10 Distribución de Poisson

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10 Distribución de Poisson

  1. 1. Distribución de Poisson Ing. Julio Carreto
  2. 2. <ul><li>Para entender la Distribución de Poisson, vamos analizar un ejemplo detenidamente. </li></ul>La Distribución de Poisson
  3. 3. <ul><li>Supongamos que se tiene una tabla rectangular de madera, de 1 metro por 1 metro, pintada con un recubrimiento sobre cuya superficie se presentan aleatoriamente pequeños defectos. </li></ul>La Distribución de Poisson
  4. 4. <ul><li>Estos defectos podrían ser por ejemplo partículas muy pequeñas de pigmento que no fueron bien molidas al fabricar la pintura. Se desea calcular la probabilidad de que aparezcan estos defectos. </li></ul>La Distribución de Poisson
  5. 5. La Distribución de Poisson Defectos
  6. 6. <ul><li>Podríamos subdividir la superficie en zonas rectangulares mas pequeñas y de igual tamaño: </li></ul>La Distribución de Poisson
  7. 7. La Distribución de Poisson
  8. 8. <ul><li>Ahora tenemos la superficie dividida en 4 zonas rectangulares de igual tamaño. Observamos que en algunas zonas aparece un defecto superficial y en otras no. </li></ul>La Distribución de Poisson
  9. 9. <ul><li>Vamos a hacer las siguientes suposiciones: </li></ul><ul><li>1) En cada zona sólo puede aparecer 1 defecto. </li></ul><ul><li>2) Si la probabilidad de que aparezca un defecto en todo el área es p , la probabilidad de que aparezca un defecto en una zona es p /4. </li></ul>La Distribución de Poisson
  10. 10. <ul><li>Entonces, utilizando la Distribución Binomial podemos calcular la probabilidad de que en nuestra superficie aparezcan 0, 1, 2, 3, 4 defectos: </li></ul>La Distribución de Poisson
  11. 11. <ul><li>El promedio de defectos en la superficie total será: </li></ul>La Distribución de Poisson
  12. 12. <ul><li>Pero sabemos que en realidad en cada zona podrían aparecer más de 1 defecto. Esto hace inexacto nuestro cálculo. </li></ul>La Distribución de Poisson
  13. 13. La Distribución de Poisson
  14. 14. <ul><li>Podríamos hacer el cálculo más exacto si subdividimos las zonas: </li></ul>La Distribución de Poisson
  15. 15. La Distribución de Poisson
  16. 16. <ul><li>Dividimos cada zona en 4 y ahora tenemos 16 zonas. La probabilidad de tener 1 defecto en una zona es: </li></ul>La Distribución de Poisson
  17. 17. <ul><li>Podemos entonces calcular la probabilidad de tener 0, 1, 2, 3, ...., 16 defectos en el área total: </li></ul>La Distribución de Poisson
  18. 18. <ul><li>Y el promedio de defectos en la superficie resulta ser el mismo que antes: </li></ul>La Distribución de Poisson
  19. 19. <ul><li>Aún así podrían aparecer más defectos por zona: </li></ul>La Distribución de Poisson
  20. 20. La Distribución de Poisson
  21. 21. <ul><li>Si dividimos nuevamente cada zona en 4 tendríamos 64 zonas y ahora la probabilidad de tener 1 defecto en una zona sería: </li></ul>La Distribución de Poisson
  22. 22. La Distribución de Poisson
  23. 23. La Distribución de Poisson <ul><li>La probabilidad de tener 0, 1, 2, 3, ....., 64 defectos en la superficie total sería: </li></ul>
  24. 24. <ul><li>Y nuevamente el promedio de defectos en la superficie resulta: </li></ul>La Distribución de Poisson
  25. 25. <ul><li>Lo que estamos haciendo es ir aumentando n al mismo tiempo que disminuye p en igual proporción. Por lo tanto el promedio de defectos en la superficie total n.p se mantiene constante. </li></ul>La Distribución de Poisson
  26. 26. <ul><li>Como vimos, al suponer que en cada subzona sólo puede haber 1 defecto o ningún defecto estamos cometiendo un error. Este error se hace cada vez menor, porque a medida que subdividimos el area total se hace menos probable que en una subzona aparezca mas de un defecto. </li></ul>La Distribución de Poisson
  27. 27. <ul><li>Si continuamos subdividiendo el área indefinidamente, la fórmula binomial nos dará la probabilidad de obtener 0, 1, 2, 3, ... n defectos, con n tendiendo a infinito. </li></ul>La Distribución de Poisson
  28. 28. <ul><li>En el límite, la fórmula binomial tiende a la fórmula de Poisson: </li></ul>La Distribución de Poisson x variable aleatoria  parámetro de la Dist. de Poisson
  29. 29. <ul><li>El producto de n por p , en el límite, es igual al parámetro de la distribución: </li></ul>La Distribución de Poisson
  30. 30. La Distribución de Poisson El número de defectos x en la superficie total es una variable aleatoria discreta que puede tomar valores 0, 1, 2, 3, 4, ... y cuya distribución de probabilidades se conoce como Distribución de Poisson.
  31. 31. La Distribución de Poisson 
  32. 32. <ul><li>Se puede observar que la curva de la función de Poisson es asimétrica, como la binomial. El promedio de esta variable aleatoria es igual al parámetro de la distribución: </li></ul>La Distribución de Poisson
  33. 33. <ul><li>Y la varianza también es igual al parámetro de la distribución: </li></ul>La Distribución de Poisson
  34. 34. <ul><li>Por lo tanto, la desviación standard es: </li></ul>La Distribución de Poisson
  35. 35. <ul><li>La distribución de Poisson tiene una propiedad cuyas consecuencias son muy importantes para el Control Estadístico de Procesos. </li></ul>La Distribución de Poisson
  36. 36. <ul><li>Supongamos que se tienen m variables aleatorias de Poisson: </li></ul>La Distribución de Poisson <ul><ul><li>Variable Parámetro </li></ul></ul><ul><ul><li>x 1  1 </li></ul></ul><ul><ul><li>x 2  2 </li></ul></ul><ul><ul><li>x 3  3 </li></ul></ul><ul><ul><li>... </li></ul></ul><ul><ul><li>x m  m </li></ul></ul>
  37. 37. <ul><li>Si w es una combinación lineal de tales variables: </li></ul>La Distribución de Poisson
  38. 38. <ul><li>Entonces w es una variable aleatoria de Poisson con parámetro: </li></ul>La Distribución de Poisson
  39. 39. <ul><li>Esto es muy importante porque podemos imaginar el producto fabricado por un proceso (Una licuadora, una computadora, un televisor, etc.) como una superficie en la que se pueden producir múltiples defectos, y donde el número de cada tipo de defecto es una variable aleatoria de Poisson. </li></ul>La Distribución de Poisson
  40. 40. <ul><li>Entonces, la propiedad mencionada nos permite tratar la suma de todos los tipos de defectos como una variable aleatoria de Poisson. Esto se utiliza para el control del Número de Defectos en un producto (Gráficos C). </li></ul>La Distribución de Poisson
  41. 41. <ul><li>Supongamos ahora que tenemos un gran lote de artefactos, por ejemplo licuadoras. Tomamos una muestra de m = 5 unidades y medimos el número total de defectos en las 5 unidades. </li></ul>La Distribución de Poisson
  42. 42. <ul><li>Si obtuvimos x 1 , x 2 , x 3 , ... x m defectos en cada unidad, el número total de defectos será: </li></ul>La Distribución de Poisson
  43. 43. <ul><li>El número promedio de defectos por unidad será: </li></ul>La Distribución de Poisson
  44. 44. <ul><li>y es una variable aleatoria discreta que puede tomar valores 0, 1/ m , 2/ m , 3/ m , ..., etc. ¿Cuál es la varianza de y ? </li></ul>La Distribución de Poisson
  45. 45. La Distribución de Poisson
  46. 46. <ul><li>La varianza de x i es  cualquiera que sea el subindice i, porque todas las x i tienen la misma distribución: </li></ul>La Distribución de Poisson
  47. 47. <ul><li>Por lo tanto: </li></ul>La Distribución de Poisson
  48. 48. <ul><li>Este es un importante resultado que se utilizará para calcular la varianza en los Graficos U. </li></ul>La Distribución de Poisson
  49. 49. Fin de la sección

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