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Polinomios

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Polinomios

  1. 1. Autor: Jesús Samper
  2. 2. Grados minutos y segundos Radianes Reglas de conversión entre grados y radianes
  3. 3. Las unidades de medida de ángulos más conocidas son los grados, minutos ygrados, minutos y segundossegundos. Este tipo de medidas está basada en la división en partes iguales de una circunferencia. Las equivalencias son las siguientes: 360º = un giro completo alrededor de una circunferencia 180º = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia 90º = 1/4 de vuelta 1º = 1/360 de vuelta, etc. Grados, minutos y segundos 1 grado = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos
  4. 4. También se puede definir otra unidad angular, el radián, que en las aplicaciones físicas es mucho más práctico y directo que trabajar con grados. Un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Radian
  5. 5. Conversión entre grados y radianes La medida en radianes (a) entre un ángulo de α grados se obtiene mediante la proporción: ° = 3602 α π a Ejemplos: radianes 4360 2 4545 ππ = ° ⋅°=° °= ° ⋅= 120 2 360 3 2 3 2 π ππ radianes
  6. 6. Razones trigonométricas de un ángulo agudo Vamos a estudiar un ángulo α. Tomamos un punto cualquiera P. En el consideramos: Su abscisa x (que puede ser positiva o negativa) Su ordenada y (que puede ser positiva o negativa) Su distancia al origen r(siempre positiva por ser una distancia) En el triángulo OPQ: x es el cateto contiguo, y es el cateto opuesto y r la hipotenusa.
  7. 7. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO α
  8. 8. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera El valor de las razones trigonométricas no depende del punto P(x,y) elegido. Si elegimos otro punto P‘(x‘,y‘) se tiene que: r y r y sen ′ ′ ==α r x r x ′ ′ ==αcos x y x y tg ′ ′ ==α En virtud del teorema de Thales: Para saber más
  9. 9. Relación entre razonesRelación entre razones trigonométricastrigonométricas De un ángulo De ángulos diferentes
  10. 10. Relaciones entre las razonesRelaciones entre las razones trigonométricas de un ángulotrigonométricas de un ángulo Circunferencia goniométrica sen a cos a 1 a Teorema fundamental de la trigonometría sen2 a + cos2 a = 1 Aplicando Pitágoras Dividiendo por sen2 a o cos2 a: 1 + tg2 a = sec2 a 1 + cotg2 a = cosec2 a Para saber más
  11. 11. Relaciones entre las razonesRelaciones entre las razones trigonométricastrigonométricas de ángulos distintosde ángulos distintos Ángulos complementarios Ángulos suplementarios Ángulos que se diferencian en 180º Ángulos opuestos
  12. 12. sen a cos a sen (90º-a) cos(90º-a) sen a = cos (90º-a) cos a = sen (90º-a) tg a = cotg (90º-a) Para saber más 90º-a a El complementario del ángulo a es 90º-a Las razones trigonométricas del ángulo a son:Las razones trigonométricas del ángulo 90º-a son:Comprobamos que: Compuébalo
  13. 13. a 180º-a sen a cos a sen (180º-a) cos (180º-a) sen a = sen (180º-a) cos a = - cos (180º-a) tg a = - tg (180º-a) Para saber más El suplementario del ángulo a es el ángulo 180º-aLas razones trigonométricas del ángulo a son:Las razones trigonométricas del ángulo 180º-a son: Observamos que: Compruébalo
  14. 14. a 180º+a Las razones trigonométricas del ángulo a son: sen a cos a Las razones trigonométricas del ángulo 180º+a son: sen(180º+a) cos(180º+a) Comprobamos que: sen a = - sen(180º+a) cos a = -cos(180º+a) tg a = tg(180º+a) Para saber más Compruébalo
  15. 15. a -a Las razones trigonométricas del ángulo a son: sen acos a Las razones trigonométricas del ángulo –a son: cos (-a) sen (-a) Comprobamos que: sen a = - sen (-a) cos a = cos (-a) tg a = - tg (-a) Para saber más Compruébalo
  16. 16. R e s o lu c i ó n d e t r i á n g u lo s r e c t á n g u lo s T e o r e m a d e l s e n o T e o r e m a d e l c o s e n o R e s o lu c i ó n d e t r i á n g u lo s c u a le s q u ie r a F ó r m u la d e H e r ó n S = ( 1 /2 ) · la d o · la d o · s e n ( á n g u lo c o m p r e n d id o ) A r e a s d e t r i á n g u lo s A p li c a c i o n e s d e la t r i g o n o m e t r ía
  17. 17. Resolución de triángulos rectángulos • La suma de los dos ángulos agudos es igual a 90º: B+C=90º • Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • Razones trigonométricas seno, coseno y tangente: sen B = b/a = cos C cos B = c/a = sen C tg B = b/c ; tg C = c/b a b c A B C
  18. 18. Teorema de los senos (en un triángulo cualquiera) • El teorema del seno afirma que en un triángulo cualquiera los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos: a/sen A = b/sen B = c/ sen C. • Interpretación geométrica del teorema del seno: a/senA = b/senB = c/senC = 2R Donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. 2R2R b a c C A B
  19. 19. Teorema de los cosenos (en un triángulo cualquiera) • El teorema del coseno afirma que en un triángulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman. • a2 = b2 + c2 – 2 b c cos A • b2 = a2 + c2 – 2 a c cos B • c2 = a2 + b2 – 2 a b cos C b a c C A B
  20. 20. Resolución de triángulos cualesquiera • Para resolver un triángulo cualquiera tenemos en cuenta las siguientes relaciones entre sus elementos: • La suma de sus ángulos es igual a 180º. • El teorema del seno. • El teorema del coseno. • Según los datos del problema podemos considerar tres casos: • CASO I: conocidos dos lados y el ángulo comprendido. • CASO II: conocidos los tres lados. • CASO III: conocidos un lado y dos ángulos.
  21. 21. b a C a C B CASO I: conocidos a,b y C. CASO II: conocidos a, C y B. CASO III: conocidos a, b y c. b a c
  22. 22. Área de un triángulo • S = (1/2) · b · a · sen C • S = (1/2) · b · c · sen A • S = (1/2) · a · c · sen B • S = (a · b · c) / (4 · R) donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. • Fórmula de Herón : S = √(p · (p-a) · (p-b) · (p-c)) donde p es el semiperímetro del triángulo, p = (a+b+c)/2 A B C A B C • R• RR b a c b a c hbhb

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