Relación entre número de fibonacci y número áureo ARIAS

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Relación entre número de fibonacci y número áureo ARIAS

  1. 1. Escuela secundaria técnica 118 Alumna: Carla Arias SilvaProfesor: Luis Miguel Villarreal Matías Grado y grupo: 3°A Materia: MatemáticasRelación entre Número de Fibonacci y Número Áureo O3/10/2012
  2. 2. Introducción En este trabajo revisaremos la relación entre dosgrandes series relacionadas con los números “mágicos” como se les mencionaba anteriormente. Y buscaremos una relación entre ellos.
  3. 3. Relación entre Número de Fibonacci y Número ÁureoLeonardo da Pisa, conocido también como Fibonacci, fue un matemático ilustrede su tiempo y uno de los primeros europeos en abogar por el uso del sistema denumeración arábiga. Después de viajar durante años, en 1202 publicó LiberAbaci, libro en que recopilaba los conocimientos que había acumulado durantesus viajes.En éste aparecía el siguiente problema: El problema de los conejos Suponiendo que una pareja de conejos cría otra pareja cada mes, y que los conejos son fértiles a partir del segundo mes, ¿cuántos conejos se pueden tener al cabo de un año? La solución que dio Fibonacci fue que cada mes habría las mismas parejas de conejos que ya había el mes anterior (se suponía que no había muerto ninguno) más un número nuevo de parejas igual al número de parejas fértiles, que son las que ya había 2 meses antes. Si escribimos una serie con el número de parejas que hay cada mes, obtenemos:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...Esta secuencia recibe el nombre de sucesión de Fibonacci, y cada número es unnúmero de Fibonacci, que resulta de sumar los dos números anteriores.Sucesión naturalLos números de Fibonacci aparecen a menudo en la naturaleza. Por ejemplo, sesabe que de los huevos que pone la abeja reina en una colmena, si estánfecundados nacen abejas obreras o reinas, mientras que de los no fecundadosnacen zánganos. Así pues, las reinas tienen dos progenitores, mientras que loszánganos tienen sólo uno. El número de individuos en cada generación deancestros de un zángano sigue la sucesión de Fibonacci. También siguen lasucesión de Fibonacci las ramificaciones de algunas especies de hierba, flores,arbustos o árboles, así como la disposición de los piñones en la piña, o de las
  4. 4. florecitas que forman las flores compuestas como las margaritas. Y en el cuerpohumano, los huesos que forman el dedo índice de la mano están en la mismaproporción que los números 2, 3, 5 y 8.El Número ÁureoSe trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) queposee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad,no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas.Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en lanaturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las hojas de algunosárboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculosde los girasoles, etc.Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan laproporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lolargo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obrasde arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sidocuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sídos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sídos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ.
  5. 5. Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otrosdos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismoresultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor.Cálculo del valor del número áureoDos números a y b están en proporción áurea si se cumple:Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:Multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:Igualamos a cero:La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:que es el valor del número áureo, equivalente a la relación . Relación entre número áureo y número de FibonacciAhora recordaremos dos grandes aspectos ya mencionados a lo largo del temael número áureo y el número de fibonacci recordando sus aspectos másimportantes empezaromos con la sucesión de Fibonacci y posteriormente con elnúmero áureo.La sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
  6. 6. Recordando que tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación,matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas,como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en eltallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.Los números de Fibonacci tienen propiedades matemáticas interesantes, ymuchas operaciones aritméticas entre ellos vuelven a dar números de Fibonacci.Una de ellas, apuntada por el astrónomo Johannes Kepler es la siguiente: si vamosdividiendo entre ellos números de Fibonacci consecutivos cada vez mayores, sucociente se acerca al valor 1.618033... Esta constante se denomina número deoro, número áureo o divina proporción, y como ya mencionado hace unosmomentos históricamente se le han atribuido propiedades estéticas y he ahí ondeencontramos su relación.
  7. 7. ConclusiónEn estos momentos ya ha quedado claro su relación como ya antes revisado se puede ver que todo seforma a partir de una constancia que ahí se explica.

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