Logaritmos 4� eso

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Logaritmos 4� eso

  1. 1. LOGARITMOS
  2. 2. Se define la función logaritmo como: Log a b = na b n cuando: = Y dicha expresión se lee: « logaritmo en base “a” de “b” ». Nota: Si no se escribe la base del logaritmo, se considera que la base es 10. Este logaritmo es muy utilizado, pues lo podemos hallar con la calculadora. Es decir: 5454 10LogLog = Base 10Otro logaritmo muy usado es el logaritmo en base “e”, al cual se lo llama logaritmo neperiano, y se escribe: Ln
  3. 3. Ejemplos: =82Log 3, porque 823 = =813Log 4, porque 8134 = =−3 5 5Log –3, porque 33 55 −− = (Nospreguntamos: ¿A quénúmero tenemos queelevar el 2 paraquenosde8?) =4 5 3 3Log 4 5 porque 4 54 5 33 = =01,0Log 2− porque 01,010 2 =− =      2 1 e Ln 2− porque 2 2 1 e e =− 10
  4. 4. Es decir: =aalog nn (Veamos más ejemplos) =      8 1 2Log =      32 2 1 Log ( ) =−3 2 2Log =        9 3 3Log =         2 2 1 3 3 3 Log =− 2/3 33Log =        3 5 2,0 5 Log =           3 5 5 1 5 Log =        − 3 15 5 5 Log ( ) == 3/4 5 5Log –3 –3/2 4/3
  5. 5. =      325,0 4 4 Log =        3 1 4 1 4 4 Log =     3 2 4 1 4Log =      = − 3/2 4 1 4 1 Log Ejercicio: Calcula los siguientes logaritmos =        ⋅ 32 16 82 log)a 6 7 =        ⋅ ⋅ 4 3 1 39 273 log)b 4 1 − ( )=3 5 04,0log)c 3 2 − =      31,0 10 10 log)d 3 2 − –2/3
  6. 6. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
  7. 7. 1) La suma de logaritmos es el logaritmo del producto. ( ) ( ) )( baLogbLogaogL ⋅=+ Ejemplo: ( ) ( ) =+ 84 22 LogogL 5 Porque: 22 = 4 y 23 = 8 2 + 3 = =⋅ )84(2Log =)32(2Log Porque: 25 = 32 5
  8. 8. 2) La resta de logaritmos es el logaritmo del cociente. ( ) ( )       =− b a LogbLogaogL Ejemplo: ( ) ( ) =− 101000 LogogL 2 Porque: 103 = 1000 y 101 = 10 3 – 1 = =      10 1000 Log =)100(Log Porque: 102 =100 2
  9. 9. 3) Logaritmo de una potencia ( ) ( )aLognaogL n ⋅= Ejemplo: ( )=5 3 9ogL 10 ( ) =⋅ 95 3Log ( ) =⋅ 2 3 35 Log ( )[ ]= 52 3 3ogL ( )=10 3 3ogL =⋅25 10
  10. 10. 4) Logaritmo de una raiz ( ) ( ) n aLog aogL n = Ejemplo: ( )=1255ogL 2 3 ( ) = 2 1255Log ( ) = 2 53 5Log [ ]=3 5 5ogL =     2 3 5 5ogL 2 3 2 Recuerda
  11. 11. 5) Logaritmo de uno 01=aogL Porque: 10 =a 6) Logaritmo de cero o negativos Por que “a” elevado a cualquier número siempre es mayor que cero. 7) Cambio de un logaritmo a base 10 =bogL a No existe si: 0≤b aLog bLog bogL a = Base 10
  12. 12. Con estas propiedades también podemos calcular los logaritmos. Veamos un ejemplo. =        43 27 33 Log Ejemplo: ( ) ( )=− 4 33 2733 LogLog ( ) ( ) ( )=−+= 4 333 2733 LogLogLog ( ) ( ) ( ) =−+= 4 27 2 3 3 33 3 LogLog Log =−+= 4 3 2 1 1 = −+ 4 324 4 3
  13. 13. ECUACIONES LOGARITMICAS
  14. 14. • Son ecuaciones en las que aparecen logaritmos. • Resolverlas, consiste en hallar el valor o valores de X que hace ciertas dichas ecuaciones. • Para resolverlas hay que lograr dejar un logaritmo solo a cada lado. • Por último, hay que comprobar si la solución vale o no, porque puede que no exista el logaritmo (si es de un número negativo o de cero).
  15. 15. Ejemplos: 1)13log( =+x 1º ponemos a ambos lados un solo logaritmo (en este caso en base 10) 10log)13(log =+x10 10 1 Tachamos los logaritmos de ambos lados y nos queda: 1013 =+x Resolvemos normalmente 93 =x Y por último comprobamos si la solución es válida 110log)133log( ==+⋅ Correcto, pues el logaritmo sí existe. 3=x
  16. 16. ( ) ( )52log3log21log −=⋅++ xx [ ] ( )52log9)1(log −=⋅+ xx10 10 Tachamos los logaritmos de ambos lados y nos queda 5299 −=+ xx Resolvemos normalmente 147 −=x Por último comprobamos si la solución es válida )5)2(2log(3log2)12log( +−⋅=⋅++− Falso, pues el logaritmo de negativos no existe. Aplicamos propiedades ( ) ( )52log3log1log 2 −=++ xx ESTA ECUACIÓN NO TIENE SOLUCIÓN Ejemplos: 2−=x
  17. 17. Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones ( ) ( )4log26loglog) −⋅=−+ xxxa 8: =xSolución Sí vale ( ) 13log229log) =−+ xxb 1: =xSolución Sí vale ( ) 3 log6log3log21) 222 x xxc +=−⋅+ 2 3 : =xSolución No vale porque: log(3/2-3) es negativo ( ) ( )13log221log) 3 2 3 +⋅=++ xxd 3 4 : =xSolución Sí vale
  18. 18. Ejercicio: Resuelve los siguientes sistemas    −=+ −=− 25 loglog2 1log3log ) xy yx a 1,101: == yxSolución Sí vale    =+ =⋅ 0log3log 100 ) 42 yx yx b 101,1000: == yxSolución Sí vale
  19. 19. ECUACIONES EXPONENCIALES
  20. 20. • Son ecuaciones en las que aparecen la x en el exponente. • Resolverlas, consiste en hallar el valor o valores de X que hace ciertas dichas ecuaciones. • Para resolverlas: – Si podemos, tenemos que expresar como potencias en la misma base a ambos lados para luego igualar los exponentes. – Si no, tomaremos logaritmos en base 10 (que es lo que halla la calculadora) a ambos lados y aplicamos la propiedad 3 para “bajar” los exponentes multiplicando.
  21. 21. Ejemplos: 393 15 ⋅=−x Expresamos como potencias en base 3 a ambos lados 2 5 15 2 1 215 33 333 = ⋅= − − x x Tachamos los treses e igualamos los exponentes 2 5 15 =−x Resolvemos normalmente 10 7 2 7 5 = = x x Solución
  22. 22. Ejemplos: 142 35 −+ = xx No podemos expresar como potencias en igual base a ambos lados. Luego tomamos logaritmos en base 10 a ambos lados. 142 3log5log −+ = xx Hallamos los logratimos con la calculadora. ( ) ( ) 48,0170,042 ⋅−=⋅+ xx Resolvemos normalmente 56,3 28,392,0 48,048,08,24,1 −≈ −= −=+ x x xx Solución Aplicamos las propiedades de los logaritmos ( ) ( ) 3log15log42 ⋅−=⋅+ xx
  23. 23. Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones x x a       =− 8 1 2) 102 5,2: 21 −== xxSoluciones 15 2 9 3 1 ) 2 − + =      x x b 10,0: 21 −== xxSoluciones 13 54) −+ = xx c 25: ≈xSolución

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