Lógica y conjuntos proposiciones y cuantificadores

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4.1 Proposiciones singulares, particulares, universales
4.2 Traducción del lenguaje natural al simbólico utilizando
cuantificadores
4.3 Reglas de cuantificación y demostración de validez (Prueba formal
de validez y prueba condicional reforzada).
4.4 Prueba de invalidez.
4.5 Proposiciones múltiplemente generales.
4.6 Negación de cuantificadores.
4.7 Cuadro tradicional de oposición: contradictorias, contrarias y
subcontrarias, alternas y subalternas.
4.8 Forma, figura del silogismo y demostración de validez e invalidez del
mismo mediante diagramas de Venn-Euler.
4.9 Identidad y relaciones.
4.10 Cuantificadores múltiples.

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Lógica y conjuntos proposiciones y cuantificadores

  1. 1. CENTRO UNIVERSITARIO DE LA COSTANORTELÓGICA Y CONJUNTOSUNIDAD 4. PROPOSICIONES Y CUANTIFICADORESING. EN COMPUTACIÓNJazmín Aguirre SuárezPuerto Vallarta, Jalisco, 01 de Diciembre del 2012
  2. 2. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 2C O N T E N I D OUNIDAD 4. PROPOSICIONES Y CUANTIFICADORESTEMA PAGINA4.1 Proposiciones singulares, particulares, universales 34.2 Traducción del lenguaje natural al simbólico utilizandocuantificadores54.3 Reglas de cuantificación y demostración de validez (Prueba formalde validez y prueba condicional reforzada).94.4 Prueba de invalidez. 114.5 Proposiciones múltiplemente generales.124.6 Negación de cuantificadores.154.7 Cuadro tradicional de oposición: contradictorias, contrarias ysubcontrarias, alternas y subalternas.164.8 Forma, figura del silogismo y demostración de validez e invalidez delmismo mediante diagramas de Venn-Euler.184.9 Identidad y relaciones.204.10 Cuantificadores múltiples.22
  3. 3. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 34.1. PROPOSICIONES SINGULARES, PARTICULARES Y UNIVERSALES.Preposiciones SingularesExpresan un hecho concreto que ocurre en un momento determinado del tiempo.Sólo son verdaderas aquí y ahora: “La pizarra de la clase es verde”, “El presidentedel gobierno del estado español es José Luis Rodríguez Zapatero”, “Todos losalumnos de 1º A son inteligentes” (Aunque parece universal equivale a un númerofinito de proposiciones singulares: el 1º de la lista de 1º A es inteligente, el 2º de lalista de 1º A es inteligente….”)Es decir si el sujeto es un sólo individuo, se habla de una proposición singular porejemplo: “Juan corre”. En las proposiciones singulares el sujeto no es un concepto,sino un nombre propio. En el simbolismo lógico, estos individuos se expresan conlas letras minúsculas a, b, c…Por ejemplo: “la torre Eiffel mide 325 metros”; “la torre Eiffel”(a) es elindividuo, y “mide 325 metros” es predicado (F); Los predicados seexpresan con las letras mayúsculas F, G, H… Entonces podemos simbolizar laproposición singular anterior: (Fa).Preposiciones particularesExpresan que una propiedad determinada es poseída por un número indefinido deuna clase dada: “Algunas personas se enfadan si se les dice que no”, “cuando haycirros, casi nunca llueve”.En las proposiciones particulares el sujeto es un concepto cuantificado. Como noestá definido como individuo concreto, sino como concepto abstracto. En elsimbolismo se usan las letras para lo desconocido, o sea las letras x, y, z…Enestricto sentido lógico la proposición singulares un sub caso de las proposicionesparticulares, porque ‘algunos’ también significa ‘por lo menos uno’.
  4. 4. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 4Ejemplo: “algunos hombres son varones”; aquí “hombres” no es un individuo, sinoun concepto universal cuantificado (“algunos”).Preposiciones UniversalesSi el sujeto incluye todos los entes de una cierta clase, hablamos de unaproposición universal. Aquí el sujeto también es un concepto cuantificado, perocon el cuantificador universal (‘todos’).Ejemplo: ‘el hombre es mortal’; esta mismapro-posición puede expresarse de diferentes maneras:‘ todos los hombres sonmortales’; ‘ningún hombrees inmortal’. Una vez más, no hay que engañarse por laforma lingüísticaEN CONCLUSIÓNPreposición ModalidadSingular Uno RealParticular Algunos PosibleUniversal Todos Necesaria
  5. 5. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 54.2 TRADUCCIÓN DEL LENGUAJE NATURAL AL SIMBOLICOUTILIZANDO CUANTIFICADORESDEFINICIÓN DE CUANTIFICADORESLos cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos deun conjunto cumplen con cierta propiedad. Cuando utilizamos funcionesproposicionales podemos incorporar dos nuevos símbolos denominadoscuantificadores.Hay dos formas de cuantificar una función proposicional:Cuantificador ExistencialDenota que existe “al menos” un elemento x del Universo, para el cual p(x) esverdadera.Notaciónx p(x) óx y p(x, y) x, y p(x, y)En lenguaje natural decimos...Formas de expresarlo:“Hay un x”“Para algún x”“Para al menos un x”“Existe un x tal que”La proposición es Verdadera, si existe al menos un elemento x del universo tal quep(x) sea verdadera. De lo contrario es falsa.Si p(x) es una función proposicional en U, entonces la expresión:x; p(x) Se lee “existe x tal que p(x)”y significa que hay al menos un elemento “a” que pertenece al universo, de modoque p(a) es verdadera.Observación Dentro de este cuantificador nos encontramos con el cuantificador! que se lee existe un único y que es verdadero si y solo si la proposición essolamente verdadera en una ocasión.
  6. 6. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 6Ejemplos:1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, considerando queU = {1,2,3,4,5,6,7}a)Valor de x Operación ConclusiónX=1 12-1=13 FalsoX=2 22-2=13 FalsoX=3 32-3=13 FalsoX=4 42-4=13 FalsoX=5 52-5=13 FalsoX=6 62-6=13 FalsoX=7 72-7=13 FalsoLa proposición es falsa, ya que para todos los elementos de U la proposición es falsab)Valor de x Operación ConclusiónX=1 12-1>20 FalsoX=2 22-2>20 FalsoX=3 32-3>20 FalsoX=4 42-4>20 FalsoX=5 52-5>20 FalsoX=6 62-6>20 VerdaderoX=7 72-7>20 VerdaderoLa proposición es verdadera, ya que existen dos elemento de U que satisface laproposición.Ejemplos: q(x)=x/x estudia en la universidad de Guadalajara r(x)=x/x es mujerExisten estudiantes de la universidad de Guadalajara que son mujeresx:q(x)r(x) q(x)=x/x estudia en la universidad de Guadalajara r(x)=x/x estudia lógica
  7. 7. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 7Existen estudiantes de la universidad que estudian lógicax:q(x)r(x) q(x)=x/x estudia lógica r(x)=x/x gana el curso de lógicaExisten estudiantes que si estudian lógica, ganan el curso.x:q(x)r(x)Cuantificador UniversalIndica que una proposición es Verdadera para todos los valores de una variable en un“universo” en particular. p(x) es verdadera, para todos los valores de x en el dominio.NotaciónEn lenguaje natural decimos...Formas de expresarlo:“Para todo x”“Para cada x”“Para cualquier x”“Para todo x y y”“Para todo x,y”La proposición es Verdadera, si para cada reemplazo de x, p(x) es verdadera. Es falsa, siexiste al menos un x para el cual p(x) es falsa.Si p(x) es una función proposicional en U, entonces la expresión:Se lee “para todo x, p(x)”y significa que todos los elementos x de U hacen que p(x) sea verdadera.
  8. 8. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 8Ejemplos2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, considerando quea)Valor de x Operación ConclusiónX=1 12<34 VerdaderoX=2 22-<34 VerdaderoX=3 32<34 VerdaderoX=4 42<34 VerdaderoX=5 52<34 VerdaderoX=6 62<34 FalsoLa proposición es falsa, ya que no todos los elementos de U satisfacen la proposición.b)Valor de x Operación ConclusiónX=1 (5)(1)-1>2 VerdaderoX=2 (5)(2)-1>2 VerdaderoX=3 (5)(3)-1>2 VerdaderoX=4 (5)(4)-1>2 VerdaderoX=5 (5)(5)-1>2 VerdaderoX=6 (5)(6)-1>2 VerdaderoLa proposición es verdadera, ya que todos los elementos de U satisfacen p(x).Ejemplos: P(x)=x/x pertenece a la universidad de Guadalajara x:p(x)=“Para todo x, x es estudiante de la universidad de Guadalajara P(x):x/x profesor de la universidad x:p(x)=“Para todo x, x es profesor de la universidad de Guadalajara p(x)=x/x es estudiante de la universidad de Guadalajara q(x):x/x es mayor de 30 añosTodos los estudiantes de la universidad mayores de 30 x:p(x)q(x)=“Para todo x, x es estudiante y es mayor de 30 años
  9. 9. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 94.3 REGLAS DE CUANTIFICACIÓN Y DEMOSTRACIÓN DEVALIDEZ (PRUEBA FORMAL DE VALIDEZ Y PRUEBACONDICIONAL REFORZADA)Cuantificación Universal(con restricciones)IU EUCuantificación ExistencialIE(con restricciones)EEReglas de InferenciaLas reglas de inferencia son las fórmulas y métodos sintácticos que permitenobtener conclusiones correctas (desde el punto de vista lógico, sin tener en cuentala semántica) a partir de otras denominadas premisas o hipótesis.Existen cinco reglas clásicas fundamentales:Regla uno: “Si p es condición suficiente para q y p es verdadera, entonces, qtambién lo es”. Esta regla se denomina también “modus ponendo ponens”, dellatín ponerse=afirmar. En formulas se suele escribir así:, aunque hay otras formas alternativas. En matemáticas describe lo que seconoce como “demostración directa”.Por ejemplo, seanEl queso de cabra es buenoDeducimos que es cierto que “mi queso es bueno”
  10. 10. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 10Otro ejemplo: éste más familiar seanx es derivable : entoncesdeducimos que es cierto que “ es continua.Regla dos: “Si p es condición suficiente para que q y q no es verdadera, entoncesq p tampoco lo es”. Esta regla se denomina también “modus tollendo tollens” dellatín Tollere=negar.En formulas: en Matemáticas describe lo que se conoce como“demostración indirecta por contrarecíproco”.Regla tres: “Si p condición suficiente para q, y q es condición sufiente para r,entonces p es condición suficiente para r”.Esta regla es el “silogismo hipotético”. Del griego syn(juntar)+lógos(razonamiento).Su fórmula:El ejemplo clásico es “todos los hombres son mortales, “Sócrates es hombre”,luego “Sócrates es mortal”.Regla cuatro: “Si uno de los dos, p ó q, es cierto y p es falso, entonces q escierto” esta regla es un “silogismo disyuntivo”. En fórmulas:Regla cinco: “Si ~p es condición suficiente para que se dé una contradicción,entonces p es cierto”. En fórmulas:En matemáticas se conoce como “demostración por contradicción”
  11. 11. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 114.4 PRUEBA DE INVALIDEZSe trata de una demostración indirecta por reducción al absurdo. Si la conclusióntiene valor 0, es falsa, y las premisas pueden tener valor 1, el razonamiento esinválido.Modus operandi:Se da valor 0 a la conclusión y se intenta que todas las premisas adquieran valorde verdad - operando como hacíamos en las tablas veritativas.Si las premisas son verdaderas y la conclusión falsa, el razonamiento es inválido.Por ejemplo:1 2 3Operamos así:1 2 31/0 1 1 1 1 0 1 1 00El razonamiento es inválido, ya que hemos podido dar valor 1 a las premisas,siendo falsa la conclusión.Consideremos ahora el siguiente razonamiento:1 20 11 1 0 1 0 0Como la segunda premisa no puede tener valor 1, no se puede probar la invalidezdel razonamiento.Sin embargo, para probar la validez de un razonamiento, es necesario ademásrealizar la prueba formal de validez.
  12. 12. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 124.5 PROPOSICIONES MÚLTIPLEMENTE GENERALESConsiste en proposiciones con varios cuantificadores.Por ejemplo:"Si todos los perros son carnívoros, entonces algunos animales son carnívoros.""Si todos los P son C, entonces algunos A son C."P(x) [Px  Cx]  (x) [Ax . Cx]Distinguiremos:- función (no posee ninguna constante) —f(x,y, etc.).- proposición- función proposicional (posee por lo menos una variable independiente) —f(x,a, etc.).Supongamos ahora la proposiciónFa . Gb  proposiciónque puede ser ejemplificada por las siguientes tres funciones proposicionalesFx . Gb  función proposicionalFa . Gx  función proposicionalFx . Gy  función proposicionalSi el perro del ejemplo tiene por nombre Lassie resultaP(x) [Px  Cx]  Cl proposiciónque a su vez es ejemplo deP(x) [Px  Cx]  Cx  función proposicionaly donde se observa que hay dos tipos de «x»- las ligadas al cuantificador «(x)» y su extensión «[...]»- en este caso sólo es una: las «x» del primer miembro- las libres del cuantificador «(x)» y su extensión «[...]»- en este caso sólo es una: la «x» del segundo miembro
  13. 13. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 13RecomendacionesLas proposiciones no tienen variables ligadas o libres «x», sino que son sólo V o F.Los conectivos «  » tienen mayor alcance que los cuantificadores «(x)».Dada una función proposicional cualquiera, por ejemplo: Px  CxSi se diera que se trabajo con la sustitución proposicionalPa  Ca  bienNo es correcto luego trabajar con una segunda sustitución que reemplace la constantePa  Cb  malPero sí se puede hacerFx  GyFa  Gb  bienEn suma:al reemplazar variables por constantes, la misma variable debe ser reemplazadasiempre por la misma constante.es posible reemplazar distintas variables por la misma constante.Si ahora tenemos por ejemplo las siguientes dos funciones:P(x) FxP(x) FyPodemos distinguirlas como iguales con la única diferencia el aspecto notacional. Pero noes lo mismo con estas dos:P(x) [Fx . Gy]P(y) [Fx . Gy]Porque a la vsegunda; y viceversa.También se puede hacer el siguiente reemplazo para trabajar con claridad y utilidad:P(x) [Px  Cx]  (x) [Ax . Cx]P(x) [Px  Cx]  (y) [Ay . Cy]
  14. 14. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 14Ejemplos:1) "Si algo está mal en la casa, entonces todos en la casa se quejan.""Si algo está M en la casa, entonces [todas las Personas] en la casa se Q."(x) [Mx]  (y) [Py  Qy]2) "Si algo anda mal, debe ser rectificado.""Si algo anda M, debe ser R."(x) [Mx]  Rx  mal(x) [Mx  Rx  mal(x) [Mx  Rx]  bien (el vocablo «algo» denota universalidad)3) "Si algo se pierde, entonces si nadie llama a la policía, habrá un descontento.""Si algo se M, entonces si [ninguna Persona] llama a la C, habrá un D."(x) [Mx]  { (y) [Py  -Cy]  (z) [Pz . Dz] }4) "Si algo se perdió, y entonces nadie llama a la policía, no será recobrado.""Si algo se M, y entonces [ninguna Persona] llama a la C, no será R."(x) [Mx]  { (y) [Py  -Cy]  -Rx } mal (la variable libre «x» no esalcanzada por el cuantificador«(x)»)(x) { [Mx]  { (y) [Py  -Cy]  -Rx } }  bien5) "Si algo se descompone, alguien será culpado.""Si algo se D, [alguna Persona] será C."P(x) [Dx]  (y) [Py  Cy] bienP(x) [Dx]  (x) [Px  Cx] bien6) "Si algo se pierde, alguien llamará a la policía.""Si algo se M, [alguna Persona] llamará a la C."P(x) [Mx]  (y) [Py . Cy]7) "Si algo se pierde, entonces lo tomó la mucama.""Si algo se M, entonces lo T la mucama."P(x) [Mx  Tx]8) "Si todos los diamantes son grandes, entonces algunos diamantes son caros.""Si todos los D son G, entonces algunos D son $."P(x) [Dx  Gx]  (y) [Dy . $y]
  15. 15. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 154.6 NEGACIÓN DE CUANTIFICADORESLa negación de la proposición en la cual se ha utilizado el cuantificador universal,corresponde a una proposición en la cual se utiliza el cuantificador existencial; asu vez, la negación de una proposición en la cual se ha usado el cuantificadorexistencial, corresponde a una proposición en la cual se utiliza el cuantificadoruniversal.EJEMPLOSNegar las siguientes proposiciones cuantificadas. Luego, simbolizar la proposicióny la negación.a. Todos los números naturales son imparesNegación: Existe por lo menos un números natural que no es imparsimbólicamente.b. Existe un número par que no es múltiplo de 4.Negación: Todos los números pares son múltiplos de 4simbólicamente.Sea p(x) una función proposicional con extensión A, entonces¬( x A) p(x)≡( x A) ¬p(x)¬ ( x A) p(x) ≡ ( x A) ¬p(x)Ejemplos1) Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}Determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguientea) ( x A) (x+3 =10)Solución: Es falso porque ningún número de A es una solución de x + 3 = 10b) b) ( x A)(x+3<10)Solución: Es Verdadero. Cualquier número de A cumple que x + 3<10
  16. 16. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 164.7 CUADRO TRADICIONAL DE OPOSICIÓN: CONTRADICTORIAS,CONTRARIAS Y SUBCONTRARIAS, ALTERNAS Y SUBALTERNASCUADRO DE LA OPOSICIÓN:Se llama cuadro de oposición de los juicios al esquema mediante el que seestudian las relaciones formales entre los diversos tipos de juicios aristotélicos, A,E, I, O, considerando cada juicio con términos idénticos. En su día fue consideradopor el mismo Aristóteles.A = UNIVERSAL AFIRMATIVO. Término Sujeto tomado en su extensión universal;término Predicado particular; cualidad afirmativa. Todo S es P.E = UNIVERSAL NEGATIVO. Término Sujeto tomado en su extensión universal;término Predicado universal; cualidad negativa. Ningún S es P.I = PARTICULAR AFIRMATIVO. Término Sujeto tomado en su extensiónparticular; término Predicado en su extensión particular; cualidad afirmativa. AlgúnS es P.O = PARTICULAR NEGATIVO. Término Sujeto tomado en su extensión particular;término Predicado en su extensión universal; cualidad negativa. Algún S no es P.Se llaman juicios opuestos a los que teniendo los mismos términos difieren encantidad, en cualidad o en ambas. Se representan en cada uno de los vértices delcuadrado de oposición, estableciéndose las siguientes relaciones:A y E son contrarios porque difieren en cualidad siendo universales.I y O son subcontrarios, porque siendo particulares difieren en la cualidad.CONTRARIOSSUBALTERNOSSUBCONTRARIOSSUBALTERNOSCONTRADICTORIOSUNIVERSALESAFIRMATIVOSNEGATIVOSPARTICULARES
  17. 17. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 17A con respecto a O, e I con respecto a E son contradictorios, porque difieren encantidad y cualidad.A con respecto a I, y E con respecto a O son subalternos porque difieren en lacantidad.Las relaciones con respecto al valor de verdad en relación de unos y otros semuestran en los siguientes cuadros:OPOSICIÓN JUICIOSRELACIONADOSRELACIÓN VERITATIVAContradictorios A - OE - ISi uno es verdadero el otro es falso yviceversa.Ni ambos verdaderos, ni ambos falsos.Contrarios A - ENo pueden ser ambos verdaderosPero pueden ser los dos falsosSubcontrarios I - OPueden ser ambos verdaderosPero no pueden ser los dos falsosSubalternosA - IE - OSi el universal (A, E) es verdadero,entonces el particular (I, O) es verdaderoPero si el particular (I, O) es verdaderoentonces el universal (A, E) no esnecesariamente verdadero
  18. 18. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 184.8 FORMA, FIGURA DEL SILOGISMO Y DEMOSTRACIÓN DEVALIDEZ E INVALIDEZ DEL MISMO MEDIANTE DIAGRAMA DEVENN-EULERSe sabe que el silogismo categórico estructuralmente está compuesto por 3proposiciones categóricas que contienen a su vez dentro de ellas 3 términos.Además, estas 3 proposiciones categóricas se pueden representar mediante lafórmula booleanas en diagramas.Por este motivo es posible analizar el silogismo como la resultante de unintersección de 3 clases, cada una de las cuales representa respectivamente altérmino medio (T. medio), al término mayor o predicado de la conclusión (TM) y altérmino menor o sujeto de la conclusión (tm).De la relación de estas 3 clases resulta el siguiente diagrama en el que sedistinguen 8 áreas.DIAGRAMA DE VENN DE 3 CLASESZONA CARACTERÍSTICA123456788M75642PS13US PMU
  19. 19. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 19PASOS1er. Paso: determinar las premisas y la conclusión. Hallar los 3 términos.2do. Paso: determinar la fórmula booleana de cada proposición categórica.3er. Paso: dibujar las 3 clases (términos mayor, menor y medio) así porconvención.4to. Paso: Diagramar solo las premisas. El silogismo será válido si aparece, secomprueba o verifica la conclusión.Determine la validez del siguiente silogismo:Todo argentino es sudamericano, además, algún lógico es argentino. Por lo tanto,algún lógico es sudamericano.PRIMER PASO: PM: Todo A es S, Pm: Algún L es A C: Algún L es SSEGUNDO PASO: PM: AS= , Pm: LA , C: LS.TERCER PASO:CUARTO PASO: Vemos que la conclusión C, que señala que existen elementoscomunes a L y S, efectivamente queda diagramada cuando dibujamos laspremisas. El silogismo es válido
  20. 20. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 204.9 IDENTIDAD Y RELACIONESEn español se usa con frecuencia alguna forma del verbo "ser" entre dos términos,para indicar que nombran o se refieren a una misma cosa.Por ejemplo:"Simón Bolívar fue el primer presidente de Colombia".Esto significa, que Simón Bolívar nombra o indica lo mismo que " primerpresidente de Colombia". Así si s representa a Simón Bolívar y p al primerpresidente de Colombia este enunciado se puede simbolizar como:s = pEl signo = (igual) se denomina también signo de identidad.Sin embargo, el verbo "ser" se usa también en otro sentido, por ejemplo:"Simón Bolívar fue un hombre valiente".Aquí sería incorrecto decir que Simón Bolívar nombra o indica lo mismo que"hombre valiente".Debe tenerse presente que el signo de identidad se coloca entre términos que sonnombre de la misma cosa. Así, dos objetos aunque tengan una apariencia tanigual que no se distingan, son sin embargo distintos, es decir no idénticos. Decirque dos objetos son iguales, significa que son el mismo objeto, no que son tananálogos que no se distinguen.Axiomas do la Lógica de la identidad.1) (" x)(x = x). (Todo objeto es igual así mismo).2) (" x)(" y)(x = y Û y = x) (Simetría).3) (" x)(" y)(" z)(x = y Ù y = z Þ x = z) (Transitividad).4) (c = d),Þ (Pc Û Pd). (Regla de la identidad).Intuitivamente, el axioma cuatro dice: Si dos objetos son iguales, entoncesverifican las mismas propiedades.
  21. 21. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 21Ejemplo: Simbolizar el siguiente razonamiento, y mostrar que la inferencia esválida deduciendo la conclusión. Eduardo podía haber visto el coche del asesino. Ricardo fue el primer testigo de la defensa. O Eduardo estaba en la fiesta o Ricardo dio testimonio falso. En efecto, nadie en la fiesta pudo haber visto el coche del asesino. Por tanto el primer testigo de la defensa dio testimonio falso.Sean:Ve: Eduardo pudo haber visto el coche del asesino.r = p: Ricardo fue el primer testigo de la defensa.Fe: Eduardo estaba en la fiesta.Tr: Ricardo dio testimonio falso.(" x)(Fx Þ Ø Vx): nadie en la fiesta pudo haber visto el coche del asesino.Entonces:1 Ve premisa.2 r = p premisa.3 Fe Ú Tr premisa.4 (" x)( Fx Þ Ø Vx) premisa.5 Fe Þ Ø Ve E.U. en 4.6 Ve Þ Ø Fe contrarrecíproco en 5.7 Ø Fe RV1 en 1 y 6.8 Tr regla de disyunción 3 y 7.9 Tp regla de identidad en 2 y 8.
  22. 22. ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 224.10 Cuantificadores múltiplesConsideremos la función proposicional de dos variables P definida en A × B (A y Bson conjuntos no vacíos). Se puede transformar dicha función en una proposicióncuantificándola de las siguientes formas:Observa que , no es una proposición, es la forma de una funciónproposicional definida en B.Ejemplos:Consideremos la función proposicional , definida en x .1) La proposición Es falsa2) La proposición Es verdadera3) La proposición Es falsa4) La proposición Es verdadera

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