Este documento presenta los temas de álgebra que se cubrirán en el primer cuatrimestre de la licenciatura en ingeniería industrial para el alumno Jesús Alberto Escobar Gómez. Los temas incluyen leyes algebraicas y operaciones, ecuaciones y desigualdades, y trigonometría. Se cubrirán conceptos como productos notables, factorización, números complejos, ecuaciones de primer y segundo grado, y funciones trigonométricas. El documento también incluye ejemplos resueltos de diferentes problemas algebraicos.

1. UNIVERSIDAD DEL VALLE DE
ATEMAJAC
ALUMNO: JESÚS ALBERTO ESCOBAR GÓMEZ
LICENCIATURA EN INGENIERIA INDUSTRIAL
1ER. CUATRIMESTRE
PROFESOR: RUBEN TORRES GARCÍA
SEPTIEMBRE DE 2009

2. 1. LEYES ALGEBRAICAS Y OPERACIONES
• Operaciones algebraicas.
• Productos notables.
• Factorización.
• Operaciones con fracciones.
• Base, exponentes y potencias.
• Radicales

3. 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES
• Números complejos.
• Ecuaciones lineales.
• Ecuaciones cuadráticas.
• Sistema de ecuaciones

4. 3. TRIGONOMETRÍA
• Ángulo.
• Medidas del ángulo.
• Conversiones.
• Ángulos coterminales.
• Funciones trigonométricas.
• Solución de triángulos acutángulos.
• Aplicaciones.

5. Ejemplo:
Reglas:
(5x4 - 7x2 + 8x - 3) + (-9x4 + 2x – 9x2 + 8) =
• Cuando hay signos iguales los Solución:
coeficientes se suman y se mantiene el
signo.
5x4 - 7x2 + 8x - 3
+
-9x4 - 9x2 + 2x + 8
• Cuando hay signos diferentes los _____________________________
coeficientes se restan y se pone el signo
- 4x4 -16x2 + 10x + 5
del coeficiente mayor.
RESULTADO = - 4x4 -16x2 + 10x + 5

6. Ejemplo:
Reglas:
(4x3 – 7x2 + 2x - 9) - (2x2 + 3x – 6x3 - 1) =
• Se cambia el signo de todos las
cantidades del sustraendo, para Solución:
después sumar y tener el resultado.
• Se ordenan los términos cuando estos 4x3 – 7x2 + 2x – 9
están en desorden. -
6x3 - 2x2 - 3x + 1
________________________
10x3 – 9x2 – x – 8
RESULTADO = 10x3 – 9x2 – x – 8

7. Reglas: Ejemplo:
(6x2 - 7x + 3) (x + 5) =
• Cuando dos signos iguales se multiplican
resultado es positivo (+); cuando se Solución:
multiplican dos signos diferentes el resultado
es negativo (-).
6x2 - 7x + 3
• Anotar las variables en orden alfabético.
Por x + 5
• Los exponentes se suman. ___________________________
6x3 – 7x2 – 3x
• Se aplican las reglas de la suma. +
30x2 – 35x + 15
_____________________________________
6x3 + 23x2 - 38x + 15
RESULTADO = 6x3 + 23x2 - 38x + 15

8. 1. SOLUCIÓN COMÚN
Solución:
Ejemplo: 8x2 - 11x + 13
x+1 8x3 – 3x2 + 2x –1
-8x3 - 8x2
8x3 – 3x2 + 2x – 1
- 11x2 + 2x
=
+ 11x2 +11x
x+1
+13x – 1
-13x - 13
- 14
RESULTADO
=8x2 - 11x + 13 + ( -14 / x + 1 )

9. 2. SOLUCIÓN SINTÉTICA Solución:
Ejemplo: 7 + 2 - 3 + 5 ˾6
7x3 + 2x2 – 3x + 5 + 42 + 264 + 1566
= 7 + 44 + 261 + 1571
x–6
RESULTADO
= 7x2 + 44x + 261 + (1571/ x – 6)

10. Ejemplo:
Llamamos binomios conjugados a dos (5x2 - 7y3)(5x2 + 7y3) =
binomios que tengan los mismos términos
en suma y resta.
RESULTADO
= 25x4 – 49y6
(a+b)(a-b)=a2-b2

11. Ejemplo:
(3a + b) 2 =
Se soluciona de la siguiente forma:
Solución:
(a + b) 2
= 9a2 + 2 (3a) (b) + b2
= a2 + 2ab + b2 = 9a2 + 6ab + b2
RESULTADO
= 9a2 + 6ab + b2

12. Ejemplo:
( 4a2 + 5b3 )3 =
La formula para solucionarlos es la
siguiente: Solución:
=(4a2)3 + 3 (4a2)2 (5b3) +3 (4a2) (5b3)2 + (5b3)3
(a + b) 3 = 64a6 + 3 (16a4)(5b3) + (4a2)(25b6) + 125b9
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
RESULTADO:
= 64a6 + 240a4b3) + 300a2b6) + 125b9

13. 2. Con coeficiente en el primer término
Ejemplo:
1. Sin coeficiente en el primer término
(3x + 7) (3x + 8) =
Ejemplo:
(x + 7) (x + 8) =
Solución:
Solución: 9x2 + 45x + 56
x2 + 15x + 56
RESULTADO:
RESULTADO:
9x2 + 45x + 56
x + 15x + 56
2

14. Para dar solución a estos ejercicios utilizamos
la siguiente fórmula:
(a + b + +c)2= a2 + b2 + c2 + + 2ab + 2bc + 2ac
Ejemplo:
(5x2 – 7y3 + 8z4)2 =
Solución:
= (5x2) 2 + (– 7y3) 2 + ( 8z4)2 +2(5x2)(– 7y3) + 2(– 7y3)(8z4) + 2(5x2)(8z4)
= 25x4 + 49y6 + 64z8 – 70x2y3 – 112y3z4 + 80x2z4
RESULTADO
= 25x4 + 49y6 + 64z8 – 70x2y3 – 112y3z4 + 80x2z4

15. Ejemplo: Ejemplo:
100a2b3c - 150ab2c2 + 50ab3c3 - 200abc2 = 49x2 - 81y8 =
Solución: Solución:
• Obtenemos la raíz cuadrada de los dos
= 50abc (2ab2 - 3bc + b2c2 - 4c) términos, después lo convertimos en
productos de binomios conjugados.
Factor común = (7x + 9y4) (7x - 9y4)
RESULTADO:
RESULTADO:
= (7x + 9y4) (7x - 9y4)
= 50abc (2ab2 - 3bc + b2c2 - 4c)

16. ax +bx + C
2
a). TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: b). CASO 2
Ejemplo:
Ejemplo:
x2 - 5x - 36 =
Solución:
9b2 - 30a2b + 25a4 =
• Ponemos dos paréntesis en donde
descompondremos la x2, bajamos el primer
Solución: signo al primer paréntesis, y para el segundo
• Obtenemos la raíz cuadrada del primer multiplicamos (-)(-).
término y del segundo, también bajamos
el primer signo, y todo el binomio lo = (x - )( x + )
elevamos • Buscamos dos números que multiplicados
al cuadrado. den -36 y sumados resulten -5, y los ubicamos
en el primer y segundo paréntesis.
= (3b - 5a2)2
=(x - 9)( x + 4)
RESULTADO: RESULTADO:
=(x - 9)( x + 4)
= (3b - 5a ) 2 2

17. c). CASO 3 3.
= (3x + 2) (7x - 1)
Ejemplo:
21x2 + 11x - 2 =
RESULTADO:
Solución: = (3x + 2) (7x - 1)
1. (21x + 14) (21x - 3)
=
21
2. 7(21x + 14) 3 (21x - 3)
=
21

18. a). SUMA
b). DIFERENCIA
Utilizamos la siguiente fórmula:
Utilizamos la siguiente fórmula:
x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)
x3 - y3 = (x - y) (x2 - xy + y2)
Ejemplo:
Ejemplo:
729x3 + 1000y3 = 64a6 - 27b9=
Solución: Solución:
= (9x + 10y) (81x2 - 90xy + 100y2) = (4a2 - 3b3) (16a4 +12a2b3 + 9b6)
RESULTADO: RESULTADO:
= (9x + 10y) (81x - 90xy + 100y )
2 2
= (4a2 - 3b3) (16a4 +12a2b3 + 9b6)

19. Simplificamos
(x - 6) (x - 4) (x - 8) (x + 6)
(x - 6) (x + 5) (x - 8) (x - 4)
EJEMPLO :
x2 - 10x + 24 x 2 - 2x - 48 x + 6
30 + x - x2 x2 - 12x + 32 x + 5
Solución:
Factorizamos RESULTADO:
(x - 6) (x - 4) (x - 8) (x + 6) x + 6
(x - 6) (x + 5) (x - 8) (x - 4) x + 5

20. Ejemplo: Simplificamos
x2 + 2x - 8 x 2 - 4x + 4 (x + 4) (x - 2) (x - 4) (x - 2)
x2 - 3x - 4 x 2 - 6x + 8 (x - 4) (x + 1) (x - 2) 2
Solución:
Invertimos el divisor x + 4
x2 + 2x - 8 x 2 - 6x + 8 x - 1
x2 - 3x - 4 x 2 - 4x + 4
Factorizamos y multiplicamos RESULTADO:
(x + 4) (x - 2) (x - 4) (x - 2) x + 4
(x - 4) (x + 1) (x - 2) 2 x - 1

21. Ejemplo:
4x + 10 x - 11 1
x2 + 2x - 8 x2 - x - 12 x - 1
Solución:
• Factorizamos denominadores.
4x + 10 x - 11 1
(x+4) (x-2) (x-4) (x+3) x - 1
• Determinamos el común denominador.
• Dividimos el común denominador entre cada denominador y lo multiplicamos por el numerador.
(x-4)(x+3)(x-1)(4x+10) - (x+4)(x+2)(x-1)(x-11) + (x+4)(x-2)(x-4)(x+3)
(x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)

22. • Multiplicamos numeradores
4x4+2x3-64x2-62x+120-x4+10x3+2x2-118x+88x4+x3-22x2-16x+96
(x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)
• Sumamos términos comunes
4x4+13x3-65x2-196x+304
(x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)
RESULTADO:
4x4+13x3-65x2-196x+304
(x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)

23. a) LEY 1
xa xb = xa+b
Ejemplo:
Exponente
x2 x4 =
Solución:
Sumamos los exponentes
Base Potencia
= x6
RESULTADO:
x6

24. b). LEY 2 c). LEY 3
xa / xb = xa-b (xa)b = xab
Ejemplo:
x8 / x 3 = Ejemplo:
Solución: (x3)6=
Restamos los exponentes Solución:
= x5 Multiplicamos los exponentes
= x18
RESULTADO: RESULTADO:
x5 x18
d). LEY 4 e). LEY 5
1/x = x-a a
√xb = xb/a
a
Ejemplo:
Ejemplo:
x / y =
-3 -5
3
√ x7 =
Solución:
Solución:
Intercambiamos los términos para convertir los
exponentes a positivos. Invertimos el radical y el exponente
= x 7/3
= x-3 / y-5
RESULTADO:
RESULTADO:
x-3 / y-5 x 7/3

25. 1. ESCRIBE LA EXPRESIÓN EN FORMA DE 3. FORMA ESTANDAR.
RADICAL.
Reglas de la forma estándar de los radicales:
x - 2y =
1/2 1/3
• El radicando debe ser positivo (+).
• El índice debe ser el menor posible.
RESULTADO: • El exponente de cada factor del radicando es
un número natural menor que el índice.
= √ x - 2 3√ y
• No debe haber fracciones en el radicando.
Ejemplo:
2. ESCRIBE EMPLEANDO EXPONENTES.
4
√64x4y10= 4 √26x4y10 = 26/4 x y10/4 =
= 23/2 x y5/2 = x √ 23 y5
4
√x4 y9= = 2x y2 √2y
RESULTADO:
RESULTADO:
= x y9/4
2x y2 √2y

26. 4. SUMA Y RESTA DE RADICALES. 6. DIVICIÓN DE RADICALES (RACIONALIZAR
Ejemplo: UN RADICAL).
√24 - √54 + √98 = Ejemplo:
Solución: 5+ √7
3- √ 7
= √(23)(3) - √(33)(2) + √(72)(2) Solución:
= - √ 6 + 7 √2 5 + √7 3 + √7 15 + 5 √7 + 3 √7 + 7
3 - √7 3 + √7 9 - √ 72
RESULTADO:
22 + 8 √7 22 8 √7
- √ 6 + 7 √2
9 - 7 2
5. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES. = 11 + 4 √7
Ejemplo:
(2 √7 - √3) (5 √7 + 4 √3 = RESULTADO:
Solución:
11 + 4 √7
= 10 √72 + 8 √21 - 5 √21 - 4 √3 2
= 10 (7) + 3 √21 - 14(3)
= 70 - 3 √21 -12
=58 + 3 √21
RESULTADO:
58 + 3 √21

27. FORMA:
1. SUMAS Y RESTAS.
Ejemplo:
(-7 –8i) – (4 + 9i) + (11 + 17i) =
a = Número Real (N. R.)
i = Unidad Imaginaria
Solución:
Valores de i
= -7 – 8i - 4 - 9i + 11 + 17i
i = √-1
i2= -1 = 0 + 0i
i3= -1
i4 = 1 RESULTADO:
0 + 0i

28. 2. MULTIPLICACIÓN. 3. DIVISIÓN.
Ejemplo: Ejemplo:
(7 - 2i) (6 + 9i)= 7 - 2i / 6 + 9i =
Solución: Solución:
7 – 2i 6 - 9i 42 – 63i – 12i + 18i 2
= 42 + 63i - 12i - 18i 2 6 + 9i 6 – 9i 36 - 81i 2
= 42 + 51i - 18 i2 42 – 75i + 18(-1) 24 - 75i 8 - 25i
36 - 81(-1) 117 39
= 42 + 51i - 18(-1)
= 60 + 51i RESULTADO:
8 -25i
RESULTADO: 39 39
60 + 51i

29. 1. IGUALDAD. 2. DESIGUALDAD.
Ejemplo: Ejemplo:
7x – 2x + 11 = 25 – 4x + 1 5x – 18 ≤ -7x +15
Solución:
Solución: 5x – 7x ≤ 15 + 18
7x – 2x + 4x = 25 + 1 – 11
-2x ≤ 33
9x = 15
2x ≥ 33
x = 15/9
x ≥ - 33/2
x = 5/3
RESULTADO:
RESULTADO:
x ≥ - 33/2
X= 5/3

30. ax2 +bx + C
2. POR FÓRMULLA GENERAL.
x = (-b ±√b2-4ac) / 2a
1. POR FACTORIZACION.
Ejemplo:
Mismo ejemplo:
6x2 + x – 12 = 0
Solución:
Solución:
= (2x + 3) (3x – 4) = 0
X = (-1 ±√12 – 4(6)(-12) ) / 2(6)
2x + 3 = 0 ; 3x – 4 = 0
X = (-1 ±√289) / 12
2x = -3 ; 3x = -4
X = (1 ± 17)/ 12
x1= -3/2 ; x2 = - 4/3
x1= (-1+ 17) / 12 ; x2 = (-1 -17) / 12
RESULTADO:
RESULTADO:
x1= -3/2 ; x2 = - 4/3
x1= 4/3 ; x2 = - 3/2

31. Ejemplo: x C
Δ= 2 7 = 8 -21 = - 13
2x + 8y = 7 3 4
3x – 5y = 4
Solución: x = Δx /Δ = -67/ - 34 = 67/34
x y y = Δy/Δ = -13 / -34 = 13/34
Δ= 2 8 = -10 -24 = -34
3 -5
RESULTADO:
C y
Δx = 7 8 = -35 -32 = -67 x = Δx /Δ = -67/ - 34 = 67/34
4 -5
y = Δy/Δ = -13 / -34 = 13/34

32. 90°
y
0°
180° x
ÁNGULO: 360°
Abertura formada por dos líneas que
parten de un mismo punto.
270°

33. 1. SISTEMA SEXAGESIMAL. 2. SISTEMA CÍCLICO.
Algunos Datos.- Algunos Datos.-
C = Circunferencia
Unidad= Radián
C = 360°
Unidad = grado = x°
Radián: Es el ángulo que intercepta un
arco de la misma longitud que el
Minuto = La parte mas pequeña del °
radio.
1°/60 = minuto = x´
Segundo = Parte más pequeña del ´ Múltiplo = π
1´/60= segundo = x ´´

34. 1. DE CÍCLICO A SEXAGESIMAL. 2. DE SEXAGESIMAL A CÍCLICO
Ejemplo:
Ejemplo:
4297°=
5/9 π + 3 =
Solución:
Solución: = 4297 (π/180)
= 5/9 (180) + 3 (180/π) = 74.99
= 100 + 171.8873
= 271° 53´ 14´´
RESULTADO:
RESULTADO: = 74.99
= 271° 53´ 14´´

35. Ejemplo:
θ = 46° Ángulo coterminal
= 314° θ = 46°
Solución:
Θ2 = 360° - 46
RESULTADO:
314°

36. FUNCIONES:
y
sen θ = c o / h
u sa
t en
cos θ = c a / h po Cateto
hi
opuesto
θ x
tan θ = c o / c a
Cateto
adyacente
cot θ = c a / c o
sec θ = h / c a
cos θ = h / c o

37. Ejemplo: Solución:
b2 = 122 – (112)
Encontrar los valores de los lados del
triángulo y sus funciones trigonométricas. b2 = 144 – 121
b2 = 23
b = √23
Sen x = 11/12
12 RESULTADO :
11
b = √23
x FUNCIONES.
b=?
Cos x = (√23)/12
Tan x = 11/ (√23)
TEOREMA DE PITÁGORAS:
Sec x = 12/12
c =a+b
2 2 2
Cosec x = 12 / (√23)
Cotan x = (√23) / 11

38. 1. CON UN ANGULO RECTANGULO Y DOS Solución: B
AGUDOS. (determina los valores)
A + B = 90
C=? DATOS: 45° + B = 90
B = 90° - 45°
b = 7 √2 B = 45°
c=14
a=? c = 14
Solución: a
A=? B=90° c2 = a 2 + b 2
b = 7√2
142 = a2 + ( 7√2)2
Solución: A 196 = a2 + 98
a2 = 196- 98
b/c = cos A a2 = 98
a = √98
(7√2)/14 = cos A a = √(72)(2)
Cos-1 = 0.7071
A= 45° a= 7 √ 2

39. 2. CON DOS ANGULOS AGUDOS Y UN OBTUSO Solución “c”:
a/sen A=c/ sen C
a) LEY DE LOS SENOS:
24.3/sen38°17´=c/sen91°46´
a/sen A = b/sen B = c/ sen C
c = (24.3/sen38°17´) (sen91°46´)
Ejemplo:
Datos: c = 39.2
A= 38°17´ a = 24.3
B= 49°57´ b = ?
C=? c = ?
Solución: “C” Solución “b”:
a/sen A = b/sen B
A+B+C = 180°
24.3/sen38°17´ = b / sen 49° 57´
38°17´+49°57´+C=180°
b = (24.3/sen38°17) ( sen 49°57´)
C= 180° - (38°17´+49°57´)
b = 30.02
C= 91°46´

40. Solución: “B”
b) LEY DE LOS COSENOS:
Cos B = (866.76 + 28.12 – 19.32 ) / 2(29.44)(28.1)
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A = 1283.88/1654.528
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B = 0.7759
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
Datos: B= cos-1 0.7759
A= 74°12´ a = ?
B= ? b = 19.3 RESULTADO:
C=? c = 28.1 B= 39°6´47´´
Solución: “a” Solución: “C”
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Cos C = (29.442 + 19.32 - 28.12 )/2(29.44)(19.3)
a2 = 19.32 + 28.12 – 2(19.3)(28.1) cos 74°12´ = 449.5936/1136.384
= 866.76 = 0.3953
a = 29.44 C= cos-1 0.3953
RESULTADO: RESULTADO:
a = 29.44 66°41´39´´

41. EJEMPLO:
Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el suelo horizontal que
esta a 40m de la base. Si el alambre hace un ángulo de 58°20´ con el suelo, calcula la longitud del
alambre.
58°20´
c a/ h = cos A
40/ h = cos 58°20´
h= 40/ cos 58° 20´
= 76.19m RESULTADO
76.19m