Notas de clase Algebra Lineal

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Notas de clase Algebra Lineal

  1. 1. Mis Notas de Clase “Una experiencia de aula” José Francisco Barros Troncoso Algebra Lineal Con aplicación a la economía y a la administración 2015
  2. 2. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2 Algebra Lineal Con especial cariño a mi madre Delva por su crianza, por la semilla que sembraste en mí, a Lilia mi esposa, por su apoyo, estimulo, comprensión y sacrificio, a mis hijos porque son la fuente de inspiración, todas aquellas personas que han creído en mi trabajo y que me han dado la oportunidad de seguir creciendo cada día y en especial a mis estudiantes a quienes va dirigido este trabajo y que son mis verdaderos pares académicos. Gracias José Francisco Barros Troncoso Mayo 18 de 2014
  3. 3. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 3 Algebra Lineal TABLA DE CONTENIDO ALGEBRA LINEAL .....................................................................................................................4 ARREGLO ...................................................................................................................................5 MATRICES..................................................................................................................................5 Suma y Diferencia de Matrices.................................................................................................9 Multiplicación de Matrices .....................................................................................................20 Multiplicación entre Matrices ................................................................................................27 REDUCCIÓN DE GAUSS-JORDAN ...........................................................................................44 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ .......................................................................................59 Determinante de una Matriz de orden 2...............................................................................59 Determinante de una Matriz de Orden 3 ..............................................................................60 Regla de Sarrus........................................................................................................................60 Solución de Sistema Lineales de Ecuaciones por Determinante.........................................61 Solución Matricial de un Sistemas de Ecuación lineal de 2x2 (Regla de Cramer).............61 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales de 𝟑 × 𝟑 por determinante........................66 INVERSA DE UNA MATRIZ .....................................................................................................71 Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Superior a Dos .................................................71 ECUACIONES MATRICIALES ..................................................................................................75 APLICACIÓN DE LAS MATRICES EN LA ECONOMÍA............................................................76 Modelos de Entrada-Salida de Leontief ................................................................................76 Modelo de Salida o Cerrado de Leontief ...............................................................................89 DESIGUALDADES ....................................................................................................................98 INTERVALOS ...........................................................................................................................99 INECUACIONES LINEALES...................................................................................................100 SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE DESIGUALDADES ............................................110 ESPACIOS VECTORIALES .....................................................................................................122 BIBLIOGRAFÍA.......................................................................................................................136 Web-Grafía.............................................................................................................................136
  4. 4. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 4 Algebra Lineal ALGEBRA LINEAL La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe ‫تاب‬ ‫ك‬ ‫بر‬ ‫ج‬ ‫ال‬ ‫لة‬ ‫قاب‬ ‫م‬ ‫)وال‬ (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) ‫بر‬ ‫ج‬ (yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos). El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc. La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre. Ejemplo de Aplicación del Algebra Lineal 1. Una empresa puede recopilar y almacenar o analizar varios tipos de datos como parte regular de sus procedimientos de registros. Es posible presentar los datos en forma tabular. Por ejemplo un contratista de una construcción que construye diferentes estilos de casa puede catalogar el número de unidades de ciertos materiales necesarios para construir cada estilo de casa en una tabla de datos así: De acuerdo a la información suministrada responda Materiales Rancho Colonial Clásica Madera 28 35 23 Tablas 34 19 25 Techado 12 25 27
  5. 5. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 5 Algebra Lineal ¿Cuál es el tipo de vivienda que más necesita material? ¿Cuál es el tipo de vivienda que más necesita madera? ¿Cuál es el material que más se gasta? 2. El presupuesto anual de una compañía tiene los siguientes gastos, en miles de dólares, en los departamentos seleccionados. Rubro Departamento Manufac Oficina Venta Distribución Contabilidad Admón Abastecimiento 0.7 8.5 10.2 1.1 5.6 3.6 Teléfono 0.5 0.2 6.1 1.3 0.2 1 Transporte 2.2 0.4 8.8 1.2 1.2 4.8 Salarios 251.8 63.4 81.6 35.2 54.3 144.2 Servicios 30 1 1 1 1 1 Materiales 788 0 0 0 0 0 ¿Cuáles fueron los departamentos de menor y mayor gasto? ¿Cuáles fueron los rubros de menor y mayor gasto? ARREGLO Conjunto o agrupación de variables o cantidades de la misma estructura cuyas posiciones se referencian por medio de sub-índices. Existen arreglos unidimensionales denominados vectores, los bidimensionales llamados matrices y los multidimensionales. El subíndice es un entero que indica la posición de un elemento del arreglo. El Rango es el número de elementos del arreglo. MATRICES Es un arreglo rectangular de datos. Las matrices se clasifican en filas y columnas. En la matriz A que representa el ejemplo del número de unidades de ciertos materiales necesarios para construir cada estilo de casa, las filas corresponden a los tipos de materiales y las columnas a los de vivienda. Columna 1 Columna 2 Columna 3
  6. 6. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 6 Algebra Lineal A= Una matriz A de m fila y n columnas se dice una matriz de mxn dicho número indica el tamaño de la matriz y el número de elementos que esta contiene, se puede representar: 𝐴 = [ 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 … 𝑎1,𝑛 𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 … 𝑎2,𝑛 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3 … 𝑎3,𝑛 : : : … : 𝑎 𝑚,1 𝑎 𝑚,2 𝑎 𝑚,3 … 𝑎1𝑚,𝑛] Cada elemento aij de A está ubicado en la fila i columna j. Los sub-indices indican la posición del elemento en la matriz. Una matriz de n filas y n columnas se dice una matriz cuadrada de orden n. Consideremos la matriz B de orden 4: a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 A31 A32 A33 A34 A41 A42 A43 A44 TIPOS DE MATRICES Matrices Equidimensionales: Son las que tienen el mismo tamaño Matrices Iguales: Son las que sus elementos correspondientes son iguales Atendiendo a la forma Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1xn. A = (a1, a2, a3,…, an) 28 35 23 Fila 1 34 19 25 Fila 2 12 25 27 Fila 3 DIAGONAL PRINCIPAL DIAGONAL SECUNDARIA TRIANGULAR SUPERIOR TRIANGULAR INFERIOR
  7. 7. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 7 Algebra Lineal Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden mx1. A = Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. De la definición se deduce que si A es de orden mxn, entonces At es de orden nxm. Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j. Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j. Atendiendo a los elementos a1 a2 a3 an
  8. 8. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 8 Algebra Lineal Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0. Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales. Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 " i<j. Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 "j<i. Ejercicio Escriba una matriz A de orden 4       jisiji jisiji aij 2
  9. 9. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 9 Algebra Lineal Suma y Diferencia de Matrices La suma de dos matrices A= (aij), B= (bij) equidimensionales, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. La suma de las matrices A y B se denota por A+B. Propiedades de la suma de matrices 1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 2. A + B = B + A (propiedad conmutativa) 3. A + 0 = A (0 es la matriz nula) 4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0. La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B) Ejercicio 1. Sean A= B= C= Hallar: a. La traspuesta de A b. A + B c. ( 𝐴 + 𝐵) 𝑡 d. C – B e. A + C – B f. Halle la matriz D tal que al sumarla con C obtenemos una matriz nula 1 3 5 3 8 7 3 6 1 2 0 1 2 0 6 3 -2 -1
  10. 10. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 10 Algebra Lineal 2. Dadas las matrices: 𝐴 = [ 2 0 1 3 0 0 5 1 1 ] 𝑦 𝐵 = [ 1 0 1 1 2 1 1 1 0 ] Calcular: A + B; A - B; At; Bt. 3. Sean las matrices: 𝐴 = [ −2 0 1 0 1 0 ] 𝑦 𝐵 = [ 1 0 1 2 0 −1 ] Compruebe que 𝐴 + 𝐵 𝑡 = ( 𝐴 𝑡 + 𝐵) 𝑡 4. Ejercicio encuentre w, x, y y z si: a. [ 𝑥 4 4𝑦 𝑤 ] + [ −4𝑥 2𝑧 −3 −2𝑤 ] = [ 12 8 𝑦 6 ] b. [ 2𝑥 −𝑦 𝑧 3𝑤 ] + [ 𝑥 3𝑦 2𝑧 −2𝑤 ] = [ 6 −8 −3 1 ] c. [ 𝑥 −2 3 𝑦 ] + [ −2 𝑧 −1 2 ] = [ 4 −2 2𝑤 4 ] 5. Dadas las matrices 𝐴 = [ 1 2 3 −1 0 2 ] 𝑦 𝐵 = [ −1 5 −2 2 2 −1 ] Hallar A + B, A – B, B - A 6. Dadas las matrices A, B y C hallar p, q, r, s, t y u de tal manera que A + B + D = 0 𝐴 = [ 1 2 3 4 5 6 ] 𝐵 = [ −3 −2 1 −5 4 3 ] 𝐷 = [ 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑡 𝑢 ] http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html 7. Determine los valores de las variables para las cuales las ecuaciones matriciales son validas
  11. 11. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 11 Algebra Lineal [ 𝑥 3 4 2 −1 𝑦 1 𝑧 𝑧 ] + [ 1 𝑡 −1 3 4 𝑥 𝑢 𝑦 𝑠 ] = [ 2 7 𝑣 + 1 5 𝑤 − 2 3 0 5 𝑢 ] 8. Determine los valores de las variables para las cuales las ecuaciones matriciales son validas [ 𝑎 4𝑏 𝑐 3𝑑 𝑒 2𝑓 ] + 2 [ 1 −2 −1 3 2𝑒 𝑎 ] = 3 [ −1 −4 1 −2 𝑎 𝑏 ] 9. Dadas las matrices 𝐴 = [ 1 −2 3 5 −2 2 −1 1 3 −1 3 −1 5 1 −1 1 ] 𝐵 = [ 1 2 1 −1 −2 1 3 4 −1 −3 1 1 1 −4 −1 1 ] 𝐶 = [ 1 0 1 2 1 −1 −2 1 2 1 −2 0 ] 𝐷 = [ 1 2 0 −1 −2 0 2 1 ] a. ¿Cuáles son los tamaños de cada una de las matrices? b. ¿Cuáles son cuadradas? c. De las matrices cuadradas indicar los elementos de la diagonal principal, secundaria, triangular superior e inferior de cada una. d. ¿Cuáles son los elementos: A[3,2], B[2,3], C[4,1], D[1,3] y B[3,4] e. Escribe la traspuesta de C f. ¿Alguna de las matrices es simétrica, antisimétrica, nula, diagonal, escalar? ¿cuál? ¿por qué? g. Calcule A+B 10. Sea A la matriz de tamaño 3x2, dada por la expresión Aij=B2i-j. La matriz correspondiente a esta relación, es 𝐴. [ 1 0 3 2 5 4 ] 𝐵 = [ 1 1 3 2 5 4 ] 𝐶 = [ 1 0 3 2 5 3 ] 𝐷 = [ 1 0 3 2 4 5 ] Tecnología: En la página www.macstat.org encuentra el instalador y el manual de un software MacStat 2.5 beta que permite realizar operaciones con matrices como; suma,
  12. 12. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 12 Algebra Lineal resta, multiplicación, obtención de determinantes, transpuestas, adjuntas e inversas. Recomiendo dicha herramienta para verificar los resultados de los ejercicios que usted indague por bibliografía o web-grafía. http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/ejercicios.htm Problemas de Aplicación 1. Suponga que en un organismo del estado la información fluye constantemente entre oficinas de acuerdo con el siguiente diagrama a. Construya la matriz A con los elementos 1 Si el flujo de información fluye directamente de i a j aij 0 Si el flujo de la información no fluye directamente de i a j b. Construya una matriz B con los elementos 1 Si la información fluye de i a j a través de no más de un intermediario, con i≠j aij 0 En caso contrario c. La persona de la oficina i tiene mayor poder de influencia si la suma de los elemento de la fila i en la matriz A+B es la mayor ¿cuál es el número de la oficina de esta persona? 2. La administración trata de identificar a la persona más activa en los esfuerzos laborales para la sindicalización. El siguiente diagrama muestra como fluye la influencia de empleado hacia otro entre los cuatro empleados más activos 1 2 5 3 4 1 2 3 4
  13. 13. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 13 Algebra Lineal a. Construya la matriz A con los elementos 1 Si i fluye directamente a j aij 0 de otra manera b. Construya una matriz B con los elementos 1 Si i fluye a j a través de no más de un 1 persona, con i≠j aij 0 En caso contrario c. La persona i es más activa en la influencia con otras si la suma de los elementos de la fila i de la matriz A +B es la más grande ¿quién es la persona más activa? 3. Una fábrica produce tres tipos de productos, A, B y C, que distribuye a cuatro clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A, 5 de B y 2 de C; el segundo cliente, 3 unidades de A, 8 de B y ninguna de C; el tercer cliente no compró nada y el cuarto cliente compró 6 de A, 7 de B y 1 de C. En el mes de febrero, el primer cliente y el segundo duplicaron el número de unidades que habían comprado en enero; el tercer cliente compró 4 unidades de cada artículo, y el cuarto cliente no hizo pedido alguno. a. Construye las matrices correspondientes a las ventas de enero y febrero. b. ¿cuál fue el producto que incremento más la venta en febrero? c. Halla la matriz correspondiente a las ventas de enero y febrero. a. Las matrices de enero y febrero serían 𝐸 𝑛𝑒𝑟𝑜 = [ 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐴 9 3 0 6 𝐵 5 8 0 7 𝐶 2 0 0 1 ] ; 𝐹𝑒𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜 = [ 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐴 18 6 4 0 𝐵 10 16 4 0 𝐶 4 0 4 0 ] b. Para saber cuál fue el producto que incremento más su venta en febrero se tiene que sumar las ventas de cada producto en los dos meses
  14. 14. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 14 Algebra Lineal 𝐸 𝑛𝑒𝑟𝑜 = [ 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐴 9 3 0 6 𝐵 5 8 0 7 𝐶 2 0 0 1 ] 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎 18 20 3 ; 𝐹𝑒𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜 = [ 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐴 18 6 4 0 𝐵 10 16 4 0 𝐶 4 0 4 0 ] 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎 28 30 8 Los productos A y B incrementaron la venta en la misma cantidad c. Las ventas de los dos meses fueron 𝐸 𝑛𝑒𝑟𝑜 + 𝐹𝑒𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜 = [ 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐴 27 9 4 6 𝐵 15 24 4 7 𝐶 6 0 4 1 ] 4. Cierta compañía tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices cuyas filas, en orden representan el número de modelos regular, de lujo y de extra lujo vendidos, mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y amarillas vendidas. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son 𝐸 = [ 2 6 1 2 0 1 3 5 2 7 9 0 ] , 𝐹 = [ 0 2 8 4 2 3 3 2 4 0 2 6 ] a. Se pregunta: ¿Cuántas unidades de modelos extra lujos se vendieron? ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares amarillos? ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses? ¿Cuántos artículos se vendieron en enero? b. F – E ¿Qué encuentra? 5. Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción (en miles) en su planta número uno está dada por la matriz A. 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼𝐼 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼𝐼𝐼 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 1 (20´) 5 3 2 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 2 (23´) 7 4 5 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 3 (26´) 10 8 4 La capacidad de producción de la planta número 2 está dada por la matriz 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼𝐼 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼𝐼𝐼 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 1 (20´) 4 5 3 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 2 (23´) 9 6 4 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 3 (26´) 8 12 2
  15. 15. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 15 Algebra Lineal ¿Cuál es la capacidad de producción total en las dos plantas? ¿Cuáles son los modelos que más y menos se producen en las dos plantas? ¿Cuáles son los tamaños de televisor que más y menos se producen en las dos plantas? 6. Un fabricante de zapatos los produce de color negro blanco, y café para niños damas y caballeros. La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta 1 está dada la siguiente matriz Hombres Mujeres Niños Negro 30 34 20 Café 45 20 16 Blanco 14 26 25 La producción en la planta 2 está dada por Hombres Mujeres Niños Negro 35 30 26 Café 52 25 18 Blanco 23 24 32 Determine la producción matricial de la producción total de cada tipo de zapato en ambas plantas 7. Una compañía que fabrica televisores LCD, PLASMA y 3D en dos plantas, A y B. La matriz X representa la producción de las dos plantas en el mes de enero y la matriz Y la producción de las dos plantas para el mes de febrero. Las matrices X y Y son como sigue A B A B LCD 20 40 LCD 28 35 X= PLASMA 45 30 Y= PLASMA 40 25 3D 15 10 3D 25 18 a. Calcule Y – X b. De a. responda:  ¿Qué pasa con la producción de televisores durante los dos meses?  ¿Qué pasa con la producción de las plantas durante los dos meses? 8. Un agricultor que posee tres fincas, muestra en el siguiente cuadro las pérdidas o ganancias de sus productos, medidas en toneladas, en los dos últimos años:
  16. 16. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 16 Algebra Lineal Trigo Arroz Frijol Maíz Café Finca 1 -0,5 10 3 7 2 A2009= Finca 2 -3 0,6 0 12 -1 Finca 3 4 -2 -1 15 13 Trigo Arroz Frijol Maíz Café Finca 1 3 2 -4 3 5 A2010= Finca 2 1,6 1 -2 0 4 Finca 3 8 -3 4 7 10 a. ¿Cuál considera usted fue el mejor año para el agricultor? ¿por qué? b. Calcule A2009 + 2010 c. ¿Cuál fue la finca que arroja mayores ganancias y cuál la que arrojo mayores pérdidas? En los dos años d. ¿Cuál fue el producto que arroja mayores ganancias y cuál la que arrojo mayores pérdidas? En los dos años e. ¿Cuál fue el producto y en que finca que arrojo más ganancias? y ¿Cuál fue el producto y en que finca que arrojo más perdidas? En los dos años 9. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los años 2009 y 2010 vienen dadas por las matrices: X Y Z A 11 6,7 0,5 A2009= B 14,5 10 1,2 C 20,9 3,2 2,3 X Y Z A 13,3 7 1 A2010= B 15,7 11,1 3,2 C 21 0,2 4,3 a. Calcula y expresa en un matriz B el total de exportaciones para el conjunto de los dos años. b. Si se proyecta para el 2011 un incremento en las exportaciones en un 6% halla el escalar y la nueva matriz con dicho incremento c. Calcule e indique el país que más exportaría en el 2011 10. Una compañía de artículos electrónicos fabrica TV, VCR y reproductores de CD en dos plantas, A y B. La matriz X representa la producción de las dos plantas para el minorista X, y la matriz Y la producción de las dos plantas para el minorista Y. Escriba una matriz que represente la producción total en las dos plantas para ambos minoristas. Las matrices X y Y son como sigue
  17. 17. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 17 Algebra Lineal A B A B TV 20 40 TV 20 40 X= VCR 45 30 y= VCR 45 30 CD 15 10 CD 15 10 11. El inventario de la librería universitaria es: Pasta dura: libros de texto, 5280; ficción, 1680; no ficción, 2320; consultas, 1890. Rústica: ficción, 2810; no ficción, 1490; consultas, 2070; libros de texto, 1940. El inventario de la librería académica es: Pasta dura: libros de texto, 6340; ficción, 2220; no ficción, 1790; consultas, 1980. Rústica: no ficción, 1720; ficción, 3100; libros de texto, 2050; consultas, 2710. a. Represente el inventario de la librería universitaria como una matriz A. b. Represente el inventario de la librería académica como una matriz B. c. Si las dos librerías deciden unirse, escriba una matriz C que represente el inventario total de la nueva empresa. 12. La matriz A representa las cantidades de tres tipos de cuentas bancarias existentes hasta el primero de enero en un banco Cuentas Corrientes Ahorro Depósito Principal 2820 1470 1120 A= Sucursal uno 1030 520 480 Sucursal dos 1170 540 460 La matriz B representa los números y tipos de cuentas abiertas durante el primer trimestre del año y la matriz C se refiere a los números y tipos de cuentas cerradas durante el mismo periodo. Así 𝐵 = [ 260 120 110 140 60 50 120 70 50 ] 𝑦 𝐶 = [ 120 80 80 70 30 40 60 20 40 ] Encuentre la matriz D que represente el número de cada tipo de cuenta al final del primer trimestre en cada local.
  18. 18. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 18 Algebra Lineal 13. Suponga que la matriz A representa las ventas (en miles de millones de pesos) de una compañía en el 2006 en varias ciudades y que la matriz B representa las ventas (en miles de millones de pesos) para la misma compañía en el 2007 en las mismas ciudades. 𝐴 = ⌈ 𝐵𝑜𝑔𝑜𝑡á 𝑀𝑒𝑑𝑒𝑙𝑙í𝑛 𝐶𝑎𝑙𝑖 450 280 850 400 350 150 ⌉ 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑜 𝑀𝑒𝑛𝑢𝑑𝑒𝑜 𝐵 ⌈ 𝐵𝑜𝑔𝑜𝑡á 𝑀𝑒𝑑𝑒𝑙𝑙í𝑛 𝐶𝑎𝑙𝑖 375 300 710 410 300 200 ⌉ 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑜 𝑀𝑒𝑛𝑢𝑑𝑒𝑜 a. Escriba la matriz que representa el total de ventas por tipo y ciudad para ambos años. b. Escriba la matriz que representa el cambio en ventas por tipo y por ciudad de 2007 a 2006. c. Determine cuáles son las ciudades de mayor venta al por mayor y la de mayor venta al menudeo 14. A partir de los datos de las siguientes tabla: Importaciones PAISES 83 84 85 Desarrollados 122 822 135 884 134 018 En vías de desarrollo 72 342 74 421 72 673 Comunistas 5 085 7 214 7 091 Otros 289 369 365 Exportaciones PAISES 83 84 85 Desarrollados 152 117 200 714 223 314 En vías de desarrollo 102 266 119 790 116 161 Comunistas 3 604 5 221 5 801 Otros 1 1 0 a. Elabore una matriz A que dé el valor (en millones de dólares) de las importaciones de diversas agrupaciones de países en los años 1983-1985 b. Elabore una matriz B que dé el valor (en millones de dólares) de las exportaciones de las mismas agrupaciones en los mismos años. c. Encuentre la balanza comercial para cada agrupación de países en cada año encontrando B – A
  19. 19. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 19 Algebra Lineal d. Haga un análisis de la matriz resultante http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/rango.htm 15. Durante el 2012 y 2013 una fábrica distribuyó sus excedentes en tres productos alimenticios 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 a cuatro países de África 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 𝑦 𝑃4 según se describen en las matrices 𝑀2012 y 𝑀2013 (cantidades en toneladas). 𝑀2012 = 𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃4 [ 𝐴 𝐵 𝐶 200 100 120 110 130 200 220 200 100 150 160 150] ; 𝑀2013 = 𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃4 [ 𝐴 𝐵 𝐶 250 120 120 110 110 200 250 200 100 170 150 100] Se pregunta a. ¿En qué año se distribuyeron más excedentes? ¿Cuál fue el país que recibió más excedentes durante los dos años? ¿Cuál fue el país que recibió igual cantidad del mismo producto durante los dos años? b. Calcule 𝑀2013 − 𝑀2012 ¿qué encuentra?
  20. 20. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 20 Algebra Lineal Multiplicación de Matrices Producto de una matriz por un Escalar Para multiplicar una matriz por un escalar, se multiplica el escalar por cada elemento de la matriz Ejercicio: 1. 5 × [ 3 2 4 1 6 9 ] = [ 15 10 20 5 30 45 ] 2. 0.5 × [ −2 3 0 6 −1 4 ] = [ −1 1.5 0 3 −0.5 2 ] 3. Obtener las matrices 𝐴 y 𝐵 que verifiquen el sistema: 2𝐴 + 𝐵 = [ 1 2 2 −2 1 0 ] ① 𝐴 − 3𝐵 = [ −4 −3 −2 −1 0 −1 ] ② Multiplicamos la matriz ① por 3: 3 × (2𝐴 + 𝐵) = 3 × [ 1 2 2 −2 1 0 ] 6𝐴 + 3𝐵 = [ 3 6 6 −6 3 0 ] ③ Sumando ② y ③ 7𝐴 = [ −1 3 4 −7 3 −1 ] Multiplicamos por 1/7 1 7 × 7𝐴 = 1 7 × [ −1 3 4 −7 3 −1 ] 𝐴 = [ −1/7 3/7 4/7 −1 3/7 −1/7 ]
  21. 21. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 21 Algebra Lineal En la ecuación ① restamos 2𝐴 en ambos lados de la igualdad −2𝐴 + 2𝐴 + 𝐵 = −2𝐴 + [ 1 2 2 −2 1 0 ] 𝐵 = −2𝐴 + [ 1 2 2 −2 1 0 ] Remplazando A: 𝐵 = −2 × [ −1/7 3/7 4/7 −1 3/7 −1/7 ] + [ 1 2 2 −2 1 0 ] 𝐵 = [ 2/7 −6/7 −8/7 2 −6/7 2/7 ] + [ 1 2 2 −2 1 0 ] 𝐵 = [ 9/7 8/7 6/7 0 1/7 2/7 ] Luego 𝐴 = [ −1/7 3/7 4/7 −1 3/7 −1/7 ] 𝑦 𝐵 = [ 9/7 8/7 6/7 0 1/7 2/7 ] Veámoslo En ① 2𝐴 + 𝐵 = [ 1 2 2 −2 1 0 ] 2 [ −1/7 3/7 4/7 −1 3/7 −1/7 ] + [ 9/7 8/7 6/7 0 1/7 2/7 ] = [ 1 2 2 −2 1 0 ] [ −2/7 6/7 8/7 −2 6/7 −2/7 ] + [ 9/7 8/7 6/7 0 1/7 2/7 ] = [ 1 2 2 −2 1 0 ] [ 7/7 14/7 14/7 −2 7/7 0 ] = [ 1 2 2 −2 1 0 ]
  22. 22. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 22 Algebra Lineal [ 1 2 2 −2 1 0 ] = [ 1 2 2 −2 1 0 ] En ② 𝐴 − 3𝐵 = [ −4 −3 −2 −1 0 −1 ] [ −1/7 3/7 4/7 −1 3/7 −1/7 ] − 3 [ 9/7 8/7 6/7 0 1/7 2/7 ] = [ −4 −3 −2 −1 0 −1 ] [ −1/7 3/7 4/7 −1 3/7 −1/7 ] − [ 27/7 24/7 18/7 0 3/7 6/7 ] = [ −4 −3 −2 −1 0 −1 ] [ −28/7 −21/7 −14/7 −1 0 −7/7 ] = [ −4 −3 −2 −1 0 −1 ] [ −4 −3 −2 −1 0 −1 ] = [ −4 −3 −2 −1 0 −1 ] 4. Encontrar el valor de las variables si a. [ 1 𝑥 2𝑦 −3 ] − 4 [ 2 −2 0 3 ] = [ 3𝑧 10 4 −𝑤 ] b. [ 1 2 3 4 𝑥 −1 ] − 3 [ 𝑦 − 1 2 1 2 4 2𝑧 + 1 ] = 2 [ −4 −𝑤 0 −1 4 4 ] c. 3[ 𝑥 1 −1 0 −2 3 1 𝑦 2 ] + 2 [ −2 𝑡 0 𝑧 1 −1 𝑢 2 𝑣 ] = [ −4 1 −𝑣 4 2𝑢 𝑤 −1 7 12 ] 5. Dadas las matrices 𝐴 = [ 1 2 3 −1 0 2 ] 𝑦 𝐵 = [ −1 5 −2 2 2 −1 ] Hallar A - 2B 6. Dadas las matrices
  23. 23. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 23 Algebra Lineal 𝐴 = [ 2 1 −3 5 2 0 −3 1 −4 ] 𝐵 = [ 6 2 −1 0 1 −2 0 1 0 ] 𝐶 = [ 4 1 2 0 3 2 1 −2 3 ] Determinar tal que 2𝐴 + 3𝑋 = (12𝐶) × (23𝐵) 5. Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción (en miles) en su planta número uno está dada por la matriz A. 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼𝐼 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼𝐼𝐼 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 1 (20´) 5 3 2 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 2 (23´) 7 4 5 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 3 (26´) 10 8 4 La capacidad de producción de la planta número 2 está dada por la matriz 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼𝐼 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼𝐼𝐼 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 1 (20´) 4 5 3 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 2 (23´) 9 6 4 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 3 (26´) 8 12 2 Si la empresa decide incrementar su producción en la planta número uno en un 20 % y disminuir la producción de la planta en un 15%. Encuentre el escalar y las nuevas matrices. 6. Un fabricante de zapatos los produce de color negro blanco, y café para niños damas y caballeros. La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta 1 está dada la siguiente matriz Hombres Mujeres Niños Negro 30 34 20 Café 45 20 16 Blanco 14 26 25 La producción en la planta 2 está dada por Hombres Mujeres Niños Negro 35 30 26 Café 52 25 18 Blanco 23 24 32
  24. 24. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 24 Algebra Lineal a. Si la producción de la planta 1 se incrementa en un 50% y la producción de la planta 2 disminuye un 25% de la encuentre los escalares, las nuevas matrices. b. Determine la diferencia de producción total antes y después en ambas plantas 7. Una compañía que fabrica televisores LCD, PLASMA y 3D en dos plantas, A y B. La matriz X representa la producción de las dos plantas en el mes de febrero A B LCD 20 40 X= PLASMA 45 30 3D 15 10 a. Por la diminución en las ventas la dirección establece para marzo una disminución en la producción 25% respecto al mes de febrero, halle el escalar y la matriz de producción proyectada para marzo. b. Por el incremento en las ventas la dirección establece para abril un incremento en la producción del 35% respecto al mes de febrero, halle el escalar y la matriz de producción proyectada para abril. 8. La siguiente tabla muestra el presupuesto del gasto anual de una compañía, en miles de dólares, en los departamentos seleccionados. Rubro Departamento Manufac Oficina Venta Distribución Contabilidad Admón Abastecimiento 0.7 8.5 10.2 1.1 5.6 3.6 Teléfono 0.5 0.2 6.1 1.3 0.2 1 Transporte 2.2 0.4 8.8 1.2 1.2 4.8 Salarios 251.8 63.4 81.6 35.2 54.3 144.2 Servicios 30 1 1 1 1 1 Materiales 788 0 0 0 0 0
  25. 25. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 25 Algebra Lineal Encuentre el escalar y la matriz presupuesto para los siguientes cambios en el presupuesto: a) Un decremento de 5% b) Un incremento del 8% 9. Una cadena de tiendas de electrónica tiene dos distribuidores. En mayo las ventas de los televisores, DVD y equipos de sonidos estuvo dada por Distribuidor TV DVD E Sonido A 22 34 16 B 14 40 20 a. Si la dirección establece ventas objetivo para junio de un 25% de aumento sobre las ventas de mayo, halle el escalar y las ventas proyectadas para junio. b. Si la dirección establece ventas objetivo para julio de un 15% de disminución sobre las ventas de junio, halle el escalar y las ventas proyectadas para julio. 10. Una cuenta de gastos de un asociado de ventas para la primera semana de cierto mes tiene los gastos diarios ( en dólares) que se muestran en la matriz A 𝐴 = [ 𝐶𝑜𝑚𝑖𝑑𝑎𝑠 𝐻𝑜𝑠𝑝𝑒𝑑𝑎𝑗𝑒 𝑉𝑖𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑂𝑡𝑟𝑜𝑠 22 40 100 5 𝐿𝑢𝑛𝑒𝑠 20 40 20 0 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 28 70 45 0 𝑀𝑖𝑒𝑟𝑐𝑜𝑙𝑒𝑠 15 70 20 10 𝐽𝑢𝑒𝑣𝑒𝑠 20 0 100 5 𝑉𝑖𝑒𝑟𝑛𝑒𝑠 ] a. El asociado encuentra que el asociado de la segunda semana son 5% mayores (en cada categoría) que en la primera semana. Encuentre la matriz de gastos de la segunda semana. b. Encuentre la matriz de gastos para la tercera semana si los gastos para esa semana son 4% menores (en cada categoría) de lo que fue en la segunda semana. 11. El inventario total de una librería universitaria es: Libros de Texto Ficción No Ficción Consultas Pasta Dura 11620 3900 4110 3870 Pasta Rústica 486 4590 3790 4680
  26. 26. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 26 Algebra Lineal Debido a la apertura de una universidad en las cercanías se decide incrementar el inventario en un 12%. Halle el escalar por el cual se debe multiplicar la matriz C y escribir una matriz D con el nuevo inventario, redondeando cada cifra al entero más cercano. 12. La matriz A representa las cantidades de tres tipos de cuentas bancarias existentes en el primer trimestre del año en un banco Cuentas Corrientes Ahorro Depósito Principal 2960 1510 1150 A= Sucursal uno 1100 540 490 Sucursal dos 1230 590 470 Se prevé que para el segundo trimestre se incrementara el número de cuentas en un 15%. Encuentre el escalar por el que se debe multiplicar la matriz D para que se refleje el incremento previsto y escriba la matriz resultante. 13. Una compañía de inversiones vende tres tipos de fondos de inversión, estándar (E), de lujo (D) y Gold Star (G). Cada unidad de E tiene 12 acciones tipo A, 16 tipo B y 8 tipo C. Cada unidad de D tiene 20 acciones tipo A, 12 B y 28 C. Cada unidad de G tiene 32 acciones tipo A, 28 B y 36 C. a. Represente la información en forma de matriz. b. Debido a una crisis en la bolsa se proyecta un disminución de las acciones en un 12%, calcule el escalar y la nueva matriz. 14. Cierta compañía tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices cuyas filas, en orden representan el número de modelos regular, de lujo y de extra lujo vendidos, mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y amarillas vendidas. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son 𝐸 = [ 2 6 1 2 0 1 3 5 2 7 9 0 ] , 𝐹 = [ 0 2 8 4 2 3 3 2 4 0 2 6 ] a. El administrador pronostica una disminución de las ventas para el mes de marzo del 35%, halle el escalar y la nueva matriz del mes correspondiente. b. El administrador pronostica un incremento de las ventas para el mes de abril del 45%, halle el escalar y la nueva matriz del mes correspondiente.
  27. 27. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 27 Algebra Lineal Multiplicación entre Matrices En el caso de la multiplicación de matrices, para que dicha operación pueda realizase, se requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual al de filas de la segunda matriz. Gráficamente Si A y B son matrices el producto matricial A x B es posible si: fA x cB x fB x cB = fA x cB Si dicha condición se cumple, entonces se puede concebir que cada elemento de la multiplicación sea resultado de aplicar de la siguiente fórmula: , donde A y B son las matrices a multiplicar, C es la matriz donde se guarda el resultado y C[i,j] es un elemento de la matriz C. Nótese el uso del elemento k. El elemento k es un entero que sirve como contador de las columnas en la matriz A y como contador de filas en la matriz C. Para ilustrar un poco es el proceso, se tienen las siguientes matrices: A B C 1 2 3 4 1 5 10 30 70 120 5 6 7 8 X 2 6 11 = 70 174 304 9 10 11 12 3 7 12 110 278 488 4 8 13 Si se desea obtener el elemento C[2,2] de la matriz C, se tienen que efectuar las siguientes operaciones: C[2,2] = A[2,1] * B[1,2] = 5 * 5 A[2,2] * B[2,2] = 6 * 6 A[2,3] * B[3,2] = 7 * 7 A[2,4] * B[4,2] = 8 * 8 Suma: 174 Ejercicios: 1. Dadas las matrices =
  28. 28. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 28 Algebra Lineal 𝐴 = [ 2 3 1 4 5 1 ] 𝐵 = [ 1 2 3 4 5 6 ] → 𝐴. 𝐵 = [ 2 3 1 4 5 1 ] [ 1 2 3 4 5 6 ] = [ 2𝑥1 + 3𝑥4 2𝑥2 + 3𝑥5 2𝑥3 + 3𝑥6 1𝑥1 + 4𝑥4 1𝑥2 + 4𝑥5 1𝑥3 + 4𝑥6 5𝑥1 + 1𝑥4 5𝑥2 + 1𝑥5 5𝑥3 + 1𝑥6 ] = [ 2 + 12 4 + 15 6 + 18 1 + 16 2 + 20 3 + 24 5 + 4 10 + 5 15 + 6 ] = [ 14 19 24 17 22 27 9 15 21 ] 2. Dadas las matrices 𝐴 = [ 2 −3 −5 −1 4 5 1 −3 −4 ] 𝐵 = [ −1 3 −2 ] → 𝐴. 𝐵 = [ 2 −3 −5 −1 4 5 1 −3 −4 ] [ −1 3 −2 ] = [ 2𝑥(−1) + (−3) 𝑥3 + (−5) 𝑥(−2) (−1) 𝑥(−1) + 4𝑥3 + 5𝑥(−2) 1𝑥(−1) + (−3) 𝑥3 + (−4) 𝑥(−2) ] = [ −2 − 9 + 10 1 + 12 − 10 −1 − 9 + 8 ] = [ −1 3 −2 ] 3. Calcular [ 2 −1 0 1 3 −2 1 1 ] × [ 3 1 2 1 −2 3 −2 3 1 1 2 1 ] 4. Dadas las matices: 𝐴 = [ 1 2 0 5 − 3 4 ] 𝐵 = [ −2 5 6 2 0 − 1 ] 𝐶 = [ 1 0 1 7 5 3 5 − 2 2 4 3 2 ] Verifique que se cumple: ( 𝐴 + 𝐵) 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 Veamos ( 𝐴 + 𝐵) 𝐶 = ([1 2 0 5 −3 4 ] + [ −2 5 6 2 0 −1 ]) [ 1 0 1 7 5 3 5 − 2 2 4 3 2 ] = [ −1 7 6 7 − 3 3 ] [ 1 0 1 7 5 3 5 − 2 2 4 3 2 ] = [ 46 45 52 − 9 −2 3 1 61 ]
  29. 29. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 29 Algebra Lineal 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 = [ 1 2 0 5 − 3 4 ] [ 1 0 1 7 5 3 5 − 2 2 4 3 2 ] + [ −2 5 6 2 0 − 1 ] [ 1 0 1 7 5 3 5 − 2 2 4 3 2 ] = [ 11 6 11 3 −2 7 2 49 ] + [ 35 39 41 − 12 0 − 4 − 1 12 ] = [ 46 45 52 − 9 −2 3 1 61 ] Por lo tanto se cumple ( 𝐴 + 𝐵) 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 5. Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0, siendo: 𝐴 = [ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ] (𝐴 ∗ 𝐴) − 𝐴 − 2𝐼 = [ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ] [ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ] − [ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ] − 2 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] = [ 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ] − [ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ] − [ 2 0 0 0 2 0 0 0 2 ] = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] Por tanto A2 - A- 2 I = 0 6. Dadas las matrices: 𝐴 = [ 2 0 1 3 0 0 5 1 1 ] 𝑦 𝐵 = [ 1 0 1 1 2 1 1 1 0 ] Calcular: A x B; B x A 7. Encuentre A2 +2A – 3I si 1 2 A= 2 3
  30. 30. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 30 Algebra Lineal 8. Determine 𝐴2 − 5𝐴 + 2𝐼 si 𝐴 = [ 1 0 0 0 2 1 0 0 3 ] 9. Demostrar que: A2 - 3A+2 I = 0, siendo: 𝐴 = [ 1 0 0 0 −4 10 0 −3 7 ] 10. Dadas las matrices 𝐴 = [ 2 1 −1 1 ] ; 𝐵 = [ 1 2 3 −2 ] 𝑦 𝐶 = [ 2 1 −1 −4 ] Determinar la matriz 𝑋 tal que 𝑋 × 𝐴 = 2𝐵 + 𝐶 11. Dadas las matrices 𝐴 = [ 1 −1 1 1 2 1 0 1 2 ] ; 𝐵 = [ 1 2 2 1 1 3 2 0 2 ] 𝑦 𝐶 = [ 0 0 4 −2 −8 −6 −4 2 0 ] Determinar la matriz 𝑋 tal que 𝑋 × 𝐴 = 2𝐵 + 𝐶 12. Sean las matrices: 𝐴 = [ 𝑥 1 2𝑥 −1 −𝑥 1 ] ; 𝐵 = [ 1 𝑦 ] ; 𝐶 = [ 𝑧 2𝑧 −𝑧 ]; 𝐷 = [ 1 0 1/3 ] , donde x, y, z son desconocidos. a. Calcular las matrices (AB) + C y 3D b. Sabiendo que (AB)+C = 3D, plantear un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de x, y, z. 13. En cada uno de los siguientes casos determinar (AB)C y A(BC) a. 𝐴 = [ 2 1 3 1 ] ; 𝐵 = [ −1 1 1 0 ] ; 𝐶 = [ 1 4 2 3 ]
  31. 31. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 31 Algebra Lineal b. 𝐴 = [ 2 1 −1 3 1 2 ] ; 𝐵 = [ 1 1 2 0 3 −1 ] ; 𝐶 = [ 1 3 ] 14. Dadas las matrices 𝐴 = [ 2 −3 −5 −1 4 5 1 −3 −4 ] 𝐵 = [ −1 3 5 1 −3 −5 −1 3 5 ] 𝐶 = [ 2 −2 −4 −1 3 4 1 −2 −3 ] a. Verifique que AB = BA = 0; AC = C y CA=A b. Use los resultados de (a) para comprobar que:  ACB = CBA  A2 – B2 = (A – B) (A + B)  (A + B)2 = (A – B)2 = A2 + B2 15. Calcule los productos matriciales AB y BA si 𝐴 = [ 1 −2 3 1 0 1 1 −1 1 −2 0 −5 ] 𝐵 = [ −2 1 3 −2 3 −1 3 −4 −3 1 −1 −1 ] 16. Sean 𝑋 = [1 0 0] 𝑦 𝐴 = [ 3 1 5 2 0 1 1 1 7 ] a. Determinar el orden de XA y comparar con las filas o columnas de b. Si 𝑋 = [0 … 0 1 0 … 0] donde 1 aparece en la posición (1,i) determinar el orden de XA y AXt, comparar con las filas o columnas de A con Ejercicios Determine si los valores dados de y, x y z son la solución para la ecuación matricial dada sustituyendo los valores dados en la ecuación matricial y efectuando la multiplicación matricial. 1. [ 1 1 2 4 0 1 2 1 1 ] [ 𝑋 𝑌 𝑍 ] = [ 5 5 5 ]
  32. 32. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 32 Algebra Lineal Solución: Al realizar la multiplicación de matrices nos queda el siguiente sistema de ecuaciones 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 5 (1) 4𝑥 + 𝑧 = 5 (2) 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5 (3) Hallamos los valores de X Y y Z: Utilizamos el método de eliminación en (1) y (3) X+Y+2Z=5 (multiplicamos por -2) −2X − 2𝑌 − 4Z =−10 2X+Y+Z=5 (multiplicamos por 2) 4𝑋 + 2𝑌 + 2𝑍 = 10 2X −𝑍 = 0 (4) Aplicamos el método de eliminación en (2) y (4) 4𝑋 + 𝑍 = 5 ( 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 2) 8𝑋 + 2𝑍 = 10 2𝑋 − 2𝑍 = 0 (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 1) 2X − 2Z = 0 X= 1 10X = 10 Reemplazo el valor de X en (2) 4(1)+Z=5 4+Z=5 Z=1 Reemplazo el valor de X y Z en (3) 2(1)+Y+(1)=5 2+Y+1=5 Y=5-3 Y=2 Por lo tanto X=1, Z=1 y Y=2 Verificando: ( 1 1 2 4 0 1 2 1 1 ) ( 1 2 1 ) = ( 5 5 5 ) [ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 ] [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ −1 0 −3 ] [ 1 1 1 1 −1 1 1 −1 −1 ] [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ −2 0 4 ]
  33. 33. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 33 Algebra Lineal [ 2 1 −1 3 −2 1 −4 3 2 ] [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ −1 3 −11 ] [ 3 1 0 2 −2 1 1 1 2 ] [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 4 9 2 ] [ 1 1 2 4 0 1 2 1 1 ] [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 5 5 5 ] [ 1 0 2 3 1 0 1 2 1 ] [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 0 7 3 ] Ejercicios El siguiente sistema matricial representa el portafolio de dos productos (X, Y), cuyos costos totales ascienden a 15 (millones de pesos), y el total de las unidades producidas es de 5 (miles): [ 7 2 1 1 ] [ 𝑥 𝑦] = [ 15 5 ] La solución del sistema matricial anterior arroja los siguientes resultados para los dos productos (X, Y), respectivamente en miles de unidades producidas: a. 15 Y 5 b. 40 y 10 c. 1 y 4 d. 7 y 2 e. 1 y 15 Aplicación de la Multiplicación entre Matrices 1. Una pequeña empresa constructora cobra a $10 800 la hora por camión sin conductor, $36 000 la hora por un tractor sin conductor y $18 000 la hora por conductor. La empresa utiliza la matriz A para diversos tipos de trabajo Tipo de trabajo I II III IV A= 1 1 1 2 Camión 2 0 1 1 Tractor 3 1 3 4 Conductor a. Construya una matriz de fila P con los precios que la empresa fija. Camión Tractor Conductor P= 10 800 36 000 18 000 b. Calcule el producto PA. ¿Qué encuentra?
  34. 34. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 34 Algebra Lineal Tipo de trabajo I II III IV Camión 1 1 1 2 Tractor 2 0 1 1 Conductor 3 1 3 4 Camión Tractor Conductor Precios 10 800 36 000 18 000 × Tipo de Trabajo I II III IV P×A= Precios 136 000 28 800 100 800 129 600 El costo por tipo de trabajo c. Suponga que para un pequeño proyecto la empresa utilizo 20 horas de trabajo del tipo I, 30 horas de trabajo del tipo II, 10 del tipo III y 10 del tipo IV. Construya una matriz de columna S que denota la matriz de oferta. Horas I 20 II 30 S= III 10 IV 10 d. Determine e intérprete los elementos de AS. Tipo de trabajo I II III IV Camión 1 1 1 2 Tractor 2 0 1 1 Conductor 3 1 3 4 × Horas I 20 II 30 III 10 IV 10 Horas Camión 80 AS= Tractor 60 Conductor 160 El número de horas de trabajo requerido por camión, tractor y conductor para el proyecto. e. Evalúe e interprete el producto de matrices PAS
  35. 35. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 35 Algebra Lineal Camión Tractor Conductor Precio 10 800 36 000 18 000 × Horas Camión 80 Tractor 60 Conductor 160 PAS Precio 5´904 000 Obtenemos como resultado el valor del proyecto. 2. Un constructor puede adquirir ladrillos, tejas, madera y cemento de tres proveedores: P, Q y R. Los precios de cada proveedor por paquete de materiales vienen dados en miles de euros por la matriz: 𝐿 𝑇 𝑀 𝐶 𝑃 8 13 6 6 𝑄 6 12 7 8 𝑅 7 14 6 7 El constructor tiene que comenzar tres obras. Necesita: a. Primera obra: 24 paquetes de ladrillo, 5 de tejas, 12 de madera y 18 de cemento. b. Segunda obra: 20 paquetes de ladrillo, 7 de tejas, 15 de madera y 20 de cemento. c. Tercera obra: 20 paquetes de ladrillo, 4 de tejas, 15 de madera y 15 de cemento. ¿Qué proveedor es el más económico para cada obra? El constructor quiere adquirir todos los materiales de cada obra al mismo proveedor. ¿a cuál le compraría? Construimos la matriz de obras: Consideremos 𝑃𝑂 la primera obra, 𝑆𝑂 la segunda y 𝑇𝑂 la tercera [ 𝑃𝑂 𝑆𝑂 𝑇𝑂 𝐿 24 20 20 𝑇 5 7 4 𝑀 12 15 15 𝐶 18 20 15] Calculamos el producto de la matriz de precios de proveedor matriz de obras y obtenemos el total cobrado por proveedor
  36. 36. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 36 Algebra Lineal [ 𝐿 𝑇 𝑀 𝐶 𝑃 8 13 6 6 𝑄 6 12 7 8 𝑅 7 14 6 7 ] × [ 𝑃𝑂 𝑆𝑂 𝑇𝑂 𝐿 24 20 20 𝑇 5 7 4 𝑀 12 15 15 𝐶 18 20 15] = [ 𝑃𝑂 𝑆𝑂 𝑇𝑂 𝑃 437 461 392 𝑄 432 469 393 𝑅 436 468 391 ] 1290 1294 1295 El proveedor más económico para la primera obra es 𝑄 para la segunda es 𝑃 y para la tercera es 𝑅. Le compraría al proveedor P que es la propuesta más económica 3. Un supermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 gr de queso español, 160 gr de queso francés y 80 normandi; la bandeja B contiene 120 gr de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C contiene 150 gr de queso español, 80 gr del francés y 80 gr del normadi. La oferta se realizará durante dos días, el primer día se sacará a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 del B y 100 del C y para el segundo día se duplicará la venta del primero, obtén matricialmente la cantidad que se necesitarían de cada uno de las tres clase de queso. 4. Tres familias F1, F2 y F3 tienen los siguientes consumos de pan, carne y mantequilla: F1 consume 160 kg de pan, 200 Kg de carne y 1,5 Kg de mantequilla, F2 consume 200 Kg de pan, 230 Kg de carne y 2 Kg de mantequilla, F3 consume 90 Kg de pan, 150 Kg de carne y 1,75 Kg de mantequilla. Los precios, en miles de pesos, del pan, de la carne y de la mantequilla en los años 2010, 2011, 2012 y 2013 fueron: 2010: el pan costaba $1,45, la carne $13 y la mantequilla $0.15; 2011: el pan costaba $1,56, la carne $13 y la mantequilla $0.16; 2012: el pan costaba $1,71, la carne $13,5 y la mantequilla $0.16; 2013: el pan costaba $1,80€, la carne $14 y la mantequilla $0.18 Utiliza matrices para calcular el gasto anual de cada familia en el total de los cuatro años. 5. Un contratista puede adquirir las cantidades requeridas de madera, ladrillo, concreto, vidrio y pintura de tres proveedores. Los precios de cada proveedor por unidad de los cinco materiales esta dados en la matriz A Proveedor Madera Ladrillo Concreto Vidrio Pintura P1 8 5 7 2 4 A= P2 9 4 5 2 5 P3 9 5 6 1 5 El contratista tiene la política de adquirir todos los materiales requeridos en cualquier obra particular al mismo proveedor a fin de minimizar los costos de transporte. Hay tres obras en construcción actualmente: la obra I requiere 20 unidades de madera, 4 de
  37. 37. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 37 Algebra Lineal ladrillo, 5 de concreto, 3 de vidrio y 3 de pintura; la obra II requiere 15, 0, 8, 8 y 2 unidades respectivamente; y la obra III requiere 30, 10, 20, 10, y 12 respectivamente. a. Represente en una matriz B la información de las unidades requeridas en cada obra. b. Calcule el producto AB c. Interprete los elementos de este producto y úselos para decidir cuál proveedor debería utilizar en cada obra 6. Un hospital local reunió datos relacionados con personas admitidas para servicios de pacientes internados. La matriz P indica los porcentajes de todos los pacientes admitidos en unidades hospitalarias diferentes, S la duración promedio de la permanencia de un paciente (en días) para cada unidad de hospitalización y C el costo diario (en miles de pesos) para las diferentes unidades del hospital. 𝑃 = [ 0.18 0.10 0.24 0.48 ] 𝑂𝑏𝑠𝑡𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑑𝑖𝑜𝑙𝑜𝑔í𝑎 𝑃𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑟í𝑎 𝑂𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑆 = [3 16 2 4] 𝐶 = [680 1400 540 360] Si se admiten300 pacientes nuevos utilizar la operación con matrices para calcular a. El número de pacientes admitidos en cada unidad b. El número total de día por paciente esperado c. El costo total por día para los 300 pacientes 7. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. a. Representar la información en dos matrices. b. Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos. 8. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. a. Representar esta información en dos matrices.
  38. 38. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 38 Algebra Lineal b. Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería. 9. Suponga que un contratista acepta pedidos para materia prima que se utilizan para la construcción de tres tipos de vivienda. La matriz R dan el número de unidades de cada materia prima que se utilizará en cada tipo de casa, así Acero Madera Vidrio Pintura Mano de Obra Rústico 5 20 16 7 17 R= Moderno 7 18 12 9 21 Colonial 6 25 8 5 13 a. El contratista está interesado en conocer los costos que tendrá que pagar por estas materias primas. Suponga que el acero cuesta $2500 por unidad, la madera $1200 por unidad, y el vidrio, la pintura y la mano de obra cuestan $800, $150 y $1500 por unidad respectivamente. Escriba una matriz de columna C que represente los costos por unidad. Obtenga el producto RC, ¿qué encuentra? b. Suponga que se construirán 5 casas de estilo rustico, 7 estilo moderno y 12 colonial, escriba una matriz de fila Q que represente la cantidad de vivienda a construir por estilo y obtenga el producto Q(RC), ¿qué encuentra? 10. El comité de admisiones de cierta universidad anticipa la inscripción de 800 estudiantes de primer semestre para el próximo año para satisfacer las cuotas de ingreso se ha clasificado los futuros estudiantes según sexo y lugar de residencia. El número de estudiantes en cada categoría está dado por la matriz Hombres Mujeres Locales 2700 3000 A= Foráneos 800 700 Extranjeros 500 300 Al utilizar los datos acumulados de años anteriores el comité de admisiones considera que estos estudiantes optarán por asistir a las facultades de derecho, diseño, administración e ingeniería según los porcentajes que aparecen en la matriz Derecho Diseño Administración Ingeniería B= Hombres 0.25 0.20 0.30 0.25 Mujeres 0.30 0.35 0.25 0.10
  39. 39. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 39 Algebra Lineal Encuentre la matriz AB que muestre el número de estudiantes locales, foráneos y extranjeros que se espera se inscriban en cada facultad 11. Las acciones de dos personas B y C están dadas por la matriz Acciones BAC GM IBM TRW A= B 200 300 100 200 C 100 200 400 0 Al cierre de las operaciones de cierto día, los precios de las acciones están dados por la matriz BAC 54 GM 48 D= IBM 98 TRW 82 a. Calcule AD b. Explique el significado de las entradas de AD. 12. Un viajero está regresando de Londres después de un viaje por Europa y desea cambiar las diversas divisas por euros. Al contar su dinero encontró que tenía 80 chelines austriacos, 26 francos franceses, 18 guilders suecos y 20 marcos alemanes. Suponga que las tasas de cambio de moneda extranjera son €0.0727 por un chelín, €0.1524 por un franco, €0.4538 por un guilder y €0.5113 por un marco. a. Escriba una matriz A de fila que represente los valore de las divisas b. Escriba una matriz B de columna que represente las tasas de cambio c. Si el viajero cambia todas las divisas que tiene, ¿cuántos euros recibirá? 13. Una empresa de bienes raíces construye casas en tres estados. El número proyectado de unidades habitacionales de cada modelo por construir en cada estado esta dado por la matriz Modelo I II III IV N.Y. 60 80 120 40 A= Conn 20 30 60 10 Mass 10 15 30 5
  40. 40. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 40 Algebra Lineal Las ganancias proyectadas son $20 000, $22 000, $25 000 y $30 000, respectivamente, para cada modelo de casa, del I al IV respectivamente. a. Escriba una matriz de columna B que represente la ganancia para cada tipo de casa b. Encuentre la utilidad total esperada en cada estado si se venden todas las casas 14. Las calificaciones de matemáticas, de cuatro alumnos, en las tres evaluaciones del curso fueron las siguientes: Para calcular la calificación final, el departamento de matemáticas ha establecido los siguientes "pesos" para cada una de las evaluaciones: 1ª Ev: 30 %, 2ª Ev: 30 % y 3ª Ev: 40 %. Se pide la nota final de cada uno de los alumnos. 15. Un cinema tiene cuatro salas de la I a la IV, el precio de cada función es de $2 mil pesos por niño, $3 mil pesos por estudiante y $4 mil pesos por adulto. La asistencia a la matiné del domingo está dada por la matriz Escriba una matriz de columna B que represente el precio de la entrada. Luego calcule A.B ¿Qué encuentra? 16. Un vendedor de automóviles puede comprar automóviles puede comprar automóviles medianos en 12% por debajo del precio de lista y también automóviles de lujo en 15% CALIFICACIONES Alumnos 1ª Ev 2ª Ev 3ª Ev Antonio 2.5 3.2 3.0 Jaime 4.0 2.5 3.5 Roberto 3.5 2.5 3.5 Santiago 3.0 2.0 2.5 Niño Estudiante Adulto Cinema I 225 110 50 A= Cinema II 75 180 225 Cinema III 280 85 110 Cinema IV 0 250 225
  41. 41. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 41 Algebra Lineal por debajo de los precios de lista. La siguiente tabla muestra la lista de precios para dos automóviles medianos y dos automóviles de lujo Medianos 25 000 28 000 De lujo 36 000 42 000 Escriba estos datos en una matriz y multiplique a la izquierda por la matriz 0,88 0 0 0,85 ¿Qué representa cada elemento de este producto matricial. Debe realizar y escribir el proceso? 17. Suponga que el banco tiene tres fuentes principales de ingresos (préstamos empresariales, préstamos para automóviles e hipotecas de casas) y que retira fondos de esta fuente para capital de riesgo que se usa para crear fondos para nuevos negocios. Suponga que el ingreso de estas fuentes por cada 3 años se da la siguiente tabla y el banco utiliza 45% de su ingreso de los préstamos empresariales, 20% de su ingreso de los préstamos para automóviles y 30% de su ingreso de las hipotecas de casas para obtener sus fondos de capital de riesgo. Escriba un producto matricial que dé el capital de riesgo disponible en cada uno de los tres años 𝐴ñ𝑜 𝐸𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑖𝑙𝑒𝑠 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑐𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 2001 63300 20024 51820 2002 48305 15817 63722 2003 55110 18621 64105 18. Dos departamentos de una empresa, Ay B necesitan diferentes cantidades de los mismos productos. La siguiente tabla da las cantidades de los productos que los departamentos necesitan Acero Plástico Madera Departamento A 30 20 10 Departamento B 20 10 20
  42. 42. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 42 Algebra Lineal Dos proveedores, Ace y Kink surten estos tres productos, con los precios unitarios que se dan en la siguiente tabla Ace Kink Acero 3000 280 Plástico 150 100 Madera 150 200 a. Use la multiplicación de matrices para encontrar cuánto costarán estos pedidos con los proveedores. b. ¿A qué proveedor debe comprar cada departamento? 19. La siguiente tabla muestra el presupuesto anual de gastos de una compañía, en miles de dólares, en los departamentos seleccionados. Rubro Departamento Manufac Oficina Venta Distribución Contabilidad AdmónAbastecimiento 0.7 8.5 10.2 1.1 5.6 3.6 Teléfono 0.5 0.2 6.1 1.3 0.2 1 Transporte 2.2 0.4 8.8 1.2 1.2 4.8 Salarios 251.8 63.4 81.6 35.2 54.3 144.2 Servicios 30 1 1 1 1 1 Materiales 788 0 0 0 0 0 a. ¿Cuáles fueron los departamentos de menor y mayor gasto? ¿Cuáles fueron los rubros de menor y mayor gasto? b. Encuentre la matriz presupuesto para los siguientes cambios “a lo largo de la tabla” en el presupuesto: a) Un decremento de 5% b) Un incremento del 8% c. Suponga que hay un incremento de 20% en fabricación, un aumento de 3% en oficina, un incremento de 5% en ventas, un aumento de 20% en distribución, un incremento de 5% en contabilidad y un decremento de 3% en administración.
  43. 43. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 43 Algebra Lineal Encuentre la nueva matriz de presupuesto multiplicando la matriz siguiente por la matriz original.                     97.000000 005.10000 002.1000 00005.100 000003.10 000002.1 Investigar. El uso de la función MMULT de Excel y haga una aplicación
  44. 44. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 44 Algebra Lineal REDUCCIÓN DE GAUSS-JORDAN Solución matricial de Sistemas de Ecuaciones El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) en otro equivalente más sencillo de resolver (se puede resolver por simple inspección). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene exactamente las mismas soluciones. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales Donde los ai, bi, ci y di para todo i=1,2 y 3 ε R (Coeficientes) Para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices, primero escribimos los coeficientes del sistema en la matriz ampliada. Cada columna contiene los coeficientes de una de las variables, el proceso continua aplicando cada una de los siguientes pasos: 1. Tener uno en la fila uno columna uno. 2. Usar la fila uno solo para tener ceros en las otras entradas de la columna uno 3. Usar la fila dos para tener uno en la fila dos columna dos 4. Usar la fila dos solo para tener ceros en las otras entradas de la columna dos. 5. Usar la fila tres para tener uno en la fila tres columna tres. 6. Usar la fila tres solo para tener ceros en las otras entradas de la columna tres Matriz de los coeficientes
  45. 45. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 45 Algebra Lineal 7. Repetir el proceso hasta obtener una ampliada [I|D], donde I es una matriz identidad de n x n y D una matriz de n x 1. Si el sistema de ecuación es de orden 3, obtenemos { 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 𝑑1 𝑑2 𝑑3 } Donde d1, d2 y d3 Є R, se concluye que x = d1, y = d2 y z = d3. Para verificar los resultados se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales, si se obtiene una identidad los valores obtenidos son conjunto solución. Si un Sistema de Ecuaciones tiene solución se dice compatible sino es incompatible. Ejercicio. Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción de Gauss- Jordan 2x + 3y – z = 70 3x – y - 2z = -19 -2x + 2y + z = 35 La matriz ampliada sería ( 2 3 −1 3 −1 −2 −2 2 1 | 70 −19 35 ) 𝑓1 2 ( 1 3 2 − 1 2 3 −1 −2 −2 2 1 | 35 −19 35 ) 𝑓1 ∗ −3 + 𝑓2 𝑓1 ∗ 2 + 𝑓3 ( 1 3 2 − 1 2 0 − 11 2 − 1 2 0 5 0 || 35 −124 105 ) 𝑓2/(−11/2) ( 1 3 2 − 1 2 0 1 1 11 0 5 0 || 35 248 11 105) 𝑓2 ∗ − 3 2 + 𝑓1 𝑓2 ∗ −5 + 𝑓3 ( 1 0 − 7 11 0 1 1 11 0 0 − 5 11 | | 13 11 248 11 − 85 11) 𝑓3 − 5 11 ( 1 0 − 7 11 0 1 1 11 0 0 1 || 13 11 248 11 17 ) 𝑓3 ∗ 7 11 + 𝑓1 𝑓3 ∗ − 1 11 + 𝑓2 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 12 21 17 ) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 12 𝑦 = 21 𝑧 = 17 Veamos: En la Ec1: 2(12)+3(21)-17=24+63-17=70; En la Ec2: 3(12)-21-2(17)=36-21-34=-19;
  46. 46. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 46 Algebra Lineal En la Ec3: -2(12)+2(21)+17=-24+42+17=35 Ejercicio. Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan 2x + y – 2z = 4 x + 3y – z = -3 3x + 4y – z = 7 2x+ 3y - 2z = 10 3x - 2y + 2z = 0 4x – y + 3z = -1 2x + 2y + z = 9 x + z = 3 4y – 3z = -10 2x + 4y - 6z = 38 x + 2y + 3z = 7 3x - 4y + 4z = -19 x + y + z = 0 2x- y + z = 1 x + y - 2z = 2 𝑥 + 2𝑧 = 0 3𝑥 + 𝑦 = 7 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = −5 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 0 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 3 𝑥 − 2𝑧 = 4 𝑦 − 𝑧 = 1 𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 2 2𝑥 2𝑧 = 1 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 5 4𝑥 + 𝑧 = 5 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2 3𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = −2 2𝑥 − 𝑧 = 2 3𝑥 + 𝑦 = 4 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 9 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2 2x – y – 2z = -1 3x + 3y + 4z = -2 2x – y – z = -3 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 12 𝑥 + 4𝑦 + 25𝑧 = 36 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 1 −2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 1 Problemas de aplicación 1. Una empresa fabrica 3 tipos de tabletas de chocolate: con leche, blanco y negro. Los principales ingredientes para la producción del chocolate son cacao, leche y café. Para la producción de chocolate con leche requiere de 5 unidades de cacao, 3 de leche, y 2 de café, para el blanco necesita 5 unidades de cacao, 4 de leche y 1 de café, mientras que para la elaboración del negro se emplean 5 unidades de cacao, 1 de leche y 3 de café. Antes de llegar el próximo pedido quedan en reserva 12000 unidades de cacao, 6800 de leche y 4600 de café. ¿Cuántas tabletas de cada tipo de chocolate puede producir con los ingredientes en existencia? 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 3𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 8 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −6
  47. 47. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 47 Algebra Lineal Representamos los datos de forma matricial Ingredientes Tipos de Chocolate Con leche (x) Blanco (y) Negro (z) Cacao 5 5 5 Leche 3 4 1 Café 2 1 3 Representamos la situación en forma de sistema de ecuaciones lineales 5x + 5y + 5z = 12000 3x + 4y + z = 6800 2x + y + 3z = 4600 Escribimos la matriz ampliada ( 5 5 5 3 4 1 2 1 3 | 12000 6800 4600 ) 𝑓1/5 ( 1 1 1 3 4 1 2 1 3 | 2400 6800 4600 ) 𝑓1 ∗ −3 + 𝑓2 𝑓1 ∗ −2 + 𝑓3 ( 1 1 1 0 1 −2 0 −1 1 | 2400 −400 −200 ) 𝑓2 ∗ −1 + 𝑓1 𝑓2 ∗ 1 + 𝑓3 ( 1 0 3 0 1 −2 0 0 −1 | 2800 −400 −600 ) 𝑓3/−1 ( 1 0 3 0 1 −2 0 0 1 | 2800 −400 600 ) 𝑓3 ∗ −3 + 𝑓1 𝑓3 ∗ 2 + 𝑓2 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 1000 800 600 ) 𝑥 = 1000 𝑦 = 800 𝑧 = 600 Por lo tanto con los ingredientes en existencia se puede producir 1000 unidades de chocolate con leche, 800 unidades de chocolate blanco y 600 unidades de chocolate negro. 2. Una planta produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene 25% de potasio, 45% de nitrato y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% de potasio, 50% de nitrato y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, 75% de nitrato y 25% de fosfato. La planta tiene suministros de 1.5 toneladas diarias de potasio, 5 toneladas al día de nitrato y 3 toneladas al día de fosfato. ¿Qué cantidad de fertilizantes en kg (1 ton =1000 Kg) deberá producir de modo que se agote los suministros de ingredientes? Por datos, la matriz de coeficientes sería 𝐴 𝐵 𝐶 𝑃𝑜𝑡𝑎𝑠𝑖𝑜 25 15 0 𝑁𝑖𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 45 50 75 𝐹𝑜𝑠𝑓𝑎𝑡𝑜 30 35 25
  48. 48. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 48 Algebra Lineal Suponiendo que x es la cantidad de fertilizante tipo A, y la cantidad de fertilizante tipo B y z la cantidad de fertilizante tipo C, el sistema de ecuaciones sería 25x + 15y = 1.5 45x + 50y + 75z = 5 30x + 35y + 25z = 3 La matriz ampliada quedaría ( 25 15 0 45 50 75 30 35 25 | 1.5 5 3 ) 𝑓1/25 ( 1 3/5 0 45 50 75 30 35 25 | 3/50 5 3 ) 𝑓1 ∗ −45 + 𝑓2 𝑓1 ∗ −30 + 𝑓3 ( 1 3/5 0 0 23 75 0 17 25 | 3/50 23/10 6/5 ) 𝑓2/23 ( 1 3/5 0 0 1 75/23 0 17 25 | 3/50 1/10 6/5 ) 𝑓2 ∗ −3/5 + 𝑓1 𝑓2 ∗ −17 + 𝑓3 ( 1 0 −2 0 1 75/23 0 0 −700/23 | 0 1/10 −1/2 ) 𝑓3/(−700/23) ( 1 0 −2 0 1 75/23 0 0 1 | 0 1/10 0.02 𝑓3 ∗ 2 + 𝑓1 𝑓3 ∗ −75/23 + 𝑓2 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 0.04 0.03 0.02 ) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 ≈ 0.04 𝑦 ≈ 0.03 𝑧 ≈ 0.02 Veamos: En la Ec1: 25(0.04)+15(0.03)+0(0.02)=1.45≈1.5 En la Ec2: 45(0.04)+50(0.03)+75(0.02)=1.8+1.5+1.5=4.8≈5 En la Ec3: 30(0.04)+35(0.03)+25(0.02)=1.2+1.05+0.5=2.8≈3 Es decir que para agotar los suministros de ingredientes se deben producir aproximadamente 0.04 ton (40 Kg) de fertilizante tipo A, 0.03 ton (30Kg) de fertilizante tipo B y 0.02 ton (20Kg) de fertilizante tipo C 3. Tres trabajadores A,B y C, para terminar un determinado mes, presenta a su empresa la siguiente plantilla de producción, correspondiente a las horas de trabajo, dietas de mantenimiento y kilómetros de desplazamiento fijadas para cada uno de ellos HORAS DE TRABAJO VIÁTICO KILÓMETROS A 40 10 150 B 60 20 250 C 30 6 100 Sabiendo que la empresa paga a los tres trabajadores la misma retribución: x miles de pesos por hora trabajada, y miles de pesos por cada dieta y z miles de pesos por
  49. 49. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 49 Algebra Lineal kilómetro de desplazamiento y que paga ese mes un total de 3690 mil pesos al trabajador A, 6060 mil pesos al trabajador B y 2520 mil pesos al C. Calcular x, y, z. Representamos la situación como sistema de ecuaciones lineales: 40x + 10y + 150z = 3690 (Ec 1) 60x + 20y + 250z = 6060 (Ec 2) 30x + 6 y + 100z = 2520 (Ec 3) Escribimos la matriz ampliada ( 40 10 150 60 20 250 30 6 100 | 3690 6060 2520 ) 𝑓1/40 ( 1 1 4⁄ 15 4⁄ 60 20 250 30 6 100 | 369 4⁄ 6060 2520 ) 𝐹1 ∗ −60 + 𝐹2 𝐹1 ∗ −30 + 𝐹3 ( 1 1 4 15 4⁄ 0 5 25 0 − 3 2⁄ − 25 2⁄ | 369 4⁄ 525 − 495 2⁄ ) 𝑓2/5 ( 1 1 4⁄ 15 4⁄ 0 1 5 0 − 3 2⁄ − 25 2⁄ | 369 4⁄ 105 − 495 2⁄ ) 𝐹2 ∗ − 1 4⁄ + 𝐹1 𝐹2 ∗ 3 2⁄ + 𝐹3 ( 1 0 5 2⁄ 0 1 5 0 0 −5 | 66 105 −90 ) 𝐹3 5⁄ ( 1 0 5 2⁄ 0 1 5 0 0 1 | 66 105 18 ) 𝐹3 ∗ − 5 2⁄ + 𝐹1 𝐹3 ∗ −5 + 𝐹2 { 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 21 15 18 } 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 21 𝑦 = 15 𝑧 = 18 Verificación En la (Ec1): 40(21)+10(15)+150(18) = 369 840 + 150 + 2700 = 3690 3690 = 3690 En la (Ec2): 60(21)+20(15)+250(18)= 6060 1260 + 300 + 4500 = 6060 6060 = 6060 En la (Ec3): 30(21)+6(15)+100(18)=2520 630 + 90 + 1800 = 2520 2520 = 2520 Por lo tanto el valor de la hora trabajada es de 21 mil pesos, la unidad de viático 15 mil y la de transporte 18 mil 4. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para jardín: sillas, mecedoras y sillones. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio, como se muestra en la tabla. La
  50. 50. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 50 Algebra Lineal compañía tiene un almacén de 400 unidades de madera, 1500 de aluminio y 600 de plástico. Para su producción de final de temporada desea agotar toda la existencia. Para lograrlo ¿cuántas sillas, mecedoras y sillones debe fabricar? Sillas Mecedoras Sillones Madera 1 1 1 Aluminio 2 3 5 Plástico 1 1 2 Si consideremos x la cantidad de sillas, y la cantidad de mecedoras y z la cantidad de sillones, el sistema de ecuación sería x + y + z = 400 2x + 3y + 5z = 1500 x + y + 2z = 600 Escribimos la matriz ampliada ( 1 1 1 2 3 5 1 1 2 | 400 1500 600 ) 𝑓1 ∗ −2 + 𝑓2 𝑓1 ∗ −1 + 𝑓3 ( 1 1 1 0 1 3 0 0 1 | 400 700 200 ) 𝑓2 ∗ −1 + 𝑓1 ( 1 0 −2 0 1 3 0 0 1 | −300 700 200 ) 𝑓3 ∗ 2 + 𝑓1 𝑓3 ∗ −3 + 𝑓2 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 100 100 200 ) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 100 𝑦 = 100 𝑧 = 200 Veamos en En Ec1 100 + 100 + 200 = 400 400 = 400 En Ec2 2(100) + 3(100) + 5(200)=1500 200 + 300 + 1000 =1500 1500=1500 En Ec3 100 + 100 + 2(200)=600 200 + 400 =600 600=600 La producción final de temporada para agotar existencia tiene que ser 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sillones
  51. 51. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 51 Algebra Lineal 5. Una compañía tiene un pedido para entregar tres productos A, B y C. La tabla da el volumen en pies cúbicos, el peso en libras y el costo del seguro en dólares para una unidad de cada uno de los productos. Si el camión puede transportar 8 000 pies cúbicos, 12 400 libras y está asegurado por $52 600 ¿cuántas unidades de cada producto se pueden transportar? PRODUCTOS A B C Volumen unitario (pies cúbicos) 24 20 40 Peso unitario (libras) 40 30 60 Valor (dólares) 150 180 200 Consideremos x el volumen en pies cúbicos, y el peso en libras y z el costo del seguro entonces el sistema de ecuaciones sería 24X + 20Y + 40Z = 8000 40X + 30Y + 60Z = 12400 150X + 180Y + 200Z = 52600 La matriz ampliada quedaría ( 24 20 40 40 30 60 150 180 200 | 8000 12400 52600 ) 𝑓1 24 ⁄ ( 1 5 6⁄ 5 3⁄ 40 30 60 150 180 200 | 1000 3⁄ 12400 52600 ) 𝑓1 ∗ −40 + 𝑓2 𝑓1 ∗ −150 + 𝑓3 ( 1 5 6⁄ 5 3⁄ 0 − 10 3⁄ − 20 3⁄ 0 55 −50 | 1000 3⁄ − 2800 3⁄ 2600 ) 𝑓2 − 10 3⁄ ⁄ ( 1 5 6⁄ 5 3⁄ 0 1 2 0 55 −50 | 1000 3⁄ 280 2600 ) 𝑓2 ∗ − 5 6⁄ + 𝑓1 𝑓2 ∗ −55 + 𝑓3 ( 1 0 0 0 1 2 0 0 −160 | 100 280 −12800 ) 𝑓3 −160 ⁄ ( 1 0 0 0 1 2 0 0 1 | 100 280 80 ) 𝑓3 ∗ −2 + 𝑓2 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 100 120 80 ) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 100 𝑦 = 120 𝑧 = 80 Veamos En Ec1: 24(100)+20(120)+40(80)=8000 2400 +2400 +3200 =8000 8000=8000 En Ec2: 40(100)+30(120)+60(80)=12400 4000 +3600 + 4800 =12400 12400=12400
  52. 52. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 52 Algebra Lineal En Ec3: 150(100)+180(120)+200(80)=52600 15000 +21600 +16000 =52600 52600=52600 Es decir que se puede transportar un volumen de 100 pies cúbicos, un peso de 120 libras y el costo del seguro es de 80 dólares por cada unidad de producto. 6. El precio de entrada a cierta exposición es de $2 000 para los niños, $5 000 para los adultos y $2 500 para los adultos mayores. En una jornada concreta, la exposición fue visitada por 200 personas en total, igualando el número de visitantes niños al de adultos y adultos mayores juntos. La recaudación de dicho día ascendió a $650 000. a. Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos niños, adultos y adultos mayores visitaron la exposición ese día. b. Resolver el problema. Solución a. Por datos n + a + j =200 (Ec1) n = a + j podemos expresar como n – a – j = 0 (Ec2) 2000n + 5000a + 2500j = 650 000 (Ec3) b. Escribimos la matriz ampliada ( 1 1 1 1 −1 −1 2000 5000 2500 | 200 0 650000 ) 𝑓1 ∗ −1 + 𝑓2 𝑓1 ∗ −2000 + 𝑓3 ( 1 1 1 0 −2 −2 0 3000 500 | 200 −200 250000 ) 𝑓2 −2 ⁄ ( 1 1 1 0 1 1 0 3000 500 | 200 100 250000 ) 𝑓2 ∗ −1 + 𝑓1 𝑓2 ∗ −3000 + 𝑓3 ( 1 0 0 0 1 1 0 0 −2500 | 150 100 −50000 ) 𝑓3 −2500 ⁄ ( 1 0 0 0 1 1 0 0 1 | 100 100 20 ) 𝑓3 ∗ −1 + 𝑓2 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 100 80 20 ) 𝑛 = 100 𝑎 = 80 𝑗 = 20 Verificando: En (Ec1): 100 + 80 + 20 = 200, 200=200 En (Ec2): 100 – 80 – 20 = 0, 0=0 En (Ec3): 2 000(100)+ 5000(80) + 2500(20)=650 000 200 000 + 400 000 + 50 000 = 650 000 = 650 000
  53. 53. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 53 Algebra Lineal 650 000 = 650 000 Por lo tanto la exposición la visitaron 100 niños, 80 adultos y 20 adultos mayores. 7. En una fábrica de ropa se produce tres estilos de camisas que llamaremos A, B y C, cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo A se necesitan 30 min para cortarlas, 42 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo B, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo C, 65 min para cortar, 50 min para coser y 38 min para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar? Por datos, organizamos las matrices 𝐴 = 𝐴 𝐵 𝐶 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜 30 50 65 𝐶𝑜𝑠𝑖𝑑𝑜 42 50 50 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑐ℎ𝑎𝑑𝑜 50 50 38 𝐵 = 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜 480 𝐶𝑜𝑠𝑖𝑑𝑜 480 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑐ℎ𝑎𝑑𝑜 480 Como 1 hora tiene 60 minutos, 8 horas es equivalente a 480 minutos Escribimos el sistema de ecuación. Consideremos:𝑥 Los lotes de las camisas tipo A, 𝑦 el tipo B y 𝑧 el tipo C 30𝑥 + 50𝑦 + 65𝑧 = 480 (1) 42𝑥 + 50𝑦 + 50𝑧 = 480 (2) 50𝑥 + 50𝑦 + 38𝑧 = 480 (3) Escribimos la matriz ampliada | 30 50 65 42 50 50 50 50 38 | | 480 480 480 | 𝐹1 30⁄ → → | 1 5 3⁄ 13 6⁄ 42 50 50 50 50 38 | | 16 480 480 | → 𝐹1 × −42 + 𝐹2 𝐹1 × −50 + 𝐹3 | 1 5 3⁄ 13 6⁄ 0 −20 −41 0 − 100 3⁄ − 211 3⁄ | | 16 −192 −320 | → 𝐹2 −20⁄ → | 1 5 3⁄ 13 6⁄ 0 1 41 20⁄ 0 − 100 3⁄ − 211 3⁄ | | 16 48 5⁄ −320 | 𝐹2 × − 5 3⁄ + 𝐹1 → 𝐹2 × 100 3⁄ + 𝐹2
  54. 54. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 54 Algebra Lineal | 1 0 − 5 4⁄ 0 1 41 20⁄ 0 0 −2 | | 0 48 5⁄ 0 | → → 𝐹3 −2⁄ | 1 0 − 5 4⁄ 0 1 41 20⁄ 0 0 1 | | 0 48 5⁄ 0 | 𝐹3 ∗ 5 4⁄ + 𝐹1 𝐹3 ∗ − 41 20⁄ + 𝐹2 → | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | | 0 48/5 0 | 𝑥 = 0 𝑦 = 48/5 𝑧 = 0 Verificando En (1): 30(0) + 50 ( 48 5 ) + 65(0) = 480; En (2) 42(0) + 50 ( 48 5 ) + 50(0) = 480; En (3): 50(0) + 50 ( 48 5 ) + 38(0) = 480 Solo se pueden producir 9.6 lotes de camisa tipo B. 8. Una empresa fabrica 3 productos A, B y C, cada uno de los cuales debe pasar por 3 diferentes máquinas M1, M2 y M3, a los largo del proceso de producción. Cada unidad A requiere 1 hora en la máquina A, 2 horas en M2 y 1 hora en M3. De la misma forma cada unidad del producto B necesita 2 horas, 2 Horas y 4 horas en las máquinas M1, M2 y M3 respectivamente y cada unidad del producto C necesita 3 horas, 5 horas y 2 horas en cada máquina. Las máquinas M1, M2 y M3 el número de horas máximo de producción son de 640 horas, 900 horas y 860 horas respectivamente. a. Organice los datos en forma de tabla b. Formule el sistema de ecuaciones que permite obtener el número de unidades máximas que se puede producir por producto. c. Resuelva el sistema planteado utilizando el método de reducción de Gauss- Jordan. 9. Una planta produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene 25% de potasio, 45% de nitrato y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% de potasio, 50% de nitrato y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, 75% de nitrato y 25% de fosfato. La planta tiene suministros de 1.5 toneladas diarias de potasio, 5 toneladas al día de nitrato y 3 toneladas al día de fosfato. ¿Qué cantidad de fertilizantes deberá producir de modo que se agote los suministros de ingredientes? 10. Una empresa tiene tres minas con las siguientes composiciones: Mina A Mina B Mina B Níquel (%) 1 2 3 Cobre (%) 2 5 7
  55. 55. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 55 Algebra Lineal Hierro (%) 1 3 1 ¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro? 11. Un departamento de caza y pesca estatal suministra tres tipos de alimentos a un lago que mantiene tres especias de peces. Cada pez de la especie I consume cada semana un promedio de una unidad de alimento 1, una unidad de alimento 2, y dos unidades de alimento 3. Cada pez de la especie II consume cada semana un promedio de tres unidades de alimento 1, cuatro unidades de alimento 2 y 5 unidades de alimento 3. Para un pez de la especie III, el consumo semanal promedio es de dos unidades del alimento 1, dos unidades del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se proporcionan al lago 29 000 unidades del alimento 1, 34 000 unidades del alimento 2 y 55 000 unidades del alimento 3. Suponemos que los tres alimentos se consumen. ¿Qué cantidad de cada especie existe en el lago? 12. Tres familias numerosas van a una heladería. La primera familia pidió 3 helados de barquillo, un helado de vasito y 2 granizadas, la segunda familia consumió 1 helado de barquillo, 4 helados de vasito y una granizada y la tercera familia, 3 helados de barquillo, 2 helados de vasito y 2 granizadas. a. Obtén una matriz A, 3 x 3, que exprese el número de helados de barquillo, helados de vasito y granizadas que consume cada familia. b. Si cada una de las tres familias ha gastado respectivamente: 13 €, 12€ y 15€, calcula el precio de un helado de barquillo, un helado de vasito y una granizada. 13. Un nutriólogo desea planear cierta dieta con base a tres tipos de alimentos. Los porcentajes de requisitos diarios de proteínas, carbohidratos y hierro contenidos en cada onza de los tres tipos de alimentos aparecen en la siguiente tabla Tipo de Alimento I Tipo de Alimento II Tipo de Alimento III Proteínas(%) 10 6 8 Carbohidratos(%) 10 12 6 Hierro(%) 5 4 12
  56. 56. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 56 Algebra Lineal Indique cuantas onzas de cada tipo de alimento debe incluir el nutriólogo en la comida para cubrir con exactitud los requisitos diarios de proteínas, carbohidratos y hierro 100% de cada uno. 14. Un fabricante de blusas produce tres tipos: sin manga, manga corta y manga larga. El tiempo requerido por cada departamento para producir una docena de blusas de cada tipo aparecen en la siguiente tabla Sin mangas Manga Corta Manga larga Corte 9 12 15 Confección 22 24 28 Empaquetado 6 8 8 Los departamentos de corte, confección y empaquetado disponen de un máximo de 80, 160 y 48 horas de trabajo respectivamente, por día. ¿Cuántas docenas de cada tipo de blusa se pueden producir al día si la planta opera a toda su capacidad? 15. Una aéreo línea tiene tres tipos de avión que transportan tres tipos de carga. En la siguiente tabla se resume la carga aérea de cada tipo Tipo de Avión Unidades transportadas Pasajero Transporte Jumbo Correo de primera clase 100 100 100 Pasajeros 150 20 350 Carga aérea 20 65 35 Suponga que en un día determinado, la compañía debe transportar 1100 unidades de correo de primera clase, 460 unidades de carga aérea y 1930 pasajeros. ¿Cuánta carga aérea de cada tipo debe programar? 16. Un fabricante de sierras de mesa tiene tres modelos, Deluxe, Premium y Ultimate, que se deben pintar ensamblar y empacar para su distribución. La tabla da el número de horas requeridas en cada una de estas operaciones para cada tipo de sierra de mesa. Si el fabricante tiene 96 horas disponibles para pintar, 156 horas para ensamblar y 37 para empacar, ¿cuántas sierras de cada tipo se pueden producir al día? Deluxe Premium Ultimate Pintura 1.6 2 2.4 Ensamble 2 3 4 Empaque 0.5 0.5 1
  57. 57. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 57 Algebra Lineal 17. Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó $30 diarios en Inglaterra, $20 diarios en Francia y $20 diarios en España por concepto de hospedaje. En comida gastó $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en España. Sus gastos adicionales fueron de $10 diarios en cada país. Los registros del viajero indican que gastó un total de $340 en hospedaje, $320 en comida y $140 en gastos adicionales durante su viaje por estos tres países. a. Represente la situación en un sistema de ecuaciones lineales b. Utilice el método de reducción de Gauss-Jordan para calcular el número de días que pasó el viajero en cada país. 18. Para el control de cierta enfermedad de una planta, se usan tres productos químicos en las siguientes proporciones: 10 unidades del químico A, 12 unidades del químico B, y 8 unidades del químico C. Las marcas X, Y y Z son atomizadores comerciales que se venden en el mercado. Un galón de la marca X contiene los químicos A, B y C, en la cantidad de 1, 2 y 1 unidades respectivamente. Un galón de la marca Y contiene los químicos en la cantidad de 2, 1 y 3 unidades respectivamente; y un galón de la marca Z los contiene en la cantidad 3, 2 y 1 unidades respectivamente. ¿Qué cantidad de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de los químicos requeridas para el control de la enfermedad? 19. Una empresa transportadora de maquinaria pesada posee tres tipos de camiones, A, B y C. Los camiones están en capacidad de transportar 3 clases de maquinaria. El número de máquinas de cada clase que puede transportar cada camión es Tipos de Camiones Clase de Maquinaria A B C 1 2 1 1 2 0 1 2 3 1 2 0 A la empresa le adjudican un contrato para transportar 34 máquinas clase 1, 10 clase 2 y 25 clase 3. Encuentre el número de camiones de cada tipo que se requiere para cumplir con el contrato 20. Una refinería produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada de gasolina sin azufre requiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en la planta de refinación. Por su parte, cada tonelada de gasolina con azufre requiere 4 minutos en la planta de mezclado y 2 en la planta de refinación. Si la planta de mezclado tiene 3 horas disponibles y la de refinación 2, ¿cuántas toneladas de cada gasolina se deben producir para que las plantas se utilicen al máximo?.
  58. 58. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 58 Algebra Lineal 21. Un industrial produce dos tipos de plástico: regular y especial. Cada tonelada de plástico regular necesita 2 horas en la planta A y 5 en la planta B; cada tonelada de plástico especial necesita 2 horas en la planta A y 3 en la planta B. Si la planta A tiene disponibles 8 horas al día y la planta B 15 horas al día, ¿cuántas toneladas de cada tipo de plástico pueden fabricarse diariamente de modo que las plantas operen a toda su capacidad? 22. Un dietista está preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada onza del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de proteína, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 2 unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos, ¿cuántas onzas de cada comida se necesitan?
  59. 59. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 59 Algebra Lineal DETERMINANTE DE UNA MATRIZ El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por | 𝑨| Determinante de una Matriz de orden 2 Si 𝑨 = [ 𝒂 𝟏,𝟏 𝒂 𝟏,𝟐 𝒂 𝟐,𝟏 𝒂 𝟐,𝟐 ] el determinante de A es el número que se obtiene de 𝐝𝐞𝐭( 𝑨) = 𝒂 𝟏,𝟏 × 𝒂 𝟐,𝟐 − 𝒂 𝟏,𝟐 × 𝒂 𝟐,𝟏 Ejercicio Hallar el determinante de cada matriz 1. 𝑨 = [ 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏 ] ; 𝐝𝐞𝐭( 𝑨) = | 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏 | = ( 𝟑 × 𝟏) − ( 𝟐 × 𝟒) = 𝟑 − 𝟖 = 𝟓 2. 𝑨 = [ 𝟓 −𝟐 𝟑 −𝟏 ]; 𝐝𝐞𝐭( 𝑨) = | 𝟓 −𝟐 𝟑 −𝟏 | = ( 𝟓 × −𝟏) − (−𝟐 × 𝟑) = −𝟓 − (−𝟔) = −𝟓 + 𝟔 = 𝟏 3. 𝑨 = [ −𝟏 𝟑 −𝟐 𝟒 ] 4. 𝑨 = [ −𝟏 −𝟑 𝟐 𝟓 ] 5. 𝑨 = [ 𝟏 𝟑 −𝟐 𝟔 ] 6. 𝑨 = [√ 𝟐 𝟐 √ 𝟐 𝟐 ]
  60. 60. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 60 Algebra Lineal Determinante de una Matriz de Orden 3 Dado el sistema de ecuación lineal 𝑨 = [ 𝒂 𝟏,𝟏 𝒂 𝟏,𝟐 𝒂 𝟏,𝟑 𝒂 𝟐,𝟏 𝒂 𝟐,𝟐 𝒂 𝟐,𝟑 𝒂 𝟑,𝟏 𝒂 𝟑,𝟐 𝒂 𝟑,𝟑 ] , el determinante de A se obtiene: 𝐝𝐞𝐭( 𝑨) = | 𝑨| = 𝒂 𝟏,𝟏(𝒂 𝟐,𝟐 × 𝒂 𝟑,𝟑 − 𝒂 𝟐,𝟑 × 𝒂 𝟑,𝟐) − 𝒂 𝟏,𝟐(𝒂 𝟐,𝟏 × 𝒂 𝟑,𝟑 − 𝒂 𝟐,𝟑 × 𝒂 𝟑,𝟏) + 𝒂 𝟏,𝟑(𝒂 𝟐,𝟏 × 𝒂 𝟑,𝟐 − 𝒂 𝟐,𝟐 × 𝒂 𝟑,𝟏) Ejercicio Hallar el determinante de la matriz A 𝑨 = [ 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 −𝟏 𝟑 𝟐 ] 𝐝𝐞𝐭( 𝑨) = | 𝑨| | 𝑨| = 𝟒( 𝟒 − 𝟗) − 𝟐( 𝟐 + 𝟑) + 𝟏( 𝟑 + 𝟐) = 𝟒(−𝟓) − 𝟐( 𝟓) + 𝟏( 𝟓) = −𝟐𝟎 − 𝟏𝟎 + 𝟓 = −𝟐𝟓 Regla de Sarrus Se obtiene ampliando la matriz con las dos primeras filas o dos primeras columnas luego se suman los productos de los elementos de la diagonal principal y sus paralelas menos las suma de los productos de los elementos de la diagonal secundaria y sus paralelas Ejercicio Hallar el determinante de la matriz A 𝑨 = [ 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 −𝟏 𝟑 𝟐 ] Escribimos la matriz ampliada, agregando las dos primeras filas al final de esta, luego sumamos los productos de los elementos de las diagonales principales menos la sume de los productos de las diagonales secundarias | 𝑨| = | | 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 −𝟏 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 | |
  61. 61. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 61 Algebra Lineal | 𝑨| = [( 𝟒 × 𝟐 × 𝟐) + ( 𝟏 × 𝟑 × 𝟏) + (−𝟏 × 𝟐 × 𝟑)] − [( 𝟏 × 𝟐 × −𝟏) + ( 𝟑 × 𝟑 × 𝟒) + ( 𝟐 × 𝟐 × 𝟏)] | 𝑨| = [ 𝟏𝟔 + 𝟑 − 𝟔] − [−𝟐 + 𝟑𝟔 + 𝟒] = 𝟏𝟑 − 𝟑𝟖 = −𝟐𝟓 Ejercicio Hallar el determinante de cada matriz 𝑨 = [ 𝟏 −𝟑 𝟓 𝟕 𝟒 −𝟏 −𝟐 𝟎 𝟔 ] 𝑨 = [ 𝟐 −𝟏 𝟎 𝟑 𝟓 𝟏 𝟏 𝟕 −𝟖 ] 𝑨 = [ 𝟑 −𝟓 𝟖 −𝟒 𝟐 𝟑 𝟕 𝟎 −𝟏 ] Solución de Sistema Lineales de Ecuaciones por Determinante Solución Matricial de un Sistemas de Ecuación lineal de 2x2 (Regla de Cramer) Dado el sistema de ecuación lineal 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓 , con a, b, c, d, e y f  R se cumple 𝑥 = [ 𝑐 𝑏 𝑓 𝑒 ] [ 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 ] ; 𝑦 = [ 𝑎 𝑐 𝑑 𝑓] [ 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 ] Ejercicio. Resolver el siguiente sistema de ecuación lineal por la regla de Cramer 3x + 2y = -7 x - 3y = 4 Aplicando la regla de Cramer x= [ -7 2 4 -3 ] [ 3 2 1 -3 ] = (-7)(-3)-(4)(2) (3)(-3)-(2)(1) = 21-8 -9-2 = 13 -11 , entonces 𝑥 = − 13 11 y= [3 -7 1 4 ] [ 3 2 1 -3 ] = (3)(4)-(-7)(1) (3)(-3)-(2)(1) = 12+7 -9-2 = 19 -11 , entonces 𝑦 = − 19 11
  62. 62. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 62 Algebra Lineal Verificando En la (Ec1) En la (Ec2) 3 (− 13 11 ) + 2 (− 19 11 ) = −7 (− 13 11 ) – 3 (− 19 11 ) = 4 − 39 11 − 38 11 = −7 − 13 11 + 57 11 = 4 − 77 11 = −7 44 11 = 4 − 7 = −7 4 = 4 El conjunto solución es (− 13 11 , − 19 11 ) Ejercicio. Resuelva cada sistema de ecuación lineal 4x – 3y = -5 3x - 2y = 4 3x + 4y = 1 2x – 3y = 12 5x – 2y = 4 2x – 3y = 5 2x + 3y = 12 3x + 2y =13 3x + 4y = 1 2x – 3y =12 5x – 2y = 4 2x - 3y = 5 -4x + 3y= -5 3x – 2y = 4 x + 2y =3 3x + 6y = 6 0.2x – 0.3y = 4 2,3x – y = 1.2 113 8;1 2 7 2 5   yx yx x – y = 2 2x + 2y = -2 Problemas de Aplicación 1. En un teatro hay 70 personas entre adultos y niños cada adulto paga $4 000 y cada niño $1 500. Si el recaudo fue de $230 000 ¿cuántos adultos y cuántos niños entraron? Definimos las magnitudes: 𝑛, el número de niños y 𝑎: el número de adultos. Organizamos el sistema, por datos Como hay 70 personas: 𝑛 + 𝑎 = 70 (1) Como el recaudo fue de $230 000: 1 500𝑛 + 4 000𝑎 = 230 000 (2) Aplicando la regla de Cramer
  63. 63. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 63 Algebra Lineal 𝑛 = | 70 1 230 000 4 000 | | 1 1 1 500 4 000 | = (70 × 4 000) − (1 × 230 000) (1 × 4 000) − (1 × 1 500) = 280 000 − 230 000 4 000 − 1 500 𝑛 = 50 000 2 500 = 20 𝑎 = | 1 70 1 500 230 000 | 2 500 = (1 × 230 00) − (70 × 1 500) 2 500 = 230 000 − 105 000 2 500 𝑎 = 125 000 2 500 = 50 Verificando en En (1) 𝑛 + 𝑎 = 70 20 + 50 = 70 70 = 70 En (2) 1 500𝑛 + 4 000𝑎 = 230 000 1 500(20) + 4 000(50) = 230 000 30 000 + 200 000𝑎 = 230 000 2. Una compañía tiene ingresos gravables por $312 000. El impuesto federal es 25% de la parte que queda después de pagar el impuesto estatal. El impuesto estatal es el 10% de la parte que queda después de pagar el impuesto federal. Encuentre el monto de los impuestos federal y estatal. Sea 𝑥el monto del impuesto federal e 𝑦el monto del impuesto estatal Por datos 𝑥 = (312 000 − 𝑦) × 0.25 , operando 𝑥 = 78 000 − 0.25𝑦 (1) 𝑦 = (312 000 − 𝑥) × 0.10 , operando 𝑦 = 31 200 − 0.10𝑥 (2) Despejando (1) y (2) 𝑥 + 0.25𝑦 = 78 000 0.10𝑥 + 𝑦 = 31 200 Aplicando la regla de Cramer 𝑥 = | 78 000 0.25 31 200 1 | | 1 0.25 0.10 1 | = 78 000 − 7 800 1 − 0.025 = 70 200 0.975 = 72 000 𝑦 = | 1 78 000 0.10 31 200 | 0.975 = 31 200 − 7800 0.975 = 23 400 0.975 = 24 000
  64. 64. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 64 Algebra Lineal Verificamos En (1) 72 000 = 78 000 − 0.25(24 000) 72 000 = 72 000 En (2) 24 000 = 31 200 − 0.10(72 000) 24 000 = 24 000 Por tanto el monto del impuesto federal será de $72 000 y el del estatal $24 000 3. Si fabrican 65 artículos en total y venden cada pulsera a $ 1.000 y cada libreta a $ 1.200 ¿Cuántas pulseras y cuántas libretas deben hacer para obtener $ 71.000 con la venta, si el costo en materiales de cada pulsera es de $ 300 y de cada libreta es de $ 100? ¿Cuánto dinero ganarán con esta venta? 4. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de café y 3 de azúcar, por lo que paga $60 300. Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al día siguiente y compra 1 Kg. de café y 10 Kg. de azúcar por lo que paga $33 800. Calcule el precio del kilogramo de cada producto 5. La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses producidos es $180 000 ¿cuáles son los capitales si se sabe que el primero se prestó al 5% y el segundo al 8%? 6. En un cine 10 entradas de adultos y 9 de niños cuestan $51 200 y 17 de niños y 15 de adultos $831 00. Hallar el precio de una entrada de niño y una de adulto. 7. El viernes en el almacén “trapos” se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y camisas a $18 000 cada una, las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000. El sábado el almacén vendió cada pantalón y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 ¿cuántas pantalones y cuántas camisas se vendieron? 8. Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa diferente por cada minuto adicional. Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional. 9. Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas. La empresa cobra una tarifa fija más un costo adicional por invitado. Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 ¿cuál es la tarifa fija y el costo por invitado?
  65. 65. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 65 Algebra Lineal 10. El alquiler de un automóvil tiene un costo fijo semanal, un recargo adicional que se cobra por cada kilómetro recorrido. Un viaje de una semana de 800 kilómetros cuesta $440 000 y uno de 1200 Km cuesta $560 000. Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilómetro recorrido. 11. Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16000 boletos. Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros ¿cuántos boletos de cada tipo debe vender? 12. Por usar el servicio de internet una compañía cobra un cargo de $2 000 hora/día y $2 500 hora/noche. si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el número de horas diurnas y nocturnas del servicio. 13. Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta. Una tiene un rédito de 10% sobre la inversión y la otra de 12%. Su ingreso total de estas es de $25 000 ¿En qué tasa tiene la mayor inversión y de cuánto es el monto? 14. El número total de pasajeros matutinos de cierta línea de autobuses urbanos es de 1000. Si el pasaje para niños cuesta US $0.25 y el de adulto US $0.75 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650. ¿Cuántos niños y cuantos adultos utilizaron el bus en la mañana? 15. Juan compró plumeros rojos por $ 1 200 cada uno y azules por $ 800 cada uno. Si Juan compró 24 plumeros con el costo total de $24 800 ¿cuántos plumeros de cada color compró?
  66. 66. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 66 Algebra Lineal Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales de 𝟑 × 𝟑 por determinante Ejercicio. Resolver el sistema de ecuación lineal por determinante 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1 (1) 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0 (2) 3𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 1 (3) Los valores de las variables se obtienen: 𝑥 = | 𝑥| | 𝑆| , 𝑦 = | 𝑦| | 𝑆| 𝑦 𝑧 = | 𝑧| | 𝑆| El determinante | 𝑺| se obtiene de la matriz de coeficientes, así | 𝑠| = | 2 1 −1 1 2 3 3 −1 −4 | =2(-8+3)-1(-4-9)+(-1)(-1-6)=2(-5)-(-13)-(-7)=-10+13+7=10 El determinante | 𝒙| se obtiene remplazando en la columna de 𝒙 la columna de resultados, así | 𝑥| = | −1 1 −1 0 2 3 1 −1 −4 | = −1(−8 + 3) − 1(0 − 3) − (0 − 2) = −(−5) − (−3) − (−2) = 10 El determinante | 𝒚| se obtiene remplazando en la columna de 𝒚 la columna de resultados, así | 𝑦| = | 2 −1 −1 1 0 3 3 1 −4 | = 2(−3) + (−4 − 9) − 1 = −6 − 13 − 1 = −20 El determinante | 𝒛| se obtiene remplazando en la columna de 𝒛 la columna de resultados, así | 𝑧| = | 2 1 −1 1 2 0 3 −1 1 | = 2(2 − 0) − (1) − (−1 − 6) = 4 − 1 + 7 = 10 Remplazando 𝑥 = | 𝑥| | 𝑆| = 10 10 = 1 , 𝑦 = | 𝑦| | 𝑆| = −20 10 = −2 𝑦 𝑧 = | 𝑧| | 𝑆| = 10 10 = 1 Verificando En (1) En (2) En (3) 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1 2(1) + (−2) − 1 = −1 −2 − 1 = −1 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0 1 + 2(−2) + 3(1) = 0 1 − 4 + 3 = 0 3𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 1 3(1) − (−2) − 4(1) = 1 3 + 2 − 4 = 1
  67. 67. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 67 Algebra Lineal −1 = −1 0= 0 1 = 1 Por tanto el conjunto solución es (1, -2, 1) Ejercicio. Resolver cada sistema de ecuación lineal por determinante 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4 −𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −3 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −4 𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 1 3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 1 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 4 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 7 2x + y - z = -1 3x – 2y + z = 3 -4x + 3y + 2z = -11 x + z -1 x + y = 0 y + z = -3 x + y + z = -2 2x – y + z = 1 -x + 2y – z = -1 x + 2y – z = 3 3x – y + 2z = =-8 2x + 3y + z = -1 x + y + z = 6 2x + y – z = 1 x – 2y + z = 0 x – 2y + 2z = 3 x – 2z = 4 y – z = 1 Problema de Aplicación: 1. Una fábrica produce tres tipos de camisas. Cada uno de los tres tipos de camisa tiene que pasar por tres departamentos de producción: corte, cosido y empaque. Según el tipo de camisa, el tiempo de trabajo que se ocupa en cada una está dado en la siguiente tabla: Tipo A Tipo B Tipo C Departamento de corte 0.2 hr 0.4 hr 0.3 hr Departamento de cosido 0.3 hr 0.5 hr 0.4 hr Departamento de empaque 0.1 hr 0.2 hr 0.1 hr Los departamentos de corte, cosido y empaque tienen disponibles como máximo 1160, 1560 y 480 horas de trabajo por semana respectivamente. ¿Cuántas camisas de cada tipo debe de producirse a la semana para ocupar al máximo la capacidad de cada departamento? Escribimos el sistema de ecuaciones, consideremos 𝑥la cantidad de camisas tipo A, 𝑦 las tipo B y 𝑧 las tipo C 0.2𝑥 + 0.4𝑦 + 0.3𝑧 = 1160 (1)
  68. 68. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 68 Algebra Lineal 0.3𝑥 + 0.5𝑦 + 0.4𝑧 = 1560 (2) 0.1𝑥 + 0.2𝑦 + 0.1𝑧 = 480 (3) Hallamos los determinantes | 𝑆| = | 0.2 0.4 0.3 0.3 0.5 0.4 0.1 0.2 0.1 | = 0.2(0.05 − 0.08) − 0.4(0.03 − 0.04) + 0.3(0.06 − 0.05) | 𝑆| = −0.006 + 0.004 + 0.003 = 0.001 | 𝑥| = | 1160 0.4 0.3 1560 0.5 0.4 480 0.2 0.1 | = 1160(0.05 − 0.08) − 0.4(156 − 192) + 0.3(312 − 240) | 𝑥| = −34.8 + 14.4 + 21.6 = 1.2 | 𝑦| = | 0.2 1160 0.3 0.3 1560 0.4 0.1 480 0.1 | = 0.2(156 − 192) − 1160(0.03 − 0.04) + 0.3(144 − 156) | 𝑦| = −7.2 + 11.6 − 3.6 = 0.8 | 𝑧| = | 0.2 0.4 1160 0.3 0.5 1560 0.1 0.2 480 | = 0.2(240 − 312) − 0.4(144 − 156) + 1160(0.06 − 0.05) | 𝑧| = −14.4 + 4.8 + 11.6 = 2 Ahora hallamos los valores de las variables 𝑥 = | 𝑥| | 𝑆| = 1.2 0.001 = 1200, 𝑦 = | 𝑦| | 𝑆| = 0.8 0.001 = 800 𝑦 𝑧 = | 𝑧| | 𝑆| = 2 0.001 = 2000 Verificando En (1) 0.2𝑥 + 0.4𝑦 + 0.3𝑧 = 1160 0.2(1200) + 0.4(800) + 0.3(2000) = 1160 0.2(1200) + 0.4(800) + 0.3(2000) = 1160 1160=1160 En (2)
  69. 69. Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 69 Algebra Lineal 0.3𝑥 + 0.5𝑦 + 0.4𝑧 = 1560 0.3(1200) + 0.5(800) + 0.4(2000) = 1560 1560=1560 En (3) 0.1𝑥 + 0.2𝑦 + 0.1𝑧 = 480 0.1(1200) + 0.2(800) + 0.1(2000) = 480 480=480 Por tanto se pueden producir 1200 camisas tipo A, 800 tipos B y 2000 tipo C 2. Un centro de diversión tiene capacidad para 101 mesas, las mesas cuentan con 4, 6 y 8 sillas, la capacidad total de sillas es de 552. En cierto día se ocupó la mitad de las mesas de 4 sillas, un octavo de las mesas de 6 sillas y un tercio de las de 8 sillas para un total de 35 mesas ¿Cuántas mesas de cada tipo se utilizaron ese día? Inicialmente vamos a hallar en número de mesas de cada tipo Consideremos 𝑥 el número de mesas de 4 sillas, 𝑦 el número de mesas de 6 puestos y 𝑧 el número de mesas de 8 puestos Por datos el sistema de ecuación lineal sería 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 101 ① 4𝑥 + 6𝑦 + 8𝑧 = 552 ② 1 2 𝑥 + 1 8 𝑦 + 1 3 𝑧 = 35 ③ Calculamos los determinantes | 𝑠| = | 1 1 1 4 6 8 1/2 1/8 1/3 | = 1.16 | 𝑥| = | 101 1 1 552 6 8 35 1/8 1/3 | = 56 | 𝑦| = | 1 101 1 4 552 8 1/2 35 1/3 | = 37.33 | 𝑦| = | 1 1 101 4 6 552 1/2 1/8 35 | = 24.5 Calculamos los valores de las variables

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