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Materia Doctoral II: Introducción a la Física del Plasma

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Introduction to Plasma Physics at Universidad Nacional de Rosario (Argentina)

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  • Buen dia, mi nombre es Victor Ingeniero de profesión , me ha impactado su tema de investigación y me gustaría bastante poder preguntarle acerca del área que usted investiga ya que en lo personal es muy impactante como tema y necesario, mis conocimientos sobre el tema que usted comparte es muy pobre, podría permitirme su correo ya que tengo inquietud de explorar esa área y me gustaría que me diera algun consejo para empezar gracias
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Materia Doctoral II: Introducción a la Física del Plasma

  1. 1. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA DEL PLASMA Javier García Molleja DoctoradoÍndiceI Descripción de la asignatura 7II Resumen de la asignatura 101. La teoría cinética de gases 11 1.1. Medida del alto vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Funciones de distribución de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1. Funciones de distribución de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2. Funciones de distribución de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Colisiones entre partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1. Colisiones elásticas binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2. Colisiones inelásticas binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3. Interacciones heterogéneas en la superficie . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.4. Regímenes colisionales del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Características cinéticas en el modelo de esferas duras . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1. Parámetros colisionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Flujo de partículas sobre una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.3. Flujo de potencia sobre una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. Fenómenos de transporte directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.1. Transporte difusivo de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.2. Transporte de momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.3. Transporte de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.4. Transporte de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1
  2. 2. 2. Movimiento de cargas en campos eléctricos y magnéticos 17 2.1. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos . . . . . . . . . . . 17 2.1.1. El electrón-voltio como unidad de energía . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2. Generador de Van de Graff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos . . . . . . . . . . 18 2.2.1. Dinámica magnética de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.2. Trayectoria de partículas en campos magnéticos . . . . . . . . . . . 18 2.2.3. Separación electromagnética de isótopos . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos esta- cionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.1. Dinámica de partículas de campos cruzados . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.2. Velocidad de deriva en campos cruzados . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.3. Calentamiento magnetoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.4. El flujímetro electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.5. Espectrógrafo de masas de Bainbridge . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos lenta- mente variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.1. Calentamiento resonante por radio frecuencia . . . . . . . . . . . . 22 2.4.2. Espejos y boquillas magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.3. Confinamiento magnético de plasmas industriales . . . . . . . . . . 23 2.5. Movimiento relativista de partículas cargadas . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.1. Transformaciones de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.2. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.3. Cinemática en relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.4. Transformación de Lorentz de campos eléctrico y magnético . . . . 26 2.5.5. Dinámica en relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.6. Energía de una partícula en relatividad especial . . . . . . . . . . . 26 2.6. Teoría de diodos planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6.1. Características del diodo planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6.2. Operación en el límite de vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6.3. Flujo de corriente limitada por la distribución espacial de carga . . 27 2.6.4. Diodos planares limitados por la distribución espacial de carga . . . 27 2.7. Diodo planar relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7.1. Características del diodo relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7.2. Flujo de corriente limitado por la distribución espacial de carga . . 28 2.7.3. Ley de Child relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.8. Teoría de diodos cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.8.1. Características del diodo cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.8.2. Operación en el límite del vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.8.3. Flujo de corriente cilíndrica limitada por la distribución espacial de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2
  3. 3. 2.8.4. Operación de diodos cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293. Características del plasma 29 3.1. Propiedades másicas del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1. Resistividad y conductividad eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.2. Movilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.3. Calentamiento óhmico de plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.4. Frecuencia de transferencia de energía . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.5. Ley de Ohm y fuerzas volumétricas en plasmas magnetizados . . . . 31 3.2. Cuasi-neutralidad del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3. Ecuación electrostática de Boltzmann (barométrica) . . . . . . . . . . . . . 32 3.4. Vainas electrostáticas simples del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5. Frecuencia del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.6. La ecuación de Saha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7. Transporte difusivo en plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7.1. Ley de Fick de la difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7.2. Tiempo de confinamiento de plasmas dominados por difusión . . . . 35 3.7.3. Coeficiente de difusión en un plasma no magnetizado . . . . . . . . 36 3.7.4. Difusión clásica en un plasma magnetizado . . . . . . . . . . . . . . 36 3.7.5. Movilidad en un plasma magnetizado . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.7.6. Relación de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.7.7. Coeficiente de difusión de Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.7.8. Difusión ambipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.8. Frecuencia electrónica de colisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.8.1. Clasificación de gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.8.2. Datos tabulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.9. Descarga eléctrica a baja presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.9.1. Geometría clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.9.2. Característica tensión-corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.10. Fuentes de potencia para plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.10.1. Regímenes de frecuencia de fuentes de potencia . . . . . . . . . . . 39 3.10.2. Disponibilidad de fuentes de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.10.3. Tecnología de la fuente de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.10.4. Coste relativo de la entrada de potencia . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.10.5. Imposiciones operacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394. Descargas electrónicas oscuras en gases 39 4.1. Ionización de fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2. Régimen de saturación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3. Descarga Townsend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3.1. Crecimiento de la corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3
  4. 4. 4.3.2. Primer coeficiente de ionización de Townsend . . . . . . . . . . . . 41 4.3.3. Medición de α y E . . . . . . . . . . . . . . . p p . . . . . . . . . . . . 41 4.3.4. Punto de Stoletow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4. Descargas corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4.1. Fenomenología de la corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4.2. Aplicaciones de la corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4.3. Efectos detrimentales de la corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.5. Fuentes de coronas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.5.1. Corona de un punto abrupto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.5.2. Corona de un cable o borde fino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5.3. Configuraciones generadoras de coronas . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5.4. Apantallamiento de la corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.5.5. Características eléctricas de las coronas . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.6. Ruptura eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.6.1. Corriente en la descarga de Townsend . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.6.2. Segundo coeficiente de ionización de Townsend . . . . . . . . . . . . 47 4.6.3. Criterio de Townsend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.6.4. Potencial mínimo de ruptura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.6.5. La curva de Paschen universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.6.6. Ruptura a altas presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495. Descargas eléctricas glow DC en gases 49 5.1. Fenomenología de las descargas glow DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.1.1. Descarga glow normal a baja presión . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.1.2. Regiones de la descarga glow normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.1.3. Descargas estriadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.1.4. Descargas glow anormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.1.5. Descargas obstruidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2. Teoría de las descargas glow DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2.1. Teoría de Townsend de la región catódica . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2.2. Plasmas lorentzianos no magnetizados . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2.3. Plasmas lorentzianos magnetizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.3. Condición de Schottky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.3.1. Te de la conservación de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.3.2. ne de la conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.3.3. Distribución de potencia en descargas glow DC . . . . . . . . . . . 56 5.3.4. Relaciones de similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.4. Teoría de las estrías móviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.4.1. Características de la descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.4.2. Ecuaciones de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.4.3. Relación de dispersión para estrías móviles . . . . . . . . . . . . . . 57 4
  5. 5. 5.5. Teoría de las vainas de plasma DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.5.1. Aproximación de vaina a baja tensión DC . . . . . . . . . . . . . . 58 5.5.2. Modelo de Bohm de la vaina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.5.3. Vainas de alta tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.5.4. Vainas «matriz» transitorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.5.5. Vainas de ley de Child . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.6. Fuentes de plasma de descarga glow DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.6.1. Fuentes de descarga glow cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.6.2. Fuentes de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.6.3. Fuentes de haz plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.6.4. Fuentes de plasma de bombardeo electrónico . . . . . . . . . . . . . 62 5.6.5. Fuentes de plasma de descarga Penning . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.6.6. Fuentes de plasma de magnetrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.7. Características de los reactores de descarga glow . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.7.1. Comparativa de características de operación . . . . . . . . . . . . . 63 5.7.2. Variables de control para descargas glow . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.7.3. Ejemplos de descargas glow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.8. Cuestiones en la física de descarga glow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646. Descargas eléctricas de arco DC en gases 64 6.1. Régimen de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.1.1. Características tensión-corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.1.2. Rangos de los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2. Fenomenología de los arcos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2.1. Nomenclatura clásica del arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2.2. Nomenclatura moderna del arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.3. Procesos físicos en arcos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.3.1. Fuerzas volumétricas sobre arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.3.2. Formación del chorro del electrodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.3.3. Radiación de arcos térmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.3.4. Modelado de arcos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.4. Ejemplos de operación de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.4.1. Arco no térmico de H. Ayrton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.4.2. Campo eléctrico axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.4.3. Arco térmico de Eberhart y Seban . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.5. Fuentes de potencia para arcos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.5.1. Fuentes de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.5.2. Estabilización eléctrica de arcos no térmicos . . . . . . . . . . . . . 70 6.6. Mecanismos de iniciación para arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.7. Configuraciones aplicadas de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.7.1. Arcos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5
  6. 6. 6.7.2. Arcos de expansión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.7.3. Arcos rotatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.8. Cuestiones en física de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6
  7. 7. Parte IDescripción de la asignatura El libro de referencia que se utilizó en el dictado de la asignatura fue: Roth J.R.:Industrial Plasma Engineering. Volume 1: Principles; Ed. IOP Publishing (1995). La asignatura trata de manera teórica todos los fundamentos de la física del plasma:teoría cinética de los gases; movimiento de cargas en campos eléctricos y magnéticos;características macroscópicas del plasma; haces y fuentes de electrones, de iones y defotones; regímenes de las descargas eléctricas DC en gases (oscura, glow y arco); descargaseléctricas RF en gases (inductivas y capacitivas), y descargas de microondas. También sedescriben las diferentes configuraciones de los reactores de plasma. Las fuentes de electrones estudiadas son: Emisión termoiónica Emisión fotoeléctrica Emisión de campo De cátodo hueco Emisión secundaria de electronesLas fuentes de iones son: Kaufman Descarga Penning Haz plasma Von Ardenne Freeman Rayo canal Pulsadas de chispa Emisión de campo Ionización superficialLas fuentes de fotones son:Javier García Molleja 7
  8. 8. Ciclotrón Betatrón Sincrotrón Pinzamiento esférico inductivo y resistivo Plasma focusFuentes de descargas corona: Punto abrupto Cable o borde finoFuentes de descargas glow: Descarga cilíndrica Placas paralelas Haz plasma Bombardeo electrónico Descarga Penning MagnetrónFuentes de descarga arco: Lineales De expansión RotatoriosFuentes RF inductivas: Antorcha Placas paralelas Rotamak ToroidalesFuentes RF capacitivas:8 Javier García Molleja
  9. 9. De barril Hexagonal Plano paralelo Magnetrón Electrodos extremales Cilíndrico Celda de referencia GECFuentes de microondas: Resonancia ciclotrónica de electrones (inmerso, distribuido) No resonantes (flujo continuo, antorcha, distribuido y no resonante)Javier García Molleja 9
  10. 10. Parte IIResumen de la asignatura En esta parte se expondrá detalladamente el trabajo de exposición que se llevó a cabopara aprobar la materia. Los apartados de los que constó el contenido de la asignaturaserán enunciados de la manera más elaborada posible, dentro de la concepción de que serealizó un resumen de la asignatura, no una exposición completa y detallada.10 Javier García Molleja
  11. 11. 1 LA TEORÍA CINÉTICA DE GASES1. La teoría cinética de gases Para comprender los procesos físicos que se dan en el plasma debe estudiarse de maneramicroscópica, o sea, a nivel de partículas individuales. La rama física que permite estadescripción es la teoría cinética, que mediante la mecánica estadística se refleja en losprocesos macroscópicos.1.1. Medida del alto vacío La medida a bajas presiones se realiza con el torr, mientras que los estudios de altaspresiones utilizan como unidad la atmósfera. La unidad del SI (sistema internacional) esel pascal de dimensiones de N/m2 . La relación entre estas unidades es: 760 Torr ≡ 1 atm≡ 101325 Pa. Normalmente, lo que interesa es la densidad numérica del gas de fondo másque el valor de la presión. El cambio de una magnitud a otra es sencillo, si aplicamos laley de los gases ideales: p = nkB T.1.2. Funciones de distribución de partículas Las partículas de un plasma no tienen la misma velocidad, ya que al interactuar entresí adoptan una distribución de Maxwell–Boltzmann.1.2.1. Funciones de distribución de velocidades En coordenadas cartesianas se puede determinar la función de distribución de v = 2 2 2 vx + vy + vz 3 4n m 2 mv − 2k T 2 f (v) = √ v2e B π 2kB TSi el volumen es constante el área encerrada bajo la curva es constante, aunque su formacambie al variar la temperatura. Veamos el valor de los tres primeros momentos ∞ Densidad numérica del gas: f (v) dv = n 0 ∞ 1 8kB T Velocidad térmica media: v = ¯ vf (v) dv = n 0 πm ∞ 1 3kB T Raíz de la velocidad cuadrática media: vrms = v 2 f (v) dv = n 0 m 2kB TOtra velocidad útil es la más probable: vm = m . Estas velocidades son válidas si ladistribución es maxwelliana.Javier García Molleja 11
  12. 12. 1 LA TEORÍA CINÉTICA DE GASESFigura 1: Esquema de la función de distribución de velocidades de Maxwell–Boltzmanncon la velocidad más probable vm , la velocidad térmica media v y el segundo momento, ¯la raíz de la velocidad cuadrática media vrms indicadas esquemáticamente en la funciónde distribución.1.2.2. Funciones de distribución de la energía 1 Si definimos la energía cinética como w ≡ 2 mv 2 , su distribución será también deMaxwell–Boltzmann: √ 2n w − k wT f (w) = √ 3 e B π (kB T ) 2 kB TLa energía más probable es wm = 2 y la energía media será ∞ 1 3 w= ¯ wf (w) dw = kB T n 0 2Si la distribución no es maxwelliana se puede definir una temperatura efectiva, que es laque tendría una distribución maxwelliana con igual w que aquélla. Para que la distribución ¯sea de Maxwell–Boltzmann el gas debe estar en equilibrio: el termodinámico tiene flujosde energía insignificantes, el trayecto del fotón es menor que las dimensiones del gas yla radiación es la de un cuerpo negro; el cinético se alcanza cuando las colisiones hacenque el gas sea maxwelliano. Debido a las altas temperaturas se escoge como unidad elelectrón-voltio: 1 eV=11604 K.12 Javier García Molleja
  13. 13. 1 LA TEORÍA CINÉTICA DE GASESFigura 2: Esquema de la función de distribución de energías de Maxwell–Boltzmann. Laenergía más probable, en el máximo, es wm = kB T /2 y la energía media es w = 3kB T /2. ¯El área bajo la curva es igual a la densidad numérica de partículas.1.3. Colisiones entre partículas Las colisiones que hacen al gas maxwelliano pueden ser binarias o de muchos cuerpos.1.3.1. Colisiones elásticas binarias Sólo interaccionan dos partículas. Si es elástica la energía cinética total se conservadurante el proceso. En primera aproximación el proceso se considera de esferas duras enlas que siempre interviene, como mínimo, una partícula neutra. La sección eficaz σ sedefine el área de la sección transversal del blanco efectiva, con radio la suma de los radiosde cada partícula. Las colisiones de Coulomb se dan cuando interaccionan dos partículas cargadas, dondela fuerza electrostática puede ser repulsiva o atractiva. Normalmente, interaccionan entresí varias cargas a la vez.1.3.2. Colisiones inelásticas binarias La energía cinética total se reduce al ocurrir el proceso. Esto puede ocurrir por laexcitación de un neutro o ión; por la disociación de una molécula; por la colisión ionizantede un electrón con un neutro o ión; por la colisión de intercambio de carga entre ión yneutro, o por la recombinación de un electrón y un ión frente a un tercer cuerpo.Javier García Molleja 13
  14. 14. 1 LA TEORÍA CINÉTICA DE GASES1.3.3. Interacciones heterogéneas en la superficie Ocurren entre diferentes estados de la materia. Casi siempre es el bombardeo departículas sobre una pared, en la que pueden arrancarse electrones o neutros. Tambiénpuede producirse recombinación o catálisis. Si aumenta el número de partículas en lasuperficie se pueden inducir reacciones químicas o la deposición de películas delgadas.1.3.4. Regímenes colisionales del plasma El modelo de Lorentz supone que las únicas interacciones son electrón-neutro, dondeel gas de fondo absorbe la energía y el momento. Los iones permanecen en reposo. Elmodelo de Krook parte de lo anterior y además indica que el tiempo efectivo de colisiónes independiente al momento y energía de la partícula. El modelo de Boltzmann–Vlasovdescribe un plasma de alta temperatura en donde los trayectos antes de la colisión sonmayores que las dimensiones del sistema. El modelo de Fokker–Planck analiza que lavelocidad de la partícula en plasmas muy ionizados y turbulentos depende de muchascolisiones débiles.1.4. Características cinéticas en el modelo de esferas duras1.4.1. Parámetros colisionales Si tenemos un gas de partículas inmóviles en donde una partícula de prueba avanza,interaccionará con éstas cuando los centros de cada tipo están a una distancia inferior a lade la suma de los radios de las partículas. De esta manera se irá formando un cilindro conun eje que realizará un movimiento browniano cada vez que exista una colisión. Si hayuna densidad n1 de partículas del gas y una densidad n2 de partículas de prueba y ambasse mueven se puede definir el camino libre medio, que es la distancia promedio recorridaentre colisiones: v ¯ λ= n1 σv 1 ∞con σv = n −∞ σ(v)vf (v) dv14 Javier García Molleja
  15. 15. 1 LA TEORÍA CINÉTICA DE GASESFigura 3: Una partícula de esfera dura de prueba del tipo 2 interactuando elásticamentecon las partículas de esfera dura del fondo del tipo 1. La partícula de prueba colisionarácon todos los átomos de fondo del tipo 1 que yacen en un cilindro de radio 2a en latrayectoria de la partícula de prueba. El área de la sección eficaz del cilindro es σ duranteel proceso.1.4.2. Flujo de partículas sobre una superficie Se puede determinar el número de partículas de una corteza hemisférica y cierto in-tervalo de velocidad que colisionan con una pared. Esto dependerá de la componente dela velocidad que apunta a la pared 1 1 8kB T Γ = n¯ = n v 4 4 πm1.4.3. Flujo de potencia sobre una superficie Como las partículas poseen cierta energía calentarán la superficie, luego mediante wy Γ conoceremos la potencia entregada 3 ¯ mn 2kB T 2 P = 2kB T Γ = √ 2 π m 3La energía media es 2kB T y no 2 kB T. Esto se debe a que las partículas más energéticasgolpean a la superficie con mayor frecuencia.1.5. Fenómenos de transporte directo1.5.1. Transporte difusivo de partículas El transporte de partículas se produce por la existencia de un gradiente de densidadnumérica, yendo de mayor a menor concentración. Si λ es mucho menor que la longitudJavier García Molleja 15
  16. 16. 1 LA TEORÍA CINÉTICA DE GASESde escala de densidad característica se verificará la ley de Fick : Γ = nvd = −D n, conD el coeficiente de difusión, independiente de la posición 1 1 1 D ≈ νc λ2 = v λ = v 2 τ ¯ ¯ 3 3 3Esto originará un transporte de partículas de tipo fickiano, que no será válido para plasmasturbulentos.Figura 4: La difusión fickiana hace disminuir el gradiente de la densidad. Arriba: perfil dedensidad; abajo: esquema del flujo de partículas.1.5.2. Transporte de momento El momento cambia por un gradiente de densidad, que da origen a una fuerza denom-inada viscosidad, cuyo coeficiente se calcula mediante η = 1 m¯ . 3 σ v16 Javier García Molleja
  17. 17. 2 MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS1.5.3. Transporte de energía Aparece con un gradiente de temperatura, creando una conducción de calor de laszonas de alta temperatura a las de menor. Esto depende de la conductividad térmica:κ = 3Nv vσ . C ¯ A1.5.4. Transporte de carga Se produce al existir un gradiente de potencial electrostático, creando así una corrienteeléctrica.2. Movimiento de cargas en campos eléctricos y mag- néticos Los plasmas responden fuertemente a los campos impuestos, por lo que es interesanteinvestigar las interacciones entre partículas.2.1. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos Entre dos electrodos se impone una diferencia de potencial, creando un campo eléctricoque se dirige del ánodo al cátodo: E = − V, luego la partícula se ve sometida a una fuerza 1F = q E. La energía total de movimiento será una magnitud conservada W = 2 mv 2 + qV.2.1.1. El electrón-voltio como unidad de energía La unidad de energía, el julio, es demasiado grande para describir partículas individ-uales así que se introduce el electrón-voltio, la energía para que acelere un electrón en unpotencial de un voltio 1 eV = 1,602 · 10−19 J. La energía cinética en eV es igual en valora la tensión requerida para acelerar la partícula desde el reposo. Es necesario considerarel estado de la carga de la partícula.2.1.2. Generador de Van de Graff Este aparato produce altos potenciales muy estables. Una corteza esférica hueca esel terminal de alta tensión, situado encima de una columna aislante. Dentro de ella dospoleas mueven una correa en la que se deposita carga que acaba en la corteza esférica,aumentando el potencial. Esto puede servir como acelerador de partículas si se le añadeun tubo al terminal. La aceleración de los iones será causada por la gran diferencia depotencial.Javier García Molleja 17
  18. 18. 2 MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS2.2. Movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos El campo magnético se origina al fluir una corriente a través de un conductor. Seestudia con la inducción magnética B. La dirección de B apunta al polo sur y sale delnorte.2.2.1. Dinámica magnética de partículas Una carga sometida a B posee la ecuación de movimiento F = q(v × B). No seproduce ningún cambio en la energía cinética de la carga al ser perpendiculares entre síF , v y B, sólo cambia la dirección de movimiento. El equilibrio entre la fuerza centrífugay magnética nos dará el radio de giro R = mv , por lo que la trayectoria será circular, con qBuna girofrecuencia ω = qB . m2.2.2. Trayectoria de partículas en campos magnéticos Si la carga está sometida a un B que apunta hacia fuera se moverá circularmente. Sies positiva girará al igual que un reloj y si es negativa en contra del reloj. Si actúa ungradiente hacia arriba la carga se desplazará hacia un lado (dependiendo de su signo), yaque el radio de giro es menor cuando B aumenta.Figura 5: La convención de signos para el movimiento de cargas positivas y negativas enuna inducción magnética que apunta hacia fuera del plano del diagrama. A la derecha semuestra el movimiento de las cargas positivas y negativas en un gradiente magnético.2.2.3. Separación electromagnética de isótopos También es llamado Calutrón. Una fuente produce iones que serán acelerados por unadiferencia de potencial. Llegarán a una ranura con igual energía cinética (con diferente my v para cada isótopo) tras la cual se impone un B que les hará girar. Tras medio ciclollegarán a un detector que debido a la diferencia de masas entre isótopos colisionarán enpuntos diferentes por su radio de giro distinto. La distancia entre los puntos de llegada18 Javier García Molleja
  19. 19. 2 MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOSserá 2 2m1 VA m2 ∆m 2VA d= −1 ≈ B0 e m1 B0 em1aproximación válida si m2 = m1 + ∆m.Figura 6: Dibujo esquemático del separador electromagnético de isótopos Calutrón. Losiones son acelerados a una energía de VA electrón-voltios y se les permite realizar la mitadde una órbita en una cámara evacuada en la cual la inducción magnética posee un valorB0 .2.3. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos estacionarios Si la carga está sometida a ambos campos la fuerza sobre ella vendrá dada por laecuación de Lorentz : F = q[E + (v × B)].2.3.1. Dinámica de partículas de campos cruzados Si la carga se somete a un B sobre el eje z junto con un E sobre el eje y, dos de lasecuaciones de movimiento estarán acopladas, por consiguiente Eq x= (ωt − sen ωt) mω 2 Eq y= (1 − cos ωt) mω 2 z =vz0 tJavier García Molleja 19
  20. 20. 2 MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOSEn el plano xy se describirá una cicloide que se desplaza. E E Las velocidades del plano xy serán vy = B sen ωt junto con vx = B (1 − cos ωt).Figura 7: El movimiento de una carga positiva en unos campos eléctrico y magnéticocruzados, dando una velocidad de deriva promedio de E/B.2.3.2. Velocidad de deriva en campos cruzados El valor medio de vy es cero, pero no el de vx , que presenta entonces una velocidad Ede deriva: vx = vd = B que apunta en la dirección de E × B. Si E||B la partícula seráacelerada mientras se mueve circularmente. Si E posee una componente paralela a By otra perpendicular existirá un movimiento cíclico en el plano xy más un movimientoacelerado en el eje z.20 Javier García Molleja
  21. 21. 2 MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOSFigura 8: El movimiento de cargas positivas y negativas en campos eléctrico y magnéticode manera separada, y en campos cruzados eléctrico y magnético. La inducción magnéticaapunta hacia fuera del plano del diagrama. El campo eléctrico apunta verticalmente haciaarriba.2.3.3. Calentamiento magnetoeléctrico Con un B se pueden confinar los plasmas y con un E se mejora el confinamientoaplicado al plasma confinará a los iones cuya velocidad de deriva es vd = E⊥ . Esta ve- B E2locidad aumenta la energía de los constituyentes del plasma: W = 2 mvd = 1 m B⊥ . Este 1 2 2 2confinamiento puede hacer turbulento al plasma.2.3.4. El flujímetro electromagnético Mide la velocidad de fluido conductores en regiones con B constante. El plasma pasaentre dos placas separadas d conectadas en un circuito con voltímetro. Normal a las placasy al plasma existe un B. Así pues al pasar el plasma entre las placas creará en E que Vpevitará el haz se curve, por lo que vx = dB . Este medio de producción de una tensión dedenomina efecto Hall.2.3.5. Espectrógrafo de masas de Bainbridge Una fuente produce iones que entran en una zona con E y B1 cruzados. Sólo aquellaspartículas con una v determinada atravesarán la zona del selector entrando en el analizadorcon un B0 que les hará girar medio ciclo. Variando entonces E detectaremos cargas conmasa diferente: m = ZeB0 B1 L, donde L es el diámetro del medio ciclo. 2EJavier García Molleja 21
  22. 22. 2 MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOSFigura 9: Un dibujo esquemático del espectrógrafo de masas de Bainbridge. Hay unafuente de iones energéticos en la parte inferior izquierda.2.4. Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos lentamente variantes La inercia de las partículas cargadas es suficientemente pequeña y pueden responderlibremente a las fuerzas ejercidas por los campos.2.4.1. Calentamiento resonante por radio frecuencia Los electrones dentro de un B realizarán círculos. Si en el plano de giro se aplica unEx = E0 sen ωt cuya frecuencia es idéntica a la de giro se dará una resonancia, siempre ycuando la fase angular θ = ωt permita el aumento de energía. Cuando el electrón apunteen la dirección y el campo eléctrico será nulo (θ = 0, π) y cuando esté en la dirección xel campo será máximo (θ = π , 2 π) apuntando en el sentido opuesto a la velocidad del 2 3electrón, por consiguiente sumando más energía a la partícula. Al ir calentando al plasma el radio de giro aumentará ∆R = πmE0 y para alcanzar una qB 2 1 1 B 2energía determinada el número de vueltas necesarias serán N = πE0 m W⊥ − W⊥0 . 2 2El tiempo empleado en conseguir esto debe ser mayor que el tiempo de confinamiento oel de colisión.2.4.2. Espejos y boquillas magnéticas Es útil confinar plasmas mediante campos magnéticos. Para que esto sea efectivo elmovimiento de la partícula ha de ser adiabático, o sea, que el radio de giro sea muchomenor que la longitud de escala característica del gradiente. El momento magnético será mv⊥ 2entonces constante y valdrá µ ≡ 2B = W⊥ . B Un espejo magnético es una barrera magnética de simetría axial con un Bmax en elextremo y un Bmin en la zona del plasma. Conforme la carga se acerca a Bmax los girosserán más pequeños al disminuir v|| . En el espacio de velocidades se tiene que v⊥ = v sen θ,22 Javier García Molleja
  23. 23. 2 MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOSaumentando al acercarse a Bmax . Si en el punto z = z0 se tiene que v|| = 0 se perderá lapartícula. Si es cero será reflejada de vuelta a Bmin . En ambos extremos se tendrá que mv 2 sen2 θ mv 2 µ= = 2Bmin 2Bmaxcon θ el ángulo del cono de escape que señala a las partículas que llegarán a Bmax conv|| = 0 situadas entre 0 y dicho valor. Fuera del cono las cargas seguirán confinadas amenos que las colisiones las lleven dentro del cono. La fracción de partículas atrapadas Bminserá FT = 1 − Bmax . La boquilla magnética se basa en la ausencia de colisiones. Las partículas estarán enuna región de Bmax en una distribución isótropa. Si las partículas se dirigen a la regiónde Bmin se tendrá que v⊥ disminuirá, dando lugar a un haz de partículas con gran v|| .Figura 10: El movimiento de partículas cargadas positivamente en el gradiente de campomagnético de un espejo magnético.2.4.3. Confinamiento magnético de plasmas industriales El confinamiento aumenta la eficiencia del potencia, la ionización del gas, reduce elbombardeo de las paredes, mejoran la estabilidad y la uniformidad, y puede originarhaces. Para que esto suceda el plasma debe estar magnetizado, esto es, que la partícularealiza varios giros antes de colisionar y que el radio de giro sean menor que el radio delplasma. Magnetizando los electrones se consigue magnetizar el plasma debido a la pocamovilidad de los iones. El mejor método de confinamiento es usando el espejo magnético.Si su configuración es coaxial evita que el plasma toque las paredes pero se perderá porlos extremos. La botella magnética usa dos bobinas que conducen la corriente en el mismosentido. Esto consigue confinar al plasma en ambos extremos. La geometría de aristaJavier García Molleja 23
  24. 24. 2 MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOSse caracteriza por tener las corrientes de las bobinas circulando en sentidos opuestos,consiguiendo así el confinamiento en los extremos y entre ambas bobinas. Estas configuraciones se pueden obtener también con imanes permanentes. El difusormagnético es parecido al espejo, pues se encarga de disminuir v|| y el radio del plasma,evitando que las partículas se reflejen. La boquilla magnética crea un gran haz uniformede partículas sin v⊥ . En la zona de Bmin la densidad de partículas disminuye: n2 ≈ n1 Rm , Bmincon Rm siendo la razón de espejo Rm ≡ Bmax . La aproximación puede variar según laaplicación que se dé (resonancia ciclotrónica, corrosión . . . ).El confinamiento magnéticomultipolar por aristas consigue aislar el plasma de las paredes. El vallado coloca en lacámara cables que conducen corriente en sentidos opuestos creando una zona de Bmax .En los puntos de posible salida del plasma se coloca refrigeración. Si utilizamos imanestenemos tres configuraciones: tablero de ajedrez (axial y azimutal), arista de simetría axialy arista longitudinal.Figura 11: Arreglo de aristas longitudinales de imanes multipolares usados para el confi-namiento de un plasma cilíndrico de microondas.2.5. Movimiento relativista de partículas cargadas Su aplicación se centra en la física de altas energías y en los aceleradores de partículas.24 Javier García Molleja
  25. 25. 2 MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS2.5.1. Transformaciones de Galileo Existen dos sistemas de referencia: uno fijo, el laboratorio, y otro móvil a la velocidadconstante. Las ecuaciones son entonces x =x − vt y =y z =z t =tEl sistema móvil es el primado. Estos sistemas se llaman inerciales al verificar la ley deNewton.2.5.2. Transformaciones de Lorentz El principio de Einstein establece que la velocidad de la luz en el vacío es constante eindependiente del movimiento relativo uniforme de la fuente u observador. x =γ(x − vt) y =y z =z βx t =γ t − cEl parámetro relativista es γ ≡ √ 1 con β ≡ v . Estas ecuaciones presentan la contrac- c 1−β 2ción de Fitzgerald–Lorentz y la dilatación temporal.2.5.3. Cinemática en relatividad especial La transformación de velocidades entre los dos sistemas de referencia x +v ˙ x= ˙ 1 + βc˙ x 1 y ˙ y= ˙ γ 1 + βc˙ x 1 z ˙ z= ˙ γ 1 + βc˙ xJavier García Molleja 25
  26. 26. 2 MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS2.5.4. Transformación de Lorentz de campos eléctrico y magnético E|| =E|| E⊥ =γ(E⊥ + v × B) D|| =D|| v×B D⊥ =γ D⊥ + c2 B|| =B|| v×E B⊥ =γ B⊥ − c2 H|| =H|| H⊥ =γ(H⊥ − v × D)Estas ecuaciones predicen el efecto Doppler relativista que puede ser longitudinal (cor-rimiento al azul cuando el emisor de frecuencia se acerca al observador y corrimiento alrojo cuando se aleja) y transversal (corrimiento al rojo).2.5.5. Dinámica en relatividad especial La ley de Newton se escribe como F = dp = dt (γm0 v), por consiguiente p = γm0 v. dt dEstas ecuaciones reflejan un aumento de la masa en reposo al ir aumentando la velocidad.2.5.6. Energía de una partícula en relatividad especial La energía total de una partícula cargada en el sistema laboratorio es U = γm0 c2 , porlo que la energía cinética es expresará como W = (γ − 1)mc2 al ser la energía en reposoU0 = m0 c2 . La relación relativista energía-momento es (γm0 c2 )2 = (m0 c2 )2 + p2 c2 .2.6. Teoría de diodos planares Con su estudio comprenderemos la generación de haces y sus condiciones límite.2.6.1. Características del diodo planar Las cargas son emitidas por un electrodo y son aceleradas en la separación d a partir deuna velocidad nula gracias a una caida de potencial V0 . Si no existen fuentes ni sumiderosla densidad de corriente es una constante: J = ne eve .26 Javier García Molleja
  27. 27. 2 MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS2.6.2. Operación en el límite de vacío En este caso J es muy pequeña para afectar el campo eléctrico. Partiendo de la ecuaciónde Poisson llegamos a que x V (x) = V0 . d2.6.3. Flujo de corriente limitada por la distribución espacial de carga El cátodo emite electrones hasta que la distribución espacial de carga aumenta hastael punto en el que el campo eléctrico es cero en x = 0. En este punto no pueden fluirmás electrones del cátodo. Partiendo de la ecuación de Poisson y suponiendo que v0 ≈ 0 3 4ε0 2e [V (x)] 2llegamos a que J = 9 m x2 . Analizando el ánodo, x = d, obtenemos la condiciónde Child 3 4ε0 2e V02 Jc = 9 m d22.6.4. Diodos planares limitados por la distribución espacial de carga 4ε0 3 Si definimos el factor de Child como χ ≡ 9 2e m = 2,334 · 10−6 A/V 2 se tiene que 3 4 V2 xJc = χ d02 por lo que el potencial valdrá V (x) = V0 d 3 . Recurriendo a la ecuación dePoisson determinamos la densidad de partículas 2 4ε0 V0 d 3 ne (x) = 9ed2 x 4ε0 V0Se tiene que en x = 0 ⇒ ne → ∞ al suponer que v0 ≈ 0; en x = d ⇒ nA = 9ed2 . Se 2mpuede determinar el tiempo de tránsito en el límite del vacío t0 = d eV0 y en el límite dedistribución espacial de carga tsc = 3 d 2 2m eV0 .2.7. Diodo planar relativista El ánodo se construye con rendijas y el potencial se aplica de manera pulsada.2.7.1. Características del diodo relativista Utilizaremos la formulación covariante de la ecuación de Poisson. Asumiremos queE(x = 0) = 0 y v0 = 0.Javier García Molleja 27
  28. 28. 2 MOVIMIENTO DE CARGAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS2.7.2. Flujo de corriente limitado por la distribución espacial de carga Si utilizamos unidades adimensionales podemos obtener la ley de Child: V Potencial: Φ ≡ V0 x Distancia: ξ ≡ d eV0 Energía: ε ≡ m0 c2 J Densidad de corriente: J ≡ Jc2.7.3. Ley de Child relativista La ecuación de Poisson adimensional queda de la siguiente forma √ d2 Φ 4 2ε 1 + εΦ Φ = 2 = J dξ 9 (1 + εΦ)2 − 1que puede resolverse con funciones elípticas jacobianas: 9 ε 2 J = g (1, ε) 8 2 √ ne (x)La densidad numérica electrónica es N ≡ nA = J √2(1+εΦ) y el tiempo de tránsito Φ(2+εΦ) 1 tr 2+εT ≡ tsc = 2J 4 .2.8. Teoría de diodos cilíndricos Analiza los tubos electrónicos industriales de alta potencia en el límite de la distribu-ción espacial de carga.2.8.1. Características del diodo cilíndrico El cátodo posee un radio rc que está dentro del ánodo de radio r = a y se aplica unpotencial V0 entre ellos. Junto a ciertas condiciones de contorno se obtiene la ecuación dePoisson.2.8.2. Operación en el límite del vacío r ln V0 El potencial se escribe como V = V0 ln rac , mientras que el campo eléctrico E(r) = r ln ra . rc c28 Javier García Molleja
  29. 29. 3 CARACTERÍSTICAS DEL PLASMA2.8.3. Flujo de corriente cilíndrica limitada por la distribución espacial de carga Los cálculos se realizan a partir de la corriente por unidad de longitud. Al obtener laecuación de Poisson vemos que es una diferencial no lineal de segundo orden sin solucionesexactas analíticas (conocidas). Para resolverlo recurrimos a parámetros adimensionales: 3ρ ≡ ln rrc , β 2 ≡ 8πε0 2e Vr2 . Con esto se llega a una ecuación diferencial que sólo depende 9J mde ρ y β y puede resolverse numéricamente.2.8.4. Operación de diodos cilíndricos El valor de JA se obtiene a partir de ρA = ln rac cuyo valor en el cálculo numérico nospermite conocer βA . Sustituyendo éste en JA ya sabemos el valor en el ánodo. Luego, lavariación radial del potencial será 4 2 r 3 β 3 V (r) = V0 a βA3. Características del plasma Estudiaremos cómo afectan los campos eléctricos y magnéticos al plasma desde unpunto de vista macroscópico.3.1. Propiedades másicas del plasma Consideremos un bloque de plasma de sección A y longitud L sometido a una tensiónexterna y con una resistencia interna R.Javier García Molleja 29
  30. 30. 3 CARACTERÍSTICAS DEL PLASMA3.1.1. Resistividad y conductividad eléctricaFigura 12: Movimiento de iones y electrones en un tubo de descarga eléctrica DC a bajapresión. I La densidad de corriente se define como J = A . La resistividad másica depende delmaterial que forma el bloque, no de su geometría y vale A ρ=R L 1De manera inmediata se conoce la conductividad eléctrica: σ = ρ . Al aplicar la tensiónlas cargas de signos opuestos se moverán hacia uno de los electrodos colisionando conel gas neutro de fondo y alcanzando pues velocidades de deriva estacionarias, cuyo valorserá menor para los iones. Según esto la densidad de corriente se puede expresar comoJ = eΓ = envd , expresión que puede ser comparada con la ley de Ohm de un plasma nomagnetizado: J = σ E. Si el plasma es lorentziano, a partir de la ecuación de movimiento se define el tiempode colisión, el tiempo promediado entre dos colisiones que hacen perder al electrón su vdepromedio en la dirección x. La velocidad en este intervalo se da por 1 eE vx (t) = vde + t , con 0 ≤ t ≤ tc 2 me 2 e neCon este tratamiento se llega a que σ = mνce . Si existen colisiones de electrones conpartículas cargadas ha de definirse la conductividad Spitzer, que es inversamente propor-cional al logaritmo de Coulomb: 3 12π (ε0 kB T ) 2 ln Λ = ln 1 . Z 2 e3 ne 230 Javier García Molleja
  31. 31. 3 CARACTERÍSTICAS DEL PLASMAFigura 13: Velocidad de deriva idealizada del electrón en un tubo de descarga eléctricasobre varios tiempos de colisión.3.1.2. Movilidad e σ La velocidad de deriva promedio se expresará como vd = mνc E = ene E = µE, endonde µ es la movilidad : e µ≡ mνcÉsta relaciona vd con E y no varía si la presión de fondo es constante. La movilidad paraelectrones es mayor que para iones.3.1.3. Calentamiento óhmico de plasmas La energía de los electrones se adquiere del campo eléctrico impuesto y se disipamediante colisiones inelásticas y elásticas, la segunda por un proceso óhmico. La densidadde potencia es: me νce e2 ne 2 pc = 2 J 2 = E e ne me νceexpresión válida si el plasma es de Lorentz.3.1.4. Frecuencia de transferencia de energía En los plasmas, σ y ρ dependen de la posición, mientras que el sentido práctico deestas magnitudes está en su valor constante. Acudiendo a la densidad de potencia delplasma p = Ue ν∗ , con Ue = 1 ε0 E 2 la energía electrostática por unidad de volumen y 2 2ω 2 2ν∗ ≡ νec = ε0 meneec = 2σ la frecuencia de transferencia de energía, que es la frecuencia pe 2e ν ε0con la cual la densidad de energía suministrada por la fuente es transferida al plasma.3.1.5. Ley de Ohm y fuerzas volumétricas en plasmas magnetizados La densidad de corriente viene expresada por la ley de Ohm J = σ[E + (v × B)], luegola fuerza volumétrica actuando sobre un plasma será F = J × B.Javier García Molleja 31
  32. 32. 3 CARACTERÍSTICAS DEL PLASMA3.2. Cuasi-neutralidad del plasma Los plasmas muestran una fuerte tendencia a ser eléctricamente neutros, así que lasdensidades de carga de iones y electrones serán aproximadamente idénticas. Luego laseparación de las cargas estará provocada por campos eléctricos externos o la energíatérmica interna. Si tenemos una pequeña región esférica en el plasma con exceso de carga negativa secreará un potencial en su superficie, por lo que para que un electrón se acerque a la esferadeberá tener una energía como mínimo igual a Ue = eV, suministrada por su temperaturacinética finita. Por tanto la salida relativa de la neutralidad será δn 3T (eV)ε0 = , con δn = ne − Zni n0 n0 2er2 n0Los plasmas de interés industrial presentan que δn ≈ 0, luego Zni ≈ ne , verificando asíla cuasi-neutralidad.3.3. Ecuación electrostática de Boltzmann (barométrica) Un plasma en equilibrio cinético se acomoda en un pozo de potencial electrostático,con mayor densidad de partículas en las regiones de menor energía y cayendo este númeroexponencialmente para las regiones de mayor energía. Si la pared que lo rodea está aun potencial V0 y en el borde del plasma escogeremos un elemento infinitesimal de éstepodemos ver que permanecerá en equilibrio, ya que posee una fuerza que empuja haciaarriba (debida a la presión cinética del plasma) de igual valor que la fuerza que empujahacia abajo (debida a la presión cinética de los electrones cercanos a la pared y a larepulsión electrostática). Todo esto da que V0 −V p = p0 e T (eV)Los electrones más energéticos podrán llegar a la pared, aumentando su carga negativa ycreando así una fuerza repulsiva que aleja al plasma de la manera indicada por la ecuación.32 Javier García Molleja
  33. 33. 3 CARACTERÍSTICAS DEL PLASMAFigura 14: Vaina entre un plasma y una pared aislante. Las fuerzas volumétricas sobrelas partículas cargadas en el elemento infinitesimal son la suma de las fuerzas del campoeléctrico y de la presión cinética de partículas por arriba y por debajo del elementoinfinitesimal.3.4. Vainas electrostáticas simples del plasma Un electrodo o pared en contacto con un plasma afectará a sus inmediaciones, orig-inando una vaina superficial que apantallará al plasma de los campos aplicados (si elplasma no es turbulento y el campo no es interno). Consideremos la ecuación de Poissonunidimensional de un plasma con sus iones simplemente cargados fijos: d2 V e 2 ≈ (ni − ne ) dZ ε0Al ser el plasma cuasi-neutro, n0 ≈ ni , y a partir de la ecuación de Boltzmann (con − eVV0 = 0) ne = n0 e kB T podemos sustituir en la ecuación de Poisson y hacer un desarrolloen serie en z = 0 para conocer así la solución: ± λz V = V0 e Dcon λD = kB e e2ε0 siendo la distancia de apantallamiento de Debye. El potencial muestra n Teque la vaina es exponencial. Para plasmas inactivos λD es pequeña configurando ellamisma la vaina que apantalla al plasma del exterior. Para plasmas magnéticos con granradio de giro o turbulentos la vaina es mayor.3.5. Frecuencia del plasma Si el plasma se forma entre dos placas plano-paralelas los iones irán al cátodo y loselectrones al ánodo provocando con el tiempo un estado estacionario. Si se desconectala batería los electrones serán atraidos por los iones fijos creando así un movimientooscilatorio sobre ellos que se amortiguará mediante colisiones. Analizando en la región delJavier García Molleja 33
  34. 34. 3 CARACTERÍSTICAS DEL PLASMAánodo un diferencial de volumen de electrones conoceremos la densidad de carga superficialy de ahí el campo eléctrico superficial. Este campo de polarización es igual y opuesto alaplicado. Considerando todo esto y escribiendo la ecuación de movimiento vemos que susolución es un movimiento armónico simple de frecuencia ne2 ωpe = mε0es la frecuencia electrónica del plasma con la que oscilan los electrones alrededor de losiones fijos. Se puede definir análogamente una frecuencia iónica del plasma. Podemos analizar ahora la propagación de radiación electromagnética en un plasma.La fuente emite radiación de frecuencia ω sobre un bloque de plasma de ωpe . Si ω < ωpe , loselectrones tienen tiempo de responder al campo eléctrico impuesto y consumen su energíaevitando que la onda penetre demasiado en el plasma. En este caso los electrones de lascapas más superficiales actuarán como dipolos, volviendo a radiar a la onda incidente yprovocando su reflexión. En cambio, si ω > ωpe , los electrones poseen demasiada inerciacomo para responder al campo impuesto. De esta manera el plasma es atravesado por laradiación. A partir de ω se puede definir una densidad crítica, que al compararla con la densidaddel plasma sabremos si la onda se refleja o se transmite. Para calentar un plasma concampos magnéticos ha de darse que ωce ≥ ωpe para que así la radiación penetre en todoel plasma.Figura 15: Radiación electromagnética de una fuente con frecuencia ω = ω0 incidente sobreun bloque de plasma con densidad numérica ne y frecuencia electrónica del plasma ωpe .La radiación incidente sera reflejada o transmitida a través de este bloque, dependiendode la relación de la frecuencia incidente con respecto a la frecuencia electrónica del plasmaen el bloque.34 Javier García Molleja
  35. 35. 3 CARACTERÍSTICAS DEL PLASMA3.6. La ecuación de Saha En algunos plasmas industriales que operan a presiones atmosféricas se trabaja con elequilibrio termodinámico, por lo que la temperatura de electrones, iones y neutros seráidéntica. Además, si el plasma está completamente ionizado la relación entre las densidadesnuméricas de las especies viene dada por 3 ne ni (2πme kB T ) 2 2gi − keET i = 3 e B n0 h g0Se tiene que h es la constante de Planck; Ei es el potencial de ionización de los átomos;gi es el peso estadístico del estado fundamental del ión y g0 es el peso estadístico delestado fundamental del átomo neutro. Muchos plasmas son cuasi-neutros por lo que es neútil definir la fracción de ionización: F ≡ n0 .3.7. Transporte difusivo en plasmas Al ser los plasmas industriales muy calientes es necesario confinarlos efectivamente conentrada razonable de potencia.3.7.1. Ley de Fick de la difusión Si el camino libre medio de las partículas λ es menor que la longitud de escala carac-terística del gradiente se puede aplicar la ley Γ = nvd = −D n3.7.2. Tiempo de confinamiento de plasmas dominados por difusión Un plasma cilíndrico sin difusión axial ni fuentes ni sumideros, poseerá una difusiónfickiana, por consiguiente tendremos que ∂n(r, t) ·Γ= ∂tAplicando separación de variables vemos que la parte temporal obedece una ley exponen-cial, mientras que la parte radial es una ecuación de Bessel. Combinando resultados: 2,405r t n(r, t) = n0 J0 e− τ aJ0 es la función de Bessel de orden cero, a el radio del plasma y τ el tiempo de confi- a2namiento. Entonces τ = τp = D(2,405)2 .Javier García Molleja 35
  36. 36. 3 CARACTERÍSTICAS DEL PLASMA3.7.3. Coeficiente de difusión en un plasma no magnetizado La difusión es provocada por las colisiones binarias de las cargas con el gas neutro.El transporte difusivo es una trayectoria aleatoria con tamaño de paso igual a λ. Si lafrecuencia de colisión es νc y la distancia entre colisiones ∆x se tendrá que D ≈ νc (∆x)2 .3.7.4. Difusión clásica en un plasma magnetizado Hasta ahora hemos visto la difusión ordinaria. En cuanto a la clásica se tiene untrayecto aleatorio, con tamaño de paso igual al radio de giro. Representa la tasa máslenta a la que las partículas pueden ser transportadas a través de un campo magnéticohacia zonas de menor concentración en la ausencia de campos eléctricos. Si la partícularealiza un giro por colisión se tiene que 1 v2 ¯ m2 v 2 ¯ D⊥ ≈ ν(∆x)2 ≈ Rg = 2 = 2 2 τ ωc τ eB τSi se aplica el modelo de Krook la difusión es un tensor que depende de la matriz detransporte: D = D0 T . La difusión entonces posee componente perpendicular, paralelay Hall. Estos coeficientes se pueden analizar en el límite colisional y acolisional. En elsegundo límite y bajo fuertes campos magnéticos los electrones poseen mayor difusión.Por este motivo me kB Te Dcl ≈ 2 2 e B τc3.7.5. Movilidad en un plasma magnetizado La movilidad no es un proceso difusivo, sino que es un movimiento impuesto por loscampos aplicados. El flujo de movilidad es Γmov = nvmov = nµ · E, con µ = µ0 T = qτ T msiendo un tensor. Así pues, el flujo total vendrá dado por Γ = nµ0 T · E − D0 T · nEsto indica que los campos aplicados pueden contrarrestar a la difusión.3.7.6. Relación de Einstein Si comparamos la movilidad y el coeficiente de difusión mediante el tiempo de colisión,podemos obtener una relación entre ambos (ayudados por la expresión de la velocidadtérmica media): m¯2 v 8kB T D= µ= µ 3q 3πq36 Javier García Molleja
  37. 37. 3 CARACTERÍSTICAS DEL PLASMA3.7.7. Coeficiente de difusión de Bohm Este coeficiente derivado empíricamente describe la difusión radial del plasma en cier-tos arcos eléctricos: 1 kB T DB = 16 eB3.7.8. Difusión ambipolar Si el plasma está rodeado por una pared los electrones, al tener una movilidad mayor,llegarán a ella aumentando en la superficie la carga negativa. Llegará un momento enque esta carga empiece a atraer a los iones y cuando ambos flujos se igualen se alcanzaráel estado estacionario. Este proceso es la difusión ambipolar. En una geometría unidi-mensional simple los flujos de electrones e iones normales a la superficie serán iguales. Siadmitimos la cuasi-neutralidad del plasma se puede obtener el campo eléctrico ambipolar:E = Di −Dee nn , por lo tanto el coeficiente: µi +µ Di µe + De µi De µi Te Da ≡ ≈ Di 1 + = Di 1 + µe + µe Di µe Ti µe µi Rel.Einstein3.8. Frecuencia electrónica de colisión Las propiedades de transporte están determinadas por las colisiones electrón-neutro.También afecta a la disipación de potencia, a la transferencia de energía y a todos loscoeficientes de transporte (D, µ, η, κ, σ).3.8.1. Clasificación de gases Existen gases cuya νc es independiente de la energía, normalmente sólo se da en unrango de temperaturas cinéticas; gases nobles, que no sufren reacciones plasmo-químicaso disociación; aire que no tiene buena reproducibilidad pero posee buena disociación yreacciones plasmo-químicas, y otros gases, en los que se dan reacciones e influye muchola interacción plasma-superficie.3.8.2. Datos tabulados Hay que tener en cuenta que los antiguos experimentos pudieron ser contaminados porvapor de mercurio. Otro fenómeno importante es el efecto Ramsauer, en que a bajas Tela sección eficaz de colisión para ciertos gases cae abruptamente a consecuencia de efectosmecano-cuánticos.Javier García Molleja 37
  38. 38. 3 CARACTERÍSTICAS DEL PLASMA3.9. Descarga eléctrica a baja presión3.9.1. Geometría clásica Es un tubo de vidrio evacuado con electrodos circulares en los extremos conectados conuna fuente de potencia DC de alta tensión. Ajustando un lastre de resistencia (reóstato)se barre la curva tensión-corriente, que es altamente no lineal.3.9.2. Característica tensión-corriente Podemos distinguir tres zonas: la primera es la llamada descarga oscura, que se puedesubdividir en ionización de fondo, régimen de saturación, régimen de Townsend, descargascorona y ruptura eléctrica. La segunda zona es la descarga glow, que se subdivide endescarga normal y descarga anormal. La tercera zona es la descarga arco subdividida entransición glow a arco, arco no térmico y arco térmico.Figura 16: Característica tensión-corriente de un tubo de descarga eléctrica DC a bajapresión.3.10. Fuentes de potencia para plasma Se pueden utilizar fuentes de corriente continua, alterna o radio frecuencia. Los re-actores de plasma DC ó AC poseen la fuente conectada directamente al reactor dandogran fiabilidad al proceso. La fuente RF necesita componentes adicionales y este costedebe justificarse por algunas ventajas que debe presentar. La potencia RF se transfierepor corrientes de desplazamiento, posee mayor estabilidad de operación, altas Te y graneficiencia eléctrica.38 Javier García Molleja
  39. 39. 4 DESCARGAS ELECTRÓNICAS OSCURAS EN GASES3.10.1. Regímenes de frecuencia de fuentes de potencia El rango de aplicación está entre 1 kHz y 3GHz y la mayoría de aplicaciones impor-tantes en la industria están por encima de los 200 W.3.10.2. Disponibilidad de fuentes de potencia Los niveles de potencia de interés están entre 200 W y 50 kW. Si combinamos las apli-caciones en industria y comunicación se trabaja en las frecuencias VLF, LF y microondas.3.10.3. Tecnología de la fuente de potencia En las fuentes RF hay que tener en cuenta que el plasma es una carga variable, por loque se necesita una red de compatibilidad de impedancia. Si las impedancias de carga yfuente son resistivas el máximo de potencia entregada a la carga se dará cuando RS = RL y V02el valor será PL = 4RL , que es el 25 % del valor de una fuente ideal. Si se usan impedanciascomplejas el valor puede aumentar.3.10.4. Coste relativo de la entrada de potencia La potencia RF es de 5 a 10 veces más cara, por watio, que la potencia DC ó AC. Poresto las ventajas han de ser justificadas.3.10.5. Imposiciones operacionales Las comisiones reservan ciertas frecuencias para uso industrial de alta potencia. Sedeben tener en cuenta ciertas cuestiones de seguridad: los arcos RF son bastante grandes;es necesario el apantallamiento RF de alta tensión; la producción de armónicos y loscambios de frecuencia no deben producir interferencias, y la exposición ocupacional debeestar por debajo de 1 mW/cm2 .4. Descargas electrónicas oscuras en gases Vamos a examinar los regímenes de operación de la descarga eléctrica DC. Se empezarápor la descarga oscura que debe su nombre a que no emite suficiente luz (excepto en lascoronas muy energéticas) para que el ojo la capte.Javier García Molleja 39
  40. 40. 4 DESCARGAS ELECTRÓNICAS OSCURAS EN GASES Figura 17: Regiones del régimen de descarga oscura.4.1. Ionización de fondo La radiación de fondo, constituida por rayos cósmicos, materiales radiactivos en losalrededores y otras fuentes, es capaz de ionizar los átomos neutros que constituyen ungas. Si el gas está sometido a un campo eléctrico, los electrones e iones creados migraránhacia los correspondientes electrodos, originando una débil corriente.4.2. Régimen de saturación Si la tensión entre electrodos se aumenta, todos los iones y electrones creados entre loselectrodos serán colectados dando un valor constante a la corriente mientras se aumentala tensión. Si S es la intensidad de la fuente con la que se crean las cargas, A es la seccióntransversal y d es la longitud se tiene que IS = AdeS.4.3. Descarga Townsend Debemos considerar que el campo eléctrico E es constante. Se pueden originar elec-trones a partir del efecto fotoeléctrico o por procesos de emisión secundaria en el cátodo,con un flujo Γe0 . La fuente volumétrica de ionización viene por Se = ne n0 σv ne querepresenta la ionización del gas de fondo por electrones acelerados.4.3.1. Crecimiento de la corriente El crecimiento será de tipo exponencial. Un par electrón-ión se crea por la radiaciónde fondo y son acelerados por el E. Si el electrón adquiere suficiente energía puede ionizara otros átomos antes de llegar al ánodo. Los electrones generados repetirán el proceso.Este proceso físico se denomina avalancha.40 Javier García Molleja
  41. 41. 4 DESCARGAS ELECTRÓNICAS OSCURAS EN GASES4.3.2. Primer coeficiente de ionización de Townsend Es el número de colisiones ionizantes hechas por promedio por un electrón al recorrer 1en metro a través del campo eléctrico. Se tiene que α ≈ λi con λi el camino libre mediode ionización, y si tenemos que los electrones de iniciación sólo se originan en el cátodo yque no existen pérdidas se puede llegar a que Ie = A Je0 eαx eΓe0Si existe una fuente volumétrica significativa será necesario que la introduzcamos en nue-stros cálculos, por lo que JS αd Je = e −1 αdAhora debemos calcular analíticamente a α, relacionándolo con la probabilidad de queun electrón viaje una distancia axial mayor que la distancia ionizante xi (la distancianecesaria para ganar la energía de ionización). El valor de α dependerá de la atenuacióndel haz de electrones primario y del número de λi por metro, luego 1 ne (x) 1 − xi α= = e λi = Ape−Apxi λi ne0 λiTrabajaremos con el potencial de ionización efectivo V ∗ en vez del real Vi , ya que elprimero considera la posibilidad de colisiones elásticas e inelásticas en el trayecto anteriora la colisión, por lo que C ≡ AV ∗ y se llegará a que C α −E E = Ae p = f p pcon A y C constantes experimentales. α E4.3.3. Medición de p y p Si el campo eléctrico es constante y la ionización se produce con avalancha se puederealizar una representación semilogarítmica del aumento de la corriente al aumentar laseparación entre electrodos. La pendiente de la línea recta dará E . Para grandes separa- pciones la línea deja de ser recta. La producción de electrones secundarios en la superficiedel cátodo hará aumentar la corriente. La ligadura de electrones hace decrecer a la corri-ente al irlos eliminando de la avalancha.Javier García Molleja 41
  42. 42. 4 DESCARGAS ELECTRÓNICAS OSCURAS EN GASES Figura 18: Configuración de placas paralelas en el régimen de descarga oscura.4.3.4. Punto de Stoletow Si el campo eléctrico entre placas permanece constante, hay un valor de presión en ladescarga Townsend donde la corriente es un máximo. El valor de p para el aire se indicó de Emanera experimental como pmax = 37200 . Este punto se puede encontrar diferenciando αrespecto a p mientras se mantiene fijo d. Si utilizamos su dependencia funcional, f E , pencontramos que el punto de Stoletow se puede encontrar gráficamente al representarαp ↔ E : donde la tangente de la curva intersecte al origen, siendo así máxima la corriente. pEn cambio, si recurrimos a la expresión analítica pmax = E = 36500 , para el aire. C E En la representación gráfica se ve que el punto de Stoletow se da cuando E = C, psabiendo de manera inmediata el valor de α . Si E → ∞ ⇒ α → A. Además, existe un p p ppunto de inflexión en E = C . Un parámetro importante es el coste energético de generar p 2un par ión-electrón en el gas: η = cotg θ = E max que será mínimo en el punto de αStoletow.42 Javier García Molleja
  43. 43. 4 DESCARGAS ELECTRÓNICAS OSCURAS EN GASESFigura 19: La expresión teórica para el primer coeficiente de ionización de Townsend,representada contra el valor normalizado E/p con los mayores rasgos de la curva indicados.4.4. Descargas corona Es la llamada descarga unipolar que ocurre en regiones de alto campo eléctrico situadoen bordes abruptos, valores que llegan a la ruptura eléctrica. Esta descarga puede llegar aser visible. Fenómenos relacionados son la descarga eléctrica silenciosa (que es inaudible)y la de cepillo (donde el campo eléctrico no es uniforme y se crean rayos).4.4.1. Fenomenología de la corona Hay un fino cable de radio a, rodeado por un cilindro de radio b puesto a tierra. Lainiciación se dará cerca del cable, creando una corona luminosa. La corona es un fenómenode baja corriente y continuo, de pocos órdenes de magnitud. El campo eléctrico de rupturaes EB = 3000 + 1,35 (kV/m). Cuando el campo local que rodea a un punto alcanza el valor dde EB aparece la corona. Si al cable se aplica un V0 muy alto alcanzará el valor de rupturaen un punto. Esta distancia se denomina radio activo y en el volumen que crea se daránreacciones químicas. Fuera del radio activo el potencial seguirá disminuyendo hasta unvalor mínimo. A altas presiones el oxígeno captará rápidamente a los electrones, por lo que la cor-riente se llevará mediante iones positivos y negativos. En el segundo caso la corona seráintermitente (en forma de racimos) y pulsada, mientras que en el primer caso la coronaserá una luminiscencia cilíndrica y continua.Javier García Molleja 43
  44. 44. 4 DESCARGAS ELECTRÓNICAS OSCURAS EN GASESFigura 20: Fenomenología de la corona generada por un cable fino de radio a localizadoen el eje de un cilindro puesto a tierra de radio b.4.4.2. Aplicaciones de la corona Las coronas se aplican en la industria para el tratamiento de superficies, junto conaplicaciones antiestáticas. Otra tendencia es su uso en la química del plasma.4.4.3. Efectos detrimentales de la corona Poseen pérdidas de la línea de potencia y pueden producir reacciones químicas queataquen a los electrodos. A altas tensiones pueden producir rayos X e interferencias. Otroaspecto negativo es el ruido audible que pueden producir.4.5. Fuentes de coronas4.5.1. Corona de un punto abrupto Consideremos una punta esférica de radio r = a a potencial V0 situada en el centrode una cavidad esférica de radio r = b y potencial V = 0. Ambos serán conductores,pudiéndose originar una corona hasta el radio r = r0 . Si trabajamos en el caso de ρ(r) ≈ 0tendremos que abV0 E(r) = r2 (b − a) a(b − r) V (r) =V0 r(b − a)44 Javier García Molleja

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