Notas de clase cálculo diferencial marzo-2012

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Notas de clase cálculo diferencial marzo-2012

  1. 1. Cálculo Diferencial “con problemas de aplicación orientados hacia la administración y la economía”http://www.calameo.com/read/0004911295f278eda2d02
  2. 2. Con especial cariño a mi madre Delva por su crianza, por la semilla que sembraste en mí, a Lilia mi esposa, por su apoyo, estimulo, comprensión y sacrificio, a mis hijos porque son mi fuente de inspiración, a todas aquellas personas que han creído en mi trabajo y que me han dado la oportunidad de seguir creciendo cada día y a mis estudiantes a quienes va dirigido este trabajo. Gracias José Francisco Barros Troncoso 25 de Junio de 2012Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 2
  3. 3. CONTENIDOIntroducción…….………………………………………………………………………………………………… 5Justificación………..……………………………………………………………………………………………… 6Objetivo General………..………………………………………………………………………………………. 6FUNCIÓNPareja Ordenada …….……..……………………………………………………………………………………. 6Relación……….……………………………………………………………………………………………………… 6Función……….………………………………………………………………………………………………………. 7 Representación de una Función ………………………………………………………………………. 8 Función Inversa ……………………………………………………………………………………………… 13 Funciones Pares e Impares ……………………………………………………………………………… 14 Raíces e Interceptos ………………………………………………………………………………………… 16 Función Creciente y Decreciente ……………………………………………………………………… 18 Función Acotada ……………………………………………………………………………………………... 18 Concavidad y Convexidad ………………………………………………………………………………... 19 Dominios y Rangos……..………………………………………………..…………………………………. 20 Notación Funcional……….…………………………………………………………………..…………….. 21 Algebra de Funciones………..……………………………………………………………………………… 25 Gráfica de Funciones……..………………………………………………….……………………………… 28 Gráfica de funciones con tecnología………..……………………..………………………………. 30Función Lineal……………………………………………………………….…………………………………… 36 Ecuación de la recta …………………………………………………….……………………………………. 36 Modelación de la función lineal.……………………………………………………………………..…. 44Función Cuadrática…………………………………………………………………………………………….. 47 Modelación de la función cuadrática…..……………………………………………………………… 52 Funciones con tecnología…………………………………………………………………………………. 53Función Polinómica de Grado Superior a dos ………………………………………….................... 55Función Exponencial…………………………………………………………………..……………………….. 57Función Logarítmica……………………………………………………………………………………………. 60 Tipos de logaritmos………………………………………………………………………………………….. 60 Modelación de las Funciones Exponenciales…………………….………………………………… 64 Funciones con tecnología…………………………………………………………………….…………….. 68Función Cociente..…………………………………………………………….………………………………..… 69Función por Parte o por Trozos…………………………………………………………………………….. 72LIMITE Limites Laterales……………………………………………………………………………………………… 79 Propiedades de los límites………………………………………………………………………………… 80 Limites Indeterminados………………………………………………………………………………….… 80 Continuidad en un punto……………………………………………………….………………..………… 81 Limites de las funciones definidas por partes…..…………………………………………………. 82 Limites Infinitos……………………………………………………………………………………………… 86 Limites con Tecnología…………………………………………………………………………………..… 91 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 3
  4. 4. LA DERIVADA Tasa de cambio promedio …………………………………………………………………..…………… 92 Tasa de cambio instantánea …………………………………………………………………………… 93 Pendiente de una recta …………………………………………………………………………..……… 93 Derivada ………………………………………………..……………………………………………………… 93 Fórmulas de la Derivada ……………………………………………………………………..……… 95 Regla de la Cadena …………………………………………………………………………….……… 98 Regla de la Potencia ……………………………………………………………………………….… 98 Derivadas de Orden Superior ……………………………………………………………..……… 101 Máximos y Mínimos Relativos Prueba de la primera derivada…………………………………………………………………. 102 Prueba de la segunda derivada………………………………………………………………… 103 Derivada de las Funciones Logarítmicas…………………………………………………………. 110 Derivada de las Funciones Exponenciales …………………………………………………….. 112 Derivada Implícita…………….…………………………………………………………………….……. 115 Elasticidad en la Demanda…………………………………………………………………………….. 118 Derivadas Parcial …………………………………………………………………………………………. 120 Funciones de dos o más Variables …………………………………………………………….. 120 Diferenciación Parcial ……………………………………………………………………………… 123 Problemas de Aplicación a la Economía ……………………………………………………. 125LA INTEGRAL Antiderivada…………….……………………………………………………………………………….………. 130 Integral Indefinida……………………………………………………………..…………………………… 130 Reglas de Integración.…………………………………………………………………………..……….. 131 Regla de la Potencia para la Integración..…………………………………………………………… 135 Integrales que Involucran Funciones Exponenciales..…………………………………………. 141 Integrales que Involucran Funciones Logarítmicas ....…………………………………………. 145 Segundo Teorema Fundamental del Cálculo……………………………………………………….. 149APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LAECONOMÍA Valor promedio ………………………………………………………………………………….…………….. 153 Ingreso Total……………………………………………………………………………….……………………. 155 Valor Presente de un flujo continuo de ingreso ……………………………………….…………. 155 Valor Futuro de un flujo continuo de ingreso……………………………………………….…….. 155 Superávit de Consumidor……………………………….…………………………………………………. 159 Superávit del Productor…………………………………………………………………………………….. 161INTEGRACIÓN POR PARTES..……………………………………………………………………………… 164BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………………………………….. 169 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 4
  5. 5. INTRODUCCIÓNEl presente trabajo es una compilación de mis notas de clase, fruto de laexperiencia obtenida durante 21 años de servicio a la educación en diferentesinstituciones académicas en Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta,particularmente en la Escuela Normal Superior San Pedro Alejandrino, CorporaciónUnificada Nacional de Educación Superior (CUN) y en las universidades SergioArboleda y del Magdalena.La propuesta busca darle sentido a la matemática en otros contextos, en particularen la economía, que el estudiante le dé a la matemática una mirada distinta a la quetradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramientafundamental para el desarrollo del pensamiento lógico del ser humano y de lasociedad.El documento no pretende plagiar la información contenida en librosespecializados o contenidos obtenidos en páginas web (todos referenciados), sinodar al estudiante explicación más sencilla de los conceptos y fortalecer el desarrollode problemas de aplicación orientados hacia su perfil profesional.El objetivo es el de exponer los conocimientos básicos del cálculo diferencial enforma sencilla, lógica, crítica y analítica utilizando herramientas modernas quefaciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, además el desolucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 5
  6. 6. FUNCIÓNEn la teoría económica la información de una sola variable no es suficiente paradeterminar su comportamiento por tanto es necesario estudiar el comportamiento dedos o más variables. Es necesario estudiar los elementos de las matemáticas pararepresentar el comportamiento de los agentes económicosEn la práctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de laotra. Ejemplo: Cantidad de Producción - Costo Asociado Cantidad Comprada – Precio Mano de Obra - Capital Oferta - Demanda Impuesto - Valor de la Mercancía Horas trabajadas – salario Distancia – Tiempo Dedicación – Rendimiento Mantenimiento – Tiempo de vida Pareja Ordenada Conjunto de números de la forma (a , b) con a, b ε R; donde a se denomina primera componente y b segunda componente. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d. Producto Cartesiano. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente: ( , )En consecuencia: ( , ) B ( , ) BLa representación geométrica de R R es el plano cartesiano llamado también planonumérico. b P(a,b) a Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 6
  7. 7. Se establece una relación biunívoca entre R R y el conjunto de los puntos del planogeométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (a, b) con el punto P(a,b).Ejemplo 1:Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.Gráficamente 5 4 3 2 1 1 2Ejemplo 2:SeanSu representación geométrica es:A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos quepertenecen a los segmentos PQ y QR.INTERVALOSSubconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 7
  8. 8. Finitos Abierto Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b, simbólicamente (a , b) = {x / a < x <b} Gráficamente -∞ ∞ a b Cerrado Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b, simbólicamente [a , b] = {x a x b} Gráficamente -∞ ∞ a b Semi-abierto o semi-cerrado (a , b] = {x a x b} -∞ ∞ a b [a , b) = {x a x b} -∞ ∞ a b Intervalos Infinitos: (a,∞) x / x > a} -∞ ∞ a [a,∞) x x ≥ a} -∞ ∞ a (-∞, a) x / x < a} -∞ ∞ a (-∞, a] x x a} -∞ ∞ a Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 8
  9. 9. Ejercicios 011. Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientes igualdades: (x + y, 1/2) = (1, x - y) (x + 2, y) = (3y, 2x)2. Sean y a. Calcular b. Representar gráficamente3. Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de A x B y B x A.4. Escriba la desigualdad correspondiente a cada intervalo y dibuje su gráfica a.(1,3) b. (0,3] c. [- ,∞) d.(-∞, ) e.[-0.5, 4.5) f.( ] ( , ∞) , [ , )5. Sean A=(-3,7], B=[-1,10] y C=[- ,∞) calcular y representar gráficamente a. A n B b. B - A c. Cc d. Ac n Bc e. (A - B)c – C6. Para cada afirmación escriba dos intervalos que verifiquen: a. Su unión (-8,2] b. Su intersección [1,-3) c. Su diferencia (-∞, ) d. Su intersección sea vacía y su unión todos los reales7. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente gráfica? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 9
  10. 10. 8. Cierta compañía de encomienda liquida los envíos de acuerdo a 0.80x Si 0 x 0 C(x)= 0.70x Si 0 x 00 0.65x Si x > 200 , donde C(x) se da en dólares y x en kilogramos (Kg) a. Exprese cada condición en forma de intervalo. b. Determine el costo de envió de 200 Kg, 45 Kg y 250Kg9. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de ( ) ,0 Donde P es el número de unidades producidas por hora. a. ¿Qué significa la condición 0 ? b. Calcule la productividad 9 horas después de estar en el trabajo10 La siguiente gráfica relaciona la utilidad respecto a las unidades vendidas de cierto producto y (100,3800) Utilidad (2.53, 0) (197.46, 0) x (0,-200) Unidades VendidasDetermine el o los intervalos a. De unidades vendidas no generan utilidades ¿por qué? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 10
  11. 11. b. De unidades vendidas que generan utilidades ¿por qué? c. De unidades vendidas en que se incrementan las unidades ¿por qué? d. De unidades vendidas en que disminuyen las unidades ¿por qué? Relación Regla que determina la correlación entre los elementos de una pareja ordenada, se puede representar por medio de una tabla, una gráfica, una ecuación o una desigualdad.Ejercicios 021. Escribir 5 parejas ordenadas cuyas componentes tengan cada relación: a. Que la primera componente sea el doble de la segunda. b. Que la segunda componente sea el triplo más uno de la primera. c. Que la primera componente sea un número par y la segunda un impar no consecutivo. d. Que la primera componente sea un número posterior no consecutivo de la segunda.2. Escriba una oración que describa la relación de cada conjunto de parejas ordenadas: a. (1,3),(3,5),(5,7),(7,9)(9,11) b. (1,-1)(-2,2)(3,-3)(-4,4),(5,-5) c. (1,7),(2,5)(3,9),(4,13),(5,17) d. (2,5),(3,10),(4,17),(5,26),(6,37)3. Exprese cada relación de los encisos 1. y 2. por medio de una ecuación.Problemas 01Obtenga 5 parejas ordenadas por cada situación particular a. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en $1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el precio. b. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 11
  12. 12. c. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas d. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo. e. El número de familias vinculadas al a un proyecto apícola en la sierra nevada de Santa Marta inicio en el 2005 con 128 y por cada año que pasa el número de familias se incrementa en 125. Si la primera componente representa el número de años y la segunda el número de familias vinculadas al proyecto. f. El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función del precio ésta dado por I = 300p – 2p2. Si la primera componente representa el precio (p) y la segunda el ingreso (I). g. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por ( ) 00. Si la primera componente representa la cantidad de litros del producto y la segunda el costo total de la producción. Función Es una relación de parejas ordenadas el cual no hay dos parejas que tengan la misma primera componente.Si A y B son conjuntos una función f de A en B se denota f: A B x y=f(x)Indica que a cada elemento x de A le corresponde uno y solamente uno de los elementosy=f(x) de B. El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y lavariable que la representa se conoce como variable independiente, el conjunto B seconoce como conjunto de llegada, co-dominio. Los valores y=f(x) que toman lasvariables se denominan recorrido o rango y la variable que la representa se le conocecomo variable dependiente.Representación de una FunciónUna función se pueden representar de forma oracional, de tabla, como diagramas de ven,como graficas cartesianas y por formulas. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 12
  13. 13. De forma oracional Incluye hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos opensamientos; pero hacemos énfasis particularmente en las reglas o consignas: “ser lamadre de”, “ser la cuarta parte de”, “ser el siguiente de”, “ser el doble de…, másunidades”, etc.Ejercicios 03Escriba cinco parejas ordenadas por cada oración e indique ¿cuál representa unafunción? 1. ¿Qué la segunda componente sea el doble de la primera? 2. ¿Qué la primera componente sea el doble más uno de la segunda? 3. ¿Qué la segunda componente sea el inverso aditivo de la primera? 4. ¿Qué la primera componente sea la raíz cuadrada de la segunda? 5. ¿Qué la segunda componente sea un número primo y la primera un par anterior no consecutivo?Problemas 02 1. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en $1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el precio. 2. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas. 3. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas 4. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo.En forma de Tablas de valores en las que aparecen explícitamente los pares de valores[variable independiente – variable dependiente] que expresan la correspondencia quedefine determinada función. Como ejemplos nos pueden servir las tablas que recogen elsalario mínimo mensual de los trabajadores de cierto país en los últimos 10 años, preciode cierto modelo de vehículo según su marca, valor de las acciones de ciertas empresas Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 13
  14. 14. Ejercicios 041. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999 Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Nº de 128 253 378 503 628 753 878 1003 1128 familias2. Variación de las ventas con respecto al precio de cierto artículo Costo 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650 Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 2083. Los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para años seleccionados Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Ingresos 63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15 (millones)4. Fracción de artefactos que funcionan después de t años de uso Años de uso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Fracción de 0.88 0.78 0.69 0.61 0.54 0.48 0.43 0.38 0.33 artefactos que funcionan5. Número de computadores que ensambla un trabajador respecto al número de días que lleva trabajando en una empresas de informática Días 1 5 10 15 20 25 30 45 60 Número de 1 3 4 4.5 4.8 5 5.14 5.4 5.5 ComputadoresEn forma de Diagramas de Venn son diagramas se muestran los conjuntos de partida y dellegada con sus respectivos elementos y las correspondencias establecidas entre éstos,representadas por flechas de unión. Esta representación sólo es útil en el caso de que losconjuntos de partida y de llegada contengan pocos elementos. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 14
  15. 15. Ejercicios 051. 2. f f A B A B 1 1 1 1 2 4 2 4 3 9 3 9 4 16 -2f es una función ya que a cada elemento de f es una función ya que a cada elemento deA le corresponde uno y solamente uno de A le corresponde uno y solamente uno delos elementos de B los elementos de BEl dominio de f: {1, 2, 3, 4} El dominio de f: {1, 2, 3, -2}El Co-dominio de f {1, 4, 9, 16} El Co-dominio de f {1, 4, 9}El Recorrido de f{1, 4, 9, 16} El Recorrido de f{1, 4, 9}Si en una función el co-dominio es igual al f es sobreyectivarecorrido se dice sobreyectiva3. 4. f f A B A B 1 1 1 1 2 4 4 2 3 9 9 3 16 16f es una función ya que a cada elemento de f no es una función porque hay unA le corresponde uno y solamente uno de elemento A que no tiene imagen en Blos elementos de BEl dominio de f: {1, 2, 3}El Co-dominio de f {1, 4, 9,16}El Recorrido de f{1, 4, 9}f no es sobreyectiva Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 15
  16. 16. 5. 6. f f A A B B 1 1 4 16 1 2 -2 2 3 1 4 4f no es una función porque hay un f es una función ya que a cada elemento deelemento A que no tiene dos imágenes en A le corresponde uno y solamente uno deB los elementos de B El dominio de f: {1, 4, 16} El Co-dominio de f {1} El Recorrido de f{1} Si y=f(x)=k para cualquier valor de x entonces se dice que la función es constanteEn forma de Gráficas cartesianas: Son gráficas que se construyen a partir de dos ejes dereferencia –llamados ejes de coordenadas–, uno horizontal (eje de abscisas) y otrovertical (eje de ordenadas). Habitualmente, en el primero se colocan los valores de lavariable independiente como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes deizquierda a derecha; y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente,también como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de abajo haciaarriba. Los valores de ambas variables deben ser, pues, numéricos.Una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical quecorta su grafica lo hace exactamente en un solo punto. Si una recta toca más de un puntode la grafica, esta no representa a una función. y y y x x x Es función No es función Es función Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 16
  17. 17. y y y x x x Es función No es función Es funciónCriterio de la recta horizontal Si toda recta horizontal que intercepte una gráfica deuna función lo hace en un solo punto decimos que la función es inyectiva o uno a uno ysi la corta en más de un punto se llama sobreyectiva y y y x x x Inyectiva sobreyectiva Inyectiva ySi una función, como la que se muestra f(x)=x^2, x>=0en la gráfica, una parábola donde seconsidera únicamente la parte positivadel dominio, es inyectiva y sobreyectivase dice biyectiva x Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 17
  18. 18. Otra forma de representar una función es a través de Fórmulas que son expresionesalgebraicas (pueden incluir números y símbolos literales) que expresan la relaciónexistente entre las variables independientes y la variable dependiente.Según las fórmulas las funciones se clasifican en polínomicas o algebraicas ytrascendentes, Las polínomicas son las que se pueden representar mediante expresionesalgebraicas y pueden ser lineales, cuadráticas, cubicas, polinomiales, racionales,irracionales y por trozos (por sección o por partes). Las trascendentes, se llaman así paradistinguirlas de las algebraicas, y son las logarítmicas, exponenciales y lastrigonométricas Función Inversa Dada la función y=f(x) su inversa f -1(x) se obtiene expresando la función x= g(y).Esquemáticamente A B B A f:A B f -1 :B A Función Directa Función InversaPara hallar la inversa de una función se despeja la variable independiente de la funciónoriginal, para la inversa esta pasa a ser la variable dependiente. No todas las funcionestienen inversa.Ejercicios 05Obtener la función inversa de cada función1. y=4x + 1 2. y=x2+1 Despejando Despejando Graficas Gráficas Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 18
  19. 19. y y y=4x+1 y=x^2+1 x=(y-1)^(1/2) x=(y-1)/4 x x3. 4. DespejandoDespejando GráficasGráficas y y x=y^2+1 y=(x+3)/(x-2) x y=(x-1)^(1/2) x=(3+2y)/(y-1) x 5. y = 3x – 5 6. y= x2-4 7. 8. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 19
  20. 20. Funciones Pares e Impares Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x). Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x).La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de la ordenada (y) y la impar essimétrica respecto al origenEjercicios 06En cada una de las siguientes funciones determine cuales son pares impares o ningunade las anteriores1. f(x)=x2 Gráfica  Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x) y = x^2 y Hagamos x=1 entonces  f(-1)=f(1) como f(x)=x2 (-1)2=(1)2  1=1 Por lo tanto f(x)=x2 es par   Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x)  Hagamos x=1 entonces f(-1)=-f(1) como f(x)=x 2 x (-1)2=-(1)2     1 = -1  Por lo tanto f(x)=x2 no es impar2. ( ) Gráfica y  Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x) Hagamos x=1 entonces  f(-1)=f(1) como ( )  ( )= ( ) -1=1  Por lo tanto ( ) no es par x  Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x)       Hagamos x=1 entonces  f(-1)=-f(1) como ( ) ( )= - ( )  -1 = -1 Por lo tanto ( ) es impar  Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 20
  21. 21. 3. ( ) 4. f(x)=x3 5. f(x)=2x 6. f(x)=4x2-2xEjercicios 06Verificar en las siguientes gráficas de funciones cuál es par y cual impar 1. 2. y y       x x               y = 3x-x^3   3. 4. y y       x x                y = 4x^5+3x^3-2x   Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 21
  22. 22. Raíces e Interceptos Las raíces o ceros son los puntos para los y cuales f(x)=y=0, gráficamente son los  puntos donde la grafica corta al eje de la  Raices abscisa (x). No todas las funciones tienen  raíces, puesto que puede haber curvas x que no corten al eje "x".        y x^3-4x =  Los interceptos son los puntos para los  y cuales x=0, es decir los puntos donde la  curva corta al eje de la ordenada (y)     Intercepto   x    y = x^3-6x+3     Ejercicios 07Halle las raíces y los interceptos de cada función (si existen) 1. f(x) = x2-2x-3 Gráfica Para hallar las raíces hacemos f(x)=0 y  entonces x2-2x-3=0 Factorizando (x-3)(x+1)=0, entonces  Ra ice s x1-3=0 por lo que x1 = 3  y x2+1=0 por lo que x2=-1  Por lo tanto la función tiene dos raíces x que son x1 = 3 y x2=-1.    In te rce p tos     Para los interceptos hacemos x=0,  remplazando en la función obtenemos  f(0)=-3  Por lo tanto la función tiene un  intercepto en y=-3 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 22
  23. 23. 2. f(x)=x(x3-1) Gráfica Para hallar las raíces hacemos f(x)=0 y entonces x(x3-1)=0 Tenemos x1=0, x3-1=0 despejando  x3=1, x2=1 Por lo que las raíces son x1=0 y x2=1 x Para los interceptos hacemos x=0,    remplazando en la función obtenemos Intercep tos Raiz f(0)=-1 por lo tanto la función tiene  un intercepto en y=-1 3. f(x)=2x - 4 4. f(x)=x3+x2-12x 5. ( ) 6. f(x)=Ln(x-1) Función Creciente y Decreciente Una función es creciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del intervalo, tal que x1 < x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es creciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) aumenta el valor de la ordenada (y). Una función es decreciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del intervalo, tal que x1 > x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es decreciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) disminuye el valor de la ordenada (y). (-∞,-1) (-1,1) (1, ∞) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 23
  24. 24. Función AcotadaUna función f(x) es acotada superiormente si existe un número b tal que para todox, f(x) b. Al número b se le llama cota superior. Una función f(x) es acotadainferiormente si existe un número b´ tal que para todo x, f(x) ≥ b. Al número b´ se lellama cota inferior. Una función se dice acotada si lo está acotada superiormente yinferiormente, si existen dos número b y b´ tal que para todo x, b´ f(x) b y = x(x^3) y (x,y) = (0,1) y Cota Sup erior   x    x   Cota Inferior   Acotada Superiormente Acotada inferiormente y = 2^(1-x^2) y y = x(x^2-1) y Cota Sup erior    x     x        Cota Inferior  Acotada No acotada Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 24
  25. 25. Concavidad y ConvexidadUna función es CÓNCAVA o presenta su Una función es CONVEXA o presenta suconcavidad hacia abajo cuando dados dos concavidad hacia arriba si dados dospuntos cualesquiera el segmento que los une puntos de la curva el segmento que los unequeda por debajo de la curva. queda por encima de la curva. y y Concava   Convexa  x       x     Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llamanPUNTOS DE INFLEXIÓN.Dominios y RangosLas funciones reales tienen como dominios y rangos los números reales. Si no seespecifican el dominio y el rango de una función, se supone que el dominio consiste entodos los números reales (valores de x) que dan como resultado salidas reales (valoresde y), haciendo que el rango sea subconjunto de los números reales.En las funciones de estudio, si el dominio no está especificado, incluirá todos los númerosreales excepto:  Valores que tienen como resultado un denominador igual a cero.  Valores que dan como resultado una raíz par de un número negativo.Ejercicios 08Encuentre el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones: 1. ( ) Como la función se hace indeterminada si el 0 denominador es igual a cero Despejamos x Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 25
  26. 26. Si remplazamos x en la función original ( ) obtendremos 0 Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ( ) ]=R-{ } 2. ( ) Como la función se hace indeterminada si el 0 radicando es menor que cero Despejamos x Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ( ) ]=R- ( ∞, ) 3. ( ) Como la función se hace indeterminada si el 0 denominador es igual a cero y si el radicando es menor que cero Despejamos x Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ( ) ]=R-[ ∞, ] 4. ( ) 5. ( ) 6. ( ) 7. ( ) 8. ( ) 9. ( ) Notación Funcional Para indicar que y es una función de x, la función se expresa con f y escribimos y=f(x). Esto se lee “y es función de x” o “y es igual a f de x”. Para valores específicos se x, f(x) representa los valores de la función (es decir la salida o valores de y).Ejercicios 09 1. Si f(x)= 3x + 1 entonces a. f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 26
  27. 27. b. f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -82. Si g(x) = 2x2 – 4x + 2 entonces a. g(1) = 2(1)2 – 4(1) + 2 = 2(1) – 4 + 2 = 2 – 4 + 2 = 0 b. g(-2) =2(-2)2 – 4(-2) + 2 = 2 (4) + 8 +2 = 2(4) +10 = 8 +10=18 c. g(a) =2(a)2- 4a + 2 = 2a2 – 4a + 2 d. g(a + b)= 2(a + b)2- 4(a + b) + 23. Determine f(x + h) si a. f(x) = x entonces f(x + h) = x + h b. f(x) = x + 1 entonces f(x + h) = (x + h) + 1 c. f(x) = x2 – x + 2 entonces f(x + h)= (x + h)2 – (x + h) + 2 d. f(x) = entonces f(x + h) = ( ) Nótese que donde esta x se escribe x + h ( ) ( )4. Encuentre cuando h=0 si a. f(x)= 2x Remplazamos ( ) ( ) ( ) b. f(x) = x2 ( ) ( ) ( ) Aplicando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ( ) ( ) Simplificado ( ) ( ) Factorizando ( ) ( ) ( ) Simplificando ( ) ( ) Como h= 0 remplazando Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 27
  28. 28. ( ) ( )Ejercicios 10 1. Si R(x) = 8x - 10 encuentre R(0), R(2), R(-3), R(1.6) 2. Si H(x) = 9x2 – 2x encuentre H(3), H(1/6) 3. Si f(x) = 100x –x3 encuentre f(-1), f(-3/2) 4. Si C(x) = x3 – 4/x encuentre C(-1/2), C(-2)Ejercicios 11 ( ) ( )Encuentre cuando h=0 si 1. f(x) = x + 1 2. f(x) = 3x + 2 3. f(x) = 3x2 4. f(x) = 2x3 Sugerencia utilice (a + b)3Problemas 03 1. El costo total de fabricar un producto se determina por medio de C(x)= 300x + 0.1x2+1200 dólares , donde x representa el número de unidades producidas. Determine el costo de producir 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra? Para determinar el costo de producir 10 unidades remplazamos x por 10 en la ecuación de costos total C(x) C(10) = 300 (10) + 0.1 (10)2 +1200 = 3000 + 10 + 1200 = 4 210 Producir 10 unidades tiene un costo de 4210 dólares. Para 100 unidades x=100 C(100) = 300 (100) + 0.1 (100)2 +1200 = 32 200 Producir 100 unidades cuesta 32 200 dólares Se encuentra que es más económico producir 100 unidades que 10. Porque el producir 10 unidades producir una unidad costaría 421 dólares y si se producen 100 unidades el valor de la unidad sería 322 dólares Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 28
  29. 29. 2. Un estudio de eficiencia realizado por una compañía mostró que el número de Walkie-talkies ensamblados por un trabajador promedio a t horas de haber iniciado su jornada a las 8:00 a.m. esta dado por N(t) = -t3 + 6t2 + 15t (0 t ) ¿Cuántas piezas se espera que ensamble un obrero promedio entre las 8:00 y las 9:00? y ¿entre las 9:00 y 10:00? ¿Qué encuentra?3. Datos de la reserva federal de Estados Unidos muestran que el incremento anual de capacidad de producción entre 1994 y 2000 está dado por f(t) = 0.0094t3 – 0.4266t2 +2.7489t + 5.54 , donde f(t) es un porcentaje t y se mide en años, donde t = 0 corresponde a 1994. ¿Cuál es el incremento en la capacidad de producción en 1996, 2003 y 2004 ¿Qué encuentra?4. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron ( ) 0 miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿Cuáles fueron las ganancias brutas obtenidas en los años 1997 y 2008?5. La función demanda para la línea de laptops de una compañía electrónica es p=2400 – 6q, en donde p es el precio por unidad (en dólares) cuando los consumidores demandan q unidades (semanales) a. Obtenga p para q igual a 300, 400 y 500 b. ¿Qué significa cada expresión? c. Compare e intérprete los resultados6. Suponga que el costo (en dólares) de eliminar p por ciento de la contaminación de las partículas de las chimeneas de una planta industrial se determina por medio de 7300 p C ( p)  100  p Encuentre los valores de eliminar el 45, 90, 99 y el 100 por ciento de la contaminación y haga un análisis de los resultados7. El costo (en dólares) de eliminar el x% de la polución del agua en cierto riachuelo está dada por C(x)= (0 x 00) a. Hallar el costo de eliminar la mitad de la polución b. Evaluar el costo de eliminar el total de la polución8. Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminación se determina mediante Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 29
  30. 30. 000 0 Determine el costo de obtener agua con el 90, 100 y 0 por ciento de niveles de contaminación Algebra de Funciones Si f y g funciones se define: a. Función suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x) b. Función diferencia: f(x) - g(x) = (f - g)(x) c. Función producto: f(x) * g(x) = (f * g)(x) d. Función cociente: f(x)  g(x) = (f  g)(x) e. Función compuesta: f(x) o g(x) = (f o g)(x) = f [g(x)]Ejercicio 12Dados f(x) y g(x) encuentre:  (f + g)(x),  (g - f)(x),  (g * g)(x),  (f  g)(x),  (f  g)(x)1. f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1  f(x) + g(x) = (f + g)(x)= 2x + 3x + 1 = 5x + 1  f(x) - g(x) = (f - g)(x)= 2x – ( 3x + 1) =2x – 3x – 1 = -x – 1  f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (2x)*(3x + 1) = 6x2 + 2x  f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = , si la expresión no es factorizable y/o simplificable se deja indicada  (f  g)(x) = f[g(x)] = f(3x + 1) = 2(3x+1) = 6x + 2 Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por 3x + 12. f(x) = x2 y g(x) = x - 1  f(x) + g(x) = (f + g)(x)= x2 + x - 1  f(x) - g(x) = (f - g)(x)= x2 – ( x - 1) = x2 - x + 1  f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (x2) *(x – 1) = x3 – x2  f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = ,  (f  g)(x) = f[g(x)] = f(x - 1) = (x - 1)2 = x2 + 2x - 1 Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por x - 1 Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 30
  31. 31. 3. f(x) = x + 5 y g(x) = x – 24. f(x) = x2 - 2 y g(x) = 2x + 45. f(x) = x3 – 5 y g(x)=2x3 – 16. f(x) = x2 + 5 y g(x) = -27. f(x) = y g(x) =Problemas 04 1. Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compañía por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R(x) = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C(x) = 65x + 15000 a. Si la ganancia G es el ingreso menos el costo, encuentre la función ganancia de la producción y la venta de x unidades. Por definición G(x) = R(x) – C(x) remplazando G(x) = 215x – (65x + 15 000) = 215x – 65x – 15 000 La función ganancia sería G(x) = 150x - 15000 b. Encuentre la ganancia si se producen y venden 1000, 100 y 10 unidades. ¿Qué encuentra? Si se venden 1000 unidades G(1000) = 150(1 000) – 15 000 = 135 000 Si se venden 100 unidades G(100) = 150(100) – 15 000 = 0 Si se venden 10 unidades G(10) = 150(10) – 15 000 = - 13 500 Producir y vender: 1000 unidades deja una ganancia de $135 000; 100 unidades no deja utilidad pero tampoco pérdida; 10 unidades deja una pérdida de $13 500 2. El ingreso total r que se recibe por la venta de q unidades, esta dado por la función g, donde r= g(q) =40q. El número total de unidades de producción por día q, es una función del número de empleados m, donde 0 ( ) Determine (g o f) ¿qué encuentra? 3. El gasto del consumidor (Gc) por artículo es el producto de su precio en el mercado p (en dólares) y el número de unidades demandadas. Suponga que para cierto artículo, las unidades demandadas están dadas por la función U(x)= 10 000 – 10p a. Encontrar una expresión que determine el gasto del consumidor Por dato Gc = p * U(x) = p * (10 000 – 10p) La expresión del gasto del consumidor sería Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 31
  32. 32. Gc = 10 000p – 10p2 b. Determinar el gasto del consumidor por artículo cuando el precio de mercado es de 20 y 30 dólares. Para p= 20; Gc = 10 000(20) – 10(20)2 = 196 000 Para p = 30; Gc = 10 000(30) – 10(30)2 = 291 000 A un precio de 20 dólares el gasto de consumidor es de 196 000 dólares y a 30 dólares el gasto es de 291 000 dólares, por lo tanto a menor precio menor es el gasto del consumidor4. Los costos totales por la producción de cierto artículo en el instante t son f(t) dólares. El número de productos fabricados en el instante t es g(t) ¿qué representa f(t)/g(t)?5. El número de acciones que tiene una persona está dado por f(t). El precio de la acción en el instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la expresión f(t)*g(t)6. Un empresario es posee y opera dos restaurantes. El ingreso del primer restaurante en el instante t es f(t) miles de pesos y el ingreso del segundo restaurante en el instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la función f(t) + g(t)7. Los ingresos de una empresa están dados por f(x) dólares, donde x son los gastos de publicidad por parte de la empresa en dólares. La cantidad invertida en publicidad por la empresa en el instante t está dada por g(t) dólares ¿Qué representa la función fg8. El costo promedio por unidad de una compañía cuando se producen x unidades se define como: Suponga que el costo total de una compañía se obtiene 000 0, a. Encuentre una expresión que determine los costos promedios b. Determine los costos promedios para una producción de 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra9. Suponga que la ganancia de la producción y la venta de x unidades producidas en un día de un producto se determina por medio de P(x) = 180x - 0.01x2 -200. Además el número de unidades producidas en el día t del mes es x = 1000 +10t. Encuentre Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 32
  33. 33. a. La función compuesta (P o x)(t) b. El número de unidades producidas y la ganancia del día 15 del mes es10.El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función del precio ésta dado por I = 300p – 2p2 y la función demanda es p= 150 – q/2. Encuentre a. La función compuesta (I o p)(q). b. Determine el ingreso si se demandan 100 y 200 unidades c. Compare los resultados que encuentra Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 33
  34. 34. GRÁFICA DE FUNCIONESEs posible ilustrar geométricamente las relaciones y funciones al trazar sus gráficas enun sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (plano cartesiano)El plano Cartesiano es un área que permite representar gráficamente relaciones yfunciones en dos dimensiones. Está formado por dos rectas perpendicularesdenominadas ejes que se cortan en un punto llamado origen, los ejes dividen el planoen cuatro partes llamadas cuadrantes. La recta horizontal se denomina abscisa(generalmente eje x) y la vertical la ordenada (generalmente eje y), del punto deintersección hacia la derecha la abscisa es positiva y hacia la izquierda es negativa, delpunto de intersección hacia arriba la ordenada es positiva y hacia abajo es negativa.Cada punto en el plano se forma con la intersección de una coordenada de la abscisacon una de la ordenada y se representa con una pareja ordenada (a,b), donde laprimera componente representa la coordenada de la primera y la segunda lacoordenada de la segunda.Ejercicio. Dibuje un plano cartesiano y ubique cada uno de los siguientes puntos: A(-3,5), B(-1,-4), C(5,-1), D(4,3),E(0,-2),F(4,0)Si f es una función con dominio A y co-dominio B, entonces a cada x A lecorresponde precisamente un número real f(x) B. Esto se puede expresar tambiéncomo parejas ordenadas de número reales. Se escriba a x de A como primeracomponente y f(x) de B como segunda componente es decir (x, f(x)) o (x, y).La gráfica de una función resulta cuando se trazan los puntos que representan elconjunto de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación de la funcióndada Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 34
  35. 35. La gráfica de una función nos puede suministrar información de esta como por ejemplo: su tipo, para que intervalos es creciente, decreciente constante, los puntos máximos, mínimos, interceptan los ejes coordenados, indeterminados Ejercicio Grafique cada función entre los valores indicados 1. f(x)=2x+1 2. f(x) = x2 + 1; para valore de x entre -3 y 3 3. f(x)=x3 – 6x2: de valores a x entre -4 y 4 4. f(x)= 5. f(x)= 6. f(x)=ln(2x+1) Si x < 1 7. e. j(x)= 2x2 + 1 Si x ≥Grafica una Función con TecnologíaCon Excel 2007 1. Entre a Excel 2. En la celda A1, Digite la variable independiente (x) 3. En las celdas B1 y C1 digite dos valores cualesquiera para el dominio. Entre más valores digite podrá obtener un mejor gráfico. 4. En A2 digite la variable dependiente (y) 5. Despeje la ecuación en función de y y digítela B2 como fórmula Excel, debe tener en cuenta que donde va x en la ecuación debe ir B1. 6. Cópiela para obtener el o los demás valores para el co-dominio. 7. Seleccione el rango 8. Del menú Insertar seleccione el tipo de gráfico Línea y escoja la opción línea. 9. Seleccione el gráfico, pulse el botón derecho del mouse y seleccione Seleccionar datos. 10. En la ventana Etiquetas del eje horizontal (Categorías), pulse el botón Editar, seleccione los datos de x, y pulse Aceptar. 11. En la ventana Entradas de leyenda (Series) escoja x y pulse el botón Quitar, pulse Aceptar. 12. Para ubicar el gráfico en otra hoja pulse el botón Mover gráfico (Ubicación) y escoja Hoja nueva. 13. Para modificar cualquier área (de gráfico, de línea de trazado o la de serie de datos) seleccione el área a dar formato, pulse el botón derecho del mouse y escoja la opción de formato. Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 35
  36. 36. Con Excel 2003 o anterior Repite los procedimientos de 1 al 7 de la versión 2007 1. Del menú Insertar seleccione la opción Gráfico 2. Seleccione el tipo de gráfico Líneas y el subtipo Línea y pulse Siguiente 3. Abra la carpeta Serie, en la ventana Serie, pulse Quitar para eliminar la serie1, que corresponde al dominio de la función, abra la ventana de Rótulos del eje de categoría x y seleccione el dominio de la función, pulse el botón de aceptación y pulse siguiente 4. Escriba los títulos correspondientes, abra la carpeta Leyenda y desactive la opción Mostrar leyenda y pulse Siguiente 5. Active la opción En una hoja nueva y pulse Finalizar.Con el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta 1. Entre al el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta 2. De la opciones de Área de Conocimiento seleccione Matemáticas 3. De Matemáticas seleccione Matemática Microsoft 4. De Matemática Microsoft escoja Calculadora Gráfica Científica 5. Seleccione la carpeta Gráfica 6. En la carpeta funciones verifique que las opciones 2D y Coordenadas Cartesianas estén activadas. 7. Haga un clic en la ventana para digitar la ecuación (la ecuación debe estar despejada en función de y o en función de x), en la ventana entrada de datos, digite la ecuación despejada, pulse Intro y para finalizar pulse gráfica 8. Para una mejor visualización de la gráfica en la carpeta de Controles de Gráfica seleccione el botón Mostrar u Ocultar Marca Exterior 9. Para imprimir la gráfica del menú Archivo seleccione la opción Imprimir y Aceptar.Con el Derive de la Calculadora Ti-92 Plus de la Texas Instruments 1. Pulse Ctrl + w (Y=) 2. Digite la ecuación despejada en función de y y pulse ENTER. 3. Pulse Ctrl + R ( GRAPH) Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 36
  37. 37. Con en el Winplot El winplot es un software gratuito especializado en el grafico de funciones. Puede descargar en la dirección http://winplot.softonic.com/descargar  Una vez instalado el programa para utilizarlo debe ejecutar el icono correspondiente.  Para realizar un gráfico del menú Ventana seleccione 2-dim, abra el menú Ecua y seleccione la opción Explícita; en la ventana f(x) digite la ecuación y pulse Ok. Si necesita elevar la variable a una potencia utilice la tecla ^.  Para ver las cuadriculas abra el menú ver seleccione la opción cuadricula active cuadrangular pulse aplicar y cerrar. Si no se desean ver las coordenadas desactiva las opciones escala  Para grabar el archivo del menú Archivo seleccione la opción Guardar o Guardar como. Para abrir selecciona la opción Abrir  Con las teclas Av Pág aleja el gráfico y Re Pág acerca la imagen. Debe estar ubicado en el área de gráfico.  Para copiar un grafico del menú archivo selecciona la opción copiar lo lleva al documento destino y pulsa pegar. Recomendación si va a pegar en Word inserte el grafico en un cuadro de texto para un mejor manejo.  Para mostrar los valores extremos del menú Una seleccione la opción Extremos, para ir visualizando los demás extremos pulse Siguiente Extremo  Para escribir una etiqueta del menú Btns selecciona la opción texto en la gráfica pulsa el botón derecho del mouse, digita el texto o etiqueta y pulsa ok, para cambiarla de posición la arrastra con un clic sostenido.  Modificar Coordenadas menú ver opción ver, active la opción esquinas y Ajuste  Ocultar coordenadas en la ventana de ver cuadrícula desactivar las opciones escala  Para marcar una intersección entre dos curvas de la carpeta Dos seleccione Intersección seleccione las curvas a las cuales desea marcar las intersecciones y pulse marcar punto, si existe otras intersecciones pulse siguiente intersección y vuelva a pulsar marcar punto para finalizar pulse cerrar  Para dibujar la inversa de una función, inicialmente se dibuja la función, del menú Una selecciona reflejar activa las opciones x=y y mostrar recta, para finalizar pulsa reflejar  Para sombrear un área específica del menú Ecua seleccione la opción Sombreado activa la opción encima, debajo o entre, si va a sombrear entre dos funciones, digite el rango o intervalo a sombrear, seleccione el color y pulse sombrear Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 37
  38. 38. TALLER DE GRÁFICOSResponda cada pregunta respecto a la gráfica en cada situación particular1. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y (dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso es y= 36 –0.15x.  y Valor(Millones de Pesos) a. ¿Cuál es el valor de de la  propiedad a los 60 meses de   uso?   b. ¿Cuál es el valor de de la   propiedad los 10 años de uso?  c. ¿Cuántos años pasan para que la    propiedad se deprecie por  Meses x completo? Explique         2. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por P(x)=60x – x2 a. ¿Cuál es la máxima y productividad que se puede  Utilidad obtener? b. ¿Para qué intervalo la función  y = 60x-x^2 creciente y para cuál es decreciente? ¿qué decisión tomaría al respecto?  c. ¿Cuál es la máxima cantidad de unidades que puede Unidades Producidas x producir? Justifique su        respuesta Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 38
  39. 39. 3. Suponga que el ingreso por la venta de cierto producto está dado por R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3 a. ¿Cuál es el ingreso si  y Ingreso se venden 100 unidades? b. ¿Para qué intervalo  la función creciente y para cuál es decreciente? De una explicación  c. ¿Cuál es el máximo ingreso que se puede obtener?  (x,y) = (614,0) d. ¿Cuál es la máxima cantidad que se Cantidad Vendida x Cantidad puede Vendida vender?         Explique4. Un estudiante adquiere gran número de conocimientos durante el repaso para un examen. En un tiempo de t semanas después del examen el porcentaje de esos conocimientos que el estudiante es capaz de recordar está dado por 0 0e0. t P(t) e0. t a. A la semana ¿qué y  porcentaje de Conocimientos Recoordados  conocimiento  recuerda?   b. ¿En cuántos meses   recuerda el 40% del  conocimiento?   c. Escriba 2  Semanas x comentarios de la Semanas                situación presentada  Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 39
  40. 40. 5. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por P = 10 + 50 ln(3x + 1) a. ¿cuál es el precio si  y se ofertan 10  Precio unidades?   b. ¿Cuántas unidades  se deben ofertar a  un precio de $260  dólares?   c. Escriba 2  comentarios de la  situación  presentada    Unidades x           6. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dólares) según 00x y(x) x 0 a. ¿cuál es el volumen y  Volumen de Ventas de ventas si se invierten 10 mil dólares en  publicidad? b. ¿Cuánto se debe  invertir en publicidad para  obtener 150 mil dólares en venta? c. Escriba 2 Gastos de Publicidad (Miles de Dólares) x comentarios de la                      situación presentada Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 40
  41. 41. FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es aquella que cambia a una tasa constante con respecto a su variable independienteLa gráfica de una función lineal es una línea rectaEcuación de la RectaToda función de la forma y= mx +b, es una función lineal donde, b es la ordenada en el origen (coordenada donde la recta corta al eje y ) y, m se denomina la pendiente y es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje laabscisa (x). La pendiente muestra el número de unidades que varia y por cada unidadque varía x, es decir si m=10, indica que por cada unidad que varia x y varia 10unidadesEn economía se considera la función costo como una función del tipo lineal, es decir,su representación gráfica será una línea recta y se representa matemáticamentecomo: Costo Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos FijosEs decir: Los Costos Variables (son aquellos que dependerán directamente del nivelde producción: la mano de obra y la materia prima entre otros) representan lapendiente y los Costos Fijos (gastos por luz, agua, teléfono y alquiler de local) laordenada en el origen.La pendiente de una recta que pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por: m = y2 – y1 x2 – x1Se pueden presentar las siguientes situaciones: m > 0: La recta esta inclinada hacia la derecha. m < 0: La recta esta inclinada hacia la izquierda m = 0: La recta es paralela al eje de la abscisa. Si m es indeterminada la recta es paralela al eje de la ordenada.Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales y dos rectas sonperpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.La ecuación de la recta que tiene como pendiente m y pasa por el punto (x1,y1) es: Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 41
  42. 42. y – y1 = m(x2 – x1) La ecuación de la general de la recta está dada por: ax + by + c = 0Ejercicios 121. Encuentre la pendiente (m) el intercepto (b) y las grafique cada una de las siguientes funciones: a. y = 2x + 1 b. y = -2x – 1 c. 3x + 4y = 12 d. 2x – 3y = 122. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos: a. (2,1) y (3,-4) b. (3,2) y (-4,2) c. (3,4) y (3,-1)3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que: a. Tiene como pendiente -2 en intercepto 3 b. Pasa por el punto (2,0) y tiene pendiente -2 c. Pasa por el punto (-1,3) y tiene pendiente -2. d. Pasa por los puntos (3,2) y (-1,-6)4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores: a. 3x + 2y = 6; 2x – 3y = 6 b. 5x – 2y = 8; 10x – 4y = 85. Escriba la ecuación de la recta que: a. Pasa por (-1,2) y es paralela a 3x + 2y = 1. b. Pasa por (1,3) y es perpendicular a 3x + y = -1.Problemas 051. La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades a. Halle la pendiente ¿qué significa? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 42
  43. 43. Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendrían la forma (precio, demanda), , es decir, x representa el precio y las unidades demandadas, por datos podemos considerar una primera pareja (5000, 4000) donde x1=5000 y y1=4000 y una segunda pareja (4000, 4500) donde x2=4000 y y2=4500 Como sabemos que la pendiente es: 00 000 00 000 000 000 Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuye la mitad.b. Halle la ecuación de la demanda Como se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuación ( ) , remplazando 000 ( 000) 000 00 00 000 00c. Grafique la función Ubicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta que corte los dos ejes coordenados  y Unidades Dem andadas              x P recio                d. ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen y qué significa? Lic. Esp. José F. Barros Troncoso 43

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