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Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones
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Descomposición en Landscapes Elementales del Problema de Diseño de Redes de Radio con Aplicaciones

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Descomposición en Landscapes Elementales del Problema de Diseño de Redes de Radio con Aplicaciones

  1. 1. 1 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones Descomposición en Landscapes Elementales del Problema de Diseño de Redes de Radio con Aplicaciones Francisco Chicano, Franco Arito y Enrique Alba
  2. 2. 2 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones • La teoría de landscapes es una herramienta para analizar problemas de optimización • Tiene aplicaciones en Química, Física, Biología y Optimización combinatoria • Idea: estudiar el espacio de búsqueda para obtener información para • Comprender mejor el problema • Predecir el rendimiento de los algoritmos • Mejorar los algoritmos de búsqueda Teoría de Landscapes
  3. 3. 3 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones • Un landscape es un tupla (X,N, f) donde Ø X es el espacio de solución Ø N es el vecindario Ø f es la función objetivo Definición de landscape Definición de landscape Landscape elemental Descomposición de landscapes El par (X,N) se denomina espacio de configuración s0 s4 s7 s6 s2 s1 s8 s9 s5 s32 0 3 5 1 2 4 0 7 6 • El vecindario es una función N: X →P(X) • La solución y es vecina de x si y Î N(x) • Vecindario regular y simétrico • d=|N(x)| " x Î X • y Î N(x) Û x Î N(y) • Función objetivo f: X →R (o N, Z, Q)
  4. 4. 4 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones • Una función elemental es un autovector de la Laplaciana (más constante) • Matriz Laplaciana: • Función elemental: autovector de Δ (más constante) Landscape elemental: definición formal s0 s4 s7 s6 s2 s1 s8 s9 s5 s3 Matriz de adyacencia Matriz de grado Depende del espacio de configuración Autovalor Definición de landscape Landscape elemental Descomposición de landscapes
  5. 5. 5 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones • Un landscape elemental es un landscape en el que donde • Ecuación de onda de Grover Relación lineal Constante característica: k= - λ Dependen del problema/instancia def Landscape elemental: caracterizaciones Definición de landscape Landscape elemental Descomposición de landscapes def
  6. 6. 6 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones Problema Vecindario d k TSP simétrico 2-opt n(n-3)/2 n-1 intercambio n(n-1)/2 2(n-1) TSP antisimétrico inversiones n(n-1)/2 n(n+1)/2 intercambio n(n-1)/2 2n Coloreado de grafos recoloreado 1 v. (α-1)n 2α Graph Matching intercambio n(n-1)/2 2(n-1) Graph Bipartitioning grafo de Johnson n2/4 2(n-1) NAES bit-flip n 4 Max Cut bit-flip n 4 Weight Partition bit-flip n 4 Definición de landscape Landscape elemental Descomposición de landscapes Landscape elemental: ejemplos
  7. 7. 7 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones • ¿Qué pasa si el landscape no es elemental? • Cualquier landscape se puede escribir como suma de landscapes elementales • Existe un conjunto de autofunciones de Δ que forman una base del espacio de funciones (base de Fourier) Descomposición de landscapes X X X e1 e2 Funciones elementales (de la base de Fourier) Función NO elemental f Componentes elementales de f f < e1,f > e1 < e2,f > e2 < e2,f > e2 < e1,f > e1 Definición de landscape Landscape elemental Descomposición de landscapes
  8. 8. 8 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones Problema Vecindario d Componentes TSP general (asimétrico) inversiones n(n-1)/2 2 intercambio n(n-1)/2 2 QAP intercambio n(n-1)/2 3 MAX k-SAT bit-flip n k NK-landscapes bit-flip n k+1 Radio Network Design bit-flip n num. máx. de antenas alcanzables Frequency Assignment cambio 1 frecuencia (α-1)n 2 Subset Sum Problem bit-flip n 2 Definición de landscape Landscape elemental Descomposición de landscapes Descomposición de landscapes: ejemplos
  9. 9. 9 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones Diseño de una Red de Radio • El problema consiste en decidir dónde colocar las antenas de una red • Se persigue: • Minimizar el número de antenas • Maximizar la cobertura s proposiciones establecen una suma de funciones de Walsh y los matrices de Krawtchouk, y ser´an de go poder realizar la descomposici´on Dise˜no de Redes de Radio. (ver [7]) Sea t 2 Bn una cadena bi- n. Se cumple la identidad: t w(x) = K (|t|) r,|x^t| . (20) ea t 2 Bn una cadena binaria y 0  e la siguiente identidad: |w| w(x) = ( 1)r K (|t|) r,|x^t| . (21) ´on: El resultado se sigue de (20) al w| = r es constante en el sumatorio. de Dise˜no de Redes de Radio e Dise˜no de Redes de Radio (RND, Design) se puede definir como un V ecinos(M , E) = {u 2 L| 9v 2 M , (u, v) 2 E Esta definici´on pone de manifiesto que el proble RND es un problema bi-objetivo. Los objeti son minimizar el n´umero de antenas y maximiza cobertura. En lo que sigue utilizaremos la siguie nomenclatura para referirnos a las funciones ob tivo: • antenas(x): es el n´umero de antenas utilizadas la soluci´on x, • cobertura(x): es el valor del ´area (o localizacion cubierta por la disposicion de antenas en x. Calcular el valor de antenas(x) es simpleme contar el n´umero de unos presentes en la soluc es decir: antenas(x) = nX i=1 xi . ( En la formulaci´on discreta el valor de cobertura es simplemente: cobertura(x) = |V ecinos(M0 , E)| . ( cobertura(x) = area 0 B @ n[ i=1 xi=1 Ri 1 C A xi es 1 si hay una antena en la i-ésima posición y 0 en caso contrario Definición del problema Descomposición en landscapes elementales
  10. 10. 10 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones • La función objetivo antenas(x) es elemental por ser lineal • La cobertura puede escribirse: • donde • Solo los primeros k+1 componentes elementales podrían ser no nulos, donde k es el número máximo de antenas que cubren un punto geográfico • Por tanto, el número de componentes elementales es k como mucho ELD del problema } ↵(I) Y i2I xi i(x) 2 i(x)) . (31) mos escribir: | Y j2W j(x) w(x) , (32) = k=1 1 2 I✓{1,...,n} |I|=k ↵(I)K (|I|) p,|x^I| = X I✓{1,...,n} I6=; ✓ 1 2 ◆|I| ↵(I)K (|I|) p,|x^I| , (35) donde 0  p  n. La funci´on cobertura(x) se puede escribir: cobertura(x) = nX p=0 cobertura(p) (x) . (36) C. An´alisis de la descomposici´on La descomposici´on de la funci´on cobertura brinda informaci´on importante, si se analiza en detalle la ecuaci´on (35). A partir de la descomposici´on se (27) nas(x) est´a : (28) n . (29) s una cons- da, deduci- vecindario mental. obertura(x) h. Defini- suma de funciones de Walsh ponderadas que tienen el mismo orden, es decir: cobertura(p) (x) = nX k=1 ( 1)k+1 X I✓{1,...,n} |I|=k ↵(I) 2k X w2Bn^I |w|=p ( 1)|w| w(x) . (34) La ecuaci´on (34) se puede simplificar teniendo en cuenta las Proposiciones 1 y 2, junto con el hecho de que |I| |x ^ I| = |x ^ I|: cobertura(p) (x) = nX k=1 ( 1)k+1 X I✓{1,...,n} |I|=k ↵(I) 2k X w2Bn^I |w|=p ( 1)|w| w(x) = nX k=1 ( 1)k+1 X I✓{1,...,n} |I|=k ↵(I) 2k ( 1)p K (|I|) p,|x^I| = nX k=1 ( 1)k+1 X I✓{1,...,n} |I|=k ↵(I) 2k K (|I|) p,|I| |x^I| nes de Walsh. Defini- con I ✓ {1, . . . , n}. La esultante es: 1 X ✓{1,...,n} |I|=k ↵(I) Y i2I xi . (30) ndo la ecuaci´on (13): +1 X I✓{1,...,n} |I|=k ↵(I) Y i2I xi I) Y i2I 1 i(x) 2 I) k Y i2I (1 i(x)) . (31) o podemos escribir: ) ( 1)|W | Y j2W j(x) k=1 I✓{1,...,n} |I|=k = nX k=1 ( 1)k+1 X I✓{1,...,n} |I|=k ↵(I) 2k K (|I|) p,|x^I| = nX k=1 ( 1)k+1 2k X I✓{1,...,n} |I|=k ↵(I)K (|I|) p,|x^I| = nX k=1 ✓ 1 2 ◆k X I✓{1,...,n} |I|=k ↵(I)K (|I|) p,|x^I| = X I✓{1,...,n} I6=; ✓ 1 2 ◆|I| ↵(I)K (|I|) p,|x^I| , (35) donde 0  p  n. La funci´on cobertura(x) se puede escribir: cobertura(x) = nX p=0 cobertura(p) (x) . (36) C. An´alisis de la descomposici´on antenas(0) (x) = 2 , (28) antenas(1) (x) = 1 2 nX i=1 i(x) = antenas(x) n 2 . (29) Como la primera funci´on elemental es una cons- tante, que puede ser a˜nadida a la segunda, deduci- mos que la fuci´on antenas(x) junto con el vecindario de inversi´on de bits es un landscape elemental. B. Descomposici´on de cobertura(x) Para encontrar la descomposici´on de cobertura(x) tambi´en se utilizan funciones de Walsh. Defini- mos ↵(I) = area( T i2I Ri) con I ✓ {1, . . . , n}. La definici´on de cobertura(x) resultante es: cobertura(x) = nX k=1 ( 1)k+1 X I✓{1,...,n} |I|=k ↵(I) Y i2I xi . (30) La ecuaci´on ( cuenta las Prop que |I| |x ^ I| cobertura(p) ( = nX k=1 ( 1 = nX k=1 ( 1 = nX k=1 ( 1 = nX k=1 ( 1 = nX k=1 ( 1 f = p=0 f . De esta manera cualquier funci´on pued compuesta en una suma de a lo m´as n la elementales, ya que el valor constante f(0) sumar a cualquiera de las otras componente tales. B. Matrices de Krawtchouk Cuando se trabaja con funciones de Wa bitual encontrar valores enteros que son de matrices de Krawtchouk [10]. La n-´esim de Krawtchouk, denotada K(n) , es una m tera de tama˜no (n + 1) ⇥ (n + 1) cuyos ele definen de acuerdo a la f´ormula: K (n) r,j = nX l=0 ( 1)l ✓ n j r l ◆✓ j l ◆ , donde 0  r, j  n y se asume que a b = 0 b < 0. Los elementos de las matrices de Kr tambi´en se pueden definir de acuerdo a la funci´on generatriz: Matriz de Krawtchouk Definición del problema Descomposición en landscapes elementales
  11. 11. 11 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones • Sea {x0, x1, ...} un camino aleatorio sobre el espacio de configuración, donde xi+1ÎN(xi) • Dicho camino induce una serie temporal {f(x0), f(x1), ...} sobre el landscape. • La función de autocorrelation se define como: • Longitud y coeficiente de autocorrelación: • Conjetura de la longitud de autocorrelación: Autocorrelación s0 s4 s7 s6 s2 s1 s8 s9 s5 s3 2 0 3 5 1 2 4 0 7 6 El número de óptimos locales en el espacio de búsqueda es Soluciones alcanzadas desde x0 tras l movimientos Autocorrelación FDC Fitness esperado Runtime R-ball PX
  12. 12. 12 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones • Cuanto mayor es el valor de l y ξ menor es el número de óptimos locales • l y ξ es una medida de rugosidad Autocorrelation Length “Conjecture” Ruggedness SA (configuration 1) SA (configuration 2) % rel. error nb. of steps % rel. error nb. of steps 10 £ ζ < 20 0.2 50,500 0.1 101,395 20 £ ζ < 30 0.3 53,300 0.2 106,890 30 £ ζ < 40 0.3 58,700 0.2 118,760 40 £ ζ < 50 0.5 62,700 0.3 126,395 50 £ ζ < 60 0.7 66,100 0.4 133,055 60 £ ζ < 70 1.0 75,300 0.6 151,870 70 £ ζ < 80 1.3 76,800 1.0 155,230 80 £ ζ < 90 1.9 79,700 1.4 159,840 90 £ ζ < 100 2.0 82,400 1.8 165,610 Longitud Coeficiente Angel, Zissimopoulos. Theoretical Computer Science 263:159-172 (2001) Autocorrelación FDC Fitness esperado Runtime R-ball PX
  13. 13. 13 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones Fitness-Distance Correlation: definición Distance to the optimum FitnessvalueDefinition 2. Given a function f : Bn 7! R the f is defined as r = Covfd f d , where Covfd is the covariance of the fitness v solutions to their nearest global optimum, f i fitness values in the search space and d is the sta to the nearest global optimum in the search spac Covfd = 1 2n X (f(x) Difícil cuando r < 0.15 (Jones & Forrest) Autocorrelación FDC Fitness esperado Runtime R-ball PX
  14. 14. 14 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones • Para landscapes elementales obtenemos… • En general, para funciones arbitrarias Fitness-Distance Correlation: fórmulas j = 2 p] = 0 for j > 0 f[0] = f r = f[p](x⇤ ) f p n r = 0 Si j>1 f(x) = p=0 f[p](x) j = 1 2 f[p] = 0 for j > 0 f[0] = f r = f[p](x⇤ ) f p n r = 0 f(x) = f[0](x) + f[1](x) + f[2](x) + . . . + f[n](x) … el único componente que contribuye a r es f[1](x) d = r n(n + 1) 4 n2 4 = r n 4 = p n 2 . e ready to prove the main result of this work. Let f be an objective function whose elementary landsca = Pn p=0 f[p], where f[0] is the constant function f[0](x) p > 0 is an order-p elementary function with zero o↵se e global optimum in the search space x⇤ , the FDC can r = f[1](x⇤ ) f p n . Los componentes rugosos (de alto orden) no se consideran en FDC EvoCOP 2012, LNCS 7245: 111-123 Si j=1 j = 1 2 f[j] = 0 for j > 0 f[0] = f r = f[j](x⇤ ) f p n r = 0 x) + f[1](x) + f[2](x) + . . . + f[n](x) a1 = 7061.43 a2 = a3 = . . . = a45 = 1 8 9 Autocorrelación FDC Fitness esperado Runtime R-ball PX
  15. 15. 15 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones Fitness esperado tras cruce y mutación Probabilidad de mutación to present the main result of this work combining the results of mmas 1 and 2. e a pseudo-Boolean function defined over Bn and aw with w 2 Bn The following identity holds for E{f(Mµ(U⇢(x, y)))}: (Mµ(U⇢(x, y)))} = nX r,l=0 A(r,l) x,y (1 2⇢)r (1 2µ)l , (29) A (r,l) x,y are defined by: A(r,l) x,y = X w2Bn,|w|=l |(x y)^w|=r aw w(y), (30) l. 10 we are ready to present the main result of this work combining the r on 3 and Lemmas 1 and 2. m 1. Let f be a pseudo-Boolean function defined over Bn and aw with h coe cients. The following identity holds for E{f(Mµ(U⇢(x, y)))}: E{f(Mµ(U⇢(x, y)))} = nX r,l=0 A(r,l) x,y (1 2⇢)r (1 2µ)l , e coe cients A (r,l) x,y are defined by: A(r,l) x,y = X w2Bn,|w|=l |(x y)^w|=r aw w(y), ) = 0 for r > l. 10 Bias del cruce Superficie de esperanza Theor. Comp. Sci. 545: 76-93 (2014) Autocorrelación FDC Fitness esperado Runtime R-ball PX
  16. 16. 16 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones • El tiempo esperado de resolución es una fracción polinomial en p (prob. mut.) • Probabilidad de mutación óptima para n=2 articular instances. The disadvantage is that the expression is quite complex to yze and we need to use numerical methods, so it is not easy to generalize the answ btained. Let us first start by studying the (1 + 1) EA. Taking into account the $ ma efined in (51) for Onemax, the expected number of iterations can be exactly compu s a function of p, the probability of flipping a bit. Just for illustration purposes resent the expressions of such expectation for n  3: E{⌧} = 1 2p for n = 1, E{⌧} = 7 5p 4(p 2)(p 1)p for n = 2, E{⌧} = 26p4 115p3 + 202p2 163p + 56 8(p 1)2p (p2 3p + 3) (2p2 3p + 2) for n = 3. volutionary Computation Volume x, Number x n=1 n=2 n=3 n=4 n= p E{t} 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 gure 1: Expected runtime of the (1+1) EA for Onemax as a function of the probabi flipping a bit. Each line correspond to a different value of n from 1 to 7. Having the exact expressions we can compute the optimal mutation probabi r each n by using classical optimization methods in one variable. In particular, = 1 the optimal value is p = 1 as we previously saw and for n = 2 we have to solv ubic polynomial in order to obtain the exact expression. The result is: p⇤ 2 = 1 5 0 @6 3 s 2 23 5 p 21 3 s 23 5 p 21 2 1 A ⇡ 0.561215, ( hich is slightly higher than the recommended value p = 1/n. As we increase nalytical responses for the optimal probability are not possible and we have to ap Runtime de (1+1) EA Autocorrelación FDC Fitness esperado Runtime R-ball PX
  17. 17. 17 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones Runtime de (1+1) EA: curvas alternate between two solutions if p = 1. However, when n = 1 the probability p = 1 is valid, furthermore, is optimal, because if the global solution is not present at the beginning we can reach it by alternating the only bit we have. In Figure 1 we show the expected runtime as a function of the probability of flipping a bit for n = 1 to 7. We can observe how the optimal probability (the one obtaining the minimum expected runtime) decreases as n increases. n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 p E{t} 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 5 10 15 20 25 30 Figure 1: Expected runtime of the (1+1) EA for Onemax as a function of the probability Evol. Comp. Journal 10.1162/EVCO_a_00130 (in press) Autocorrelación FDC Fitness esperado Runtime R-ball PX
  18. 18. 18 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones Runtime de (1+1) EA: probabilidades óptimas Fitness Probability Distribution of Bit-Flip Mutation n p⇤ n E{⌧} n p⇤ n E{⌧} n p⇤ n E{⌧} 1 1.00000 0.500 35 0.03453 273.018 68 0.01741 648.972 2 0.56122 2.959 36 0.03354 283.448 69 0.01715 661.189 3 0.38585 6.488 37 0.03261 293.953 70 0.01690 673.445 4 0.29700 10.808 38 0.03172 304.531 71 0.01665 685.740 5 0.24147 15.758 39 0.03088 315.181 72 0.01642 698.073 6 0.20323 21.222 40 0.03009 325.900 73 0.01618 710.444 7 0.17526 27.120 41 0.02933 336.688 74 0.01596 722.852 8 0.15391 33.391 42 0.02861 347.541 75 0.01574 735.298 9 0.13710 39.990 43 0.02793 358.459 76 0.01553 747.779 10 0.12352 46.882 44 0.02727 369.441 77 0.01532 760.297 11 0.11233 54.039 45 0.02665 380.484 78 0.01512 772.849 12 0.10295 61.437 46 0.02605 391.587 79 0.01492 785.437 13 0.09499 69.057 47 0.02548 402.750 80 0.01473 798.059 14 0.08815 76.882 48 0.02493 413.970 81 0.01454 810.715 15 0.08220 84.898 49 0.02441 425.247 82 0.01436 823.405 16 0.07699 93.092 50 0.02391 436.580 83 0.01418 836.128 17 0.07239 101.454 51 0.02342 447.967 84 0.01400 848.884 18 0.06830 109.974 52 0.02296 459.407 85 0.01384 861.673 19 0.06463 118.642 53 0.02251 470.900 86 0.01367 874.493 20 0.06133 127.453 54 0.02208 482.444 87 0.01351 887.345 21 0.05835 136.398 55 0.02167 494.038 88 0.01335 900.229 22 0.05563 145.471 56 0.02127 505.682 89 0.01320 913.143 23 0.05316 154.667 57 0.02088 517.374 90 0.01304 926.088 24 0.05089 163.981 58 0.02051 529.114 91 0.01290 939.063 25 0.04880 173.406 59 0.02016 540.901 92 0.01275 952.069 26 0.04687 182.940 60 0.01981 552.734 93 0.01261 965.104 Autocorrelación FDC Fitness esperado Runtime R-ball PX
  19. 19. 19 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones • Quremos encontrar movimientos de mejora en una bola de radio r alrededor de x • ¿Cuál es el coste de esta exploración? • Por enumeración completa: O (nr) si la función de evaluación es O(1) • Nuestra contribución: Movimientos de mejora en una bola de radio r r Una forma de encontrar movimientos de mejora en una bola de radio r en O(1) (tiempo constante, independiente de n) Autocorrelación FDC Fitness esperado Runtime R-ball PX
  20. 20. 20 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones Resultados: comprobando el tiempo constante • Sanity check: invertir cada variable el mismo número de veces (120 000) y medir el tiempo y la memoria requerida para el cómputo NKq-landscapes • Adjacent model • N=1,000 to 12,000 • K=1 to 4 • q=2K+1 • r=1 to 4 • 30 instancias por conf. K=3 r=1 r=2 r=3 r=4 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 5 10 15 20 N TimeHsL r=1 r=2 r=3 r=4 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 50000 100000 150000 N Scoresstoredinmemory GECCO 2014: 437-444 Autocorrelación FDC Fitness esperado Runtime R-ball PX
  21. 21. 21 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones Next improvement algorithm • Los movimientos más cercanos se seleccionan antes (p. ej., r=1 antes que r=2) ists (Sv > 0 for some v 2 Mr ), the algorithm selects one of the improving moves t (line 6), updates the Scores using Algorithm 1 (line 7) and changes the current solution by the new one (line 8). Algorithm 3 Hamming-ball next ascent. 1: best ? 2: while stop condition not met do 3: x randomSolution(); 4: S computeScores(x); 5: while Sv > 0 for some v 2 Mr do 6: t selectImprovingMove(S); 7: updateScores(S,x,t); 8: x x t; 9: end while 10: if best = ? or f(x) > f(best) then 11: best x; 12: end if 13: end while Regarding the selection of the improving move, our ap- proach in the experiments was to select always the one with the lowest Hamming distance to the current solution, that 5. In with used tion chan resp whe K v rand rand tion indi NKq opti rith of s c = bou Autocorrelación FDC Fitness esperado Runtime R-ball PX
  22. 22. 22 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones Resultados del algoritmo The normalized distance to the optimum, nd, is: nd(x) = f⇤ f(x) f⇤ , (11) where f⇤ is the fitness value of the global optimum, com- puted using the algorithm by Wright et al. [10]. Figure 7: Normalized distance to the global opti- mum for the Hamming-ball next ascent. NKq-landscapes • Adjacent model • N=10,000 • K=1 • q=2K+1 • r=1 to 10 • 30 instancias • Desde r=6 a r=10 el óptimo global siempre se encuentra • r=10 siempre encontró el óptimo global en el primer ascenso r=7 siempre encuentra el óptimo global en menos de 2.1 s Autocorrelación FDC Fitness esperado Runtime R-ball PX
  23. 23. 23 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones Partition Crossover para espacios binarios • El análisis de la interacción entre variables ha permitido desarrollar un operador de cruce que explora un número exponencial de posibilidades en tiempo lineal • Partiendo de óptimos locales, este cruce obtiene otros óptimos locales con muy alta probabilidad • Resultados preliminares (no publicados) indican que su combinación con la búsqueda local eficiente permite encontrar soluciones globales muy rápidamente (p. ej., 600 ms para un problema de 12 000 variables) Grafo de interacción de variables Particiones obtenidas para dos soluciones concretas Autocorrelación FDC Fitness esperado Runtime R-ball PX FOGA 2015
  24. 24. 24 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones • En este artículo se presenta la descomposición en landscapes elementales del problema de diseño de una red de radio • Esta teoría ha permite diseñar nuevos operadores y analizar los problemas de optimización desde otro ángulo • En general, la teoría de landscapes permite realizar acelerar considerablemente ciertas operaciones (desde cálculos estadísticos hasta exploración de una región del espacio de búsqueda) Conclusiones Trabajo futuro • Adecuar las implementaciones experimentales de los algoritmos para hacerlas open source y ofrecer tanto el código fuente como un manual de uso a la comunidad • Continuar con el diseño de operadores basados en la teoría de landscapes • Nuevos resultados teóricos Conclusiones y trabajo futuro
  25. 25. 25 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero ¡¡¡ Gracias por su atención !!! Descomposición en Landscapes Elementales del Problema de Diseño de Redes de Radio con Aplicaciones

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