒ a + b − b = 2 − a + b − a a b a b a b ⇒ = 2− ⇒1=1 a b RESOLUCIÓN PRÁCTICA #2Ejercicio 2.1: 5 y + 6 y − 81 = 7 y + 102 + 65 y 5 y + 6 y − 7 y − 65 y = 102 + 81 ⇒ 11y − 72 y = 183 183 ⇒ −61y = 183 ⇒ y = ⇒ y = −3 − 61Verificación: 5(− 3) + 6(− 3) − 81 = 7(− 3) + 102 + 65(− 3) − 15 − 18 − 81 = −21 + 102 − 195 ⇒ −114 = −114Ejercicio 2.2: 3 x + [− 5 x − ( x + 3)] = 8 x + (− 5 x − 9 )
  34. 34. 3 4 3 x + [− 5 x − x − 3] = 8 x − 5 x − 9 ⇒ 3 x − 5 x − x − 3 = 8 x − 5 x − 9 −6 ⇒ 3 x − 5 x − x − 8 x + 5 x = −9 + 3 ⇒ −6 x = −6 ⇒ x = ⇒ x =1 −6Verificación: ⇒ 3 ⋅ 1 + [− 5 ⋅ 1 − (1 + 3)] = 8 ⋅ 1 + (− 5 ⋅ 1 − 9 ) ⇒ 3 + [− 5 − 4] = 8 + (− 5 − 9 ) ⇒ 3 − 9 = 8 − 14 ⇒ −6 = −6Ejercicio 2.3: (x − 2)2 − (3 − x )2 = 1  x 2 − 4x + 4 −  9 − 6x + x 2  = 1 ⇒ x 2 − 4x + 4 − 9 + 6x − x 2 = 1         6 ⇒ −4 x + 6 x = 1 − 4 + 9 ⇒ 2 x = 6 ⇒ x = ⇒ x = 3 2Verificación: (3 − 2)2 − (3 − 3)2 = 1 ⇒ 1 = 1 5x − 1 3Ejercicio 2.4: x− = 4x − 3 5 3 x − (5 x − 1) 20 x − 3 3 x − 5 x + 1 20 x − 3 − 2 x + 1 20 x − 3 = ⇒ = ⇒ = 3 5 3 5 3 5 ⇒ 5(− 2 x + 1) = 3(20 x − 3) ⇒ −10 x + 5 = 60 x − 9 − 14 1 − 10 x − 60 x = −9 − 5 ⇒ −70 x = −14 ⇒ x = ⇒x= − 70 5Verificación: 1 5  − 1 1 3 −   1 5 1 4 3 1 1 = 4  − ⇒ − 0 = − ⇒ = 5 3 5 5 5 5 5 5 5
  35. 35. 3 5 10 x 2 − 5 x + 8Ejercicio 2.5: =2 5x 2 + 9 x − 19 10 x 2 − 5 x + 8 = 2 5 x 2 + 9 x − 19  ⇒ 10 x 2 − 5 x + 8 = 10 x 2 + 18 x − 38     − 46 ⇒ −5 x − 18 x = −38 − 8 ⇒ −23 x = −46 ⇒ x = ⇒x=2 − 23Verificación: 10(2 )2 − 5(2 ) + 8 40 − 10 + 8 38 =2⇒ =2⇒ =2⇒2=2 5(2) 2 + 9(2 ) − 19 20 + 18 − 19 19Ejercicio 2.6: ax − a(a + b ) = − x − (1 + ab ) ⇒ ax − a 2 − ab = − x − 1 − ab ⇒ ax + x = −1 + a 2 ⇒ x(a + 1) = a 2 − 1 ⇒ x = (a + 1)(a − 1) ⇒ x = a − 1 (a + 1)Verificación: a(a − 1) − a(a + b ) = −(a − 1) − (1 + ab ) ⇒ a 2 − a − a 2 − ab = −a + 1 − 1 − ab ⇒ −a(1 + b ) = −a(1 + b ) x − 3a 2a − x 1Ejercicio 2.7: − =− a2 ab a b( x − 3a ) − a(2a − x ) 1 bx − 3ab − 2a 2 + ax 1 =− ⇒ =− a 2b a a 2b a ⇒ a bx − 3ab − 2a 2 + ax  = − a 2 b ⇒ abx − 3a 2 b − 2a 3 + a 2 x = −a 2 b    
  36. 36. 3 6 ⇒ abx + a 2 x = − a 2 b + 3a 2 b + 2a 3 ⇒ xa (a + b ) = 2 a 2 b + 2a 3 2 (a + b ) ⇒ x = 2a (a + b ) ⇒ x = 2a 2 ⇒ xa(a + b ) = 2a a (a + b )Verificación:2a − 3a 2a − 2a 1 a 1 1 1 − =− ⇒− =− ⇒− =− a2 ab a a2 a a a EXAMEN PRIMER PARCIALPregunta 1: 16a − 4 − 15a 2 1515a 2 − 16a + 4     = − (15a ) − 16(15a ) + 60 2 15a 2 − 16a + 4  = −  ⇒ −    15 15 ⇒− (15a − 10)(15a − 6) = − 5(3a − 2) ⋅ 3(5a − 2) 15 5⋅3 ⇒ −(3a − 2 )(5a − 2 ) = (2 − 3a )(5a − 2 )Pregunta 2: 2 x 4 + x 3 − 16 x 2 + 3 x + 18 2 1 -16 3 18 -1 -2 1 15 -18 2 -1 -15 18 0 ⇒ ( x + 1) 2 x 3 − x 2 − 15 x + 18     
  37. 37. 3 7 ⇒ ( x + 1)( x + 3) 2 x 2 − 7 x + 6      2 2 x 2 − 7 x + 6    (2 x )2 − 7(2 x ) + 12 (2 x − 4 )(2 x − 3) 2( x − 2 )(2 x − 3)  = = = 2 2 2 2 ⇒ ( x + 1)( x + 3)( x − 2)(2 x − 3) 5 1Pregunta 3: = x2 −1 x −1 5( x − 1) = x 2 − 1 ⇒ 5( x − 1) = ( x + 1)( x − 1) ⇒ 5 = x + 1 ⇒ x = 5 −1 ⇒ x = 4Verificación: 5 1 5 1 5 1 1 1 ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = 4 2 − 1 4 − 1 16 − 1 3 15 3 3 3Pregunta 4: ( x + a )(x − b ) − (x + b )( x − 2a ) = b(a − 2) + 3a x 2 + ax − bx − ab − x 2 + 2ax − bx + 2ab = ab − 2b + 3a ⇒ 3ax − 2bx = −2b + 3a ⇒ x(3a − 2b ) = 3a − 2b 3a − 2b ⇒x= ⇒ x =1 3a − 2b
  38. 38. 3 8Verificación: (1 + a )(1 − b ) − (1 + b )(1 − 2a ) = b(a − 2) + 3a 1 − b + a − ab − 1 + 2a − b + 2ab = ab − 2b + 3a ab − 2b + 3a = ab − 2b + 3a
  39. 39. 3 9TEMA 3 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS3.1 SISTEMA DE ECUACIONESEs la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Lasolución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de lasincógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema.3.2 RESOLUCIÓNPara resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de lasdos ecuaciones dadas una sola ecuación con una incógnita. Estaoperación se llama eliminación.3.3 ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN 7x − 4 y = 5 (1)Ejemplo 42: 9 x + 8 y = 13 (2)Despejando de (1) x. 5 + 4y x= (3) 7Despejando de (2) x. 13 − 8 y x= (4) 9Igualando segundos miembros de las ecuaciones (3) y (4). 5 + 4 y 13 − 8 y ⇒ = ⇒ 9(5 + 4 y ) = 7(13 − 8 y ) ⇒ 45 + 36 y = 91 − 56 y 7 9 46 1 ⇒ 36 y + 56 y = 91 − 45 ⇒ 92 y = 46 ⇒ y = ⇒y= 92 2Reemplazando y en (3).
  40. 40. 0 4 1 5 + 4  ⇒x= 2 = 5+ 2 = 7 ⇒ x =1 7 7 7Verificación en (1). 1 7(1) − 4  = 5 ⇒ 7 − 2 = 5 ⇒ 5 = 5 2Verificación en (2). 1 9(1) + 8  = 13 ⇒ 9 + 4 = 13 ⇒ 13 = 13 23.4 ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN x − 5y = 8 (1)Ejemplo 43: − 7 x + 8 y = 25 (2)Despejando de (1) x. x = 8 + 5y (3)Reemplazando (3) en (2). − 7(8 + 5 y ) + 8 y = 25 ⇒ −56 − 35 y + 8 y = 25 ⇒ −35 y + 8 y = 25 + 56 81 ⇒ −27 y = 81 ⇒ y = ⇒ y = −3 − 27Reemplazando y en (3). x = 8 + 5(− 3) ⇒ x = 8 − 15 ⇒ x = −7Verificación en (1). − 7 − 5(− 3) = 8 ⇒ −7 + 15 = 8 ⇒ 8 = 8
  41. 41. 1 4Verificación en (2). − 7(− 7 ) + 8(− 3) = 25 ⇒ 49 − 24 = 25 ⇒ 25 = 253.5 MÉTODO DE REDUCCIÓN 3x − 4 y = 41 (1)Ejemplo 44: 11x + 6 y = 47 (2)Multiplicando la ecuación (1) por 3, y la ecuación (2) por 2. 9 x − 12 y = 123 3 x − 4 y = 41 ( x 3) 22 x + 12 y = 94 ⇒ 11x + 6 y = 47 (x2) 31x 0 = 217 217 ⇒x= ⇒x=7 31Reemplazando x en (1). 20 3(7 ) − 4 y = 11 ⇒ −4 y = 41 − 21 ⇒ y = ⇒ y = −5 −4Verificación en (1). 3(7 ) − 4(− 5) = 41 ⇒ 21 + 20 = 41 ⇒ 41 = 41Verificación en (2). 11(7 ) + 6(− 5) = 47 ⇒ 77 − 30 = 47 ⇒ 47 = 473.6 MÉTODO DE LAS DETERMINANTESSea el sistema: a x+b y = c 1 1 1 (1) a x+b y = c 2 2 2 (2)
  42. 42. 2 4Resolviendo por el método de eliminación por igualación:Despejando de (1) x. c −b y x= 1 1 (3) a 1Despejando de (2) x. c −b y x= 2 2 (4) a 2Igualando segundos miembros de las ecuaciones (3) y (4). c −b y c −b y ⇒ 1 1 = 2 a a 2 1 1 ( 1 2 2 ) ( 2 ⇒ a c −b y = a c −b y ) 1 2 ⇒ a c −a b y = a c −a b y ⇒ a b y−a b y = a c −a c 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 a c −a c ( 1 2 2 1 ) ⇒ y a b −a b =a c −a c ⇒ y = 1 2 1 2 2 1 2 1 a b −a b 1 2 2 1Reemplazando y en (4). 2 1 2 1 2 2 1 ( a c −a c  c a b −a b −b a c −a c c −b  1 2 2 1 2 ) ( 2 1 ) 2 2 a b −a b  a b −a b ⇒x=  1 2 2 1 = 1 2 2 1 a a 2 2 ( ) ( c a b −a b −b a c −a c ) a c b −a c b −a c b +a c b ( ) ( ) = 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 = 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 a a b −a b a a b −a b 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 ( a c b −c b ) c b −c b ⇒x= 2 1 2 ( ) 2 1 ⇒x= 1 2 2 1 a a b −a b a b −a b 2 1 2 2 1 1 2 2 1
  43. 43. 3 4Generalizando: c b a c 1 1 1 1 c b c b −c b a c a c −a c x= 2 2 = 1 2 2 1 ⇒ y= 2 2 = 1 2 2 1 a b a b −a b a b a b −a b 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 a b a b 2 2 2 2 3 x − 4 y = 13 (1)Ejemplo 45: 8 x − 5 y = −5 (2) 13 −4 x= −5 −5 = (− 65) − (20) = − 65 − 20 = − 85 = −5 ⇒ x = −5 3 −4 (− 15) − (− 32) − 15 + 32 17 8 −5 3 13 8 − 5 (− 15) − (104 ) − 15 − 104 − 119 x= = = = = −7 ⇒ y = −7 3 − 4 (− 15) − (− 32) − 15 + 32 17 8 −5Verificación en (1). 3(− 5) − 4(− 7 ) = 13 ⇒ −15 + 28 = 13 ⇒ 13 = 13Verificación en (2). 8(− 5) − 5(− 7 ) = −5 ⇒ −40 + 35 = −5 ⇒ −5 = −5 RESOLUCIÓN PRÁCTICA #3 3x + 5 y = 7 (1)Ejercicio 3.1 2 x − y = −4 (2)Despejando de (1) x.
  44. 44. 4 4 7 − 5y x= (3) 3Despejando de (2) x. y−4 x= (4) 2Igualando segundos miembros de las ecuaciones (3) y (4). 7 − 5y y − 4 ⇒ = ⇒ 2(7 − 5 y ) = 3( y − 4 ) ⇒ 14 − 10 y = 3 y − 12 3 2 − 26 ⇒ −10 y − 3 y = −12 − 14 ⇒ −13 y = −26 ⇒ y = ⇒ y=2 − 13Reemplazando y en (3). 7 − 5(2 ) 7 − 10 − 3 ⇒x= = = ⇒ x = −1 3 3 3Verificación en (1). 3(− 1) + 5(2 ) = 7 ⇒ −3 + 10 = 7 ⇒ 7 = 7Verificación en (2). 2(− 1) − 2 = −4 ⇒ −2 − 2 = −4 ⇒ −4 = −4 4 y + 3x = 8 (1)Ejercicio 3.2: 8 x − 9 y = −77 (2)Ordenando: 3x + 4 y = 8 (1) 8 x − 9 y = −77 (2)Despejando de (1) x. 8 − 4y x= (3) 3
  45. 45. 4 5Reemplazando (3) en (2). 8 − 4y   64 − 32 y  64 − 32 y − 27 y 8  − 9 y = −77 ⇒   − 9 y = −77 ⇒ = −77  3   3  3 ⇒ 64 − 32 y − 27 y = 3(− 77 ) ⇒ −32 y − 27 y = −231 − 64 − 295 ⇒ −59 y = −295 ⇒ y = ⇒ y=5 − 59Reemplazando y en (3). 8 − 4(5) 8 − 20 − 12 x= ⇒x= ⇒x= ⇒ x = −4 3 3 3Verificación en (1). 4(5) + 3(− 4 ) = 8 ⇒ 20 − 12 = 8 ⇒ 8 = 8Verificación en (2). 8(− 4 ) − 9(5) = −77 ⇒ −32 − 45 = −77 ⇒ −77 = −77 7 x − 15 y = 1 (1)Ejercicio 3.3: − x − 6y = 8 (2)Multiplicando la ecuación (1) por 1, y la ecuación (2) por 7. 7 x − 15 y = 1 7 x − 15 y = 1 ( x1) − 7 x − 42 y = 56 ⇒ − x − 6y = 8 (x7 ) 0 − 57 y = 57 57 ⇒y= ⇒ y = −1 − 57Reemplazando y en (1). 1 − 15 − 14 7 x − 15(− 1) = 1 ⇒ 7 x + 15 = 1 ⇒ x = ⇒x= ⇒ x = −2 7 7
  46. 46. 6 4Verificación en (1). 7(− 2 ) − 15(− 1) = 1 ⇒ −14 + 15 = 1 ⇒ 1 = 1Verificación en (2). − (− 2 ) − 6(− 1) = 8 ⇒ 2 + 6 = 8 ⇒ 8 = 8 10 x + 18 y = −11 (1)Ejercicio 3.4: 16 x − 9 y = −5 (2) − 11 18 x= −5 −9 = (99) − (− 90) = 99 + 90 = 189 = 1 ⇒ x = − 1 10 18 (− 90) − (288) − 90 − 288 − 378 − 2 2 16 −9 10 − 11 16 − 5 (− 50 ) − (− 176 ) − 50 + 176 126 1 1 y= = = = = ⇒ y=− 10 18 (− 90) − (288) − 90 − 288 − 378 − 3 3 16 − 9Verificación en (1).  1  1 10 −  + 18 −  = −11 ⇒ −5 − 6 = −11 ⇒ −11 = −11  2  3Verificación en (2).  1   1 16 −  − 9 −  = −5 ⇒ −8 + 3 = −5 ⇒ −5 = −5  2  3
  47. 47. 4 7TEMA 4 POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y EXPONENCIACIÓN4.1 POTENCIAEs la misma expresión o el resultado de tomarlos como factor dos omás veces. La primera potencia de una expresión es la misma. Así: (2a )1 = 2aLa segunda potencia o cuadrado de una expresión es el resultado detomarlo como factor dos veces. Así: (2a )2 = 2a ⋅ 2a = 4a 2El cubo de una expresión es el resultado de tomarlo como factortres veces. Así: (2a )3 = 2a ⋅ 2a ⋅ 2a = 8a 3En general: (2a )n = 2a ⋅ 2a ⋅ 2a........................n veces4.1.1 Binomio de NEWTONEn estos desarrollos se cumplen las siguientes leyes: a) Cada desarrollo tiene un término más que el exponente. b) El exponente de a en el primer término de desarrollo es igual al exponente del binomio, y en cada término posterior al primero, disminuye 1. c) El exponente b en el segundo término del desarrollo es 1, y en cada término posterior a este, aumenta 1. d) El coeficiente del primer término del desarrollo es 1 y el coeficiente del segundo es igual al exponente de a en el primer término del desarrollo. e) El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de a en dicho término anterior y dividiendo este producto por el exponente de b en ese mismo término aumentado en 1. f) El último término del desarrollo es b elevado al exponente del binomio.
  48. 48. 8 4 (a + b )n = a n + n a n − 1b + n(n − 1) a n − 2b 2 + n(n − 1)(n − 2) a n − 3b 3 + 1! 2! 3! n(n − 1)(n − 2 )(n − 3) n − 4 4 + a b + ............ + b n 4! (a − b )n = a n − n a n − 1b + n(n − 1) a n − 2b 2 − n(n − 1)(n − 2) a n − 3b 3 + 1! 2! 3! n(n − 1)(n − 2 )(n − 3) n − 4 4 + a b + ............ +  − b n    4!  Ejemplo 46: (x − 2 )4(x − 2)4 = x 4 − 4  x 4 − 1 (2) + 4(4 − 1)  x 4 − 2  2 2  − 4(4 − 1)(4 − 2)  x 4 − 3  23          1  1⋅ 2    1⋅ 2 ⋅ 3    4(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)  4 − 4  4 + x  2  1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4    (x − 2)4 = x 4 − 8x 3 + 24 x 2 − 32 x + 16 6Ejemplo 47:  x 3 + 1     6 6 6 −1 6(6 − 1)  3  6 − 2 2 6(6 − 1)(6 − 2 )  3  6 − 3 3 x 3 + 1 =  x 3  + 6  x 3     ⋅1 + x  ⋅1 + x  ⋅1 +      1  1⋅ 2   1⋅ 2 ⋅ 3   6(6 − 1)(6 − 2 )(6 − 3)  3  6 − 4 4 6(6 − 1)(6 − 2 )(6 − 3)(6 − 4 )  3  6 − 5 5+ x  ⋅1 + x  ⋅1 + 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4   1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5   6(6 − 1)(6 − 2 )(6 − 3)(6 − 4)(6 − 5)  3  6 − 6 6+ x  ⋅1 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6   6  x 3 + 1 = x18 + 6 x15 + 15 x12 + 20 x 9 + 15 x 6 + 6 x 3 + 1    
  49. 49. 9 44.1.2 TRIÁNGULO DE PASCAL 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 6Ejemplo 48:  x2 + y3      6 6 6 −1 1 6−2 2 6−3 3 x 2 + y 3  =  x 2  + 6 x 2       ⋅  y 3  + 15 x 2      ⋅  y 3  + 20 x 2      ⋅ y3  +                  6−4 4 6−5 5 6+ 15 x 2    ⋅  y 3  + 6 x 2      ⋅ y3  +  y3                6  x 2 + y 3  = x12 + 6 x10 y 3 + 15 x 8 y 6 + 20 x 6 y 9 + 15 x 4 y12 + 6 x 2 y15 + y18     7Ejemplo 49: 3 − y7      7 1 2 3  3 − y 7  = (3)7 − 7(3)7 − 1 ⋅  y 7  + 21(3)7 − 2 ⋅  y 7  − 35(3)7 − 3 ⋅  y 7  +                 4 5 6 7 + 35(3)7 − 4 ⋅  y 7  − 21(3)7 − 5 ⋅  y 7  + 7(3)7 − 6  y 7  −  y 7                  7 3 − y 7  = 2187 − 5103 y 7 + 5103 y14 − 2835 y 21 + 945 y 28 − 189 y 35 + 21 y 42 − y 49  4.2 RADICACIÓNLa raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraicaque elevado a una potencia reproduce la expresión dada.
  50. 50. 0 5 Así: 2a es raíz cuadrada de 4a 2 porque (2a )2 = 4a 24.2.1 RAIZ CUADRADA DE POLINOMIOSEJEMPLO 50: x 4 + 6x 2 − 4x3 − 4x + 1 x 4 − 4 x3 + 6 x 2 − 4 x + 1 x 2 − 2x + 1 − x4 0 − 4 x3 + 6 x2 (2 x 2 ) − 2 x (− 2 x ) = − 4 x 3 + 4 x 2 4 x3 − 4 x2 (2 x 2 ) − 4 x + 1 (1 ) = 2 x 2 − 4 x + 1 0 2x − 4x + 1 2 − 2x 2 + 4x −1 0 a 4 30 9EJEMPLO 51: − − 5a 2 + 28 + 4 a2 a4Ordenando: a4 30 9 a2 3 − 5 a 2 + 28 − 2 + 4 −5+ 2 4 a a 2 a a4 −  a2  4  2  ( )  = a 2 − 5 (− 5) = −5a 2 + 25 0 − 5a 2 + 28  2  5a 2 − 25  a2   3  3  0 30 9 2 − 5 =  a2 − 10 + 2  2    3− + 4 2   a  a  a2 a 30 9 30 −3+ 2 − 4 9 = 3− 2 + 4 a a a a 0
  51. 51. 1 5EJEMPLO 52: 9 − 6 x 3 + 2 x 9 − 5 x 6 + x12Ordenando: x 12 + 2 x 9 − 5 x 6 − 6 x 3 + 9 x6 + x3 − 3 − x 12 0 2x9 − 5x6 ( ) ( )( ) 2 x6 = 2x6 + x3 x3 = 2x9 + x6 − 2x9 − x6 2(x + x ) = (2x + 2x − 3)(− 3) 6 3 6 3 0 − 6x6 − 6x3 + 9 = −6x 6 − 6x 3 + 9 6x6 + 6x3 − 9 0 1 6 5 4 2 3 32 8EJEMPLO 53: x + x + x − x5 − x 2 + x + 4 4 3 3 9 3Ordenando: 1 6 5 2 32 2 8 1 3 2 x − x5 + x4 + x3 − x + x+4 x − x2 + x + 2 4 3 3 9 3 2 3 1 6− x 4 1  ( )( ) 2 x 3  = x 3 − x 2 − x 2 = − x 5 + x 4 5 2  0 − x5 + x4 3 1   2  2  x − x4 5 2 x3 − x 2  =  x3 − 2x 2 + x  x  2   3  3  2 4 2 3 32 2 0 x + x − x 2 4 4 3 3 9 = x 4 − x3 + x 2 3 3 9 2 4 4 − x 4 + x3 − x 2 1 2   4  2 x 3 − x 2 + x  =  x 3 − 2x 2 + x + 2(2) 3 3 9 8 2 3   3  0 2x3 − 4x2 + x + 4 3 8 = 2x 3 − 4 x 2 + x + 4 8 3 − 2x3 + 4x2 − x − 4 3 0
  52. 52. 2 54.3 EXPONENCIACIÓN a) EXPONENTE CERO a2 = a2 ⋅ a− 2 = a0 = 1 a2 b) EXPONENTE FRACCIONARIO 1 2 3 2 a = a2 o a = a3 c) EXPONENTE NEGATIVO. a− n = 1 anEjemplo 54: Hallar el valor numérico de: 1 1 − 3x 2 + x 2 y − 3 + x 0 y 3 para x = 4, y =1 1 3 x2 3 x2 3 3 42 3 3 = + + y3 = + + y= + + 1 = + 16 + 1 1 y3 x y3 4 13 2 x2 3 3 + 34 37 1 = + 17 = = = 18 2 2 2 2Ejemplo 55: Hallar el valor numérico de: 2 1 x0 x− 2 + x3 − y5 + + y0 para x = 8, y = 32 3 y0 y− 1 1 3 2 5 y 1 32 = + x − y + 2 + 1 = + 3 8 2 − 5 32 + 2 + 1 3 x 3 8 1 3 3 3 5 5 25 1 1 = + 2 ⋅ 2 − 2 + 6 +1 = + 4 − 2 + +1 3 2 3 2 1 1 2 + 18 + 3 23 5 = +3+ = = =3 3 2 6 6 6
  53. 53. 3 54.3.1 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS CON EXPONENTES NEGATIVOS O FRACCIONARIOSEJEMPLO 56: Multiplicar: 2 2 2 4 − − − a 3 − 2 + 2a 3 por 3 + a 3 − 4a 3 2 2 − a − 2 + 2a 3 3 2 4 − − 3+a 3 − 4a 3 2 2 − 3a − 6 + 6 a 3 3 2 4 − − 1 − 2a 3 + 2a 3 2 4 − − − 4a 3 + 8a 3 − 8a − 2 2 4 2 4 − − −2 3a − 5 3 0 + 10 a 3 − 8a ⇒ 3a − 5 + 10 a 3 3 − 8a − 24.3.2 DIVISIÓN DE POLINOMIOS CON EXPONENTES NEGATIVOS Y FRACCIONARIOSEJEMPLO 57: Dividir: 2 4 2 4 − − − 3m 3 − 5 + 10m 3 − 8m − 2 entre 3 + m 3 − 4m 3

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