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Diseñadores en proyección. (taller 4)
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Taller 3

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Taller ultimo corte

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Taller 3

  1. 1. MATEMATICAS DISCRETAS TALLER No 3 PATRICIA OLMOS CAROLINA ACOSTA MARYLUZ OSPINA OMAR URAZAN ROLANDO CUENCA JONATHAN CASTRO UNIVERSIDAD ECCI BOGOTA
  2. 2. 1. Convierta a binario, octal y hexadecimal los siguientes números en decimal: a.) 854310 b.) 1856.2310 c.) 3816.2510 •854310 Binario
  3. 3. Octal Hexadecimal
  4. 4. • 1856.2310 Binario Octal
  5. 5. Hexadecimal • 3816.2510 Binario
  6. 6. Octal Hexadecimal
  7. 7. 2. Convierta a decimal los siguientes números en su base indicada: a.)72568 b.) 1E5C.EE16 c.) 11110000.1112 a. b. c.
  8. 8. 3. Calcule la adición y la sustracción por complemento de la base, de los siguientes pares de números. a. (72568, 62768) Adición Resta 72568 − 62768 = 7608 72568 + 62768 = 155548
  9. 9. b. 1𝐹𝐸5𝐶16, 𝐴𝐹𝐹5𝐶16 1𝐹𝐸5𝐶16 + 𝐴𝐹𝐹5𝐶16) = 𝐶𝐹𝐷𝐵816 Adición Resta 𝐴𝐹𝐹5𝐶16 − 1𝐹𝐸5𝐶16 = 9010016
  10. 10. c. 11111000112, 11110000102 Adición 11111000112 + 11110000102 = 111101001012 Resta 11111000112 − 11110000102 = 1000012
  11. 11. 4. Calcule el mcd(245,105), mcd(440,225), mcd(1234,56); mediante la aplicación de los algoritmos de: a. Descomposición en Factores Primos • m.c.d (245,105) = 7*5 = 35 • m.c.d (440,225) = 5
  12. 12. • m.c.d (1234,56) = 2 b. Diferencias • m.c.d (245,105) = 35
  13. 13. • m.c.d (440,225) = 5
  14. 14. • m.c.d (1234,56) = 2
  15. 15. c. Modulo Euclides • m.c.d (245,105) = 35 245 mod 105 = 35 105 mod 35 = 0 • m.c.d (440,225) = 5 440 mod 225 = 215 225 mod 215 = 10 215 mod 10 = 5 10 mod 5 = 0 • m.c.d (1234,56) = 2 1234 mod 56 = 2 56 mod 2 = 0
  16. 16. a. 14852 mod 314 = 94 b. 58 𝑚𝑜𝑑 200 = 9 c. 1015 𝑚𝑜𝑑 61 = 50 d. 14150 𝑚𝑜𝑑 532 = 140 5. Calcular: 6. Utilice el método de exponenciación rápida (útil en técnicas de intercambio de clave y firma digital), para calcular los valores de: a. 2332 mod 51 = 1 3210 → 1000002
  17. 17. b. 100125 mod 201 = 73 12510 → 11111012 c. 125512 mod 2500 = 625 51210 → 10000000002
  18. 18. 7. Calcular: a. Ø(17) = 16 ∅ 17 = 17 − 1 = 16 a. Ø(77) = 60 ∅ 17 = 𝑝 − 1 𝑞 − 1 → 𝑝 ∗ 𝑞 = 17 ∅ 17 = 11 − 1 7 − 1 = 10 ∗ 6 = 60 a. Ø(200) = 80 ∅ 200 = 𝑃 𝑅−1 𝑅 − 1 ∗ 𝑞 ∗ 𝑟 ∅ 200 = 202−1 2 − 1 5 − 1 = 20 1 4 = 80
  19. 19. 8. Elabore un breve resumen sobre el artículo denominado: “BASES MATEMÁTICAS DESARROLLADAS EN EL AULA DE CLASE PARA LA SEGURIDAD DE LOS DATOS EN REDES”, publicado en la revista universitaria ED N° 2 de 2014, página 59. En el artículo leído se puede verificar la importancia que tiene las matemáticas en todos los campos tanto en nuestra carrera nuestra vida cotidiana y todo en su alrededor tiene que ver con matemáticas, cuando son enfocadas a las redes en la cual habla en la criptografía en la cual es la ciencia que ocupa los procesos que alteran la representación del mensaje eso quiere decir damos un ejemplo. Cuando la información viaja mediante un correo o las redes sociales u otras formas que conocemos en el proceso del envió la información va encriptado en el camino teniendo en cuenta que es por mantener la información segura en al cual obliga a utilizar modelos matemáticos internamente de los protocolos establecidos en la internet o el mundo como modelo osi, tc/ip entre otros que conocemos, ya hablando de la historia que se plantea en el artículo vemos que se estableció una metodología conocida como escitala que es basado en el propósito de cifrar y descifrar, entre otros métodos nombrados, fueron la importancia del hoy ya que poco a poco fue creciendo el conocimiento para mejorar cada vez el uso y la metodologías.
  20. 20. los lenguajes de programación tiene mucho que ver con los temas hablados ya que trabajamos en la creación y combinación de códigos para llegar a un fin es decir nosotros realizamos los códigos para mostrar una interfaz gráfica en el cual el usuario interactúa pero se tiene en cuenta que cuando el ingresa algún dato o información esta es encriptado , internamente tanto sea en una base de datos o como prueba en el mismo código para si dar un ejemplo más sencillo, en general todo el articulo plasmado habla sobre el cifrado y descifrado ya que es muy importante por todos los beneficios que nos trae las matemáticas, la programación, y nuestros antepasados , la cual estudia las propiedades de la criptografía.
  21. 21. 9. Utilice la expresión de aproximación RSA (n + 15) mod28, para cifrar las siguientes palabras: Aplique ahora la expresión (n-15) mod28 para descifrar estos mensajes. Cifrado a. Encriptar el mundo
  22. 22. Descifrado
  23. 23. 10. Sean p=17, q=23, n=31. Aplique el método RSA de encriptado para realizar los siguientes cálculos: z, Ø, s; cifre 101, 200; descifre 300, 250. 𝑧 = 𝑝 ∗ 𝑞 → 𝑧 = 17 ∗ 23 → 𝑧 = 391∅ = 𝑝 − 1 𝑞 − 1 → ∅ = 17 − 1 23 − 1 = 16 22 → ∅ = 352𝑠 = 863 → 𝑛 ∗ 𝑠 𝑚𝑜𝑑 ∅ = 126753 𝑚𝑜𝑑 352 = 1 𝑧, 𝑛 → 391,31 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑝𝑢𝑏𝑙𝑖𝑐𝑜 a. Para cifrar 101 𝐶 = 10131 𝑚𝑜𝑑 391 = 186 101 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 186
  24. 24. b. Para cifrar 200 𝐶 = 20031 𝑚𝑜𝑑 391 = 123 200 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 123 c. Para descifrar 300 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝐶 𝑆 → 300863 𝑚𝑜𝑑 391 = 116 300 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 116 d. Para descifrar 250 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝐶 𝑆 → 250863 𝑚𝑜𝑑 391 = 10 250 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 1
  25. 25. 11. Encontrar una fórmula que sea recurrente, de tal manera que sirva para digitalizar las siguientes funciones: a.) Sen2X, b.) CosX, c.) e3x con la aproximación de cinco derivadas e implemente la codificación respectiva en Matlab. 𝑆𝑒𝑛2𝑥𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 → 𝑓 0 = 0 𝑓′ 𝑥 = 2 cos 𝑥 → 𝑓 0 = 2 𝑓′′ 𝑥 = −4𝑠𝑒𝑛 2𝑥 → 𝑓 0 = 0 𝑓′′′ 𝑥 = −8𝑐𝑜𝑠 2𝑥 → 𝑓 0 = −8 𝑓′𝑣 𝑥 = 16𝑠𝑒𝑛 2𝑥 → 𝑓 0 = 0 𝑓 𝑣 𝑥 = 32𝑐𝑜𝑠 2𝑥 → 𝑓 0 = 32 𝑓 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑓′ 0 𝑥 1! + 𝑓′′ 0 𝑥2 2! + 𝑓′′′ 0 𝑥3 3! + 𝑓′𝑣 0 𝑥4 4! + 𝑓 𝑣 0 𝑥5 5! 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 0 + 2 1! 𝑥 + 0 + −8 3! 𝑥3 + 0 + 32 5! 𝑥5 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 𝑛=1 ∝ −1) 𝑛+1 22𝑛−1 𝑥2𝑛−1 2𝑛 − 1 ! a. Función Matlab: function se = sen(r) x=r*pi/180; tmp=0; for n=1:1:10 A(n,:)=((-1)^(n+1)*(2^(2*n- 1))*(x^(2*n-1))/factorial(2*n-1)); tmp=tmp+A(n,:); end se=tmp; end
  26. 26. cos 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓 0 = 1 𝑓′ 𝑥 = −sen 𝑥 → 𝑓 0 = 0 𝑓′′ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓 0 = −1 𝑓′′′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑓 0 = 0 𝑓′𝑣 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓 0 = 1 𝑓 𝑣 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑓 0 = 0 𝑓 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑓′ 0 𝑥 1! + 𝑓′′ 0 𝑥2 2! + 𝑓′′′ 0 𝑥3 3! + 𝑓′𝑣 0 𝑥4 4! + 𝑓 𝑣 0 𝑥5 5! 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 + 0 + −1 2! 𝑥2 + 0 + 1 4! 𝑥4 + 0 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 + −1 2! 𝑥2 + 1 4! 𝑥4 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 + 𝑛=1 ∝ −1) 𝑛 𝑥2𝑛 2𝑛! b. Función Matlab: function co = cos(r) x=r*pi/180; tmp=1; for n=1:1:15 tmp=tmp+((- 1)^(n)*(x^(2*n))/factorial(2 *n)); end co=tmp; end
  27. 27. 𝑒3𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑒3𝑥 → 𝑓 0 = 1 𝑓′ 𝑥 = 3𝑒3𝑥 → 𝑓 0 = 3 𝑓′′ 𝑥 = 32 𝑒3𝑥 → 𝑓 0 = 32 𝑓′′′ 𝑥 = 33 𝑒3𝑥 → 𝑓 0 = 33 𝑓′𝑣 𝑥 = 34 𝑒3𝑥 → 𝑓 0 = 34 𝑓 𝑣 𝑥 = 35 𝑒3𝑥 → 𝑓 0 = 35 𝑓 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑓′ 0 𝑥 1! + 𝑓′′ 0 𝑥2 2! + 𝑓′′′ 0 𝑥3 3! + 𝑓′𝑣 0 𝑥4 4! + 𝑓 𝑣 0 𝑥5 5! 𝑒3𝑥 = 1 + 3 1! 𝑥 + 32 2! 𝑥2 + 33 3! 𝑥3 + 34 4! 𝑥4 + 35 5! 𝑥5 𝑒3𝑥 = 1 + 𝑛=1 ∝ 3) 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛! c. Función Matlab: function e3 = exp(x) tmp=1; for n=1:1:15 tmp=tmp+((3)^(n)*(x^(n))/ factorial(n)); end e3=tmp; end
  28. 28. 12. Calcule las combinaciones y permutaciones indicadas: a. b. c.
  29. 29. 13. Utilice la combinatoria para hacer la expansión de los siguientes binomios: a.) (x – 3)6; b.) (x + 5)8; c.) (2 + y) 10. a. (x – 3)6 x6-6(x5 .3)+15(x4.32)-20(x3.33)+15(x2.34)-6(x.35)+ 36 x6-18x5+135x4-540x3+1215x2-1458x+729 b. (x + 5)8 x8 +8(x7.5)+28(x6.52 )+6(x5.53)+70(x4.54)+56(x3.55)+28(x2.56)+8(x.57)+58 x8+40x7+700x6+750x5+43750x4+175000x3+437500x2+625000x+390625 c. (2 + y) 10 210+10(29.y)+45(28.y2)+120(27.y3)+210(26.y4)+252(25.y5)+210(24.y6)+120(23.y7)+45(22.y8)+10(2.y9)+y10 1024+5120y+11520y2+15360y3+13440y4+8064y5+3360y6+960y7+180y8+20y9+y10
  30. 30. 14. Una clase se compone de 12 niños y 10 niñas. Hallar el número de posibilidades que tiene un profesor de elegir un comité de: a.) de 6. b.) 4 niños y 3 niñas. c.) 4 niños o 4niñas. d.) Al menos una niña. c. d. b. a.
  31. 31. 15. Cuántas palabras o cifras se pueden expresar con los elementos de los siguientes conjuntos: a.) {C,A,M,I,S.A} b.) {2,4,6,8} c.) {m,u,r,c,i,e,l,a,g,o} a. b. c.
  32. 32. 16. Se tira un par de dados. Sea X el menor de los dos números que salen. Determinar el espacio muestral, el rango RX, la distribución de probabilidad y la esperanza de X.
  33. 33. 17. Un jugador tira tres monedas. Gana $500 si salen tres caras, $300 si salen dos caras y $100 si sale una. Por otra parte, pierde $1000 si salen tres sellos. Hallar el valor del juego para el jugador.
  34. 34. 18. Se ordenan cartas numeradas del 1 al 5, se escogen dos cartas al azar (sin reemplazamiento). Sea X la suma de los números que salen. a) Hallar la distribución de X. b) Hallar E(X). c) La varianza y la desviación típica. a.
  35. 35. b.
  36. 36. 20. Considere la distribución conjunta de X e Y que se muestra en la siguiente tabla. Con los datos consignados allí, determine: E(X), E(Y), cov(X,Y), σX, σY y ρ(X,Y).

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