2. Introducción
En todo sistema de numeración, cualquier número se puede representar
dentro del límite comprendido por dos potencias consecutivas de la base,
donde el exponente del límite superior es igual a la cantidad de cifras que
tiene el número propuesto.
Ejemplo
En el sistema decimal:
Número de una cifra a: 100 ≤ 𝑎𝑎 < 101
Número de dos cifras 𝑎𝑎𝑎𝑎: 101 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎 < 102
Número de tres cifras 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎: 102 ≤ 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏 < 103
Número de n cifras 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 … … . . 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥: 10𝑛𝑛−1 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 … 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 < 10𝑛𝑛
“n” cifras“n” cifras
3. Representar lo números: 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏(3)
; 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(3)
; 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ; 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(12)
dentro del limite
Correspondiente a dos potencias consecutivas de sus bases.
Resolución
4. Hallar en qué límites está comprendido el número de cifras de un producto
de “n” factores.
Consideremos el producto: 𝑃𝑃 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 … … … . . 𝑥𝑥𝑥𝑥
"n" 𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑓𝑓 𝑓𝑓 𝑓𝑓 𝑓𝑓
Además consideremos que:
Número de cifras de A es “a” 10𝑎𝑎−1 ≤ 𝐴𝐴 < 10𝑎𝑎
Número de cifras de B es “b” 10𝑏𝑏−1 ≤ 𝐵𝐵 < 10𝑏𝑏
Número de cifras de C es “c” 10𝑐𝑐−1 ≤ 𝐴𝐴 < 10𝑐𝑐
Número de cifras de Z es “z” 10𝑧𝑧−1 ≤ 𝑍𝑍 < 10𝑧𝑧
Multiplicando
10𝑎𝑎−1+𝑏𝑏−1+𝑐𝑐−1+⋯+𝑧𝑧−1 ≤ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 … 𝑥𝑥𝑥𝑥 < 10𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐+⋯+𝑧𝑧
5. 10𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐+⋯+𝑧𝑧−𝑛𝑛 ≤ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 … 𝑥𝑥𝑥𝑥 < 10𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐+⋯+𝑧𝑧
𝑆𝑆𝑖𝑖: 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + ⋯ + 𝑧𝑧 = 𝑀𝑀
→ 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓: 10 𝑀𝑀−𝑛𝑛
≤ 𝑃𝑃 < 10 𝑀𝑀
Por lo tanto el producto P tendrá como
mínimo (M – n + 1) cifras y como máximo M
cifras.
6. Corolario(1).- “El número de cifras de un producto
de dos números enteros es a lo más igual a la
suma de los números de cifras de los dos factores
y al menos igual a esta suma disminuida en 1.
• Si el número: N tiene “n” cifras y M tiene “m” cifras, el producto
N x M tendrá (n+m) cifras ó (n + m – 1) cifras.
Corolario(2).- “El cuadrado de un número que
tiene “m” cifras tendrá 2m ó (2m – 1) cifras.
7. NÚMERO DE CIFRAS DE UN COCIENTE: TEOREMA
Si el dividendo “D” tiene “m” cifras y el divisor “d” tiene “n” cifras y la
primera cifra del dividendo es mayor que la primera del divisor; el
cociente tendrá [(m – n) + 1] cifras.
Si la primera cifra del dividendo es menor que la primera del divisor,
el cociente tendrá (m – n) cifras.
Si las primeras cifras del dividendo y divisor son iguales, se
comparan las segundas cifras.
Si la segunda cifra del dividendo es mayor que la segunda del
divisor, el cociente tiene [(m – n) +1] cifras y si fuese menor de la del
dividendo que la del divisor tendrá el cociente (m – n) cifras.
En conclusión el cociente tendrá como mínimo (n – m) cifras y
como máximo [(m – n) + 1] cifras.
8.
9. 1. Si:
A tiene 3 cifras
B tiene 5 cifras
C tiene 2 cifras
Calcule cuántas cifras puede tener:
I. A4 II. A4 x B3 III.
𝐴𝐴4
𝑥𝑥 𝐵𝐵3
𝐶𝐶2
Resolución
10. 2. ¿Cuántas cifras puede tener P, si P = A2 x B3 . Además, A y B
tienen 5 y 6 cifras respectivamente?
Resolución
Respuesta.- P puede tener de 24 a 28 cifras.
11. 3. Hallar la mínima y máxima cantidad de cifras que puede tener N,
si:
N =
𝐴𝐴4
𝑥𝑥 𝑇𝑇2
𝑌𝑌3
Además A, T e Y tienen 8, 7 y 4 cifras respectivamente.
Resolución
Respuesta.- Cantidad mínima de cifras: 29
Cantidad máxima de cifras: 37
12. 4. Sabiendo que E = An x B7, tiene (9n + 1) cifras como mínimo y que
A y B tienen 8 y 5 cifras. Halle “n”.
a) 2 b) 14 c) 6 d) 8 e) 10
Resolución
13. 5. Sean cuatro números enteros, escritos en el sistema decimal como
A, B, C, D y tales que admiten 8; 4; 5 y 6 cifras respectivamente.
¿Cuántas cifras admitirá como máximo E?
E =
𝐴𝐴3
𝑥𝑥 𝐵𝐵4
𝐶𝐶2
𝑥𝑥 𝐷𝐷1
a) 22 b) 18 c) 27 d) 19 e) 25
Resolución
