Este documento presenta los conceptos básicos de las rectas y planos en R3. Explica cómo encontrar las ecuaciones paramétricas y simétricas de una recta dados un punto y un vector director, o dos puntos de la recta. También define el ángulo entre una recta y un plano, y explica cómo determinar los números directores de la intersección de dos planos.

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la defensa
Universidad nacional experimental politécnica de las fuerzas armadas
UNEFA
Integrantes :
Jairo Abreu
Jennifer luckert
Dairimar Pérez
Dennys Gómez
Sección : 1T2IS
Barquisimeto,
Julio2012

2. Rectas en R3
Sea P0(x0,y0,z 0) un punto
que pertenece a la recta L, con
vector director d diferente del
vector cero dado por (a,b, c).
Se define a L como el conjunto
de puntos P(x ,y ,z ) tales que la
dirección del vector P0P es
paralela a d.

3. Ecuaciones
encontrar la ecuación de una recta dados
dos puntos de la recta o un punto y la
pendiente de la recta En el plano R2
podemos. En R3, las ideas básicas son las
mismas, así que podemos hallar la
ecuación de la recta si conocemos dos
puntos de ella o un vector paralelo a la
recta. Denotamos Po como un punto de la
recta (xo,yo,zo), v como el vector dirección
(a,b,c), y t como un numero real
cualquiera, podemos obtener las dos
ecuaciones de la recta.

4. 
P tv P0
( x, y , z ) t (a, b, c) ( x0 , y0 , z0 )
x ta x0
Ecuaciones parametricas y tb y0
z tc z0
Con estas ecuaciones podemos obtener n puntos de la recta. Si despejamos la t en las tres
ecuaciones e igualamos, obtenemos:
x x0 y y0 z z0
Ecuaciones simetricas
a b c

5. Ejemplos:
Hallar las ecuaciones parametricas y simétricas de la recta que tiene por vector dirección
v=(1,-2,3) y pasa por el punto (1,1,1).
 y
v ( 1, 2 ,3 )
P0 ( 1,1,1 )
L
x ta x0 x t 1
Ec. parametricas y tb y0 y 2t 1
x
z tc z0 z 3t 1
x 1 y 1 z 1 z
Ec. simetricas
1 2 3 v
Si t 1 P ( 2 , 1,4 ) Si t 1 P ( 0 ,3, 2 )

6. Angulo entre una recta y un plano
Se define el ángulo que forman dos rectas como el ángulo que
determinan sus vectores directores.
Sea N un vector en R 3 diferente de cero . Sea T un punto en R3 .
Se dice que el conjunto de puntos X generan un plano que contiene al
punto T, si cumplen que :
__ __
(0X - 0T) . N = 0
Si se denota por π el plano que contiene a
T y los puntos X En R3 que satisfacen (∗), entonces se dice que N es el
vector normal de π.

8. Números directores de la intersección de dos planos
Para determinar un plano se necesitan un punto Po(xo ,yo ,zo) y un vector
normal al plano. La ecuación del plano viene entonces dada por la
relación: A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0 ⇒ A.x + B.y + C.z + D = 0
(1)Donde D = -A.xo - B.yo - C.zo
Se pueden considerar varios casos particulares según que uno o dos de
los coeficientes de la ecuación (1) sean nulos.
1) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la forma:
B.y + C.z + D = 0
Siendo el vector director normal al plano de la forma:

9. 2) Plano paralelo al eje OY.
Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + C.z + D = 0
Siendo el vector director normal al plano de la forma:
3) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general
toma la forma : A.x + B.y + D = 0
Siendo el vector director normal al plano de la forma:
4) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la
ecuación general toma la forma:
A.x + B.y + C.z = 0

10. 5)Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B =
0 y la ecuación general toma la forma: C.z + D = 0 ; z = Cte.
Esta ecuación puede considerarse también como la correspondiente a
un plano paralelo al plano XOY
6)Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al plano
XOZ. Se tiene en este caso A = 0, C = 0 y la ecuación general toma la
forma: B.y + D = 0 ; y = Cte.
7) Plano perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano
YOZ. Se tiene en este caso B = 0, C = 0 y la ecuación general toma la
forma: A.x + D = 0 ; x = Cte.