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Utp pdiva_s6_fundamento matematico del pdi

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Utp pdiva_s6_fundamento matematico del pdi

  1. 1. Facultad de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica Procesamiento Digital de Imágenes y Visión Artificial (PS02) Sesión: 6 Fundamentos matemáticos del PDI Ing. José C. Benítez P.
  2. 2. Sesión 6. Fundamentos matemáticos Secuencias Tipos básicos de secuencias Propiedades de una secuencia Números complejos: Representación cartesiana: Operaciones básicas Representación polar: Operaciones básicas Teorema de De Moivre Transformada de Fourier: Twiddle Propiedades de la DFT: Periodicidad de la DFT Simetría de la DFT Inversa de la DFT Respuesta en frecuencia de un sistema Transformada rápida de Fourier (FFT) Mariposa de N puntos Aplicaciones de la FFT Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 2
  3. 3. SecuenciasUna secuencia es una función cuyo dominio es el conjuntode los números enteros. Se expresan mediante: Enumeración: x[n] = {1; 2; 3; 4; 5} Formulación: x[n] = n + 1, 0 <= n <= 4El primer elemento definido corresponde a x[0] (en casocontrario el elemento correspondiente a x[0] se subraya) ylos valores no definidos se consideran nulos: x[n] = {1; -1; 1; -1; 1}La longitud de una secuencia se define como el númerode muestras contenidas en el intervalo más estrecho querecoge todas las muestras no nulas y que contiene a x[0]: x[n] = {1; 1; 0; 2; 3; 0; 0; 1} => long(x[n]) = 8 Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 3
  4. 4. Tipos básicos de secuencias Muestra unitaria (MU) o delta: δ[n] = 1, n = 0 Escalón unitario: µ[n] = 1, n >= 0 Signo: signo[n] = 1, n > 0 signo[n] = 0, n = 0 signo[n] = -1, n < 0 Pulso: pL[n] = 1, 0 <= n < L Exponencial: x[n] = an Sinusoidal: x[n] = A sen(w0n + R) Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 4
  5. 5. Operaciones con secuenciasSuma: consiste en sumar sus elementos de dos en dos(tomando uno de cada secuencia). Ejemplo: a[n] = {1; 2; 3; 4; 5} b[n] = {1; 0; 1; -1; -2} a[n] + b[n] = {2; 2; 4; 3; 3}Escalado: consiste en multiplicar una secuencia a[n] porun escalar K. Es decir, multiplicar cada elemento de a[n]por K. Ejemplo: a[n] = {1; 2; 3; 4; 5} 2a[n] = {2; 4; 6; 8; 10} Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 5
  6. 6. Operaciones con secuenciasProducto: Consiste en multiplicar sus elementos de dosen dos (tomando uno de cada secuencia).Ejemplo: a[n] = {1; 2; 3; 4; 5} b[n] = {1; 0; 1; -1; -2} a[n]b[n] = {1; 0; 3; -4; -10}Nota. En matLab: a[n].*b[n]Desplazamiento: la operación de desplazamiento(también llamada retardo) consiste en desplazar loselementos de una secuencia a[n] un determinado númeroK de muestras.Ejemplo: a[n] = {1; 2; 3; 4; 5} a[n − 3] = {0; 0; 0; 1; 2; 3; 4; 5} Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 6
  7. 7. Operaciones con secuenciasConvolución (Suma de): se denota con un asterisco (*)y se calcula como:c[n] = a[n] * b[n] = Σk=-∞,∞ a[k]b[n – k]Longitud de la convolucion siempre es 1 menos que lasuma de las longitudes: long(a[n] * b[n]) = long(a[n]) + long(b[n]) - 1 Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 7
  8. 8. Operaciones con secuenciasDiagrama de flujo de una convolución (c[n] = a[n] * b[n])Técnica rápida para calcular la convolución entre a[n] ={1; -2; 3} y b[n] = {-1; 0; 2}. Deben multiplicarse loselementos entre sí y sumar las diagonales: a[n] * b[n] ={-1; 2; -1; -4; 6}. Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 8
  9. 9. Operaciones con secuenciasConvolucion Discreta: Método de la Tira Deslizante (Sliding Strip Method)Dado x[n]={2;5;0;4} h[n]={4;1;3}.Hallar la convolucion y[n]=x[n]*h[n]Nota. Las dos secuencias empiezan en 0 (cero).Hacemos el “reflejo” de unade ellas: h[-n]={3;1;4}Convolucion Discreta es:y[n]={8,22,11,31,4,12}Dado ts=1/2.La Convolucion numéricaes: {4,11,5.5,15.5,2,6} Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 9
  10. 10. Operaciones con secuenciasConvolucion Discreta: Método de la Suma por columnasHacemos el mismo ejemplo:Dado x[n]={2;5;0;4} h[n]={4;1;3}. Hallar la convolucion y[n]=x[n]*h[n]Nota. Las dos secuencias empiezan en 0 (cero).“No es necesario reflejar” una de las secuencias. Convolucion Discreta es: [8,22,11,31,4,12] Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 10
  11. 11. Operaciones con secuenciasConvolucion Discreta: Método de la MallaHacemos el mismo ejemplo:Dado x[n]={2;5;0;4} h[n]={4;1;3}. Hallar la convolucion y[n]=x[n]*h[n]Nota. Las dos secuencias empiezan en 0 (cero).“No es necesario reflejar” una de las secuencias. Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 11
  12. 12. Operaciones con secuenciasPropiedades de la convolución: Conmutativa: a[n] * b[n] = b[n] * a[n] Asociativa: (a[n] * b[n]) * c[n] = a[n] * (b[n] * c[n]) Distributiva respecto a la suma: a[n] * (b[n] + c[n]) = a[n] * b[n] + a[n] * c[n] Elemento neutro (δ[n] es la secuencia delta): a[n] * δ[n] = a[n] Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 12
  13. 13. Operaciones con secuenciasCorrelación y autocorrelacion: Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 13
  14. 14. Operaciones con secuenciasCorrelación y autocorrelacion: Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 14
  15. 15. Propiedades de una secuenciaUna secuencia es causal si y sólo si todas susmuestras anteriores a n = 0 son nulas: causal(x[n]) <=> x[n] = 0, n < 0En oposición a esto podemos hablar de secuenciasanticausales. Es decir, secuencias cuyas muestrasson nulas para n >= 0: anticausal(x[n]) <=> x[n] = 0, n >= 0 Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 15
  16. 16. Propiedades de una secuenciaSe definen como parte causal y parte anticausal deuna secuencia los conjuntos de muestrascorrespondientes: La parte causal de una secuencia x[n] es el conjunto de muestras correspondientes a n >= 0 La parte anticausal es el conjunto de muestras correspondientes a n < 0 Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 16
  17. 17. Propiedades de una secuenciaUna secuencia es finita si y sólo si su longitud lo es(en caso contrario se trataría de una secuenciainfinita): finita(x[n]) <=> long(x[n]) < ∞Una secuencia es acotada si y sólo si todas susmuestras tienen un valor finito: acotada(x[n]) <=> |x[n]| < ∞ Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 17
  18. 18. Representación cartesiana de complejos El conjunto de los números complejos (C) supone la conjunción de los números reales y de los números imaginarios. Cualquier número complejo x será un vector de dos componentes: una real, denominada parte real, Re(x), y otra imaginaria, parte imaginaria, Im(x): x = Re(x) + j Im(x) Para representar un número complejo, es necesario hacerlo en un diagrama de Argand: diagrama bidimensional cuyos ejes de abscisas y ordenadas representan la parte real e imaginaria respectivamente. Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 18
  19. 19. Operaciones básicas con complejos ennotación cartesiana Igualdad: a + jb = c + jd <=> a = c y b = d Adición: (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d) Sustracción: (a + jb) - (c + jd) = (a - c) + j(b - d) Producto: (a + jb)(c + jd) = (ac - bd) + j(ad + bc) Cociente: (a + jb) / (c + jd) = [(ac + bd) + j(bc - ad)] / (c2 - d2) Conjugación: (a + jb)* = a - jb Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 19
  20. 20. Representación polar de complejos Complejo: x = Re(x) + j Im(x) Equivalencias: |x| = √(Re2(x) + Im2(x)) = A fase(x) = arctan[Im(x) / Re(x)] = a Re(x) = |x|cos fase(x) Im(x) = |x|sen fase(x) Función exponencial compleja: x = |x|ej fase(x) = Aeja Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 20
  21. 21. Operaciones básicas con complejos ennotación polar Producto: Aeja Bejb = ABej(a + b) Cociente: Aeja / Bejb = (A / B)ej(a - b) Equivalencia trigonométrica: Aeja = A(cos a + j sen a) Conjugación: (Aeja)* = Ae-ja Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 21
  22. 22. Teorema de De Moivre En la exponenciación de complejos no pueden emplearse las reglas algebraicas. Hay que seguir el teorema de De Moivre: Zk => [A(cos a + j sen a)]k => (Aeja)k = Akejka => Ak(cos ka + j sen ka) Para Zk existe más de una solución por lo que hay que poner especial cuidado en la exponenciación de complejos. Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 22
  23. 23. Transformada de Fourier Debe su nombre al matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Esta transformación consigue llevar una señal expresada en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia expresándola como la suma de muchas funciones exponenciales complejas. En función de su continuidad, existen dos transformadas de Fourier utilizadas en el PDS: Discrete Time Fourier Transform (DTFT) Discrete Fourier Transform (DFT) Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 23
  24. 24. Transformada de Fourier Transformación: llevar una señal expresada en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia expresándola como la suma de muchas funciones exponenciales complejas. Discrete Time Fourier Transform (DTFT): Transforma una secuencia en el tiempo, a su equivalente frecuencial en forma de función compleja continua: X(ω) = DTFT{x[n]} = Σn=-∞,∞ x[n]e-jωn Discrete Fourier Transform (DFT): Transforma una secuencia en el tiempo, a su equivalente frecuencial en forma de función compleja discreta (es la que puede calcularse en un computador): X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n]e-j2πnk/N Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 24
  25. 25. Twiddle Considerando la ecuación de la DFT: X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n]e-j2πnk/N Teniendo en cuenta que N es la longitud de x[n], es muy común extraer el factor WN = e-j2π/N, llamado twiddle, con lo que la ecuación de la DFT queda así: X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n]WNnk = x[0]WN0k + x[1]WN1k + … + x[N-1]WN(N-1)k Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 25
  26. 26. Ejemplo de DFTEjemplo de DFT: Señal suma dedos sinusoides de 1 Hz y 2 Hzrespectivamente (fs = 5 Hz) Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 26
  27. 27. Ejemplo de DFT • Ejercicio. Visualizar la DFT de una señal discreta, que es calculada como un conjunto finito de frecuencias. Sea la señal (secuencia) h[n] = δ [n] + 0.5 δ [n − 1] + 0.2 δ[n − 2] >> h=[1 0.5 0.2] >> stem(h) Calculamos 128 valores de la DFT: >> H=fft(h,128); El vector H recoge los valores de la función H(ejw) en las siguientes frecuencias: wk =2πk/128 , k = 0, · · · , 127 Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 27
  28. 28. Ejemplo de DFTPara visualizar la DFT hay que tener en cuenta que el vectorH contiene valores complejos, por lo que tendremos querepresentar por separado su magnitud y su fase:>> stem(2*pi*(0:127)/128,abs(H));>> stem(2*pi*(0:127)/128,angle(H)); Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 28
  29. 29. Periodicidad de la DFT Consiste en que la DFT, X[k], de una señal en tiempo discreto x[n], es periódica (su periodo es la longitud de x[n]: N) Sea x[n] una señal en tiempo discreto de longitud N. Se cumple que: X[k] = DFT{x[n]} => X[k] = X[k mod N] Lo que equivale a decir que: X[k] = DFT{x[n]} => X[k] = X[k + aN], a ε Z Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 29
  30. 30. Simetría de la DFT Consiste en que la transformada discreta de Fourier, X[k], de una señal real en tiempo discreto, x[n], presenta simetría hermítica: x[n] ∈ ℝ y X[k] = DFT{x[n]} => X[k] = X[-k]* Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 30
  31. 31. Inversa de la DFT La transformada discreta de Fourier (DFT), se calcula: X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n] e-j2πnk/N X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n] WNnk ; WN = e-j2π/N La inversa de la transformada discreta de Fourier (Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT) se calcula de manera muy similar a la transformada directa de acuerdo con la siguiente ecuación (N es la longitud de x[n]): x[n] = IDFT{X[k]} = (1 / N) Σn=0,N-1 X[k] WN-nk Como se verá más adelante esta similitud entre las dos formas de la transformada (forma directa y forma inversa) nos permite calcular la inversa a partir de la directa y, por tanto, aprovechar cualquier algoritmo que calcule la transformada directa para obtener la forma inversa. Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 31
  32. 32. Respuesta en frecuencia de un sistema El modelo de respuesta en frecuencia de un sistema describe su comportamiento en términos de su efecto en la amplitud y la fase de las componentes frecuenciales que lo atraviesan. Esta descripción se realiza mediante la función de respuesta en frecuencia que se calcula como la transformada de Fourier de la respuesta al impulso unitario del sistema: H(ω) = DTFT{h[n]} H[k] = DFT{h[n]} Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 32
  33. 33. Tipos básicos de secuencias Cuadro resumen H[k] = DFT{h[n]} Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 33
  34. 34. Transformada rápida de Fourier (FFT) La transformada rápida de Fourier (Fast Fourier Transform, FFT) fue descrita por James Cooley y John W. Tukey en 1965 y no es propiamente una transformada. Se trata en realidad de un algoritmo que permite calcular la DFT en tiempo logarítmico. Debería por tanto considerarse más bien como algoritmo FFT para hallar la DFT. Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 34
  35. 35. Transformada rápida de Fourier (FFT) Si observamos la fórmula de la DFT: X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n]e-j2πnk/N vemos que su aplicación directa es de orden: o(n2). El objetivo de la FFT es calcular la DFT en orden logarítmico: o(n log2 n). Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 35
  36. 36. Transformada rápida de Fourier (FFT) Diagrama de flujo de una FFT de una señal de 4 elementos Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 36
  37. 37. Transformada rápida de Fourier (FFT) Diagrama de flujo de una FFT de una señal de 8 elementos Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 37
  38. 38. Transformada rápida de Fourier (FFT)Diagrama de flujo de una FFT deuna señal de 16 elementos Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 38
  39. 39. Mariposa de N puntos • Cómo puede observarse, el algoritmo FFT es recursivo. • El caso base de cualquier procesamiento FFT es la mariposa. • Una mariposa de N puntos es una función/circuito (según se trate de una implementación software o hardware) capaz de calcular la FFT de una secuencia de N elementos de manera directa (sin necesidad de recursión). Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 39
  40. 40. Propiedades de una secuencia • El caso base más habitual es la mariposa de 2 puntos: X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n]e-j2πnk/N Y[0] = x[0] + x[1] Y[1] = x[0] - x[1] Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 40
  41. 41. Propiedades de una secuenciaThe standard strategy to speed up an algorithm is to divide andconquer. We have to find some way to group the terms in the equationV[k] = Σn=0..N-1 WNkn v[n]Lets see what happens when we separate odd ns from even ns (fromnow on, lets assume that N is even):V[k] = Σn even WNkn v[n] + Σn odd WNkn v[n]= Σr=0..N/2-1 WNk(2r) v[2r] + Σr=0..N/2-1 WNk(2r+1) v[2r+1]= Σr=0..N/2-1 WNk(2r) v[2r] + Σr=0..N/2-1 WNk(2r) WNk v[2r+1]= Σr=0..N/2-1 WNk(2r) v[2r] + WNk Σr=0..N/2-1 WNk(2r) v[2r+1]= (Σr=0..N/2-1 WN/2kr v[2r]) + WNk (Σr=0..N/2-1 WN/2kr v[2r+1])where we have used one crucial identity:WNk(2r) = e-2πi*2kr/N = e-2πi*kr/(N/2) = WN/2kr Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 41
  42. 42. Propiedades de una secuenciaNotice an interesting thing: the two sums are nothing else but N/2-point Fourier transforms of, respectively, the even subset and theodd subset of samples. Terms with k greater or equal N/2 can bereduced using another identity:WN/2m+N/2 = WN/2mWN/2N/2 = WN/2mwhich is true because Wmm = e-2πi = cos(-2π) + i sin(-2π)= 1.If we start with N that is a power of 2, we can apply this subdivisionrecursively until we get down to 2-point transforms.We can also go backwards, starting with the 2-point transform:V[k] = W20*k v[0] + W21*k v[1], k=0,1The two components are:V[0] = W20 v[0] + W20 v[1] = v[0] + W20 v[1]V[1] = W20 v[0] + W21 v[1] = v[0] + W21 v[1]We can represent the two equations for the components of the 2-point transform graphically using the, so called, butterfly Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 42
  43. 43. Propiedades de una secuenciaThis graph can be furthersimplified using this identity:WNs+N/2 = WNs WNN/2 = -WNswhich is true becauseWNN/2 = e-2πi(N/2)/N = e-πi = cos(-π) + isin(-π) = -1Heres the simplified butterfly: Y[0] = x[0] + x[1] Y[1] = x[0] - x[1] Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 43
  44. 44. Propiedades de una secuencia Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 44
  45. 45. Aplicaciones de la FFT Tiene 3 aplicaciones fundamentales en DSP: Cálculo de la DFT en tiempo logarítmico. Cálculo de la IDFT en tiempo logarítmico. Interpolación de señales. Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 45
  46. 46. Cálculo de la DFT mediante FFT • Esta aplicación es obvia y consiste simplemente en aplicar el algoritmo FFT a la señal: X[k] = DFT{x[n]} = FFT{x[n]} Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 46
  47. 47. Cálculo de la IDFT mediante FFT • Para comprender la aplicación de la transformada rápida al cálculo de la inversa de la transformada discreta basta analizar la ecuación de esta última y comprobar cómo puede obtenerse a partir de la transformada discreta: x[n] = IDFT{X[k]} = (1 / N) (Σn=0,N-1 X[k]ej2πnk/N)** = (1 / N) (Σn=0,N-1 X[k]*e-j2πnk/N)* = (1 / N) DFT{X[k]*}* = (1 / N) FFT{X[k]*}* Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 47
  48. 48. Interpolación mediante FFT • Consiste en interpolar una secuencia mediante su paso al dominio frecuencial y posterior paso al dominio del tiempo. • Esta técnica se basa en calcular la transformada discreta y rellenarla con ceros en su zona central. Al calcular ahora la inversa de la transformada se obtiene la secuencia original pero interpolada. • Sin embargo, durante este cambio de dominio se produce un desajuste en la amplitud de las muestras de la secuencia debido a que la longitud de la secuencia original es menor que la longitud de la nueva secuencia. Este efecto puede compensarse de una manera muy sencilla tal como se verá a continuación. Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 48
  49. 49. Interpolación mediante FFT El proceso de interpolación puede realizarse a través de los siguientes pasos: 1. Sean v[n] la secuencia original, N su longitud y M la cantidad de muestras deseada en la secuencia resultante. M > N. 2. Calculamos la transformada discreta de v[n]: V[k] = DFT{v[n]} 3. Dividimos la secuencia V[k] en dos mitades: V[k] = {V1[k]; V2[k]} Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 49
  50. 50. Interpolación mediante FFT 4. Creamos una nueva secuencia W[k] a partir de estas dos mitades insertando en su centro los ceros necesarios para que su longitud sea igual a M: W[k] = {V1[k]; 0; 0; 0; ...; 0; 0; 0; V2[k]} 5. Calculamos la transformada inversa de W[k]: w0[n] = IDFT{W[k]} 6. Corregimos el desajuste de amplitud: w[n] = (M / N) w0[n] 7. Una vez terminado el proceso, la secuencia w[n] interpola a la secuencia v[n] Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 50
  51. 51. Interpolación mediante FFT NOTA: Transformada discreta en dos dimensiones: La técnica de interpolación puede extrapolarse a datos bidimensionales con lo que se convierte también en una técnica de zoom para imágenes digitales. Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 51
  52. 52. Ejemplo de interpolación Ejemplo de interpolación (de 16 a 256 muestras) Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 52
  53. 53. Tarea 7 1. Realizar los mapas semántico y/o mapas conceptuales de todo el contenido de la Diapositiva de la Sesión 7.- Fundamentos de Visión Artificial. 2. Adjuntar fuentes que le han ayudado a consolidar la tarea. Presentación: • Impreso y en USB el desarrollo de la tarea. • Los mapas semánticos se deben hacer en PowerPoint y los mapas conceptuales en CMapTools. Adjuntar los archivos. • En USB adjuntar las fuentes (05 PDFs, 05 PPTs y 01 Video.). • La fuente debe provenir de una universidad. NOTA: Las tareas son opcionales: Sirven solo para aumentar puntos a las notas de las practicas calificadas del curso. Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 53
  54. 54. Presentación Todas las fuentes deben presentarse en formato digital (USB), dentro de una carpeta que lleve las iniciales del curso, sus Apellidos, guion bajo y luego el numero de la Tarea. Ejemplo: PDS_BenitezPalacios_T6 La fuente debe conservar el nombre original y agregar _tema. Las Tareas que no cumplan las indicaciones no serán recepcionados por el profesor. Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 54
  55. 55. Sesión 6. Fundamentos matemáticos Procesamiento de Imagenes y Vision Artificial - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 55

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