Este documento presenta información sobre ángulos y triángulos. Explica conceptos básicos como los tipos de ángulos, su medición y clasificación. También cubre las propiedades de los triángulos, incluyendo su clasificación según lados y ángulos. Finalmente, introduce los elementos secundarios de los triángulos como las alturas y simetrales. Incluye ejemplos y ejercicios prácticos para reforzar los conceptos.

1. Ángulos y Triángulos
Asignatura: TRIGONOMETRIA
ING. JAVIER ENEIRO VEGA
INSTITUTO TECNICO INDUSTRIAL
LAUREANO GOMEZ CASTRO
mmm... ojalá
te sirva este
módulo

2. “A ver a ver a ver”: Hola amigos del ITI, en
las siguientes diapositivas presentaremos lo
entretenidito que puede resultar aprender
las propiedades de los ángulos y triángulos.
Van a aprender a construirlos
perfectamente; sus propiedades y lo mas
importante, desarrollar esos ejercicios que
se ven de otro mundo. En estas diapositivas
van a encontrar entreteniditos “Quizesitos”
y así poder pasar a otro nivel de dificultad.
Buena suerte y animo con los
TRIANGULOS Y ANGULOS!!!!!

3. Ángulos
Para aprender sobre los ángulos primero tenemos que tener claros estos
conceptos, esperemos que este cuadro te ayude
Nombre del
Conjunto
Representación
Punto
×
P
Recta
M
Segmento
N
Rayo
M
M
N
Plano
N
Símbolo
P
MN
MN
MN
P
Se lee
Punto P
Recta MN
Recta NM
Segmento MN
Segmento NM
Rayo MN
Plano P
Dimensión
No tiene
Una: Largo
Una: Largo
Una: Largo
Dos: Largo y
Ancho

4. Ángulos
Ahora si podemos comenzar. Un ángulo es la figura formada
por 2 semirrectas que parten de un mismo punto. Las
semirectas se llaman lados y el punto común vértice. Así como
muestra la figura

5. Ángulos
Sistema de Medición de ángulos
Este es el que se conoce como Sistema sexagesimal
Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de
estas partes constituyen un grado sexagesimal.
Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’)
que corresponden, cada una de ellas, a un minuto.
Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales
(60") correspondiendo cada una de estas partes a un
segundo.
“Con esfuerzo y
constancia lograras
aprender los contenidos”

6. Ángulos
Tipos de Ángulos
Tipo de ángulo
Rango α
0º < α < 90º
α
Ángulo Agudo
90º = α
α
Ángulo Recto

7. Ángulos
α
Ángulo Extendido
180º = α
0º < α < 90º
α
Ángulo Obtuso
α
Ángulo Convexo
180º < α < 360º

8. Ángulos
α
360º = α
Ángulo Completo
Haber muchachos,
después de esto nos
vamos a meter en la
materia de la
clasificación de
ángulos así que
prepárense

9. Ángulos
Clasificación de ángulos
Ángulos CONSECUTIVOS
• Son ángulos que tienen un lado común y el mismo
vértice. ∠ BAC es adyacente con ∠ DAC

10. Ángulos
Clasificación de ángulos
Ángulos Opuestos por el vértice
• Dos líneas que se interceptan generan ángulos
opuestos por el vértice. - Son ángulos no
adyacentes. ∠ 1, ∠ 2, ∠ 3 y ∠ 4
• Son ángulos congruentes:
∠ 1 = ∠ 2 y ∠ 3 = ∠ 4

11. Ángulos
Clasificación de ángulos
Ángulos Complementarios
• Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya
particularidad es que suman 90°. α+β=90º
• El ∠ BAC es adyacente al ∠ DAC y viceversa

12. Ángulos
Clasificación de ángulos
Ángulos Suplementarios
• Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya
particularidad es que suman 180°. α+β=180º
• El ∠ BAC es adyacente al ∠ DAC y viceversa

13. Ángulos
QUIZ 1
Llegó la hora de hacer el primer quiz, esperemos que estés
listo después de todo lo aprendido
Va a ser un quiz de 3 preguntas simples con alternativas
BUENA SUERTE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1) ¿Qué tipo de ángulo sería este?
a) Obtuso
b) Convexo
c) Agudo
d) Extendido
α

14. Ángulos
QUIZ 1
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres
Pasa a la siguiente pregunta

15. Ángulos
QUIZ 1
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior

16. Ángulos
QUIZ 1
2) ¿Cuál es el complemento de un ángulo de 21º ?
a) 159º
b) 69º
c) 339º
d) 29º

17. Ángulos
QUIZ 1
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres
Pasa a la siguiente pregunta

18. Ángulos
QUIZ 1
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior

19. Ángulos
QUIZ 1
3) En los siguientes pares de ángulos cuales son
opuestos por el vértice
a) 1 y 2
b) 1 y 3
c) 2 y 3
d) 4 y 1

20. Ángulos
QUIZ 1
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres
Pasa a ver como te fue

21. Ángulos
QUIZ 1
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior

22. Ángulos
QUIZ 1
Calificaciones
3/3=Aprendiste MUY BIEN!!!!!!!!
2/3=Estas bien pero falta repasar
1/3=Necesitas más estudio
0/3= ESTUDIA!!!!!!!!!!!!!
Vuelve a la pregunta anterior

23. ¿Qué pasa si se
intersectan paralelas
con una recta llamada
transversal?
Si quieres saber mira la siguiente
página

24. Ángulos
Ángulos entre paralelas
• Dos rectas cualesquiera cortadas por una tercera
determinan ocho ángulos.

25. Ángulos
Ángulos entre paralelas
• Al intersectar una paralela por una recta llamada
transversal o secante, se forman los siguientes tipos
de ángulos:
Ángulos interiores y exteriores
Ángulos correspondientes
Ángulos alternos
Ángulos conjugados

26. Ángulos
Ángulos interiores
• Los ángulos ubicados en la zona comprendida entre
las rectas paralelas se llaman ángulos interiores.

27. Ángulos
Ángulos exteriores
Los ángulos que no son interiores se denominan
ángulos exteriores.

28. Ángulos
Ángulos correspondientes
• Son los que están al mismo lado de las paralelas y al
mismo lado de la transversal

29. Ángulos
Ángulos alternos internos
• Son los que están entre las paralelas a distinto lado de
ellas y a distinto lado de la transversal.

30. Ángulos
Ángulos alternos externos
• Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de
ellas y a distinto lado de la transversal.

31. Los ángulos
correspondientes son
iguales entre sí.
Los ángulos alternos
internos son iguales entre
sí.
Los ángulos alternos
externos son iguales entre
sí.
Y los ya estudiados
opuestos por el vértice,
también

32. Ángulos
Ángulos conjugados internos
• Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano
con respecto a la transversal y ambos son internos, se
los llama ángulos conjugados internos.

33. Ángulos
Ángulos conjugados externos
• Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano
con respecto a la transversal y ambos son externos, se
los llama ángulos conjugados externos.

34. A ver A ver A ver..., que
crees tú que pasa con los
conjugados internos y
externos.
1) Suman 90°
2) Son rectos
3) Suman 180°
4) Son agudos

35. NO NO NO NO NO!!!
DEBES DEDUCIR MEJOR,
ASI ESTARÁS MEJOR
PREPARADO PARA LOS
QUIZESITOS
Vuelve a la pregunta anterior

36. BIEN!!!!!
sigue avazando
Los ángulos
conjugados internos
entre paralelas son
suplementariosy
también los ángulos
conjugados internos
entre paralelas
Vuelve a la pregunta anterior
Pasa a ver como te fue

37. Ángulos
QUIZ 2
Llegó la hora de hacer el segundo Quiz. Como ya
estas familiarizado no hay mucho que decir, solo:
BUENA SUERTE!!!!!!
1) En los siguientes pares de ángulos cuales son
Interiores:
a) 1 y 2
b) 3 y 4
c) 1 y 8
d) 7 y 2

38. Ángulos
QUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior

39. Ángulos
QUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres
Pasa a ver como te fue

40. Ángulos
QUIZ 2
2) En los siguientes pares de ángulos cuales son
Correspondientes:
a) 5 y 6
b) 3 y 4
c) 5 y 8
d) 2 y 6

41. Ángulos
QUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior

42. Ángulos
QUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres
Pasa a a la siguiente

43. Ángulos
QUIZ 2
3) En los siguientes pares de ángulos cuales son
Conjugados externos:
a) 1 y 7
b) 5 y 6
c) 4 y 8
d) 2 y 5

44. Ángulos
QUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior

45. Ángulos
QUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres
Pasa a a la siguiente

46. Ángulos
Vamos a hacer varios ejercicio simples en el que tendrás que
descubrir los diferentes ángulos de las sig. figuras
1 = 67 º
3 2
1
2=
3=
4=
5
4
5=

47. Ángulos
1 = 80 º
3
1
2
2=
3=
4=
4

48. Ángulos
1 = 55 º
3 1
4 2
2 = 120º
3=
4=
6
5
5 = 125º
6=

49. Ángulos
1=
2=
3 1 2
3=
4 = 63º
4 6 5
5=
6 = 69º

50. Ángulos
1 = 111º
5
2=
1
2
4=
4
6
3=
3
5=
6=

51. Ángulos
Muy Bien
¡¡¡¡¡¡¡¡Se Acabó!!!!!!!!
Espero que te hayan servido
esos ejercicios para practicar.
Ahora se viene la unidad de
TRIÁNGULOS
Esperemos que estés listo
SUERTE ; )

52. Triángulos
Comenzaremos con el tema de
los triángulos.
Aquí estudiaremos a como
clasificarlos, sus elementos
primarios y secundarios, también
haremos algunos quizes.

53. Triángulos
Lo primero que veremos será que son los triángulos y sus
partes, para esto nos ayudará la siguiente imagen.
Este triángulo nos dice las siguientes
cosas:
Triángulo ABC:
Lados: BC=a; AC=b; AB=c
Ángulos:
CAB ; ABC ;
BCA

54. Triángulos
Clasificación de los triángulos
Según sus lados:
1) Equilátero
AB ≅ BC ≅ AC ⇒ ∠α ≅ ∠β ≅ ∠γ

55. Triángulos
Clasificación de los triángulos
Según sus lados:
2) Isósceles
AB ≅ AC
⇒ ∠γ ≅ ∠β

56. Triángulos
Clasificación de los triángulos
Según sus lados:
3) Escaleno
AB ≠ BC ≠ AC

57. Triángulos
Clasificación de los triángulos
Según sus ángulos:
4) Acutángulo: Todos sus ángulos interiores son agudos
(miden menos de 90º)

58. Triángulos
Clasificación de los triángulos
Según sus ángulos:
5) Rectángulo: 1 ángulo recto y dos agudos suplementarios

59. Triángulos
Clasificación de los triángulos
Según sus ángulos:
6) Obtusángulo: 1 ángulo obtuso y dos agudos

60. Triángulos
Clasificación de los triángulos
Propiedades de todo Triángulo
II. Los tres ángulos exteriores suman en conjunto 360º.
∠α’ + ∠β’ + ∠γ’ = 360º

61. Triángulos
Clasificación de los triángulos
Propiedades de todo Triángulo
I. Los tres ángulos interiores suman en conjunto 180º.
∠α + ∠β + ∠γ = 180º

62. En un triángulo es
posible construir
diversos segmentos de
gran importancia para
su estudio, los que son
llamados comúnmente
“elementos
secundarios”.
Si , si ,si si,si si........ Pero también cabe
mencionar que cada uno de estos
elementos posee propiedades especiales
y generan a su vez nuevos elementos.

63. Elementos secundarios de un
triángulo
Altura
Segmento perpendicular que une un
vértice del triángulo con el lado
opuesto.
En un triángulo existen tres alturas y
la intersección entre ellas recibe el
nombre de Ortocentro.
Según el tipo de triángulo, el
ortocentro esta fuera, dentro o sobre
un lado del triángulo.
¿Cómo se dibuja
una altura?. Házme
click

64. Una altura, cuyo símbolo es
h, es el trazo perpendicular
que une un lado del triángulo
con el vértice opuesto.
La altura se traza con una
escuadra, para lograr una
mayor precisión. Ponemos un
cateto de ella sobre el lado y
el otro cateto debe pasar por
el vértice opuesto.

65. El punto donde se intersectan las
alturas se llama ortocentro.
En un triángulo
rectángulo cada
cateto es altura del
otro, y el ortocentro
es el vértice del
ángulo recto.

66. Elementos secundarios de un
triángulo
Mediatrices o Simetrales
Rectas perpendiculares a cada lado
lado del triángulo en su punto
medio.
Su intersección, llamado
circuncentro, es un punto que
equidista de los vértices del triángulo
y es el centro de la circunferencia
circunscrita.
¿Cómo se dibuja
una simetral?.
Házme click

67. La simetral es una recta
perpendicular
que dimidia a
un trazo. Se obtiene colocando la
punta metálica del compás en
ambos extremos del trazo ( P y Q
) y, con la misma medida,
formamos un punto arriba y otro
abajo de él. La recta que une los
puntos formados (R y S) es la
simetral.
El símbolo de simetral es una s y
el nombre del lado.

69. Elementos secundarios de un
triángulo
Bisectrices
Segmentos que dividen al ángulo del
vértice en dos partes iguales. Las
bisectrices del triángulo se
intersectan en un punto del triángulo
llamado Incentro, y que es el centro
de la circunferencia inscrita.
¿Cómo se dibuja
una bizectriz?.
Házme click

70. Utilizaremos el compás. Apoyamos la punta de
metal en el vértice ( I ) y hacemos un arco con una
medida cualquiera. Obtenemos 2 puntos R y T.
Aplicamos la medida anterior -u otra mayor que la
mitad del arco- desde T y desde R para formar un
punto ( S ). Unimos el vértice con ese punto y
obtenemos IS = bisectriz. Así:

71. Las 3 bisectrices de un triángulo se
intersectan en un punto llamado
incentro. El incentro es el centro de la
circunferencia inscrita al triángulo.

72. Elementos secundarios de un
triángulo
Transversales de gravedad y Medianas
Las medianas son las rectas que unen
los vértices del triángulo con los
puntos medios de los lados
opuestos. Se cortan en el Baricentro
o Centro de Gravedad, que es el
centro geométrico del triángulo. El
Baricentro se encuentra a 2/3 del
vértice y 1/3 del punto medio del
lado opuesto.
¿Cómo se dibuja
una mediana?.
Házme click

73. Tranversal de
Gravedad
Para dibujar esto no hay mucha
dificultad.
El punto donde se intersectan
las tres transversales se llama
Centro de Gravedad del
triángulo.

74. Medianas
Las medianas
quedan paralelas a
los lados.
Son los segmentos
que unen los
puntos medios del
triángulo.

75. Triángulos
QUIZ “Larguito”
Llegó la hora de hacer el Primer Quiz Larguito.
Como ya estas familiarizado con los Quiz anteriores
no hay mucho que decir, solo: BUENA
SUERTE!!!!!!
1) ¿Según sus lados qué Triángulo es este si: AB ≅ AC?
a) Equilátero
b) Escaleno
c) Isósceles

76. Ángulos
QUIZ “Larguito”
QUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior

77. Ángulos
QUIZ “Larguito”
QUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres
Pasa a la otra pregunta

78. Triángulos
QUIZ “Larguito”
2) ¿Según sus ángulos qué Triángulo es este si tiene un
ángulo obtuso?
a) Acutángulo
b) Obtusángulo
c) Rectángulo

79. Ángulos
QUIZ “Larguito”
QUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior

80. Ángulos
QUIZ “Larguito”
QUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres
Pasa a la otra pregunta

81. Triángulos
QUIZ “Larguito”
3) Encuentra el dato que falta:
a) 15º
b) 105º
c) 120º
d) 45º

82. Ángulos
QUIZ “Larguito”
QUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior

83. Ángulos
QUIZ “Larguito”
QUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres
Pasa a la otra pregunta

84. Triángulos
QUIZ “Larguito”
4) Encuentra el dato que falta:
a) 40º
b) 120º
c) 60º
d) 90º

85. Ángulos
QUIZ “Larguito”
QUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
Vuelve a la pregunta anterior

86. Ángulos
QUIZ “Larguito”
QUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres
Pasa a la otra pregunta

87. Triángulos
QUIZ “Larguito”
5) Descubre el valor de X
a) 120º
b) 45º
c) 50º
d) 30º

88. Ángulos
QUIZ “Larguito”
QUIZ 2
Estudia más e
inténtalo de nuevo
La tarde es larga !!!!!
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89. Ángulos
QUIZ “Larguito”
QUIZ 2
Muy bien
acertaste
Sigue así!!!!!!!!!
Vuelve si quieres
Continuara ...