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Lenguaje proposicional

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algunos ejemplos para poder practicar álgebra proposicional

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Lenguaje proposicional

  1. 1. SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS BLOQUE I: EL LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDENACTIVIDADES NO PRESENCIALES- (fuera del horario de clase) Curso 2006/07Nota: Para resolver cualquier duda relacionada con estas actividades, ves a lastutorías de tu profesora (previa confirmación email).Prof: Mª Jesús Castel chus@dccia.ua.es Ejercicios propuestos para formalizar con el lenguaje proposicional (escribe en tu C. Bitáctoras el tiempo aproximado que tardaste en hacerlos) Ejercicio 1º.- prop Formalizar las siguientes sentencias: 1S1: “Iremos al cine o al teatro”. Variables proposicionales: Fbf ci: iremos al cine ci ∨ te te: iremos al teatro 1S2: “No ocurre que 2+2 = 5” Variables proposicionales: Fbf su: 2 + 2 son 5 ¬su 1S3: “Dos y dos cuatro, tres y tres ocho y tú te comes un bizcocho” Variables proposicionales: Fbf cu: dos y dos cuatro cu ∧ tr ∧ bi tr: tres y tres ocho bi: te comes un bizcocho 1S4: “Vinieron, pero llegaron muy tarde” Variables proposicionales: Fbf vi: vinieron vi ∧ ll ll: llegaron tarde 1S5: “Aunque no hace frío da gusto ver cómo se caen las hojas” Variables proposicionales: Fbf fr: hace frío ¬fr ∧ ho ho: ver cómo se caen las hojas 1S6: “Sólo si hago la pelota al profe, aprobaré Lógica” Variables proposicionales: Fbf ap: aprobar Lógica ap → pe pe: hacer la pelota al profe 1S7: “No es cierto que la lógica sea difícil”
  2. 2. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07 Variables proposicionales: Fbf di: la lógica es difícil ¬di 1S8: “Si eres puntual, iremos juntos, pero si llegas tarde iré con María” Variables proposicionales: Fbf pu: eres puntual (pu → ju) ∧ (¬pu → ma) ju: iremos juntos ma: iré con María 1S9: “O somos novios o amantes, o ninguna de las dos cosas” Variables proposicionales: Fbf no: somos novios (no ∨ am) ∨ ¬(no ∨ am) am: somos amantes 1S10: “Si lo hizo Juanito o es tonto o un espabilado” Variables proposicionales: Fbf hi: lo hizo Juanito hi → to ∨ es to: Juanito es tonto es: Juanito es espabilado 1S11: “O estudias y trabajas, o serás un desgraciado” Variables proposicionales: Fbf es: estudias (es ∧ tr) ∨ de tr: trabajas de: eres un desgraciado 1S12: “El dinero es importante pero la sabiduría más” Variables proposicionales: Fbf im: el dinero es importante im ∧ sa sa: la sabiduría más importante que el dinero Ejercicio 2º.-prop Formalizar y estudiar si algunas son equivalentes: Variables proposicionales: cl: Pablito clavó un clavito. mt: Pablito tiene un martillito. Sentencias Fbf 2S1: “Pablito clava un clavito si tiene un martillito” mt → cl 2S2: “Pablito no clava un clavito a menos que tenga un martillito” ¬mt → ¬cl = cl → mt 2S3: “O Pablito no clava un clavito o tiene un martillito” ¬cl ∨ mt 2S4: “Ni Pablito tiene un martillito ni clavó un clavito”. ¬mt ∧ ¬clMª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 2
  3. 3. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07 2S5: “Pablito no clava un clavito si no tiene un martillito” ¬mt → ¬cl 2S6: “No es cierto que Pablito no clave un clavito y no tuviera un martillito” ¬(¬cl ∧ ¬mt) 2S7: “Para que Pablito clave un clavito es suficiente que tenga un martillito” mt → cl 2S8: “Para que Pablito clave un clavito es necesario que tenga un martillito” cl → mt 2S9: “Una condición necesaria, aunque quizá no suficiente, para que Pablito cl → mt clave el clavito es que tenga un martillito” 2S10: “Sólo si Pablito tiene un martillito clavará el clavito” cl → mt 2S11: “Pablito clavará el clavito sólo si tiene un martillito” cl → mt 2S12: “Pablito clava el clavito a menos que no tenga un martillito” ¬cl → ¬mt 2S13: “Pablito clava el clavito a menos que tenga un martillito” ¬cl → mtEjercicio 3º.-prop¿Se puede formalizar la sentencia?¿Por qué? 2S14: “Pablito clavó un clavito, ¿qué clavito clavó Pablito?” Respta: No porque la sentencia ¿qué clavito clavó Pablito? es interrogativa, no es declarativa y no se admite en lpo.Ejercicio 4º.-prop Juanito me dijo que se presentaría en septiembre a Lógica oÁlgebra, si al final se presentó a Lógica y a Álgebra ¿Es cierto que se presentó alas dos? Respta: Formalización: lo: Juanito se presentó a Lógica; al: Juanito se presentó a Álgebra; Juanito se presentó a Lógica o a Álgebra: lo ∨ al Juanito se presentó a Lógica y a Álgebra: lo ∧ al. Si porque de la primera sentencia lo ∨ al no podemos determinar a cuál de las dos se presentó, pero de la segunda lo ∧ al, sí que podemos afirmar que se presentó a las dos, porque esta sentencia es verdadera si ambas proposiciones se verifican.Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 3
  4. 4. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07 Ejercicio 5º.- prop Escribe, de 5 formas diferentes, sentencias en lenguaje natural que sean equivalentes a la siguiente: “Si salgo al patio veré a mi vecinita Puri”. 4S1: “No salgo al patio a menos que vea a mi vecinita Puri” 4S2: “Salgo al patio sólo si veo a mi vecinita Puri” 4S3: “Para que salga al patio es necesario que vea a mi vecinita Puri” 4S4: “Para ver a mi vecinita Puri es suficiente con salir al patio” 4S5: “Veo a mi vecinita Puri si salgo al patio” Ejercicio 6º.-prop Formaliza los siguientes argumentos: ARG-1Variables proposicionales:Los periodistas cuentan historias falsas:hfLos periodistas son ingeniosos: inlos famosos no salen en la tele…: te; la gente se vaya de paseo: paLa tele se muere…: mu Sentencias FbfP1: “Los periodistas cuentan historias falsas y soningeniosos sólo si los famosos no salen en la tele a hf ∧ in → ¬tedecir tonterías.”P2: “Es suficiente que los famosos salgan en la telea decir tonterías para que la gente se vaya de paseo” te → paP3: “O la gente no se va de paseo o la televisión semuere en tres días.” ¬pa ∨ muQ: “Por tanto, para que los periodistas no cuentenhistorias falsas pero sean ingeniosos es necesario hf ∧ in → ¬teque los famosos no salgan en la tele a decirtonterías” Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 4
  5. 5. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07 ARG-2Variables proposicionales:Irme de tu casa: ir; tienes buen humor: hu; eres cariñoso con mi madre: cmme preparas la comida todos los días: td Sentencias FbfP1: “Sólo si no tienes buen humor me iré de tu casa.” ir → ¬huP2: “Me iré de tu casa si no me preparas todos losdías la comida” td → irP3: “Si eres cariñoso con mi madre es que tienesbuen humor.” cm → huQ: “Luego, tanto si eres cariñoso con mi madre comosi no lo eres, me preparas la comida todos los día” cm ∨ ¬cm → td Ejercicio resuelto. Formalización de sentencias con el lenguaje predicativo Con el siguiente marco conceptual formaliza las sentencias propuestas: Dominio Predic. Propiedad Predic. Relación Constantes D= {animales} De(x): x es delfín; V(x,y): x vive con Fli: fli; y; Flo: flo; Fo(x): x es foca; Flu: flu; J(x): x es juguetón; Sentencias Fbf S1: “Fli, Flo y Flu son delfines” De(fli) ∧ De(flo) ∧ De(flu) S2: “Los delfines son juguetones” ∀x[De(x) → J(x)] S3: “Algunos delfines son juguetones” ∃x[De(x) ∧ J(x)] S4: “Algunos delfines viven con focas” ∃x[De(x) ∧ ∀y(Fo(y) → V(x,y))] S5: “Todos los delfines viven con todas las focas” ∀x[De(x) → ∀y(Fo(y) → V(x,y))] S6: “Algunos delfines viven con todas las focas” ∃x[De(x) ∧ ∀y(Fo(y) → V(x,y))] S7: “Algunos delfines viven con algunas focas” ∃x[De(x) ∧ ∃y(Fo(y) ∧ V(x,y))] Ejercicios propuestos para formalizar con el lenguaje predicativo (escribe en tu C. Bitáctoras el tiempo aproximado que tardaste en hacerlos) Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 5
  6. 6. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07 Ejercicio 1º.-pred Formalizar las siguientes sentencias en el Dominio propuesto Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. RelaciónD={Carles Lógicus, P(x): x es profesor Ex(x,y): x tiene éxito con yCristine Alegre, Javi H:ja A(x): x es alumnoJavi Hierbas, Anita: an Hb(x): x es hab. otroChusita, Anita, Mario:ma planetaMario} Chusita:ch Ca(x): x está cachas Carles:ca Du(x): x se hace duro Crsitine:cr Gi(x): x va al gimnasio Cv(x): x es calvo Ba(x): x es bajo Br(x): x s barrigón Ma(x): x está macizo Sentencias Fbf1S1: “Carles Lógicus, Cristine Alegre y Chusita son P(ca) ∧ P(cri) ∧ P(ch)profesores”1S2: “Anita y Mario son alumnos” A(an) ∧ A(ma)1S3: “Mario está cachas pero Anita no” Ca(ma) ∧ ¬Ca(an)1S4: “Al menos un alumno está cachas” ∃x[A(x) ∧ Ca(x)]1S5: “Javi Hierbas es un habitante de otro planeta” Hb(ja)1S6: “Carles Lógicus es bajo, calvo, barrigón pero Ba(ca) ∧ Cv(ca) ∧ Br(ca) ∧ Ma(ca) ∧está macizo, aunque no va al gimnasio” ¬Gi(ca)1S7: “Javi Hierbas va al gimnasio y por eso tiene éxito Gi(ja) ∧ Ex(ja,ca)con Carles”1S8: “Todos los alumnos tienen éxito con Carles”. ∀x[A(x) ∧ Ex(x,ca)]1S9: “Ningún alumno que no sea cachas, tiene éxito ¬∃x[A(x) ∧ ¬Ca(x) ∧ ¬Ex(x,ca)]con Carles”1S10: “Algún alumno cachas tiene éxito con Carles”. ∃x[Ca(x) ∧ Ex(x,ca)]1S10: “Sólo los profesores que van al gimnasio tienen ∀x[P(x) ∧ Ex(x,ja) → Gi(x)]éxito con Javi Hierbas” Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 6
  7. 7. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07 Ejercicio 2º.-pred Formalizar las siguientes sentencias en el Dominio propuesto Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. RelaciónD={personas} P(x): x es profesor Mex(x,y): x tiene más éxito que y A(x): x es alumno Al(x): x es alto Ma(x): x está macizo Du(x): x se hace el duro Gi(x): x va al gimnasio Sentencias Fbf2S1: “Todos los alumnos se hacen los duros” ∀x[A(x) → Du(x)]2S2: “No existe ningún profesor que se haga el ¬∃x[P(x) ∧ D(x)]duro”2S3: “Existe un profesor que tiene más éxito que ∃x {P(x) ∧ ∀y[A(y) → Mex(x,y)]}cualquier alumno”2S4: “Si todos los sujetos son alumnos entonces ∀xA(x) → ¬∃x[A(x) ∧Gi(x)]no existe ninguno que vaya al gimnasio”2S5: “En general, cualquier sujeto tiene más ∀x∀y[Mex(x,y) ↔ Gi(x) ∧ ¬Gi(y)]éxito que otro si y sólo si, éste va al gimnasio yel otro no”2S6: “Cualquier sujeto tiene más éxito que otro ∀x∀y [Mex(x,y) → Du(x) ∧ ¬Du(y)]sólo si éste se hace el duro y el otro no”2S7: “Todos los profesores que van al gimnasio ∀x{P(x) ∧ Gi(x) → ∃y[A(y) ∧ Mex(x,y)]}tienen más éxito que algún alumno que no vaya”2S8: “Sólo algunos alumnos van al gimnasio” ∃y[A(y) ∧Gi(x)]2S9: “No existe ningún individuo que sea ¬∃xA(x)alumno”2S10: “No todos los individuos son alumnos” ¬∀xA(x) Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 7
  8. 8. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07 Ejercicio 3º.-pred Formalizar las siguientes sentencias en cada dominio Di. Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. Relación D1= {personas} I(x): x es alumno de AmL(x,y): x ama Lógica D2 = {alumnos Informática informática} Sentencias Fbf D1 D2 1S1: “Todos los alumnos de Informática ∀x[I(x) → AmL(x)] ∀x[AmL(x)] aman Lógica” 1S2: “Algún alumno de Informática ama ∃x[I(x) ∧ AmL(x)] ∃x[AmL(x)] Lógica” 1S3: “Ningún alumno de Informática ama ∀x[I(x)→¬AmL(x)] ∀x[¬AmL(x)] Lógica” 1S4: “Sólo los alumnos de Informática ∀x[AmL(x) → I(x)] ∀x[AmL(x)] aman Lógica” Ejercicio 4º.-pred Formaliza los siguientes argumentos: ARG-1 Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. RelaciónD={personas} H(x): x es hombre Enc(x,y): x se encuentra con y Fe(x): x es feliz Du(x,y): x endulza la vida a y No(x): x tiene novia Lu(x): x es lunática En(x): x está enamorado So(x): x es solterona curiosa Sentencias Fbf ∀x[H(x)∧Fe(x)∧¬No(x) → ∃y(Lu(y)∧Enc(x,y)∧D(y,x))]P1: “Cualquier hombre que se quiera ser feliz y no tenga novia encontrará a alguna lunática dispuesta a endulzarle la vida”. ∃x[H(x) ∧ En(x) ∧ Fe(x) ∧ ∀y(Enc(x,y) → So(y))]P2: “A algunos hombres enamorados y felices lessucede que se encuentran únicamente consolteronas curiosas. ∀x[Lu(x) → So(x)]P3: “Únicamente las solteronas curiosas son lunáticas” ∀x[H(x) ∧ En(x) → ¬No(x)]P4:”Cualquier hombre no está enamorado amenos que no tenga novia” ∃x[So(x) ∨ ¬Lu(x)]Q:“Luego, hay solteronas curiosas que no sonlunáticas” Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 8
  9. 9. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07 ARG-2 Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. RelaciónD={personas} Puri: pu E(x): x estudia Am(x,y): x es amigo de y Luis: lu D(x): x hace deporte Tr(x,y): x trabaja con y Javier:ja Pe(x): x es perezosa Sentencias Fbf ∀x[E(x) ∧ D(x) → Am(x,lu)]P1: “Cualquiera que estudie y haga deporte es amigo de Luis”. [Pe(pu) → ¬Am(su,pu)] ∧ [¬Pe(pu) → Tr(pu,ja)]P2: “Si Puri es perezosa no es amiga de Luis,pero sino lo es, trabajará con Javier. ¬∃xTr(x,ja)P3: “Sabemos que nadie trabaja con Javier” ¬E(pu) ∨ ¬D(pu)Q: Susanita no estudia o no hace deporte” ARG-3 Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. RelaciónD={animales} Fu:fu Ga(x): x es gato Fa:fa Gu(x,y): a x le gusta y Sentencias FbfP1: “A todos los gatos les gusta el queso o los ratones ∀x[Ga(x) → Gu(x,queso) ∨ Gu(x,rat)] o ambas cosas”P2: “ Fu y Fa son gatos” Ga(fu) ∧ Ga(fa)P3: “A nadie que le guste el queso le gusta el jamón ∀x[Gu(x,queso) →¬Gu(x,jam)]P4: “Únicamente a los que les gusta la Coca-Cola les ∀x[Gu(x,rat) → Gu(x,coc)] gustan los ratones”P5: “A Fa no le gusta lo que le gusta a Fu, y sí le gusta ∀x[(Gu(fu,x) → ¬Gu(fa,queso)] ∧ ∀x[¬Gu(fu,x) →lo que no le gusta a Fu” ¬Gu(fa,x)]P6: “A Fa le gusta el jamón y la Coca-Cola” Gu(fa,jam) ∧ Gu(fa,coc)Q: ¿Cual es el gato al que le gusta el queso y no le ∃x[Ga(x) ∧ Gu(x,queso) ∧¬Gur(x,rat)]gustan los ratones? Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 9

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