Javier García Molleja Métodos Numéricos1VELOCIDAD DE DESCENSO DE UN PARACAÍDASDEFINICIÓN DEL PROBLEMACuando un objeto se m...
Javier García Molleja Métodos Numéricos2Existen otros métodos de integraciones numéricas más exactas, pero de uso máscompl...
Javier García Molleja Métodos Numéricos3argumento de la exponencial, al ser tan elevado, podría desbordarse por abajo y no...
Javier García Molleja Métodos Numéricos4BISECCIÓN DE BOLZANOPROGRAMA BolzanoSIN CRITERIO IMPLÍCITOREAL*8:: a, b, c, delta,...
Javier García Molleja Métodos Numéricos5t = 300.0v = 30.0res = (g*m/c)*(1-(1/EXP(c*t/m)))-vFIN FUNCIÓN fFIN PROGRAMA Bolza...
Javier García Molleja Métodos Numéricos6FUNCIÓN df(c) RESULTADO (res2)REAL*8::c, res, m, g, tm = 50.0g = 9.81t = 300.0res2...
Javier García Molleja Métodos Numéricos7Método de Newton-RaphsonValor inicial Coef. De arrastre Tolerancia Iteración Error...
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Velocidad de descenso de un paracaídas

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Report about FORTRAN90 calculation based in the speed of fall of a parachute. Mathematical resolution and implementantion of several methods. Numerical Methods subject at Universidad de Córdoba (Spain) in 2004.

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Velocidad de descenso de un paracaídas

  1. 1. Javier García Molleja Métodos Numéricos1VELOCIDAD DE DESCENSO DE UN PARACAÍDASDEFINICIÓN DEL PROBLEMACuando un objeto se mueve a través de un fluido, tal como el aire o el agua, el fluidoejerce una fuerza de resistencia o fuerza de arrastre que tiende a reducir la velocidad delobjeto. Esta fuerza depende de la forma del objeto, de las propiedades del fluido y de lavelocidad del objeto respecto al fluido. A diferencia de la fuerza de rozamiento, la fuerza dearrastre crece con la velocidad del objeto, Para pequeñas velocidades es aproximadamenteproporcional a la velocidad del objeto; para velocidades superiores es casi proporcional alcuadrado de la velocidad.Consideremos un objeto que cae libremente desde el reposo bajo la influencia de lagravedad supuesta constante. Ahora agreguemos una fuerza de arrastre de magnitud cvn, endonde c es una constante que depende de la forma del objeto y de las propiedades del aire y elexponente n es aproximadamente igual a 1 a bajas velocidades y aproximadamente 2 paraaltas velocidades. Así tenemos una fuerza hacia abajo constante, mg, y una fuerza hacia arribacvn. Si tomamos positiva la dirección hacia abajo, resulta según la segunda ley de NewtonΣ Fy = mg – cvn= maymg – cvn= m(dvy/dt)g – cvn/m = dvy/dtdt = dvy/(g – cvn/m)∫dt =∫dvy(g – cvn/m)t = -m/c Ln (1 – vnc/gm)vn= gm/c (1 – e-ct/m)Para t = 0, cuando se deja caer el objeto, la velocidad es nula, de modo que la fuerzade arrastre es cero y la aceleración g es hacia abajo. Cuando la velocidad del objeto crece, lafuerza de arrastre se incrementa y la aceleración es menor que g. Eventualmente, la velocidadse hace suficientemente grande para que la fuerza de arrastre cvnsea igual a la fuerza degravedad mg, de modo que la aceleración se hace cero. El objeto continúa entoncesmoviéndose a la velocidad constante vl, llamada velocidad límite. Haciendo a = 0 resulta de laecuación dinámicacvln= mgY por tanto, resulta para la velocidad límitevl = (mg/c)1/nCuanto mayor sea la constante c, menor es la velocidad límite.MÉTODO DE RESOLUCIÓNSi una partícula se mueve bajo la influencia de una fuerza constante, su aceleración esconstante y podemos determinar su velocidad y posición a partir de las fórmulascorrespondientes a la cinemática. Sin embargo, consideremos una partícula que se mueva através del espacio en donde la fuerza que actúa sobre ella, y por tanto, su aceleración,depende de su posición y velocidad. La velocidad y la aceleración de la partícula en un instantedeterminan su posición y velocidad en el instante siguiente y estas magnitudes determinan suaceleración en ese instante. La posición, velocidad y aceleración de un objeto cambiancontinuamente con el tiempo. Podemos hacer una aproximación reemplazando las variacionescontinuas del tiempo por pequeños intervalos de tiempo de duración ∆t. La aproximación mássimple es suponer constante la aceleración durante cada intervalo. Esta aproximación sedenomina método de Euler. Si el intervalo de tiempo es suficientemente pequeño, el cambio deaceleración durante el intervalo será pequeño y podrá despreciarse.Sean x0, v0, a0 los valores conocidos de la posición, velocidad y aceleración de unapartícula en un tiempo inicial t0. Si suponemos que la aceleración es constante durante ∆t, lavelocidad en el instante t1 = t0 + ∆t viene dada porv1 = v0 + a∆tDe modo semejante, si despreciamos el cambio de velocidad durante el intervalo detiempo, la nueva posición viene dada porx1 = x0 + v0∆t
  2. 2. Javier García Molleja Métodos Numéricos2Existen otros métodos de integraciones numéricas más exactas, pero de uso máscomplejo. Por ejemplo, la exactitud aumenta si a y v se reemplazan por los valores en el puntomedio del intervalo, en lugar de usar los correspondientes al comienzo del intervalo.Los nuevos valores v1, y x1 se utilizan ahora para calcular la nueva aceleración a1 apartir de la segunda ley de Newton y después utilizar a1 para el siguiente intervalo y calcular asív2 y x2:v2 = v1 + a1∆tx2 = x1 + v1∆tEn general, la conexión entre la posición y la velocidad en el tiempo tn y en el tiempot n+1 = tn + ∆t viene dada porV n+1 = vn + an∆tX n+1 = xn + vn∆tPara determinar la velocidad y posición en cierto momento t, dividiremos el intervalo detiempo t – t0 en un gran número de intervalos más pequeños ∆t y aplicaremos las ecuacionesde recurrencia comenzando por el tiempo inicial t0. Esto supone un gran número de cálculossimples y repetitivos que se realizan fácilmente mediante un ordenador. La técnica de dividir enintervalo de tiempo en pequeñas etapas y calcular la aceleración, la velocidad y la posición encada etapa utilizando los datos de la anterior, se denomina integración numérica.Para ilustrar el uso de los métodos numéricos, consideremos un problema en el cual unparacaidista de apertura manual se lanza desde el reposo a cierta altura bajo la influencia de lagravedad y una fuerza de arrastre que es proporcional al cuadrado de la velocidad v y a ladistancia x recorrida en función del tiempo.La ecuación que describe el movimiento de un cuerpo de masa m que se deja caerdesde el reposo es la segunda ley de Newton con n = 1Σ Fy = mg – cv1= mayLa aceleración es, por tanto,a = g – (c/m) vEs conveniente escribir la constante b/m en función de la velocidad límite vl. Haciendoa = 0 en esta última ecuación obtenemos0 = g – (b/m) vlb/m = g/vlSustituyendo b/m por g/vl en la ecuación de aceleración resultaa = g (1 – v/vl)En el caso de que realicemos la integración para conocer la expresión de la velocidadsin conocer la aceleración, tendremos el siguiente resultado:v = gm/c (1 – e-ct/m)Para resolverla numéricamente, necesitamos valores numéricos para g y vl, m, t. Ennuestro caso queremos determinar el coeficiente de arrastre, por lo iniciaremos por fijar unvalor de c0 y variarlo en cada iteración. Para que el tratamiento sea análogo a los métodosnuméricos estudiados será necesario dar origen a un programa que calcule un intervalo de diezunidades en el que podría estar la solución. Para ello, calcularemos los valorescorrespondientes a los extremos del intervalo y veremos si cambian de signo, de ser así es elmomento de aplicar el siguiente programa: el método de la bisección, por el que encontraremosun valor bastante aproximado a la solución verdadera. Si no es el intervalo adecuado elprograma deberá pasar inmediatamente al siguiente y así de manera sucesiva, dando valorescontiguos a la variable que representa el coeficiente de arrastre.Una vez obtenida la solución aproximada es obligado aplicar el método de Newton,encontrando una solución aún más próxima debido a su rápida convergencia. Los criterios deparada que se utilizarán serán los habituales (en el caso de número de iteraciones) o losindicados por la sesión (en el caso de la tolerancia).Es de suponer que el problema está bien condicionado, ya que la función de la quepartimos es una ley física bastante contrastada. También podemos admitir la existencia yunicidad de la solución, puesto que ha sido encontrada por el primer programa diseñado.También sería muy importante estar prevenidos por los posibles errores de redondeo (ya quelos de truncamiento son inherentes a la ley y además son bastante despreciables): el
  3. 3. Javier García Molleja Métodos Numéricos3argumento de la exponencial, al ser tan elevado, podría desbordarse por abajo y no dar lasolución correcta. Si estos errores son encontrados deberíamos encontrar otros procesos quelos eliminasen (como utilizar la doble precisión para manejar números reales).En esta ecuación hemos omitido las unidades, así que supondremos que estamosutilizando el Sistema Internacional. Entonces, la unidad de v es el metro por segundo, la de g elmetro por segundo al cuadrado, la de m el kilogramo, la de t el segundo y la de c el kilogramopor segundo. Si elegimos los datos de la sesión, lo que en realidad haremos será dividir elintervalo principal en una gran cantidad de intervalos más pequeños. Utilizando los programasde cálculo en el ordenador podremos tener una idea intuitiva de la solución, tan exacta comonos permita la tolerancia.La exactitud de estos cálculos puede variar según la tolerancia permitida, si ésta esmuy alta se alejará del valor teórico exacto en un porcentaje, que será inaceptable si se superael 10%. Estas son nuestras estimaciones sobre la exactitud de los cálculos originales.Como la diferencia de la c calculada con la verdadera disminuye conforme baja latolerancia, parece lógico que sería mejor utilizar intervalos muy pequeños. Sin embargo, haydos razones para no usar tolerancias muy pequeñas. En primer lugar, cuanta más pequeña esla tolerancia, mayor es el número de cálculos requeridos y mayor el tiempo empleado por elordenador. En segundo lugar, el ordenador mantiene sólo un número de dígitos en cada etapadel programa, de tal modo que en cada etapa hay un error de redondeo. Estos errores deredondeo se suman y por tanto, crecen con el número de cálculos. Al principio, cuandodisminuíamos la tolerancia, la exactitud se mejoraba porque c se aproximaba cada vez más alvalor c verdadero del intervalo. Sin embargo, si seguimos disminuyendo la tolerancia, loserrores de redondeo se acumulan y la exactitud del cálculo disminuye. Una buena reglapráctica es no utilizar más de unos 104ó 105decimales en la integración numérica típica.SEUDOCÓDIGOSINTERVALO DE SOLUCIÓNPROGRAMA IntervaloSIN CRITERIO IMPLÍCITOREAL*8::w, cc = 1w = f(c)*f(c+10)HACER MIENTRAS (w>0)c = c +1w = f(c)*f(c+10)FIN HACERIMPRIMIR*,”La solución está entre”, c,”y”, c+10CONTIENEFUNCIÓN f(c) RESULTADO (res)REAL*8::c, res, m, g, t, vm = 50.0g = 9.81t = 300.0v = 30.0res = (g*m/c)*(1-(1/EXP(c*t/m)))-vFIN FUNCIÓN fFIN PROGRAMA Intervalo
  4. 4. Javier García Molleja Métodos Numéricos4BISECCIÓN DE BOLZANOPROGRAMA BolzanoSIN CRITERIO IMPLÍCITOREAL*8:: a, b, c, delta, epsilon, u, v, w, eENTERO:: m, kLLAMAR Datosu = f(a)v = f(b)e = b-aIMPRIMIR*,”Los extremos son”, a,”y”, b, &“de valores”, u,”y”, v,”respectivamente.”SI ((u*v) <0) ENTONCESPARA k = 1, me = e/2c = a+ew = f(c)SI ((ABS (w) <epsilon).O. (e < delta)) ENTONCESIMPRIMIR*,”La raíz es”, c,”encontrada en la”, &“iteración”, k,”en el intervalo”, e,”con valor”, wPARARSI NOSI ((w*u) <0) ENTONCESb = cv = wSI NOa = cu = wFIN SIFIN SIFIN PARAIMPRIMIR*,”El método falló en la iteración”, mFIN SICONTIENESUBRUTINA DatosIMPRIMIR*,”Puntos extremos”LEER*, a, bIMPRIMIR*,”Tolerancia de amplitud de intervalo.”LEER*, deltaIMPRIMIR*,”Tolerancia para valor de función.”LEER*, epsilonIMPRIMIR*,”Número de iteraciones.”LEER*, mFIN SUBRUTINA DatosFUNCIÓN f(c) RESULTADO (res)REAL*8::c, res, m, g, t, vm = 50.0g = 9.81
  5. 5. Javier García Molleja Métodos Numéricos5t = 300.0v = 30.0res = (g*m/c)*(1-(1/EXP(c*t/m)))-vFIN FUNCIÓN fFIN PROGRAMA BolzanoNEWTON-RAPHSONPROGRAMA Newton_RaphsonSIN CRITERIO IMPLÍCITOREAL*8::x0, x1, epsilon, num, den, errorENTERO::k, mLLAMAR DatosPARA k =1, mnum = f(x0)den = df(x0)x1 = x0 – (num/den)error = ABS ((x1-x0)/x0)SI (error < epsilon) ENTONCESIMPRIMIR*,”La solución es”, x1,”situada en el intervalo”, error, &“encontrada en la iteración”, kPARARSI NOx0 = x1FIN SIFIN PARAIMPRIMIR*,”El método falló después de”, m,”iteraciones.”CONTIENESUBRUTINA DatosIMPRIMIR*,”Aproximación inicial”LEER*, x0IMPRIMIR*,”Tolerancia.”LEER*, epsilonIMPRIMIR*,”Número máximo de iteraciones”LEER*, mFIN SUBRUTINA DatosFUNCIÓN f(c) RESULTADO (res)REAL*8::c, res, m, g, t, vm = 50.0g = 9.81t = 300.0v = 30.0res = (g*m/c)*(1-(1/EXP(c*t/m)))-vFIN FUNCIÓN f
  6. 6. Javier García Molleja Métodos Numéricos6FUNCIÓN df(c) RESULTADO (res2)REAL*8::c, res, m, g, tm = 50.0g = 9.81t = 300.0res2 = (g/c)*(-(m/c) + ((m/c) + t)*(1/EXP(c*t/m)))FIN FUNCIÓN dfFIN PROGRAMA Newton_RaphsonPROGRAMACIÓNLos programas utilizados para la consecución de la sesión se adjuntarán al final en unacopia en soporte magnético para compilarlos con el lenguaje FORTRAN90 para verificar losresultados obtenidos.JUEGO DE DATOSLos datos que se utilizan en esta práctica son los propuestos y con ellos se calcularáde manera detallada el valor del coeficiente de arrastre:⊗ Velocidad: v = 30 m/s⊗ Aceleración de la gravedad: g = 9.81 m/s2⊗ Masa: m = 50 kg⊗ Tiempo: t = 300 s⊗ Tolerancias: 0.01⊗ Número de iteraciones máximo: 100⊗ Valores extremales: los calculados con el primer programa.⊗ Valor arbitrario: el obtenido con el método de la bisección.RESULTADOSAl ejecutar el programa que determinaba el intervalo en donde se encuentra la soluciónse ha recibido el siguiente mensaje: La solución estará entre 7 y 17.En el momento de utilizar el programa de la dicotomía e introducir los valores pedidosllegamos a leer el mensaje del programa ejecutable: Los valores extremales son 7 y 17, quedan un valor de 40.0714315686907, -1.14705758936265, respectivamente, con una toleranciade 10-2. La raíz es 16.345703125 conseguida en la iteración 10, situada en el intervalo9.765625 10-3con un valor 7.887530432249434 10-3.Para refinar la solución obtenida por el anterior método utilizamos el método deNewton-Raphson, en el que al ejecutar el programa podemos ver: La raíz el16.3500006993611 con error 6.908937245445475 10-8, encontrado en la iteración 2.A continuación discutiremos de manera experimental si las ecuaciones estaban biencondicionadas, para ello daremos una lista de datos y tolerancias para ver si las solucionesobtenidas son parecidas entre sí.Intervalo de soluciónExtremo inicial Extremo final7 17Bisección de BolzanoCoef. De arrastre Tolerancia Iteración Error16.3499755859375 1E-4 14 6.103515625E-416.3500006943941 1E-8 27 7.450580596293828E-8
  7. 7. Javier García Molleja Métodos Numéricos7Método de Newton-RaphsonValor inicial Coef. De arrastre Tolerancia Iteración Error16.3499755859375 16.3500006993226 1E-4 1 1.5359891493641E-616.3500006993612 1E-8 2 2.359132156632576E-1216.3500006943941 16.3500006993612 1E-4 1 3.037959017878663E-316.3500006993612 1E-8 1 3.037959017878663E-10DISCUSIÓN DE RESULTADOSLa sesión en la que hemos trabajado ha resultado ser grata en el sentido del uso demétodos numéricos sencillos y fáciles de manejar, pero con unos criterios de convergencia yórdenes muy exigentes, por lo que la posibilidad de error es mínima. Además, el manejo de laecuación de caída libre nos ha permitido tener un conocimiento más exacto sobre el uso de laprecisión a la hora de declarar variables, que en los cálculos en los que entraran, tendrían laposibilidad de desborde hacia abajo. Todo esto nos ayuda en el caso de una comprensión máseficaz sobre el método en el que estemos trabajando. También se nos da la posibilidad dediseñar nuestro propio programa para encontrar el intervalo donde se encuentra la solución,cosa útil para poner en práctica la capacidad de síntesis del programador.El tema utilizado es de gran relevancia, ya que el uso de paracaídas es bastanteutilizado en la industria aeronáutica, ya como dispositivo de salvamento, ya como parte de unproyecto espacial, por lo que la relevancia y el rigor de la Física es requerido.A la hora de trabajar con el primer programa es necesario tener en cuenta que elextremo del intervalo más alejado del origen llega a un orden de -43, por lo que se requiere unmanejo bastante importante de la precisión. Sin embargo, este valor es tan pequeño queapenas afecta a la solución.En el segundo programa tenemos el inconveniente de su lenta convergencia y laposible acumulación de errores de redondeo. Este aspecto queda anulado si lo consideramoscomo una primera aproximación en nuestros cálculos. También la magnitud del intervalo no esmuy acertada, ya que por lógica la solución estará entre el extremo más alejado y elinmediatamente anterior (ya calculado).Para utilizar el último método se utiliza la solución del anterior. Aquí se ha utilizado unatolerancia de 0.000001, ya que se consiguen mejores resultados sin muchas iteraciones coneste valor. Si la tolerancia es el doble de baja se obtiene una solución muy parecida, que sólodifiere de ésta en la última cifra decimal y el intervalo de error es casi la mitad de éste. Portanto, parece más conveniente utilizar esta tolerancia que la definida en la sesión.BIBLIOGRAFÍAP. A. Tipler: “Física para la ciencia y la tecnología, volumen 1”; editorial Reverté (Barcelona, 6ªedición).Cruz Soto J. L. y Ventura Soto S.: “Programación científica”; licenciatura en Física (Universidadde Córdoba, 2003).

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