Operaciones con fracciones

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Operaciones con fracciones. Noveno Grado

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Operaciones con fracciones

  1. 1. Operaciones. Las fracciones y sus operaciones Manuel Martínez [email_address]
  2. 2. Unidad 7 . Operaciones O cuando tardamos media hora en hacer los deberes, En estas situaciones estamos utilizando las fracciones . LAS FRACCIONES Y SUS OPERACIONES Introducción. Cuando decimos que nos hemos comido las tres cuartas partes de la torta,
  3. 3. Unidad 7 . Operaciones Términos de una fracción . Recuerda que ya hemos estudiado lo que es una fracción. a Si tenemos dos números a y b , y b  0, entonces la expresión ------ es una fracción . b b se llama denominador de la fracción, y nos indica en cuántas partes se divide la unidad. a se llama numerador de la fracción , y nos indica cuántas partes tomamos. a  NUMERADOR ------ b  DENOMINADOR
  4. 4. Unidad 7 . Operaciones 1) Dividimos 10 entre 5 y multiplicamos el resultado por 2 10 : 5 = 2 2 . 2 = 4 2) Multiplicamos 10 por 2 y dividimos el resultado entre 5. 10 . 2 = 20 20 : 5 = 4 Fracción de un número. Si queremos calcular cuanto valen los 2 / 5 de 10, ¿ Cómo lo hacemos? Para calcularlo, lo puedes hacer de dos formas distintas :
  5. 5. Unidad 7 . Operaciones Tipos de Fracciones: Propias e Impropias . Dentro de las fracciones podemos distinguir tres tipos diferentes: 1. Fracciones que tienen el numerador igual al denominador: 3 5 9 456 ------ , -------- , ------- , -------- , 3 5 9 456 Todas estas fracciones son iguales a la unidad . la unidad 
  6. 6. Unidad 7 . Operaciones 2. Fracciones que tienen el numerador menor que el denominador: 2 1 5 4 21 ------ , -------- , ------- , -------- , ---------- 3 4 7 9 47 Todas estas fracciones son más pequeñas que la unidad. 2 Por ejemplo ------ 3 Si la representamos gráficamente: 1 Unidad  2/3 Este tipo de fracciones se llaman fracciones propias .
  7. 7. Unidad 7 . Operaciones 3 .Fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador: 4 5 74 7 9 ------ , -------- , ------- , -------- , ---------- , --------- 3 3 9 5 4 Todas estas fracciones son mayores que la unidad. 4 Por ejemplo ------ 3 Si la representamos gráficamente: 1 Unidad 1 Unidad   Este tipo de fracciones se llaman fracciones impropias . 3/3 + 1/3
  8. 8. Unidad 7 . Operaciones Numero Mixtos . Como acabas de ver, las fracciones impropias son mayores que la unidad Las fracciones impropias las podemos escribir como suma de un número natural y una fracción. 4 3 1 1 5 4 1 1 ------ = -------- + ------- = 1 + ------ ------- = ------ + ------ = 1 + ----- 3 3 3 3 4 4 4 4 También podemos escribirlas de la siguiente forma. 4 1 1 ------ = 1 + ------- = 1 ------- 3 3 3 5 1 1 ------ = 1 + ------- = 1 ------- 4 4 4 1 1 1 ------ y 1 ------- 3 4 son números mixtos , y se leen “ uno y un tercio” y “ uno y un cuarto “
  9. 9. Unidad 7 . Operaciones Fracciones Equivalentes . a c Si dos fracciones ----- y ------ son equivalentes, entonces se verifica b d que a . d = b . c Los productos a . d y b . c se llaman productos cruzados. Se llaman productos cruzados porque lo que en realidad hacemos es cruzar los numeradores y denominadores de las dos fracciones. a c ------ = ----  a . d = b . c b d Luego, podemos decir que dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados son iguales .
  10. 10. Unidad 7 . Operaciones 2 4 ------ ---- 3 6 2 . 6 = 12 3 . 4 = 12 Luego 2 . 6 = 3 . 4 , y así comprobamos que las fracciones son equivalentes. 2 4 Entonces ------ y ---- son equivalentes 3 6 a c Para indicar que dos fracciones son equivalentes ponemos ------ = ---- b d 2 4 La fracciones ---- y ---- son equivalentes 3 6 En efecto, comprobamos realizando los productos cruzados.
  11. 11. Unidad 7 . Operaciones Si las fracciones no son equivalentes, entonces los productos cruzados son diferentes a . d  b . C 3 4 Por ejemplo : ------ y ---- 2 5 3 . 5 = 15 2 . 4 = 8 Comprobamos que 15  8 3 4 Entonces decimos que las fracciones no son equivalentes , y ponemos -----  ---- 2 5
  12. 12. Unidad 7 . Operaciones Comprobación y Ordenación de Fracciones. a c Si tenemos dos fracciones ---- y ---- b d ¿ cómo podemos saber cuál de ellas es la menor y cuál la mayor? Recuerda que si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tienen mayor numerador. 2 3 3 2 Por ejemplo : ------ y ----  ------ > ----- 5 5 5 5 Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador. 2 2 2 2 Por ejemplo : ------ y ----  ------ < ----- 4 3 4 3
  13. 13. Unidad 7 . Operaciones ¿ Qué sucede cuando las fracciones no tienen ninguno de sus términos iguales? En este caso buscamos fracciones equivalentes con el mismo denominador, y comparamos los numeradores. 2 3 Por ejemplo : ------ y ---- 3 4 2 4 6 8 ------ = ---- = ----- = ----- 3 6 9 12 Buscamos fracciones equivalentes. 3 6 9 ------ = ---- = ----- 4 8 12 8 9 2 3 Como ------ < ---- , entonces ---- < ----- 12 12 3 4
  14. 14. Unidad 7 . Operaciones <ul><li>suma y resta con: </li></ul><ul><li>Mismo Denominador: </li></ul><ul><li>Cuando tenemos dos fracciones con el mismo denominador. </li></ul><ul><li>a c </li></ul><ul><li>---- y ---- </li></ul><ul><li>b b </li></ul><ul><li>Podemos sumarlas sumando sus numeradores, y dejando el mismo denominador. </li></ul><ul><li>a c a + c </li></ul><ul><li>------ + ---- = -------- </li></ul><ul><li>b b b </li></ul>3 2 3+ 2 5 ------ + ------ = -------- = ----- 7 7 7 7
  15. 15. Unidad 7 . Operaciones O también podemos restarlas de la misma forma. a c a - c ----- - ---- = -------- b b b 3 2 Por ejemplo ------ y ----- 7 7 3 2 3 - 2 1 ------ - ---- = -------- = ----- 7 7 7 7 Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador .
  16. 16. Unidad 7 . Operaciones b) Distinto Denominador. Para sumar o restar fracciones, éstas deben tener el mismo denominador. Si no lo tiene, debemos buscar fracciones equivalentes, hasta que éstas tengan el mismo denominador 3 4 Por ejemplo ------ y ----- 5 2
  17. 17. Unidad 7 . Operaciones 3 6 ------ = ----- 5 10 4 8 12 16 20 ------ = ----- = ----- = ------ = ------- 2 4 6 8 10 4 3 20 6 20 + 6 26 ------ + ----- = ----- + ------ = ----------- = ------- 2 5 10 10 10 10 4 3 20 6 20 – 6 14 ------ - ----- = ----- - ------ = --------- = ------ 2 5 10 10 10 10
  18. 18. Unidad 7 . Operaciones Para hallar fracciones con distinto denominador, podemos usar el método del mínimo común múltiplo de los denominadores ( m. c. m. )
  19. 19. Unidad 7 . Operaciones <ul><li> 1 2 3 </li></ul><ul><li>Tenemos las fracciones ----, ----- , ------ </li></ul><ul><li>2 3 4 </li></ul><ul><li>Calculamos el m.c.m. de los denominadores: </li></ul><ul><li>m.c.m. ( 2, 3, 4 ) = 2. 2. 3 = 12 </li></ul><ul><li>2) Multiplicamos el numerador de cada fracción por el cociente de dividir el m.c.m. por el denominador de esta fracción. </li></ul><ul><li>1 1 6 </li></ul><ul><li>------  12 : 2 = 6 ; 6 . 1 = 6  ------ = ------ </li></ul><ul><li>2 2 12 </li></ul><ul><li>2 2 8 </li></ul><ul><li>------  12 : 3 = 4 ; 4 . 2 = 8  ------ = ------ </li></ul><ul><li>3 3 12 </li></ul><ul><li>3 3 9 </li></ul><ul><li>------  12 : 4 = 3 ; 3 . 3 = 9  ------ = ------ </li></ul><ul><li>4 4 12 </li></ul>
  20. 20. Unidad 7 . Operaciones 6 8 9 1 2 3 A si , las fracciones ------, ----- y ----- son equivalentes a ---- , ---- y ----- 12 12 12 2 3 4 y tienen el mismo denominador, luego podemos sumarlas y restarlas. 1 2 3 6 8 9 6 + 8 + 9 23 ------ + ----- + ----- = ------ + ------ + ----- = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12 1 2 3 6 8 9 6 + 8 - 9 5 ------ + ----- - ----- = ------ + ------ - ------ = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12
  21. 21. Unidad 7 . Operaciones Multiplicación y División a c Para multiplicar las fracciones ------ y ----- , hacemos b d a c a . c ------ . ---- = ---------- b d b . d Al multiplicar dos fracciones, obtenemos otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores , y el denominador es el producto de los denominadores.
  22. 22. Unidad 7 . Operaciones Por ejemplo: 1 2 1 . 2 2 ------ . ----- = -------- = ------ 3 5 3 . 5 15 a c Para dividir dos fracciones ---- y ---- , hacemos b d a c a d a . d ----  ---- = ----- . ------- = ---------- b d b c b . c
  23. 23. Unidad 7 . Operaciones Dividir dos fracciones es lo mismo que multiplicar la primera de ellas por el inverso de la segunda. Por ejemplo: 3 2 3 5 3 . 5 15 ------  ----- = ----- . ---- = ---------- = ------ 2 5 2 2 2 . 2 4 También podemos hacer el producto cruzado de las fracciones, que consiste en multiplicar el numerador de cada una de las fracciones por el denominador de la otra. a c a . d ---- : --- = --------- b d b . C Por ejemplo: 3 2 3 . 5 15 ---- : --- = --------- = ------ 2 5 2 . 2 4

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