Ecuaciones diferenciales 1er_parcial (1)

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Ecuaciones diferenciales 1er_parcial (1)

  1. 1. RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS. RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS. RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN ALREDEDOR DE PUNTOS ORDINARIOS. (SERIE DE TAYLOR) Escuela Superior Politécnica del Litoral Solucionario de Problemas de Ecuaciones Diferenciales Primer parcial (3ra versión) Roberto Cabrera 09
  2. 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 2 Ecuaciones Diferenciales separables Se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden: XY XY ͨ{Y Y{ Se dice que ecuación diferencial de primer orden es separable si se puede expresar la esa ecuación diferencial de la siguiente manera: XY XY ͨ{Y{ͩ{Y{ Donde ˘{˲ ˳{ se lo expresa como una multiplicación de dos funciones, una que depende de la variable “x” y otra de la variable “y”. En este caso se obtiene la siguiente solución de esta ecuación diferencial: XY XY ͨ{Y{ͩ{Y{ XY ͩ{Y{ ͨ{Y{XY XY ͩ{Y{ ͨ{Y{XY Donde la solución de esta ecuación diferencial separable tiene la siguiente forma: {Y{ {Y{ - V 1.- Encontrar la solución implícita de la siguiente ecuación diferencial: 00003)3)3)3)----yyyy----3x3x3x3xdx(xydx(xydx(xydx(xy----8)8)8)8)----4y4y4y4y2x2x2x2x----dy(xydy(xydy(xydy(xy =++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c4xln5x3yln5y 4x dx5 dx 3y dy5 dy 4x dx5 4x dx4x 3y dy5 )3y( dy)3y( 4x dx1x 3y dy2y ecuaciónladeladosambosaIntegramos 4x dx1x 3y dy2y );x(g)y(f 4)2)(x-(y 1)-3)(x(y dx dy 2)-4(y2)-x(y 3)(y-3)x(y dx dy 8-4y2x-xy 3-y-3xxy dx dy ++−=+− + −= + − + − + + = + − + + + − = + − ⇒ + − = + − = + + = + ++ = + + = ∫∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫
  3. 3. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 3 [ ] ( )[ ] [ ];)e(2arctany :esparticularsoluciónLa 1;KK; 4 tan arctan(K);/4 ;Ke2arctan/4 /4;y(0)si ;K)e(2arctany :esgeneralsoluciónLa K;)e(2tan(y) ;ee c;e23lntan(y)ln :vyudoReemplazan 3x 0 3x 3x ce23lntan(y)ln x x −= =⇒=      = −= ⇒ = −= −= = +−= +− ;ce1ln2eln2 e 2 eye :esgeneralimplicitasoluciónLa ; )e(1e dx eye ;ce1ln2eln2 e 2 )e(1e dx ;cu1ln2uln2 u 2 )u(1u du2 ; u1 du 2 u du 2 u du 2 )u(1u du2 ;du u1 1 u 1 u 1 2 )u(1u du2 1;C1;-B1;A :sonCB,A,devaloreslosDonde ; u1 C u B u A )1u(u 1 :obtenemosparcialesfraccionesporIntegrando x/2x/2 x/2 yy x/2x/2 yy x/2x/2 x/2x/2x/2 2 22 22 22 +++−−=−⇒ + =− +++−−= + ⇒ +++−−= + ⇒ + +−= + ⇒             + +−= + ⇒ === + ++= + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ 2.- Encontrar la solución particular de la siguiente ecuación diferencial: SiSiSiSi ;)(y 4 0 π = 3.- Exprese de forma implícita la solución de la siguiente ecuación diferencial: 0000 ))))eeee(1(1(1(1eeee dxdxdxdx ydyydyydyydyeeee x/2x/2x/2x/2yyyy x/2x/2x/2x/2 = + − ∫∫∫ ∫ ∫∫ + = + = + ⇒ =⇒= =⇒= = + + = = + = = + = + = )u(1u du2 )uu(1 u du2 )e(1e dx ; u du2 dxudx 2 1 du ;dxe 2 1 dueu ? )e(1e dx ; )e(1e dx dyye ; ye 1 )y(g ; )e(1e 1 )x(f );y(g).x(f )yee(1e 1 dx dy ; )e(1e dx ydye 2x/2x/2 2/x2/x x/2x/2 x/2x/2 y y x/2x/2 yx/2x/2 x/2y x/2 c;v3lnuln ; v 3dv u du :doReemplazan dx;edve2v (y);secdutan(y)u ; )e(2 dx3e tan(y) (y)dysec ; )e(2 dx3e tan(y) (y)dysec f(x).g(y); (y))sece(2 tan(y)3e dx dy tan(y)dx;3e(y)dy)sece(2 0(y)dy)sece(2tan(y)dx3e xx 2 x x2 x x2 2x x x2x 2xx += = ⇒ −=⇒−= =⇒= − −= − −= = − − = −=− =−+ ∫∫ ∫∫
  4. 4. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 4 4.- Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial: 0dy)xln(1x)ee(dx)xln(y2 yy ====++++−−−−−−−− −−−− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ; !1n21n2 y dy !1n2 y dy !1n2 y ;dx )xln(1x )xln( dy !1n2 y :emplazandoRe ; !1n2 y y )y(senh !1n2 y )y(senhSi dy y )y(senh ;dx )xln(1x )xln( dy y )y(senh )y(senh 2 )ee( ;dx )xln(1x )xln( dy y2 )ee( ;dx )xln(1x )xln( dy y2 )ee( )xln(1x)ee( )xln(y2 dx dy ; )xln(1x )xln( )ee( y2 )y(f );x(g).y(f )xln(1x)ee( )xln(y2 dx dy ;dx)xln(y2dy)xln(1x)ee( 0n 1n2 0n n2 0n n2 0n n2 0n n2 0n 1n2 yy yy yy yy yy yy yy ∑∫∑ ∑ ∫∫∑ ∑∑ ∫∫ ∫∫ ∞+ = +∞+ = ∞+ = ∞+ = ∞+ = ∞+ = + − − − − − − − ++ = + + + = + + =⇒ + = + = = − + = − + = − +− = + =∧ − = = +− = =+− :queobtenemosIntegrando :potenciasdeseriesusardebemosintegrarPara :siguientelotenemosentoncesqueobservamosSi :obtieneseecuaciónladeladosambosaIntegrando g(x)
  5. 5. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 5 ( ) ( ) ( )( ) ( ) C 3 2 !1n21n2 y ;C 3 2dx C 3 2 ;Cz 3 z 2 z ; z ;duzdz2u1 ;dx Si ?dx dx 3 1n2 3 3 3 +         +− + = ++ +         +− + = + ⇒ +         +− + = + ⇒ +      −==⇒ = + ⇒ =⇒+= + = + ⇒ =⇒= = + + ∑ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∞+ = + ln(x)1 ln(x)1 :esimplícitaformadegeneralsolucionLa ln(x)1 ln(x)1 ln(x)1x ln(x) u1 u1 u1 udu 21)dz-(z 1)2zdz-(z 1)2zdz-(z u1 udu zAhora u1 udu ln(x)1x ln(x) x dx duln(x)u ln(x)1x ln(x) : ln(x)1x ln(x) integrandoAhora 0n 2 2 2 2
  6. 6. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 6 Ecuaciones Diferenciales Lineales Las ecuaciones diferenciales lineales tienen la siguiente forma: g(x);p(x)yy' =+ Existen dos métodos para resolver este tipos de ecuaciones: El método del factor integrante. Método de variación de parámetros El método del factor integrante: [ ] [ ] [ ] ;u(x)g(x)dx u(x) 1 y ;u(x)g(x)dxu(x)y ;u(x)g(x)dxu(x)yd u(x)g(x);u(x)y dx d u(x)g(x);p(x)yy'u(x) ;eu(x) p(x)dx ∫ ∫ ∫∫ = = = = =+ ∫= =+ g(x);p(x)yy' Método de variación de parámetros v(x);y'v'(x)yy' v(x);yy Asumir: ey p(x)dx;y p(x)dx; y dy ;p(x)y dx dy ;p(x)y'y ;p(x)y'y hh h p(x)dx; h h h h h h hh hh ++++==== ==== ==== −−−−==== −−−−==== −−−−==== −−−−==== ====++++ ====++++ ∫∫∫∫ −−−− ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ln 0 g(x);p(x)yy' [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫==== ==== ==== ==== ==== ==== ====++++ ====++++ ====++++++++ ====++++++++ ====++++ −−−− dx; y g(x) ey v(x);yy dx; y g(x) v(x) dx; y g(x) dv g(x);y dx dv g(x);yv'(x) g(x);v(x)yv'(x) s:, entoncep(x)yPero y' g(x);p(x)yy'v(x)yv'(x) g(x);v(x)p(x)yv(x)y'v'(x)y g(x);p(x)yy' :emplazando h p(x)dx h h h h h h hh hhh hhh 0 0 Re
  7. 7. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 7 1) ; ctg(x)(x)sen x yxy' 42 3 =−2 [ ] ;C 3 )X(ctg4 xy ;C 3 )X(ctg4 y x 1 ;C 3 )X(ctg4 C 3 )X(ctg4 dx ctg(x) )x(csc 3 u4 4/3 u duu u du dx ctg(x) )x(csc ;dx)x(cscdu)x(ctguSi ;dx ctg(x) )x(csc dx ctg(x)(x)sen 1 ;dx ctg(x)(x)sen 1 y x 1 ;dx ctg(x)(x)sen 1 y x 1 d ; ctg(x)(x)sen 1 y x 1 dx d ; ctg(x)(x)sen x x 1 y x 2 y' x 1 ; x 1 xeee)x(u ; ctg(x)(x)sen x y x 2 y' 4 3 2 4 3 2 4 34/3 4 2 4/34/3 4/1 44 2 2 4 2 42 422 422 422 42 2 22 2 2)xln()xln(2 dx x 2 42 2 2         +−= +−=⇒ +−=+−=⇒ −=      −=−= − =⇒ −=⇒= =         ⇒         =⇒         =      ⇒         =              =      − ====∫= ∫= =+ =− ∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ − −− − − :esldiferenciaecuacionladegeneralsoluciónLa :ecuaciónladeladosambosau(x)integrantefactorelemosMultipliqu eu(x) :u(x)integrantefactorelsEncontremo :integrantefactordelmétodoelaplicarpodemostantoloPor g(x);p(x)yy'formalaTiene p(x)dx
  8. 8. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 8 2)    ≥ <≤ ===+ 2x;2x- 2x0; p(x)1;y(0)1;p(x)yy' 1 Para el intervalo 2x0 <≤ resolvemos la ecuación diferencial, donde 1p(x)= : ( ) ( ) ( ) ( ) 2;xpara :potenciasdeseriesusar snecesitamointegrarparaPero lineal)dif.(Ec.1;y'-2xy -2x;p(x)2,xparaAhora >+ + − =⇒ + + − =⇒ − =⇒ =⇒= = = =∫= = =≥ ∑ ∑ ∫∑ ∫∫∫ ∞+ = + ∞+ = + − ∞+ = − − −−−− − − −− −− ;ke !n)1n2( x1 ey ;k !n)1n2( x1 ye ;dx !n x1 ye dxe ;dxeye;dxe)ye(d ;e dx )ye(d );1(exy2y'-e ;ee)x(u 2 0n x 1n2n x 2 0n 2 1n2n x 0n n2n x x xxxx x x xx xxdx2 22 2 2 2 2222 2 2 22 2 2x0para );separabledif.(Ec. <≤=⇒ =⇒−= = −= =− = +−=− +=−− = − ⇒= − −=⇒=+ =+ − − +−− ∫∫ 1y ;0k;ek11 ;1)0(yPero ;ek1y ;eky1 ;ee Kxy1ln ;Cxy1ln ;dx y1 dy dx y1 dy ;y1 dx dy ;1y dx dy ;1y'y 1 1 0 1 x 11 x 1 Kxy1ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; !n1n2 21 2 e 1 k ; !n1n2 221 e 1 k;ke !n1n2 221 e1 ;ke !n1n2 221 e1;ke !n1n2 21 e1 ;ke !n1n2 x1 e1 ;yy );x(f)x(f 0n n2n 42 0n n2n 422 4 0n n2n 4 2 4 0n n2n 4 2 2 0n 1n2n 2 2 x 0n 1n2n x 2x2x 2 2x 1 2x axax 22 22 limlim limlim limlim ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∞+ = ∞+ = ∞+ = ∞+ = ∞+ = + ∞+ = + →→ →→ →→ + − −=⇒ + − −=⇒= + − −⇒ + + − =⇒+ + − =⇒       + + − =⇒ =⇒ = +− +− +− :dicecondiciónEsta :funcionesdosdedcontinuidadecondición lausaremoskencontrarparaAhora 2 ( ) ( ) ( )     ≥      + − −+ + − <≤ = ∑∑ ∞+ = ∞+ = + 2x 2x0; :enciacorresponddereglasiguientela conexpresadaquedasoluciónLa ; !n1n2 21 2 e 1 e !n)1n2( x1 e 1 y 0n n2n 4 0n x 1n2n x 22
  9. 9. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 9 3.- Resolver la siguiente ecuación diferencial: xe y dx dy y 2+ = Si observamos que esta es una ecuación diferencial no separable, no lineal con respecto a y, que tal si hacemos que nuestra variable independiente sea “y”, y que “x” nuestra variable dependiente, es decir obtener nuestra solución en función de “y” ( ))y(fx = . ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ∫∫ ∫∫ =⇒= =⇒=⇒= =        −⇒=− = =⇒== ∫ =−= ∫= =+ =+ =−⇒=−−⇒ =−−≡=−− =+ =+ − −−− − − − dy y e ydy y e xy dy y e xydy y e xy y e xy . y e y x2 'x y e y x2 'x e; y 2 )y(p ; ;g(y)p(y)xx' ; y e y x2 'x;0 y x2 y e 'x ;0x2e'yx;0x2e dy dx y ; dy dx yx2e ;ydxdyx2e 3 y 2 3 y 2 3 y 2 3 y 2 3 y 2 y xy y yln2 yy yy y y 2 x dd dy d yy :ldiferenciaecuaciónladeladosambosayu(y)integrantefactorelndoMultiplica yu(y)yeu(y)sentonce eu(y) :ydedependeahoraintegrantefactorEl* :integrantefactordelmétodoelApliquemos :nteindependievariablelay esAhora g(y);p(y)xx'formalaTiene 2- dy d 2- 2- 2-2- dy y 2 p(y)dy 4434421         + − ++−−==         +++= =⇒= ∑∫ ∫ ∫ ∑∑ ∑∑ ∞+ = − ∞+ = − ∞+ = − ∞+ = − ∞+ = ;C !n)2n( y )yln( 2 1 y 1 y2 1 dy e y)y(x !n y y!2 1 y!1 1 y!0 1 dy !n y !n y y e !n y e dy e 3n 2n 2 y 2 3n 3n 23 0n 3n 0n 3n 0n 3 yn y y 2 3 3 y y :potenciasdeseriesusamos y integrarPara La solución es:         + − ++−−= ∑ +∞ = 2 3n n 2 yC 2)n!(n y ln(y)y 2 1 y 2 1 x
  10. 10. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 10 4.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial: ;0==− y(1);sen(ln(x))xyxy' 2 Utilizando el método del factor integrante: ;x)x(u ;eee)x(u ; x 1 e)x(u e)x(u ;(x))lnxsen( x y y' ;(x))lnsen(xyxy' 1 )xln(dx x 1 dx)x(p dx)x(p ;dx)x(p 2 − −∫− ∫ ∫ ∫ =⇒ ===⇒ −==⇒ = =+ =− =− p(x)donde; :entoncesg(x),p(x)yy'formasiguientelaTiene [ ] [ ] [ ] [ ] ∫ ∫ ∫∫ = = =⇒=⇒= =− − −−− −−− − (x))dxlnsen(xy (x))dxlnsen(yx (x))dxlnsen(yxd(x))dxlnsen(yxd(x))lnsen(yx dx d ;(x))lnxsen(x x y xy'x 1 111 1 yx dx d 11 1 :obtieneseldiferenciaecuaciónladeladosambosaintegrantefactorelndoMultiplica 4434421 [ ] [ ] [ ] [ ] ;Cx 2 ))xcos(ln())x(ln(senx y C 2 ))xcos(ln())x(ln(senx xy ;C 2 ))xcos(ln())x(ln(senx dx))x(ln(sen ;C 2 )zcos()z(sene dze)z(sen dze)z(sen ;dze)z(sendx))x(ln(sen ;dzedx ;;xdzdx ; x dx dz);xln(z ?dx))x(ln(sen 2 z z z z z + − =     + − =⇒ + − =⇒ + − = = = == =⇒= = ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ :queobtenemospartesporintegrando, exPero z [ ] [ ] [ ] ; 2 1 C;C 2 1 0 ;C 2 )0cos()0(sen 0 );1(C 2 ))1cos(ln())1(ln(sen1 0 ;0)1(y ;Cx 2 ))xcos(ln())x(ln(senx y 2 2 =⇒+−=⇒ + − =⇒ + − =⇒ = + − = = 0;y(1)siparticularsoluciónlaahorasEncontremo [ ] 2 x 2 cos(ln(x))sen(ln(x))x y :essoluciónLa 2 + − =
  11. 11. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 11 Ecuaciones diferenciales Exactas Las ecuaciones diferenciales exactas tienen la siguiente forma: 0;y)F(x, :essoluciónlaDonde h(x);y)H(x,y)F(x, :obtieneseforma,mismaladeprocedemosyeligeseSi :essolucíonLa :Entonces y).F(x,deconstanteLa y);N(x, y y)F(x, conigualandoLuego :yarespectocony)F(x,derivandoLuego :obtienesey),M(x,escogemosSi :quetaly)F(x, :existeEntonces x y)(x, y y)M(x, :siexactaEs 0;y)y'N(x,y)M(x, = += = ∂ ∂ =+ = += = −= =+ = ∂ ∂ += ∂ ∂ += ∂=∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ =+ ∫∫ ,N(x,y) y F(x,y) ;0h(y)G(x,y) ;0F(x,y) h(y);G(x,y)F(x,y) )y(h G'(x,y);N(x,y)h'(y) N(x,y);h'(y)G'(x,y) );y('h)y,x('G y )y,x(F h(y);G(x,y)F(x,y) ;xM(x,y)F(x,y) M(x,y) x F(x,y) x )y,x(F N(x,y); y F(x,y) M(x,y); x F(x,y) ;NM ; N xy
  12. 12. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 12 1.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial: ( ) 0dyxxln(x) y e xdx4xxyln(x) x e y4x xy 43 xy 3 =      −+−+      −++− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) );x(hxy)xln(yx !nn yx )yln(yx)y,x(F ; !nn yx )yln(y !n yx y 1 y y e ; !n yx y 1 !n yx !n xy y 1 y e y y e );x(hxy)xln(yxy y e yx)y,x(F ;yx(x)lnx y e x(F(x,y)) y;x(x)lnx y e x(F(x,y)) x;(x)lnx y e x y (F(x,y)) x;(x)lnx y e xFy Si Existe NxMy ;(x)lnex4Nx )y,x(N ;(x)lnex4M ;4xx(x)lny x e yx4M(x,y) 1n nn 4 1n nn 1n 1nnxy 1n 1nn 0n 1nn 0n nxy xy xy 4 xy 4 xy 4 xy 4 xy 4 xy3 xy3 y 3 xy 3 +−+−−= +=∂        +=∂        +=== ∂        +−+∂        −= ∂        −+−=∂ ∂        −+−=∂ −+−= ∂ ∂ −+−= =    = = ⇒ = +−= −+−= +−= −++−= =      −+−+      −++− ∑ ∑∫ ∑∫ ∑∑∑ ∫ ∫∫ ∞+ = ∞+ = ∞+ = − ∞+ = −∞+ = −∞+ = :potenciasdeseriesusaseintegrarPara :ecuaciónladeladosambosaintegrandoEntonces :siguienteloobtieneseentoncesy),N(x,Fy y)N(x,Fy y)M(x,Fx dondey),F(x,funciónuna exacta;esldiferenciaecuacionlaentonces; x;xln(x) y e x 0y'xxln(x) y e x4xxyln(x) x e y4x xy 4 xy 43 xy 3
  13. 13. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 13 ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ;0C4x 7 4x 3xy)xln(yx !nn yx )yln(yx ;C4x 7 4x 3xy)xln(yx !nn yx )yln(yx)y,x(F ;C4x 7 4x 3)x(h ;Cz 7 z 3)z(h ;dzz4z3)z(h ;dzz3z4z)z(h ;4zx 4xz ;dxdzz3;4xz ;dx4xx)x(h ;4xx)x('h ;4xx(x)lny x e yx4)x('h)xln(y x e yx4 : );x('h)xln(y x e yx4Fx );x('hy)xln(yy !n yx yx4Fx );x('hy)xln(1y !nn yxn yx4Fx ;4xx(x)lny x e yx4Fx 43 73 1n nn 4 4 3 7 3 1n nn 4 4 3 7 3 4 7 36 23 33 3 3 23 3 3 3 xy 3 xy 3 xy 3 1n n1n 3 1n n1n 3 3 xy 3 =         +−+ − +−+−− =         +−+ − +−+−−=         +−+ − =       ++= += += += −= =⇒−= −= −= −++−=++− ++−= +−++−= +−++−= −++−= = = ∑ ∑ ∫ ∫ ∫ ∑ ∑ ∞+ = ∞+ = ∞+ = − ∞+ = − :decires0,y)F(x,simplicitaesoluciónLa :Entonces :h(x)Obteniendo :términosEliminando FxdoreemplazanEntonces y);M(x,Fx :siguienteloobtieneseentoncesM,FxsiAhora
  14. 14. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 14 2.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial: 0y' 2y y yx1)ln(xx2xyxy 1x xy y 8 3 222 =      − ++++−+      + + − ; 2y y yx1xlnxxy2N(x,y) xy 1x xy yM(x,y) 8 3 2 22 − ++++−= + + −= );y('hyx1xlnxxy2Fy );y(h 2 yx 1xlnyxyxy)y,x(F );y(h 2 yx x 1x 1 yxyxy)y,x(F );y(h 2 yx x 1x 11x yxy)y,x(F );y(h 2 yx x 1x x yxy)y,x(F x;xy 1x xy y(F(x,y)) xy 1x xy y x (F(x,y)) ;xy 1x xy yM(x,y)Fx Si Existe ;NxMy ;xy2 1x x y2Nx ;xy2 1x 1x1 y2Nx ;xy2 1x 1 1y2Nx xy2 1x x y2My 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 22 22 ++++−= = = ++++−= ++∂ + +∂−= ++∂ + −+ −= ++∂ + −= ∂      + + −=∂ + + −= ∂ ∂ + + −== =    = = ⇒ = + + −= + + −− += + + +−= + + −= ∫ ∫ ∫ ∫ y);N(x,Fy :siguienteloobtieneseentoncesy),N(x,FysiAhora :siguienteloobtieneseentoncesy),M(x,Fx y)N(x,Fy y)M(x,Fx dondey),F(x,funciónuna exacta.esldiferenciaecuaciónla
  15. 15. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 15 ( ) ;0C 2y 2y ln 28 1 2 yx 1xlnyxyxy ;C 2y 2y ln 28 1 2 yx 1xlnyxyxy)y,x(F ;C 2y 2y ln 28 1 )y(h ;C 2z 2z ln 28 1 )z(h ;K 2z 2z ln 22 1 4 1 2z dz 4 1 )z(h ;dyy4dz;yz ;dy 2y y )y(h ;dy 2y y )y(h ; 2y y )y('h 2y y yx1xlnxxy2);y('hyx1xlnxxy2 : 4 422 2 4 422 2 4 4 2 34 24 3 8 3 8 3 8 3 22 =+ + − ++++− = + + − ++++−= + + − = + + − =         + + − = − = =⇒= − = − = − = − ++++−=++++− ∫ ∫ ∫ :decires0,y)F(x,simplicitaesoluciónLa :Entonces :h(y)Obteniendo :términosEliminando FydoreemplazanEntonces 3.- Determine el valor de N(x,y) para que la siguiente ecuación diferencial sea exacta, luego encuentre la solución de forma implícita: 0y)dyN(x,dx yx x xy 2 1/21/2 =+      + +− Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplirse que My = Nx ( ) ( ) ( ) ;x yx x xy 2 1 )y,x(N ; yx x xy 2 1 x )y,x(N ; yx x xy 2 1 Nx ;MyNx 22 2/12/1 22 2/12/1 22 2/12/1 ∂         + −=∂ + −= ∂ ∂ + −= = −− −− −−
  16. 16. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 16 ( ) ( ) ( ) ;C yx2 1 xy)y,x(N ;C u2 1 xy)y,x(N ; u u 2 1 xy)y,x(N ;xx2u ;yxu ;x yx x xy)y,x(N ;x yx x xy 2 1 )y,x(N 2 2/12/1 2/12/1 2 2/12/1 2 22 2/12/1 22 2/12/1 + + += ++= ∂ −= ∂=∂ += ∂         + −= ∂         + −=∂ − − − − −− ∫ ∫ ∫∫ ( ) 0dyC yx2 1 xydx yx x xy 2 2/12/1 2 2/12/1 =        + + ++        + + −− Ahora como My = Nx; );y('h )yx(2 1 yxFy h(y);yxln 2 1 xy2F(x,y) ; u u 2 1 xy2F(x,y) x;x2u y;xu x; yx x xy2F(x,y) x; yx x xyF(x,y) x; yx x xy(F(x,y)) yx x xy x (F(x,y)) ; yx x xyM(x,y)Fx Si Existe 2 2/12/1 22/12/1 2/12/1 2 2 2/12/1 2 2/12/1 2 2/12/1 2 2/12/1 2 2/12/1 + + += = = +++= ∂ += ∂=∂ += ∂ + += ∂        + += ∂        + +=∂ + += ∂ ∂ + +== =    = = ⇒ − − − − − ∫ ∫ ∫ y);N(x,Fy :siguienteloobtieneseentoncesy),N(x,FysiAhora :siguienteloobtieneseentoncesy),M(x,Fx y)N(x,Fy y)M(x,Fx dondey),F(x,funciónuna
  17. 17. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 17 ( ) ;0;KCxyxln 2 1 xy2 K;Cxyxln 2 1 xy2F(x,y) h(y);yxln 2 1 xy2F(x,y) ;KCx)y(h ;C)y('h ;C yx2 1 xy);y('h )yx(2 1 yx : 22/12/1 22/12/1 22/12/1 2 2/12/1 2 2/12/1 =++++ = ++++= +++= += = + + +=+ + + −− :decires0,y)F(x,simplicitaesoluciónLa :Entonces :h(y)Obteniendo :términosEliminando FydoreemplazanEntonces
  18. 18. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 18 Ecuaciones diferenciales exactas con factor integrante exacta.esldiferenciaecuaciónlaAhora :ydedependequeintegrantefactorUn exacta.esldiferenciaecuaciónla :esxdedependesoloqueintegrantefactorUn :integrantefactorunnecesitasetantoloporexacta,noldiferenciaecuaciónunaesEntonces Nx;MySi ;0y'u(y)N(x,y)u(y)M(x,y) ;eu(y) Ahora ;0y'u(x)N(x,y)u(x)M(x,y) ;eu(x) ;0'y)y,x(N)y,x(M dx N(x,y) Nx-My dx N(x,y) My-Nx =+ ∫ = =+ ∫ = ≠ =+ 1) ( ) 1;y(1)Si0;dy203y2xxydx 22 ==−++ (((( )))) (((( )))) (((( )))) ;4 ;2032),( ;4 ;),( ;02032 02032 ;)( ;)( 4 2032 3 3532 3 4 35324 2233 3 3 22 xyNx yyyxyxN xyMy xyyxM dyyyyxdxxy ;dyyxyxydxy yyu yyu x;Nx ;yxN(x,y) x;My xy;M(x,y) dy y dy xy dy ==== −−−−++++==== ==== ==== ====−−−−++++++++ ====−−−−++++++++ ==== ==== ∫∫∫∫ ==== ∫∫∫∫ ==== ∫∫∫∫ ==== ≠≠≠≠ ==== −−−−++++==== ==== ====                   :ecuaciónladeladosambosau(y)andomulitiplicLuego ee eu(y) :integrantefactorsuencontrardebemostantoloPor exacta;esnoldiferenciaecuaciónlaentoncesNx;My 3x-4x y)M(x, My-Nx
  19. 19. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 19 (((( )))) ;Cy yyx C;y yyx F(x,y) Cy y yh dyyyyh ;yyh'(y) ;yyyxh'(y)yx yh yx yxF xxyyxF xy x yxF 05 22 5 22 ;5 2 )( ;203)( 203 20322 );( 2 ),( ;),( ; )),(( 4 642 4 642 4 6 35 35 353232 42 4 4 ====++++−−−−++++ ++++−−−−++++==== ++++−−−−==== −−−−==== −−−−==== −−−−++++====++++ ==== ++++==== ∂∂∂∂==== ==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====    ==== ==== ∃∃∃∃ ==== ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ :Entonces y);N(x,Fy y);M(x,Fx y);N(x,Fy y);M(x,Fx :talquey))(F(x, :exactaesldiferenciaecuaciónlatantoloporNx,My 2) ( )[ ] 0;dxln(x)1xyy-2xdy 3 =++ ( )( ) ( ) ( ) ;08y10yyx ;04y5 2 y 2 yx ;4C ;15C ;0C5 2 1 2 1 ;0C15 2 1 2 11 ;0Cy5 2 y 2 yx 4642 4 642 4 642 4 642 =+−+ =+−+ = −= =+−+ =+−+ =+−+ = :soluciónLa 1;y(1)Si
  20. 20. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 20 ( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C)y(h ;0h'(y) ; y x2 h'(y) y x2 );y(h 4 x )xln( 2 x 2 x y x )y,x(F ;x(x)ln1x y 1 )y,x(F ;(x)ln1x y 1 x ))y,x(F( ; y 2 Nx ; y x2 )y,x(N ; y 2 My ;(x)ln1x y 1 )y,x(M ;0dy y x2 dx(x)ln1x y 1 ;0xdy2 y 1 dx-(x)ln1xyy y 1 ; y 1 ee)y(u ee)y(u ;e )y,x(N (x);lnxy3xy31My ;(x)ln1xyyM(x,y) 33 222 2 2 2 3 3 3 2 32 3 3 3 3 dy y 3dy )xln(1xy1y )xln(1xy13 dy )xln(1xy1y (x);lnxy3xy33 dy (x)ln1xyy (x);lnxy3xy312 dy )y,x(M MyNx 22 3 2 2 2 22 3 22 = = −=+− = +−++= ∂      ++= ++= ∂ ∂ =    = = ∃ = −= −= −= ++= =        −      ++ =++ = ∫∫ = ∫ = ∫ = ∫ = = = ++= ++= =++ ∫ −         ++ ++−         ++ −−−         ++ −−−−       − y);N(x,Fy y);M(x,Fx y);N(x,Fy y);M(x,Fx :talquey))(F(x, :exactaese.d.latantoloporNx,My :ecuaciónladeladosambosau(y)andomulitiplicLuego u(y) -2;Nx -2x; 0;2xdy-dxln(x)1xyy 3 ;0C 4 x )xln( 2 x 2 x y x ;C 4 x )xln( 2 x 2 x y x )y,x(F 222 2 222 2 =+−++ +−++= :Entonces
  21. 21. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 21 3) ( ) 2xyln(y);y'1yyx 222 −=++ [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ;Cuu 3 1 Cu 3 2 2 1 duu 2 1 )y(h ;ydy2du ;1yu ;dy1yy)y(h ;1yyh'(y) ;1yy y x h'(y) y x );y(h)yln(x)y,x(F ;x(y)lnx2)y,x(F ;;(y)lnx2 x ))y,x(F( ; y x2 Nx ;1yy y x )y,x(N ; y x2 My ;(y)lnx2)y,x(M ;0y'1yy y x (y)lnx2 ;0y'1yyx y 1 (y)lnxy2 y 1 ; y 1 )y(u ;eee)y(u ;e)y(u ;x2Nx ;1yyx)y,x(N ;)yln(1x2My ;(y)lnxy2)y,x(M ;0y'1yyx(y)lnxy2 2/3 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 222 dy y 1 dy )yln(xy2 )yln(x2 dy (y)lnxy2 )yln(1x2x2 dy )y,x(M MyNx 222 222 +=    +== = += += += ++=+ = += ∂= = ∂ ∂ =    = = ∃ = = ++= = = =      +++ =+++ = ∫ = ∫ = ∫ = ∫ = = ++= += = =+++ ∫ ∫ ∫ −        −         +−         − y);N(x,Fy y);M(x,Fx y);N(x,Fy y);M(x,Fx :talquey))(F(x, :exactaese.d.latantoloporNx,My :ecuaciónladeladosambosau(y)multiplicaseLuego ( ) ( ) ( ) ;0C1y1y)yln(x ;C1y1y)yln(x)y,x(F C;1y1y 3 1 h(y) 222 222 22 =++++ ++++= +++= 3 1 3 1 :Entonces
  22. 22. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 22 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) { (((( )))) (((( )))) (((( )))) .integrantefactordelmétodoelporresolverpuedeseque Lineal,ldiferenciaecuaciónunaesEsto :siguienteloobtieneSe :BernoullideecuaciónladeladosambosafactorelrámultiplicaSe :evariabldecambiosiguienteelhaciendo linealenconviertelasequelineal,noldiferenciaecuaciónunaesEsta 0,1.ndondeBernoulli,deldiferenciaecuaciónuna :esEsto    −−−−====−−−−++++ −−−−====−−−−++++−−−− −−−−====−−−−++++−−−− −−−− −−−−======== ==== ≠≠≠≠====++++ −−−−−−−− −−−−−−−−−−−− −−−− −−−− −−−− )(1)(1 )(1)(11 )(1)(11 1 1. : )()( 1 1 xgnvxpn dx dv xgnyxpn dx dy yn yxgynyxpyn dx dy yn yn dx dy yn dx dy dy dv dx dv Donde yv yxgyxp dx dy Sea v n dx dv n nnnn n n n n 4434421
  23. 23. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 23 La solución general es: ; x K 9 2x 3 2xln(x) x 3 2 1 y 2 ++−− = ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ −−= +−= +−= +−= +−=+ =∫= +−=+ +−=+− +−=+− − −== = = =+=− =    ++− =++ − − −−− − − − − ;dx)xln(x2x 3 2 vx ;dx)xln(xx2vx ;dx(x)ln1x2vx ;(x)ln1x2 dx vxd ;(x)ln1x2 x v2 x'vx ;xe)x(u ;(x)ln12 x v2 'v ;(x)ln12 x y 2y'y2 ;(x)ln1yy2 x y y2y'y2 y2 ; dx dy y2 dx dv 'v ;yv ;(x)ln1y x y y' ;0(x)ln1y x y y' ;0dx(x)ln1xyyxdy- 232 222 22 2 2 222 2 dx x 2 2 3 3333 3 3 2 3 3 3 :integrantefactorporoResolviend :v'yvdoReemplazan :ecuaciónladeambosamultiplicaseLuego ;yvsustituyeSe 3;n n1 1) ( )[ ] 0;dxln(x)1xyy-xdy 3 =++ . (((( )))) (((( )))) ; 9 2 3 )ln(2 3 2 : ; 9 2 3 )ln(2 3 2 ; 9 2 3 )ln(2 3 2 ; 93 )ln( )ln( ; 3 ;);ln( ?)ln( 2 2 2 33 32 33 2 3 2 2 x Kxxx xy x Kxxx xv K xxx xvx C xxx dxxx x vdx;xdv x dx duxu dxxx ++++++++−−−−−−−−==== ==== ++++++++−−−−−−−−==== ++++++++−−−−−−−−==== ++++−−−−==== ====⇒⇒⇒⇒==== ====⇒⇒⇒⇒==== ==== −−−− ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ yvdoReemplazan :soluciónlaDespejando 2-
  24. 24. Ecuaciones diferenciales de primer orden ESPOL 2009 24 2) 1;y(1)siln(x);yyxy' 2 ==+ ∫= =     =− =∫= =− −=−− − −= == ==+ − −−− − − −− ;dx x )xln( v x 1 ; x )xln( dx v x 1 d ; x )xln( x v 'v x 1 ; x 1 e)x(u ; x )xln( x v 'v ; x )xln( yy x y y'yy y ; dx dy y dx dv ;yyv ; x )xln( y x y 'y 2 2 22 x dx 2222 2 2 1n1 2 :integrantefactordelmétodoelporoResolviend :ecuaciónlaenv'yvdoReemplazan :ecuaciónladeladosambosamultiplicaseLuego 2;n ; Cx1)xln( 1 y ;Cx1)xln(y ;Cx1)xln(v C; x 1 x )xln( -v x 1 ; x dx x )xln( -v x 1 ; x 1 -v; x dx dv ; x dx du(x);lnu ?dx x )xln( 1 2 2 2 +−− = +−−= +−−= +−= += =⇒= =⇒= = − ∫ ∫Integrando ;2C ;11C 1C- 1 1 = =− = = :entonces1,y(1)Si ; 2x1ln(x) 1 y :essoluciónLa +−− =
  25. 25. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 25 3) [ ] 0;dxx)(14xy1yx)dy4(1 2 =++++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;x1Cx14 3 x14 y ;Cx14 3 x14 v ;Cx14 3 x14 v x1 1 ;Cx14 3 x14 dx x1 x2 ;Cz4 3 z4 dz1z4 ;dz1z4 z zdz21z 2dx x1 x2 ;1zx ;dxzdz2;x1z ?;dx x1 x2 ;dx x1 x2 v x1 1 ; x1 x2 dx v x1 1 d ; x1 x2 x)1(4 v2 x1 1 'v x1 1 ; x1 1 ee)x(u ;x2 x)1(4 v2 'v ;xyy2 x)1(4 yy2 'yy2 ; dx dy y2 dx dv ;yyv ;xy x)1(4 y 'y 0xy x)1(4 1 y'y 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 x1ln 2 1dx )x1(2 1 33 3 3 3 2n1 3 2 +++− + = ++− + = ++− + = + ++− + = + +−=− −= − = + −= =⇒+= = + + = + + =     + + = ++ − + + == ∫ = = + − = + − +− −= == =−= + + =      + + + − +− + − − − − − −− ∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫ :ecuaciónladeladosambosa2y-multiplicaseLuego 3;n 3- ( ) ( ) ; x1Cx14 3 x14 1 y 2 +++− + = La solución general es:
  26. 26. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 26 4) ctg(x);2y4csc(2x)y3y' 1/2− =+ [ ] ( ) ; 4 1C ;C 4 1 ;C 4 ;)x(Cctg)x(xctgy );x(Cctg)x(xctgy );x(Cctg)x(xctgv ;Cxv)xtan( ;dxv)xtan( ;dxv)xtan( ;1 dx v)xtan(d );x(ctg)xtan(v)x2csc()xtan(2'v)xtan( );xtan( )xcos()x(sen )x(sen 2 )x2(sen 2 )x2cos(1 )x2(sen )x2cos(1 )x(u ; )x2(sen )x2cos( )x2(sen 1 )x(u );x2(ctg)x2csc()x(u ee)x(u );x(ctgv)x2csc(2'v );x(ctgy 3 2 y 2 3 y)x2csc( 3 4 y 2 3 'yy 2 3 y 2 3 ;'yy 2 3 'v ;yyv ; 2 1 );x(ctgy 3 2 y)x2csc( 3 4 'y 3 2 3 2 2/3 2 )x2(ctg)x2csc(lndx)x2csc(2 2/12/12/12/1 2/1 2/1 2/3n1 2/1 π −= + π =       + π = =π += += += += = = = =+ == − = − = −= −= =∫= =+ =+ = == −==+ ∫ ∫ − − − − 1 1;/4)y(Si :ecuaciónladeladosambosamultiplicaSe n
  27. 27. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 27 ;)x(ctg 4 1)x(xctgy 3 2             π −+= :esparticularsoluciónLa Ecuaciones diferenciales homogéneas de la forma       = x y f'y );x(xy );x( x y );x(v ; x dx v)v(f dv ;v)v(f dx dv x );v(f dx dv xv ; x y f dx dy ; dx dv xv ; ; x y f dx dy φ= φ= φ= = − −= =+       = += ==       = = :ecuaciónlaeny'yv,doReemplazan dx dy vx;yentonces x y v :ónsustitucisiguientelahaceSe :comoecuaciónestaexpresar puedesesihomogéneaesy)f(x, dx dy ecuaciónlaquediceSe
  28. 28. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 28 1)Resolver la siguiente ecuación diferencial: ; y x y sec x y dx dy 2 2       += ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sen(2v) 8 1 -cos(2v) 4 v 4 sen(2v)v 6 v vsec dvv sen(2v) 8 1 -cos(2v) 4 v 4 sen(2v)v 6 v dvcos(2v) 4 1 cos(2v) 4 v 4 sen(2v)v 6 v vsec dvv dvcos(2v) 4 1 cos(2v) 4 v 2 sen(2v)v 6 v vsen(2v)dv 4 sen(2v)v 6 v vsec dvv cos(2v) 2 1 nsen(2v)dvdn dv.dmvm vsen(2v)dv 4 sen(2v)v 6 v vsec dvv dv 2 2vsen(2v) 2 sen(2v)v 6 v dvcos(2v)v 2 1 dv 2 v vsec dvv ; 2 sen(2v) ncos(2v)dvdn 2vdv;dmvm dv 2 cos(2v)v dv 2 v dv 2 cos(2v)v 2 v vsec dvv dv 2 cos(2v)v 2 v dv 2 cos(2v)1 v(v)dvcosv vsec dvv ? vsec dvv ; x dx vsec dvv :randoInteg x dx vsec dvv separable.ldiferenciaEcuación v vsec dx dv x vx vsec dx dv x ; vx vsec vv dx dv x y x y sec x y dx dy :obtienesev, dx dv x dx dy , x y vxv,y,ldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan v; dx dv x dx dy xv;y x y v :queAsumiendo 23 2 2 2323 2 2 2323 2 2 23 2 2 23 2 2 2 2 2 2222 2 2 22 222 2 2 2 2 32 2 32 2 2 2 3 22 2 22 2 2 2 ++= ++=      +−−+=       +−−+=−+= −=⇒= =⇒= −+=       −+=+      = =⇒= =⇒=       +      =      +=       +=      + == = ==⇒    =⇒=⇒ +=+⇒       += +=== +=⇒ =⇒= ∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫ ∫∫ 2 1 2 1 2 1
  29. 29. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 29 ( ) ; C C x y vdoReemplazan x 1 sen(2v) 8 1 -cos(2v) 4 v 4 sen(2v)v 6 v x 1 sen(2v) 8 1 -cos(2v) 4 v 4 sen(2v)v 6 v x dx vsec dvv 2 23 2 23 32 2 = +−=++ +−=++⇔= ∫∫ 2) ( ) ( ) /2;y(1)si0;dyxdx2xyxy 222 24 ==−++ C La +−=                        +                   +       2 23 x 1 x y 2sen 8 1 - x y 2cos 4 v 4 x y 2sen x y 6 x y :porexpresadaquedaimplícitaformadesolución ( ) ; 4 K ;Ktan 2 1 2 ;K 2 xln4 tan 2 x y ;K 2 xln4 tan 2 1 x y ;K 2 xln4 tan 2 1 v ;K 2 xln4 tanv2 π = = =       +=       +=       +=       += 2 ; 2 2 y(1)Si :obtieneseladosambosatanAplicando ; 42 xln4 tan 2 x y       π += :esparticularsoluciónLa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;K 2 xln4 v2arctan ;Cxln4v2arctan2 ; x dx4 2/1v dv ; x dx 2/1v4 dv ; x dx 2v4 dv ;2v4 dx dv x ;2v4v dx dv xv ; dx dv xv dx dy ;xvy ; x y v ;2 x y4 x y dx dy ; x x2y4xy dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 22 += += = + = + = + += ++=+ += = = ++= ++ = ∫∫
  30. 30. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 30 3) 0;xdonde0;)y(x;yxy dx dy x 00 22 >=−+= /4;y(1)==== ;'xvv'y ;xvy ; x y v ; x y 1 x y dx dy ; x yx x y dx dy ; x yx x y dx dy 2 2 2 22 22 += = = −+= − += − += :asumeSe 4) ( ) 0;ydxdyln(y)ln(x)x =−− ( ) ( ) ( ) ; x y lnx y dx dy ; (x)ln(y)lnx y dx dy ;0ydxdy(x)ln(y)lnx ;0ydxdy(y)ln(x)lnx             −= − −= =+− =−− ;'xvv'y ;xvy ; x y v += = = :asumeSe La solución general de forma implícita es: C;xln x y ln1ln x y ln +−=      +− (((( )))) (((( )))) (((( )))) ; 2 ln ; 2 );(1 ;ln ;ln ;ln ;ln)( ; ;1 ;1 ;1' ;1' 2 2 2 2       ++++==== ==== ==== ==== ++++==== ++++==== ++++==== ++++==== ==== −−−− −−−−==== −−−−==== −−−−++++====++++ ππππ ππππ xxseny C Csen Cxxseny Cxsen x y Cxsenv Cxvarcsen x dx v dv v dx dv x vxv vvxvv :espaticularsoluciónLa 1;y(1)Si (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) ;ln)ln(1lnln ;ln1ln ;ln 1 1 ;ln 1 ; );ln( ; )ln(1 )ln( ; ln )ln(1 ; ln ' ; ln ' Cxvv Cxuu Cxdu u du Cxdu u u v dv du vu x dx dv vv v v vv dx dv x v v v xv v v xvv ++++−−−−====++++−−−− ++++−−−−====++++−−−− ++++−−−−====      ++++ −−−− ++++−−−−====      ++++ ==== ====       −−−−====      ++++ ++++−−−− ==== −−−−−−−−==== −−−−====++++ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫
  31. 31. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 31 Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Lineales 1) ( ) ( ) ; 4y2x 5x2y dx dy −− +− = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;z z2 1z2 du dz u ; z2 1z2 du dz uz ; du dz uz du dv ;zuv ; u v z ; u v 2 1 u v2 du dv ; vu2 uv2 du dv ;3h ;1-k ;04kh2 ;05hk2 4kh2vu2 5hk2uv2 du dv ; 4kvhu2 5hukv2 du dv ; du dv dx dy ;kvy ;hux ;41 );2(2)1)(1( ;baba ;0dy4yx2dx)5y2x( 1221 − − − = − − =+ += = = − − = − − = = =    =−− =+− −−+− +−+− = −+−+ ++−+ = = += += ≠ −−≠ ≠ =−−−−− :homogénealdiferenciaecuaciónunacomooResolviend :homogéneaecuaciónunaobtenerpoderparau,paraoDivivdiend :Entonces :el sistemaoResolviend ; obtieneseecuación,laeny'y,x,doReemplazan :asumeSe
  32. 32. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 32 ( ) ( ) ; u du 1z dz2z ; z2 zz21z2 du dz u 2 2 −= − − − +−− = ( ) ( ) ( ) ( ) ;Culn 1z 1z ln1zln 2 1 ; u du 1z dz2 1z dzz 2 22 +−= + − −− −= − − − ∫∫∫ ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;C3xln1 3x 1y ln 2 1 1 3x 1y ln 2 3 ;3xu;hxu ;1yv;kyv ;Culn1 u v ln 2 1 1 u v ln 2 3 ;Culn1zln 2 1 1zln 2 3 ;Culn1zln1zln1zln 2 1 1zln 2 1 ;Culn 1z 1z ln1z1zln 2 1 ;Culn 1z 1z ln1zln 2 1 2 +−−=      − − + −      + − + −=⇒−= +=⇒−= +−=      −−      + +−=−−+ +−=++−−++− +−= + − −+− +−= + − −− :esimplícitaformadesoluciónLa 2) ( ) ( ) 0;dy37y3xdx77x3y =−−−+− ( ) ( ) ( ) ; 3y7x3 7y3x7 dx dy ; du dv dx dy ;kvy ;hux ;949 );3(3)7)(7( ;baba 1221 ++− ++− = = += += −≠− −≠− ≠ :Usando
  33. 33. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 33 ( ) ( ) ( ) ( )    =++− =++− ++−+− ++−+− = ++++− ++++− = ;03k7h3 ;07k3h7 3k7h3v7u3 7k3h7v3u7 du dv 3kv7hu3 7kv3hu7 du dv ; :y'yyx,doReemplazan ; u v z ; u v7 3 u v3 7 du dv ; v7u3 v3u7 du dv ;1h ;0k = +− +− = +− +− = = = :el sistemaoResolviend ;z z73 z37 du dz u ; z73 z37 du dz uz ; du dz uz du dv ;zuv − +− +− = +− +− =+ += = (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) ; 1 7 1 6 1 7 ;1ln7 1 6 1 7ln ;ln767ln ;ln767ln ;ln 2 767ln ;ln 767 614 14 7 ; 767 614 14 7 ;33614 14 7 37 ;614;767 ; 767 37 ; 37 767 ; 73 7337 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 −−−− ====++++ −−−− −−−−      −−−− ++++−−−−−−−−====++++ −−−− −−−−      −−−− ++++−−−−====++++−−−−      ++++−−−−====++++−−−− ++++−−−−==== ++++−−−− ++++−−−−==== ++++−−−− −−−− ==== ++++−−−− ++++−−−−====−−−− ====⇒⇒⇒⇒++++−−−−==== −−−− ==== ++++−−−− −−−− −−−− ++++−−−− −−−−==== ++++−−−− −−−−++++++++−−−− ==== ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ x C x y x y Kx x y x y Ku u v u v Kuzz Cu zz Cu zz dzz- u du zz dzz- z-z z-duzzu u du zz dzz z zz du dz u z zzz du dz u :esimplícitaformadesoluciónLa
  34. 34. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 34 3) ( ) ( ) 0;yx1y'5xy =−−−−− ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ; 5xy yx1 dx dy ;kvy ;hux ;11 ;1111 ;baba ;0y'5xy-x-y1 1221 −− −− = += += −≠ −≠−− ≠ =−−− Reemplazando x,y, y y’ en la ecuación: ( ) ( ) ( ) ( ) ; 5khvu 1khvu du dv ; 5hukv kv-hu-1 du dv −+−+− +−−−− = −+−+ ++ = ; du dz uz du dv ;zuv ; u v z ; u v 1 u v 1 du dv vu vu du dv ;3k ;2-h ;05kh ;01kh += =       = +− −− = +− −− = = =    =−+− =+−− :ecuacionesdeel sistemaoResolviend ; z1 zzz1 du dz u ;z z1 z1 du dz u ; z1 z1 du dz uz 2 +− −+−− = − +− −− = +− −− =+
  35. 35. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 35 ( ) ( ) ;C2xln 2x 3y arctan1 2x 3y ln 2 1 ;Culn u v arctan1 u v ln 2 1 ;Culn)zarctan(1zln 2 1 ; u du 1z dz1z ; 1z 1z du dz u 2 2 2 2 2 ++−=      + − −+      + − +−=      −+      +−=−+ −= + − − + −= ∫∫ :esldiferenciaecuaciónladeimplicitasoluciónLa Ecuaciones diferenciales de la forma G(ax+by) XY XY ͩ{ͷY - ͸Y{ Se asume el siguiente cambio de variable ͷY - ͸Y Despejando y: Y ͸ . ͷ ͸ Y XY XY ͸ X XY . ͷ ͸ Reemplazando y, y’ en: XY XY ͩ{ͷY - ͸Y{ Se obtiene una ecuación diferencial de la forma: ͸ X XY . ͷ ͸ ͩ{Ͷ{ ͸ X XY ͷ ͸ - ͩ{Ͷ{ Se obtiene una ecuación diferencial separable dela forma: X ͷ ͸ - ͩ{Ͷ{ ͸XY
  36. 36. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 36 1. ( ) ( ) 7/4;y(0)si;1yx1yxy' 22 =−+−++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;x 4 1 e2y ;2k ; 4 1 k 4 7 ; ;x 4 1 key ; 4 1 keyx ; 4 1 kez ;ke1z4 ;Cx41z4ln ;Cx1z4ln 4 1 ;dx 1z4 dz ;1z4 dx dz ;11z2z1z2z dx dz ;1z1z1 dx dz ;1yx1yxy' ;1 dx dz dx dy ;xzy ;yxz x4 x4 x4 x4 x4 2 1 22 22 22 −−= = −= = −−= −=+ −= =+ +=+ +=+ = + += ++−−++= −−+=− −+−++= −= −= += ∫∫ :esparticularsoluciónLa 4 7 y(0)Si :sustituyeSe
  37. 37. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 37 2. ;y(0)siy);(xtany' 2 π=+= ;2x4)y2x2(seny2x2 ;2k ;K)2(sen2 ;Kx4)y2x2(seny2x2 ;Cx 4 )y2x2(sen 2 yx ;Cx 4 )z2(sen 2 z ;Cxdz 2 )z2cos(1 ;Cxdz)z(cos ;dx )z(sec dz );z(sec dx dz );z(tan1 dx dz );z(tan1 dx dz );yx(tan'y ;1 dx dz dx dy ;xzy ;yxz 2 2 2 2 2 2 π+=+++ π= =π+π π= +=+++ += + + + +=+ +=      + += = = += =− += −= −= += ∫ ∫ ∫∫ :esparticularsoluciónLa ;y(0)Si
  38. 38. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 38 3. 5;52y-10xy' −+= ;Cx105y2x10ln105y2x10 ;y2x10z ;Cx105zln105z ;105zln105z 5220 dz ;10uln10u u10 udu ; 10u du 10du 10u udu ; 10u 10 1 ; 10u udu u10 udu ; u10 udu u220 udu2 5220 dz ;dzudu2 ;5zu ;dx 5220 dz ;5220 dx dz ;1052 dx dz 10 5 dx dz 2 1 5 ; dx dz 2 1 5 dx dy ; 2 z 2 x10 y ;y2x10z 2 +=−+−−+−− −= +=−+−+− −+−+−= +− −−−= − − −−= − − − += − −= − − = − = +− = += = +− +−= −+=− −+=− −= −= −= −+= ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ :esexplicitaformadesolucionLa :integraleslasoeemplazandR z 10-u u 10;-uparauDividiendo z z z z 5;z 5;52y-10xy'
  39. 39. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 39 4. ( ) ( ) 0;dy12y4xdxy2x =−+−+ ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;Cx2yx25ln 25 1 yx2 5 2 ;Cx2z5ln 25 1 z 5 2 ;dx 2z55 dz 5 dz2 ; 2z55 1 5 2 ;dx 2z5 dz1z2 ; 1z2 1z22z dx dz ;2 1z2 z dx dz ; 1z2 z 2 dx dz ;2 dx dz dx dy ;x2zy ;yx2z ; 1yx22 yx2 dx dy ;44 1422 baba 1221 +=−+−+ +=−− = − − − −= = − − − −+ = + − = − =− −= −= += −+ + = −=− −=− = ∫∫∫ :esimplícitaformadesoluciónLa 2-5z 1-2z Dividiendo :doReemplazan
  40. 40. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 40 Ecuaciones de Primer Orden Aplicaciones 1. Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a 95ºC, se enfría y llega a 80ºC en 5 minutos mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura está a 21ºC. Determine en que momento el café estará a la temperatura ideal de 50ºC. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) min67.20 0453.0 74 29 ln 502174 º50min 2174 min º 0453.0 5 74 59 ln 8021745 º80min5 2174 74219595210 º950 21 º21 ln 1 0453.0 1 1 0453.0 5 0 1 = −       =→=+= ∴= += −=       =→=+= ∴= += =−=→=+= ∴= += ∴ += +=− = − −= − − ∫∫ tetT Caestácaféeltten etT C keT Caestácaféelten etT CCeT Caestácaféelten CetT Cescuartodelatemperaturlaquesabemos TCetT CktTT kdt TT dT TTk dt dT t t k kt k kt a kt a a a 2. El Sábado 24 de Febrero del 2007 a las 07h00 A.M. un conserje del básico encuentra el cuerpo de un estudiante de ecuaciones diferenciales en el aula donde rindió su examen el día anterior, que se conserva a temperatura constante de 26° C. En ese momento la temperatura del cuerpo es de 28° C y pasada hora y media la temperatura es de 27.5° C. Considere la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte de 37° C y que se ha enfriado según la Ley de Enfriamiento de Newton, cuál fue la hora de la muerte? ( ) ( ) ( ) ( )auladelaTemperatur cuerpodelaTemperatur tiempoalrespectoconatemperaturladeVariación: dt dT dt dT :NewtondetoenfriamiendeLey :T :T TTK a c ac −−=
  41. 41. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 41 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 5.1t 9924.1 k9924.15.1tk 11 5.1 ln5.1tk ; 11 5.1 e5.1e115.2726e11)5.1 ; t 7047.1 k7047.1kt 11 2 lnkt ; 11 2 e2e112826e11) C28)Si 26e11)t(T 26C s:C entonce37ir era detes de moreratura anSi la temp 26Ce)t(T 26Ce)t(TCe26Te CKt26TlKdt 26T dT Kdt 26T dT ;26TK dt dT C5.27)5.1T(t 1 11 5.1tK5.1tK5.1tK 1 11 KtKtKt Kt c Kt c Kt c Kt c CKt26Tl c cc c 1 111 111 c 2)(ecuación T(t C27.51.5)T(tSi 1)(ecuación T(t T(t 11C37 C;37T(0) ; ;e n 1.5.t:entoncesseráC27.5deesatemperaturlaqueentiempoEl C.27.5adesciendecuerpodelatemperaturlamediayhoraunadeDespués C28)T(t .tesC28deesatemperaturlaqueentiempoEl C.28eshalladoescuandocuerpodelatemperaturLa C26T horas.entiempo:t 1 1 1 1 n 1 1 1 a + =⇒=+⇒      =+−⇒ =⇒=⇒=+=+⇒ °=+ =⇒=⇒      =−⇒ =⇒=⇒=+=⇒ °= +=⇒ =⇒+= °= ° +=⇒ +=⇒=−⇔= +−=−⇔−= − ⇔−= − −−= °=+⇒ +° ° °=⇒ ° ° °= +−+−+− −−− − − −−+−− ∫∫ ( ) 22h06.lasA decir.esencontradoserdeanteshoras8.89murioestudianteeltantoloPor horas .55705 t :2y1ecuaciónigualaseSi 1 89.8 7047.19924.1 2 55705.2t7047.1t9924.1 t9924.155705.2t7047.1t9924.17047.15.1t 5.1t 9924.1 t 7047.1 11 1111 11 = − =⇒=−⇒ =+⇒=+⇒ + =
  42. 42. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 42 3. Supóngase que un alumno de la ESPOL es portador del virus de la gripe y a pesar de ella va a la escuela donde hay 5000 estudiantes. Si se supone que la razón con la que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad de infectados sino también a al cantidad de no infectados. Determine la cantidad de alumnos infectados a los 6 días después, si se observa que a los 4 días la cantidad de infectados era de 50. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) infectados infectados 35350506x 50txetx 20000 50ln k50e4x 50x4ten etx 1 e tx 4999 1 C1 Ce1 Ce5000 0x 1x0ten Ce1 Ce5000 tx Ckt5000 5000x x ln Ckt 5000x x ln 5000 1 kdt x5000x dx x5000kx dt dx sanosde:#x5000 de:#x 5.16*25.0 t25.050lnt25.0 k20000 kt5000 kt5000 0 0 kt5000 kt5000 ===∴ =→= =→==∴ == =→= −=→= − − =∴ == − − = +=      − +=      − ⇔= − ⇔−= − ∫∫ 4. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿Qué cantidad puede esperarse al cabo de 16 horas, con la misma rapidez de crecimiento? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 44 16 0 4 0 4 2ln 0 0 4 0 0 00 0 0 322216 2 4 2ln 24 x2x4en t 0 xx0en t ln existentecantidad:x xxxx xtxextx kxexx xCxCex Cetx Cktx kd x dx kx dt dx tt k kt === =→= =→== == =→== == = += = = ∫ ∫
  43. 43. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 43 5. Un objeto que pesa 30Kg se deja caer desde una altura de 40 mt, con una velocidad de 3m/s. supóngase que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser 40m/s. Encontrar la expresión de la velocidad en un tiempo t. La expresión para la posición del cuerpo en un tiempo t cualquiera. ( ) ( ) ( ) ( )       +=→      += +−=−→+−=−→−= − =− =− −− ∫∫ 300Ce k 1 tvmgCe k 1 tv Ct m k mgkvlnCtmgkvln k m dt mgkv dv m dt dv mkvmg dt dv mfmg t 30 k t m k r ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 148t40e148tx 148C0C040e1480x Ct40e148tx Ct40e148Cdt40e37tx Cdttvtx dt dx tv 40e37tv 5.277C5.7k40 k 300 40300Ce k 1 v 0 300k3C3300Ce k 1 0v t25.0 0 t25.0 t25.0t25.0 t25.0 0 −+= −=→=++= == ++= ++=++−= +=→= +−= −=∴=→=→=+=∞ =∞= −=−→=+= == − − −− − ∞− ∫ ∫ 0mx,0ten m/s4v,ten 3m/sv,0ten
  44. 44. 6. La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20 la resistencia es de 40 constante de 50Newtons una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg a) Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier instante suponiendo que el bote parte del reposo. b) Determine la máxima velocidad a la que puede viajar el bote. Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene: . a) (((( )))) (((( )))) kev kev-ee C dt v dv dt v dv dv v dt dv dif. sepaEcuación,v dt dv , k dt dv kv kg.kgkgm istemaotal del sm: masa t dt dv mkv ma;FrFmmaF m/seg Newtons Entonces k Newtons.tencia dea de resisy la fuerz m/segdelocidad esComo la ve kvFr NewtonsFm aguaencia delde resistFr: Fuerza del motorFm: fuerza t - -C t -v- x 250 25025ln 25 25 ln 25025 500252 50 250500 502500 250050 50080420 50 2 20 40 40 20 50 ++++====⇒⇒⇒⇒ ====⇔⇔⇔⇔==== ⇔⇔⇔⇔++++−−−−==== −−−− −−−−==== −−−− ⇔⇔⇔⇔ −−−− ⇔⇔⇔⇔−−−−====    ====++++ ========−−−−⇒⇒⇒⇒ ====++++==== ====−−−− ====−−−−⇒⇒⇒⇒==== ======== ==== ==== ++++ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∑∑∑∑ maFx =∑ Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20 la resistencia es de 40 Newtons. Se conoce que el motor ejerce una fuerza Newtons. En la dirección del movimiento. El bote tiene una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg. Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier instante suponiendo que el bote parte del reposo. la máxima velocidad a la que puede viajar el bote. Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene: C t -v- dt v dv rabledif. sepa ma; k Newtons. m/seg agua t - 250 250 25ln 5002 2 ++++==== ==== −−−− ====⇒⇒⇒⇒ ev b) )e(tx(t) miento es:n del moviLa ecuació CC)( ;)x(el reposoSi parte d )e(tx(t) dtex(t) e dt dx Entonces: dx/dtComo v ev locidad:n de la veLa ecuació -kk por partiial escidad inicSi la velo t - t t t t - t - t - 252525lim 2502525 25250250 00 2502525 252525 2525 2525 25250 0 250 max 250 250 250 250 250 ====        −−−−==== ++++====⇒⇒⇒⇒ −−−−====⇒⇒⇒⇒++++==== ==== ++++++++==== ====        −−−−==== −−−−==== ==== −−−−==== ====⇒⇒⇒⇒++++==== ∞∞∞∞→→→→ −−−− −−−− ∫∫∫∫ máximaolimitevelocidadLa 44 La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20m/seg ejerce una fuerza . En la dirección del movimiento. El bote tiene Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier la máxima velocidad a la que puede viajar el bote. pies/seg )( miento es: )( ; C C)e(t locidad: ;)s v(so entoncer del repopor parti t 25 25025 25025 2502525 00 250 250 −−−− ++++++++ ==== −−−− :esmáxima
  45. 45. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 45 7. Un circuito RL tiene una fem de 9 voltios, una resistencia de 30 ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inical. Hallar la corriente para t=1/5 segundos. ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ampieti etieti CCei Ceti Cti Cti dt i di dt di i dt di LiRv tt t 301.0)5/1(3.07.0 5/1en t 3.07.0921 30 1 219 30 1 0 0i0en t 9 30 1 30930 930ln 30 1 930 309 6 3030 0 30 =→+= = +=→+= =→+= == += +−=− +−=− −= − += += − −− − ∫∫ 8. Una Fem. de t5 e200 − voltios se conecta en serie con una resistencia de 20 Ohmios y una capacitancia de 0.01 Faradios. Asumiendo que la carga inicial del capacitor es cero. Encuentre la carga y la corriente en cualquier instante de tiempo. 5t- 200efem F0.01Ciacapacitanc:C carga:q ohmios20Raresistenci RC.circuitoelparaldiferenciaEcuación = =⇒ =⇒    =+ :R fem C q dt dq R
  46. 46. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 46 ( ) ( ) cetecteq(t) ctedtedteeeq(t) dteu(t) u(t) 1 q(t) eeu(t) lineal.ldiferenciaEcuación 5t5t5t 5t5t5t5t5t 5t 5t5dt −−− −−−− − − − − +=+= +===⇒ =⇒ =∫=    =+⇒ =+⇒ =+ ∫∫ ∫ ;eq5 dt dq ;e20q100 dt dq 20 ;e20 01.0 q dt dq 20 t5 t5 t5 5t5t 5t5t 5t5t5t 5t5t- 5t 5t e 25 1 e 5 t i(t) 0;i(o) :ceroesinicialcorrientelaentoncescero,esinicialcargalaSi e 25 1 e 5 t i(t) dte 5 1 e 5 t tdtei(t) e 5 1 vdtedv dt;dut;u tdteq(t)dti(t) t;eq(t) c0 0;q(0) :entoncescapacitor,elencargahaynoteinicialmenSi −− −− −−− − − − −−=⇒ = +−−= +−== −== =⇒= ==⇒ =⇒ = = ∫∫ ∫∫ C ; ;
  47. 47. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 47 Casos especiales de ecuaciones diferenciales de segundo orden Ecuaciones diferenciales en la que falta la variable “y” 1) ( ) ;y'x'y'y'3x 23 1 =+     −+ x ;'' ;' 2 y dx yd dx dv y dx dy v ======== ======== (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) ;2 ;1 ;1 ; 1 3 1 1 ; 1 31 1 ; 11 13 1 1 1 13 1 1 1 ' 1 1 ; 1 1 1 1 )( ;)( ; 1 13 1 ' ;131' ;01'13 013 13 13 2 2 3 2 3 2 2/1 1 1 ln 2 1 11 2 3 2 32 23 23 23 23 22 ududx ux xu x xdx v x x x x dx v x x d xx xx x x x xx x x x v v x x x x x x xu eeexu x xx x v v xxvxv xvvxx ;v'v'-xvxx v';xvvxx y'';xy''y'xx x x x dx x dx ' ==== ++++==== −−−−==== −−−− ==== ++++ −−−− −−−− ====       ++++ −−−−         ++++−−−− ++++−−−− ++++ −−−− ==== −−−− ++++−−−− ++++ −−−− ====      −−−− −−−− ++++ −−−− ++++ −−−− ==== ++++ −−−− ==== ==== ∫∫∫∫ ==== ∫∫∫∫ ==== −−−− ++++−−−− ==== −−−− −−−− ++++−−−−====−−−−−−−− ====−−−−++++−−−−++++ ====++++−−−−++++ ====++++     −−−−++++ ====++++     −−−−++++ ∫∫∫∫ ++++ −−−− −−−−−−−− −−−− :ecuaciónlaendoReemplazan
  48. 48. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 48 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;ln ;ln ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; / / / / KxCxxCxxxy KxCxxCzzxy x dxx C x dx Cdzzzxy x dxx Czdzzzxy zx zx dxzdz xz xz dx x x Cdxxxdxxy x x Cxxx dx dy dx dy v x x Cxxxv x x Cxxxv Cxxv x x Cxx x xdx Cuuduu u uduu x xdx +−−−+++−+++= +−−−+++−+= − + − +−−+= − + +−−+= −=− −= = += += − + +−+++= − + +−+++= = − + +−+++= − + +−+++= +−+−= + − +−+−= − ++=+ + = − ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫ 111 5 4 1 3 8 14 11 3 8 5 4 14 11 2414 1 1 22214 21 1 2 1 1 1 1 11216 1 1 11216 1 1 11216 1 1 11216 1216 1 1 1216 1 3 2616 213 1 3 22 5323 223523 22 2423 2 223 2 2 2 3 3 32 2
  49. 49. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 49 2) ( ) 2 -1 y' x y'+ =y''; x ( ) ( ) ( ) [ ] ; xC x v ; x xC x C 1v ; x C 1z ;Cxdxxz ;1 dx z.xd ; x 1 xzxx'xz ;xe)x(u ; x 1 zx'z ; x v vvxv'vv ; dx dv v dx dz ; ; ; x v vx'v v'; x v vx ;''y dx yd dx dv 'v ;'y dx dy v 1 1 dxx 1 2 2122 2 2 1 2 1 2 2 1 − = − =+−= +−= +−=−= −= −=+ =∫= −=+ −=−−− −= = == =− =+ =+ === == − − − −−−− − − − ∫ − 1- n1- 2 1- vz 2;nvz :BernoullideldiferenciaE.unaEs ;'y' x y' y'x :ecuaciónlaendoReemplazan ;KCxlnxy ; Cx Cdx dx Cx Cx y ; Cx xdx y ; Cx x xC x dx dy +−−−= − − − − −= − −= − −= − = ∫∫ ∫
  50. 50. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 50 Ecuaciones diferenciales en las que falta la variable “ x” Cuando hace falta la variable “x” se hace el siguiente cambio de variable: ; dy dv v dx dy dy dv dx dv v; dx dy ======== ==== 3) ( ) 1;y'2y'y'2y 22 =+ (HACE FALTA X) (((( )))) (((( )))) [[[[ ]]]] ; ;2 ; ;; ; 1 ; 1 ; ; ;1 ; 2 ;)( ; 12 ; 2 .2.2 2 ;2 ; ; ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 2 )1(1 2 1 Cuy dyzdz Cyu dxdy Cy y y Cy dx dy y Cy v y Cy v y C y v y C y z Cyzy Cydyzy dy zyd y y y z y dy dz y yeyu yy z dy dz y vv y vv v dy dv v dy dv dv dz dy dz vz vz y v y v dy dv v dy y −−−−==== ==== ++++==== ==== ++++ ++++ ==== ++++ ====⇒⇒⇒⇒ ++++ ==== ++++====⇒⇒⇒⇒++++==== ++++==== ++++======== ==== ====++++ ==== ∫∫∫∫ ==== ====++++ ====++++ ======== ==== ==== ========++++ ====++++ ====++++ ∫∫∫∫ −−−− −−−−−−−− −−−− esvariablseparandoentonces dy dv :ecuaciónladeladosambosa2vndoMultiplica -1.nBernoulli,deldiferenciaEcuacion dy dv 1;v2y2y :ecuaciónlaen'y',y'doReemplazan 1;y'2y'y'2y 22 22
  51. 51. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 51 (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 2 12 3 2 1 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 CyC Cy Kx :esf(y)xformaladesoluciónlatantoloPor CyuPero Cu u Kx:Entonces ,duCuKxentonces, u uduCu dx dxdy Cy y :enemplazandoRe ++++−−−− ++++ ====++++ ==== ++++==== −−−−====++++ −−−−====++++ −−−− ==== ==== ++++ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ 4) ( ) 0;y''yy'yy' 22 =−+ ( ) ( ) ;Cyyv ;Cyv y 1 ;dyv y 1 ;1 dy v y 1 d ; y 1 y y v y 1 dy dv y 1 ; y 1 e)y(u ;y y v dy dv ;0 y v dy dv y ;0v dy dv yvvy ; dy dv v dx dy dy dv dx dv ; dx dy v 2 y dy 22 +−= +−= −= −=       −=− = ∫ = −=− =−+ =−+ =−+ == = ∫ − 0;y''yy'yy' :ecuaciónlaendoReemplazan 22 dy y Cy; dx dy dy dy x ; Cy y Cy C(C y) = − + = = + − −∫ ∫ ∫ 2 2 x ln y ln C y K; C C La solución es: = − − + 1 1
  52. 52. Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes 1) Resuelva: 2y3y''y' ++ Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes );sen(e2y x = 52 Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes
  53. 53. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 53
  54. 54. 2) Resuelva: Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16; 54 si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16;
  55. 55. ( )( ; 4 1 CC 8 1 0 2 1 CC 16 5 16 5 )0('y ;CC 16 3 ; 16 3 )0(y xtan 2 1 eCeC'y 21 21 21 2x 2 x 1 =−       ++−= = += = +−= − Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 ( ) ))x(secxsec 3 + e 32 1 e 32 7 y ; 32 1 C ; 32 7 C :solviendoRe xx 2 1 +−= − = = − 55 2 )xsec()xtan( +
  56. 56. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 56 3) Resuelva ;xe6y5y''y' x =+− [ ] ( )( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] ( ) ;xe 2 1 e 4 3 eCeCy ;yyy ;xe 2 1 e 4 3 y ;xeaeay ; 2 1 a; 4 3 a ;1a2 ;0a3a2 ;xexea2ea3a2 ;xexeaea6exeaea5e2xeaea ;xey6'y5''y ;e2xeaea''y ;exeaea'y ;xeaeay ;exaay ;0s ;exaaxy ;xey6'y5''y ;eCeCy ;ey ;ey ;2; r3r ;02r3r ;06r5r ;06r5re ;er''y;re'y;ey ;0y6'y5''y xxx2 2 x3 1 ph xx p x 1 x 0p 10 1 10 xx 1 x 10 xx 1 x 0 xx 1 x 0 xx 1 x 0 x xx 1 x 0p xx 1 x 0p x 1 x 0p x 10p x 10 S p x ogéneahomSolución x2 2 x3 1h x2 2 x3 1 21 ticaCaracterís Ecuación 2 2rx rx2rxrx +++= += += += ==    = =− =+− =++++−++ =+− ++= ++= += += =α= += =+− += = = == =−− =+− =+− === =+− α :el sistemaoResolviend :homogéneanoldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan 1; :particularsoluciónlasEncontremo :'y',y'y,doReemplazan 44 344 21 43421
  57. 57. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 57 4) Resuelva: cosx;e2y2y'y' -x =++ [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ; 2 1 b ;0a ;1b2 ;0a2 );xcos(excose2bsenxe2a );xcos(ey2'y2''y ''y,'y,y ;xcose2senxe2xcosxe2bxcose2senxe2senxxe2a''y ;senxesenxxexcosxebxcosexcosxesenxxea'y ;senxesenxexcosexbxcosexcosesenxexa'y ;senxxebxcosxeay ;senxebxcoseaxy 1s ;senxebxcoseay ;esenxbxcosay 1;0s ;esenxbxcosaxy );xcos(ey2'y2''y ;senxeCxcoseCy ;senxey ;xcosey ;1 ;i1 2 )2(442 r ;02r2r ;02r2re ;er''y;re'y;ey ;0y2'y2'y 0 0 0 0 xx 0 x 0 x ppp xxx 0 xxx 0p xxx 0 xxx 0p xxx 0 xxx 0p x 0 x 0p x 0 x 0p x 0 x 0p x 00p x 00 S p x ogéneahomSolución x 2 x 1h x 2 x 1 2,1 ticaCaracterís Ecuación 2 2rx rx2rxrx = = = =− =+− =++ +−−+−−= +−++−−= +−++−−= += += = += += =α= += =++ += = = =β−=λ ±−= −±− = =++ =++ === =++ −−− − −−−−−− −−−−−− −−−−−− −− −− −− − α − −− − − :homogéneanoldiferenciaecuaciónlaenandosimplificydoReemplazan homogénea.soluciónmiarespectoconedependientelinealment términoscontienequeyaparticularsoluciónestaasumirpuedeseNo ;- :particularsoluciónlasEncontremo 1; :'y',y'y,doReemplazan 4444 34444 21 43421
  58. 58. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 58 );x(senxe 2 1 senxeCxcoseCy ;yyy );x(senxe 2 1 xx 2 x 1 ph x −−− − ++= += =py 1;x3ecosxy2y''y' 2x −++=+− [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ;senx 2 1 ; 2 1 b;0 xcos2bsenx2 ;senxbxcosabsenxxcosa''y ;xcosbsenxaxcosbasenx'y ;bsenxxcosay ;0s ;bsenxxcosaxy ;xeCeCy ;xey ;ey ;1r ;01r ;01r2 01r2r ;er''y ;re'y ;ey 0 1p 1p 1p s 1p x 2 x 1h x 2 x 1 2,1 2 2rx rx2 rx rx −= −==    = = =−+ −+−=−−= +−=+−= += = += =+− −++=+− += = = = =− =+− =+− = = = =+− p1 p1p1p1 2x 2 y aoResolviend 1;2b- 0;2a cosx;a 1;ecuacionlaeny,y','y'doReemplazan 1.nEcuaciócosx;y2y''y' :particularsoluciónprimeralaoEncontrand 1;x3ecosxy2y''y' :particularsoluciónlaoEncontrand r ;e :homogéneaecuaciónlaen'y',y'y,doReemplazan ;y2y''y' :homogéneasoluciónlaoEncontrand
  59. 59. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 59 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ;ex 2 3 ; 2 3 a ;e3ae2 ;e2xe4exa''y ;xe2exa'y ;eaxy ;eaxy ;eaxy ;eay ;0s ;eaxy x2 xx xxx2 2p xx2 2p x2 2p x2 2p x 2p x 2p xs 2p = = = =+− ++= += = = = = = = = = =+− p2 x p2p2p2 x y :esparticularsoluciónsegundaLa 3ey2y''y' 2.ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan homogéneasoluciónlaa respectonte,independieelinealmentessoluciónestacaso,esteEn 2;s anterior.razónmismalapor solución,estaasumirpuedeseTampoco 1;s homogénea.soluciónlaarespectoconedependientelienalment esqueya,particularsoluciónestaasumirpuedeseNo 2.nEcuació;3ey2y''y' :particularsoluciónsegundalaoEncontrand [ ] c;2''y cx;2b'y ;cxbxay ;0s ;cxbxaxy 3p 3p 2 3p 2s 3p 2 = += ++= = ++= =+− 3.nEcuació1;-xy2y''y' :particularsoluciónterceralaoEncontrand [ ] [ ] ;1xcxbxacx2b2c2 1 22 2 −=++++− −=+− xy2y''y' 2.ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan p3p3p3
  60. 60. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 60 [ ] [ ] [ ] p p p p p x p h p c b a c b x c x x ; c b a c b c c ; b ; a ; y x x ; y y y y ; y sen(x) x e x x ; y y y ; y C Resolviendo el sistema: La tercera solución particular: La solución general: − + + + + = − − + = −  − + =  = = = = = + + = + + = − + + + + = + = 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 1 4 0 1 1 4 5 5 4 1 3 5 4 2 2 x x x e C xe sen(x) x e x x ;+ − + + + +2 2 1 2 1 3 5 4 2 2
  61. 61. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 61 Ecuacion diferencial de Euler – Cauchy 1) Demuestre que la ecuación diferencial Rβdonde0,βyxy''y'x2 ∈α=+α+ , , se la puede transformar en una ecuación de coeficientes constantes haciendo el cambio de variable z ex = , y luego resuelva: ;e4sen(lnx)4y2xy''y'x 2ln(X)2 +=++ (((( )))) ;βy dz dy α dz yd ;βy dz dy α dz dy dz yd ;βy dz dy x αx dz dy xdz yd x x ; dz dy xdz yd xdx yd y'' ; xdz dy x xdz yd xdx yd ; dx dz dz dy dz dx xdz yd xdx yd ; dx dz dx dy dz d dx yd ; dx dy dx d dx yd ; dz dy xdx dy y' ; xdz dy dx dz dz dy dx dy xdx dz xz Si z 01 0 0 111 11 111 11 1 1 ; 1 );ln( ; 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 ====++++−−−−++++ ====++++++++−−−− ====++++      ++++      −−−− ====++++++++       −−−−========       −−−−====       −−−−====       ====       ==== ======== ======== ==== ==== ==== 0;βyxy''y'x ldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan :'y'luegonecesitaSe :Ahora ex 2 αααα (((( )))) ;y dz dy dz yd 0412 0 2 2 ====++++−−−−++++ ====++++++++ ++++====++++++++ ;4y2xy''y'x :homogéneasoluciónlaprimerooEncontrand ;e4sen(lnx)4y2xy''y'xecuaciónlaoResolviend 2 2ln(X)2
  62. 62. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 62 ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] 2.nEcuació :particularsoluciónlasegundalaoEncontrand :obtieneseel sistemaoResolviend 1.Ecuación :1ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan :formasiguientelatienesoluciónprimeraLa 1.Ecuación :esparticularssolucione2tieneseDonde :obtienese,e4sen(lnx)4y2xy''y'xecuaciónlaen reemplazaralln(x),zyexqueasumeseComo :particularsoluciónlasencontremoAhora ppp 2ln(X)2 z ticacaracterísEcuación ;e5y4y'y'' ));x(ln(sen 5 6 ))xcos(ln( 5 2 y );z(sen 5 6 )zcos( 5 2 y ; 5 6 b; 5 2 a 4b3a 0ba3 );z(sen4)zcos()z(sen3b)z(sen)zcos(3a ;zsen4y4y'y'' ;)z(senb)zcos(a)z(bsen)zcos(a''y ;)zcos(b)z(sena)zcos(b)z(asen'y );z(bsen)zcos(ay ;zsen4y4y'y'' ;e5zsen4y4y'y'' 5 ; 2 )xln(15 senxC 2 )xln(15 cosxCy ; 2 z15 seneC 2 z15 coseCy ; 2 z15 seney ; 2 z15 cosey ;i 2 15 2 1 2 1611 r ;04rr ;04rre ;0y4'y''y z2 1p 1p p p p z2 21h 2/z 2 2/z 1h 2/z 2 2/z 1 2,1 2 2rz =++ +−= +−= =−=    =+− =+ =++− =++ −+−=−−= +−=+−= += =++ +=++ +=++ ==         +        =         +        =       =         = ±−= −±− = =++ =      ++ =++ −− − − 43421
  63. 63. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 63 ; 2 x ))x(ln(sen 5 6 ))xcos(ln( 5 2 2 )xln(15 senxC 2 )xln(15 cosxCy ;yyy ; 2 x ))x(ln(sen 5 6 ))xcos(ln( 5 2 y ;yyy ; 2 x e 2 1 y ;e 2 1 y ; 2 1 a ;e5ae10 ;e5ae4ae2ae4 ;e5y4y'y'' ;ae4 ;ae2 ;ae 2 21 ph 2 p 2p1pp 2 )xln(2 2p z2 2p z2z2 z2z2z2z2 z2 z2 z2 z2 ++−        +        = += ++−= += == = = = =++ =++ = = = 2.nEcuació :2ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan 'y' y' y :soluciónsiguientelaasumeSe p2p2p2 p2 p2 p2 2) Resuelva: ( ) ( ) ( ) ( ) 6;2x5ln2xlnyy'2x3'y'2x 22 +−−−=+−+− ( ) ; dx dz dz dy dz dx 2x 1 dz yd 2x 1 dx yd ; dx dz dx dy dz d dx yd ; dx dy dx d dx yd ; dz dy 2x 1 dx dy y' ; 2x 1 dz dy dx dz dz dy dx dy ; 2x 1 dx dz );1xln(z;Si 22 2 2 2 2 2 2 2 z       − − − =       =       = − == − == − = −== :'y'luegonecesitaSe :Ahora entoncese2-x
  64. 64. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 64 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;6z5zyy'2y'' ; 2x 2xlnC 2x C y ;e2xlnCeCy ;zeCeCy ;2xlnz ;zeCeCy ;zey ;ey ;1r ;01r ;01r2r ;01r2r ;er''y ;re'y ;ey ;0y dz dy 2 dz yd 0 ;0y dz dy 13 dz yd ;0y dz dy 3 dz dy dz yd ;0y dz dy 2x 1 2x3 dz dy 2x 1 dz yd 2x 1 2x 3 ; dz dy 2x 1 dz yd 2x 1 dx yd y'' ; 2x 1 dz dy 2x 2x 1 dz yd 2x 1 dx yd 2 21 h 2xln 2 2xln 1h z 2 z 1h z 2 z 1h z 2 z 1 2,1 2 2 2 rz2 rz rz 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 +−=++ +−−−=++ == − − + − = −+= += −= += = = −= =+ =++ =      ++ = = = =++ =++ =+−+ =++− =+      − −+      − − − − =++       − − − == −      − − − − = −−−− −− −− − − :obtienese,6;2x5ln2xlnyy'2-x3'y'2-xecuaciónlaen reemplazaral2),-ln(xzye2-xqueasumeseComo :particularsoluciónlasencontremoAhora e :homogéneaecuaciónlaen'y',y'y,doReemplazan ;y2y''y'ecuaciónlaoResolviend 0;yy'2-x'y'2-x :homog{enealdiferenciaecuaciónlaendoReemplazan 22 z ticaCaracterísEcuación rz 2 43421
  65. 65. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 65 [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) );2x(ln)2xln(922 2x 2xlnC 2x C y ;yyy );2x(ln)2xln(922y ;zz922y ;22a ;9-b ;1c 1c 5-bc4 6ab2c2 ;6z5zczbzacz2b2c2 ;c2''y ;cz2b ;czbza ;0s ;czbzax 221 ph 2 p 2 p 22 p 2 2S −+−−+ − − + − = += −+−−= +−= = = =      = =+ =++ +−=+++++ +−=++ = += ++= = ++= :el sistemaoResolviend 6;5zzy2y''y'ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan y' y y :formasiguientelatieneparticularsoluciónlaDonde 2 ppp p p p
  66. 66. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 66 3) ( ) ln(x);zentoncesexSi ;3ln(x)3tan9yxy''y'x z 2 == =++ , ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; )z3cos( )z3(sen)z3(senz3senz3tan3 3 ;z3sen3z3cos3 z3cos3z3sen3 z3senz3cos 'y'y yy ; z3cos3)z(g z3sen0 ;yuyuy ;z3tan3g(z) ;z3tan3y9y'' , ;)xln(3senC)xln(3cosCy ;z3senCz3cosCy ;senzy ;zcosy ;i3r ;09r ;09re ;er''y ;ey ;0y9''y ;0y9 dz yd ;0y9 dz dy 11 dz yd ;0βy dz dy 1α dz yd 22 21 21 2211p 21h 21h 2 1 2 2rz rz2 rz 2 2 2 2 2 2 − =−= = += − == = += = =+ == =++ += += = = ±= =+ =+ = = =+ =+ =+−+ =+−+ =++ 3 u' y,yW y,yW y,yW u' :obtieneseexyxlnzdoReemplazan ;3ln(x)3tan9yxy''y'x :particularsoluciónlasEncontremo :obtieneSe :Usando 0;9yxy''y'x :homogéneasoluciónlaoEncontrand 1 21 21 21 1 z 2 2
  67. 67. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 67 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;)z3(sen)z3cos( 3 1 )z3cos( 3 )z3(tg)z3sec(ln 3 )z3(sen z3senCz3cosCy ;yyy ;)z3(sen)z3cos( 3 1 )z3cos( 3 )z3(tg)z3sec(ln 3 )z3(sen y ;yuyuy )z3cos( 3 1 dz)z3(senu );z3(sen'u ; )z3cos( )z3(sen)z3cos( 'u 3 )z3tan(z3cos3)z3tan(3z3sen3 0z3cos ; 3 )z3(tg)z3sec(ln 3 )z3(sen u dz)z3sec()z3cos(u );z3sec()z3cos('u ; )z3cos( 1 )z3cos( ; )z3cos( )z3(cos1 )z3cos( )z3(sen 21 ph p 2211p 2 2 2 1 1 1 22 −         + −++= += −         + −= += −== = = = − = + −= −= −= −= − −=−= ∫ ∫ 21 2 1 1 y,yW u' u' u' ( ) ( ) );xln3(sen)xln3cos( 3 1 )xln3cos( 3 )xln3(tg)xln3sec(ln 3 )xln3(sen xln3senCxln3cosCy 21 −      + −++=
  68. 68. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 68 4) Si senxxycosx,xy 1/2 2 1/2 1 −− == forman un conjunto linealmente independiente y son soluciones de 0;y 4 1 xxy''y'x 22 =      −++ Hallar la solución particular para ;xy 4 1 xxy''y'x 3/222 =      −++ si ( ) 0;y'0; 2 y ==      ; )y,y(W 'y)x(g y0 'u ;xg(x) ;yuyuy ;xy x4 1 1 x y' y'' ; x x y x4 1 x x y' x x y'' x x ; ;senxxCxcosxCy 21 2 2 1 2/1 2211p 2/1 2 2 2/3 22 2 22 2 2/3 2/1 2 2/1 1h = = += =      −++ =      −++ =      −++ += =      −++ == − − −− −− :parámetrosdevariaciónaplicaSe xy 4 1 xxy''y'xdesoluciónlaencontrarPara :obtieneseentonces0,y 4 1 xxy''y'x dessolucionesenx sonxyycosx,xyComo 22 22 1/2 2 1/2 1
  69. 69. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 69 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2 1 0 2 1 1 1 C1 2 1 0 1 C0 ; 2 x senxx 2 1 xcosxCxcosx 2 1 senxxC'y ;1C ;0 2 )1( 2 C ; 2 )1( 2 C0 2 C0 ;xsenxxCxcosxCy ;0 2 ;xsenxxCxcosxCy ;yyy ;xy ;x1xxsenxcosxy senxxsenxxcosxxcosy ;senxu ;xcos x xcosx 'u ; x xxcosx 2 1 senxx 0xcosx )y,y(W )x(g'y 0y 'u ;xcosdx)x(senu );x(sen x senxx x senxx 2 1 xcosxx senxx0 'u ;x)y,y(W ;x1xxsenxcosx)y,y(W ;xcossenxx 2 1 xsenxxcossenxx 2 1 xcosx)y,y(W ;xcosx 2 1 senxxsenxxsenxx 2 1 xcosxxcosx)y,y(W senxx 2 1 xcosxxcosx 2 1 senxx senxxxcosx 'y'y yy )y,y(W 21 2/3 2/32/1 2 2/32/1 1 2 2 21 2/12/1 2 2/1 1 2/12/1 2 2/1 1 ph 2/1 p 2/12/1222/1 p 2/12/1 p 2 1 1 2 1 2/12/32/1 2/1 21 1 1 2 1 1 1 1 2/32/12/1 2/1 1 1 21 11221 21 221221 21 2/32/12/12/32/12/1 21 2/32/12/32/1 2/12/1 21 21 21 ππ −      ππ −− π +      − ππ − π −= −    −+    −−= −= = π + π π + π + π = ++= =π=      π ++= += = ==+= += = == −− == =−= −=−= − = = ==+= ++−=     −−−    −= −−− == − −−−− −−− −−− − −−− −− − − − −−− − − − − −−− − − −−− −−−− −−−−−− −−−− −− ∫ 0;)(y'yySi
  70. 70. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 70 ( ) ;xsenxxxcosx21y ;21C ;2C1 ; 1 2 C 2 1 ; C 2 C 2 1 ; 2 11 C 2 1 C0 2/12/12/1 1 1 1 21 21 −−− +−π−= π−= π+= π + ππ = ππ π − ππ = ππ ππ −      π −      ππ =
  71. 71. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 71 Identidad de Abel 1. Resuelva la siguiente ecuación diferencial usando la identidad de Abel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 1x dxxx212 y 1x 1 ; 1x dxxx21 y 1x 1 ; 1x xx21 y 1x 1 dx d ; 1x xx21 1x y 'y 1x 1 ; 1x 1 e)x(u ; 1x xx21 1x y 'y ;xx21y'y1x ;ey'y1x ;dxx22du ;xx21)x(u ;ey'y1x ;ey'y1x ;y'y1x 'y y ; 'y'y yy ;0y xx21 2 y'- xx21 x12 y'' xx21 xx21 )x(p ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1x dx 2 2 2 2 22 xx21ln 22 2 xx21 dxx22 22 xx21 dxx12 22 22 2 2 21 21 222 2 2 2 2 ∫ ∫ + −−− = + + −− = + + −− =    + + −− = + − + + =∫= + −− = + − −−=−+ =−+ −−= −−= ∫ =−+ ∫ =−+ −+= + = = = −−−− + + −− −− =++ ∫= += ===−++−− + − −− −− −− −− + − − :Entonces 1 1x y,yW y,yW 0;q(x)yy''y' :formasiguientelatenerdebeldiferenciaecuaciónlaDonde ey,yW :abeldeidentidadlausaráSe 1;xyessoluciónunaSi 1.(0)y'y(0)Si0;2yy'x12'y'x2x1 21 21 p(x)dx 21 1 2
  72. 72. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 72 ( ) ( ) ( ) ; 1x dx2 1x dx1x y 1x 1 22 2 2 ∫ ∫ + + + + −= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;1xy ;1C ;C21C ;0C 1C2C 1CC ;1CC1 ;2C1C1 ;2xxC1xCy ;2xxy ;21xxy ; 1x 2 xy 1x 1 ; 1x 2 xy 1x 1 ; 1x dx2 dxy 1x 1 1 21 2 21 21 21 21 2 21 2 2 2 2 2 22 += = += =       →         =− =− −+= −−+= = −+= = −−−++= −−−= −+−= + −−= + + −−= + + +−= + ∫ ∫ :essoluciónLa 12-1 010 12-1 11-1 :el sistemaoResolviend ;12xCCy' 1;(0)y'Si 1;y(0)Si 21
  73. 73. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 73 Método de Reducción de Orden 2) Resuelva: ( ) ;eySi 0;yy'1x'xy' x 1 − = =+++ [ ] [ ] ( ) [ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ; x e )x('u ; x e )x(v ;xlnx)x(vln ;dx x 1 1 v(x) dv ; x 1 1v(x) dx dv ;exev(x)xe dx dv ;0exev(x)xev'(x) ;0exeu'(x)xeu''(x) ;0exe)x('uxe)x(''u ;00)x(uexe)x('uxe)x(''u ;0eexexe)x(uexe)x('uxe)x(''u ;0ee1xxe)x(ue1xxe2)x('uxe)x(''u ;0u(x)eu'(x)eu(x)e1xu''(x)eu'(x)e2u(x)ex ;e)x(''ue)x('u2e)x(u''y ;e)x(''ue)x('ue)x('ue)x(u''y ;e)x('ue)x(u'y ;e)x(uy ;y)x(u x x xxx xxx xxx xxx xxx xxxxxxx xxxxxx xxxxxx xxx 2 xxxx 2 xx 2 x 2 1 = = −=     −=     −= −= =+−+ =+−+ = = =+−+ =++−+ =+−−++−+ =++−+++−+ =++−+++− =+++ +−= +−++−−= +−= = = ∫∫ −−− −−− −−− −−− −−− −−−−−−− −−−−−− −−−−−− −−− −−−− −− − :ldiferenciaecuaciónlaen(x)v'yv(x)doReemplazan (x);'u'(x)v' (x);u'v(x) :yFalta :obtienese0,yy'1x'xy' ldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan yqueasumeSe :ordendereduccióndemétodoelUsando 2
  74. 74. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 74 ( ) ( ) ( ) ; ! ln :essoluciónLa ; ! ln ;)( ; ! ln)( ; ! )( ; ! )( ;)(       ++=       += = +=       += = = ∑ ∑ ∑ ∫ ∑ ∫∑ ∫ ∞+ = − − ∞+ = ∞+ = ∞+ = − ∞+ = − 1 21 1 2 12 1 1 1 0 1 1 n n x x n n n n n n n n x nn x xCeCy e nn x xy yxuy nn x xxu dx n x x xu dx n x xu x dxe xu
  75. 75. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 75 Ecuación homogénea de orden superior 1. Las raíces de la ecuación auxiliar, que corresponden a una cierta ecuación diferencial homogénea de orden 10, con coeficientes constantes, son: 4, 4, 4, 4, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i, Escriba la solución general. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 1098 22 765 23 4 2 321 4 33cos :34 xCxCCxsenexCxCCxexCxCxCCexy entoncesvecesconjugadocomplejoparunyigualesrealesraícestienenSe xxx +++++++++= 2. 08y12y''6y'''y' =−+− 3. 032y dx yd 5 5 =+ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxx i i i kii k eCexsenCxCexsenCxCxy seniem iseniem iseniem kemmm 2 5 618.0 43 618.1 21 3 5 3 5,1 5 4,0 5 2 5 902.1902.1cos175.1175.1cos 2cos22 902.1618.0 5 3 5 3 cos22 175.1618.1 55 cos22 4,3,2,1,0;2032 −− + ++++= −=+== ±−=            +      == ±=            +      == ==→=+= ππ ππ ππ φ π π π ππ 4. ( ) 0y52DD 22 =+− ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )xCCxsenexCCxexy im im mmmmm mmm xx 4321 4,3 2,1 22 22 22cos 21 21 2 162 2 5.1.442 05252 052 +++= ±= ±= −± = −± = =+−+−= =+−= φ φ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 321 2 321 3 2 23 202 0442 0441 882 281261 08126 xCxCCexy mmmmm mmmm mmmm x ++= ===→=−= =+−−= − − −− =−+−= φ φ φ
  76. 76. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 76 Ecuaciones de Orden Superior Ecuación no homogénea de orden superior 1. 84xx2y''3y'''y' 2 ++=++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Axy BAxxy CBxAxxy CxBxAxxy xyconilessiCxBxAxCBxAxxxys xyconnteindependieelinealmentesnoperoCBxAxxys CBxAxxxyxxxg particularsoluciónlaEncuentro eCeCCxymmm mmmm mmmm mmmmyyy ariacomplementsoluciónlaEncuentro xyxyxy p p p p cp cp s p xx c pc 6''' 26'' 23' ..1 0 84 : 2,1,0 021 023 0230'2''3''' : 2 23 232 2 22 2 321321 2 23 = += ++= ++= ++=++=→= ++=→= ++=→++= ++=→−=−== =++= =++= =++=→=++ += −− φ φ φ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxxeCeCCxy generalSolución xxxxy decimosqueloPor C BA CCBA B A BBA AA xxCBAxBAxA xxCBxAxBAxA xxyyy xx p ppp 4 11 4 1 6 1 : 4 11 4 1 6 1 : 4 11 2 668 8266 4 1 4 184 4418 6 1 16 842664186 842322636 84'2''3''' 232 321 23 22 22 2 +++++= ++=          =→ +− =→=++ =→ − =→=+ =→= ++=+++++ ++=+++++ ++=++ −−
  77. 77. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 77 2. 2x2x2x22 e5xee2x14x2x4y4y''y'''y' +++−−=+−− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )CBAxCBAxBAAxexy CBxCBAxBAAxexy CxCBxBAAxexy CxBxAxexy xyconilessiCxBxAxeCBxAxxexys xyconnteindependieelinealmentesnoperoCBxAxexys CBxAxexxyexeexxg xxy decimosqueloPor C BA CCBA B A BBA AA xxCBAxBAxA xxCBxAxBAxA xxyyyy xy Axy BAxxy CBxAxxy xyconilessiCBxAxxys CBxAxxxyxxxg xgxgxg particularsoluciónlaEncuentro eCeCeCxymmm mmmmmm mmmm mmmmyyyy ariacomplementsoluciónlaEncuentro xyxyxy x p x p x p x p c xx p c x p xs p xxx p pppp p p p p cp s p xxx c pc 12126824368368''' 424864124'' 22232' ..1 0 52 2 1 : 0 4 421 1442 0 4 84 448 2 1 24 142442484 14242420 1424'4''''' 0''' 2'' 2' ..0 142 : 2,2,1 22141 0141 04404'4''''' : 232 232 232 232 23222 22 222222 2 2 1 22 22 2 2 2 22 1 21 2 3 2 21321 2 2 23 ++++++++= +++++++= +++++= ++= ++=++=→= ++=→= ++=→++= =          =→ ++− =→−=+−− =→ +− =→−=+− =→= −−=+−−++−+ −−=++++−− −−=+−− = = += ++= ++=→= ++=→−−= += ++=→−=== +−−=−−= =−−−= =+−−=→=+−− += − φ φ φ ( ) ( ) ( )( ) xxxx xxx pppp exeexCBAxBAxAe exeexyyyy 222222 2222 52410683012 524'4''''' ++=+++++ ++=+−−
  78. 78. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 78 ( ) ( ) xxxx x p exxeCeCeCxy exxy C BA CCBA B A BBA AA 2322 3 2 21 23 6 1 2 1 6 1 0 4 1061 14106 0 8 305 5830 6 1 212 2 ++++= =          =→ −− =→=++ =→ − =→=+ =→= − 3. ( )xcscy'''y' =+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xsenxxx x xsenCxCCxy xsenxxx x xy xsenxxx x y xdxuxsenx xx xsen x u xdxxxuxx xsenx x xsen u x dxxux xsenxx xxsen xsenx u xsenx xsenx xxsen xsenx xsenxW yuyuyuxy particularsoluciónlaEncuentro xsenCxCCxyimimm mmm mmmyy ariacomplementsoluciónlaEncuentro xyxyxy p p p c pc −+            +++= −+            = −++            = −=−=→−= − − = =−=→−= − =             ==→= −− − = =+= −− −= ++= ++=→−=== =+= =+=→=+ += ∫ ∫ ∫ csclncos 2 tanlncos csclncos 2 tanln coscscln1 2 tanln 1csc 1 csccos0 00 0cos1 ' csclncoscsccoscsc 1 csc0 cos00 01 ' 2 tanlncsc1csc 1 coscsc cos0 cos0 ' 1cos1 cos0 cos0 cos1 ,cos,1 : cos,,0 01 00'''' : 321 33 22 11 22 332211 321321 2 3 φ φ
  79. 79. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 79 4. ( )xxln''y' = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )xx x xCxCCxy generalSolución xx x yilesnoxx x y x x xxxx x y x dx x x u x xx x xx x u xxdxxu x xxx x xx x x u x x dxxxu x xxx x xx x xx u xxxx xx xsenxW yuyuyuxy particularsoluciónlaEncuentro xCxCCxymmm mm mmy ariacomplementsoluciónlaEncuentro xyxyxy pp p p c pc ln6ln2 4 : ln6ln2 4 ..7ln6ln2 4 2 ln 1ln21 2 1 ln 2 2 lnlnlnln00 010 01 ' 1ln2ln2 2.ln2ln0 200 01 ' 2 1 ln 2 ln ln20ln 210 0 ' 21 200 210 1 ,cos,1 : 0,0,0 0 00''' : 2 2 2 321 2 2 2 2 2 22 2 3223 222 2 2 2 12 2 2 2 1 222 2 332211 2 321321 3 3 −+++= −=∴+−=       +−−+      −= ==→== −−=−=→−==       −==→== =−== ++= ++=→=== == ==→= += ∫ ∫ ∫ φ φ
  80. 80. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 80 Ecuación de Euler de orden n 1. 018y dx dy 6x dx yd x dx yd x 2 2 2 3 3 3 =+−− ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 21 2 3 3 2 3 1 321 2 2 23 2 3 3 21 321 2 2 12233 ln 233023 018'3''4''' 023 01834 0186121 :ln : ln 23 023 063 03631 0186121 0186121 0186121 : − − − −−− ++= ++= −===→=+−= =+−− =+− =+−− =+−−−−− =→= ° ++= −=== =+− =−−− =−−−− =+−−−−− =+−−−−− =+−−−−− = ° xCxxCCxy eCteCeCty mmmmmm tenecuaciónyyyy DD DDD DDDDDD obtienesextexcambioelaplicando Método2 xCxxCCxy rrr rr rrr rrrr rrrrrr xrrrrrr xxrxxrrxxrrrx :areduceseescuciónlaentoncessolucióncomoxyasumo Método1 :métodosdosporosresolveremLa ttt t r rrrr r φ 2. 08y dx dy 10x dx yd 2x dx yd x 2 2 2 3 3 3 =−−+ ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )( )( ) ( ) 2 3 1 2 4 1 321 23 2 12233 214 0214 0810 04521 08101221 08101221 −− −−− ++= −=−== =++− =−−− =+−− =−−−+−− =−−−+−− = xCxCxCxy rrr rrr rrr rrr xrrrrrr xxrxxrrxxrrrx :areduceseescuciónlaentoncessolucióncomoxyasumo r rrrr r
  81. 81. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 81 3. 4lnx8y dx dy 8x dx yd 4x dx yd x 2 2 2 3 3 3 =−+− ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 7 ln 2 1 8 7 ln 2 1 8 7 2 1 8 7 0814 2 1 48 48148 4814070 :Re 0''''' ' 0 48'14''7''' : 4210421 08'14''7'''0421 0861 08421 0181421 0881421 : :ln 4 3 2 21 4 3 2 21 4 3 2 21 321 2 +−++= +−=→+−=      → ==− −==− =−+− =+−+− == = += +=→= += =−+− ++=→++= ===→=−−−= =−+−→=−−− =+−− =+−−− =−+−−−− =−+−−−− =→= xxCxCxCxy xxytty BBA AA tBAtA tBAtA emplazando yy Ay BAty yconnteindependieelinealmentessiBAtys BAtty tyyyy particularsoluciónlaEncuentro xCxCxCxyeCeCeCty mmmmmmm tenecuaciónyyyyDDD DDD DDDD DDDDDD DDDDDD ariacomplementsoluciónlaEncuentro obtienesextexcambioelaplicando pp pp p p cp s p c ttt c t φ
  82. 82. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 82 4. 3 2 2 2 3 3 3 x2y dx dy 2x dx yd x dx yd x =−+− ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ln : 4 ln 22 3 ln 2 1 ln1ln10 01ln1 0ln ' 2 2210 201 0 ' 2 3 ln 2 1ln 1lnln221 21ln0 ln0 ' 2 ln 1 2 21ln 20 21ln1 ln ,ln, : ln 21 021 0221 0221 012121 022121 022121 3 2 321 3 2 22 3 1 3 2 2 2 2 2 2 1 21 2 1 1 2 1 1 2 2 332211 2 321 321 2 12233 x xCxxCCxy generalSolución x y xxxx x xx x y xdxu x xxxx x x x xxx u x xdxu x xxx x x xx u x x dxxxu x xxxxx x x xx xxx u x x xxx x xx x x xx xxxx xxxxW yuyuyuxy particularsoluciónlaencuentro xCxxCCy rrr rr rrrr rrrr rrrrrr xrrrrrr xxrxxrrxxrrrx :areduceseescuciónlaentoncessolucióncomoxyasumo p p p c r rrrr r +++= = +−      −= ==→ −+ = + = −=−=→ − −==       −=−=→ +− = + = =− + =+= ++= ++= === =−− =−−−− =+−−− =−+−−−− =−+−−−− =−+−−−− = ∫ ∫ ∫ − − −− − −−−
  83. 83. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 83 Ecuaciones de segundo orden de coeficientes variables Solución en serie alrededor de un punto ordinario 1. ( ) ( ) ( ) 60y'4;0y0,xy dx dy 3x dx yd 1x 2 2 2 ===++− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... 4 11 33 11 64 60'... 8 15 32 3 1... 8 5 2 ' 40... 8 3 122 ... 86 1 .... 88 3 20 15 1323 233 3 1212 8 1222 222 2 2; 12 2 0122 62 036 002 0122362 03121 0311 0311 54 3 1 432 1 42 0 0 543 1 53 0 3 3 2 210 0 012323 5 11212 4 1 212 01 3013 22 2 120132 1 1 10 2 2 0 1 12 2 2 01 1 2 22 +++++= ==→      +++++      +++= ==→      +++++      +++= ++++== += + = ++ ++ =→= = + = ++ ++ =→= ≥ ++ ++ =→=+++−+ +=→=++− =→=− =+++−++++−− =++++−− =++−−− =++−− ∑ ∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑ ∞+ = − +−+ ∞+ = −+ ∞+ = − ∞+ = ∞+ = + ∞+ = ∞+ = + ∞+ = ∞+ = − ∞+ = +∞ = +∞ = − +∞ = − xx xxxy Cy xxx C xx xCxy Cy xxx xC xx Cxy xCxCxCCxCxy CCCCCC Cn CCCCC Cn n nn CnnC CCnnCnnC CC CCCC CC xCnnCnnCxCxCxCC xCnxCxnnCxnnC xCnxCxnnCxnnC xCxnxCxxnnCx n n n nn nnnn n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
  84. 84. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 84 2. 0xdealrededorexy''y' 0 x ==− − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )       +−+−+      ++++= +      −++      −+++= ++++== −=→−= ++ − + ++ =→= =→+= ++ − + ++ =→= −=→ ++ − + ++ =→= ≥ ++ − + ++ =→ − =−++ =→= −+=−+++ −=−++ −=−− −=−− ∑ ∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∞+ = ++ ∞+ = ∞+ = + ∞+ = ∞+ = ∞+ = + ∞+ = ∞+ = ∞+ = − +∞ = +∞ = − +∞ = − .... 30862 .... 406 ...... 30 1 408 1 6 1 62 1 ..... 30 1 40120 1 20 3 1323!3 1 1323 3 3 8 1 24 1 61222!2 1 1222 2 2 6 1 61121!1 1 1121 1 1 1 12! 1 12! 1 12 2 1 12 ! 11122 ! 112 ! 11 ! 11 543253 10 514312 10 3 3 2 210 0 1 4 3 3 35 4 2 2 24 1 3 1 13 22 22 11 22 010 2 012 2 01 1 2 2 xxxxxx xCCxy x C xx C xxCCxy xCxCxCCxCxy C C C CCn C C CCn C CCCn n nnnnn n CC n nCnnC CC n x xnCnnCC n x nxCxnnC n x nxCxnnC n x nxCxxnnC n n n n nn n nn n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
  85. 85. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 85 3) Resolver la siguiente ecuación diferencial alrededor del punto ˲" Ŵ. Determine las soluciones homogéneas de esta ecuación diferencial en términos de series indicando a que función converge cada una de ellas. (Sugerencia: para encontrar la solución particular use el método de variación de parámetros). {˲$ . ŵ{˳ - Ÿ˲˳ - Ŷ˳ ŵ ˲ Desarrollo. {˲$ . ŵ{˳ - Ÿ˲˳ - Ŷ˳ ŵ ˲ ˜{˲{ {˲$ . ŵ{ ˲ Ŵ ˥JˮJJI˥J ˜{Ŵ{ .ŵ Ŵ ˜JJ ˬJ ˮIJˮJ ˲ Ŵ ˥J ˯J J˯JˮJ JJˤ˩JIJ˩J Se asume: ˳ I {˲ . ˲{ ( J˥JJ ˲ Ŵ ˳ I {˲{ ( ˳Ȋ I {J{{˲{ # (# ˳ȊȊ I {J{{J . ŵ{{˲{ $ ($ Primero se obtendrá las soluciones homogéneas. Se reemplaza y, y’, y’’ en la ecuación: {˲$ . ŵ{˳ - Ÿ˲˳ - Ŷ˳ Ŵ {˲$ . ŵ{ I {J{{J . ŵ{{˲{ $ ($ - Ÿ˲ I {J{{˲{ # (# - Ŷ I {˲{ ( Ŵ Luego se introduce los coeficientes dentro de las sumatorias I {J{{J . ŵ{{˲{ ($ . I {J{{J . ŵ{{˲{ $ ($ - ŸI {J{{˲{ (# - ŶI {˲{ ( Ŵ Se igualan las patencias de x de todas la sumatorias, en este caso a la que más se repite que en este caso es n: I {J{{J . ŵ{{˲{ ($ . I {J{{J . ŵ{{˲{ $ ($ - ŸI {J{{˲{ (# - ŶI {˲{ ( Ŵ Para la m = n – 2 Si n = 2, entonces m = 0 Pero n = m + 2 Luego m = n
  86. 86. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 86 I {J{{J . ŵ{{˲{ ($ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{{˲{ ( - ŸI {J{{˲{ (# - ŶI {˲{ ( Ŵ Se igualan los subíndices de todas las sumatorias al mayor, en este caso n=2. I {J{{J . ŵ{{˲{ ($ . ŶI$ . źI%˲ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{{˲{ ($ - ŸI#˲ - ŸI {J{{˲{ ($ - ŶI - ŶI#˲ - ŶI {˲{ ($ Ŵ .ŶI$ . źI%˲ - ŸI#˲ - ŶI - ŶI#˲ - {I {J{{J . ŵ{ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{ - ŸI {J{ - ŶI {{˲{ ($ Ŵ Se igualan los coeficientes: .ŶI$ - ŶI Ŵ ˥JˮJJI˥J J˥ ˮ˩˥J˥ J˯˥ I$ I .źI%˲ - źI#˲ Ŵ ˥JˮJJI˥J J˥ ˮ˩˥J˥ J˯˥ I% I# I {J{{J . ŵ{ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{ - ŸI {J{ - ŶI Ŵ La fórmula de recurrencia es: I $ I {J{{J . ŵ{ - ŸI {J{ - ŶI {J - Ŷ{{J - ŵ{ J 4 Ŷ I $ {J$ . J - ŸJ - Ŷ{ {J - Ŷ{{J - ŵ{ I {J$ - ŷJ - Ŷ{ {J - Ŷ{{J - ŵ{ I {J$ - ŷJ - Ŷ{ {J - Ŷ{{J - ŵ{ I {J - Ŷ{{J - ŵ{ {J - Ŷ{{J - ŵ{ I I Por lo tanto: I $ I J 4 Ŷ Encontrando los coeficientes: ˟˩ J Ŷ ˥JˮJJI˥J I I$ I ˟˩ J ŷ ˥JˮJJI˥J I' I% I# ˟˩ J Ÿ ˥JˮJJI˥J I I I ˟˩ J Ź ˥JˮJJI˥J I I' I# ˟˩ J ź ˥JˮJJI˥J I I I ˟˩ J Ż ˥JˮJJI˥J I I I Volviendo a la solución: ˳{˲{ I ˲ ( I - I#˲ - I$˲$ - I%˲% - I˲ - I'˲' - I ˲ - ˳{˲{ I - I#˲ - I˲$ - I#˲% - I˲ - I#˲' - I˲ - La solución homogénea: ˳{˲{ I ŵ - ˲$ -˲ - ˲ - - ˲$ - { { G - I# ˲ - ˲% - ˲' - - ˲$ # - { { G
  87. 87. Ecuaciones Diferenciales ESPOL 2009 87 I ŵ ŵ . ˲$ F - I#˲{ŵ - ˲$ - ˲ - - ˲$ - { ˳ {I{ I ŵ ŵ . ˲$ F - I# Ә ˲ ŵ . ˲$ ә ˳I J˯˥ ŵ ŵ . ˲ ŵ - ˲ - ˲$ - ˲% - Ahora se encuentra la solución particular ˳ Normalizando la ecuación diferencial {˲$ . ŵ{˳ - Ÿ˲˳ - Ŷ˳ # , se obtiene: ˳ - Ÿ˲˳ {˲$ . ŵ{ - Ŷ˳ {˲$ . ŵ{ ŵ ˲{˲$ . ŵ{ Usando el método de variación de parámetros: ˳ ˯#˳# - ˯$˳$ Encontrando el wronskiano: ˣ{˳# ˳${ } ˳# ˳$ ˳#Ȋ ˳$Ȋ} ˣ{˳# ˳${ ӶӶ ŵ ŵ . ˲$ ˲ ŵ . ˲$ Ŷ˲ {ŵ . ˲${$ ŵ - ˲$ {ŵ . ˲${$ ӶӶ ŵ {ŵ . ˲${$ ˖JJˤ˥ ˯# Ŵ ˳$ ŵ ˲{˲$ . ŵ{ ˳$Ȋ ˣ{˳# ˳${ Ӷ Ŵ ˲ ŵ . ˲$ ŵ ˲{˲$ . ŵ{ ŵ - ˲$ {ŵ . ˲${$ Ӷ ŵ {ŵ . ˲${$ ˯# ŵ {ŵ . ˲${$ ŵ {ŵ . ˲${$ ŵ ˥JˮJJI˥J ˯# ˲ ˖JJˤ˥ ˯$ ˳# Ŵ ˳#Ȋ ŵ ˲{˲$ . ŵ{ ˣ{˳# ˳${ Ӷ ŵ ŵ . ˲$ Ŵ Ŷ˲ {ŵ . ˲${$ ŵ ˲{˲$ . ŵ{ Ӷ ŵ {ŵ . ˲${$ . ŵ ˲{ŵ . ˲${$ ŵ {ŵ . ˲${$ ˯$ . ŵ ˲ ˥JˮJJI˥J ˯$ .Ž {˲{ Por lo tanto a solución particular es: ˳ ˯#˳# - ˯$˳$ ˳ ˲ ŵ ŵ . ˲$ F . Ž {˲{ ˲ ŵ . ˲$ La solución general es: ˳{˲{ I ŵ ŵ . ˲$ F - I# Ә ˲ ŵ . ˲$ ә - ˲ ŵ ŵ . ˲$ F . Ž {˲{ ˲ ŵ . ˲$ Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Primera Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto Cabrera y Christian de La Rosa, ex – estudiante de la ESPOL, con el auspicio de la directiva A.E.F.I.E.C. de los años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto Cabrera.

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