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Aplicación Laplace
Sistema masa amortiguador
Ecuaciones Diferenciales
Suspensión de un
automóvil
• La Transformada de Laplace es una técnica
Matemática que forma parte de ciertas
transformadas integrales como la transformada de
Fourier
•el comportamiento de sistemas complejos puede
describirse usando ecuaciones algebraicas en
lugar de ecuaciones diferenciales.
•Una vez que se ha estudiado el comportamiento
de los sistemas, se puede proceder analizar los
Introducción
Suspensión automóvil
 La suspensión en un automóvil es el conjunto
de elementos que absorben las irregularidades
del terreno por el que se circula para aumentar
la comodidad y el control del vehículo. El
sistema de suspensión actúa entre el chasis y
las ruedas, las cuales reciben de forma directa
las irregularidades de la superficie transitada.
Control en automóvil
Suspensión de un
automóvil
MODELADO MATEMÁTICO
Suspensión de un
automóvil
f(t)
z(t)
k
b
m
Fuerza de
entrada
Desplazamiento,
salida del sistema
2
2
)()(
)()(
dt
tzd
m
dt
tdz
btkztf
maF


la transformada de Laplace
Ahora pasamos al modelado del
sistema, por la ley de Newton
tenemos que:
𝐹 = 𝑚𝑎
Entonces decimos que: F(t) = m𝑋2+ b 𝑋1 + kX(t)
Ahora aplicando la transformada de Laplace a
la expresión anterior se tiene:
F(s) = m 𝑆2
X(s) + bSX(s) + kX(s)
Despejando X(s):
F(s) = X(s)[m𝑆2 + bS + k]
Obteniendo la relación de la transformada de
Laplace de la salida respecto a la entrada, que
corresponde a la función de transferencia del
sistema se obtiene:
X(s)
F(s)
=
1
m 𝑆2+bS+k
Ahora normalizando la ecuación para dejarla
expresada como función de transferencia se
tiene:
𝐹𝑇 =
X(s)
F(s)
=
1
𝑚
𝑆2+ 𝑏
𝑚
S+ 𝑘
𝑚
Ecuación de
modelar el
sistema.
Programa.
Parámetros del
sistema
Se tiene el siguiente sistema que
simula el funcionamiento de la
suspensión donde:
m es la masa del chasis del vehículo.
k es la constante elástica del resorte
o muelle.
b es el coeficiente de fricción del
amortiguador.
Interfaz
Ya dependiendo de los valores
de B, M y K que ingresemos en
la interfaz grafica.
Podremos tener diferentes
respuestas
EJEMPLO
 Consideremos un sistema masa-resorte con m = 2
kg, c = 4 Nm/s y k =10 N/m. Supongamos que el
sistema está inicialmente en reposo y en equilibrio
por lo cual x.(0)= x’(0) = 0, y que la masa es
impulsada por una fuerza de excitación f(t) cuya
gráfica se muestra en la figura siguiente.
La posición x.(t) de la masa m está dada por
la solución del PVI:
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f(t)=
10, si π ≤ t <−2π 𝑐𝑜𝑛 𝑥 0 =
0, si t[π , 2 π ) 𝑥′
0 = 0
La función f (t) puede escribirse como
f(t)= -10 [u( t - π ) -u(t-2 π )]•; entonces por la
linealidad de la T Laplace
tenemos:
F(s)= ℒ{f(t)} =
10𝑒−2π 𝑆
𝑆
−
10𝑒−π 𝑆
𝑆
.
Ahora, tomamos TL en ambos miembros de
la ED para obtener:
2[𝑆2
X(S) – SX(0) – x’(0)] +4[SX(S)-X(0)] +
10X(S) =F(S)
Al considerar las condiciones iniciales y la
expresión de F(S), tenemos que:
2𝑆2X(S)+4SX(S)+ 10X(S) =
10𝑒−2π 𝑆
𝑆
−
10𝑒−π 𝑆
𝑆
2(𝑆2
+2S + 5)X(S) =
10𝑒−2π 𝑆
𝑆
−
10𝑒−π 𝑆
𝑆
X(S) =
5𝑒−2π 𝑆
𝑆(𝑆2 +2S + 5)
−
5𝑒−π 𝑆
𝑆(𝑆2 +2S + 5)
Por lo tanto, para encontrar x(t), lo único
que resta es obtener la transformada
inversa de Laplace.
En primer lugar, por la primera propiedad
de traslación, se tiene que
ℒ−1
{
1
𝑆(𝑆2 +2S + 5)
} = ℒ−1
{
1
(𝑆+1)2 + 4)
} =
1
2
ℒ−1
{
1
(𝑆+1)2 + 4)
} =
1
2
𝑒−1
sen2t.
Luego, calculamos ℒ−1
{
1
𝑆(𝑆2 +2S + 5)
}
Utilizando la propiedad de la
transformada de una integral
ℒ−1
{
1
𝑆(𝑆2 +2S + 5)
} = 0
𝑡 1
2
𝑒−𝑢
𝑠𝑒𝑛2𝑢𝑑𝑢
=
1
2
[ 𝑒−𝑢
(2𝑐𝑜𝑠2𝑢 + 𝑠𝑒𝑛2𝑢]
𝑡
𝑜
=
=
1
5
−
1
10
[ 𝑒−𝑡
2𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 .
Finalmente, al utilizar la segunda
propiedad de traslación y la periodicidad
de las funciones seno y coseno, se
determina que
X(t) = 5ℒ−1 𝑒−2π𝑠
𝑆(𝑆2 +2S + 5)
-
5ℒ−1 𝑒−π𝑠
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Este método de ensayo cubre la estimación de la capacidad portante del suelo ...
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Aplicacion laplace

  • 1. Aplicación Laplace Sistema masa amortiguador Ecuaciones Diferenciales Suspensión de un automóvil
  • 2. • La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier •el comportamiento de sistemas complejos puede describirse usando ecuaciones algebraicas en lugar de ecuaciones diferenciales. •Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas, se puede proceder analizar los Introducción
  • 3. Suspensión automóvil  La suspensión en un automóvil es el conjunto de elementos que absorben las irregularidades del terreno por el que se circula para aumentar la comodidad y el control del vehículo. El sistema de suspensión actúa entre el chasis y las ruedas, las cuales reciben de forma directa las irregularidades de la superficie transitada.
  • 5. MODELADO MATEMÁTICO Suspensión de un automóvil f(t) z(t) k b m Fuerza de entrada Desplazamiento, salida del sistema 2 2 )()( )()( dt tzd m dt tdz btkztf maF  
  • 6. la transformada de Laplace Ahora pasamos al modelado del sistema, por la ley de Newton tenemos que: 𝐹 = 𝑚𝑎 Entonces decimos que: F(t) = m𝑋2+ b 𝑋1 + kX(t) Ahora aplicando la transformada de Laplace a la expresión anterior se tiene: F(s) = m 𝑆2 X(s) + bSX(s) + kX(s) Despejando X(s): F(s) = X(s)[m𝑆2 + bS + k]
  • 7. Obteniendo la relación de la transformada de Laplace de la salida respecto a la entrada, que corresponde a la función de transferencia del sistema se obtiene: X(s) F(s) = 1 m 𝑆2+bS+k Ahora normalizando la ecuación para dejarla expresada como función de transferencia se tiene: 𝐹𝑇 = X(s) F(s) = 1 𝑚 𝑆2+ 𝑏 𝑚 S+ 𝑘 𝑚 Ecuación de modelar el sistema.
  • 8. Programa. Parámetros del sistema Se tiene el siguiente sistema que simula el funcionamiento de la suspensión donde: m es la masa del chasis del vehículo. k es la constante elástica del resorte o muelle. b es el coeficiente de fricción del amortiguador.
  • 10. Ya dependiendo de los valores de B, M y K que ingresemos en la interfaz grafica. Podremos tener diferentes respuestas
  • 11. EJEMPLO  Consideremos un sistema masa-resorte con m = 2 kg, c = 4 Nm/s y k =10 N/m. Supongamos que el sistema está inicialmente en reposo y en equilibrio por lo cual x.(0)= x’(0) = 0, y que la masa es impulsada por una fuerza de excitación f(t) cuya gráfica se muestra en la figura siguiente.
  • 12. La posición x.(t) de la masa m está dada por la solución del PVI: 2x’’(t) + 4x’(t) + 10x(t) f(t)= 10, si π ≤ t <−2π 𝑐𝑜𝑛 𝑥 0 = 0, si t[π , 2 π ) 𝑥′ 0 = 0 La función f (t) puede escribirse como f(t)= -10 [u( t - π ) -u(t-2 π )]•; entonces por la linealidad de la T Laplace tenemos: F(s)= ℒ{f(t)} = 10𝑒−2π 𝑆 𝑆 − 10𝑒−π 𝑆 𝑆 . Ahora, tomamos TL en ambos miembros de la ED para obtener:
  • 13. 2[𝑆2 X(S) – SX(0) – x’(0)] +4[SX(S)-X(0)] + 10X(S) =F(S) Al considerar las condiciones iniciales y la expresión de F(S), tenemos que: 2𝑆2X(S)+4SX(S)+ 10X(S) = 10𝑒−2π 𝑆 𝑆 − 10𝑒−π 𝑆 𝑆 2(𝑆2 +2S + 5)X(S) = 10𝑒−2π 𝑆 𝑆 − 10𝑒−π 𝑆 𝑆 X(S) = 5𝑒−2π 𝑆 𝑆(𝑆2 +2S + 5) − 5𝑒−π 𝑆 𝑆(𝑆2 +2S + 5)
  • 14. Por lo tanto, para encontrar x(t), lo único que resta es obtener la transformada inversa de Laplace. En primer lugar, por la primera propiedad de traslación, se tiene que ℒ−1 { 1 𝑆(𝑆2 +2S + 5) } = ℒ−1 { 1 (𝑆+1)2 + 4) } = 1 2 ℒ−1 { 1 (𝑆+1)2 + 4) } = 1 2 𝑒−1 sen2t. Luego, calculamos ℒ−1 { 1 𝑆(𝑆2 +2S + 5) } Utilizando la propiedad de la transformada de una integral
  • 15. ℒ−1 { 1 𝑆(𝑆2 +2S + 5) } = 0 𝑡 1 2 𝑒−𝑢 𝑠𝑒𝑛2𝑢𝑑𝑢 = 1 2 [ 𝑒−𝑢 (2𝑐𝑜𝑠2𝑢 + 𝑠𝑒𝑛2𝑢] 𝑡 𝑜 = = 1 5 − 1 10 [ 𝑒−𝑡 2𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 . Finalmente, al utilizar la segunda propiedad de traslación y la periodicidad de las funciones seno y coseno, se determina que X(t) = 5ℒ−1 𝑒−2π𝑠 𝑆(𝑆2 +2S + 5) - 5ℒ−1 𝑒−π𝑠 𝑆(𝑆2 +2S + 5) =
  • 16. = 1 − 1 2 𝑒− 𝑡−2𝜋 [2 cos 2𝑡 − 4𝜋 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑡 −
  • 17. Grafiacas del ejercio vs la de matlab