Derivadas

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Derivadas

  1. 1. Tema 4.- Derivadas. Ejercicios Derivadas.Halla las derivadas de las funciones siguientes.1. Primero unos polinomios sencillitos 1 1 1 a) ; b) ; c) √ ; x2 x3 x √ 3 √ 8 d) x2 ; e) x x2 ; f) 6x7 − 2x5 + 4x2 + 3x − 2; √ 7 g) x−5 + 3x−3 + 6; h) 3x3 + 2x2 + 5x5 + 1; i) 4x11 − 2 x + ; x √ √ √ 3 j) 5x2 − πx + 2; k) 4 x − 3 + x4 . x2. Ahora unas fracciones 1 3 −x a) ; b) ; c) . x−1 x2 − 1 x+13. Ahora con algunas ra´ ıces √ √ √ 3 a) 2x − 3; b) (2x − 3)7 ; c) (2 x − 3)7 ; d) 5x2 ; √ √ e) x − 1; f) 3 (5x − 3)2 ; g) (x − 1 − 2x)3 .4. Usemos funciones trigonom´tricas e a) sen 2x; b) sen2 x; c) sen2 x2 ; d) sen x2 ; e) sen x cos 2x; f) 7 sen x + 5 cos x; g) cos(5x2 − 3x + 2); h) cos5 (7x2 ); i) 6 cos2 (3x + 5); √ √ j) 5 sen x − 5 x; k) tg2 x; l) tg x2 ; √ m) sen(sen x); n) sen2 (cos7 x); o) cos5 x2 ; √ p) sen 1 − 3x; q) sen2 x + (x2 − 1)5 ; r) cos2 3 x + (3 − x)2 . 1
  2. 2. 5. Ahora exponenciales y logar´ ıtmicas a) ln(2x + 1); b) ln(x2 − 1); c) x ln x; ln x d) ; e) e4x ; f) x3 ex ; x g) ex tg x ; h) xx ; i) x3x ; x x 1 j) xx+1 ; k) e(x ) ; l) 1+ . x6. Hallar las derivadas sucesivas de a) 6x4 − x3 + 5x2 − 11x; b) 5 cos 2x. Dibujo de curvas.7. Estudiar las curvas dadas por polinomios: x4 a) (x + 1)(x − 2)(x − 4); b) − 2x2 ; c) x4 − 4x3 . 48. Estudiar las curvas dadas por fracciones algebraicas: x2 x−1 x a) b) ; c) ; x2 − 9 x+1 x2 − 1 x2 + 1 6x x2 + 9 d) ; e) ; f) ; x2 − 1 x 2+1 x2 − 4 x2 − x + 6 8 − 3x f) ; g) . x2 − x x(x − 2)9. Estudiar algunas curvas algo m´s raras a a) 3 (x + 3)2 ; b) x − sen x; c) sen(πx2 ); √ 2 d) ln sen x; e) arc sen x + 1; f) arc tg ; x−1 √ arc tg x g) arc tg 6x3 ; h) √ ; i) earc sen x ; x+1 j) ln arc cos(x − 1). 2
  3. 3. M´ximos y m´ a ınimos. Planteemos problemas de m´ximos y m´ a ınimos.10. Descomp´n 16 en suma de dos n´meros con producto m´ximo. o u a11. Halla un n´mero que sumado con 25 veces su inverso de un m´ximo. u a12. Hallar los lados de un rect´ngulo de ´rea m´xima entre los de per´ a a a ımetro 20.13. Hallar los lados de un tri´ngulo rect´ngulo de ´rea m´xima entre los de hipotenusa 10. a a a a14. Hallar los lados de un rect´ngulo de diagonal menor entre los de per´ a ımetro 20.15. Dado un tri´ngulo is´sceles con una base de 12 y una altura de 5, indica los puntos de la a o altura en los que al suma de distancias a los tres v´rtices es m´xima y m´ e a ınima. C´lculo de l´ a ımites por L’Hˆpital. o16. Halla los siguientes l´ ımites 3x2 + 2x − 16 sen x 1 − cos2 x a) l´ x→2 ım ; b) l´ x→0 ım ; c) l´ x→0 ım ; x2 − x − 2 x x x − sen x 1 1 sen x − x d) l´ x→0 ım ; e) l´ x→0 ım − ; f) l´ x→0 ım ; x sen x x sen x 1 − cos x arc tg x − x 1 tg x ln x g) l´ x→0 ım ; h) l´ x→0 ım ; i) l´ x→0 ım ; x3 x x x ex − 1 ex − 1 − x x j) l´ x→0 ım ; k) l´ x→0 ım ; l) l´ x→0 (1 − ex )e ; ım x x2 1+x 1 ln x m) l´ x→0 l´ x→0 x x ; ım ım l) 1 . x 3

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