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AULA DE TRIGONOMETRIA

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Tarefa do curso CECIERJ. Aula de Trigonometria com ângulos Notáveis. Matéria Informatica Educativa 1

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AULA DE TRIGONOMETRIA

  1. 1. 26/10/2012
  2. 2. 2 TrigonometriaO significado da palavra trigonometria, vem dogrego e resulta da conjunção de três palavras: Tri – três Gonos – ângulo Metrein - medirTrigonometria significa, o estudo das medidas dos triângulos.
  3. 3. 3
  4. 4. 4Aplicações da Trigonometria
  5. 5. 5
  6. 6. 7 Triângulo retângulo Triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°.cateto hipotenu cateto cateto sa cateto hipotenu sa A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo; Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre 180°; Como num triângulo retângulo um dos ângulos é reto, a soma dos outros dois ângulos agudos (menores que 90º) é sempre 90°; Quando a soma de dois ângulos internos é igual a 90°, dizemos que esses ângulos são complementares.
  7. 7. 8 Teorema de PitágorasEm todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos. a=5b=3 a 2 =b 2 +c 2 52 =3 2+ 4 2 25=9+ 16 25=25 c=4
  8. 8. 12 Relações Trigonométricas num triângulo retânguloSeno Cosseno Tangente
  9. 9. 13Exemplo de aplicação:
  10. 10. 15Exemplo deaplicação:
  11. 11. 17Exemplo de aplicação:
  12. 12. 18Cálculo de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis Seno, cosseno e tangente de 30° e 60º cateto oposto senα= hipotenusa cateto adjacente cosα= hipotenusa cateto oposto tgα = cateto adjacente 2
  13. 13. 19Seno, cosseno e tangente de 45° cateto oposto senα= hipotenusa cateto adjacente cosα= hipotenusa cateto oposto tgα= cateto adjacente
  14. 14. 20Construção da Tabela Trigonométrica
  15. 15. 21Relações entre seno, cosseno e tangente
  16. 16. 22
  17. 17. 23Observe a situação a seguir:Um fio elétrico será instalado entre um poste P e uma casa, separadospor um lago em um terreno plano. Como calcular o comprimento dofio necessário para a instalação?Pela necessidade de solucionarproblemas relacionados a triângulosque não são retângulos, sedesenvolveram formas de trabalharcom senos e cossenos de ângulosobtusos ( maiores que 90°).
  18. 18. 24Teorema ou Lei dos SenosA lei dos senos pode ser utilizada emqualquer triângulo. No caso detriângulos retângulos, basta considerarsen 90° = 1.
  19. 19. 25 Aplicação da Lei dos SenosA Lei dos Senos é geralmente usada, quando são conhecidos 2 ângulos internose a medida do cateto oposto a um desses ângulos.
  20. 20. 26 Teorema ou Lei dos CossenosA Lei dos Cossenos é geralmente usada, quando são conhecidas as medidas dedois lados e o ângulo formado por eles.
  21. 21. 27Exemplo:
  22. 22. 28Área de um triângulo
  23. 23. 29Existem problemas em que se deseja calcular a área de um triânguloe não são conhecidas as medidas da base e altura. Nesses casos,a área pode ser calculada de duas maneiras diferentes: 1ª maneira: Área de um triângulo em função da medidas de dois lados e do ângulo compreendido entre eles.
  24. 24. 302ª maneira: Fórmula de Heron
  25. 25. 31
  26. 26. 38CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
  27. 27. CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA: Arcos Simétricos π 90°= 2 IIQ :180 ° −α IQ : α π−α 180°= π 360°=2πIIIQ :180°+ α IV :360 °−α π+α 2 π-α 3π 270°= 2
  28. 28. 42Sinal COSSENO: 90° 120° = = 135° = 60° = 45° 150° = = 30° Cosseno =2π=360 ° 210° = = 330° 225° = = 315° 240° = = 300° 270°
  29. 29. 43Sinal TANGENTE: Tangente 90° 120° = = 135° = 60° = 45° 150° = = 30° =2π=360 ° 210° = = 330° 225° = = 315° 240° = = 300° 270°
  30. 30. 44Sinal SENO: Seno 90° Tangente 120° = = 60° 135° = = 45° 150° = = 30° Cosseno =2π=360 ° 210° = = 330° 225° = = 315° 240° = = 300° 270°
  31. 31. 45 OUTRAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 1Secante: o sinal da secante é o mesmo do cosseno sec x= cos x Cossecante: o sinal da cossecante é o mesmo do 1 cossec x= seno sen x Cotangente: o sinal da cotangente é o mesmo da cos x cot gx= tangente. sen x
  32. 32. Para iniciar desenhando a circunferência clique em"círculo de raio fixo", como mostra a figura abaixo.
  33. 33. 1) Nomear o circulo, dando 1 ao tamanho do RAIO2) Personalizar cor e estilo3) Usar botão direito e janela de edição para acertar informações docentro do círculo
  34. 34. Por uma questão de conveniência, o centro de nossa circunferência seráa origem. Para determinar o centro como o ponto (0,0) basta alterar osvalores de x e y para 0, na janela de edição desse ponto.Para uma visualização com os eixos coordenados basta clicar na opçãoexibir grade ,no menu de comandos do software.Localizaremos tambémos pontos (1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1). Para localizá-los, clique na opção ponto , no menu de comandos. Para editá-los, bastaclicar com o botão direito do mouse e digitar a coordenada do ponto em"nome".Caso o nome do ponto - ou de qualquer outro objeto - não estejaaparecendo, clique em exibir nomes dos objetos , na janela de edição dopróprio objeto.Veja figura a seguir:
  35. 35. Desenharemos agora retas que "passam em cima" dos eixoscoordenados (essa construção será feita para auxiliar futuramentena construção do triângulo, onde estudaremos as funções seno ecosseno).Assim, para construir essas retas basta clicar em reta . Clique noponto (-1, 0) e logo após em (1, 0) para construir a reta r que "passaem cima" do eixo das abscissas - ou primeiro em (1, 0) e depois em (-1, 0).Para construir a reta s, que "passa em cima" do eixo das ordenadas,basta selecionar a opção perpendicular . Clique então sobre a retaconstruída anteriormente e logo após clique no ponto (0, 1) - ou noponto (0, -1). (Poderíamos também construir essa segunda reta damesma maneira como construímos a primeira)Obs: Para visualizar se as retas foram de fato construídas, selecioneexibir grade duas vezes, para que os eixos coordenados sejamocultos.Veja figura a seguir:
  36. 36. Para a construção do triângulo, primeiro devemos construir um ponto Psobre a circunferência - escolheremos aqui um ponto localizado noprimeiro quadrante.Logo após, vamos construir uma reta que seja paralela à reta r e passepor P. Construiremos também uma reta que seja paralela à reta spassando por P. Para construir uma reta paralela à outra, clique emparalela .Essa construção está representada abaixo:
  37. 37. Para a construção do triângulo, selecione a opção polígono . Clique naorigem, no ponto P, na interseção das retas s e paralela-s e finalize otriângulo clicando novamente na origem.Você pode editar o triângulo clicando com o botão direito do mousesobre ele.Você pode também determinar o ângulo compreendido entre P, aorigem e o eixo das abscissas. Para tanto, basta, primeiramente,desenhar um ponto Q sobre o eixo x perto da origem. Clique em ânguloe selecione esses três vértices que irão compreender esse ângulo.Você pode editar também o ângulo, selecionando nele com o botãodireito do mouse sobre ele. Para permitir uma visão do ângulo menos"poluída", você pode ocultar esse ponto Q, editando-o.
  38. 38. Você pode animar sua construção! Para isso, clique em animar um ponto . Em seguida, clique no ponto P, no círculo e novamente no ponto P.
  39. 39. Continuação....
  40. 40. EXEMPLO DE APLICAÇÃOI) Seno e Cosseno de um arco1. Utilizando a opção mover ponto no menu de comandos,você pode mover o ponto P e observar o que ocorre comsuas coordenadas.a) Mova o ponto P até que o ângulo formado seja de 45º (oângulo é formado por P, origem e eixo das abscissas).Tente estimar o valor do seno deste ângulo, através dasrelações no triângulo retângulo (lembre-se de que o raio dacircunferência mede 1). Tente estimar também o valor docosseno de 45º.b) De modo semelhante, estime o valor do seno e docosseno de 30º.2. Quando consideramos uma circunferência de raio igual a1, a que conclusão podemos chegar sobre as coordenadasdo ponto P, ou seja, qual o significado da coordenada x doponto P? Qual o significado da coordenada y desse ponto?
  41. 41. EXEMPLO DE APLICAÇÃO...3. Considere agora o primeiro quadrante (ângulos entre 0 e 90º) docírculo. Os valores para o seno de um arco (arco é o "pedacinho"da circunferência de extremos (1,0) e P, como se fosse a borda deuma fatia de pizza) nesse quadrante são positivos ou negativos?Quanto aos valores do cosseno, são positivos ou negativos?4. Considere agora o segundo quadrante (ângulos entre 90º e 180º).Observe que os quadrantes do círculo trigonométrico sãodeteminados no sentido anti-horário. Os valores para o seno de umarco nesse quadrante são positivos ou negativos? Quanto aosvalores do cosseno, são positivos ou negativos?5. Considere agora o terceiro quadrante (ângulos entre 180º e270º). Os valores para o seno de um arco nesse quadrante sãopositivos ou negativos? Quanto aos valores do cosseno, sãopositivos ou negativos?
  42. 42. EXEMPLO DE APLICAÇÃO...6. Considere agora o quarto quadrante (ângulos entre 270º e360º). Os valores para o seno de um arco nesse quadrante sãopositivos ou negativos? Quanto aos valores do cosseno, sãopositivos ou negativos?7. Para determinar o sinal do seno de um arco, basta olharmosaté que quadrante um arco está desenhado. O valor do seno deum arco é medido através de qual eixo coordenado? Em quaisquadrantes o valor do seno será positivo? Onde ele seránegativo? Por quê?8. Para determinar o sinal do cosseno de um arco, basta olharmosaté que quadrante um arco está desenhado. O valor do cossenode um arco é medido através de qual eixo coordenado? Em quaisquadrantes o valor do cosseno será positivo? Onde ele seránegativo? Por quê?
  43. 43. EXEMPLO DE APLICAÇÃO...9. Utilizando a construção feita no Régua e Compasso,determine o valor máximo do seno de um arco. Deteminetambém o valor mínimo. Com relação ao cosseno, qual seuvalor máximo e mínimo?10. Determine o seno e o cosseno dos seguintes ângulos:a) 0º b) 90º c) 180º d) 270º e) 360º11. Disponha em ordem crescente o seno e o cosseno dosseguintes ângulos: 20º, 170º, 260º, 300º.12. Disponha em ordem crescente os seguintes números reais:a) sen 50º, sen 100º, sen 200º, sen 300ºb) cos 50º, cos 100º, cos 200º, cos 300º
  44. 44. REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTEPodemos obter valores de senos e cossenos de arcos dos 2º, 3º e 4ºquadrantes, usando os valores do 1º quadrante. Assim, observe asfiguras abaixo e determine:a) os ângulos que estão faltando (aqueles que possuem um ponto deinterrogação)b) o valor do seno e do cosseno dos quatro ângulos de cada figura
  45. 45. Considerações FinaisEste trabalho não foi montado com ideias exclusivamenteminhas. Fiz diversas pesquisas na INTERNET buscandosituações semelhantes àquelas que tinham relação com o meuplanejamento original.Este trabalho não é uma cópia, mas estão aqui presentesdiversos elementos idênticos aos utilizados pelos seuscriadores.Uma vez disponível na REDE, o material encontrado estádestinado ao aprendizado do conteúdo.Numa eventual aula, com recursos digitais, não estádescartada a hipótese de substituir este trabalho pelo acessodireto a alguns links citados nas referências.JULIO CESAR FACINA NETTO
  46. 46. Referênciashttp://pt.wikipedia.org/wiki/Projeto_de_aprendizagemhttp://programaamigodevalor.ning.com/?utm_source=google&utm_medium=cpc&utm_term=educacao&utm_campaign=amigo_valorhttp://www2.mat.ufrgs.br/~mat01074/20072/grupos/quefren_queops/lista_rec.htmhttp://stg2.novoser.com.br/SER_PP%20CDConvSim/000895/trigonometria4.swfhttp://www2.mat.ufrgs.br/~mat01074/20072/grupos/quefren_queops/tutorial_rec.htm http://www.serprofessoruniversitario.pro.br/m%C3%B3dulos/metodologia-da- pesquisa/instrumentos-de-coleta-de-dados-em-pesquisas-educacionais#.UHm5N2-jatZ http://www.google.com.br/url? sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCEQFjAA&url=http%3A%2F %2Fwww.pmerechim.rs.gov.br%2Fuploads%2Ffiles%2FRevis%25C3%25A3

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