Notas de clase cálculo diferencial 2013-2

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Notas de clase cálculo diferencial 2013-2

  1. 1. Cálculo Diferencial “con problemas de aplicación orientados hacia la administración y la economía”
  2. 2. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2 Cálculo diferencial 2 Con especial cariño a mi madre Delva por su crianza, por la semilla que sembraste en mí, a Lilia mi esposa, por su apoyo, estimulo, comprensión y sacrificio, a mis hijos porque son mi fuente de inspiración, a todas aquellas personas que han creído en mi trabajo y que me han dado la oportunidad de seguir creciendo cada día y a mis estudiantes a quienes va dirigido este trabajo. Gracias José Francisco Barros Troncoso Febrero 12 de 2013
  3. 3. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 3 Cálculo diferencial 3 CONTENIDO Introducción 5 FUNCIÓN Pareja Ordenada 7 Producto Cartesiano 7 Intervalo 8 Relación 11 Función 13 Representación de una Función 13 Función Inversa Funciones Pares e Impares Raíces e Interceptos Función Creciente y Decreciente Función Acotada Concavidad y Convexidad Dominios y Rangos 20 21 23 25 26 27 27 Notación Funcional 29 Algebra de Funciones 33 Gráfica de Funciones 37 Gráfica de funciones con tecnología 38 Función Lineal 44 Ecuación de la recta 44 Función Cuadrática 55 Modelación de la función cuadrática 61 Funciones con tecnología 62 Función Polinómica de Grado Superior a dos 63 Función Exponencial 65 Función Logarítmica 68 Tipos de logaritmos 68 Modelación de las Funciones Exponenciales 72 Funciones con tecnología 77 Función Cociente 78 Función por Parte o por Trozos 81 Función Valor Absoluto 88 Funciones trigonométricas 90 INCREMENTO Y TASAS 92 LIMITE 100 Limites Laterales 100 Propiedades de los límites 101 Limites Indeterminados 101
  4. 4. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 4 Cálculo diferencial 4 Continuidad en un punto 102 Limites de las funciones definidas por partes 103 Limites Infinitos 107 Limites con Tecnología 111 LA DERIVADA Tasa de cambio promedio 112 Tasa de cambio instantánea 113 Pendiente de la recta 113 Derivada 113 Fórmulas de la Derivada 115 Regla de la Cadena y de la potencia 123 Derivadas de Orden Superior 128 Máximos y Mínimos Relativos Prueba de la primera derivada 129 Prueba de la segunda derivada 130 Derivada de las Funciones Logarítmicas 141 Derivada de las Funciones Exponenciales 144 Derivada de las Funciones Trigonométricas 149 Derivada Implícita 151 Elasticidad en la Demanda 155 DERIVADAS PARCIALES Funciones de dos o más Variables 159 Diferenciación Parcial 163 Costo Conjunto y Costo Marginal 165 Productividad Marginal 169 Funciones de Demanda 170 LA INTEGRAL Antiderivada 173 Integral Indefinida 173 Reglas de Integración 174 Integración por sustitución 178 Regla de la Potencia para la Integración 179 Integrales que Involucran Funciones Exponenciales 185 Integrales que Involucran Funciones Logarítmicas 189 Segundo Teorema Fundamental del Cálculo 195 Aplicaciones del Cálculo Integral en la Administración y en la Economía Valor promedio 200 Ingreso Total 202 Valor Presente y futuro un flujo continuo de ingreso 203 Superávit de Consumidor 207 Superávit del Productor 209
  5. 5. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 5 Cálculo diferencial 5 Integración por Partes 212 BIBLIOGRAFÍA 217 INTRODUCCIÓN El presente trabajo es una compilación de mis notas de clase, fruto de la experiencia obtenida al servicio a la educación en instituciones educativas de Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta (Universidad del magdalena, Universidad Sergio Arboleda, Corporación Unificada Nacional de Educación Superior (CUN) y en la Escuela Normal Superior San Pedro Alejandrino). La propuesta busca darle sentido a la matemática en otros contextos, en particular en la economía, que el estudiante le dé a la matemática una mirada distinta a la que tradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento lógico del ser humano y de la sociedad. El documento no pretende plagiar la información contenida en libros especializados o contenidos obtenidos en páginas web (todos referenciados), sino dar al estudiante explicación más sencilla de los conceptos y fortalecer el desarrollo de problemas de aplicación orientados hacia su perfil profesional. El objetivo es el de exponer los conocimientos básicos del cálculo diferencial en forma sencilla, lógica, crítica y analítica utilizando herramientas modernas que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, además el de solucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias.
  6. 6. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 6 Cálculo diferencial 6 FUNCIÓN En la teoría económica la información de una sola variable no es suficiente para determinar su comportamiento por tanto se hace necesario analizar el comportamiento de dos o más variables, para ello es esencial utilizar los elementos de las matemáticas que representen el comportamiento de los agentes económicos En la práctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de la otra. Ejemplo: En consecuencia: Cantidad de Producción - Costo Asociado Cantidad Comprada – Precio Mano de Obra - Capital Oferta - Demanda Impuesto - Valor de la Mercancía Horas trabajadas – salario Distancia – Tiempo Producto Cartesiano Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente: Pareja Ordenada Conjunto de números de Una pareja ordenada consiste en dos elementos la forma , de los cuales designa el primer elemento o componente, y el segundo. Dos parejas ordenadas y son iguales si y solamente si y
  7. 7. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 7 Cálculo diferencial 7 1 1 2 2 3 4 5 La representación geométrica de R R es el plano cartesiano llamado también plano numérico. Se establece una relación biunívoca entre R R y el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (a, b) con el punto P(a,b). Ejemplo 1: Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}. Gráficamente Ejemplo 2: Sean Su representación geométrica es: b a P(a,b)
  8. 8. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 8 Cálculo diferencial 8 A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR. INTERVALOS Subconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos. Finitos  Abierto Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b, simbólicamente (a , b) = {x / a < x <b} Gráficamente  Cerrado Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b, simbólicamente [a , b] = {x / a x b} Gráficamente  Semi-abierto o semi-cerrado (a , b] = {x a x b} [a , b) = {x a x b}  Intervalos Infinitos: (a ∞ x / x > a} [a ∞ x x ≥ a} (-∞ a x / x < a} ∞-∞ a b ∞-∞ a b ∞-∞ a b ∞-∞ a b ∞-∞ a ∞-∞ a ∞-∞ a
  9. 9. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 9 Cálculo diferencial 9 (-∞ a] x x a} Ejercicios 1. Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientes igualdades: (x + y, 1/2) = (1, x - y) (x + 2, y) = (3y, 2x) 2. Sean y a. Calcular b. Representar gráficamente 3. Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de A x B y B x A. 4. Escriba la desigualdad correspondiente a cada intervalo y dibuje su gráfica a.(1,3) b. (0,3] c. [- ∞ d.(-∞ e.[-0.5, 4.5) f.( ] [ ) ( ∞) 5. Sean A=(-3,7], B=[-1,10] y C=[- ∞ calcular y representar gráficamente a. A n B b. B - A c. Cc d. Ac n Bc e. (A - B)c – C 6. Para cada afirmación escriba dos intervalos que verifiquen: a. Su unión (-8,2] b. Su intersección [-3, 1) c. Su diferencia (-∞ d. Su intersección sea vacía y su unión todos los reales 7. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente gráfica? ∞-∞ a
  10. 10. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 10 Cálculo diferencial 10 x y (100,3800) (0,-200) (2.53, 0) (197.46, 0) Unidades Vendidas Utilidad 8. Cierta compañía de encomienda liquida los envíos de acuerdo a 0.80x Si 0 x 0 C(x)= 0.70x Si 0 x 00 0.65x Si x > 200 , donde C(x) se da en dólares y x en kilogramos (Kg) a. Exprese cada condición en forma de intervalo. b. Determine el costo de envió de 200 Kg, 45 Kg y 250Kg 9. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de 0 Donde P es el número de unidades producidas por hora. a. ¿Qué significa la condición 0 ? b. Calcule la productividad 9 horas después de estar en el trabajo 10.La siguiente gráfica relaciona la utilidad respecto a las unidades vendidas de cierto producto Determine el o los intervalos a. De unidades vendidas no generan utilidades ¿por qué?
  11. 11. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 11 Cálculo diferencial 11 Relación Regla que determina la correlación existente los elementos de una pareja ordenada, se puede representar por medio de una tabla, una gráfica, una ecuación o una desigualdad. b. De unidades vendidas que generan utilidades ¿por qué? c. De unidades vendidas en que se incrementan las unidades ¿por qué? d. De unidades vendidas en que disminuyen las unidades ¿por qué? Ejercicios 1. Escribir 5 parejas ordenadas cuyas componentes tengan cada relación: a. Que la primera componente sea el doble de la segunda. b. Que la segunda componente sea el triplo más uno de la primera. c. Que la primera componente sea un número par y la segunda un impar no consecutivo. d. Que la primera componente sea un número posterior no consecutivo de la segunda. 2. Escriba una oración que describa la relación de cada conjunto de parejas ordenadas: a. (1,3),(3,5),(5,7),(7,9)(9,11) b. (1,-1)(-2,2)(3,-3)(-4,4),(5,-5) c. (1,7),(2,5)(3,9),(4,13),(5,17) d. (2,5),(3,10),(4,17),(5,26),(6,37) 3. Exprese cada relación de los encisos 1. y 2. por medio de una ecuación. Problemas Obtenga 5 parejas ordenadas por cada situación particular 1. Si se demanda una unidad el precio es de US$ 76, y por cada unidad adicional el precio disminuye en US$ 4 dólares. Utilizando parejas ordenadas encuentre el precio si se demandan 5 unidades. 2. Un carro nuevo tiene en valor de $52 millones de pesos, suponiendo que cada año se deprecia a una tasa del 12% de su costo original, determine el costo del vehículo a los cinco años de su compra. Suponga que la primera componente es el tiempo y la segunda el precio.
  12. 12. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 12 Cálculo diferencial 12 3. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en $1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el precio. 0 4. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas. 0 0 5. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas 6. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo. 7. El número de familias vinculadas al a un proyecto apícola en la sierra nevada de Santa Marta inicio en el 2005 con 128 y por cada año que pasa el número de familias se incrementa en 125. Si la primera componente representa el número de años y la segunda el número de familias vinculadas al proyecto. 8. El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función del precio ésta dado por I = 300p – 2p2. Si la primera componente representa el precio (p) y la segunda el ingreso (I). 9. El costo total de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por 00. Si la primera componente representa la cantidad de litros del producto y la segunda el costo total de la producción. Si A y B son conjuntos una función f de A en B se denota f: A B x y=f(x) Indica que a cada elemento x de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos y=f(x) de B. El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y la Función Es una relación de parejas ordenadas el cual no hay dos parejas que tengan la misma primera componente.
  13. 13. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 13 Cálculo diferencial 13 variable que la representa se conoce como variable independiente, el conjunto B se conoce como conjunto de llegada, co-dominio. Los valores y=f(x) que toman las variables se denominan recorrido o rango y la variable que la representa se le conoce como variable dependiente. De forma oracional Incluye hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos o pensamientos; pero hacemos énfasis particularmente en las reglas o consignas: “ser la madre de” “ser la cuarta parte de” “ser el siguiente de” “ser el doble de… más unidades” etc Ejercicios Escriba cinco parejas ordenadas por cada oración e indique ¿cuál representa una función? 1. ¿Qué la segunda componente sea el doble de la primera? 2. ¿Qué la primera componente sea el doble más uno de la segunda? 3. ¿Qué la segunda componente sea el inverso aditivo de la primera? 4. ¿Qué la primera componente sea la raíz cuadrada de la segunda? 5. ¿Qué la segunda componente sea un número primo y la primera un par anterior no consecutivo? Problemas 1. El costo de un artículo disminuye de acuerdo con el número de artículos producidos. Si producir 100 artículos cuesta US$980 y por cada cien unidades que se produzcan el costo disminuye un 20%, calcule el costo de producir 500 unidades 2. El valor de un libro se duplica cada 5 años, el libro fue evaluado hace 20 años en $1200. La primera componente representa el número de años y la segunda el precio. Representación de una Función Una función se pueden representar de forma oracional, de tabla, como diagramas sagital, como graficas cartesianas y por formulas.
  14. 14. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 14 Cálculo diferencial 14 3. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas. 4. No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidades demandadas 5. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primera componente representa la cantidad y la segunda el costo. En forma de Tablas de valores en las que aparecen explícitamente los pares de valores [variable independiente – variable dependiente] que expresan la correspondencia que define determinada función. Como ejemplos nos pueden servir las tablas que recogen el salario mínimo mensual de los trabajadores de cierto país en los últimos 10 años, precio de cierto modelo de vehículo según su marca, valor de las acciones de ciertas empresas Ejercicios 1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999 Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Nº de familias 128 253 378 503 628 753 878 1003 1128 2. Variación de las ventas con respecto al precio de cierto artículo Costo 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650 Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 208 3. Los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para años seleccionados Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
  15. 15. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 15 Cálculo diferencial 15 Ingresos (millones) 63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15 4. Fracción de artefactos que funcionan después de t años de uso Años de uso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Fracción de artefactos que funcionan 0.88 0.78 0.69 0.61 0.54 0.48 0.43 0.38 0.33 5. Número de computadores que ensambla un trabajador respecto al número de días que lleva trabajando en una empresas de informática Días 1 5 10 15 20 25 30 45 60 Número de Computadores 1 3 4 4.5 4.8 5 5.14 5.4 5.5 En forma de Diagramas Sagital o de Venn Euler son diagramas se muestran los conjuntos de partida y de llegada con sus respectivos elementos y las correspondencias establecidas entre éstos, representadas por flechas de unión. Esta representación sólo es útil en el caso de que los conjuntos de partida y de llegada contengan pocos elementos. Ejercicios 1. 2. A B f 1 2 3 4 1 4 9 16 A B f 1 2 3 -2 1 4 9
  16. 16. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 16 Cálculo diferencial 16 f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3, 4} El Co-dominio de f {1, 4, 9, 16} El Recorrido de f{1, 4, 9, 16} Si en una función el co-dominio es igual al recorrido se dice sobreyectiva f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3, -2} El Co-dominio de f {1, 4, 9} El Recorrido de f{1, 4, 9} f es sobreyectiva 3. 4. f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 2, 3} El Co-dominio de f {1, 4, 9,16} El Recorrido de f{1, 4, 9} f no es sobreyectiva f no es una función porque hay un elemento A que no tiene imagen en B 5. 6. f no es una función porque hay un elemento A que no tiene dos imágenes en B f es una función ya que a cada elemento de A le corresponde uno y solamente uno de los elementos de B El dominio de f: {1, 4, 16} El Co-dominio de f {1} El Recorrido de f{1} A B f 1 4 9 16 1 2 3 A B f 1 2 3 1 4 9 16 f A B 1 4 16 1 2 -2 4 f A B 1 2 3 4 1
  17. 17. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 17 Cálculo diferencial 17 Si y=f(x)=k para cualquier valor de x entonces se dice que la función es constante En forma de Gráficas cartesianas: Son gráficas que se construyen a partir de dos ejes de referencia –llamados ejes de coordenadas–, uno horizontal (eje de abscisas) y otro vertical (eje de ordenadas). Habitualmente, en el primero se colocan los valores de la variable independiente como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de izquierda a derecha; y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente, también como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de abajo hacia arriba. Los valores de ambas variables deben ser, pues, numéricos. Una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su grafica lo hace exactamente en un solo punto. Si una recta toca más de un punto de la grafica, esta no representa a una función. Es función No es función Es función Es función No es función Es función x y x y x y x y x y x y
  18. 18. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 18 Cálculo diferencial 18 Inyectiva sobreyectiva Inyectiva Otra forma de representar una función es a través de Fórmulas que son expresiones algebraicas (pueden incluir números y símbolos literales) que expresan la relación existente entre las variables independientes y la variable dependiente. Según las fórmulas las funciones se clasifican en polínomicas o algebraicas y trascendentes, Las polínomicas son las que se pueden representar mediante expresiones algebraicas y pueden ser lineales, cuadráticas, cubicas, polinomiales, racionales, irracionales y por trozos (por sección o por partes). Las trascendentes, se llaman así para distinguirlas de las algebraicas, y son las logarítmicas, exponenciales y las trigonométricas Polínomicas Lineales x y x y x y x y f(x)=x^2, x>=0 Criterio de la recta horizontal Si toda recta horizontal que intercepte una gráfica de una función lo hace en un solo punto decimos que la función es inyectiva o uno a uno y si la corta en más de un punto se llama sobreyectiva Si una función, como la que se muestra en la gráfica, una parábola donde se considera únicamente la parte positiva del dominio, es inyectiva y sobreyectiva se dice biyectiva
  19. 19. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 19 Cálculo diferencial 19 Cuadráticas Polinomiales Racionales Irracionales Polínomicas Por trozos, (por sección o por partes ) ≥ Las trascendentes Logarítmicas log Exponenciales 00 Trigonométricas cos Esquemáticamente Función Inversa Dada la función y=f(x) su inversa f -1 (x) se obtiene expresando la función x= g(y).
  20. 20. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 20 Cálculo diferencial 20 f f:A B f-1 f -1 :B A Para hallar la inversa de una función se despeja la variable independiente de la función original, para la inversa esta pasa a ser la variable dependiente. No todas las funciones tienen inversa. Ejercicios Obtener la función inversa de cada función 1. y=4x + 1 Despejando Graficas 2. y=x2+1 Despejando Gráficas 3. Despejando Gráficas 4. Despejando Gráficas x y y=4x+1 x=(y-1)/4 x y y=x^2+1 x=(y-1)^(1/2) A B x y=f(x) B A y=f(x) x
  21. 21. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 21 Cálculo diferencial 21 5. 6. 7. 8. La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de la ordenada (y) y la impar es simétrica respecto al origen Ejercicios En cada una de las siguientes funciones determine cuales son pares impares o ninguna de las anteriores 1. f(x)=x2  Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x) Hagamos x=1 entonces f(-1)=f(1) como f(x)=x2 (-1)2=(1)2 1 = 1 Por lo tanto f(x)=x2 es par  Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x) Hagamos x=1 entonces f(-1)=-f(1) como f(x)=x2 (-1)2=-(1)2 1 = -1 Por lo tanto f(x)=x2 no es impar Gráfica 2.  Veamos si es par hallemos f(-x)=f(x) Gráfica x y y=(x+3)/(x-2) x=(3+2y)/(y-1) x y y=(x-1)^(1/2) x=y^2+1          x yy = x^2 Funciones Pares e Impares Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x). Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x).
  22. 22. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 22 Cálculo diferencial 22 Hagamos x=1 entonces f(-1)=f(1) como ( )= ( ) - 1 = 1 Por lo tanto no es par  Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x) Hagamos x=1 entonces f(-1)=-f(1) como ( )= - ( ) -1 = -1 Por lo tanto es impar 3. 4. f(x)=x3 5. f(x)=2x 6. f(x)=4x2-2x Ejercicios Verificar en las siguientes gráficas de funciones cuál es par y cual impar 1. 2. 3. 4.             x y             x y y = 3x-x^3           x y
  23. 23. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 23 Cálculo diferencial 23 Raíces e Interceptos            x y y = 4x^5+3x^3-2x             x y             x y y = x^3-4x Raices                 x y y = x^3-6x+3 Intercepto Los interceptos son los puntos para los cuales x=0, es decir los puntos donde la curva corta al eje de la ordenada (y) Las raíces o ceros son los puntos para los cuales f(x)=y=0, gráficamente son los puntos donde la grafica corta al eje de la abscisa (x). No todas las funciones tienen raíces, puesto que puede haber curvas que no corten al eje "x".
  24. 24. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 24 Cálculo diferencial 24 Ejercicios Halle las raíces y los interceptos de cada función (si existen) 1. f(x) = x2-2x-3 Para hallar las raíces hacemos f(x)=0 entonces x2-2x-3=0 Factorizando (x-3)(x+1)=0, entonces x1-3=0 por lo que x1 = 3 y x2+1=0 por lo que x2=-1 Por lo tanto la función tiene dos raíces que son x1 = 3 y x2=-1. Para los interceptos hacemos x=0, remplazando en la función obtenemos f(0)=-3 Por lo tanto la función tiene un intercepto en y=-3 Gráfica 2. f(x)=x(x3-1) Para hallar las raíces hacemos f(x)=0 entonces x(x3-1)=0 Tenemos x1=0, x3-1=0 despejando x3=1, x2=1 Por lo que las raíces son x1=0 y x2=1 Para los interceptos hacemos x=0, remplazando en la función obtenemos f(0)=-1 por lo tanto la función tiene un intercepto en y=-1 Gráfica 3. f(x)=2x - 4 4. f(x)=x3+x2-12x 5. 6. f(x)=Ln(x-1)                x y Raices Interceptos       x y Interceptos Raiz
  25. 25. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 25 Cálculo diferencial 25 (-∞ -1) (1, ∞(-1,1) Función Creciente y Decreciente Una función es creciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del intervalo, tal que x1 < x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es creciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) aumenta el valor de la ordenada (y). Una función es decreciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 del intervalo, tal que x1 > x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es decreciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) disminuye el valor de la ordenada (y).
  26. 26. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 26 Cálculo diferencial 26 Acotada Superiormente Acotada inferiormente Acotada No acotada       x y(x,y) = (0,1) Cota Superior    x yy = x(x^3) Cota Inferior          x yy = 2^(1-x^2) Cota Superior Cota Inferior       x yy = x(x^2-1) Función Acotada Una función f(x) es acotada superiormente si existe un número b tal que para todo x, f(x) b. Al número b se le llama cota superior. Una función f(x) es acotada inferiormente si existe un número b´ tal que para todo x, f x ≥ b. Al número b´ se le llama cota inferior. Una función se dice acotada si lo está acotada superiormente y inferiormente, si existen dos número b y b´ tal que para todo x, b´ f x b
  27. 27. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 27 Cálculo diferencial 27 Una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva. Concavidad y Convexidad Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN.       x y Concava         x y Convexa Una función es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.
  28. 28. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 28 Cálculo diferencial 28 Ejercicios Encuentre el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones: 1. Como la función se hace indeterminada si el denominador es igual a cero 0 Despejamos x Si remplazamos x en la función original obtendremos 0 Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ]=R-{ } 2. Como la función se hace indeterminada si el radicando es menor que cero 0 Despejamos x Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ]=R- ∞ DOMINIOS Y RANGOS Las funciones reales tienen como dominios y rangos los números reales. Si no se especifican el dominio y el rango de una función, se supone que el dominio consiste en todos los números reales (valores de x) que dan como resultado salidas reales (valores de y), haciendo que el rango sea subconjunto de los números reales. En las funciones de estudio, si el dominio no está especificado, incluirá todos los números reales excepto:  Valores que tienen como resultado un denominador igual a cero.  Valores que dan como resultado una raíz par de un número negativo.  Valores que dan como resultado el logaritmo de un número menor o igual a cero.
  29. 29. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 29 Cálculo diferencial 29 3. Como la función se hace indeterminada si el denominador es igual a cero y si el radicando es menor que cero 0 Despejamos x Quiere decir que el dominio de f(x) es: Dom [ ]=R-[ ∞ ] 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Ejercicios 1. Si f(x)= 3x + 1 entonces a. f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7 b. f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -8 2. Si g(x) = 2x2 – 4x + 2 entonces a. g(1) = 2(1)2 – 4(1) + 2 = 2(1) – 4 + 2 = 2 – 4 + 2 = 0 b. g(-2) =2(-2)2 – 4(-2) + 2 = 2 (4) + 8 +2 = 2(4) +10 = 8 +10=18 c. g(a) =2(a)2- 4a + 2 = 2a2 – 4a + 2 d. g(a + b)= 2(a + b)2- 4(a + b) + 2 3. Determine f(x + h) si Imagen de una Función Para indicar que y es una función de x, la función se expresa con f y escribimos y=f(x). Esto se lee “y es función de x” o “y es igual a f de x” Para valores específicos se x, f(x) representa los valores de la función (es decir la salida o valores de y).
  30. 30. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 30 Cálculo diferencial 30 a. f(x) = x entonces f(x + h) = x + h b. f(x) = x + 1 entonces f(x + h) = (x + h) + 1 c. f(x) = x2 – x + 2 entonces f(x + h)= (x + h)2 – (x + h) + 2 d. f(x) = entonces f(x + h) = Nótese que donde esta x se escribe x + h 4. Dado encuentre con h 0, simplificando a su más mínima expresión a. f(x)= 2x Remplazamos b. f(x) = x2 Aplicando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Simplificado Factorizando Simplificando Ejercicios 1. Si R(x) = 8x - 10 encuentre R(0), R(2), R(-3), R(1.6) 2. Si H(x) = 9x2 – 2x encuentre H(3), H(1/6) 3. Si f(x) = 100x –x3 encuentre f(-1), f(-3/2) 4. Si C(x) = x3 – 4/x encuentre C(-1/2), C(-2) Ejercicios
  31. 31. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 31 Cálculo diferencial 31 Dado encuentre con h 0, simplifique hasta su forma más simple 1. f(x) = x + 1 2. f(x) = 3x + 2 3. f(x) = 3x2 4. f(x) = 2x3 Sugerencia utilice (a + b)3 Problemas 1. El costo total de fabricar un producto se determina por medio de C(x)= 300x + 0.1x2+1200 dólares , donde x representa el número de unidades producidas. Determine el costo de producir 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra? Para determinar el costo de producir 10 unidades remplazamos x por 10 en la ecuación de costos total C(x) C(10) = 300 (10) + 0.1 (10)2 +1200 = 3000 + 10 + 1200 = 4 210 Producir 10 unidades tiene un costo de 4210 dólares. Para 100 unidades x=100 C(100) = 300 (100) + 0.1 (100)2 +1200 = 32 200 Producir 100 unidades cuesta 32 200 dólares Se encuentra que es más económico producir 100 unidades que 10. Porque el producir 10 unidades producir una unidad costaría 421 dólares y si se producen 100 unidades el valor de la unidad sería 322 dólares 2. Un estudio de eficiencia realizado por una compañía mostró que el número de Walkie-talkies ensamblados por un trabajador promedio a t horas de haber iniciado su jornada a las 8:00 a.m. esta dado por N(t) = -t3 + 6t2 + 15t 0 t ¿Cuántas piezas se espera que ensamble un obrero promedio entre las 8:00 y las 9:00? y ¿entre las 9:00 y 10:00? ¿Qué encuentra? 3. Suponga que la demanda de q unidades de un producto cuyo precio es p dólares por unidad se describe por medio de
  32. 32. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 32 Cálculo diferencial 32 00 a. Determine el precio si se demandan 4 y 8. b. Compare los resultados ¿qué encuentra? 4. Datos de la reserva federal de Estados Unidos muestran que el incremento anual de capacidad de producción entre 1994 y 2000 está dado por f(t) = 0.0094t3 – 0.4266t2 +2.7489t + 5.54 , donde f(t) es un porcentaje t y se mide en años, donde t = 0 corresponde a 1994. ¿Cuál es el incremento en la capacidad de producción en 1996, 2003 y 2004 ¿Qué encuentra? 5. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron 0 miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿Cuáles fueron las ganancias brutas obtenidas en los años 1997 y 2008? 6. La función demanda para la línea de laptops de una compañía electrónica es p=2400 – 6q, en donde p es el precio por unidad (en dólares) cuando los consumidores demandan q unidades (semanales) a. Obtenga p para q igual a 300, 400 y 500 b. ¿Qué significa cada expresión? c. Compare e intérprete los resultados 7. Suponga que el costo (en dólares) de eliminar p por ciento de la contaminación de las partículas de las chimeneas de una planta industrial se determina por medio de p p pC   100 7300 )( Encuentre los valores de eliminar el 45, 90, 99 y el 100 por ciento de la contaminación y haga un análisis de los resultados 8. El costo (en dólares) de eliminar el x% de la polución del agua en cierto riachuelo está dada por C(x)= ( 0 x 00) a. Hallar el costo de eliminar la mitad de la polución b. Evaluar el costo de eliminar el total de la polución 9. Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento de niveles de contaminación se determina mediante
  33. 33. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 33 Cálculo diferencial 33 000 0 Determine el costo de obtener agua con el 90, 100 y 0 por ciento de niveles de contaminación Ejercicio Dados f(x) y g(x) encuentre:  (f + g)(x),  (g - f)(x),  (g * g)(x),  (f  g)(x),  (f  g)(x) 1. f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1  f(x) + g(x) = (f + g)(x)= 2x + 3x + 1 = 5x + 1  f(x) - g(x) = (f - g)(x)= 2x – ( 3x + 1) =2x – 3x – 1 = -x – 1  f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (2x)*(3x + 1) = 6x2 + 2x  f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = , si la expresión no es factorizable y/o simplificable se deja indicada  (f  g)(x) = f[g(x)] = f(3x + 1) = 2(3x+1) = 6x + 2 Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por 3x + 1 2. f(x) = x2 y g(x) = x - 1 f(x) + g(x) = (f + g)(x)= x2 + x - 1  f(x) - g(x) = (f - g)(x)= x2 – ( x - 1) = x2 - x + 1  f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (x2) *(x – 1) = x3 – x2  f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = ,  (f  g)(x) = f[g(x)] = f(x - 1) = (x - 1)2 = x2 - 2x + 1 Algebra de Funciones Si f y g funciones se define: a. Función suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x) b. Función diferencia: f(x) - g(x) = (f - g)(x) c. Función producto: f(x) * g(x) = (f * g)(x) d. Función cociente: f(x)  g(x) = (f  g)(x) e. Función compuesta: f(x) o g(x) = (f o g)(x) = f [g(x)]
  34. 34. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 34 Cálculo diferencial 34 Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por x – 1 3. f(x) = x + 5 y g(x) = x – 2 4. f(x) = x2 - 2 y g(x) = 2x + 4 5. f(x) = x3 – 5 y g(x)=2x3 – 1 6. f(x) = x2 + 5 y g(x) = - 2 7. f(x) = y g(x) = x+1 8. f(x) = y g(x) = Problemas 1. Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compañía por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R(x) = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C(x) = 65x + 15000 a. Si la ganancia G es el ingreso menos el costo, encuentre la función ganancia de la producción y la venta de x unidades. Por definición G(x) = R(x) – C(x) remplazando G(x) = 215x – (65x + 15 000) = 215x – 65x – 15 000 La función ganancia sería b. Encuentre la ganancia si se producen y venden 1000, 100 y 10 unidades. ¿Qué encuentra? Si se venden 1000 unidades G(1000) = 150(1 000) – 15 000 = 135 000 Si se venden 100 unidades G(100) = 150(100) – 15 000 = 0 Si se venden 10 unidades G(10) = 150(10) – 15 000 = - 13 500 Producir y vender: 1000 unidades deja una ganancia de $135 000; 100 unidades no deja utilidad pero tampoco pérdida; 10 unidades deja una pérdida de $13 500 2. El ingreso total r que se recibe por la venta de q unidades, esta dado por la función g, donde r= g(q) =40q. El número total de unidades de producción por día q, es una función del número de empleados m, donde 0 Determine (g o f) ¿qué encuentra? 3. El gasto del consumidor (Gc) por artículo es el producto de su precio en el mercado p (en dólares) y el número de unidades demandadas. Suponga que para cierto artículo, las unidades demandadas están dadas por la función U(x)= 10 000 – 10p a. Encontrar una expresión que determine el gasto del consumidor Por dato G(x) = 150x - 15000
  35. 35. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 35 Cálculo diferencial 35 Gc = p * U(x) = p * (10 000 – 10p) La expresión del gasto del consumidor sería b. Determinar el gasto del consumidor por artículo cuando el precio de mercado es de 20 y 30 dólares. Para p= 20; Gc = 10 000(20) – 10(20)2 = 196 000 Para p = 30; Gc = 10 000(30) – 10(30)2 = 291 000 A un precio de 20 dólares el gasto de consumidor es de 196 000 dólares y a 30 dólares el gasto es de 291 000 dólares, por lo tanto a menor precio menor es el gasto del consumidor 4. Los costos totales por la producción de cierto artículo en el instante t son f(t) dólares. El número de productos fabricados en el instante t es g(t) ¿qué representa f(t)/g(t)? 5. El número de acciones que tiene una persona está dado por f(t). El precio de la acción en el instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la expresión f(t)*g(t) 6. Un empresario es posee y opera dos restaurantes. El ingreso del primer restaurante en el instante t es f(t) miles de pesos y el ingreso del segundo restaurante en el instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la función f(t) + g(t) 7. Los ingresos de una empresa están dados por f(x) dólares, donde x son los gastos de publicidad por parte de la empresa en dólares. La cantidad invertida en publicidad por la empresa en el instante t está dada por g(t) dólares ¿Qué representa la función f  g 8. El costo promedio por unidad de una compañía cuando se producen x unidades se define como: Suponga que el costo total de una compañía se obtiene 000 0 a. Encuentre una expresión que determine los costos promedios b. Determine los costos promedios para una producción de 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra Gc = 10 000p – 10p2
  36. 36. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 36 Cálculo diferencial 36 9. Suponga que la ganancia de la producción y la venta de x unidades producidas en un día de un producto se determina por medio de P(x) = 180x - 0.01x2 -200. Además el número de unidades producidas en el día t del mes es x = 1000 +10t. Encuentre a. La función compuesta (P o x)(t) b. El número de unidades producidas y la ganancia del día 15 del mes es 10.El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una función del precio ésta dado por I = 300p – 2p2 y la función demanda es p= 150 – 0.5q. Encuentre a. La función compuesta (I o p)(q). b. Determine el ingreso si se demandan 100 y 200 unidades c. Compare los resultados que encuentra
  37. 37. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 37 Cálculo diferencial 37 GRÁFICA DE FUNCIONES Es posible ilustrar geométricamente las relaciones y funciones al trazar sus gráficas en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (plano cartesiano) El plano Cartesiano es un área que permite representar gráficamente relaciones y funciones en dos dimensiones. Está formado por dos rectas perpendiculares denominadas ejes que se cortan en un punto llamado origen, los ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. La recta horizontal se denomina abscisa (generalmente eje x) y la vertical la ordenada (generalmente eje y), del punto de intersección hacia la derecha la abscisa es positiva y hacia la izquierda es negativa, del punto de intersección hacia arriba la ordenada es positiva y hacia abajo es negativa. Cada punto en el plano se forma con la intersección de una coordenada de la abscisa con una de la ordenada y se representa con una pareja ordenada (a,b), donde la primera componente representa la coordenada de la primera y la segunda la coordenada de la segunda. Ejercicio. Dibuje un plano cartesiano y ubique cada uno de los siguientes puntos: A(-3,5), B(-1,-4), C(5,-1), D(4,3),E(0,-2),F(4,0) Si f es una función con dominio A y co-dominio B, entonces a cada x A le corresponde precisamente un número real f(x) B. Esto se puede expresar también como parejas
  38. 38. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 38 Cálculo diferencial 38 ordenadas de número reales. Se escriba a x de A como primera componente y f(x) de B como segunda componente es decir (x, f(x)) o (x, y). La gráfica de una función resulta cuando se trazan los puntos que representan el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación de la función dada La gráfica de una función nos puede suministrar información de esta como por ejemplo: su tipo, para que intervalos es creciente, decreciente constante, los puntos máximos, mínimos, interceptan los ejes coordenados, indeterminados Ejercicio Grafique cada función en el intervalo entero indicado 1. 0 ] 2. ] 3. ] 4. ] 5. ] 6. ] 7. ] Si x < 1 8. 2x2 + 1 Si x ≥ Grafica de una Función con Tecnología Con Excel 2007 1. Entre a Excel 2. En la celda A1, Digite la variable independiente (x) 3. En las celdas B1 y C1 digite dos valores cualesquiera para el dominio. Entre más valores digite podrá obtener un mejor gráfico. 4. En A2 digite la variable dependiente (y) 5. Despeje la ecuación en función de y y digítela B2 como fórmula Excel, debe tener en cuenta que donde va x en la ecuación debe ir B1. 6. Cópiela para obtener el o los demás valores para el co-dominio. 7. Seleccione el rango 8. Del menú Insertar seleccione el tipo de gráfico Línea y escoja la opción línea. 9. Seleccione el gráfico, pulse el botón derecho del mouse y seleccione Seleccionar datos. 10. En la ventana Etiquetas del eje horizontal (Categorías), pulse el botón Editar, seleccione los datos de x, y pulse Aceptar.
  39. 39. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 39 Cálculo diferencial 39 11. En la ventana Entradas de leyenda (Series) escoja x y pulse el botón Quitar, pulse Aceptar. 12. Para ubicar el gráfico en otra hoja pulse el botón Mover gráfico (Ubicación) y escoja Hoja nueva. 13. Para modificar cualquier área (de gráfico, de línea de trazado o la de serie de datos) seleccione el área a dar formato, pulse el botón derecho del mouse y escoja la opción de formato. Con el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta 1. Entre al el Maletín del Estudiante de Microsoft Encarta 2. De la opciones de Área de Conocimiento seleccione Matemáticas 3. De Matemáticas seleccione Matemática Microsoft 4. De Matemática Microsoft escoja Calculadora Gráfica Científica 5. Seleccione la carpeta Gráfica 6. En la carpeta funciones verifique que las opciones 2D y Coordenadas Cartesianas estén activadas. 7. Haga un clic en la ventana para digitar la ecuación (la ecuación debe estar despejada en función de y o en función de x), en la ventana entrada de datos, digite la ecuación despejada, pulse Intro y para finalizar pulse gráfica 8. Para una mejor visualización de la gráfica en la carpeta de Controles de Gráfica seleccione el botón Mostrar u Ocultar Marca Exterior 9. Para imprimir la gráfica del menú Archivo seleccione la opción Imprimir y Aceptar. Con el Derive de la Calculadora Ti-92 Plus de la Texas Instruments 1. Pulse Ctrl + w (Y=) 2. Digite la ecuación despejada en función de y y pulse ENTER. 3. Pulse Ctrl + R ( GRAPH) Con en el Winplot El winplot es un software gratuito especializado en el grafico de funciones. Puede descargar en la dirección http://winplot.softonic.com/descargar  Una vez instalado el programa para utilizarlo debe ejecutar el icono correspondiente.  Para realizar un gráfico del menú Ventana seleccione 2-dim, abra el menú Ecua y seleccione la opción Explícita; en la ventana f(x) digite la ecuación y pulse Ok. Si necesita elevar la variable a una potencia utilice la tecla ^.
  40. 40. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 40 Cálculo diferencial 40  Para ver las cuadriculas abra el menú ver seleccione la opción cuadricula active cuadrangular pulse aplicar y cerrar. Si no se desean ver las coordenadas desactiva las opciones escala  Para grabar el archivo del menú Archivo seleccione la opción Guardar o Guardar como. Para abrir selecciona la opción Abrir  Con las teclas Av Pág aleja el gráfico y Re Pág acerca la imagen. Debe estar ubicado en el área de gráfico.  Para copiar un grafico del menú archivo selecciona la opción copiar lo lleva al documento destino y pulsa pegar. Recomendación si va a pegar en Word inserte el grafico en un cuadro de texto para un mejor manejo.  Para mostrar los valores extremos del menú Una seleccione la opción Extremos, para ir visualizando los demás extremos pulse Siguiente Extremo  Para escribir una etiqueta del menú Btns selecciona la opción texto en la gráfica pulsa el botón derecho del mouse, digita el texto o etiqueta y pulsa ok, para cambiarla de posición la arrastra con un clic sostenido.  Modificar Coordenadas menú ver opción ver, active la opción esquinas y Ajuste  Ocultar coordenadas en la ventana de ver cuadrícula desactivar las opciones escala  Para marcar una intersección entre dos curvas de la carpeta Dos seleccione Intersección seleccione las curvas a las cuales desea marcar las intersecciones y pulse marcar punto, si existe otras intersecciones pulse siguiente intersección y vuelva a pulsar marcar punto para finalizar pulse cerrar  Para dibujar la inversa de una función, inicialmente se dibuja la función, del menú Una selecciona reflejar activa las opciones x=y y mostrar recta, para finalizar pulsa reflejar  Para sombrear un área específica del menú Ecua seleccione la opción Sombreado activa la opción encima, debajo o entre, si va a sombrear entre dos funciones, digite el rango o intervalo a sombrear, seleccione el color y pulse sombrear
  41. 41. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 41 Cálculo diferencial 41 TALLER DE GRÁFICOS Responda cada pregunta respecto a la gráfica en cada situación particular 1. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y (dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso es y= 36 –0.15x. a. ¿Cuál es el valor de de la propiedad a los 60 meses de uso? b. ¿Cuál es el valor de de la propiedad los 10 años de uso? c. ¿Cuántos años pasan para que la propiedad se deprecie por completo? Explique 2. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por P(x)=60x – x2                       x y Valor(Millones de Pesos) Meses
  42. 42. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 42 Cálculo diferencial 42 a. ¿Cuál es la máxima productividad que se puede obtener? b. ¿Para qué intervalo la función creciente y para cuál es decreciente? ¿qué decisión tomaría al respecto? c. ¿Cuál es la máxima cantidad de unidades que puede producir? Justifique su respuesta 3. Suponga que el ingreso por la venta de cierto producto está dado por R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3 a. ¿Cuál es el ingreso si se venden 100 unidades? b. ¿Para qué intervalo la función creciente y para cuál es decreciente? De una explicación c. ¿Cuál es el máximo ingreso que se puede obtener? d. ¿Cuál es la máxima cantidad que se puede vender? Explique           x y y = 60x-x^2 Utilidad Unidades Producidas             x y (x,y) = (614,0) Cantidad Vendida Ingreso Cantidad Vendida
  43. 43. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 43 Cálculo diferencial 43 4. Un estudiante adquiere gran número de conocimientos durante el repaso para un examen. En un tiempo de t semanas después del examen el porcentaje de esos conocimientos que el estudiante es capaz de recordar está dado por P t 0 0e0 t e0 t a. A la semana ¿qué porcentaje de conocimiento recuerda? b. ¿En cuántos meses recuerda el 40% del conocimiento? c. Escriba 2 comentarios de la situación presentada 5. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por P = 10 + 50 ln(3x + 1) a. ¿cuál es el precio si se ofertan 10 unidades? b. ¿Cuántas unidades se deben ofertar a un precio de $260 dólares? c. Escriba 2 comentarios de la situación presentada                            x y Semanas Conocimientos Recoordados Semanas                           x y Unidades Precio
  44. 44. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 44 Cálculo diferencial 44 6. Las ventas y ( en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad x ( en miles de dólares) según y x 00x x 0 a. ¿cuál es el volumen de ventas si se invierten 10 mil dólares en publicidad? b. ¿Cuánto se debe invertir en publicidad para obtener 150 mil dólares en venta? c. Escriba 2 comentarios de la situación presentada FUNCIÓN LINEAL La gráfica de una función lineal es una línea recta Ecuación de la Recta Toda función de la forma y= mx +b, es una función lineal donde , b es la ordenada en el origen (coordenada donde la recta corta al eje y ) y , m se denomina la pendiente y es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje la abscisa (x). La pendiente muestra el número de unidades que varia y por cada unidad que varía x, es decir si m=10, indica que por cada unidad que varia x y varia 10 unidades                          x y Volumen de Ventas Gastos de Publicidad (Miles de Dólares) Una función lineal es aquella que cambia a una tasa constante con respecto a su variable independiente
  45. 45. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 45 Cálculo diferencial 45 En economía se considera la función costo como una función del tipo lineal, es decir, su representación gráfica será una línea recta y se representa matemáticamente como: Costo Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos Fijos Es decir: Los Costos Variables (son aquellos que dependerán directamente del nivel de producción: la mano de obra y la materia prima entre otros) representan la pendiente y los Costos Fijos (gastos por luz, agua, teléfono y alquiler de local) la ordenada en el origen. La pendiente de una recta que pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por: m = y2 – y1 x2 – x1 Se pueden presentar las siguientes situaciones:  m > 0: La recta esta inclinada hacia la derecha.  m < 0: La recta esta inclinada hacia la izquierda  m = 0: La recta es paralela al eje de la abscisa.  Si m es indeterminada la recta es paralela al eje de la ordenada. Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales y dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. La ecuación de la recta que tiene como pendiente m y pasa por el punto (x1,y1) es: y – y1 = m(x2 – x1) La ecuación de la general de la recta está dada por: ax + by + c = 0 Ejercicios 1. Encuentre la pendiente (m) el intercepto (b) y las grafique cada una de las siguientes funciones: a. y = 2x + 1 b. y = -2x – 1 c. 3x + 4y = 12 d. 2x – 3y = 12 2. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos: a. (2,1) y (3,-4) b. (3,2) y (-4,2)
  46. 46. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 46 Cálculo diferencial 46 c. (3,4) y (3,-1) 3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que: a. Tiene como pendiente -2 en intercepto 3 b. Pasa por el punto (2,0) y tiene pendiente -2 c. Pasa por el punto (-1,3) y tiene pendiente -2. d. Pasa por los puntos (3,2) y (-1,-6) 4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores: a. 3x + 2y = 6; 2x – 3y = 6 b. 5x – 2y = 8; 10x – 4y = 8 5. Escriba la ecuación de la recta que: a. Pasa por (-1,2) y es paralela a 3x + 2y = 1. b. Pasa por (1,3) y es perpendicular a 3x + y = -1. Problemas 1. La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades a. Halle la pendiente ¿qué significa? Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendrían la forma (precio, demanda), , es decir, x representa el precio y las unidades demandadas, por datos podemos considerar una primera pareja (5000, 4000) donde x1=5000 y y1=4000 y una segunda pareja (4000, 4500) donde x2=4000 y y2=4500 Como sabemos que la pendiente es: 00 000 000 000 00 000 Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuye la mitad. b. Halle la ecuación de la demanda Como se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuación , remplazando
  47. 47. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 47 Cálculo diferencial 47 000 000 000 00 00 000 00 c. Grafique la función Ubicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta que corte los dos ejes coordenados d. ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen y qué significa? Por ecuación y gráfica la ordenada en el origen (b) es de 6500, es decir a $0 se demandan 6500 unidades e. ¿Qué precio máximo estaría dispuesto a pagar? Por gráfica $13000, para precio superior a este las unidades demandas serían negativas Analíticamente tendríamos que hacer y=0 y remplazar en la ecuación, así: 0 00 , despejando 00 00 000 ó 000                               x y Precio Unidades Dem andadas
  48. 48. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 48 Cálculo diferencial 48 f. Para un precio de $ 4500, ¿cuál sería la demanda? Aquí x=4500 remplazando en la ecuación 00 00 0 00 0 , a $4500 se demandarían 4250 unidades g. Para una demanda de 5240 unidades, ¿cuál debe ser el precio unitario? Aquí y=5240 remplazando 0 00 , despejando 0 00 0 0 0 ó 0 , es decir, que para demandar 5240 el precio unitario tiene que ser de $2520 2. Un taxista tiene un cobro fijo de $ 1 500 y cobra, además, $ 800 por cada Km. recorrido. Suponiendo que la función es lineal, determine: a. La ecuación Costo Total = Costos Variables (N° de Productos) +Costos Fijos Relacionamos el Costo Total como y los kilómetros recorridos (N° de productos) como x, por datos  Costos Fijos (Cobro fijo)=1 500  Costos Variables (Cobro por Km recorrido)=800 Remplazando y = 800x + 1500 b. ¿Cuál será el valor de un servicio si se desplaza 5 kilómetros? x = 5 entonces, y = 800(5) + 1500 y=4000+1500 y=5500 Un servicio que realice un desplazamiento de 5 Km costará $5 500 c. ¿Con $7 900 que distancia se puede desplazar? y = 7 900 entonces, 7900 = 800x + 1500
  49. 49. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 49 Cálculo diferencial 49                     Costo(c) Número de Hornos (x) 7900 - 1500= 800x 6400= 800x 00 00 =x X=8 Con $7900 se puede desplazar 8 Km. 3. Un pequeño fabricante de electrodomésticos encuentra que le cuesta 9 000 dólares producir 1000 hornos para tostar y 12 000 dólares producir 1 500 hornos por semana. Suponiendo que la función es lineal determine: a. La expresión que representa el costo en función del número de hornos Las variables que participan en el problema son el costo, que representaremos con la letra c y el número de hornos, que representaremos con la letra x. Si el costo está en función del número de hornos, las parejas ordenadas son de la forma (x, c) Por dato tenemos dos parejas ordenadas (1 000, 9 000) y (1 500, 12 000). Hacemos x1=1000, c1= 9 000, x2=1 500 y c2=12 000, hallamos la pendiente: 000 000 00 000 000 00 Entonces Remplazando en la ecuación obtenemos: 000 000 000 000 Por lo tanto la expresión que representa la función es b. Grafique la función
  50. 50. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 50 Cálculo diferencial 50 c. ¿Cuál es la pendiente de la función? ¿qué significa? La pendiente es m=6 y significa que por cada horno que se incremente en la producción los costos se incrementan en 6 dólares. d. ¿Cuál es la ordenada en el origen? ¿qué significa? La ordenada en el origen es b=3000, significan los costos fijos ¿Cuánto cuesta producir 500 hornos? La función es , donde x=500, remplazando Por lo tanto producir 500 hornos costaría 6000 dólares e. ¿Cuántos hornos se pueden producir con 15 000 dólares? En la ecuación , c=15 000, remplazando Con 15 000 dólares se pueden producir 2000 hornos 4. El propietario de una pequeña empresa inicia el negocio con una deuda de $100 000. Después de 5 años de operación acumula una utilidad de $40 000. Suponiendo que la función es lineal determine a. La ecuación. b. La utilidad a los 4 años de haber iniciado. c. El tiempo que debe pasar para obtener una utilidad de $152 000. 5. El editor de una revista descubre que si fija un precio de us$1 a su revista, vende 20000 ejemplares al mes; sin embargo, si el precio es de us$1.5 sus ventas serán de 15000 ejemplares. Suponiendo que la ecuación de la demanda es lineal determine a. La ecuación b. ¿Cuántos ejemplares venderá si fija el precio en us$1.2? c. ¿Cuál debe ser el precio si desea vender 25000 ejemplares?
  51. 51. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 51 Cálculo diferencial 51 6. El costo de un artículo disminuye de acuerdo con el número de artículos producidos. La relación entre el costo del artículo y la producción genera una función lineal. En cierta empresa si se producen 350 artículos la producción de cada artículo cuesta $993 y si se producen 500 el costo es de $990. a. Halle la función costo b. ¿Cuánto cuesta producir 1000, 2700 y 125 artículos? c. ¿Qué encuentra? 7. Si 59°F equivalen a 15°C y 68°F equivalen a 20°C, encuentre la función lineal que relaciona las temperaturas. ¿cuántos °C equivalen 72°F y cuántos °F equivalen 38 °C? 8. Sea P(x) la producción para cierto articulo y x el dinero invertido. Si se invierten $10.000 dólares se producen 92 artículos; si se invierten $50.500 se producen 497. Suponiendo que la función línea, a. Determine la ecuación de la función suponiendo que la función línea b. ¿Cuántos artículos se producen si se invierten $ 8000 dólares? 9. Si la temperatura del suelo es de 20°C y a la altura de 1 Km es de 10 °C, exprese la temperatura en función de la altura suponiendo que la función es lineal. 10. Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $ 1 000 000 mensuales y costos varios por lámpara de $ 5 000. Si x representa el número de lámparas producidas en un mes, determine: a.La expresión que representa la función costo C(x) b.El costo de producir 100 y 200 lámparas. Compare los resultados ¿qué encuentra? c.El número de lámparas que se pueden producir con $1 500 000. 11. Un comerciante puede vender 20 máquinas eléctricas a un precio de 25 dólares cada una, pero a un precio de 20 dólares vende 30. Suponiendo que la función es lineal, determine a. La ecuación de la demanda b. Si decide incrementar el precio en 30 dólares ¿cuántas máquinas venderá? c. Si quisiera vender 40 unidades ¿cuál sería el precio? 12. Si se demanda una unidad a un precio de 13 dólares pero por cada dólar que disminuya el precio las unidades demandadas se incrementan en 1, determine a. La ecuación de la demanda b. ¿cuál sería el precio si se demandan 5 unidades? c. ¿cuántas unidades máximas se pueden demandar? 13. Se compra un carro nuevo por $10 000 dólares, suponiendo que se deprecia linealmente cada año a una tasa del 12% de su costo original, determine
  52. 52. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 52 Cálculo diferencial 52 a. La ecuación de la depreciación b. ¿El el valor del auto 5 años después de comprado? c. ¿En cuántos años el auto se ha depreciado por completo? 14.El gobierno determina que el costo de un pasaje en bus depende directamente de distancia recorrida. Un recorrido de 2 millas cuesta $8 000 mientras que uno de 6 $12000. Suponiendo que la función es lineal, determine a. La ecuación b. El precio de un viaje de 8 millas c. ¿Qué distancia se recorre con $25 000? 15.A un precio de $10 dólares por unidad una compañía proveerá 1 200 unidades de su producto y a $15 dólares, 4 200. Suponiendo que la ecuación es lineal, determine a. La ecuación de la oferta b. En $20 dólares ¿cuántas unidades proveerá? c. Si se desea proveer 5 000 unidades ¿a cómo debe vender? 16. Una máquina se adquiere por $12 000 000 y se pronostica un depreciación lineal total en 15 años hallar a. La ecuación b. El valor de la máquina en 7 años 17.No existe demanda para cierto artículo cuando el precio unitario es de 200 dólares o más pero por cada 10 dólares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. Determina la ecuación de la demanda, trace su gráfica, determine la demanda cuando el precio es de 150 dólares y a qué precio se demandarán 2000 unidades 18. Una impresora costo $100 000 y se deprecia en forma lineal durante 5 años, con un valor de $30 000. ¿cuál es la expresión de la función de costo de la impresora? ¿Cuál es el valor de la impresora en su segundo año? ¿cuánto tiempo debe pasar para que la impresora se deprecia por completo? 19. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de producción de una cortina es de $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. Halle el costo de producción de 10 y 100 cortinas, compare los resultados ¿qué encuentra? 20. Si no hay demanda para cierto artículo el precio unitario es 17 dólares y por cada unidad que se incrementa la demanda el precio disminuye 0.5 dólares. a. Escriba 5 parejas ordenadas que cumplan con la situación particular b. Suponiendo que la función es lineal Halle la ecuación de la función c. ¿cuál es el precio si se demandan 10 unidades?
  53. 53. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 53 Cálculo diferencial 53 d. ¿Cuál es la máxima cantidad de unidades que se puede demandar? e. Grafique la función f. Suponiendo que la ecuación oferta del mismo producto es p=5+0.3x, grafíquela en el mismo plano a la anterior g. El punto de intersección es el punto de equilibrio, identifíquelo y verifíquelo, ¿Qué significa? h. ¿qué significa la pendiente en la ecuación oferta? 21. El propietario de una construcción de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y (dado en millones de pesos) de la construcción después de x meses de uso es y= 36 –0. 15x. a. ¿Cuál será el valor de la construcción transcurridos 60 meses? b. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la construcción se deprecie por completo? 22. La relación entre las ganancias anuales promedio de hombres y mujeres con distintos niveles de escolaridad se puede modelar por medio de la función F = 0.518M + 2.775, donde M y F representan las ganancias anuales promedio (en miles de dólares) de hombres y mujeres respectivamente. a. Considerando F como una función de M, ¿cuál es la pendiente de esta función? Interprete la pendiente como tasa de cambio. b. Cuando las ganancias anuales promedio de los hombres alcanzan $30 000, ¿qué pronostica la ecuación para las ganancias anuales promedio de las mujeres? 23. El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en Internet entre 1998 y 2000 se puede modelar con P(x)=26.5x - 194.5 por ciento, donde x es el número de años que han pasado desde 1990. Explique porque el modelo no es válido hasta 1998. Encuentre P(7), P(8) y P(9) y piense en lo que significa. 24. Suponga que un fabricante de calculadoras tiene la función costo total C(x)=17x+ 3 400 y la función ingreso total R(x) = 34x. a. ¿Cuál es la función de ganancia para las calculadoras? b. Grafique la función ganancia c. ¿Cuál es la ganancia de 300 unidades? 25. En una población el consumo de agua A en metros cúbicos es una función lineal del número h de habitantes. Se sabe que 50 habitantes consumen 37950 m3 de agua al mes y 225 habitantes consumen 169725 m3 al mes a. Determine la función lineal b. ¿cuál será el consumo de agua de 400 personas en dos meses? c. Si la población cuenta con un máximo de 623 031 m3 al mes ¿cuántos habitantes como máximo puede tener la población para que no haya escasez de agua?
  54. 54. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 54 Cálculo diferencial 54 Modelación de Función Lineal 1. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999 Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Nº de familias 128 253 378 503 628 753 878 1003 1128 a. Escriba una ecuación lineal de la situación. b. Grafique la función c. ¿Determine el número de familias que se pronostica estarían vinculadas en el 2010? d. ¿Determine en qué año aproximadamente se pronostica se tendrían 2000 familias vinculadas al proyecto? 2. Debido al costo de la materia prima una fabrica se vio precisada en aumentar el precio de sus artículo, lo que repercutió en las ventas, la siguiente tabla muestra la variación de las ventas con respecto al precio Costo 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650 Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 208 a.Suponiendo que la demanda es lineal escriba una ecuación lineal de la situación. b.Pronostique cuántos artículos venderá a un precio de $3000. c.Pronostique a qué precio no venderá nada TALLER 1. Encuentre la pendiente (m), el intercepto (b) y las gráficas de las siguientes funciones: a. y =-3x + 2 b. y = 4x – 1
  55. 55. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 55 Cálculo diferencial 55 c. 10x + 5y =15 2. Encuentre la ecuación de la función que pasa por los puntos: a. (5,-9) y (6,8) b. (8,8) y (4,-4) 3. Escriba la ecuación y trace la gráfica de cada función que: a. Tiene como pendiente -3 e intercepto -1 b. Tiene como pendiente 4 y pasa por el punto (-3,2) c. Pasa por los puntos (-1,5) y (3,7) d. Pasa por el punto P(2, -3) y es paralela a la recta de ecuación y = -x + 7. 4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores: a. 6x – 4y = 12; 3x – 2y = 6 b. 16x + 4y = 4; y= x + 7 5. El costo diario promedio, C, para un cuarto en un hospital de una ciudad se elevo de $59.82 dólares por año en 1990 a $1128.50 en 1996. Suponiendo que la función es lineal a. Determine la ecuación del costo (c) respecto al número de años (t) desde 1990. b. Calcule el costo promedio, aproximado, para el 2010 4. El precio promedio p de los televisores de plasma se puede expresar como una función lineal del número de aparatos vendidos N (en miles). Además, conforme N aumentaba en mil, p caía US$10.40 y cuando se vendían 6485 aparatos (en miles), el precio promedio por aparato era de US$504.39. Escriba la ecuación de la recta determinada por esta información. FUNCIÓN CUADRÁTICA La ecuación general de una función cuadrática tiene la forma y = f(x) = ax2 + bx + c,
  56. 56. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 56 Cálculo diferencial 56 , donde a, b y c R y a 0. La gráfica de la función cuadrática tiene una forma distintiva llamada parábola. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y si a < 0, abre hacia abajo. La línea vertical que pasa por el vértice de una parábola recibe el nombre de eje de simetría porque una mitad de la gráfica es un reflejo de la otra mitad a través de esta otra línea. La ecuación del eje de simetría es a b x 2   El valor óptimo (ya sea máximo o mínimo) de la función se alcanza en         a b x 2 y es:        a b f 2 . El vértice, es el punto donde la parábola da la vuelta, es el punto mínimo si a > 0 y un punto máximo si a < 0. La función cuadrática tiene su vértice en x yy = -x^2+2x+1 a < 0 x=-b/2a f(-b/2a) V(-b/2a, f(-b/2a)) Máximo Relativo Eje de Simetría Valor óptimo x yy = x^2+2x-1 a > 0 x=-b/2a Eje de Simetría Valor óptimo f(-b/2a) V(-b/2a, f(-b/2a)) Mínimo Relativo
  57. 57. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 57 Cálculo diferencial 57 Los interceptos de x de la gráfica de una función y = f(x) son los valores de x para los cuales f(x) = 0 llamados los ceros de la función. Los ceros de la función cuadrática son las soluciones de la ecuación cuadrática que se obtienen a acbb x 2 42   Para la gráfica de la función, se puede presentar dos situaciones 1. Si la función tiene dos interceptos, se unen estos con el vértice 2. Para aquellos casos en que la función tenga un o ningún intercepto es necesario tabular la información y se recomienda tomar mínimo tres valores a la izquierda y tres valores a la derecha del eje de simetría. Ejercicio Encuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo o mínimo), el vértice, los interceptos y dibuje cada función. y=x2 + 4x + 4 y=x2 - 6x + 4 y=x2 – 4 y = 2x2 +18x y=x - x2 y = -2x2 + 16 y = -x2 + 5x - 4 y= x2 − 8x + 15 y= x2 − 3x − 28 Ejercicio Determine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (1,8), (3,20) y (-2,5) La ecuación general de las funciones cuadráticas es de la forma y = ax2+ bx + c (Ec1) Como se conocen 3 coordenadas debemos hallar los coeficientes a, b y c. Remplazando cada coordenada en la ecuación obtenemos un sistema de ecuaciones lineales de de 3x3, que resolviendo hallaremos los valores de los coeficientes así: Para (1,8); x = 1; y = 8, remplazando (Ec1) 8 = a(1)2 + b(1) + c 8 = a + b + c (Ec2) Para (3,20); x = 3; y = 20, remplazando (Ec1) 20 = a(3)2 + b(3) + c               a b f a b V 2 , 2
  58. 58. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 58 Cálculo diferencial 58 20 = 9a + 3b + c (Ec3) Para (-2,5); x = -2; y = 5, remplazando (Ec1) 5 = a(-2)2 + b(-2) + c 5 = 4a - 2b + c (Ec4) Multiplicamos la (Ec2) por -1; -8 = -a – b – c (Ec5) Sumamos la (Ec3) y la (Ec5); 20 = 9a + 3b + c -8 = - a – b – c 12 = 8a + 2b Factorizando: 6 = 4a + b (Ec6) Sumamos la (Ec4) y la (Ec5); 5 = 4a - 2b + c -8 = - a – b – c -3 = 3a - 3b Factorizando: -1 = a – b (Ec7) Sumando la (Ec6) y (Ec7): 6 = 4a + b -1 = a – b 5 = 5a despejando Remplazando en la (Ec6): 6 = 4(1) + b despejando y resolviendo Remplazando en (Ec2): 8 = 1 + 2 + c despejando y resolviendo Remplazando en (Ec1) la ecuación sería: Ejercicios Determine las ecuaciones cuadráticas que pasan por los puntos indicados: (1,0) (-2,6) y (2,6) (1,-1) (-3,33) (2,-8) (0,-4) (3,5) y (-2,0) Problemas Resuelva cada uno de los siguientes problemas: 5. Una tienda venderá y unidades de un producto en particular cuando se gastan x dólares en publicidad del producto, y y = 50x – x2 a = 1 b = 2 c = 5 y = x2 + 2x + 5
  59. 59. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 59 Cálculo diferencial 59 a. Calcule el valor óptimo ¿Qué significa? Inicialmente debemos hallar el eje de simetría x - b a Comparando con y= ax2 + bc + c; a=-1, b=50 y c=0 Remplazando: x b a 0 0 Remplazando en la función original: y = 50(25) – (25)2=1250 – 625= 625 Como a<0, ocurre un máximo, es decir que la venta máxima será de 625 unidades y se obtiene cuando se invierten 25 dólares en publicidad b. Halle los interceptos ¿qué significa? Remplazamos a, b y c en la ecuación general x b b ac a 0 0 0 0 0 0 0 , encontramos 2 raíces x 0 0 0 y x 0 0 00 0 Los interceptos ocurren en x=0 y x=50, por lo tanto la venta se obtiene cuando se invierte entre 0 y 50 dólares en publicidad c. Grafique la función               x y (25,625) Publicidad Unidades
  60. 60. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 60 Cálculo diferencial 60 6. La función demanda ara cierto producto está dada por 00 , donde es el precio (en miles de pesos) por unidad cuando se demandan unidades. Si el ingreso total es el producto del precio por la demanda, determine: 2. El número de unidades que maximiza el ingreso. 3. El ingreso máximo. 4. La máxima cantidad de unidades que se pueden demandar ¿por qué? 5. Grafique la función 7. La función costo de un fabricante es C (x)= 1000 + 5x – 0.1 x² dólares, cuando se producen x unidades de cierto producto al día. a.Halle el valor óptimo ¿qué significa? b.Grafique la función 8. Los ingresos mensuales de cierta fabrica de llantas se pueden calcular mediante la expresión F(x)=2x2 - 100x – 20 , donde x es el número de unidades vendidas en el mes y f(x) está dado en miles de pesos. a. Determine el ingreso mensual si se venden 50 unidades. ¿Qué encuentra? b. Determine el ingreso mensual si se venden 60 unidades. ¿Qué encuentra? c. ¿Cuántas llantas se debe vender para que los ingresos sean de 180 miles de pesos? d. Grafique la función e. Interprete la gráfica 9. Los ingresos totales obtenidos por la venta de x número de copias de una máquina fotocopiadora son de R(x) = -0.04x2 + 2000x , pesos por semana a. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa? b. ¿Cuántas copias debe vender para obtener ingresos de 20000 pesos por semana? c. Determine los interceptos ¿qué significan? d. Grafique la función 10. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por P(x)=60x – x2
  61. 61. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 61 Cálculo diferencial 61 a. Determine el valor óptimo de la función ¿Qué significa? b. Grafique la función c. ¿Cuántas unidades debe producir y vender para obtener una utilidad de 40 millones de pesos 11. La función de oferta para lámparas de escritorios Luminar está dada por P= 0.125x2- 0.5x + 15 , donde x es la cantidad ofrecida en miles y P es el precio unitario en dólares. Trace la gráfica de la función, determine el valor óptimo, es máximo o mínimo, ¿qué significa? 12. La ganancia mensual estimada por la empresa Cannon al producir y vender x unidades de cámaras modelo M1 es P(x)= -0.04x2 + 240x – 10 000 , dólares. Encuentre el valor óptimo de la situación, determine si es máximo o mínimo y que significa. 13. La función ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto está dada por g(x) = 180x + 0.01x2-200. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿cuál es la máxima ganancia posible? Grafique la función. 14. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es 0 00 ¿Qué cantidad de unidades maximiza el costo de producción? ¿cuál es el máximo costo de producción posible? Grafique la función. 15. Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente 00 unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. ¿A qué hora se maximiza la producción? ¿cuál es la máxima producción posible? Grafique la función. 16. Se determine la ganancia diaria de la venta de un producto por medio de 1001.016 2  xxP dólares. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿cuál es la máxima ganancia posible? 17. La ganancia diaria de la venta de x unidades de un producto es 2004.080 2  xxP ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿Cuál es la máxima ganancia posible?
  62. 62. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 62 Cálculo diferencial 62 18. Si la ganancia de la venta de x unidades de un producto es P=90x-200-x2 determine: a. El número de unidades que maximizará la ganancia (Eje de simetría) b. El valor óptimo (¿máximo o mínimo?) c. Grafique la función 19. En una empresa la utilidad en función de la publicidad está dada por U(x)=130+80x-x2 millones de pesos. Determine a. El valor óptimo e indique si es máximo o mínimo. b. Los interceptos ¿qué significan? c. Grafique la función 20. La rentabilidad de un plan de ahorro en función de la inversión x, en millones de pesos viene dada por 0 00 0 a. El valor óptimo e indique si es máximo o mínimo. b. Los interceptos ¿qué significan? c. Grafique la función Modelación de Función Cuadrática 1. Sabemos que la función tiene un máximo en el punto (3,8), halle los valores de “a” y “b” 2. Se estima que la cantidad de desperdicios echados a un río es una función cuadrática del tiempo. Si se tiraron 11.5 ton en un periodo de 5 días, y 20.8 ton después de 8 días, hallar la cantidad tirada en t días. 3. La siguiente tabla da los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para años seleccionados a. Encuentre la ecuación b. Use la función para encontrar el año en que el ingreso fue mínimo y encuentre el ingreso mínimo. c. Compruebe los datos contra los datos de la tabla d. Trace la gráfica Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Ingresos (millones) 63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15
  63. 63. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 63 Cálculo diferencial 63 4. Los datos de la tabla dan los ingresos de las ventas así como los costos de un empresa para varios años a. Encuentre las ecuaciones:  De ingreso por venta con respecto al número de años  De costos y gastos con respecto al número de años b. Use la función para:  Determinar el año en que ocurre el ingreso máximo y la ganancia máxima que se pronostica c. Trace la gráfica de la función Costos y Gastos d. A lo largo de los años 2000 al 2010 ¿La función proyecta ganancias crecientes o decrecientes? Funciones con Tecnología Utilice la hoja de cálculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de las siguientes funciones: f(x)=x2+2x+1 f(x) = 2x2+1 f(x) = 3x2+ 2x Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Ingreso x venta 2.6 2.7 2.9 3.3 3.9 4.5 4.8 5.1 4.9 4.7 Costos y gastos 2.41 2.44 2.63 2.94 3.53 3.81 4.25 4.87 4.9 4.9
  64. 64. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 64 Cálculo diferencial 64 TALLER 1. Encuentre el eje de simetría, el valor óptimo (determine si hay un valor máximo o mínimo), el vértice, los interceptos y grafique cada función. a. y = 2x2 + 3x – 1 b. y = 3 – x - 3x2 2. Determine la ecuación cuadrática que pasa por los puntos (-1,1), (0,-1), (1,3) 5. La función oferta para un producto está dada por la ecuación 00, donde f(p) es la cantidad ofertada y p es el precio en dólares, determine. a. El eje de simetría b. El valor óptimo ¿qué significa? c. Los interceptos ¿qué significa? d. Grafique la función. e. ¿Qué cantidad debe ser ofertada a un precio de $100? 6. Supóngase que una empresa ha descubierto que la cantidad demandada de uno de sus productos depende del precio. La función que describe esta relación es 00 0 , donde q es la cantidad demandad en miles de unidades y p indica el precio en dólares. El ingreso total R logrado con la venta de q unidades se formula como el producto p por q. a. Escriba la expresión que representa el ingreso b. El eje de simetría c. El valor óptimo ¿qué significa? d. Los interceptos ¿qué significa? e. Grafique la función. f. Determine el ingreso total correspondiente al precio de $10.
  65. 65. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 65 Cálculo diferencial 65 FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO SUPERIOR A DOS Los números an, an-1, ..., a1, a0 se llaman los coeficientes de la función. En la Economía... Un investigador suele expresar: el consumo en función del ingreso, también la oferta en función del precio, o el costo total de una empresa en función de los cambios de producción, entre otros muchos ejemplos donde se analiza cómo se comporta una variable en respuesta a los cambios que se producen en otras variables. Problemas 1. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio ( en dólares por unidad) está dado por 0 00 , donde q 0 a. Halle la función costo total b. Calcule el costo total de producir 4, 5, 7 y 9 unidades c. Interprete los resultados 2. Un empresa fabrica mesas para computador y determina que el costo total (en miles de pesos), cuando se producen que cientos de unidades está dada por C(q)= 2q³- 9q² +12 q + 20 La función P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 donde an es diferente de cero, se conoce como una función polinómica de n-ésimo grado.
  66. 66. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 66 Cálculo diferencial 66 a. Calcule el costo de producir 100 (q=1), 300 (q=3) y 500 (q=5) unidades ¿qué encuentra? b. Grafique la función en el intervalo [0,5] 3. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de 0 Donde P es el número de unidades producidas por hora. Calcule la productividad después de 1, 3, 5, 7 y 9 horas trabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafique la función 4. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el número de unidades por hora y producidas después de t horas de producción es 0 0 Calcule el promedio de unidades producidas por hora después de 2, 4, 6, 8 y 10 horas trabajo. Compare los resultados qué encuentra. Grafique la función 5. El costo en millones de pesos de la elaboración de x cajas de CD en cierta productora de discos, esta dado por C(x)=1 500 + 3x + x3, Calcule C(100), ¿qué significa? 6. Se estima que un trabajador de un taller que produce marcos puede pintar y marcos en x horas después de comenzar a trabajar a las 8:00 a.m., se puede modelar con la expresión y = 3x + 8x2 - x3 a. Calcule la cantidad de marcos que puede pintar a las 9:00 a.m., a la 1 p.m. b. Compare los resultados que encuentra 7. Suponga que dado el ingreso (en miles de pesos) por la venta de cierto producto está dado por R(x) = 70x + 0.5x2 – 0.001x3 , donde x son las unidades vendidas. a. Calcule el ingreso por la venta de 614 y 615 unidades b. Compare los resultados ¿qué encuentra? 8. La función costo de un artículo es C(x)=84000 + 0.16x – 0.6x2 + 0.003x3 a. Calcule C(100) ¿Qué significa? b. Calcule C(200) ¿Qué significa? c. Compare los resultados ¿qué encuentra?
  67. 67. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 67 Cálculo diferencial 67 9. El costo, en dólares, para producir x pares de jeans es C(x)=920 + 2x – 0.02x2+0.00007x3 a. Calcule el costo de producir 1000 jeans. c. Calcule el costo de producir 2000 jeans. d. Compare los resultados ¿qué encuentra? 10.La función de costo para la producción de x unidades de cierto producto para una empresa, está dada por C(x)= 300x-10x2- a. Calcule el valor de producir 100 unidades b. Calcule el costo de producir 200 unidades c. Compare los resultados ¿qué encuentra? FUNCIÓN EXPONENCIAL Consideremos la gráfica de la función y=2x, que modela el crecimiento de diversas aplicaciones Una función especial que se presenta con frecuencia en economía es donde ℮ es un número irracional fijo aproximadamente … . Si es un número real talque 0 y , entonces la función f(x) es una función exponencial
  68. 68. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 68 Cálculo diferencial 68 Las funciones exponenciales de base e con frecuencia aparecen de manera natural, el crecimiento del dinero que se capitaliza continuamente se obtiene mediante la fórmula , donde P es el capital original, r la tasa de interés y t el tiempo en años. El número e aparecerá como la base de la mayor parte de las funciones exponenciales que puedan encontrarse. Las funciones de la forma f(x)=a-x y f(x) = e-kx representan funciones de decaimiento exponencial. Ejercicios Emplear la calculadora para hallar las potencias indicadas de e (aproximar la respuesta en 3 decimales) 100.5 8-2.6 31/3 5-2/3 2 x 5-2/3 e2 e-2 e0.05 e-0.5 1 – e-0.5 + 1.2 Problemas 1. Interés compuesto capitalizado Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza k veces por año, el saldo B(t) después de t años será Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente y diariamente (365 días) ¿Qué encuentra? 2. Interés capitalizado continuamente Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r (expresada en decimal) y el interés se capitaliza continuamente, el saldo B(t) después de t años será Supóngase que se invierten us$5 000 a una tasa de interés anual del 10%. Calcular el saldo después de 10 años si el interés se capitaliza continuamente 3. Supóngase que se invierten 5 millones de pesos a una tasa de interés anual del 7%. Calcular el saldo (en millones) después de 10 años si el interés se capitaliza: Anualmente, Semestralmente, diariamente y continuamente (365 días) ¿Qué encuentra?
  69. 69. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 69 Cálculo diferencial 69 4. Si se prestan P dólares durante N meses, con capitalización mensual a una tasa de interés anual r (expresada en decimal), el préstamo puede pagarse con cuota mensual de , donde i es el pago del interés por periodo. Determinar la cuota mensual para comprar un automóvil nuevo que cuesta 35 millones de pesos, si la cuota inicial es de 10 millones y el resto se financia a un periodo de 5 años a una tasa anual de 6% capitalizada mensualmente (nótese que i= ) 5. Para comprar una casa se hace un préstamo de 150 millones de pesos al 9% de interés anual, capitalizado mensualmente durante 30 años ¿cuánto debe pagarse mensualmente para amortizar la deuda? 6. Si se invierten $10.000 con una tasa de interés del 6% compuesto mensualmente, entonces el valor futuro de la inversión después de x años esta dado por 0000 00 . Encuentre el valor futuro de la inversión después de 5 años y de 30 años. 7. El porcentaje de personas que repondieron a un comercial televisivo para un nuevo producto después de t días después del lanzamiento, se encuentra con la expresión 0 00 a. Calcular el porcentaje de personas que respondieron al comercial 15 días después del lanzamiento del comercial. b. ¿Cuántos días deben pasar para que responda el 50% de las personas 8. Un estudio estadistico acerca del funcionamiento de un artefacto, muestra que la fracción de estos que funcionan después de t años de uso es aproximadamente a. ¿Qué porcentaje de artefactos se espera funcionen después de 4 año? b. ¿Cuántos años pasaran aproximadamente para funcionen la mitad de los artefactos? 9. Una compañía ha visto que la demanda mensual de su nueva línea de computadoras domesticas t meses después de introducirlas en el mercado está dada por D(t)= 2 000 – 1 500e-0.05t (t > 0) Grafique la función y responda a. ¿cuál es la demanada después de un mes y un año? b. ¿cuánto tiempo debe pasar para que se demanden 1 000 unidades.
  70. 70. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 70 Cálculo diferencial 70 10. El poder adquisitivo P de un ingreso fijo de $30 000 anuales (como pensión) después de t años, con una inflación de 4% puede modelarse por medio de la fórmula 0 000 Encuentre el poder adquisitivo después de 5 años y 20 años 11. El número de fondos mutuos N, excluyendo los fondos del mercado monetario, para los años seleccionados de 1978 a 2000, se pueden modelar por medio de Donde t es el número de años que han pasado desde 1975. a. Use el modelo para calcular el número de fondos mutuos en 1990 b. Use el modelo para calcular el año en que el número de fondos mutuos llegará a 20 000. 12. Una organización de investigación de mercado afirma que si una compañía gasta x millones de pesos en publicidad por televisión, la utilidad obtenida puede estimarse mediante la función 0 , donde P se expresa en millones de pesos. a. ¿Cuál será la utilidad cuándo se gasta 2 millones (x=2), 4 millones (x=4) y 6 millones (x=6)? b. Compare los resultados ¿qué encuentra? FUNCIÓN LOGARÍTMICA Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número. log Donde a Є R, a 0 y a a se denomina base del sistema de logaritmos. que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " . Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.
  71. 71. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 71 Cálculo diferencial 71 Un logaritmo no es otra cosa que un exponente. Propiedades log 0 log log log log log log log log log log log log ln Ejercicios Escriba cada ecuación en forma exponencial 4 = log2 16 4 = log3 81 log log Ejercicio Despeje x escribiendo las ecuaciones en forma exponencial log log log log Ejercicio Escriba cada expresión en forma logarítmica 25 = 32 53 = 125 4-1 = 91/2 = 3 Tipos de Logaritmos Logaritmos Comunes: También llamados decimales o vulgares son los que tienen por base el número 10. Se escriben log10 x = log x Logaritmos Naturales: También llamados Neperianos o hiperbólicos tienen por base el número e. Se escriben loge x = ln x
  72. 72. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 72 Cálculo diferencial 72 Ejercicio Escriba cada expresión como la suma o diferencia de dos funciones logarítmicas que no contienen exponentes log Ln (x + y)(4x + 5) log Ejercicio Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones: 2x – 1= 5 log log 5(3x+2) – 1 = 14 ln ln log log log 0 0 0 0 0 Ejercicio Use la calculadora para determinar ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln Problemas 1. La ecuación de la demanda de cierta mercancía es X=5000 – 1000 ln(p + 40) , donde se demandan x unidades cuando el precio unitario es de p dólares. Calcular la cantidad de unidades demandadas cuando el precio unitario es 5 y 10 dólares Si p=5, x = 5000 - 1000 ln( 5 + 40)=5000 - 1000 ln(45)= 5000 - 1000(3.8) x= 5000-3806.66=1193.33 Es decir a un precio de 5 dólares se demandarían aproximadamente 1193 unidades Si p=10 x = 5000 - 1000 ln( 10 + 40)=5000 - 1000 ln(50)= 5000 - 1000(3.91) x= 5000-3912.02=1087.97 Es decir a un precio de 10 dólares se demandarían aproximadamente 1088 unidades.
  73. 73. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 73 Cálculo diferencial 73 Por lo tanto al incrementarse el precio de 5 a 10 dólares las unidades demandadas disminuyen de 1193 a 1088. 2. Una compañía está contratando personas para trabajar en su planta. Para el trabajo que las personas deben efectuar los expertos en eficiencia estiman que el costo promedio C de realizar la tarea es una función del número de personas contratadas x es 0 00 0 ln a. Determine el costo promedio de realizar la tarea con 3, 6 y 9 personas. b. Compare los resultados ¿qué encuentra? 3. Una compañía encuentra que la cantidad de dólares y que deben gastar semanalmente en publicidad para vender x unidades de un producto está dada por 00 ln 00 00 a. Calcule el gasto publicitario que se necesita para vender 100, 200 y 300 unidades, compare los resultados que encuentra. b. Calcule el número de unidades que se deben vender para gastar 100 dólares semanales en publicidad. 4. Digamos que la función demanda para un producto está dada por 00 ln a. ¿Cuál será el precio si se demandan 19 unidades? b. ¿Cuántas unidades serán demandadas si el precio es de 29. 4? 5. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1) , donde x es el número de unidades producidas a.¿Cuál será el costo de producir 200 unidades? b.¿Cuántas unidades se producirán con 3000 dólares? 6. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado por R(x) = Encuentre el ingreso cuando se venden 100 y 200 unidades e interprete el resultado
  74. 74. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 74 Cálculo diferencial 74 7. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por P = 10 + 50 ln(3x + 1). a. Encuentre el precio de oferta cuando el número de unidades es 33. b. ¿Cuántas unidades se ofrecen a un precio de 300 dólares 8. La función demanda de un producto está dada por p = donde p es el precio unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre el precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra? 9. Con la finalidad de determinar la retención de los conceptos aprendidos se practicó un examen a un grupo de estudiantes y, a partir de esa fecha se les examino cada mes utilizando una prueba equivalente. Los resultados mostraron que el promedio de puntuación D satisface la formula D= 80 – 12Ln(x+1), donde x es el tiempo en meses. Calcule la puntuación inicial, a los seis meses y al año. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el promedio de puntuación sea de 50 puntos? 10. La ecuación de demanda para cierto producto está dada por , donde es el precio por unidad en miles de pesos y las unidades demandadas. Calcular a. El precio si se demandan 500 unidades R/9.09 miles de pesos b. ¿Cuántas unidades se demandan si el precio es de 5 mil pesos. R/Aproximadamente 1099 unidades 11. La temperatura de una taza de café t minutos después de servirla se puede modelar por T=70+100e-0.0446t, donde T se mide en grados °F. ¿Cuál será la temperatura al momento de servirlo? ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el café pueda ser tomado T=120 °F? 12. Una fábrica de bombillo ha encontrado que la fracción de bombillos que se funden en t horas esta dado por f(t)=1- e-0.003t. ¿Qué fracción de bombillos las primeras 48 horas? ¿En cuántas horas se fundirían el 50% de los bombillos? 13. La eficiencia de un obrero común de un fábrica está determinada mediante la función f(t)=100 – 60e-0.2t, donde el obrero puede completar f(t) unidades por día después de haber trabajado t meses. Determinar la eficiencia de un trabajador nuevo. ¿en cuánto tiempo un trabajador alcanza una eficiencia de 90 unidades día? 14. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de 0000
  75. 75. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 75 Cálculo diferencial 75 , donde S es la venta semanal (en dólares) y x es el número de semanas que han transcurrido desde que terminó la campaña publicitaria. Determinar a. Las ventas dos meses después de culminar la campaña publicitaria. b. El número de semanas que deben pasar después de culminar la campaña publicitaría para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000. 15. Las Naciones Unidas han pronosticado la población mundial de 1995 a 2150. Usando estas proyecciones se puede modelar la población mundial (en millones) con la ecuación Donde x es el número años transcurridos desde 1990. a. Suponga que en 1990 la población mundial fue de 4 155 millones de habitantes. Use este modelo para encontrar cuántos años pasaran antes de que se duplique la población de 1990. b. Según el modelo ¿cuál será la población en el 2008? 16. El valor V de un objeto a los t años de su adquisición se puede modelar con la expresión 000 0 t 0 Determine el valor del objeto 5 años después de adquirido. Cuánto tiempo debe pasar para que un objeto disminuya su valor en $10000 17. Se estima que el porcentaje de que falle una cierta marca de circuitos de computadora después de t años de uso sea P(t)=100(1 – e-0.1t) Grafique la función y responda lo siguiente a. Aproximadamente que porcentaje de circuitos que fallaran en 3 años b. ¿cuánto tiempo debe pasar para que fallen el 60% de los circuitos. Modelación de las Funciones Exponenciales 1. Apenas finaliza la publicidad inicial de la publicación de un libro de cálculo, las ventas de la edición en pasta dura y a dos tintas tienden a decrecer exponencialmente. En el momento en que termino la publicidad de cierto libro se vendían 30000 ejemplares al mes. Un mes más tarde, las ventas del libro habían bajado a 14000 ejemplares por mes. Determine a. La expresión que representa la función
  76. 76. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 76 Cálculo diferencial 76                  x y NumerodeEjemplares(x) Tiempo (meses) La función es de la forma , donde x es el número de ejemplares, t el tiempo en meses y k la constante de proporcionalidad. Inicialmente hallamos la constate de proporcionalidad k, por datos x0=30000, x=14000 y t=1 remplazando 000 0000 000 0000 0 ln 0 ln 0 ln Por lo tanto Es decir que la función es de la forma Grafique la función b. ¿Cuántos ejemplares se venderán al año? t=12, remplazando En un año venderá aproximadamente 3 ejemplares c. ¿En cuánto tiempo la venta llegaría a 300 ejemplares? x=300, remplazando 00 0000 00 0000 0 0 0 0 0 0 Por lo tanto en aproximadamente 6 meses se estarían vendiendo 300 ejemplares.

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