Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
                                             ...
Analisis vectorial
Analisis vectorial
Analisis vectorial
Analisis vectorial
Analisis vectorial
Analisis vectorial
Analisis vectorial
Analisis vectorial
Analisis vectorial
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Analisis vectorial

4,334 views

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
4,334
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
185
Actions
Shares
0
Downloads
98
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Analisis vectorial

  1. 1. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e Tema 1: An´lisis Vectorial a 1. Campos escalares y vectoriales: Campos escalares. Superficie equiescalar. Campos vecto- riales. L´ıneas y tubos de campo. 2. Integrales sobre campos: De l´ ınea. Circulaci´n. De superficie. Flujo. De volumen. o 3. Gradiente: Derivada direccional. Definici´n de gradiente en coordenadas cartesianas. Inter- o pretaci´n geom´trica y propiedades. Definici´n intr´ o e o ınseca. Componentes en distintos sistemas co- ordenados. 4. Divergencia: Definici´n intr´ o ınseca. Expresi´n en distintos sistemas coordenados. Interpretaci´n o o f´ ısica. Teorema de la divergencia (Gauss-Ostrogradsky). 5. Rotacional: Definiciones intr´ ınsecas. Expresi´n en distintos sistemas coordenados. Inter- o pretaci´n f´ o ısica. Teorema de Stokes. 6. El operador nabla: Propiedades. Aplicaci´n doble sobre campos. Aplicaci´n sobre productos o o de campos. 7. Diadas: Definici´n y propiedades. Aplicaciones al c´lculo diferencial. o a 8. Algunos teoremas integrales: Teoremas de Green. Teorema del gradiente. Otros teoremas. ´ o o e ´ 9. Angulo s´lido: Definici´n y medida. Interpretaci´n geom´trica. Angulo s´lido subtendido por o o una superficie cerrada. 10. Funci´n δ de Dirac: Definici´n. Distribuciones. Propiedades. Funci´n δ tridimensional. Apli- o o o caciones f´ ısicas. 11. Campos irrotacionales: definici´n y propiedades. o 12. Campos solenoidales: definici´n y propiedades. o 13. Campos arm´nicos: definici´n y propiedades. o o 14. Teorema de Helmholtz: Enunciado y demostraci´n. Fuentes escalares y vectoriales. o 1.1. Campos escalares y vectoriales • Se define campo escalar, ϕ(r), como una funci´n de la posici´n que a cada punto del espacio o o asigna una magnitud escalar. La funci´n debe ser monovaluada para que la magnitud pueda tener o significado f´ ısico. Ejemplos de campos escalares son la presi´n p, densidad ρ y temperatura T de un cuerpo, o definidas en el espacio tridimensional. Otro ejemplo, ahora en dos dimensiones, es el de la altitud de un punto geogr´fico, h(x, y), respecto del nivel del mar. a Una representaci´n muy util de un campo escalar se consigue mediante una familia de super- o ´ ficies equiescalares, definidas como el lugar geom´trico de puntos que satisfacen la ecuaci´n e o ϕ(x, y, z) = C, donde C es una constante que fija el valor considerado del campo escalar y que, al variar, nos genera la familia. Un ejemplo de representaci´n mediante una familia de superficies o equiescalares lo tenemos en los mapas topogr´ficos que incluyen l´ a ıneas de nivel, o altitud constante. En este caso bidimensional las superficies se sustituyen por l´ıneas. • Se define campo vectorial, F (r), como una funci´n de la posici´n que a cada punto del espacio o o Tema 1: An´lisis Vectorial a 1
  2. 2. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e asigna una magnitud vectorial. La funci´n debe ser tambi´n monovaluada por la misma raz´n, o e o pero adem´s para que se trate de una magnitud vectorial debemos exigir que sus componentes se a transformen como las del vector de posici´n ante una transformaci´n de coordenadas. o o El campo de velocidades de un fluido o el campo gravitatorio terrestre son campos vectoriales, pero la terna de campos escalares (p, ρ, T ) no lo es. Una forma habitual de representar un campo vectorial es mediante una familia de l´ ıneas de campo, que se definen como aquellas curvas que cumplen la condici´n de ser tangentes al campo o en cada uno de sus puntos. Cada una de ellas se construye a partir de un punto inicial r0 mediante la concatenaci´n de vectores elementales dados por la expresi´n Δri+1 = F (ri ), (i = 0, 1, . . .), o o donde el par´metro se hace tender a cero. Las ecuaciones que determinan este lugar geom´trico a e expresan simplemente la condici´n de paralelismo entre dr y F (r) en cada punto. En coordenadas o cartesianas, dx dy dz = = . Fx Fy Fz z eF(r0) eF(rn-1) r0 r1 rn O y x Tambi´n resulta util a veces considerar el lugar geom´trico de l´ e ´ e ıneas de campo que se apoyan en una curva cerrada dada, lo cual constituye una superficie que se denomina tubo de campo. Un tubo de campo divide el espacio en dos regiones, una interior y otra exterior, de tal forma que l´ ıneas de campo que pertenecen a una regi´n no pueden pasar a la otra (de otra forma el campo o no ser´ monovaluado en el punto donde se produce la transici´n). ıa o 1.2. Integrales sobre campos: circulaci´n y flujo o Sobre campos escalares y vectoriales se pueden definir integrales de l´ ınea, de superficie y de volumen. En particular conviene resaltar por su importancia la circulaci´n de un campo o vectorial a lo largo de un camino y su flujo a trav´s de una superficie. e • Circulaci´n: si γ representa una curva en el espacio que va del punto A al B, se denomina o circulaci´n del campo F entre A y B a lo largo de γ a la expresi´n o o B N Γ= F · dr = l´ ım F (ri ) · Δri , A,γ N →∞ i=1 siendo Δri un elemento gen´rico de una partici´n de la curva γ en N segmentos orientados. e o La curva γ puede ser conocida en funci´n de un par´metro, γ : {r = r(t), t ∈ (tA , tB )}. En ese o a caso la integral de l´ ınea se reduce a una en t sustituyendo la dependencia r(t) en F (r) y escribiendo Tema 1: An´lisis Vectorial a 2
  3. 3. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e dr = (dr/dt)dt (si la derivada existe): tB dr Γ= F (r(t)) · dt. tA dt Un ejemplo en el que interviene el concepto de circulaci´n es el trabajo realizado por un campo o de fuerza sobre una part´ ıcula m´vil al describir una curva entre dos puntos. o Ejemplo: Dado el campo vectorial F = x2 ux + 2yzuy + y 3 uz , calc´ lese su circulaci´n entre los puntos O(0, 0, 0) y u o P (1, 1, 1) a trav´s de dos caminos distintos: (a) la recta que pasa por ambos puntos, y (b) una par´bola contenida e a en un plano vertical con v´rtice en O. e z P(1,1,1) O y x Una circulaci´n elemental expresada en coordenadas cartesianas es dΓ = F · dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz. Debemos o parametrizar convenientemente ambos recorridos: (a) La recta que une O y P cumple x = y = z y por tanto dx = dy = dz. Tomando x como par´metro de a 1 2 2 3 integraci´n podemos escribir Γ(a) = 0 (x dx + 2x dx + x dx) = 5/4. o (b) La par´bola vertical con v´rtice en O que pasa por P es la intersecci´n del plano x = y y el paraboloide a e o z = (x2 + y 2 )/2. Tomando nuevamente x como par´metro de integraci´n se tiene z = x2 , dy = dx y dz = 2xdx. a o Por tanto, dΓ = x2 dx + 2x3 dx + 2x4 dx y la integraci´n en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1 da Γ(b) = 37/30. El resultado o depende del camino de integraci´n. o • Flujo: si S define una superficie en el espacio, se denomina flujo del campo vectorial F a trav´s e de la superficie S a la expresi´n o N Φ= F · dS = l´ ım F (ri ) · ΔSi , S N →∞ i=1 siendo ΔSi uno de los N elementos en que se divide la superficie S. El m´dulo de dS corresponde o al area del elemento de superficie y su direcci´n es la normal en ese punto. Existen dos posibles ´ o sentidos para el vector normal y debe ser especificado. Por ejemplo, si la superficie es cerrada el sentido que se toma por convenci´n para los elementos de superficie es el saliente del volumen o encerrado. Si conocemos una parametrizaci´n de la superficie del tipo S : {r = r(α, β), α ∈ (α1 , α2 ), β ∈ o (β1 , β2 )}, podemos reducir la integral de superficie a dos integrales sucesivas en los dos par´metros, a α y β. Esto se consigue teniendo en cuenta que en cada punto podemos construir dos vectores, drα = (∂r/∂α)dα y drβ = (∂r/∂β)dβ, en general no colineales y contenidos en la superficie. Su Tema 1: An´lisis Vectorial a 3
  4. 4. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e producto vectorial en m´dulo nos da el area de un paralelogramo definido en la superficie, y su o ´ direcci´n es normal a ella (ver figura adjunta), por todo lo cual podemos escribir o ∂r ∂r dS = × dα dβ. ∂α ∂β ∂r dS(α,β) dβ ∂β ∂r dα ∂α r(α,β) α=cte r(α+dα,β) β=cte r(α,β+dβ) Ejemplo: Evaluar el flujo del campo vectorial F = x2 ux + 2yzuy + y 3 uz a trav´s de una superficie plana triangular e cuyos v´rtices son los puntos P0 (1, 0, 0), P1 (0, 2, 0) y P2 (0, 0, 2), con una orientaci´n de la superficie seg´ n un vector e o u que se aleja del origen. z dS(r) P2 r v2 P1 P0 y v1 x Un flujo elemental se puede escribir dΦ = F · dS = Fx dSx + Fx dSx + Fy dSy + Fz dSz . Necesitamos parametrizar la superficie triangular y conocer las componentes cartesianas del elemento de superficie. La superficie puede describirse por la f´rmula o r(α, β) = r0 + αv1 + βv2 , donde r0 = OP0 = (1, 0, 0), v1 = P0 P1 = (−1, 2, 0) y v2 = P0 P2 = (−1, 0, 2). Los vectores v1 y v2 forman una base (no ortogonal) del espacio vectorial bidimensional asociado al plano que contiene nuestra superficie triangular. Los valores que toman los par´metros α y β est´n comprendidos entre 0 y 1, pero adem´s sujetos a la restricci´n a a a o ımites del tri´ngulo son: α = 0, 0 ≤ β ≤ 1 α ≤ 1−β. En efecto, en el espacio vectorial generado por la base v1 , v2 los l´ a para el lado P0¯ 2 ; β = 0, 0 ≤ α ≤ 1 para el lado P0 P1 , y para el lado P1¯ 2 debemos imponer la condici´n P ¯ P o αv1 + βv2 = v1 + δ(v2 − v1 ), con δ otro par´metro auxiliar que define la posici´n en dicho segmento. Igualando componentes en ambos miembros a o seg´ n la base elegida resulta α = 1 − δ; β = δ y por tanto los valores l´ u ımite cumplen α = 1 − β. El siguiente paso es construir dS seg´ n la f´rmula dada. u o dS = v1 × v2 dαdβ = (4, 2, 2)dαdβ Tema 1: An´lisis Vectorial a 4
  5. 5. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e A continuaci´n debemos expresar las componentes cartesianas de F en funci´n de α y β mediante las sustituciones o o (x, y, z) = (1, 0, 0) + α(−1, 2, 0) + β(−1, 0, 2). Finalmente se llega a una integral doble: 1 1−β Φ= dβ dα 4(1 − α − β)2 + 2 · 2(2α)(2β) + 2(2β)3 = 9/5. 0 0 Un ejemplo f´ısico en el que se utiliza el concepto de flujo es el de una tuber´ por la que circula ıa un fluido. El caudal, o volumen de fluido que atraviesa una secci´n de la tuber´ por unidad de o ıa tiempo, Δτ /Δt, se puede expresar como el flujo del campo de velocidades v(r) del fluido a trav´s e de la secci´n considerada S. o v Dt dS dt S v(r) En efecto, si fijamos un intervalo de tiempo Δt las part´ ıculas de fluido recorren una distancia vΔt, donde v es la velocidad en un determinado punto. El volumen elemental de fluido que atraviesa una superficie elemental dS tomada en un punto de la secci´n durante ese intervalo de tiempo es o dτ = dSvΔt cos α, donde α es el ´ngulo que forman la base dS y la generatriz vΔt del cilindro inclinado que debemos a considerar. En la expresi´n anterior podemos identificar el producto escalar dSv cos α = dS · v. Si o extendemos este c´lculo a toda la secci´n obtenemos el volumen total de fluido que la atraviesa a o durante el intervalo Δt: Δτ = Δt dS · v. S Dividiendo por el intervalo Δt encontramos en el primer miembro la definici´n de caudal y en el o segundo su expresi´n en t´rminos de un flujo. Hay que sobreentender en la notaci´n que, en la o e o integral, v · dS realmente significa v(r) · dS(r). • Las integrales de volumen se definen de forma an´loga en el sentido de Riemann. Como ejemplo a consideramos un campo escalar integrado sobre un volumen τ : N ϕ dτ = l´ ım ϕ(ri )dτi , τ N →∞ i=1 donde dτi es un elemento de una partici´n de τ en N vol´ menes elementales. o u Tema 1: An´lisis Vectorial a 5
  6. 6. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e Otras integrales posibles, cuyos significados son ahora evidentes, son B B |F | |dr|, ϕ dr, F dS, ϕ dS, etc, A,γ A,γ S S donde unas tienen car´cter vectorial y otras escalar. a 1.3. Gradiente Se define la derivada direccional de un campo escalar ϕ(r) en la direcci´n del unitario v como o el cociente incremental dϕ ϕ(r + v) − ϕ(r) ϕ(x + vx , y + vy , z + vz ) − ϕ(x, y, z) = l´ ım = l´ ım , ds →0 →0 donde (vx , vy , vz ) son las componentes cartesianas de v. La derivada direccional nos da la tasa de crecimiento en el valor de la magnitud ϕ por unidad de longitud en una direcci´n definida por v. La notaci´n usada (derivaci´n respecto del par´metro o o o a s) hace referencia justamente al arco elemental, ds ≡ |dr|, recorrido para hacer el c´lculo. a Podemos relacionar la derivada direccional con el concepto de derivada parcial, escribiendo ϕ(x + vx , y + vy , z + vz ) − ϕ(x, y, z) = ϕ(x + vx , y + vy , z + vz ) − ϕ(x, y + vy , z + vz ) + ϕ(x, y + vy , z + vz ) − ϕ(x, y, z + vz ) + ϕ(x, y, z + vz ) − ϕ(x, y, z), donde simplemente hemos sumado y restado al mismo tiempo t´rminos convenientes; con ello, al e dividir por , obtenemos de la primera diferencia la derivada parcial respecto de x, tras multiplicar y dividir por vx y tomar l´ ımite: ϕ(x + vx , y + vy , z + vz ) − ϕ(x, y + vy , z + vz ) → ∂ϕ ∂ϕ → vx (x, y + vy , z + vz ) = vx (x, y, z). ∂x ∂x Llevando a cabo operaciones similares con las otras dos diferencias se llega a dϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = vx + vy + vz ≡ v · grad ϕ, ds ∂x ∂y ∂z donde aparece la definici´n de gradiente del campo escalar en coordenadas cartesianas: o ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ grad ϕ = ux + uy + uz . ∂x ∂y ∂z El m´dulo de la derivada direccional se puede escribir |dϕ/ds| = |grad ϕ| cos α, con α definido o como el angulo que forma el gradiente con el unitario v. De aqu´ se deduce que el gradiente es un ´ ı campo vectorial cuyo m´dulo nos da el valor m´ximo que puede tomar una derivada direccional en o a cada punto y cuya direcci´n nos indica hacia d´nde se produce la m´xima variaci´n de la funci´n o o a o o por unidad de longitud. Tema 1: An´lisis Vectorial a 6
  7. 7. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e El gradiente en un punto es perpendicular a aquella superficie equiescalar que pase por dicho punto. En efecto, si r0 pertenece a la superficie ϕ(r) = C, y pasamos a otro punto de esa superficie que est´ infinitamente cercano mediante el desplazamiento dr = (dx, dy, dz), se tendr´ e a ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz = dr · grad ϕ . ∂x ∂y ∂z Por la propia definici´n de superficie equiescalar, dϕ = 0 en este caso, y se concluye que ambos o vectores son perpendiculares para cualquier desplazamiento elemental dr que se realice en el plano tangente a la superficie en r0 . Ejemplo: Encu´ntrese un vector unitario normal a una superficie esf´rica de radio R. e e En general, si F (x, y, z) = 0 es la forma impl´ ıcita de expresar una superficie S y P (x0 , y0 , z0 ) pertenece a S, grad F evaluado en P ser´ un vector normal a S en dicho punto. Si dividimos por el m´dulo tendremos el unitario a o pedido. En el caso de la esfera se tiene F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − R2 , y grad F = 2xux + 2yuy + 2zuz . Dividiendo por |grad F | = 2 x2 + y 2 + z 2 = 2R queda u = (xux + yuy + zuz )/R = r/R, es decir, un vector radial. • Definici´n intr´ o ınseca de gradiente: La representaci´n anterior del gradiente est´ referida al sistema de coordenadas cartesianas. Una o a definici´n independiente del sistema de coordenadas utilizado es la siguiente: o 1 grad ϕ(r) = l´ ım ϕ(r1 )dS(r1 ), Δτ →0 Δτ SΔτ siendo Δτ un volumen elemental que incluye al punto r y sobre cuya frontera (la superficie cerrada denotada por SΔτ se realiza la integraci´n. o z SDt Dt r dS( r1 ) r1 y x En la figura se muestra (de manera exagerada) un recinto de integraci´n y los distintos elementos o geom´tricos que intervienen en la definici´n. e o El l´ ımite debe existir independientemente de la forma que elijamos para el volumen Δτ . En particular, si tomamos un volumen en forma de paralelep´ ıpedo con caras paralelas a los planos coordenados y aristas de longitudes Δx, Δy y Δz respectivamente, podemos comprobar que la definici´n intr´ o ınseca coincide con la dada originalmente, v´lida s´lo en cartesianas. a o Tema 1: An´lisis Vectorial a 7
  8. 8. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e Ejercicio: Compru´bese la afirmaci´n anterior. e o dS(x ,y ,z ) 0 0 0 Δz r0(x ,y ,z ) dS(x +Δx,y ,z ) 0 0 0 0 0 0 Δx Δy La definici´n intr´ o ınseca de gradiente, aplicada a un volumen como el de la figura, genera seis integrales de superficie, una por cada cara del paralelep´ ıpedo. Consideraremos solamente dos de ellas, las sombreadas, que son perpendiculares al eje Ox. El elemento de superficie de la de la derecha (S(x0 + 1 Δx)) es dS = dy dz ux , y su 2 opuesto le corresponde a la de la izquierda (S(x0 − 1 Δx)). Teniendo en cuenta que el volumen Δτ y las superficies 2 se har´n arbitrariamente peque˜os en el paso al l´ a n ımite, podemos aproximar la integral de superficie por la funci´n o evaluada en el punto medio multiplicada por el area de la superficie, es decir ´ Δx ϕ(r1 )dS1 ϕ(x0 + , y0 , z0 )Δy Δzux. S(x0 + 1 Δx) 2 2 An´logamente, a Δx ϕ(r1 )dS1 ϕ(x0 − , y0 , z0 )Δy Δz(−ux ). S(x0 − 1 Δx) 2 2 La suma de ambas integrales, dividida por el volumen Δx Δy Δz da 1 Δx Δx ∂ϕ ϕ(x0 + , y0 , z0 ) − ϕ(x0 − , y0 , z0 ) u x = ux , Δx 2 2 ∂x que no es otra cosa que la componente del gradiente seg´ n la direcci´n Ox. Un tratamiento an´logo de las otras u o a cuatro caras completa el resultado adelantado. • Expresi´n del gradiente en otros sistemas coordenados ortogonales o Las coordenadas cartesianas (x, y, z) son una forma muy util de describir la posici´n de un punto ´ o en el espacio, pero no la unica. Existen infinidad de sistemas coordenados, constituidos por tres ´ par´metros, (q1 , q2 , q3 ), que permiten igualmente dar una posici´n en el espacio. En particular son a o de especial inter´s por su simplicidad de manejo los sistemas coordenados llamados ortogonales, e que tienen la propiedad de que las l´ ıneas obtenidas al variar cada uno de los tres par´metros a a partir de un punto (l´ ıneas coordenadas) son perpendiculares entre s´ en dicho punto. ı La descripci´n de un sistema coordenado se realiza usualmente en relaci´n a las coordenadas o o cartesianas, mediante las f´rmulas de transformaci´n q1 = q1 (x, y, z), q2 = q2 (x, y, z), q3 = q3 (x, y, z) o o o bien sus inversas x = x(q1 , q2 , q3 ), y = y(q1 , q2 , q3 ), z = z(q1 , q2 , q3 ). Una traslaci´n elemental dr de un punto a otro vecino puede ser descrita mediante un triedro o construido localmente, cuyos vectores base var´ de un punto a otro: ıan ∂r ∂r ∂r dr = dq1 + dq2 + dq3 = h1 dq1 u1 + h2 dq2 u2 + h3 dq3 u3 , ∂q1 ∂q2 ∂q3 Tema 1: An´lisis Vectorial a 8
  9. 9. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e donde debemos definir los vectores unitarios de la base local ui y los factores geom´tricos hi e mediante 1 ∂r ∂r ui ≡ , hi ≡ . hi ∂qi ∂qi Estos vectores son ortogonales entre s´ en un sistema ortogonal. Hay que tener siempre presente ı que en general la terna de vectores unitarios var´ de un punto a otro, puesto que dependen de las ıa coordenadas. En cambio el triedro local en el sistema de coordenadas cartesianas es invariante. Para hallar el gradiente en otros sistemas coordenados ortogonales es conveniente usar la expre- si´n dϕ = grad ϕ · dr. En la base ortogonal {u1 , u2, u3 } definida en cada punto del espacio el o gradiente tiene componentes {(grad ϕ)1 , (grad ϕ)2 , (grad ϕ)3 }. Si efectuamos el producto escalar y lo igualamos al desarrollo del diferencial de ϕ como funci´n de las variables qi , o ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dq1 + dq2 + dq3 , ∂q1 ∂q2 ∂q3 se llega a la f´rmula: o 1 ∂ϕ (grad ϕ)i = . hi ∂qi Los sistemas coordenados ortogonales m´s usuales son las coordenadas cil´ a ındricas y las co- ordenadas esf´ricas. e • Coordenadas cil´ ındricas: uz uf ur r z r f Su relaci´n con las coordenadas cartesianas son o x = r cos φ y = r senφ z = z A partir de las definiciones de los factores geom´tricos hi se tiene e hr = 1, hφ = r, hz = 1. El gradiente resulta ∂ϕ 1 ∂ϕ ∂ϕ grad ϕ = ur + uφ + uz . ∂r r ∂φ ∂z Tema 1: An´lisis Vectorial a 9
  10. 10. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e • Coordenadas esf´ricas: e ur uf r uq q r f Su relaci´n con las coordenadas cartesianas son o x = r senθ cos φ y = r senθ senφ z = r cosθ Los factores geom´tricos son en este caso e hr = 1, hθ = r, hφ = rsenθ, y el gradiente, ∂ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂ϕ grad ϕ = ur + uθ + uφ . ∂r r ∂θ rsenθ ∂φ 1.4. Divergencia Otra operaci´n b´sica, esta vez definida sobre campos vectoriales, es la divergencia, cuya defini- o a ci´n intr´ o ınseca es 1 div F (r) = l´ ım F (r1 ) · dS(r1 ), Δτ →0 Δτ SΔτ donde los s´ ımbolos usados y las condiciones que deben imponerse en el c´lculo del l´ a ımite son las mismas que en el caso del gradiente. Se trata de un operador diferencial, puesto que en la definici´n aparece el cociente incremental ΔΦ/Δτ (flujo a trav´s de la frontera de Δτ dividido o e por el volumen). La interpretaci´n f´ o ısica de la divergencia se hace a veces por analog´ con el campo de ve- ıa locidades en un fluido incompresible: las l´ ıneas de dicho campo que tienden a salir o divergir de un punto ponen de manifiesto la presencia de una fuente, y en tal caso el resultado del c´lculo de a la divergencia en dicho punto es no nulo. Por ello se la suele llamar densidad volum´trica de e fuentes. La representaci´n de la divergencia en coordenadas cartesianas se puede encontrar c´moda- o o mente haciendo uso de la definici´n intr´ o ınseca de gradiente: 1 div F = l´ ım (ux Fx + uy Fy + uz Fz ) · dS = Δτ →0 Δτ SΔτ Tema 1: An´lisis Vectorial a 10
  11. 11. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e 1 1 1 = ux · l´ ım Fx dS + uy · l´ ım Fy dS + uz · l´ ım Fz dS = Δτ →0 Δτ SΔτ Δτ →0 Δτ SΔτ Δτ →0 Δτ SΔτ ∂Fx ∂Fy ∂Fz = + + . ∂x ∂y ∂z El c´lculo de la divergencia en otros sistemas coordenados ortogonales, tales como el a ındrico o el esf´rico, no puede hacerse de la misma forma, puesto que los unitarios ui son en cil´ e general dependientes de las coordenadas {q1 , q2 , q3 }. q1 q3+Dq3 q2+Dq2 q 2 q3 q1+Dq1 q1=r r q2=f z q3=z f r Si elegimos un volumen elemental limitado por superficies coordenadas, es decir por seis caras que quedan definidas por los valores qi y qi + Δqi (i = 1, 2, 3), la definici´n intr´ o ınseca de la divergencia hace intervenir elementos de superficie correspondientes a cada superficie coordenada. Como ejemplo, la superficie definida por un valor constante q1 + Δq1 ser´ ıa ∂r ∂r dS = × dq2 dq3 = h2 h3 (u2 × u3)dq2 dq3 = h2 h3 dq2 dq3 u1, ∂q2 ∂q3 y lo opuesto para la superficie en q1 . Expresiones an´logas obtenemos para los otros elementos de a superficie. El campo vectorial tiene componentes {F1 , F2 , F3 } en el triedro ortogonal {u1 , u2, u3 }. El flujo a trav´s de la superficie elemental definida en q1 + Δq1 queda e Φ(q1 + Δq1 ) = dq2 dq3 (F1 h2 h3 )(q1 +Δq1 ,q2 ,q3) . Si agrupamos los seis flujos en tres parejas del tipo Φ(q1 + Δq1 ) + Φ(q1 ) = dq2 dq3 (F1 h2 h3 )(q1 +Δq1 ,q2,q3 ) − (F1 h2 h3 )(q1 ,q2,q3 ) , y an´logamente para las otras coordenadas q2 y q3 , y dividimos por el volumen elemental en a ıneas dτ = (h1 dq1 )(h2 dq2 )(h3 dq3 ) = h1 h2 h3 dq1 dq2 dq3 , se llega a la expresi´n coordenadas curvil´ o general 3 1 ∂ h1 h2 h3 div F = Fi . h1 h2 h3 i=1 ∂qi hi Los ultimos pasos son sencillos y se dejan al lector. ´ Ejercicio: Obt´nganse las expresiones de la divergencia en coordenadas cil´ e ındricas y esf´ricas. e Tema 1: An´lisis Vectorial a 11
  12. 12. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e • Teorema de la divergencia: Un resultado importante dentro del An´lisis Vectorial es el a siguiente teorema, tambi´n llamado de Gauss-Ostrogradsky: e Dado un campo vectorial F y un volumen arbitrario τ , se verifica div F dτ = F · dS, τ Sτ siendo Sτ la superficie cerrada que es frontera del volumen considerado. La demostraci´n puede construirse a partir del c´lculo de la integral de volumen como suma o a riemanniana y usando la definici´n de divergencia: o N 1 div F dτ = l´ ım F (r) · dS Δτi , τ N →∞ Δτi SΔτi i=1 donde se ha realizado una partici´n en N vol´ menes elementales. o u r Dti dS La suma de flujos involucrada en la expresi´n anterior se reduce a los flujos definidos en superficies o pertenecientes a la frontera de τ , puesto que los de superficies interiores a τ se cancelan al ser comunes a dos vol´menes contiguos. Los flujos que no se cancelan est´n definidos justamente en u a una partici´n de la superficie Sτ y por tanto se identifica la integral de superficie del enunciado. o Ejemplo: Compru´bese que se verifica el teorema de la divergencia en el caso de la funci´n v = r cos θ ur + e o rsenθ uθ + rsenθ cos φ uφ usando como volumen de integraci´n el hemisferio τ : {r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ 2π}. o z ur S1 S2 y uq x La f´rmula para la divergencia en coordenadas esf´ricas es: o e 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂vφ div v = 2 ∂r r2 vr + (senθvθ ) + r rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ Tema 1: An´lisis Vectorial a 12
  13. 13. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e y en este caso su aplicaci´n da o 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ div v = r3 cos θ + rsen2 θ + (rsenθ cos φ) = 5 cos θ − senφ. r2 ∂r rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ La integral de volumen resulta R π/2 2π 5πR3 div v dτ = dr r2 senθ dθ dφ (5 cos θ − senφ) = . τ 0 0 o 3 Calculamos ahora el flujo Φ1 a trav´s de la superficie hemisf´rica S1 , definida por el valor r = R y cuyo elemento e e de superficie es dS = R2 senθ dθ dφ ur : π/2 2π Φ1 = v · dS = vr dSr = R3 cos θ senθ dθ dφ = πR3 . S1 S1 0 0 Por ultimo calculamos el flujo Φ2 a trav´s del plano ecuatorial S2 , definido por el valor θ = π/2 y con elemento de ´ e superficie descrito por dS = r dr dφ uθ : 2π R 2πR3 Φ2 = v · dS = vθ dSθ = dφ r2 dr = . S2 S2 0 0 3 El flujo total es Φ1 + Φ2 = 5πR3 /3 y ambos c´lculos coinciden. a 1.5. Rotacional Tambi´n como operador que act´ a sobre campos vectoriales, el rotacional tiene la siguiente e u definici´n intr´ o ınseca: 1 rot F (r) = l´ ım dS(r1 ) × F (r1 ), Δτ →0 Δτ SΔτ donde los s´ımbolos y condiciones son los habituales. Se trata de otro importante operador de car´cter diferencial, cuya aplicaci´n nos da un nuevo campo vectorial a partir de F . a o Aunque la definici´n anterior es la an´loga a las vistas para el gradiente y la divergencia, resulta o a m´s c´moda de usar otra equivalente: a o 1 a · rot F (r) = l´ ım F (r1 ) · dr1 , ΔS→0 ΔS γΔS siendo a un vector unitario arbitrario, ΔS una superficie elemental plana perpendicular al vector a y γΔS la curva cerrada que es frontera de ΔS. El punto donde se calcula el rotacional debe pertenecer a la superficie y el l´ ımite debe existir sea cual sea la familia de superficies ΔS utilizada. La segunda definici´n nos da solamente la componente del rotacional en la direcci´n de a, pero o o basta tomar tres direcciones ortogonales entre s´ para reconstruir el rotacional en ese punto. ı Ejercicio: Compru´bese que la primera definici´n de rotacional conduce a la segunda. e o Multiplicamos escalarmente la primera expresi´n por a, tomando como volumen elemental el cilindro recto con o base ΔS y altura ξ. Esto da 1 a · rot F = l´ l´ ım ım a · (dS × F ). ξ→0 ΔS→0 ξΔS SΔτ Tema 1: An´lisis Vectorial a 13
  14. 14. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e El integrando se puede reescribir como (a × dS) · F . La superficie cerrada SΔτ posee dos bases planas paralelas y una superficie lateral. En las bases el integrando es nulo por ser a y dS paralelos. Queda la integraci´n sobre la o superficie lateral, para la cual podemos a su vez transformar el integrando en (a × dS) · F = ξdr1 · F (r1 ), puesto que el m´dulo del producto vectorial es ξdr1 y la direcci´n es tangente al contorno de ΔS. En la figura o o se muestra la construcci´n geom´trica utilizada. Hay que hacer notar que el sentido de a determina el sentido de o e circulaci´n de la integral de l´ o ınea mediante la regla de la mano derecha: el pulgar indica el sentido de a si los cuatro dedos restantes indican el sentido de dr1 . a Dt r dr1 x dS El factor ξ se cancela en la integral y se obtiene la segunda definici´n. o El mismo ejemplo f´ısico del campo de velocidades de un fluido nos permite hacernos una idea del significado del rotacional. En torno al centro de un torbellino, la circulaci´n presente en la o segunda definici´n del rotacional es no nula debido a la trayectoria que tienen las l´neas de campo o ı en esa zona. Podemos as´ interpretar un rotacional no nulo como indicio de un giro local de las ı l´ ıneas de campo. Sin embargo otras situaciones en las que dicho rotacional es no nulo no poseen una relaci´n tan evidente con un giro local (por ejemplo el campo F = kyux ), y viceversa: campos o cuyas l´ıneas son familias de circunferencias centradas en un eje tienen rotacional nulo (como el campo F = uφ /r). El c´lculo del rotacional en coordenadas cartesianas se puede realizar, como en el caso de a la divergencia, relacionando la primera definici´n de rotacional con la definici´n intr´ o o ınseca de gradiente. El resultado se expresa en forma compacta mediante un determinante: ux uy uz rot F = ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z . Fx Fy Fz El uso de cualquiera de las definiciones de rotacional aplicadas a un sistema de coordenadas curvil´ ıneas ortogonales permite obtener la siguiente expresi´n general: o h1 u1 h2 u2 h3 u3 1 rot F = ∂/∂q1 ∂/∂q2 ∂/∂q3 . h1 h2 h3 h1 F1 h2 F2 h3 F3 Ejercicios: (1) Ded´ zcase la expresi´n anterior componente a componente mediante la segunda definici´n de rotacional. u o o (2) Obt´ngase el rotacional en coordenadas cil´ e ındricas y esf´ricas. e Tema 1: An´lisis Vectorial a 14
  15. 15. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e • Teorema de Stokes: dado un campo vectorial F y una superficie S, se verifica rot F · dS = F · dr, S γS siendo γS la l´ınea cerrada que es frontera de S, recorrida seg´ n la regla de la mano derecha en u relaci´n a la orientaci´n de los elementos de superficie. o o La demostraci´n se realiza de forma muy similar a la del teorema de la divergencia. Escribimos o la integral de superficie seg´ n su definici´n, incluyendo la segunda de rotacional: u o N N 1 rotF · dS = l´ ım (rot F )i · ni ΔSi = l´ ım F · dr ΔSi . N →∞ N →∞ ΔSi γΔSi i=1 i=1 En lo anterior hemos trabajado con una partici´n de S en N superficies elementales ΔSi . Tras o cancelar este factor la expresi´n se reduce a una suma de circulaciones elementales a lo largo de o los contornos γΔSi , en los cuales podemos distinguir tramos que pertenecen a la frontera de S y tramos interiores. Las circulaciones sobre tramos interiores se cancelan entre s´ puesto que dos ı elementos contiguos producen circulaciones opuestas en el tramo com´ n. Lo que sobrevive no es u otra cosa que la circulaci´n sobre una partici´n de γS , que da lugar a la integral de la derecha en o o el teorema. Hay que hacer notar que el sentido de circulaci´n del contorno viene dado por la regla de la o mano derecha debido que este criterio se hab´ establecido en la segunda definici´n de rotacional. ıa o Ejemplo: Compru´bese que se verifica el teorema de Stokes en el caso de la funci´n v = r cos2 θ ur −r cos θ senθuθ + e o 3r uφ usando como circuito de integraci´n la l´ o ınea indicada en la figura. z C(0,0,1) S2 S1 -n=uf O y A(1,0,0) B(1/ 2,1/ 2,0) -n=uq x Hallaremos primero la circulaci´n del campo v usando coordenadas esf´ricas. En general escribimos un desplaza- o e miento elemental en la forma dr = dr ur + rdθ uθ + rsenθ dφ uφ . La circulaci´n se calcula por tramos: o (i) Tramo OA, que viene descrito por los valores θ = π/2, φ = 0 y 0 < r < 1. Se cumple dr = dr ur . A ΓOA = vr | θ=π/2 dr = 0, φ=0 O puesto que vr = 0 para θ = π/2. (ii) Tramo AB, descrito por θ = π/2, r = 1 y 0 < φ < π/4. Se tiene dr = dφ uφ . B π/4 ΓAB = vφ | r=1 dφ = 3 dφ = 3π/4. θ=π/2 A 0 Tema 1: An´lisis Vectorial a 15
  16. 16. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e (iii) Tramo BC, descrito por φ = π/4, r = 1 y 0 < θ < π/2. Se tiene dr = dθ uθ . C 0 ΓBC = vθ | r=1 dθ = − cos θ senθ dθ = 1/2. φ=π/4 B π/2 (iv) Tramo CO, con θ = 0, φ indeterminado y 0 < r < 1. Igual que en el primer tramo dr = dr ur . O 0 ΓCO = vr |θ=0 dr = r dr = −1/2. C 1 La circulaci´n total es Γ = 0 + 3π/4 + 1/2 − 1/2 = 3π/4. o La f´rmula para el rotacional en coordenadas esf´ricas es: o e ur r uθ rsenθ uφ 1 rot v = ∂/∂r ∂/∂θ ∂/∂φ r2 senθ vr rvθ rsenθvφ y en este caso su aplicaci´n da o rot v = 3 cot θ ur − 6uθ . Para aplicar el teorema de Stokes podemos elegir cualquier superficie que se apoye en el contorno dado. En este caso lo m´s sencillo es tomar las dos superficies planas que aparecen sombreadas en la figura (S = S1 S2 ). Los a elementos de superficie deben estar orientados de acuerdo con la regla de la mano derecha. Evaluamos el flujo del rotacional en cada superficie plana: 6π 3π rot v · dS = − (rot v)θ dSθ = 6 dS = = . S1 S1 S1 8 4 Por otra parte, S2 rot v · dS = − S2 (rot v)φ dSφ = 0, puesto que el rotacional no tiene componente seg´ n uφ . u En consecuencia ambos c´lculos coinciden. a 1.6. Operador nabla En las operaciones gradiente, divergencia y rotacional expresadas en cartesianas aparece de forma natural el operador nabla, definido como ∂ ∂ ∂ ∇ = ux + uy + uz . ∂x ∂y ∂z Tiene car´cter vectorial y diferencial a la vez. De lo visto hasta ahora se pueden proponer las a siguientes representaciones: grad ϕ = ∇ϕ, div F = ∇ · F , rot F = ∇ × F . Podemos considerar algunas identidades vectoriales utiles que surgen bien de la aplicaci´n dos veces ´ o de nabla sobre un campo, bien de su aplicaci´n sobre el producto de dos campos. La deducci´n de o o cualquiera de ellas puede hacerse, no sin esfuerzo en algunos casos, desarrollando en cartesianas ambos miembros de la igualdad y viendo que coinciden. • Aplicaci´n de nabla sobre un producto: o ∇(ϕ ψ) = ϕ ∇ψ + ψ ∇ϕ , Tema 1: An´lisis Vectorial a 16
  17. 17. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e ∇ · (ϕ F ) = ϕ ∇ · F + (∇ϕ ) · F , ∇ × (ϕ F ) = ϕ ∇ × F + (∇ϕ ) × F , ∇ · (F × G) = (∇ × F ) · G − F · (∇ × G), ∇(F · G) = F × (∇ × G) + (F · ∇)G + G × (∇ × F ) + (G · ∇)F , ∇ × (F × G) = F (∇ · G) − (F · ∇)G − G(∇ · F ) + (G · ∇)F , donde ϕ y ψ son dos campos escalares y F y G son dos campos vectoriales. Adem´s se define el a nuevo operador escalar ∂ ∂ ∂ F · ∇ = Fx + Fy + Fz . ∂x ∂y ∂z • Aplicaci´n doble de nabla: o ∇ × (∇ϕ ) = 0, ∇ · (∇ × F ) = 0, ∇ · (∇ϕ ) = ∇2 ϕ , ∇ × (∇ × F ) = ∇(∇ · F ) − ∇2 F , donde aparece un nuevo operador escalar, el laplaciano, definido en cartesianas mediante la expresi´n o ∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = + 2 + 2. ∂x2 ∂y ∂z Este operador es fundamental en la teor´ del potencial. ıa Mientras que las dos primeras igualdades son resultados, las dos ultimas se deben considerar como ´ definiciones de la aplicaci´n del operador laplaciano (sobre escalares y vectores respectivamente) o en otros sistemas coordenados. En particular de las operaciones de gradiente y divergencia se deduce la expresi´n o 3 1 ∂ h1 h2 h3 ∂ϕ ∇2 ϕ = . h1 h2 h3 i=1 ∂qi h2 ∂qi i Ejercicios: (1) Demostrar la primera igualdad calculando el flujo de ∇ × (∇ϕ ) a trav´s de cualquier superficie. e (2) Demostrar la segunda igualdad calculando la integral de volumen de ∇ · (∇ × F ) extendida a un volumen arbitrario. (3) Obtener el laplaciano en coordenadas cil´ ındricas y esf´ricas. e 1.7. Diadas • Definici´n y propiedades o Adem´s del producto escalar entre dos vectores, que da lugar a un escalar, y de su producto a vectorial, que puede considerarse otro vector (aunque esto debe matizarse debido a sus propiedades Tema 1: An´lisis Vectorial a 17
  18. 18. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e de transformaci´n frente a una simetr´ especular; v´ase por ejemplo Lorrain & Corson), existe o ıa e un tercer producto entre dos vectores, que da lugar a otro ente matem´tico. Para definirlo nos a valdremos de la representaci´n cartesiana de los vectores, A = (Ax , Ay , Az ) y B = (Bx , By , Bz ). o El producto di´dico de ambos se representa mediante una matriz 3 × 3: a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Ax Bx Ax By Ax Bz Ax ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = ⎝ Ay Bx Ay By Ay Bz ⎠ = ⎝ Ay ⎠ (Bx , By , Bz ). Az Bx Az By Az Bz Az El producto di´dico de dos vectores, o diada, posee la propiedad distributiva, pero no la conmuta- a tiva, es decir, AB = B A. Su transformaci´n ante un cambio de sistema de referencia viene dictado o por la transformaci´n de los vectores constituyentes, y gracias a ello resulta tener car´cter tenso- o a rial. Como todo tensor, cuya representaci´n cartesiana es una matriz 3 × 3, podemos considerar o su aplicaci´n por la izquierda o por la derecha sobre un vector C, pero por su propia construcci´n, o o el resultado de ambas operaciones se puede expresar de forma muy sencilla: (AB)C = A(B · C); C(AB) = (C · A)B. Es decir, el vector contiguo a C se ¸ontrae¸on ´ste mediante un producto escalar, y el resultado c c e es un vector colineal con el que no se ha contra´ ıdo. Todo esto puede comprobarse a partir de las correspondientes representaciones matriciales. Si una magnitud f´ ısica de naturaleza tensorial puede ser representada por una diada podemos beneficiarnos de la simplicidad de las reglas de aplicaci´n anteriores. o No todos los tensores son diadas, aunque s´ es cierto que todo tensor puede ser expresado como ı combinaci´n lineal de una base formada por las nueve diadas {(uiuj ), i, j = x, y, z}. En particular, o el tensor unidad se puede expresar como I = ux ux + uy uy + uz uz . • Aplicaci´n al c´lculo diferencial o a El operador nabla puede intervenir en una representaci´n di´dica de un tensor. En particular o a podemos definir el gradiente de un vector como ⎛ ⎞ ∂Ax /∂x ∂Ay /∂x ∂Az /∂x ⎜ ⎟ ∇A = ⎝ ∂Ax /∂y ∂Ay /∂y ∂Az /∂y ⎠ . ∂Ax /∂z ∂Ay /∂z ∂Az /∂z Es interesante hacer notar que ∇r = I. Otra aplicaci´n importante es la divergencia de una diada: o ∇ · (AB) = (∇ · A)B + (A · ∇)B, donde la aparici´n de dos t´rminos obedece al hecho de que nabla tiene car´cter diferencial y o e a est´ operando sobre un producto. a 1.8. Teoremas integrales Adem´s de los teoremas de la divergencia y de Stokes existen otros teoremas que involucran a integrales de campos. Veamos algunos: Tema 1: An´lisis Vectorial a 18
  19. 19. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e • Teoremas de Green: (ψ ∇ϕ ) · dS = (ψ∇2 ϕ + ∇ψ · ∇ϕ )dτ. Sτ τ (ψ ∇ϕ − ϕ ∇ψ) · dS = (ψ∇2 ϕ − ϕ ∇2 ψ)dτ. Sτ τ El primer teorema se obtiene aplicando el teorema de la divergencia a la integral de superficie y el segundo es consecuencia directa del primero. Tienen una aplicaci´n pr´ctica notable en la o a formulaci´n del m´todo de resoluci´n de problemas de potencial mediante la llamada funci´n de o e o o Green. • Teorema del gradiente: ϕ dS = ∇ϕ dτ. Sτ τ Se demuestra de manera an´loga al teorema de la divergencia usando la definici´n intr´ a o ınseca de gradiente. • Teorema del rotacional: dS × F = ∇ × F dτ. Sτ τ Se demuestra de manera an´loga al teorema de la divergencia usando la primera definici´n in- a o tr´ ınseca de rotacional. • Otro teorema es el siguiente: ϕ dr = dS × ∇ϕ γS S Su demostraci´n se construye multiplicando escalarmente la integral de l´ o ınea por un vector constante a, que puede incluirse en el integrando. La integral se transforma en una circulaci´n a o lo largo de una trayectoria cerrada y estamos en condiciones de aplicar el teorema de Stokes. Tras manipular el nuevo integrando, y teniendo en cuenta que a es arbitrario, se deduce el resultado. • Finalmente mencionaremos el teorema de la divergencia para tensores. Si trabajamos en carte- sianas y expresamos un tensor en la base di´dica podemos escribir su divergencia en la forma a 33 ∂ ∇·T = ui · uj uk Tjk . i=1 ∂xi j,k=1 Teniendo en cuenta que en esta expresi´n debemos contraer”los vectores unitarios contiguos, o ¸ ui · uj = δij , con δij = 1 si i = j y cero en otro caso (delta de Kronecker), resulta 3 3 ∂Tjk ∂Tik ∇·T = δij uk = uk . i,j,k=1 ∂xi i,k=1 ∂xi En vista de ello podemos establecer el siguiente teorema: 3 3 3 3 ∂Tik ∇ · T dτ = uk dτ = uk dSi Tik = dS · T , τ k=1 τ i=1 ∂xi k=1 Sτ i=1 Sτ donde el paso fundamental ha consistido en aplicar el teorema de la divergencia a cada una de las tres integrales de volumen que aparecen en la expresi´n integral de partida, puesto que para k o Tema 1: An´lisis Vectorial a 19
  20. 20. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e fijado, las magnitudes Tik , (i = 1, 2, 3) pueden manejarse como las tres componentes cartesianas de un campo vectorial cuya divergencia aparece en la segunda expresi´n. o Si el tensor es una diada el teorema se reduce a ∇ · (AB)dτ = (dS · A)B. τ Sτ 1.9. ´ Angulo s´lido o El ´ngulo s´lido es un concepto geom´trico que da una idea cuantitativa de la apertura con que se a o e ve desde un punto una superficie determinada. Puede considerarse como el an´logo tridimensional a de lo que representa un angulo en el plano (abertura con que se ve un arco desde un punto); de ´ ah´ su nombre. ı Se define el ´ngulo s´lido subtendido por una superficie S desde un punto r0 mediante la a o siguiente expresi´n: o (r − r0 ) · dS(r) Ω(r0 , S) = , S |r − r0 |3 donde es necesario especificar el sentido elegido para los elementos de superficie dS. Evidentemente para el sentido opuesto (simbolizado por −S) se tendr´ Ω(r0 , −S) = −Ω(r0 , S). La unidad es el a estereorradi´n y no tiene dimensiones. a dS r R W r0 R=1 • Interpretaci´n geom´trica: En funci´n del vector R ≡ r−r0 podemos escribir el integrando en o e o la forma uR · dS/R2 , siendo R el m´dulo del vector posici´n relativa de un punto de la superficie al o o punto definido por r0 (ver figura) y uR = R/R. Por otra parte uR ·dS representa la proyecci´n de un o elemento de la superficie sobre el plano tangente a una esfera de radio R con centro en r0 , definido en el punto r. El factor 1/R2 adicional en el integrando nos permite relacionar esta superficie proyectada con una superficie definida en la esfera de radio unidad mediante una homotecia con centro en r0 . Dicho de manera ilustrativa, el angulo s´lido se puede entender como el ´rea m´ ´ o a ınima de un obst´culo situado en la esfera de radio unidad dispuesto de tal forma que un foco luminoso a puntual en r0 no ilumina ning´ n punto de la superficie S. u Es interesante obtener el ´ngulo s´lido correspondiente a una superficie elemental definida sobre a o una esfera de radio R, subtendido desde el centro, cuando dicha superficie est´ delimitada por a 2 ıneas coordenadas en esf´ricas. En tal caso sabemos que uR · dS = dS = R senθdθdφ y por tanto l´ e dΩ = senθdθdφ. En este caso el car´cter angular del angulo s´lido queda patente. a ´ o Tema 1: An´lisis Vectorial a 20
  21. 21. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e • Propiedades: (1) Ω(r0 , Sτ ) = 0 si r0 ∈ τ . La demostraci´n hace uso del teorema de la divergencia: o ⎛ ⎞ (r − r0 ) · dS(r) R Ω(r0 , Sτ ) = = ∇ · ⎝ 3 ⎠ dτ. Sτ |r − r0 |3 τ R Pero ∇ · (R/R3 ) = ∇ · (uR /R2 ), que calculado en coordenadas esf´ricas {R, θ, φ} resulta ser e uR 1 ∂ 1 ∇· = R2 2 = 0 si R = 0. R2 R2 ∂R R (2) Ω(r0 , Sτ ) = 4π si r0 ∈ τ . La demostraci´n es inmediata si tenemos en cuenta que el angulo s´lido con que se ve una o ´ o superficie cerrada desde un punto interior es equivalente al de una esfera de radio unidad desde su centro, que es obviamente 4π. (3) Ω(r0 , S1 ) = Ω(r0 , S2 ) si γS1 = γS2 . Esta propiedad se deduce de la primera teniendo en cuenta que en el caso topol´gicamente m´s o a simple S1 ∪ (−S2 ) = S forma una superficie cerrada con vector normal saliente (o entrante) y r0 es un punto exterior. Por tanto Ω(r0 , S) = Ω(r0 , S1 ) − Ω(r0 , S2 ) = 0. Si la uni´n de ambas superficies deja dentro al punto r0 el resultado ser´ Ω(r0 , S2 ) = Ω(r0 , S1 )−4π. o ıa Podemos imaginar situaciones m´s complicadas que requieren un an´lisis topol´gico m´s detallado, a a o a pero no las consideraremos aqu´ por simplicidad. ı Ejemplo: H´llese el angulo s´lido subtendido por un disco de radio a desde un punto del eje perpendicular que a ´ o pasa por su centro, situado a una distancia h de dicho centro. z z a h a R a O O y y x x (a) (b) En la figura (a) se muestra una elecci´n de coordenadas adecuadas al problema, siendo O (origen) el punto desde o el que se subtiende el angulo s´lido. Podemos escribir ´ o R Ω(r0 , S) = · dS, S R3 Tema 1: An´lisis Vectorial a 21
  22. 22. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e donde r0 = 0 y en polares es R = rur + huz y dS = r dr dφ uz . Sustituyendo encontramos 2π a hrdr h Ω(r0 , S) = dφ = 2π 1 − √ . 0 0 (h2 +r 2 )3/2 h 2 + a2 En funci´n del angulo α definido entre el eje Z y un segmento que una el origen con cualquier punto de la o ´ circunferencia podemos presentar el resultado anterior en la forma Ω = 2π(1 − cos α). Claramente se entienden as´ los siguientes casos: (i) punto de observaci´n infinitamente alejado, α = 0 y Ω = 0; (ii) punto de observaci´n en ı o o el mismo plano, α = π/2 y Ω = 2π, es decir el ´ngulo s´lido correspondiente a un semiespacio. a o Otra forma de calcular Ω en este problema es sustituir la superficie plana por otra en forma de casquete esf´rico, √ e que tambi´n se apoya en su contorno circular pero que forma parte de la superficie esf´rica de radio R = h2 + a2 e e (figura (b)). Se deja como ejercicio comprobar que ambos c´lculos coinciden. a 1.10. Funci´n δ de Dirac o Se define la funci´n δ de Dirac a partir de las siguientes propiedades: o 0 si x = 0 ∞ δ(x) = , δ(x)dx = 1. ∞ si x = 0 −∞ Aunque se usa el t´rmino “funci´n”, no lo es en el sentido usual, sino que se trata de una gener- e o alizaci´n de este concepto. Debe considerarse como una distribuci´n, o l´ o o ımite de una sucesi´n de o funciones dependientes de un par´metro. Como ejemplo de sucesi´n que da lugar a la distribuci´n a o o δ(x) proponemos: 1 2 2 δ(x) = l´ δ (x) = l´ √ e−x /ε . ım ım ε→0 ε→0 πε 5 de(x) 4 3 e=0.125 e=0.25 2 e=0.5 e=1 1 x -2 -1 0 1 2 Se trata de la familia de gaussianas de anchura proporcional al par´metro ε que se hace tender a a cero. Puede comprobarse que para cualquier valor del par´metro la funci´n est´ normalizada a o a de tal manera que la integral extendida a toda la recta real vale la unidad, de acuerdo con la propiedad exigida. Otras familias de funciones que dan lugar a la funci´n δ(x) cuando el par´metro tiende a cero o a son ε sen2 (x/ε) ε 1 y . π x2 π x2 + ε2 Tema 1: An´lisis Vectorial a 22
  23. 23. Campos Electromagn´ticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla e A partir de las propiedades vistas es inmediato deducir una expresi´n de gran utilidad: o b f (x0 ) si x0 ∈ (a, b) f (x)δ(x − x0 )dx = a 0 si x0 ∈ [a, b] (si x0 coincide con a ´ b el resultado es f (x0 )/2). o Ejercicios: (1) Demu´strese lo anterior. e (2) Demu´strese que δ(kx) = δ(x)/|k|. e Ejemplos: π/2 (a) 0 cos 2xδ(x + 3)dx = 0, porque la funci´n δ(x + 3) s´lo es distinta de cero en x = −3, que est´ fuera del o o a intervalo de integraci´n. o 3 (b) −1 ln xδ(x − 2)dx = ln 2 1 3 1 (c) 0 x cos xδ(4x − 3)dx = 1 0 x3 cos xδ(x − 3/4)dx = (3/4)3 cos(3/4)/4 4 • Caso tridimensional. Podemos generalizar el concepto de funci´n δ al caso tridimensional mediante la definici´n: o o δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z). Tambi´n podemos generalizar la propiedad vista: e f (r0 ) si r0 ∈ τ f (r)δ(r − r0 )dτ = τ 0 si r0 ∈ τ (si r0 ∈ Sτ el resultado es f (r0 )/2). Un resultado importante que involucra a la funci´n δ es el siguiente: o 1 ∇2 = −4πδ(r − r0 ). |r − r0 | En efecto, la funci´n de la izquierda es singular en r = r0 y cero en r = r0 (compru´bese). Adem´s o e a se tiene que 1 r − r0 (r − r0 ) · dS ∇2 dτ = − ∇· dτ = − = −Ω(r0 , Sτ ) = −4π, τ |r − r0 | τ |r − r0 |3 Sτ |r − r0 |3 con lo cual se verifican todas las propiedades que definen a la funci´n de la derecha. (En rigor el o teorema de la divergencia no es aplicable si la funci´n es singular en el dominio de integraci´n. Sin o o embargo es posible sustituir la del texto por otra no singular dependiente de un par´metro que en a cierto l´ ımite tienda a la original. V´ase Panofsky & Phillips, Classical Electricity and Magnetism”, e ¸ Addison-Wesley (1977), cap. 1.) La funci´n δ tiene una extraordinaria utilidad dentro del desarrollo te´rico de la asignatura. o o Como ejemplo de uso, consideremos una distribuci´n de n masas puntuales mi colocadas en los o puntos ri . Podemos construir la densidad volum´trica de masa en todo el espacio simplemente e como n ρm (r) = mi δ(r − ri ). i=1 Tema 1: An´lisis Vectorial a 23

×