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Comunicaciones Digitales                                      José Ignacio Ronda Prieto                                   ...
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Regiones de decisión● title1                                   Podemos especificar g en términos de sus regiones deIntroduc...
El misterioso ruido blanco● title1                                   Si n(t) es ruido blanco gaussiano con densidad espect...
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  1. 1. GoBack
  2. 2. Comunicaciones Digitales José Ignacio Ronda Prieto GTI, SSR, ETSIT, UPM http://www.gti.ssr.upm.es/˜jir/comdig jir@gti.ssr.upm.esJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 1
  3. 3. Sistema de transmisión digital● title1 Portadora fcIntroducción● Sistema de transmisión digital● Detección de señales Transmisor● Detección de señales● Estimación bayesiana con Fuente Modulador Modulador observación continua● Regiones de decisión {mi } digital de canalRuido gaussiano v(t) = n sI(n) (t − nT )El receptor óptimoModulación DBLC Canal Receptor n(t) Presentacion Demodulador Demodulador {mi } digital r(t) de canalJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 2
  4. 4. Detección de señales● title1 si (t) r(t)Introducción● Sistema de transmisión digital● Detección de señales● Detección de señales● Estimación bayesiana con observación continua● Regiones de decisión n(t)Ruido gaussianoEl receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 3
  5. 5. Detección de señales● title1 si (t) r(t)Introducción● Sistema de transmisión digital● Detección de señales● Detección de señales● Estimación bayesiana con observación continua● Regiones de decisión n(t)Ruido gaussiano Información a priori:El receptor óptimo ■ Conjunto de señales transmitidas {si }Modulación DBLC ■ Probabilidades Pi = P [si ]. ■ Caracterización probabilística del ruido n(t)José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 3
  6. 6. Detección de señales● title1 si (t) r(t)Introducción● Sistema de transmisión digital● Detección de señales● Detección de señales● Estimación bayesiana con observación continua● Regiones de decisión n(t)Ruido gaussiano Información a priori:El receptor óptimo ■ Conjunto de señales transmitidas {si }Modulación DBLC ■ Probabilidades Pi = P [si ]. ■ Caracterización probabilística del ruido n(t) Problema de estimación: ■ Incógnita: si ■ Observación: rJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 3
  7. 7. Detección de señales● title1 Problemas parecidos aparecen con frecuenciaIntroducción● Sistema de transmisión digital● Detección de señales● Detección de señales● Estimación bayesiana con observación continua● Regiones de decisiónRuido gaussianoEl receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 4
  8. 8. Estimación bayesiana con observación continua● title1 Suponemos que nuestra observación es una VA continuaIntroducción● Sistema de transmisión digital multidimensional X = (X1 , ..., XL ) caracterizada por las● Detección de señales● Detección de señales funciones de densidad de probabilidad condicionadas● Estimación bayesiana con observación continua● Regiones de decisión fX (x1 , ..., xL |I = ai ).Ruido gaussiano Intentamos hallar una función g que asigne a cada valor de xEl receptor óptimo un valor de I de forma que se minimice la probabilidad de errorModulación DBLC PE = P [I = g(X)]José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 5
  9. 9. Estimación bayesiana con observación continua● title1 La función g que maximice P [I = g(x)|X = x] en cada punto xIntroducción● Sistema de transmisión digital nos dará la probabilidad de error mínima. Esta función la● Detección de señales● Detección de señales podemos definir como● Estimación bayesiana con observación continua● Regiones de decisión g ∗ (x) = arg m´x P [I = ai |X = x] a aiRuido gaussiano = arg m´x f (x|I = ai )P [I = ai ]/f (x) aEl receptor óptimo aiModulación DBLC = arg m´x f (x|I = ai )P [I = ai ]. a aiJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 5
  10. 10. Regiones de decisión● title1 Podemos especificar g en términos de sus regiones deIntroducción● Sistema de transmisión digital decisión:● Detección de señales● Detección de señales Ri = {x ∈ RL |g(x) = ai }● Estimación bayesiana con observación continua La probabilidad de error asociada a g queda● Regiones de decisiónRuido gaussiano MEl receptor óptimo PE = PE|I=ai P [I = ai ]Modulación DBLC i=1 M = P [g(X) ∈ Ri ]P [I = ai ] / i=1José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 6
  11. 11. El misterioso ruido blanco● title1 Si n(t) es ruido blanco gaussiano con densidad espectral deIntroducción potencia bilateral (depb) N0 /2,Ruido gaussiano ■ ¿Cuánto vale E[n2 (t)]?● El misterioso ruido blanco● Procesos estacionarios gaussianos ■ ¿Cuál es la probabilidad de que 0 < n(t) < 1?● Procesos estacionarios gaussianos● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios gaussianos● Teorema de filtrado● El ruido blanco gaussiano, por finEl receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 7
  12. 12. El misterioso ruido blanco● title1 Si n(t) es ruido blanco gaussiano con densidad espectral deIntroducción potencia bilateral (depb) N0 /2,Ruido gaussiano ■ ¿Cuánto vale E[n2 (t)]?● El misterioso ruido blanco● Procesos estacionarios gaussianos ■ ¿Cuál es la probabilidad de que 0 < n(t) < 1?● Procesos estacionarios gaussianos● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios Si x(t) = n(t) ∗ h(t), gaussianos● Teorema de filtrado ■ ¿Cuánto vale E[x2 (t)]?● El ruido blanco gaussiano, por fin ■ Si x(0) = x0 , ¿qué sé sobre x(1)?El receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 7
  13. 13. Procesos estacionarios gaussianos● title1 Conocer un proceso x(t) es conocer, dados unos instantesIntroducción t1 , . . . tn , la fdpRuido gaussiano● El misterioso ruido blanco● Procesos estacionarios f (x1 , . . . , xn ), xi = x(ti ). gaussianos● Procesos estacionarios gaussianos● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios gaussianos● Teorema de filtrado● El ruido blanco gaussiano, por finEl receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 8
  14. 14. Procesos estacionarios gaussianos● title1 Conocer un proceso x(t) es conocer, dados unos instantesIntroducción t1 , . . . tn , la fdpRuido gaussiano● El misterioso ruido blanco● Procesos estacionarios f (x1 , . . . , xn ), xi = x(ti ). gaussianos● Procesos estacionarios gaussianos● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios El estudio físico del ruido blanco y del ruido blanco filtrado gaussianos● Teorema de filtrado indica que se trata de un proceso estacionario gaussiano de● El ruido blanco gaussiano, por fin media nula (PEGMN). ¿Qué significa esto?El receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 8
  15. 15. Procesos estacionarios gaussianos● title1 Un proceso x(t) estacionario cuando f (x1 , . . . , xn ) es laIntroducción misma para xi = x(ti ) y para xi = x(ti + ∆t).Ruido gaussiano● El misterioso ruido blanco● Procesos estacionarios gaussianos● Procesos estacionarios gaussianos● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios gaussianos● Teorema de filtrado● El ruido blanco gaussiano, por finEl receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 9
  16. 16. Procesos estacionarios gaussianos● title1 Un proceso x(t) estacionario cuando f (x1 , . . . , xn ) es laIntroducción misma para xi = x(ti ) y para xi = x(ti + ∆t).Ruido gaussiano● El misterioso ruido blanco● Procesos estacionarios gaussianos Es gaussiano de media nula cuando el vector aleatorio● Procesos estacionarios gaussianos x = (x1 , . . . , xn ) es gaussiano de media nula.● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios gaussianos● Teorema de filtrado● El ruido blanco gaussiano, por finEl receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 9
  17. 17. Inciso: VAs gausianas● title1 Una VA gaussiana X ∼ N (µ, Σ) con vector de medias µ yIntroducción matriz de varianzas-covarianzas Σ es la que tiene fdpRuido gaussiano● El misterioso ruido blanco 1 1● Procesos estacionarios f (x) = exp − (x − µ) Σ−1 (x − µ), gaussianos● Procesos estacionarios (2π)n/2 |Σ|1/2 2 gaussianos● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios x = (x1 , . . . , xn ) gaussianos● Teorema de filtrado● El ruido blanco gaussiano, por µ = (µ1 , . . . , µn ) , µi = E[xi ] fin 2 2El receptor óptimo Σ = (σij ), σij = E[(xi − µi )(xj − µj )]Modulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 10
  18. 18. Inciso: VAs gausianas● title1 Una VA gaussiana X ∼ N (µ, Σ) con vector de medias µ yIntroducción matriz de varianzas-covarianzas Σ es la que tiene fdpRuido gaussiano● El misterioso ruido blanco 1 1● Procesos estacionarios f (x) = exp − (x − µ) Σ−1 (x − µ), gaussianos● Procesos estacionarios (2π)n/2 |Σ|1/2 2 gaussianos● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios x = (x1 , . . . , xn ) gaussianos● Teorema de filtrado● El ruido blanco gaussiano, por µ = (µ1 , . . . , µn ) , µi = E[xi ] fin 2 2El receptor óptimo Σ = (σij ), σij = E[(xi − µi )(xj − µj )]Modulación DBLC Si X ∼ N (µ, Σ) e Y = αX + a, a cte., entonces Y ∼ N (α2 Σ, αµ + a).José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 10
  19. 19. Inciso: VAs gausianas● title1 Un caso particular importante: Σ = σ 2 I:Introducción −1 1 2Ruido gaussiano● El misterioso ruido blanco (x − µ) Σ (x − µ) = 2 x − µ● Procesos estacionarios σ gaussianos● Procesos estacionarios gaussianos● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios gaussianos● Teorema de filtrado● El ruido blanco gaussiano, por finEl receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 10
  20. 20. Inciso: VAs gausianas● title1 Un caso particular importante: Σ = σ 2 I:Introducción −1 1 2Ruido gaussiano● El misterioso ruido blanco (x − µ) Σ (x − µ) = 2 x − µ● Procesos estacionarios σ gaussianos● Procesos estacionarios gaussianos 2● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios 1 x−µ gaussianos f (x) = exp −● Teorema de filtrado (2π)n/2 σ n 2σ 2● El ruido blanco gaussiano, por n fin 1 (xi − µi )2El receptor óptimo = √ exp −Modulación DBLC i=1 2πσ 2σ 2 Es el caso de componentes independientes con la misma varianza.José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 10
  21. 21. Procesos estacionarios gaussianos● title1 Definimos la función de autocorrelación de un procesoIntroducción estacionario x(t) comoRuido gaussiano● El misterioso ruido blanco● Procesos estacionarios Rx (τ ) = E[x(t)x(t + τ )]. gaussianos● Procesos estacionarios gaussianos● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios gaussianos● Teorema de filtrado● El ruido blanco gaussiano, por finEl receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 11
  22. 22. Procesos estacionarios gaussianos● title1 Definimos la función de autocorrelación de un procesoIntroducción estacionario x(t) comoRuido gaussiano● El misterioso ruido blanco● Procesos estacionarios Rx (τ ) = E[x(t)x(t + τ )]. gaussianos● Procesos estacionarios gaussianos● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios Esta función nos proporciona todos los datos que necesitamos gaussianos● Teorema de filtrado para escribir las fdp de muestras de un PEGMN:● El ruido blanco gaussiano, por finEl receptor óptimo E[xi xj ] = E[x(ti )x(tj )] = Rx (tj − ti ).Modulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 11
  23. 23. Teorema de filtrado● title1 Si x(t) es un PEGMN e y(t) = x(t) ∗ h(t), entonces y(t) esIntroducción también un PEGMN yRuido gaussiano● El misterioso ruido blanco● Procesos estacionarios Ry (τ ) = Rx (τ ) ∗ h(τ ) ∗ h(−τ ). gaussianos● Procesos estacionarios gaussianos● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios gaussianos● Teorema de filtrado● El ruido blanco gaussiano, por finEl receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 12
  24. 24. Teorema de filtrado● title1 Si x(t) es un PEGMN e y(t) = x(t) ∗ h(t), entonces y(t) esIntroducción también un PEGMN yRuido gaussiano● El misterioso ruido blanco● Procesos estacionarios Ry (τ ) = Rx (τ ) ∗ h(τ ) ∗ h(−τ ). gaussianos● Procesos estacionarios gaussianos● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios La TF de la función de autocorrelación se llama densidad gaussianos● Teorema de filtrado espectral de potencia. En términos de estas funciones,● El ruido blanco gaussiano, por finEl receptor óptimo Sy (f ) = Sx (f )H(f )H(−f ) = Sx (f )H(f )H ∗ (f ) = Sx (f )|H(f )|2 .Modulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 12
  25. 25. Teorema de filtrado● title1 Si x(t) es un PEGMN e y(t) = x(t) ∗ h(t), entonces y(t) esIntroducción también un PEGMN yRuido gaussiano● El misterioso ruido blanco● Procesos estacionarios Ry (τ ) = Rx (τ ) ∗ h(τ ) ∗ h(−τ ). gaussianos● Procesos estacionarios gaussianos● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios Si H(f ) corresponde a un filtro paso banda ideal de ancho de gaussianos● Teorema de filtrado banda (unilateral) ∆B,● El ruido blanco gaussiano, por fin ∞ ∞ 2El receptor óptimo E[y (t)] = Ry (0) = Sy (f )df = Sx (f )|H(f )|2 dfModulación DBLC −∞ −∞ = Sx (f )df Banda de paso Esta formula es la justificación del nombre densidad espectral de potencia para Sx (f ).José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 12
  26. 26. El ruido blanco gaussiano, por fin● title1 El ruido blanco gaussiano se define como un PEGMN n(t) conIntroducción N0 N0Ruido gaussiano● El misterioso ruido blanco Rn (τ ) = δ(τ ) ⇔ Sn (f ) = .● Procesos estacionarios 2 2 gaussianos● Procesos estacionarios gaussianos Por tanto E[n2 (t)] = E[n(t)n(t + 0)] = Rn (0) = ∞.● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios ⇒ De densidades de probabilidad ni hablamos. gaussianos● Teorema de filtrado● El ruido blanco gaussiano, por finEl receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 13
  27. 27. El ruido blanco gaussiano, por fin● title1 El ruido blanco gaussiano se define como un PEGMN n(t) conIntroducción N0 N0Ruido gaussiano● El misterioso ruido blanco Rn (τ ) = δ(τ ) ⇔ Sn (f ) = .● Procesos estacionarios 2 2 gaussianos● Procesos estacionarios gaussianos Por tanto E[n2 (t)] = E[n(t)n(t + 0)] = Rn (0) = ∞.● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios ⇒ De densidades de probabilidad ni hablamos. gaussianos● Teorema de filtrado● El ruido blanco gaussiano, por fin Si y(t) = n(t) ∗ h(t),El receptor óptimo ∞ ∞ N0Modulación DBLC E[y 2 (t)] = Ry (0) = Sy (f )df = |H(f )|2 df. −∞ −∞ 2José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 13
  28. 28. El ruido blanco gaussiano, por fin● title1 El ruido blanco gaussiano se define como un PEGMN n(t) conIntroducción N0 N0Ruido gaussiano● El misterioso ruido blanco Rn (τ ) = δ(τ ) ⇔ Sn (f ) = .● Procesos estacionarios 2 2 gaussianos● Procesos estacionarios gaussianos Por tanto E[n2 (t)] = E[n(t)n(t + 0)] = Rn (0) = ∞.● Inciso: VAs gausianas● Procesos estacionarios ⇒ De densidades de probabilidad ni hablamos. gaussianos● Teorema de filtrado● El ruido blanco gaussiano, por fin Si y(t) = n(t) ∗ h(t),El receptor óptimo ∞ ∞ N0Modulación DBLC E[y 2 (t)] = Ry (0) = Sy (f )df = |H(f )|2 df. −∞ −∞ 2 Si h(t) corresponde a un filtro paso banda ideal de ancho de banda (unilateral) ∆B, B+∆B N0 E[y 2 (t)] = Ry (0) = 2 df = N0 ∆B. B 2José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 13
  29. 29. Espacio de señales de energía finita● title1 La energía de una señal (compleja de tiempo continuo) seIntroducción define como ∞Ruido gaussianoEl receptor óptimo E[x] = |x(t)|2 dt.● Espacio de señales de −∞ energía finita● Producto escalar El espacio de las señales de energía finita es el espacio● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales vectorial de las señales de energía finita considerando iguales● Proyección ortogonal● Ortogonalización de dos señales si la energía de su diferencia es cero. Gram-Schmidt● Representación vectorial del ruido blanco● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 14
  30. 30. Producto escalar● title1 En el espacio de las señales de energía finita definimos elIntroducción producto escalar (PE)Ruido gaussiano ∞El receptor óptimo● Espacio de señales de x, y = x(t)y ∗ (t)dt. energía finita −∞● Producto escalar● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales que tiene las propiedades● Proyección ortogonal ∗● Ortogonalización de ■ x, y = y, x Gram-Schmidt● Representación vectorial del ■ x + y, z = x, z + y, z , x, y + z = x, y + x, z ruido blanco x, αy = α∗ x, y● El receptor óptimo● El receptor óptimo ■ αx, y = α x, y ,● El receptor óptimo● Implementación del receptor ■ x, x = 0 ⇔ x = 0 óptimo ■ x, y = X, Y (la TF preserva el PE)Modulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 15
  31. 31. Producto escalar● title1 En el espacio de las señales de energía finita definimos elIntroducción producto escalar (PE)Ruido gaussiano ∞El receptor óptimo● Espacio de señales de x, y = x(t)y ∗ (t)dt. energía finita −∞● Producto escalar● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales que tiene las propiedades● Proyección ortogonal ∗● Ortogonalización de ■ x, y = y, x Gram-Schmidt● Representación vectorial del ■ x + y, z = x, z + y, z , x, y + z = x, y + x, z ruido blanco x, αy = α∗ x, y● El receptor óptimo● El receptor óptimo ■ αx, y = α x, y ,● El receptor óptimo● Implementación del receptor ■ x, x = 0 ⇔ x = 0 óptimo ■ x, y = X, Y (la TF preserva el PE)Modulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 15
  32. 32. Producto escalar● title1 En el espacio de las señales de energía finita definimos elIntroducción producto escalar (PE)Ruido gaussiano ∞El receptor óptimo● Espacio de señales de x, y = x(t)y ∗ (t)dt. energía finita −∞● Producto escalar● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales que tiene las propiedades● Proyección ortogonal ∗● Ortogonalización de ■ x, y = y, x Gram-Schmidt● Representación vectorial del ■ x + y, z = x, z + y, z , x, y + z = x, y + x, z ruido blanco x, αy = α∗ x, y● El receptor óptimo● El receptor óptimo ■ αx, y = α x, y ,● El receptor óptimo● Implementación del receptor ■ x, x = 0 ⇔ x = 0 óptimo ■ x, y = X, Y (la TF preserva el PE)Modulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 15
  33. 33. Producto escalar● title1 En el espacio de las señales de energía finita definimos elIntroducción producto escalar (PE)Ruido gaussiano ∞El receptor óptimo● Espacio de señales de x, y = x(t)y ∗ (t)dt. energía finita −∞● Producto escalar● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales que tiene las propiedades● Proyección ortogonal ∗● Ortogonalización de ■ x, y = y, x Gram-Schmidt● Representación vectorial del ■ x + y, z = x, z + y, z , x, y + z = x, y + x, z ruido blanco x, αy = α∗ x, y● El receptor óptimo● El receptor óptimo ■ αx, y = α x, y ,● El receptor óptimo● Implementación del receptor ■ x, x = 0 ⇔ x = 0 óptimo ■ x, y = X, Y (la TF preserva el PE)Modulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 15
  34. 34. Producto escalar● title1 En el espacio de las señales de energía finita definimos elIntroducción producto escalar (PE)Ruido gaussiano ∞El receptor óptimo● Espacio de señales de x, y = x(t)y ∗ (t)dt. energía finita −∞● Producto escalar● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales que tiene las propiedades● Proyección ortogonal ∗● Ortogonalización de ■ x, y = y, x Gram-Schmidt● Representación vectorial del ■ x + y, z = x, z + y, z , x, y + z = x, y + x, z ruido blanco x, αy = α∗ x, y● El receptor óptimo● El receptor óptimo ■ αx, y = α x, y ,● El receptor óptimo● Implementación del receptor ■ x, x = 0 ⇔ x = 0 óptimo ■ x, y = X, Y (la TF preserva el PE)Modulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 15
  35. 35. Definiciones relacionadas● title1 ■ E[x] = x, xIntroducción ■ Definimos la norma de una señal x como x = E[x]Ruido gaussianoEl receptor óptimo ■ Definimos la distancia entre dos señales x e y como● Espacio de señales de energía finita d(x, y) = x − y .● Producto escalar● Definiciones relacionadas ■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si x, y = 0.● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal ■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del subespacio C ⊥ de las señales que son ortogonales a todas ruido blanco● El receptor óptimo las de C.● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 16
  36. 36. Definiciones relacionadas● title1 ■ E[x] = x, xIntroducción ■ Definimos la norma de una señal x como x = E[x]Ruido gaussianoEl receptor óptimo ■ Definimos la distancia entre dos señales x e y como● Espacio de señales de energía finita d(x, y) = x − y .● Producto escalar● Definiciones relacionadas ■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si x, y = 0.● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal ■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del subespacio C ⊥ de las señales que son ortogonales a todas ruido blanco● El receptor óptimo las de C.● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 16
  37. 37. Definiciones relacionadas● title1 ■ E[x] = x, xIntroducción ■ Definimos la norma de una señal x como x = E[x]Ruido gaussianoEl receptor óptimo ■ Definimos la distancia entre dos señales x e y como● Espacio de señales de energía finita d(x, y) = x − y .● Producto escalar● Definiciones relacionadas ■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si x, y = 0.● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal ■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del subespacio C ⊥ de las señales que son ortogonales a todas ruido blanco● El receptor óptimo las de C.● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 16
  38. 38. Definiciones relacionadas● title1 ■ E[x] = x, xIntroducción ■ Definimos la norma de una señal x como x = E[x]Ruido gaussianoEl receptor óptimo ■ Definimos la distancia entre dos señales x e y como● Espacio de señales de energía finita d(x, y) = x − y .● Producto escalar● Definiciones relacionadas ■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si x, y = 0.● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal ■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del subespacio C ⊥ de las señales que son ortogonales a todas ruido blanco● El receptor óptimo las de C.● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 16
  39. 39. Definiciones relacionadas● title1 ■ E[x] = x, xIntroducción ■ Definimos la norma de una señal x como x = E[x]Ruido gaussianoEl receptor óptimo ■ Definimos la distancia entre dos señales x e y como● Espacio de señales de energía finita d(x, y) = x − y .● Producto escalar● Definiciones relacionadas ■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si x, y = 0.● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal ■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del subespacio C ⊥ de las señales que son ortogonales a todas ruido blanco● El receptor óptimo las de C.● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 16
  40. 40. Sistemas ortonormales● title1 ■ Un sistema ortonormal es un conjunto de señalesIntroducción {ψi (t)}i=1,...,L unitarias y ortogonales entre sí, es decir,Ruido gaussiano tales que ψi , ψj = δij .El receptor óptimo● Espacio de señales de ■ Una señal x(t) del subespacio generado por el sistema energía finita● Producto escalar ortonormal {ψi (t)}i=1,...,L se puede escribir como● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal L● Ortogonalización de Gram-Schmidt x(t) = x, ψk ψk (t).● Representación vectorial del ruido blanco k=1● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor ■ Si x(t) = x1 ψ1 (t) + . . . + xL ψL (t) y óptimo y(t) = y1 ψ1 (t) + . . . + yL ψL (t), entoncesModulación DBLC x, y = x1 y1 + · · · + xL yL . ¯ ¯José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 17
  41. 41. Sistemas ortonormales● title1 ■ Un sistema ortonormal es un conjunto de señalesIntroducción {ψi (t)}i=1,...,L unitarias y ortogonales entre sí, es decir,Ruido gaussiano tales que ψi , ψj = δij .El receptor óptimo● Espacio de señales de ■ Una señal x(t) del subespacio generado por el sistema energía finita● Producto escalar ortonormal {ψi (t)}i=1,...,L se puede escribir como● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal L● Ortogonalización de Gram-Schmidt x(t) = x, ψk ψk (t).● Representación vectorial del ruido blanco k=1● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor ■ Si x(t) = x1 ψ1 (t) + . . . + xL ψL (t) y óptimo y(t) = y1 ψ1 (t) + . . . + yL ψL (t), entoncesModulación DBLC x, y = x1 y1 + · · · + xL yL . ¯ ¯José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 17
  42. 42. Sistemas ortonormales● title1 ■ Un sistema ortonormal es un conjunto de señalesIntroducción {ψi (t)}i=1,...,L unitarias y ortogonales entre sí, es decir,Ruido gaussiano tales que ψi , ψj = δij .El receptor óptimo● Espacio de señales de ■ Una señal x(t) del subespacio generado por el sistema energía finita● Producto escalar ortonormal {ψi (t)}i=1,...,L se puede escribir como● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal L● Ortogonalización de Gram-Schmidt x(t) = x, ψk ψk (t).● Representación vectorial del ruido blanco k=1● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor ■ Si x(t) = x1 ψ1 (t) + . . . + xL ψL (t) y óptimo y(t) = y1 ψ1 (t) + . . . + yL ψL (t), entoncesModulación DBLC x, y = x1 y1 + · · · + xL yL . ¯ ¯José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 17
  43. 43. Proyección ortogonal● title1 La proyeccìón ortogonal de la señal x(t) sobre el subespacio SIntroducción generado por las {ψi (t)}i=1,...,L es la señal PS x de S definidaRuido gaussiano por cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:El receptor óptimo ■ El error de proyección x − PS x es ortogonal a todo S.● Espacio de señales de energía finita● Producto escalar ■ PS es la señal de S que minimiza x − PS x .● Definiciones relacionadas L● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal ■ PS x(t) = k=1 x, ψi ψi (t)● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del ruido blanco● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 18
  44. 44. Proyección ortogonal● title1 La proyeccìón ortogonal de la señal x(t) sobre el subespacio SIntroducción generado por las {ψi (t)}i=1,...,L es la señal PS x de S definidaRuido gaussiano por cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:El receptor óptimo ■ El error de proyección x − PS x es ortogonal a todo S.● Espacio de señales de energía finita● Producto escalar ■ PS es la señal de S que minimiza x − PS x .● Definiciones relacionadas L● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal ■ PS x(t) = k=1 x, ψi ψi (t)● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del ruido blanco● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 18
  45. 45. Proyección ortogonal● title1 La proyeccìón ortogonal de la señal x(t) sobre el subespacio SIntroducción generado por las {ψi (t)}i=1,...,L es la señal PS x de S definidaRuido gaussiano por cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:El receptor óptimo ■ El error de proyección x − PS x es ortogonal a todo S.● Espacio de señales de energía finita● Producto escalar ■ PS es la señal de S que minimiza x − PS x .● Definiciones relacionadas L● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal ■ PS x(t) = k=1 x, ψi ψi (t)● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del ruido blanco● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 18
  46. 46. Ortogonalización de Gram-Schmidt● title1 Este algoritmo proporciona, dado un conjunto finito de señalesIntroducción {si (t)}i=1,...,M , una base ortonormal {ψk }k=1,...,L delRuido gaussiano subespacio que generan.El receptor óptimo● Espacio de señales de Escribiremos Pψ1 ,...,ψr para referirnos a la proyección energía finita● Producto escalar ortogonal sobre el subespacio generado por las señales● Definiciones relacionadas ψ1 , . . . , ψr .● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del ruido blanco● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 19
  47. 47. Ortogonalización de Gram-Schmidt● title1 Este algoritmo proporciona, dado un conjunto finito de señalesIntroducción {si (t)}i=1,...,M , una base ortonormal {ψk }k=1,...,L delRuido gaussiano subespacio que generan.El receptor óptimo● Espacio de señales de Escribiremos Pψ1 ,...,ψr para referirnos a la proyección energía finita● Producto escalar ortogonal sobre el subespacio generado por las señales● Definiciones relacionadas ψ1 , . . . , ψr .● Sistemas ortonormales s1● Proyección ortogonal ■ Tomamos ψ1 = .● Ortogonalización de Gram-Schmidt s1● Representación vectorial del ruido blanco ˜ ˜ ■ Calculamos ψ2 = s2 − Pψ1 s2 . Si ψ2 = 0, definimos● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo ˜ ψ2● Implementación del receptor ψ2 = . óptimo ψ˜2Modulación DBLC ■ En general, si toca procesar sk y en la base tenemos ˜ ψ1 , . . . , ψr , calculamos ψr+1 = sk − Pψ1 ,...,ψr sk y, si es ˜ ψr+1 distinto de cero, definimos ψr+1 = . ˜r+1 ψJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 19
  48. 48. Representación vectorial del ruido blanco● title1 Si n(t) es ruido blanco gaussiano con depb N0 /2 yIntroducción {ψi (t)}i=1,...,L un sistema ortonormal, el vectorRuido gaussianoEl receptor óptimo n = (n1 , . . . , nL ), ni = n, ψi● Espacio de señales de energía finita● Producto escalar es una variable aleatoria gaussiana multidimensional de media● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales nula de componentes independientes con varianza σ 2 = N0 /2.● Proyección ortogonal● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del ruido blanco● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 20
  49. 49. Representación vectorial del ruido blanco● title1 Si n(t) es ruido blanco gaussiano con depb N0 /2 yIntroducción {ψi (t)}i=1,...,L un sistema ortonormal, el vectorRuido gaussianoEl receptor óptimo n = (n1 , . . . , nL ), ni = n, ψi● Espacio de señales de energía finita● Producto escalar es una variable aleatoria gaussiana multidimensional de media● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales nula de componentes independientes con varianza σ 2 = N0 /2.● Proyección ortogonal● Ortogonalización de Además el error de proyección Gram-Schmidt● Representación vectorial del ruido blanco L● El receptor óptimo● El receptor óptimo n(t) = n(t) − ¯ nk ψk (t)● El receptor óptimo● Implementación del receptor k=1 óptimoModulación DBLC es indepediente de los ni .José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 20
  50. 50. El receptor óptimo● title1 Tomamos una base ortonormal {ψi (t)}i=1,...,L del subespacioIntroducción S generado por las {si }i=1,...,M (espacio de señal).Ruido gaussianoEl receptor óptimo si (t) = s1 ψ1 (t) + . . . + sL ψl (t),● Espacio de señales de energía finita● Producto escalar sik = si , ψk● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales si (t) ≡ si = (si1 , . . . , siL )● Proyección ortogonal● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del ruido blanco● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 21
  51. 51. El receptor óptimo● title1 Tomamos una base ortonormal {ψi (t)}i=1,...,L del subespacioIntroducción S generado por las {si }i=1,...,M (espacio de señal).Ruido gaussianoEl receptor óptimo si (t) = s1 ψ1 (t) + . . . + sL ψl (t),● Espacio de señales de energía finita● Producto escalar sik = si , ψk● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales si (t) ≡ si = (si1 , . . . , siL )● Proyección ortogonal● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del La proyección ortogonal sobre S de la señal recibida será ruido blanco● El receptor óptimo● El receptor óptimo PS r(t) = PS si (t) + PS n(t) = si (t) + PS n(t)● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 21
  52. 52. El receptor óptimo● title1 Tomamos una base ortonormal {ψi (t)}i=1,...,L del subespacioIntroducción S generado por las {si }i=1,...,M (espacio de señal).Ruido gaussianoEl receptor óptimo si (t) = s1 ψ1 (t) + . . . + sL ψl (t),● Espacio de señales de energía finita● Producto escalar sik = si , ψk● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales si (t) ≡ si = (si1 , . . . , siL )● Proyección ortogonal● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del La proyección ortogonal sobre S de la señal recibida será ruido blanco● El receptor óptimo● El receptor óptimo PS r(t) = PS si (t) + PS n(t) = si (t) + PS n(t)● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimo Y el error de proyección seráModulación DBLC r(t) = r(t) − PS r(t) = si (t) + n(t) − [si (t) + PS n(t)] ¯ = n(t) − PS n(t) = n(t). ¯José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 21
  53. 53. El receptor óptimo● title1 Podemos expresar PS r como un vector r = (r1 , . . . , rL ):IntroducciónRuido gaussiano PS r(t) = r1 ψ1 (t) + . . . + rL ψL (t)El receptor óptimo● Espacio de señales de rk = r(t), ψk (t) = si , ψk + n, ψk energía finita● Producto escalar = sik + nk● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del ruido blanco● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 22
  54. 54. El receptor óptimo● title1 Podemos expresar PS r como un vector r = (r1 , . . . , rL ):IntroducciónRuido gaussiano PS r(t) = r1 ψ1 (t) + . . . + rL ψL (t)El receptor óptimo● Espacio de señales de rk = r(t), ψk (t) = si , ψk + n, ψk energía finita● Producto escalar = sik + nk● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal r (t) = n(t) es independiente de la señal enviada si ¯ ¯● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del ⇒ No aporta información directamente. ruido blanco● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 22
  55. 55. El receptor óptimo● title1 Podemos expresar PS r como un vector r = (r1 , . . . , rL ):IntroducciónRuido gaussiano PS r(t) = r1 ψ1 (t) + . . . + rL ψL (t)El receptor óptimo● Espacio de señales de rk = r(t), ψk (t) = si , ψk + n, ψk energía finita● Producto escalar = sik + nk● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal r (t) = n(t) es independiente de la señal enviada si ¯ ¯● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del ⇒ No aporta información directamente. ruido blanco● El receptor óptimo n(t) también es independiente de los coeficientes de ruido ni ¯● El receptor óptimo● El receptor óptimo ⇒ No nos aporta información tampoco indirectamente (a● Implementación del receptor través de las ecuaciones rk = sik + nk ). óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 22
  56. 56. El receptor óptimo● title1 Por tanto podemos realizar la decisión de forma óptimaIntroducción basándonos exclusivamente en los coeficientes riRuido gaussiano ⇒ Problema de estimación bayesiana con observaciónEl receptor óptimo● Espacio de señales de continua r energía finita● Producto escalar N0● Definiciones relacionadas r|si = si + ni ≡ N µ = si , Σ = I● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal 2● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del ruido blanco● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 23
  57. 57. El receptor óptimo● title1 Por tanto podemos realizar la decisión de forma óptimaIntroducción basándonos exclusivamente en los coeficientes riRuido gaussiano ⇒ Problema de estimación bayesiana con observaciónEl receptor óptimo● Espacio de señales de continua r energía finita● Producto escalar N0● Definiciones relacionadas r|si = si + ni ≡ N µ = si , Σ = I● Sistemas ortonormales● Proyección ortogonal 2● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del Por tanto la fdp de la observación es ruido blanco● El receptor óptimo 2● El receptor óptimo 1 r − si● El receptor óptimo f (r|si ) = L exp −● Implementación del receptor σ (2π)L/2 2σ 2 óptimo 2 N0Modulación DBLC σ = 2José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 23
  58. 58. Implementación del receptor óptimo● title1 Los productos escalares pueden implementarse mediante ∗Introducción filtros de respuesta al impulso hk (t) = ψk (t0 − t):Ruido gaussiano ∗El receptor óptimo r, ψk = r(t) ∗ ψk (t0 − t)|t=t0 .● Espacio de señales de energía finita● Producto escalar El parámetro t0 podemos elegirlo libremente.● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales Si la señal ψk (t) termina en t1 , el menor valor que hace el filtro● Proyección ortogonal● Ortogonalización de causal es t0 = t1 . Gram-Schmidt● Representación vectorial del ruido blanco● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor óptimoModulación DBLCJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 24
  59. 59. Implementación del receptor óptimo● title1Introducción ψ1 (t0 − t) ∗Ruido gaussiano r1El receptor óptimo● Espacio de señales de energía finita● Producto escalar ψ2 (t0 − t) ∗● Definiciones relacionadas● Sistemas ortonormales r(t) r2 arg m´xi P (si |r) a ˆ si● Proyección ortogonal● Ortogonalización de Gram-Schmidt● Representación vectorial del ruido blanco● El receptor óptimo● El receptor óptimo● El receptor óptimo● Implementación del receptor ψL (t0 − t) ∗ óptimo rLModulación DBLC g ∗ (r) = arg m´x P (si |r) = arg m´x f (r|si )Pi a a si siJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 24
  60. 60. Modelo de sistema de transmisión digital● title1 Portadora fcIntroducciónRuido gaussiano TransmisorEl receptor óptimo Fuente Modulador ModuladorModulación DBLC● Modelo de sistema de {mi } digital de canal transmisión digital● Modulación DBLC v(t) = n sI(n) (t − nT )● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Ruido en el canal● Ruido en el canal Canal● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la portadora Receptor n(t)● Resumen: Ventajas de usar señales complejas● Resumen: Sistemas real y Presentacion Demodulador Demodulador equivalente {mi } digital r(t) de canalJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 25
  61. 61. Modulación DBLC● title1 Modulación en Doble Banda Lateral en CuadraturaIntroducciónRuido gaussiano (xc (t), xs (t)) → x(t) = xc (t) cos ωc t − xs (t) sin ωc t ˜El receptor óptimo donde el ancho de banda de xc e yc es menor que B yModulación DBLC ωc● Modelo de sistema de fc = 2π ≥ B. transmisión digital● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Ruido en el canal● Ruido en el canal● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas● Resumen: Sistemas real y equivalenteJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 26
  62. 62. Modulación DBLC● title1 Viendo el par (xc (t), xs (t)) como una señal compleja:IntroducciónRuido gaussiano x(t) = xc (t) + jxs (t) → x(t) = [x(t)ejωc t ] ˜El receptor óptimoModulación DBLC● Modelo de sistema de transmisión digital● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Ruido en el canal● Ruido en el canal● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas● Resumen: Sistemas real y equivalenteJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 27
  63. 63. Modulación DBLC● title1 Viendo el par (xc (t), xs (t)) como una señal compleja:IntroducciónRuido gaussiano x(t) = xc (t) + jxs (t) → x(t) = [x(t)ejωc t ] ˜El receptor óptimo En frecuencia:Modulación DBLC● Modelo de sistema de transmisión digital● Modulación DBLC x(t) →x(t)ejωc t →˜(t) = [x(t)ejωc t ] x● Modulación DBLC● Modulación DBLC X(f ) →X(f − fc ) ˜ →X(f ) = Her[X(f − fc )]● Ruido en el canal● Ruido en el canal 1● Representación vectorial del rbg complejo = [X(f − fc ) + X ∗ (−f − fc )]● Canal paso bajo equivalente 2● Error en la fase de la X ∗ (−(f +fc )) portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas● Resumen: Sistemas real y equivalenteJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 27
  64. 64. Modulación DBLC● title1 X(f )IntroducciónRuido gaussianoEl receptor óptimoModulación DBLC● Modelo de sistema de transmisión digital● Modulación DBLC ˜ X(f )● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Ruido en el canal● Ruido en el canal● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la portadora● Resumen: Ventajas de usar ˜ Por tanto X(f ) es esencialmente X(f ) desplazada a fc más X ∗ (−f ) desplazada a −fc , luego señales complejas● Resumen: Sistemas real y equivalente ˜ X(f ) = 2X(f + fc )u(f + fc ), es decir, X(f ) es la señal paso bajo equivalente o envolvente ˜ compleja de X(f ).José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 28
  65. 65. Ruido en el canal● title1 Si el canal añade ruido blanco gaussiano con depb N0 /2, en elIntroducción lado receptor, el demodulador lo convierte en ruido blancoRuido gaussiano paso banda, del que se obtiene la señal paso bajo equivalente,El receptor óptimo que es un proceso complejoModulación DBLC● Modelo de sistema de transmisión digital ne (t) = nc (t) + jns (t)● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Modulación DBLC del que se demuestra:● Ruido en el canal● Ruido en el canal● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas● Resumen: Sistemas real y equivalenteJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 29
  66. 66. Ruido en el canal● title1 Si el canal añade ruido blanco gaussiano con depb N0 /2, en elIntroducción lado receptor, el demodulador lo convierte en ruido blancoRuido gaussiano paso banda, del que se obtiene la señal paso bajo equivalente,El receptor óptimo que es un proceso complejoModulación DBLC● Modelo de sistema de transmisión digital ne (t) = nc (t) + jns (t)● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Modulación DBLC del que se demuestra:● Ruido en el canal● Ruido en el canal 1. nc y ns son procesos estacionarios gaussianos● Representación vectorial del rbg complejo independientes de media nula● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la 2. y con densidad espectral de potencia portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas Snc (f ) = Sns (f ) = N0● Resumen: Sistemas real y equivalente para |f | < B, donde B es el menor ancho de banda de los filtros del demodulador DBLC.José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 29
  67. 67. Ruido en el canal● title1 Si el canal añade ruido blanco gaussiano con depb N0 /2, en elIntroducción lado receptor, el demodulador lo convierte en ruido blancoRuido gaussiano paso banda, del que se obtiene la señal paso bajo equivalente,El receptor óptimo que es un proceso complejoModulación DBLC● Modelo de sistema de transmisión digital ne (t) = nc (t) + jns (t)● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Modulación DBLC del que se demuestra:● Ruido en el canal● Ruido en el canal 1. nc y ns son procesos estacionarios gaussianos● Representación vectorial del rbg complejo independientes de media nula● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la 2. y con densidad espectral de potencia portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas Snc (f ) = Sns (f ) = N0● Resumen: Sistemas real y equivalente para |f | < B, donde B es el menor ancho de banda de los filtros del demodulador DBLC. En los desarrollos teóricos se suele suponer ancho de banda infinito, lo que no afecta al resultado (ejercicio 1.12 de los apuntes de la asignatura).José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 29
  68. 68. Ruido en el canal● title1 cos ωc t 2 cos ωc tIntroducciónRuido gaussiano sc (t) FPBajo rc (t)El receptor óptimoModulación DBLC● Modelo de sistema de transmisión digital − sen ωc t FPBanda −2 sen ωc t● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Ruido en el canal ss (t) n(t) FPBajo rs (t)● Ruido en el canal● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas● Resumen: Sistemas real y equivalenteJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 30
  69. 69. Ruido en el canal● title1Introducción sc (t) rc (t)Ruido gaussianoEl receptor óptimoModulación DBLC● Modelo de sistema de nc (t) transmisión digital● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Modulación DBLC ss (t) rs (t)● Ruido en el canal● Ruido en el canal● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la portadora ns (t)● Resumen: Ventajas de usar señales complejas● Resumen: Sistemas real y equivalenteJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 30
  70. 70. Representación vectorial del rbg complejo● title1 Si ne (t) = nc (t) + jns (t) es rbg complejo como el queIntroducción acabamos de describir, pero con Snc (f ) = Sns (f ) = N0 yRuido gaussiano {ψi (t)}i=1,...,L es un sistema ortonormal, definimosEl receptor óptimoModulación DBLC ni = nic + jnis = ne (t), ψi (t)● Modelo de sistema de transmisión digital● Modulación DBLC ne (t) = ne (t) − (n1 ψ1 (t) + . . . + nL ψL (t)) . ¯● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Ruido en el canal● Ruido en el canal● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas● Resumen: Sistemas real y equivalenteJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 31
  71. 71. Representación vectorial del rbg complejo● title1 Si ne (t) = nc (t) + jns (t) es rbg complejo como el queIntroducción acabamos de describir, pero con Snc (f ) = Sns (f ) = N0 yRuido gaussiano {ψi (t)}i=1,...,L es un sistema ortonormal, definimosEl receptor óptimoModulación DBLC ni = nic + jnis = ne (t), ψi (t)● Modelo de sistema de transmisión digital● Modulación DBLC ne (t) = ne (t) − (n1 ψ1 (t) + . . . + nL ψL (t)) . ¯● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Ruido en el canal Entonces● Ruido en el canal ■ El vector (n1c , n1s , . . . , nLc , nLs ) es una variable aleatoria● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente gaussiana de componentes independientes, media nula y● Error en la fase de la portadora varianza σ 2 = N0 .● Resumen: Ventajas de usar señales complejas ■ ne (t) es independiente de este vector. ¯● Resumen: Sistemas real y equivalenteJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 31
  72. 72. Representación vectorial del rbg complejo● title1 Si ne (t) = nc (t) + jns (t) es rbg complejo como el queIntroducción acabamos de describir, pero con Snc (f ) = Sns (f ) = N0 yRuido gaussiano {ψi (t)}i=1,...,L es un sistema ortonormal, definimosEl receptor óptimoModulación DBLC ni = nic + jnis = ne (t), ψi (t)● Modelo de sistema de transmisión digital● Modulación DBLC ne (t) = ne (t) − (n1 ψ1 (t) + . . . + nL ψL (t)) . ¯● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Ruido en el canal Entonces● Ruido en el canal ■ El vector (n1c , n1s , . . . , nLc , nLs ) es una variable aleatoria● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente gaussiana de componentes independientes, media nula y● Error en la fase de la portadora varianza σ 2 = N0 .● Resumen: Ventajas de usar señales complejas ■ ne (t) es independiente de este vector. ¯● Resumen: Sistemas real y equivalente Por lo tanto el esquema del receptor óptimo para señales reales es también válido para señales complejas.José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 31
  73. 73. Canal paso bajo equivalente● title1 Si la señal modulada pasa por un canal modelado por unIntroducción sistema lineal invariante con respuesta en frecuencia H(f )Ruido gaussiano obtenemosEl receptor óptimo ˜ ˜ Y (f ) = X(f )H(f )Modulación DBLC● Modelo de sistema de transmisión digital● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Ruido en el canal● Ruido en el canal● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas● Resumen: Sistemas real y equivalenteJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 32
  74. 74. Canal paso bajo equivalente● title1 Si la señal modulada pasa por un canal modelado por unIntroducción sistema lineal invariante con respuesta en frecuencia H(f )Ruido gaussiano obtenemosEl receptor óptimo ˜ ˜ Y (f ) = X(f )H(f )Modulación DBLC● Modelo de sistema de Luego al demodular (=obtener señal paso bajo equivalente) transmisión digital● Modulación DBLC obtenemos● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Ruido en el canal ˜ ˜ Y (f ) = 2Y (f + fc )u(f + fc ) = 2X(f + fc )H(f + fc )u(f + fc )● Ruido en el canal● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas● Resumen: Sistemas real y equivalenteJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 32
  75. 75. Canal paso bajo equivalente● title1 Si la señal modulada pasa por un canal modelado por unIntroducción sistema lineal invariante con respuesta en frecuencia H(f )Ruido gaussiano obtenemosEl receptor óptimo ˜ ˜ Y (f ) = X(f )H(f )Modulación DBLC● Modelo de sistema de Luego al demodular (=obtener señal paso bajo equivalente) transmisión digital● Modulación DBLC obtenemos● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Ruido en el canal ˜ ˜ Y (f ) = 2Y (f + fc )u(f + fc ) = 2X(f + fc )H(f + fc )u(f + fc )● Ruido en el canal● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la ˜ = 2X(f + fc )u(f + fc ) H(f + fc )u(f + fc ) portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas X(f ) He (f )● Resumen: Sistemas real y equivalente He (f ) es la respuesta del canal paso bajo equivalente (atención a la definición (sin 2)).José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 32
  76. 76. Error en la fase de la portadora● title1 Si modulamos x(t) = xc (t) + jxs (t) con ej(ωc t+θ) en lugar deIntroducción ejωc t , transmitimosRuido gaussianoEl receptor óptimo [x(t)ej(ωc t+θ) ] = [x(t)ejθ ejωc t ],Modulación DBLC● Modelo de sistema de transmisión digital● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Ruido en el canal● Ruido en el canal● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas● Resumen: Sistemas real y equivalenteJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 33
  77. 77. Error en la fase de la portadora● title1 Si modulamos x(t) = xc (t) + jxs (t) con ej(ωc t+θ) en lugar deIntroducción ejωc t , transmitimosRuido gaussianoEl receptor óptimo [x(t)ej(ωc t+θ) ] = [x(t)ejθ ejωc t ],Modulación DBLC● Modelo de sistema de transmisión digital y si demodulamos con ejωc t recuperamos● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Modulación DBLC x(t)ejθ .● Ruido en el canal● Ruido en el canal● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas● Resumen: Sistemas real y equivalenteJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 33
  78. 78. Resumen: Ventajas de usar señales complejas● title1 Las señales complejas proporcionan un modeloIntroducción matemáticamente equivalente del proceso de transmisión deRuido gaussiano señales moduladas en DBLC, en el que se incluyen de formaEl receptor óptimo muy sencilla:Modulación DBLC● Modelo de sistema de transmisión digital● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Modulación DBLC● Ruido en el canal● Ruido en el canal● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas● Resumen: Sistemas real y equivalenteJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 34
  79. 79. Resumen: Ventajas de usar señales complejas● title1 Las señales complejas proporcionan un modeloIntroducción matemáticamente equivalente del proceso de transmisión deRuido gaussiano señales moduladas en DBLC, en el que se incluyen de formaEl receptor óptimo muy sencilla:Modulación DBLC ■ La presencia de ruido en el canal.● Modelo de sistema de transmisión digital● Modulación DBLC ■ La distorsión lineal del canal.● Modulación DBLC● Modulación DBLC ■ Los errores de fase en la recuperación de la portadora.● Ruido en el canal● Ruido en el canal● Representación vectorial del rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas● Resumen: Sistemas real y equivalenteJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 34
  80. 80. Resumen: Sistemas real y equivalente● title1Introducción DBLC H(f ) DBLC−1Ruido gaussiano ej(ωt+θ) ejωtEl receptor óptimo n(t)Modulación DBLC● Modelo de sistema de transmisión digital● Modulación DBLC● Modulación DBLC He (f )ejθ● Modulación DBLC● Ruido en el canal● Ruido en el canal● Representación vectorial del ne (t) rbg complejo● Canal paso bajo equivalente● Error en la fase de la portadora● Resumen: Ventajas de usar señales complejas● Resumen: Sistemas real y equivalenteJosé Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 35

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