Tesis matemáticas

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Matemáticas, historia y epistemología.

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Tesis matemáticas

  1. 1. ELEMENTOS DE USO DE LA HISTORIA PARA LOS PROCESOS DEENSEÑANZA DE LA DERIVADA EN CONTEXTOS ESCOLARESJaime Eduardo Guzmán Moreno9524533UNIVERIDDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDASFACUALTAD CIENCIAS DE LA EDUCACIÓNBogotá, Septiembre de 2004.
  2. 2. ELEMENTOS DE USO DE LA HISTORIA PARA LOS PROCESOS DEENSEÑANZA DE LA DERIVADA EN CONTEXTOS ESCOLARESJaime Eduardo Guzmán Moreno9524533DirectorJorge Rodríguez BejaranoTrabajo de grado como requisito para optar el titulo de licenciado en matemáticasUNIVERIDDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDASFACUALTAD CIENCIAS DE LA EDUCACIÓNBogotá, Septiembre de 2004.
  3. 3. ELEMENTOS DE USO DE LA HISTORIA PARA LOS PROCESOS DEENSEÑANZA DE LA DERIVADA EN CONTEXTOS ESCOLARESINDICECAPITULO 1: TITULO. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN. ANTECEDENTES.METODOLOGIA. OBJETIVOS.1.1. Titulo 41. 2. Problema 41. 3. Descripción del problema 41. 4. Área problemática. Antecedentes. Investigaciones sobre el uso de la historiapara la enseñanza de la derivada en contextos escolares 81. 4. 1. Antecedentes bibliográficos 131. 4. 2. Fases de la investigación 141. 4. 3. Metodología 191.5. Objetivos 20CAPITULO 2: FUNDAMENTO Y MARCO CONCEPTUAL2. 1. Introducción 212. 2. Enfoque sistémico de la didáctica de las matemáticas 212. 2. 1. Funcionamiento del sistema didáctico bajo la óptica de Chevallard 232. 2. 2. La transposición didáctica: del saber sabio al saber enseñado 312. 2. 3. Transposición didáctica, epistemología e historia 32
  4. 4. 2. 3. Noción de obstáculo en los procesos de enseñanza – aprendizaje delas matemáticas 342. 3. 1. Noción de obstáculo epistemológico en Didáctica de las Matemáticas 382. 3. 2. Epistemología y teoría de las situaciones didácticas 412. 4. Enfoque epistemológico genético 432. 4. 1. Teoría del desarrollo cognitivo 432. 4. 2. Pensamiento formal y aprendizaje de las ciencias 452. 5. Enfoque constructivista de la enseñanza de las matemáticas 472. 6. Critica a la epistemología actual, y la teoría de la Ontología histórica deMichael Foucault 492. 7. Problemática curricular 591. 7. 1. Concepto de Currículum 59CAPITULO 3: ANALISIS DEL QUE SOMOS ACTUAL, VISTO DESDE ELTRATAMIENTO QUE SE HA DADO DE LA DERIVADA DESPUES DE SUINCLUSIÓN EN LOS PROGRAMAS OFICIALES.3. 1. Introducción 623. 1. 1. Primer libro de texto destinado a la enseñanza del cálculo 633. 1. 2. Los años setenta, variedad de publicaciones y nuevos enfoques 643. 1. 3. Los ochentas, continuidad en la concepción utilitarista de la enseñanzadel concepto de derivada 663. 1. 4. Los noventas, el sueño de un país nuevo 703. 1. 5. Libros de texto usados para la enseñanza del Cálculo después de laLey general de educación y los Lineamientos curriculares 753. 2. Uso de la historia como apoyo didáctico en el currículo 78
  5. 5. CAPITULO 4: EPISTEMOLOGÍA DEL CONCEPTO DE DERIVADA4. 1. Introducción 834. 2. Concepto de derivada actualmente 854. 2. 1. Concepto de derivada asociada al trazado de una recta tangentea una curva 854. 2. 2. Interpretación física de la derivada 884. 3. Ontología del concepto derivada 91CAPITULO5: DESARROLLO HISTORICO DE LAS PRACTICAS Y DISCURSOSASOCIADOS AL CONCEPTO DE DERIVADA5. 1. Introducción 935. 2. Pensamiento matemático en la antigüedad 935. 2. 1. Problemática alrededor del concepto de continuidad 955. 2. 2. Continuidad en la antigüedad 965. 3. Noción de infinito en Grecia 975. 3. 1. Entre Dionisos y Apolo 985. 3. 2. Finito, infinito negativo e infinito positivo 1005. 3. 3. Lucha dual finito Vs. infinito - infinito positivo Vs. infinito negativo 1015. 4. Matemática griega 1055. 4. 1. Pitágoras de Samos (580 – 500 a.C.) 1055. 4. 2. Escuela Pitagórica 1055. 4. 3. La sección Áurea 1075. 4. 4. EUDOXO: Primera aproximación a la idea de límite 1085. 4. 5. Euclides de Alejandría (s. IV-III a. C.): Separación entre la cienciade los números y la ciencia de las magnitudes 110
  6. 6. 5. 4. 6. Aristóteles (384/383 – 322 a. C.): paradigma de la cienciaantigua y medieval 1115. 4. 7. ARQUÍMEDES (287 – 212 a. C.):Segunda aproximación a la idea de límite 1115. 5. Preestadios de la noción de función 1175. 5. 1. Noción de función en las civilizaciones antiguas 1175. 5. 2. Babilónicos 1185. 5. 3. Griegos 1235. 6. Pensamiento matemático en la Edad Media 1235. 6. 1. Noción de infinito en la Edad Media 1245. 6. 2. Neo platonismo 1245. 6. 3. Cristianismo e infinito 1245. 6. 4. Escolástica 1255. 6. 4. Santo Tomás (1225 – 1274) 1265. 7. Matemáticas del medioevo 1265. 7. 1. Noción de función en la Edad Media 1275. 7. 2. Nicolás Oresme (1320-1382) 1305. 8. Pensamiento matemático en la Edad Moderna 1345. 8. 1. Pensamiento moderno del infinito 1345. 8. 3. Nicolás de Cusa (1401 – 1464) 1355. 8. 4. Infinitismo en las matemáticas modernas 1355. 8. 5. Rene Descartes (1596 – 1650) 1365. 8. 6. Baruch Spinoza (1632 – 1677) 1375. 8. 7. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) 1375. 9. Matemáticas modernas 1385. 9. 1. Noción de función en los albores de la modernidad: (s. XV y XVI) 1385. 9. 2. Galileo Galilei (1564-1642) 1395. 10. La idea de límite en el siglos XVI 1405. 10. 1.Francoise Viéte (1540 – 1603) 1405. 10. 2. Ludolph Van Ceulen (1540 – 1610) 142
  7. 7. 5. 10. 3. Stevin 1425. 11. Introducción de la representación analítica. (s. XVII) 1445. 12. La idea de límite en el s. XVII 1475. 12. 1. Johannes Kepler (1571 – 1630) 1475. 12. 2. Bonaventura Cavalieri 1495. 12. 3. Fermat 1505. 12. 4. Torricelli 1535. 12. 5. James Gregory (1638 – 1675) 1545. 12. 6. Isaac Barrow (1630 – 1677) 1555. 12. 7. Newton: El primer intento de definición de límite 1575. 12. 8. Gottfried Wilhem Leibniz (1647 -1716) 1595. 13. Proceso de creación de las matemáticas variables 1605. 13. 1. Método de Fluxiones de Newton 1615. 14. Idea de Límite en el Siglo XVIII 1645. 14. 1. La familia Bernoulli 1645. 14. 2. Jacques Bernoulli (1554 – 1705) 1655. 14. 3. Jean Bernoulli (1667 – 1748) 1655. 14. 4. D´ Alembert 1665. 15. El concepto de función se considera central en las matemáticas 1685. 16. Problemática alrededor del concepto de continuidad incorporadoen las funciones discontinuas o mixtas 1725. 17. Edad de oro en la matemática 1745. 17. 1. Los inicios de la aritmetización 1755. 17. 2. Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857) 1755. 17. 3. Bolzano (1781 – 1848) 1795. 17. 4. Dirichlet 1795. 18. Aritmetización de los procesos infinitos 1805. 18. 1. Weierstrass: Definición refinada del concepto de límite 1815. 18. 2. Dedekind 182
  8. 8. CAPITULO 6: OBSTACULOS EPISTEMOLOGICOS PRESENTES EN ELDESARROLLO HISTORICO DEL CONCEPTO DE DERIVADA6. 1. Introducción 1846. 2. Obstáculos de tipo epistemológico 184CAPITULO 7: DINAMIZACIÓN DE LA HISTORIA CONTADA PARA CREARELMENTOS DE USO DE LA HISTORIA PARA LA NESEÑANZA DE LADERIVADA7. 1. Introducción 1907. 2. Proceso de materialización del concepto de derivada 1927. 3. Incorporación de la historia al currículo de matemáticas 197CAPITULO 8: COCLUSIONESConclusiones 204
  9. 9. INTRODUCCIÓNDebido a su carácter modelador y practico, el concepto matemático de derivada seconstituye hoy día en uno de los conceptos más importantes en la escuela, estandopresente en los currículos escolares colombianos desde mediados de los años cincuenta delsiglo pasado. Pese a esto son escasas las investigaciones que sean hecho acerca de suenseñanza. Más aun, cuando este es un concepto complejo, que por ser una amalgamacomplicada de nociones y conceptos matemáticos y no matemáticos, genera muy distintosniveles de abstracción.Reiterando lo anteriormente dicho, son difíciles de encontrar investigadores y trabajosdedicados a estudiar los diversos aspectos relacionados con los procesos de enseñanza -aprendizaje de dicho concepto. Y más escasas son aun todavía las investigaciones queabordan la problemática que aquí nos acucia, tal y como es; la ausencia de la historia y laepistemología de las matemáticas para pensar los procesos usuales de enseñanza delconcepto de derivada.Para la elaboración de este trabajo se tendrán en cuenta la teoría del funcionamiento delsistema didáctico de Chevallard, la teoría de los obstáculos epistemológicos de Bachelard,
  10. 10. Brousseau y Sierpinska, y el enfoque constructivista de la enseñanza de las matemáticas.Y como eje fundamental el método historiográfico de Foucault.La investigación se organizara inicialmente en las generalidades del proyecto (Titulo,Problema, ...), posteriormente se llevara a cabo una recopilación de los insumos teóricosnecesarios para la misma, enseguida se llevara a cabo una revisión del como se ha venidoenseñando el concepto de derivada, desde el exponente fundamental de la enseñanzatradicional (el libro de texto), para luego hacer una descripción del objeto derivada hoy día,el cual en el marco de la presente investigación, permitirá la deconstrucción de dichoconcepto. Posterior a esto se indagara por las practicas y discursos que han estadoasociados a la evolución histórica del concepto de derivada, para luego, identificar losobstáculo epistemológicos presentes en su devenir histórico, y así relacionándolo con eluso de la historia en los currículos, proponer elementos de uso de la historia para laenseñanza de la derivada en contextos escolares.En el primer capitulo se muestran las imaginaciones que guían esta investigación.En el segundo capitulo se compilan los insumos teóricos necesarios para el desarrollo de lapresente investigación.En el tercer capitulo se busca esencialmente hacer patente la ausencia de la historia parapensar los procesos usuales de enseñanza del concepto de derivada en la escuela.En el cuarto capitulo a partir de la exposición del como es entendida actualmente laderivada, se buscara hacer una deconstrucción de dicho concepto por medio de unadescripción antológica del mismo.
  11. 11. En el quinto capitulo, se hará una reconstrucción histórica de los conceptos y nociones quehistóricamente dieron lugar al concepto de derivada como es entendido hoy día.En el sexto capitulo se pondrán en consideración algunos momentos y situaciones en laevolución histórica de algunos conceptos, asociados al de derivada, que dada suimportancia para la formulación del concepto de derivada, su retrazo o las concepcionesasociadas a ellas se constituyen en un obstáculo epistemológico para la aparición delconcepto que nos ocupa.En el séptimo capitulo se buscara la articulación de dichas historias alrededor del conceptode derivada por medio la búsqueda de paralelismos en entre la génesis del concepto dederivada y los estadios del desarrollo cognitivo planteados por Piaget. Y la ordenación dedichas historias para su administración curricular.En el ultimo capitulo, se llegara a algunas conclusiones acerca de la investigación misma,como también a recomendaciones al respecto del uso de historia como herramientadidáctica para la enseñanza del concepto de derivada.
  12. 12. BIBLIOGRAFIAÁLVAREZ, C. * BARAHONA, C. La continuidad en las ciencias. Ediciones científicasuniversitarias. Serie Texto Científico Universitario. Universidad Nacional Autónoma deMéxico. Fondo de Cultura Económica. México. 2002.ARISTOTELES. Metafísica. Editorial Gredos. Madrid. 1994.ARISTOTELES. Física. Editorial Gredos. Madrid. 1995.AYRES J.R., Frank. Cálculo diferencial e integral, Serie de compendios Schaum,Mc. Graw – Hill, 1980.BACHELARD, G. La formación del espíritu científico. B. Aires: S.XXI, 1983.BEDOYA, Hernando. Lecciones elementales de geometría y calculo quinto y sexto deBachillerato. Ed.: Bedout. Medellín. 1966.BOYER, C. Historía de las matematicas. Alianza Editorial. Madrid. 1986.CÁLAD, Julio A. Matemática una propuesta curricular. Ed.: Bedout. 1990CARRO, L. Historia del debate. En: Ley general de educación, Alcances y Perspectivas.Fundación Social. Área de educación / Tercer Milenio educación para la nueva época.Colombia. 1996.CHEVALLARD, Y. Transposición didáctica, Buenos Aires, Aique, 1997.
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  18. 18. LISTA DE FIGURASpág.Figura 1 85Figura 2 86Figura 3 87Figura 4 87Figura 5 88Figura 6 89Figura 7 107Figura 8 114Figura 9 116Figura 10 132Figura 11 132Figura 12 133Figura 13 143Figura 14 146Figura 15 149Figura 16 152Figura 17 153Figura 18 156Figura 19 173Figura 20 174Figura 21 176Figura 22 178Figura 23 178
  19. 19. LISTA DE ANEXOSpág.Anexo A 210
  20. 20. 41. TITULO. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN. ANTECEDENTES.METODOLOGIA. OBJETIVOS1. 1. TITULOELEMENTOS DE USO DE LA HISTORIA PARA LOS PROCESOS DEENSEÑANZA DE LA DERIVADA EN CONTEXTOS ESCOLARES1. 2. PROBLEMAAUSENCIA DE LA HISTORIA COMO REFERENTE PARA PENSAR LOSPROCESOS USUALES DE ENSEÑANZA DEL CONCEPTO DE DERIVADA.1. 3. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMAPara comprender el problema que motiva la presente investigación, es necesario partir dedos afirmaciones que hace Chevallard en su libro La transposición didáctica, del sabersabio al saber enseñado, como son; primera, "Todo proyecto social de enseñanza yaprendizaje se constituye dialécticamente con la identificación y la designación de unos
  21. 21. 5contenidos de saberes como contenidos a enseñar"1. Segunda, es la sociedad u entorno laque al "devenir vieja (desgastada), a través de sus niños, en relación con el saber"2presiona a la noosfera para que "a falta de poder cambiar a los alumnos, se ... [cambie]...el saber."3Ahora bien, que esta tarea recaiga sobre las noosferas se debe a que en el modelo deChevallard estas son las instituciones de transposición de los saberes y por tanto tienen lafinalidad de tomar un saber particular de las instituciones de producción de saber, parahacerlo llegar a las instituciones didácticas a través del proceso de transposicióndidáctica. Siendo aquí donde tiene origen el problema a tratar en la presente investigación,como es la ausencia de la historia para pensar los procesos usuales de enseñanza delconcepto de derivada.Ya que, cuando "un contenido de saber a enseñar, es designado a ser enseñado sufre apartir de entonces un conjunto de transformaciones adaptativas que van a hacerlo aptopara ocupar un lugar entre los objetos de enseñanza."4, siendo - como ya se dijo antes -las instancias encargadas de procurar tales transformaciones, las noosferas. Las cuales enel afán de modificar los saberes tomados del saber sabio para hacerlos aptos para ocuparun lugar entre los objetos de enseñanza y así poder superar la "crisis de enseñanza"5,"aísla ciertas nociones y propiedades del tejido de actividades en donde han tomado suorigen, su sentido, su motivación y su empleo"6, teniendo esto como consecuencia, segúnindica los Lineamientos curriculares, que sea eliminada completamente la historia deesos conocimientos, es decir, la sucesión de dificultades y problemas que han provocadola aparición de los conceptos fundamentales, su uso para plantear nuevos problemas, laintromisión de técnicas y problemas nacidos de los progresos de otros sectores, el1CHEVALLARD, Y. Transposición didáctica, Buenos Aires, Aique, 1997. p. 45.2Ibid., p. 36.3Ibid., p. 37.4Ibid., p. 45.5Ibid., p. 37.6MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Lineamientos curriculares. Matemáticas. Cooperativaeditorial Magisterio. 1998. p. 27
  22. 22. 6rechazo de ciertos puntos de vista que llevan a equivocaciones, y las innumerablesdiscusiones al respecto.De la misma forma, según Chevallard, para el docente las cosas ocurren de otro modo,ya que el reconocimiento por parte de él, de la "transposición didáctica suponeresquebrajar su participación armoniosa en el funcionamiento didáctico"7en tanto que;primero, el sistema didáctico no es el efecto de su voluntad, y segundo, sufuncionamiento supone que la relación ternaria enseñante - alumnos - saber, en cada unode sus componentes y lugares determinados a ocupar satisfaga ciertos requerimientosdidácticos específicos. Además, - como ya se ha mencionado antes -, para que la enseñanzade un determinado elemento de saber sea posible, ese elemento deberá haber sufridociertas transformaciones, que lo harán apto para ser enseñado. Así pues, "El saber - tal -como - es - enseñado, el saber enseñado, es necesariamente distinto del saber -inicialmente - designado - como - el - que - debe - ser - enseñado, el saber a enseñar."8Siendo éste - según Chevallard -, el terrible secreto que esconde el concepto detransposición didáctica, que es en si una brecha necesaria entre el saber enseñado y elsaber a enseñar.Ahora bien, que el saber enseñado sea necesariamente distinto al saber inicialmentedesignado a ser enseñado, es una clara contradicción con uno de los precepto básico de laenseñanza, como es; que "para que la enseñanza dada aparezca legitimada, es preciso queafirme fervorosamente su adecuación con el proyecto que la justifica y que la explícita. [esdecir], El saber enseñado debe aparecer conforme al saber a enseñar."9, lo cual como sesabe no corresponde al saber que produce la transposición didáctica, ya que como afirmaChevallard “este es un saber exiliado de sus orígenes y separado de su producciónhistórica en la esfera del saber sabio, legitimándose, en tanto saber enseñado, como algoque no es de ningún tiempo ni de ningún lugar, y no legitimándose mediante el recurso a la7CHEVALLARD. Op. cit., p. 16.8Ibid., p. 17.9Ibid., p. 17.
  23. 23. 7autoridad de un productor, cualquiera que fuere."10. Lo que, puede considerarse, según estemismo autor, como una aversión de los manuales hacia todo lo que anclaría en unahistoria el saber que ellos promueven.En efecto, desde lo anteriormente dicho, se ve claramente que la transposición didácticavista como teoría y como practica del docente, que la historia y la epistemología de lamatemática esta siendo negada para pensar los procesos usuales de enseñanza de lasmatemáticas (y por ende cuando se enseña la derivada), debido al uso (desde la teoría de latransposición didáctica) irresponsable11de ella. De esto dan también cuenta losLineamientos curriculares, cuando al referirse a la transposición didáctica advierten: "Es ala vez inevitable, necesaria y en un sentido deplorable. Debe mantenerse vigilada."12En el mismo sentido con respecto a la formación de docentes en matemáticas, en losLineamientos Curriculares en la sección "Elementos conceptuales en la formación demaestros", nuevamente se reconoce la ausencia de la historia y la epistemología de lasmatemáticas para pensar su enseñanza, aunque, la afirmación que se hace al respecto noversa acerca de esta problemática, sino que se hace en el marco de formación de docentes,diciendo: "el futuro maestro debe recibir una formación intrínsecamente interdisciplinariadistinta a la que se ha venido realizando ... Así pues, por ejemplo, un curso de cálculodebe incluir su historia, su epistemología, su didáctica"13, lo cual, si bien no es evidencia10Ibid., p. 18.11"El docente en su clase, el que elabora los programas , el que hace los manuales, cada uno en su ámbito,instituyen una norma didáctica que tiende a constituir un objeto de enseñanza como distinto del objetoal que da lugar. De ese modo, ejercen su normatividad, sin asumir la responsabilidad - epistemológica - deeste poder creador de normas. Si esperan, a veces, la aprobación o el rechazo del especialista, sitúan esaapreciación como algo exterior a su proyecto, y ajeno a su lógica interna. Esta apreciación es consideradaposteriormente o puede acompañar a dicha lógica, pero raramente se integra en ella, por imposibilidad detomarla en cuenta en sus implicaciones epistemológicas. Posee valor estético o moral , interviene en larecepción social del proyecto. No informa de ello a la estructura ni a los contenidos sino de una maneramimética y en un intento de acreditarlos frente a los poderes institucionalmente investidos." Ibid., p. 45.12LINEAMIENTOS. Op. cit., p. 27.13Ibid., p. 124.
  24. 24. 8suficiente para afirmar que la enseñanza de la matemática escolar se ha hecho hasta ahora,sin hacer uso de la historia y la epistemología de la misma, si da a pensar, dentro delcontexto en que se inscribe dicha cita14, que el maestro que se ha venido formando enlas facultades de ciencias y educación colombianas, es un maestro el cual, no hace usopara la enseñanza de la matemática, de su historia y epistemología, debido principalmentea que no fue formado en dichas áreas, por tanto, es un maestro que con dificultad puede"Comprender y asumir los fenómenos de la transposición didáctica"15, que es uno de lospreceptos básicos de las nuevas concepciones acerca de las matemáticas escolares.En síntesis, la carencia de la historia y la epistemología de las matemáticas para pensarlos procesos usuales de enseñanza de las matemáticas, es un fenómeno, el cual no soloes puesto a la vista en el presente anteproyecto, sino que ha sido observado por lasInstituciones participantes en encuentros convocados por el grupo de matemáticas parala construcción de los lineamientos, en sus distintas disertaciones en el ámbito dereferentes curriculares y elementos conceptuales en la formación de maestros, comotambién, por teóricos de la transposición didáctica tales como Chevallard.1. 4. Área problemática. Antecedentes. Investigaciones sobre el uso de la historia parala enseñanza de la derivada en contextos escolaresBuscando hacer evidente la importancia de aportar algunos elementos de uso de la historiade las matemáticas para los procesos de enseñanza aprendizaje del concepto de derivada,en primer lugar, tratare de explicar qué busco con este estudio, el por qué y el como se vaa realizar dicha investigación. El objetivo de emprender un estudio epistemológico -14"Hacia una política de formación de maestros"15Ibid., p. 29.
  25. 25. 9histórico, es esencialmente el aportar información acerca de la evolución del concepto dederivada, tratando de identificar las variables y factores condicionantes, es decir, lasdiscontinuidades que han determinado los distintos estadios de su desarrollo.Por tanto, atañe al desarrollo mismo de esta investigación, el identificar las situacionesproblemáticas a las cuales las personas involucradas en su avance han dedicado susesfuerzos, así como también, los atributos, propiedades, características, el grado deemergencia y las representaciones simbólicas asociadas al concepto en cuestión. De hechoes necesario considerar cada momento histórico como definidor de una institución distinta,un estudio de este tipo puede mejor ser definido como un análisis ecológico, en laterminología de Chevallard (1989), o en otras palabras, cómo un estudio de la evolución delconcepto de derivada.Con esta investigación, se pretende primordialmente identificar las concepciones alrededordel concepto de derivada y de algunos otros conceptos que están en estrecha relación a él, yque históricamente sean dado como resistentes a su evolución y generalización, y por tanto,pueden describirse como obstáculos epistemológicos, en la noción de obstáculoepistemológico de Bachelard (1983). Siendo pues claro el papel que juega este estudiopara la didáctica de las matemáticas, ya que buscará aportar conocimiento relevante paracomprender los factores funcionales del acto mismo de conocer y por ende de los procesosde enseñanza aprendizaje de este concepto a lo largo de los distintos niveles de enseñanzay de transposición didáctica correspondientes.
  26. 26. 10A favor del uso didáctico de la historia de las matemáticas para su enseñanza, en laactualidad, existen trabajos como los de Santos (1995), en donde al referirse a la enseñanzade la matemática dice;la mejor percepción de cualquier área del conocimiento, se logra de maneraamplia cuando se tiene también una perspectiva histórica. Las matemáticas no sonla excepción como bien argumenta D.J. Struik [11]. En el caso del Cálculo, por lasrazones ya mencionadas en la introducción16, las referencias a la historia setornan casi imperativas."17Colocando esto ultimo en realce, que las referencias a la historia del Cálculo para suenseñanza deben ser un imperativo, ya que el conocimiento más profundo del saberdesignado a ser enseñado por parte del docente, lo faculta para "Comprender y asumirlos fenómenos de la transposición didáctica."18y por ende, para poder recomponer loslazos rotos por ella. Más aún, cuando el saber alrededor del cual gira la presenteinvestigación, teórica y filosóficamente poco ha cambiado en los últimos doscientos años,según Santos (1995).16"el Cálculo es una de las disciplinas tradicionales que más ha preservado su estructura original"..."Sinduda, el reconocimiento casi inmediato de las aplicaciones del Cálculo, y el hecho de que desempeñadoun papel dominante como lenguaje cuantitativo de la ciencia en la era moderna, son factorespreponderantes de esta realidad tan "conservada. "..."Su misma concepción filosófica parece habersemantenido igual desde sus inicios" etc.” SANTOS, M. La enseñanza del Cálculo – Una cuestión deinvolucramiento. En: Educación Matemática. Vol. 7 - N° 7 - Abril 1995 p. 100 - 107.17Ibid., p. 100 - 107.18LINEMIENTOS. Op. cit., p. 29.
  27. 27. 11En lo concerniente al uso de la historia y la epistemología de las matemáticas para pensarlos procesos usuales de enseñanza de la matemática, su uso es adecuado principalmente portres motivos:i. El hacer un uso didáctico de la historia para pensar los procesos usuales deenseñanza de la matemática brinda la posibilidad al docente de hacer unapresentación dinámica del saber que enseña, pues el conocimiento de algunoselementos de la historia de la matemática le "permite apreciar cómo susdesarrollos han estado correlacionados con las circunstancias sociales yculturales e interconectados con los avances de otras disciplinas”19a su vez, estotrae con consigo importantes implicaciones didácticas cómo la posibilidad parael docente y para el estudiante que viene formándose bajo esta concepciónhistórica de la matemática, de "conjeturar acerca de desarrollos futuros,reflexión sobre limitaciones y alcances en el pasado, apreciación de lasdificultades para la construcción de nuevo conocimiento."20ii. La visión histórica de la matemática es enriquecedora porque, como se indicaen Los lineamientos curriculares, hace la comprensión de ideas de una formasignificativa, por ejemplo, en lugar de abordar la derivada desde unaperspectiva netamente estructural a la cual se llegó después de casi cuatro siglosde maduración, se podrían considerar aquellos momentos culminantes en sudesarrollo, logrando con esto, en el campo didáctico “proporcionar19Ibid., p. 30.20Ibid., p. 30.
  28. 28. 12aproximaciones más intuitivas a este concepto, poner de manifiesto formasdiversas de construcción y de razonamiento, enmarcar temporal yespacialmente las grandes ideas y problemas junto con su motivación yprecedentes, señalar problemas abiertos de cada época, su evolución ysituación actual.”21iii. Con el conocimiento de la historia y la epistemología de las matemáticas porparte del docente y su consecuente uso para la enseñanza de la matemáticas, selogra transformar "el conocimiento de áridos hechos y destrezas enconocimiento ansiosa y tesoneramente buscado, constituido por seres humanosque corren arduos y largos caminos, esto es, la perspectiva histórica conllevaa concebir la matemática como una ciencia humana por ende no acabadani constituida por verdades infalibles, en ocasiones falible pero capaz decorregir sus errores."22Más aún, con el conocimiento de algunos elementosde la historia y la epistemología de la matemática por parte del docente y suposterior uso para la enseñanza de la derivada, se fomenta en el estudiante,además, del aprendizaje del saber matemático derivada, el pensamientovariacional, pues el pensamiento variacional:presupone superar la enseñanza de contenidos matemáticos fragmentadosy compartimentalizados para ubicarse en el dominio de un campoconceptual, que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y21Ibid., p. 30.22Ibid., p. 30.
  29. 29. 13vinculados que permitan analizar, organizar y modelar matemáticamentesituaciones y problemas tanto de la actividad practica del hombre, comode las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación seencuentre como sustrato de ellas.23Siendo esto ultimo precisamente lo que se busca con una visión histórica del sabermatemático derivada que pudiese ser llevado en alguna ocasión a la escuela como saberescolar.1. 4. 1. Antecedentes bibliográficosEn el marco de la consulta bibliográfica que se ha adelantado para la presenteinvestigación, se han encontrado algunos trabajos que guardan cierta relación con elproblema que nos ocupa. Por un lado están dos monografías de la licenciatura enmatemáticas de la Universidad Nacional como son La derivada desarrollo histórico yalgunas aplicaciones de Vargas Heredia Tito, y Ayuda histórica para el profesor dematemáticas en el bachillerato: Cálculo de Cuellar Franco, Fanny.Acerca de estas dos monografías, en líneas generales son un compilado de datoshistóricos que tienen como referencia a la derivada, que no presentan ningún aparentecriterio teórico para la selección de los mismos, el cual justifique su inclusión como23Ibid., p. 72.
  30. 30. 14herramientas históricas para la enseñanza del Cálculo en contextos escolares. Situaciónsimilar acaece con otra monografía presentada en la Universidad de la Salle aspirando aobtener el titulo de licenciado; El concepto de derivada.Sin embargo, y pese a estos tres últimos trabajos, existen dos investigaciones que sinlugar a dudas pueden ser útiles para la presente investigación, pues aunque no versanestrictamente sobre el tema que aquí nos concierne, de ellas se puede hacer uso, en primerlugar; de sus resultados en el área de la educación matemática. Y segundo lugar; de lametodología y criterios que en ellas se siguen para seleccionar las historias que allí postulancomo útiles para la enseñanza. La primera de dichas investigaciones es la tesis doctoral Lanoción de función: Análisis epistemológico y didáctico de Luisa Ruiz Higueras, y lasegunda es el ensayo Desarrollo histórico del concepto de límite de Romero Leocadiay Serrano José Manuel.Haciendo frente a la escasez de trabajos que atiendan a la temática que aquí nos concierne,se tendrán en cuenta para la realización de la presente investigación, estas y otrasdisertaciones que guardan cierta afinidad con la historia del concepto de derivada y seretomaran algunos textos que hablen acerca de la enseñanza del concepto mismo dederivada o de la construcción de conceptos previos a ella.1. 4. 2. Fases de la investigación
  31. 31. 15La presente investigación es fundamentalmente de tipo expositivo más que crítico. Puesaunque en ella se haga uso de la ontología histórica foucaultiana que es una filosofíacrítica construida sobre el concepto contemporáneo de crítica24, esta investigación nobusca esencialmente el mismo objetivo que tiene la filosofía critica de Foucault, como es, eldictaminar el presente, ni tampoco se llevará a cabo con la misma paciencia y rigor queeste autor imprimió a su obra; como bien reconoce el historiador Veyne (1985), apropósito del segundo tomo de la Historia de la sexualidad; “Existe gente [refiriéndose aFoucault] capaces de aprender en cinco años lo que otros aprenden en veinte...”25Sin embargo, de este método historiográfico se seguirán algunos de sus postuladosbásicos al pie de la letra como aquel que versa acerca de la anulación del presente, claroesta, sin la radicalidad que exige la filosofía crítica, más bien este postulado tendrá elpapel de evidenciar la ausencia de la historia para la enseñanza de la derivada encontextos escolares, al preguntarse acerca de la práctica que tiene como objeto al objetomatemático derivada que es enseñado en la escuela como matemática escolar.Con lo cual en manera alguna se buscará diagnosticar el presente lo que hoy somos, loque significa decir lo que decimos, que en términos chevarianos es diagnosticar a la24El cual es también compartido por Marx, Weber, Nietzsche, Lukacs, Husserl y Heidegger, en tanto que es“una crítica del positivismo, de la tecnificación de la existencia, de la identificación del conocimiento conla ciencia. ... [Es decir] la filosofía consiste hoy necesariamente en preguntarse por la actualidad ... Dicho deotro modo, la tarea crítica de la filosofía se identifica hoy con un diagnostico del presente. ... [Que en si]... se constituye cada vez más [en] la gran tarea filosófica. ... [en tanto que] ... hoy día el objetivoprincipal no es descubrir, sino negar lo que somos ... [en aras de] ... construir lo que podríamos ser.”VÁZQUEZ, P. Foucault: la historia como crítica de la razón. Ed. Montesinos. España. 1995. p. 16, 17.25VEYNE, P. Cómo se escribe la historia. Foucault revoluciona la historia. Alianza Editorial. Madrid. 1985.p. 155.
  32. 32. 16escuela en uno de sus saberes “sensibles”, como evidentemente lo es la derivada. Más,sin embargo, con ello se pretende dar inicio al proceso de ontología histórica, es decir, sehará una lectura del cómo se ha venido tratando en la escuela el saber matemáticoderivada negando el lo que somos por el tratamiento que damos en la escuela de uno denuestros saberes sensibles. Claro esta, y reiterando nuevamente, sin convertirse tal tarea enla meta de la presente investigación, a cambio de ello en esta investigación se pretende através de la reactivación del pasado, al rastrear en la historia del concepto derivada desdela antigüedad hasta prácticamente el presente, aquellos momentos de rupturaepistemológica en las prácticas de las cuales él procede.Así, la tarea consistirá en rastrear en la historia como antropólogo (en la teoría de latransposición didáctica) o como historiador (en la ontología histórica) haciendo más queuna descripción positivista de la escuela y del tratamiento que allí se ha dado del objetomatemático derivada, pretendiendo, utilizando términos foucaultianos, tratar la enfermedad,es decir, el como se ha venido enseñando éste saber matemático.Ya en un tercer momento, se buscará la anulación del presente el lo que somos hoy porlos saberes y la forma como los enseñamos en nuestras escuelas, sin significar esto queen la búsqueda de algunos elementos de la historia de la derivada para su enseñanza, seopte por la creación de una utopía, más bien se elegirá el camino sin fin de lasheterotopias, buscando la verdad que nos constituye desde uno de nuestros saberessensibles como es la derivada, al remover nuestro pasado para, como dice Deluze: pensarel pasado contra el presente en aras de un tiempo futuro. Anhelo este que no es otro
  33. 33. 17diferente al que tiene Chevallard con su crítica de la epistemología actual por el olvidosobre el que se ha constituido.No obstante, esto solo se logrará a través de la creación de una ficción que invalide ello que somos, por las prácticas presentes y el tratamiento que damos de los saberes queenseñamos en la escuela, creando así un tiempo futuro. Estando la existencia de talficción supeditada a la terminación de la presente investigación, pues con ella se pretendedotar de algunos elementos de uso de la historia de la derivada que sirvan a algún docentecomo herramientas históricas que den la posibilidad de cambiar desde la prácticadidáctica el lo que somos actual por el tratamiento que damos en la escuela de uno denuestros saberes sensibles.Así, la investigación requerirá esencialmente de cuatro momentos para su desarrollo:1. Análisis de la enseñanza del concepto de derivada desde los libros de texto.El estudio de la evolución de la practica de enseñanza del concepto de derivada (currículos- manuales escolares) es una parte muy significativa de las múltiples facetas de lasrelaciones institucionales que se mantienen con dicha noción. El cual nos permitiráconocer las diferentes condiciones y restricciones del tratamiento dado por el sistema deenseñanza a dicha noción, así como también nos suministrara información acerca deltratamiento que es dado en la escuela a uno de sus saberes sensibles tal como es el dederivada.
  34. 34. 182. Análisis del concepto de derivada hoy díaEl estudio del concepto derivada en su configuración actual tiene la finalidad, para elpresente trabajo, de proporcionar, en principio una visión general del concepto mismo y delas practicas a las que este es asociado actualmente. Asimismo tiene el carácter de ser elhecho mismo que la reconstrucción histórica, que aquí se emprende, busca explicar.3. Análisis epistemológico del concepto de derivada y de algunos sus conceptosfundamentales.El estudio de la evolución de la noción de derivada a través de su génesis histórica nosva a proporcionar una visión profunda acerca de la diversidad de practicas y discursos quese han suscitado alrededor de ella a lo largo de su desarrollo. Ello, a su vez, servirá de basepara la determinación de los obstáculos de índole epistemológica, es decir, los constitutivosdel propio saber, proporcionando claves para la identificación de las diferentesconcepciones asociadas a dichos obstáculos, presentes en los alumnos.4. Aportes a la practica de enseñanza del concepto de derivada a partir de lahistoria de su desarrollo.A partir de la identificación de algunos de los obstáculos epistemológicos presentes en laevolución histórica del concepto de derivada, se buscara con ellos, a través de un uso
  35. 35. 19didáctico de la historia, incorporarlos a la practica de enseñanza como; en primer lugar,auxiliares a la practica docente; y en segundo lugar, como saberes que presentados alestudiante podrían ser utilizados por él para superar aquellas concepciones asociadas adicho concepto, que en algunas ocasiones se constituyen en obstáculos epistemológicospara el aprendizaje del concepto de derivada.1. 4. 3. MetodologíaSe trata esencialmente de una investigación de tipo cualitativo - interpretativo, en laterminología utilizada por Erickson (1984). Para Kirk y Miller (1986), el análisis de losdocumentos y rastros físicos que describen la historia de las personas es una categoría dela investigación cualitativa. Scott por su parte (1988) indica que cuando en lugar deestudiar directamente a las personas se hace indirectamente a través del análisis dedocumentos, se trata de una este investigación es de tipo cualitativa. Asimismo Goetz yLecompte (1988) incluyen dentro de los estudios cualitativos la descripción yreconstrucción analítica de creencias compartidas, prácticas y conocimiento popular deun grupo de personas en un momento histórico determinado.El estudio de los diversos documentos será de tipo descriptivo. En términos de Goetz yLecompte (1988). Asimismo se hará uso del modelo historiográfico de Foucault expuestopor Veyne (1985), el cual tiene la cualidad de permitir abordar la estructura teórica ypráctica del hecho matemático derivada, juzgando los diferentes elementos que hanincidido en su procedencia, su desarrollo y la configuración de las principales técnicas,teorías y conceptos alrededor de él. De la misma forma, éste modelo histórico en el
  36. 36. 20contexto de la presente investigación, permitirá establecer con nitidez el efecto de lasdistintas corrientes de pensamiento que se dieron alrededor del objeto matemático derivada,descubriendo nexos con otras disciplinas y permitiendo responder a problemascontemporáneos de la profesión de docente y hacer una proyección de la cienciamatemática.1. 5. ObjetivosObjetivo generalIdentificar elementos de uso didáctico de la historia del concepto de derivada para losprocesos de enseñanza.Objetivos específicos• Discriminar cada uno de los objetos matemáticos que constituyen al objetomatemático derivada• Identificar historias particulares de cada uno de los objetos matemáticos queconstituyen al objeto matemático derivada.• Poner de relieve las discontinuidades entre una historia particular de cada objetoconstitutivo del concepto matemático de derivada y la historia de la derivada.• Crear a partir de la recomposición de una historia particular del objetomatemático derivada, un ambiente que pueda ser propicio para su enseñanza.
  37. 37. 212. FUNDAMENTO Y MARCO CONCEPTUAL2. 1. IntroducciónEn este capitulo realizare una recopilación de los fundamentos teóricos utilizados paraesta investigación. En primer lugar se analizara la noción de sistema didáctico así como sudiferentes componentes, posteriormente, se estudiara el proceso de transposición didácticaseñalando la influencia que tienen los imperativos debidos a la epistemología y la historiade los conceptos matemáticos en la Didáctica de las Matemáticas, para luego señalar losplintos epistemológicos e históricos que se utilizaran para recrear una historia alrededor delconcepto matemático de derivada.2. 2. Enfoque sistémico de la didáctica de las matemáticasDesde hace relativamente pocos años y bajo la promoción de eminentes investigadorestales como Brousseau, Chevallard, Vergnaud, Artigue, entre otros, se ha constituido ungrupo de investigación, que emprendió una reflexión teórica sobre el objeto y losmétodos de investigación específicos en Didáctica de las Matemáticas. Como característicaesencial de esta línea - llamada por su autores <<fundamental>>- puede reconocerse elinterés por establecer un marco teórico original, desarrollando sus propios conceptos ymétodos, así como su concepción global de la enseñanza, estrechamente ligada a lamatemática y a las teorías especificas de aprendizaje. Acerca de los modelos que handesarrollado, estos comprenden dimensiones epistemológicas, sociales y cognitivas y tratande tener en cuenta la complejidad de las interacciones entre el saber matemático, losalumnos y el profesor dentro del contexto particular del aula.
  38. 38. 22Una característica notable de este marco teórico, aunque no es original ni exclusiva, es suconsideración de los fenómenos de enseñanza – aprendizaje bajo un enfoque sistémico.Bajo esta perspectiva, el funcionamiento global de un hecho didáctico no puede serexplicada por el estudio separado de cada uno de sus componentes. Así la Didáctica de lasMatemáticas se considera como “el estudio de la evolución de las interacciones entre unsaber, un sistema educativo y los alumnos, con objeto de optimizar los modos deapropiación de este saber por el sujeto”26. Que no es más que el estudio de un sistema –elsistema didáctico-.Según cita Ruiz (1998) de Godino (1992), en Didáctica de las Matemáticas el enfoquesistémico es visiblemente necesario, como ocurre en general en todas las ciencias sociales,pues además del sistema de enseñanza de las matemáticas en su conjunto, y de los propiossistemas conceptuales, hay que estudiar los sistemas didácticos materializados en el aula,los cuales están constituidos por el profesor, los alumnos y el saber enseñado, así comolas interacciones entre ellos.Para Chevallard (1991) “Los sistemas didácticos son formaciones que aparecen cada añohacia el mes de septiembre: en torno a un saber (designado ordinariamente por unprograma); un contrato didáctico se constituye alrededor de un proyecto compartido deenseñanza y de aprendizaje que agrupa al profesor y a los alumnos en un mismo lugar. Elentorno próximo de un sistema didáctico esta en principio constituido por un sistema deenseñanza, que reúne el conjunto de sistemas didácticos, y presenta un conjuntodiversificado de dispositivos estructurales que permiten el funcionamiento didáctico.”27.En el sistema de enseñanza interviene todo un sistema complejo que Chevallard (1991)llama <<noosfera>> donde confluyen todas aquellas personas que, en la sociedad, piensansobre los contenidos y los métodos de enseñanza, influyendo, por tanto, directa o26BROUSSEAU, G. Utilidad e interés de la didáctica para un profesor (Segunda parte), citado por RUIZ,Luisa. La noción de función: Análisis epistemológico y didáctico. Universidad de Jaén. Colección JuanPérez de Moya. 1998. p. 18.27CHEVALLARD. Op. cit., p. 23.
  39. 39. 23indirectamente sobre ella. Así, la finalidad que en el sistema de enseñanza desempeñan lasnoosferas o "instituciones de transposición de los saberes"28es; el tomar un saberparticular de "las instituciones de producción"29de saber, para hacerlo apto para llegar alas instituciones didácticas a través del "proceso de transposición didáctica”30.Según Chevallard (1991) es en la noosfera, donde se desarrollan los problemas que nacendel encuentro entre la sociedad y sus exigencias, donde se defienden y discuten susdoctrinas, se conducen las negociaciones y se buscan las soluciones. Existiendo a suinterior una constante producción y debate de ideas, sobre lo que podría cambiarse ysobre lo que sería necesario hacer-. Sin embargo, él mismo reconoce, los sistemasdidácticos están inmersos en un entorno social, cultural, tecnológico y científico queinfluye y condiciona su funcionamiento.2. 2. 1. Funcionamiento del sistema didáctico bajo la óptica de Chevallard.Como ya se ha dicho antes, en el sistema de enseñanza interviene todo un sistema complejoque Chevallard (1991) llama <<noosfera>> donde confluyen todas aquellas personas que,en la sociedad, piensan sobre los contenidos y los métodos de enseñanza, influyendo, portanto, directa o indirectamente sobre ella. Teniendo la finalidad en el sistema de enseñanzalas noosferas o instituciones de transposición de los saberes; la de tomar un saberparticular de las instituciones de producción de saber, para hacerlo apto para llegar a lasinstituciones didácticas a través del proceso de transposición didáctica.Sin embargo, dicho proceso que es adelantado por las noosferas, tiene visiblesconsecuencias sobre el saber que es transpuesto con intención didáctica. En general. "El28Ibid., 158.29Ibid., 158.30Ibid., 158.
  40. 40. 24saber - tal - como - es - enseñado, el saber enseñado, es necesariamente distinto del saber -inicialmente - designado - como - el - que - debe - ser - enseñado, el saber a enseñar."31.Que si bien, debe y tiene que ser una característica del saber designado a enseñar: "Paraque la enseñanza de un determinado elemento de saber sea meramente posible, eseelemento deberá haber sufrido ciertas deformaciones, que lo harán apto para serenseñado. Este es el terrible secreto que el concepto de transposición didáctica pone enpeligro"32. Que involucra al docente en dos tipos de dificultades. La primera; delegitimidad epistemológica (acerca del saber que él enseña y que los manualespromueven), y la segunda; de legitimidad ontológica, ya que es inevitable que el saberdesignado a ser enseñado sea distinto del saber que es enseñado en la escuela comomatemática escolar.Chevallard (1991) en su trabajo La transposición Didáctica: del saber sabio al saberenseñado, siendo conciente de tal contrariedad, ahonda en las implicaciones epistemologíasy ontológicas que tiene sobre el saber y por ende sobre la cultura las distintas formas demanipulación que se hace del saber. Ya que es de la opinión que la producción, enseñanzay transmisión del saber tiene un carácter preeminente en la construcción de la sociedad.31Ibid., p. 17.32Ibid., p. 17.
  41. 41. 25En esta obra Chevallard iniciando tal empresa, ubica a la didáctica de las matemáticas enel campo de la antropología33, siguiendo este esquema:Puesto que la didáctica de la matemática, "no sale de la nada: es el efecto de un retrasohistórico; el vástago tardío y aislado desde el inicio, de la empresa antropológica"34, ubicasu habitad en el Continente Antropológico. Siendo su objeto Lo didáctico. Luego, sobreel mapa del Continente Antropológico sitúa un sub-continente al cual llama Antropologíacognitiva, acerca del cual dice; que éste está constituido por sujetos (X), objetos(O),instituciones (I), relaciones de sujetos con objetos R(X,O), relaciones de institucionescon objetos Ri(O) y también, génesis, cambios y evoluciones.Concibiendo al sub-continente de la Antropología cognitiva como un sistema vivo."Existe [...] una vida del conocimiento y de los objetos - que son necesariamente,ontológicamente, objetos de conocimiento."35."Puesto que lo didáctico habita en todas partes en la materia antropológica, [...] Espreciso aprender a verlo, puesto que la cultura no nos ayuda para nada en ese sentido:la "sensibilidad didáctica" es aquí la esencia de un oficio nuevo, él de Antropólogodidáctico"36.33Siguiendo el modelo de ontología histórica de Michael Foucault, el cual más adelante se presentara.34Ibid., p. 147.35Ibid., p. 149.36Ibid., p. 150.
  42. 42. 26Oficio éste que según Chevallard da ocasión en el seno de la Antropología cognitiva, a laDidáctica cognitiva, que es donde el Antropólogo didáctico siente Lo didáctico, es decir,la intención didáctica, precisamente37. Si bien, para Chevallard esto no es suficiente en supropósito de definir el campo de la didáctica de la matemática, por ello, define en elmismo estrato de la Didáctica cognitiva a la Antropología de los saberes o laAntropología epistemología, en donde habitan los saberes, que no son más, que hipóstasisimprobables38. Y que a su vez son "un tipo de objetos que sirven para designar,correlativamente, en el campo de la antropología, el espacio de una Antropología de lossaberes"39o Epistemología.Ahora bien esta Epistemología o Antropología de los saberes está constituida por larelaciones institucionales con un saber determinado, o lo que Chevallard llama Ri(S)(problemática de I en relación con S). Reconociendo cuatro grandes tipos deproblemáticas relativas a S como son:1. Problemática de utilización (en el caso de un ingeniero que utiliza la matemática).2. Problemática de enseñanza (cuando I manipula a S para enseñarlo).3. Problemática de manipulación de S para producir el saber S.37"Existe lo didáctico cuando un sujeto Y tiene la intención de hacer que nazca o que cambie, de ciertamanera , la relación de un sujeto X con un objeto O." Ibid., p.150.38"La cuestión de su existencia no está jamás enteramente asegurada, es siempre discutible y también unespacio de conflictos." Ibid., p.152.39Ibid., 153.
  43. 43. 27Acerca de estas tres primeras problemáticas relativas a S, Chevallard cree que laepistemología tal como existe actualmente se ha "consagrado hasta ahora con pasión alestudio casi excluyente de la producción de saberes y al estudio de sus productores; [...]olvidado tanto su utilización como su enseñanza. Sin embargo, éstas no pueden serexpulsadas de un estudio antropológico de los saberes"40. Por ello define que en el cruceentre la Antropología de los saberes y la Antropología didáctica del conocimiento, sesitúa la Antropología didáctica de los saberes o Didáctica "Cuyo objeto es lamanipulación de los saberes con intención didáctica y, en particular, la enseñanza de lossaberes."41.Inmediatamente de haber equiparado la Antropología didáctica de los saberes con laDidáctica y a haber definido su objeto, recuerda al lector que "una de las más sólidaslecciones provistas por la didáctica [tradicional] es que la enseñanza de un saber, másampliamente, su manipulación didáctica en general, no puede comprenderse en muchosde sus aspectos si se ignoran sus utilizaciones y su producción [Además] Desde el puntode vista de la antropología, un saber se presenta como una totalidad, cuyos diferentesmomentos son igualmente vitales"42. Lo cual da lugar, a que este mismo autor, a partir dela critica al "olvido sobre el que se ha construido la epistemología actual"43antropoligize a la epistemología, diciendo que este olvido no es más que un hecho cuya40Ibid., 155.41Ibid., 155.42Ibid., 158.43Ibid., 156.
  44. 44. 28explicación corresponde a la antropología de los saberes"44pues ésta es la que debeestudiar el efecto que tiene sobre la cultura la forma de tratar a los saberes. Cuandovaloriza y prioriza su producción. Mientras que su utilización permanece opaca, ignorada.Su enseñanza, más visible culturalmente que su utilización, es sin embargo subestimada,considerada como una empresa contingente y un mal necesario.Dando esto ultimo, obvias luces acerca la intención de Chevallard con su modeloantropológico, que no es más, que a través de una nueva concepción de la epistemología,superar "el enclaustramiento cultural de los saberes en la esfera de su producción, al quela epistemología contribuye, no permitiendo sino con dificultad que las instituciones enlas que esas prácticas sociales se desarrollan, identifiquen o reconozcan sus necesidadesde saberes, su naturaleza y grado. En este aspecto, al ubicarse de entrada en un punto quela epistemología tradicional descuida porque la cultura lo ignora, la antropologíadidáctica de los saberes - la didáctica- produce un nuevo sonido, que la teoría de latransposición didáctica amplifica."45.Por ello y con miras a dicho propósito, Chevallard caracteriza al antropólogo didácticocomo quien abra de dilucidar la pregunta "¿de dónde provienen los saberes presenteen una institución dada?"46, ya que él reconoce que "en la mayor parte de los casos,especialmente en los de instituciones "utilizadoras" [...] Los saberes allí presentes sonclaramente exógenos. Viven en la institución a través de los agentes de ésta, que han44Ibid., 156.45Ibid., 156.
  45. 45. 29debido formarse en la institución para adecuar a ella sus gestos. Estos agentes deberáncontinuar su formación, formarse con arreglo a nuevos saberes, formar a otraspersonas"47. Estando tal formación a cargo de lo que Chevallard denomina las escuelasprofesionales, que no son otras que las instituciones, que las instituciones utilizadorashan suscitado en su entorno más o menos próximo para exclusivamente estar"consagradas a la enseñanza de los saberes requeridos"48definiéndose precisamente enesta relación la pertinencia epistemológica de un saber a enseñar.Pero no solamente ésta es la tarea del antropólogo didáctico, a él también correspondecontestar los interrogantes: ¿de dónde provienen los saberes enseñados? y ¿Cómo lleganahora hasta las instituciones didácticas?, a estas preguntas Chevallard tiene comorespuesta, que provienen de las instituciones de producción y que llegan a las institucionesdidácticas a través del proceso de transposición didáctica, el cual dentro de la antropologíade los saberes da lugar al cuarto tipo de manipulación del saber, la manipulacióntranspositiva, teniendo ésta lugar, como ya se dijo antes, en las noosferas, que son lasinstituciones de transposición de los saberes.Sobre este punto, nuevamente Chevallard muestra su preocupación acerca del estudio quedebe hacerse de los efectos que tiene sobre la sociedad, las manipulaciones del saber yaque para él los procesos transpositivos son "el resorte esencial de la vida de los46Ibid., 157.47Ibid., 157.48Ibid., 157.
  46. 46. 30saberes"49, en tanto que ayudan a su diseminación y funcionalidad adecuadas. Recalcandoademás, que "nunca se subrayaría lo suficiente en ese sentido hasta que punto lamanipulación transpositiva de los saberes es una condición sine qua num delfuncionamiento de nuestras sociedades, cuyo descuido, particularmente en provecho dela pura producción de saber puede ser criminal"50.Sintetizando hasta este cuarto tipo de manipulación del saber, es evidente como así lomuestra Chevallard, que cada una de ellas abandona o deja de lado la historia delsaber que es utilizado, enseñado, producido o transpuesto según sea el caso, y cómo deuna u otra forma los saberes y su enseñanza tienen un papel crucial en la formación denuestras sociedades, por ello es importante saber qué lugar ocupan estos en la"antropología (didáctica) de los saberes"51y en la antropología.Con vista a esto Chevallard introduce el concepto de escuela general, que precede a laescuela profesional en tanto que el saber que allí se imparte es anterior al saberprofesional, pues es evidente que "no se accede directamente a un saber, sin otraformación [...] Ningún sistema de formación lo permite. Todos suponen una ciertahomogeneidad de sus públicos; y esa homogeneidad relativa debe ser creada por unaformación previa. Ese es el objetivo esencial de toda enseñanza general.”52.49Ibid., 158.50Ibid., 159.51Ibid., 159.52Ibid., 159.
  47. 47. 31De la misma forma, esta enseñanza se distingue de la profesional por su mayorvisibilidad cultural y en principio por la pertinencia cultural de los saberes que allí seimparten, que son saberes enseñados de bajo perfil, careciendo casi siempre, comosostiene Chevallard, de legitimidad epistemológica, adolecen del carácter de saberautentico que le brinda su credibilidad. Por tal razón, la educación general no debe seruna cuestión que le ataña "a una institución particular - la de una "profesión", porejemplo - sino a la sociedad en su conjunto; o al menos, en un momento dado de suhistoria, a todo cuanto para ella es importante. La escuela no se autoriza a si misma, ymenos todavía el docente. [...] La sociedad está con ella (y con él) o bien contra ellos.”53.2. 2. 2. La transposición didáctica: del saber sabio al saber enseñado.El término transposición didáctica denota el conjunto de transformaciones que sufre unsaber sabio con el fin de ser enseñado54. Siendo - como ya se dijo antes - la instanciaencargada de procurar tales transformaciones, la noosfera. La cual en el afán demodificar los saberes tomados del saber sabio, para hacerlos aptos para ocupar un lugarentre los objetos de enseñanza, y así poder superar la "crisis de enseñanza"55, "aíslaciertas nociones y propiedades del tejido de actividades en donde han tomado su origen,su sentido, su motivación y su empleo"56. Como consecuencia, “esta presentación eliminacompletamente la historia de los saberes, es decir, la sucesión de dificultades y preguntas53Ibid., 164.54Cuando "un contenido de saber a enseñar, es designado a ser enseñado sufre a partir de entonces unconjunto de transformaciones adaptativas que van a hacerlo apto para ocupar un lugar entre los objetos deenseñanza.". Ibid., p. 45.55"Todo proyecto social de enseñanza y aprendizaje se constituye dialécticamente con la identificación y ladesignación de unos contenidos de saberes como contenidos a enseñar" (Ibid. p.36) y es la sociedad uentorno la que al "devenir vieja (desgastada), a través de sus niños, en relación con el saber" (Ibid. p.36)presiona a la noosfera para que "a falta de poder cambiar a los alumnos, se ... [cambie] ... el saber.”. Ibid.,p. 37.56M.E.N. Lineamientos. Op. cit., p. 27.
  48. 48. 32que han provocado la aparición de los conceptos fundamentales, su empleo para tantearnuevos problemas, la introducción de técnicas y cuestiones nacidas de los progresos deotros sectores, el rechazo de ciertos puntos de vista que han resultado falsos oinadecuados y las innumerables discusiones que han ocasionado. Esta presentaciónenmascara el verdadero funcionamiento de la ciencia, imposible de comunicar, para poneren su lugar una génesis ficticia."57.Sin embargo, según Chevallard (1991), "Para que la enseñanza de un determinadoelemento de saber sea meramente posible, ese elemento deberá haber sufrido ciertasdeformaciones, que lo harán apto para ser enseñado. ... [Siendo] ... Este es el terriblesecreto que el concepto de transposición didáctica pone en peligro"58. Y que - según él -,es la brecha necesaria entre el saber sabio y el saber enseñado que es puesta aldescubierto por el concepto de transposición didáctica, y que a su ves, se constituye ensu primera herramienta para lograr el paso del saber sabio al enseñado.“La existencia de estas transformaciones es un hecho conocido aunque aún muy pocoestudiado”59.2. 2. 3. Transposición didáctica, epistemología e historiaPara Ruiz (1998) el estudio de la génesis de los conceptos constituye un método muyfecundo en la Didáctica de las Matemáticas, donde no se plantea el reintroducir el métodohistórico en la enseñanza, pero sí estudiar los procesos que han seguido los conceptosmatemáticos en su formación y desarrollo, los mecanismos de producción de estos saberes,es decir, conocer las características de la actividad matemática.57BROUSSEAU, Op. cit. p. 283, citadazo por RUIZ, Op. cit., p. 41.58CHEVALLARD, Op. cit., p. 17.59ARSAC, G. La trasnposición didactique en Mathématiques, en phisique, et en Biologie, citado por RUIZ,Op. cit. p. 21.
  49. 49. 33A propósito de la necesidad que tiene el didacta de hacer un estudio epistemológico,Artigue (1989) dice que radica en:En un primer nivel el análisis epistemológico es necesario para el didacta puestoque le ayuda a poner distancia y bajo control las <<representacionesepistemológicas>> de las matemáticas inducidas por la enseñanza.-ayudando a dar una historicidad a los conceptos matemáticos que la enseñanzausual tiende a presentar como objetos universales tanto en el espacio como en eltiempo.-ayudando a dar igualmente una historicidad a nociones metamatemáticas que laenseñanza usual cultiva con la ficción de un rigor eterno y perfecto en lasmatemáticas.60Precisamente, según anota Ruiz (1998), el estudio de la transposición didáctica tiene comouno de sus objetivos poner de manifiesto todas las anteriores diferencias aspirando conello que el didacta tome conciencia de la distancia que separa la economía de los dossistemas: el sistema científico y el sistema de enseñanza. De la misma forma, el análisisepistemológico permite también a la Didáctica “desprenderse de la ilusión detransparencia de los objetos del saber que ella manipula, ayudando, con ello, al didacta aliberarse de las representaciones epistemológicas erróneas que tiende a introducir supractica de enseñanza”61.De hecho, según Ruiz (1998), la epistemología se injiere asimismo de un modo muydecisivo en la configuración de los elementos constitutivos de la significación de undeterminado concepto, analizando los diferentes sentidos con los que ha podido aparecery su adaptación más o menos eficiente a la resolución de distintos problemas.60ARTIGUE, M. Epistemologie et Didactique, citado por RUIZ, Op. cit., p. 41.61Ibid., p. 42.
  50. 50. 34Un análisis epistemológico de una establecida noción conducirá así, a la determinaciónde toda una serie de concepciones históricas atadas a la misma, permitiendo ello, segúnArtigue (1989), poner en evidencia:toda la pluralidad de puntos de vista posibles que históricamente han estadoasociados, diferenciar las representaciones y modos de tratamiento que le han sidoasociados y observar su adaptación más o menos buena a la resolución de tal ocual clase de problemas. ... Ayudará también al didacta a luchar contra la ilusiónde transparencia de la comunicación didáctica inducida por los modos empiristasdel aprendizaje, permitiéndole diferenciar el saber que la enseñanza quieretransmitir y los conocimientos efectivamente construidos por los alumnos62.2. 3. Noción de obstáculo en los procesos de enseñanza – aprendizaje de lasmatemáticas.Uno de los objetivos que apremia actualmente a la investigación en Didáctica de lasmatemáticas es investigar las dificultades y los fracasos en la enseñanza. Intentando conello responder a las preguntas: ¿qué hay detrás de los errores de los alumnos?, ¿quétipo de errores se han de investigar?, ¿cuáles son los errores que tienen una importanciasignificativa en una determinada población?.Según cita Ruiz (1998) de Rico (1992):Al cometer un error, el alumno expresa el carácter incompleto de su conocimiento,... Los errores forman parte de las producciones de los alumnos durante suaprendizaje de las Matemáticas. Los errores son datos objetivos que encontramos62Ibid., p. 42.
  51. 51. 35permanentemente en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas;constituyen un elemento estable de dichos procesos.63Pese a esto, no todos los errores han de investigarse, la Didáctica de las Matemáticas sepreocupa principalmente por aquellos que sus expresiones no son accidentales, sinorepetidas y resistentes y cuyo origen puede escapar al sujeto. En este caso se hablará deobstáculo cognitivo.Acerca de la naturaleza de los obstáculos que impiden al sujeto o al investigador unconocimiento de las leyes que gobiernan los fenómenos naturales, esta fue planteada porvez primera en la Instauratio Magna de Francis Bacon, quien se propuso elaborar unacritica de los diversos obstáculos, demostraciones y doctrinas y filosofías que impiden elconocimiento de la naturaleza. Gaitán (1991). No obstante, la noción de obstáculoepistemológico o cognitivo se debe a G. Bachelard. Quien al plantear el problema delconocimiento en términos de obstáculos, quiso más que referirse propiamente aobstáculos externos, tales como la complejidad de los fenómenos, la debilidad de lossentidos o del espíritu humano, afirmar que en el acto mismo de conocer aparecen, pornecesidad funcional, entorpecimientos y confusiones. Lo cual “lleva a señalar que siemprese conoce en contra de un conocimiento anterior, destruyendo conocimientos maladquiridos; a la base de esta idea, se encuentra una concepción de la ciencia como algoque pertenece a lo construido, como una progresividad esencial que rompe con lasdeterminaciones de la experiencia cotidiana y de la utilidad.”64.Más, sin embargo, la introducción de la noción de obstáculo en Didáctica de lamatemática se debe a Brousseau: “El error no solamente es efecto de la ignorancia, de laincertidumbre, del azar, según se creía en las teorías empiristas o conductistas delaprendizaje; sino el efecto de un conocimiento anterior, que tuvo su interés, su éxito, y que63RICO, L. Investigación sobre errores de aprendizaje en Educación Matemática, citado por RUIZ, Op. cit.p. 26.64GAITAN, C. Observaciones sobre la génesis de la noción de obstáculo epistemológico. En: RevistaFacultad de Ciencias, Universidad Javeriana de Bogotá. Vol. 1 No. 4, 1991. p. 23.
  52. 52. 36ahora se revela falso o simplemente inadaptado. Los errores de este tipo no son fortuitos eimprevisibles, se constituyen en obstáculos”65.Analizando esta definición, según Ruiz (1998), se perfilan las característicasfundamentales de todo obstáculo cognitivo:- se trata siempre de un conocimiento y no de una ausencia de conocimiento;-este conocimiento permite al alumno producir respuestas correctas endeterminados problemas o dominios de problemas;-este mismo conocimiento engendra respuestas erróneas para ciertos problemas odominios de problemas;-los errores producidos no son esporádicos sino muy persistentes;-este tipo de errores producidos es muy resistente a la corrección. 66Los obstáculos que se presentan en nuestros alumnos, según Brousseau (1983), puedenser debidos a distintas causas, es decir, su origen puede ser diferente:-de origen ontogenético: Son debidos a las limitaciones del sujeto en un momentode su desarrollo, es decir, están ligados al desarrollo de las capacidades cognitivasde los alumnos en su proceso de aprendizaje.-de origen didáctico: Están ligados al sistema de enseñanza en que se encuentraninmersos nuestros alumnos. Son debidos a las decisiones del sistema educativo oa las del profesor en el aula. Resultan, pues, de las elecciones didácticas hechaspara establecer la situación de enseñanza.65BROUSSEAU, G. Les obstacles épistémologiques et les problemes en Mathématique, citado por RUIZ,Op. cit., p. 27.66RUIZ, Op., cit. p. 28.
  53. 53. 37-de origen epistemológico: Están ligados al conocimiento mismo . Se puedenencontrar en la evolución histórica de los propios conceptos matemáticos, por lotanto deben ser considerados como parte del significado del concepto.67.Según anota Brousseau (1983) en su teoría sobre los obstáculos en la Didáctica de lasMatemáticas, los alumnos poseen concepciones de una determinada noción que en algunasocasiones se revelan falsas, insuficientes, ineficaces o simplemente inadaptadas para lasolución de una situación problema, provocando errores repetitivos y resistentes. Estasconcepciones pueden hacer obstáculo a la emergencia de una nueva concepción.El rechazo de una concepción y la adopción de una nueva no se hace por unasimple explicación del maestro, ... sino cuando el alumno se enfrenta asituaciones especificas donde la nueva concepción aparece bien como soluciónnecesaria y única, bien como solución más económica, más segura, mejoradaptada, óptima para su resolución.68Para ello, según Ruiz (1998), es preciso que el alumno se encuentre ante un autenticoconflicto cognitivo y se produzca un salto informacional. Este decretara la existencia deun obstáculo epistemológico poniendo de manifiesto los limites de una concepciónantigua.Según las aportaciones de Artigue (1989), se pueden determinar diferentes procesos que,tanto en historia de las matemáticas como en nuestros alumnos, se constituyen enproductores de obstáculos:-la generalización abusiva: se manifiesta, por ejemplo, en ciertos errores denuestros alumnos cuando aplican propiedades de N a Q: entre 1,4 y 1,5 no existeningún numero;67Ibid., p.28.
  54. 54. 38-la regularización formal abusiva: Se identifica en los errores que presentanlos alumnos, tales como:-la fijación sobre una contextualización o una modelización familiares: Loencontramos, por ejemplo, en la enseñanza cuando, de modo exclusivo, seidentifican las fracciones con el fraccionamiento de la unidad;-la amalgama de nociones sobre un soporte común: es frecuente encontrarloen contextos geométricos, por ejemplo, los relativos a las medias de longitudes yáreas: si el área de una superficie permanece constante, el perímetro también;Si bien es verdad que estos procesos tiene consecuencias que pueden generarobstáculos no podemos por ello atacar a los procesos en sí mismos ya que sonparte integrante del funcionamiento normal de la matemática ... y han sidoprofundamente productivos en su evolución histórica.692. 3. 1. Noción de obstáculo epistemológico en Didáctica de las Matemáticas.Para Ruiz (1998), el dispositivo de adquisición y evolución del conocimiento, tanto a nivelcultural como personal, implican una constante interacción con los conocimientosanteriores, sometiéndolos a examen, modificándolos o, incluso rechazándolos, hasta llegara formar conocimientos nuevos. “El mecanismo de adquisición de conocimientos, puedeaplicarse tanto a la epistemología o historia de las ciencias, como al aprendizaje o la68EL BOUAIZZAUI, H. Conceptions des eleves et des professeurs á propos de la notion de continuitéd´une fonction, citado por RUIZ, Op. cit., p. 28.69ARTIGUE, M. Op. cit., citado por RUIZ. Op. cit., p. 28, 29.
  55. 55. 39enseñanza. Tanto en un caso como en el otro, la noción de obstáculo es fundamental paraplantear el problema del conocimiento científico.”70Según afirma Ruiz (1998) hay una serie de investigadores que utilizan el análisisepistemológico histórico, estableciendo concepciones y obstáculos ligados al desarrollo deuna noción matemática, como una herramienta para el análisis didáctico de lasconcepciones y obstáculos que se pueden presentar en los alumnos. Entre los cualesdestaca a: Brousseau (1983), Sierpinska (1985,1989, 1992), Artigue (1984), Janvier y Renéde Cotret (1989).Así para Ruiz (1998), los obstáculos reconocidos en la génesis histórica de un conceptoson obstáculos epistemológicos: “tiene su origen en la propia constitución delconocimiento. Se les puede encontrar en la propia historia del concepto.”71Según cita Ruiz (1998) de Sierpinska (1992) se pueden distinguir varios niveles en elorigen de los obstáculos epistemológicos:-nivel de actitudes, creencias y convicciones de nuestra visión del mundo: Estetipo de conocimiento es explicito o explicable. Lo podemos siempre comunicar alos demás, por ejemplo, cuando decimos afirmaciones tales como: las matemáticasson el lenguaje de la ciencia. Pero esta clase de afirmaciones no exige ningún tipode justificación sino que más bien están autorizadas por la tradición o el sentidocomún: es algo que todo el mundo reconoce.-nivel de esquemas de pensamiento: Este tipo de conocimiento se usa, en sumayor parte de forma inconsciente; está determinado por las diferentes formascon las que podemos aproximarnos a la resolución de un problema, por lamanera de interpretar situaciones, por todo aquello que hemos aprendido en lapractica en el transcurso de nuestra socialización y educación.70BROUSSEAU, G. Op. cit., Los obstáculos epistemológicos y los problemas de las matemáticas, citadopor RUIZ. Op. cit., p. 42.
  56. 56. 40-nivel de conocimiento técnico: Está formado por conocimientos explícitos,lógicamente justificados, necesarios en diferentes profesionales; las personas quelo poseen están asociadas, generalmente por un factor común, como puede serpertenecer a una misma profesión o a un mismo grupo social. 72Según este mismo autor, citado por Ruiz, estos tres niveles no son independientes, losdiferentes enfoques técnicos con los que buscamos dar solución a un determinadoproblema, pueden explicarse por los conocimientos que tenemos a nivel de nuestrascreencias o a nivel de esquemas de pensamiento, y dado el caso, nuestro conocimientotécnico, en un cierto momento, puede mudar nuestras creencias e incluso, nuestrosesquemas de pensamiento.“Si nuestras creencias son falsas creencias, y nuestros esquemas de pensamiento soninconsistentes, pueden, muy bien, funcionar como obstáculos para nuestro pensamientoen un nivel técnico.”73Por ejemplo, según Ruiz (1998), la creencia de los matemáticos griegos y, principalmentede los pitagóricos, en la inconmensurabilidad de todas las magnitudes geométricas seconstituyó en un obstáculo para el desarrollo de los números irracionales. La manifestaciónde los obstáculos se hace a través de los errores que producen, pero estos errores no sonen ningún caso adjudicadles al azar, sino que son reproductibles y perseverantes durantelargo tiempo.“Si un obstáculo no es propio de una sola persona, sino que es mucho más general ya quepuede estar presente en una cierta cultura durante algún período de tiempo, entonces sellama obstáculo epistemológico”74. Convirtiéndose así la noción de obstáculoepistemológico, en un útil primordial para plantear el problema del conocimiento71Ibid., p. 42.72SIERPINSKA, A. Un understanding the notion of function, citado por RUIZ. Op. cit., p. 43.73Ibid., p. 43.74SIERPINSKA, A. Op. cit., citado por RUIZ. OP. cit. p. 44.
  57. 57. 41científico. Y asimismo la noción de obstáculo epistemológico se convierte, luego, en un útilconcreto para el análisis de la matemática como ciencia en evolución.No obstante según asevera Ruiz (1998) los obstáculos epistemológicos no se puedenenumerar o precisar de un vez por todas. Ciertas ideas, ciertos esquemas pueden, a veces,funcionar como obstáculos, o bien, pueden ser fuente de obstáculos en el desarrollo delpensamiento científico, pero no se pueden considerar como obstáculos en el sentidoabsoluto.2. 3. 2. Epistemología y teoría de las situaciones didácticasSegún Artigue (1990), al didacta compete la construcción del conocimiento matemáticodentro de un medio constituido para este fin, por las noosferas. En este sentido, el seenfrenta a un problema de elaboración (de tipo ingeniero - didáctica), donde su campo es elanálisis del génesis del conocimiento, por distinguirlo del génesis histórico, que a menudoes calificado de génesis artificiales.Ciertamente, según nos muestra la teoría de la transposición didáctica, las contradiccionesque gobiernan estos génesis no son idénticas a aquellas que han gobernado su génesishistórica, pero este último permanece sin embargo, para el didáctico, como un punto deanclaje del análisis didáctico, una clase de peñón de observación, del cual se sirve cuandose preocupa por analizar un proceso de enseñanza dado.Esto, por una razón evidente; como ya se ha dicho antes, puesto que los problemas que hanmotivado la introducción de este u otro concepto, así como aquellos que han gobernado suevolución, se constituyen, en si mismos como parte de la significación del concepto, eldidacta, mediante su análisis, esta necesariamente enfrentado a este problema de lasignificación del concepto.
  58. 58. 42Mas allá del análisis conceptual, la epistemología, según Artigue (1990), interviene a estenivel, sobre un plan más general porque aquello que dirige la enseñanza de lasmatemáticas, no es simplemente la transmisión de conocimientos matemáticos, es masglobalmente la transmisión de una cultura. Se ocupa de hacer entrar a los estudiantesdentro del juego matemático. Pero, ¿qué es el juego matemático? ¿Cuáles son los procesosgenerales de pensamiento que lo rigen? Es el análisis epistemológico (no necesariamentehistórico a este nivel, aun si la aproximación histórica permite entender el aspectonecesariamente histórico o espacial de esta cultura) el que esta encabezando lo concernientea estas preguntas.Ella propone al didacta, un cierto número de preguntas globales y fundamentales para guiarla producción de ingenierías didácticas como el análisis de la enseñanza usual:• ¿Qué transponer dentro de la enseñanza de los constituyentes de esta cultura y de susinterrelaciones?• ¿Existe una transposición mínima o un conjunto de transposiciones mínimas a respetarpara no desnaturalizar el sentido de esta cultura?• ¿Es posible? ¿Bajo que condiciones?• ¿En que pueden o deben las transposiciones depender de los públicos a los cuales sedirige la enseñanza?• ¿Cuáles son los inconvenientes que presentan sobre las transposiciones actuales?¿Cuáles son sus efectos?Dentro de esta perspectiva, según Artigue (1990) el trabajo del didacta no solo se limita aintegrar estas cuestiones de naturaleza epistemológica a su actividad. Este consiste ademásen construir los campos teóricos permitiendo el trabajo sobre tales cuestiones y lacapitalización de las experiencias didácticas.
  59. 59. 43En mi opinión, la teoría de los obstáculos epistemológicos elaborada por G. Brousseau yalgunos de los aportes de la epistemología genética de Piaget, son justamente lasconstrucciones que responden a esas necesidades.2. 4. Enfoque epistemológico genético.Si bien, algunos de sus postulados iniciales han sido ampliamente cuestionados por lasinvestigaciones posteriores, la teoría de Piaget del desarrollo evolutivo constituye hoy díaun punto de referencia imprescindible para entender el desarrollo evolutivo y su influenciaen los límites del aprendizaje. En este apartado se revisan los elementos fundamentales deesta influyente teoría.2. 4. 1. Teoría del desarrollo cognitivoPiaget concibe el desarrollo evolutivo como un proceso dinámico que pasa por diversosestados de equilibrio. El desarrollo se origina en gran parte por la actividad del sujeto ydebido a su interacción con el medio que le rodea mediante dos mecanismos: acomodacióny asimilación. La asimilación implica la inclusión en la estructura cognitiva de los sujetosde elementos externos ajenos a la misma. La acomodación implica una modificación de loselementos existentes.Según Piaget, cada una de las etapas por las que se pasa durante el desarrollo evolutivo estácaracterizada por determinados rasgos y capacidades. Cada etapa incluye a las anteriores yse alcanza en torno a unas determinadas edades más o menos similares para todos lossujetos normales. Piaget definió una secuencia de cuatro estadios o grandes periodos por losque en su opinión todos los seres humanos atravesamos en nuestro desarrollo cognitivo. Encada uno de esos periodos, nuestras operaciones mentales adquieren una estructura
  60. 60. 44diferente que determina como vemos el mundo. Precisamente, como fruto de susobservaciones detalladas sobre el desarrollo del niño, Piaget había observado que:• a) en todos los seres se dan unos cambios universales a lo largo del desarrollocognitivo, unos (por decirlo así) momentos claramente distintos en el desarrollo, yque• b) esos cambios están relacionados con la manera en que el ser humano entiende elmundo que le rodea en cada uno de esos momentos.A esos distintos momentos en el desarrollo es a lo que Piaget denomina estadios depensamiento o estadios evolutivos. En la siguiente tabla, Flavell, Miller y Miller (1993)resumen los cuatro estadios de desarrollo cognitivo definidos por Piaget:75PERIODO EDAD DESCRIPCIONSensoriomotor 0-2 Los bebes entienden el mundo a través de su acción sobre el. Sus accionesmotoras reflejan los esquemas sensoriomotores - patrones generalizadosde acciones para entender el mundo, como el reflejo de succión.Gradualmente los esquemas se van diferenciando entre si e integrando enotros esquemas, hasta que al final de este periodo los bebes ya puedenformar representaciones mentales de la realidad externa.Preoperacional 2-7 Los niños pueden utilizar representaciones (imágenes mentales, dibujos,palabras, gestos) mas que solo acciones motoras para pensar sobre losobjetos y los acontecimientos. El pensamiento es ahora mas rápido, masflexible y eficiente y mas compartido socialmente. El pensamiento estalimitado por el egocentrismo, la focalización en los estados preceptúales,el apoyo en las apariencias mas que en las realidades subyacentes, y por larigidez (falta de reversibilidad).Operaciones 7-11 Los niños adquieren operaciones - sistemas de acciones mentales internas75FLAVELL * MILLER. Estadios del desarrollo cognitivo definidos por Piaget. [en línea]http://www.uv.es/~marcor/Piaget/Estadios.html
  61. 61. 45Concretas que subyacen al pensamiento lógico. Estas operaciones reversibles yorganizadas permiten a los niños superar las limitaciones del pensamientopreoperacional. Se adquieren en este periodo conceptos como el deconservación, inclusión de clases, adopción de perspectiva. LasOperaciones pueden aplicarse solo a objetos concretos-presentes omentalmente representados.OperacionesFormales11-15 Las operaciones mentales pueden aplicarse a lo posible e hipotéticoademás de a lo real, al futuro así como al presente, y a afirmaciones oproposiciones puramente verbales o lógicas. Los adolescentes adquieren elpensamiento científico, con su razonamiento hipotético-deductivo, y elrazonamiento lógico con su razonamiento interporposicional. Puedenentender ya conceptos muy abstractos.Tabla 1.Si bien las edades son aproximadas, y pueden darse diferencias considerables entre lasedades de cada estadio entre niños de distintas culturas. Piaget defiende que la secuenciaes absolutamente invariable. Ningún estadio se puede saltar y el niño va pasando por cadauno de ellos en el mismo orden. Cada estadio subsume estructuralmente al anterior, lopresupone; es por esto que no se pueden dar alteraciones de la secuencia.Acerca de la etapa de las operaciones formales, esta etapa constituye el último peldaño enel desarrollo evolutivo. Por su interés para el aprendizaje de las ciencias conviene analizarlacon más detalle.2. 4. 2. Pensamiento formal y aprendizaje de las ciencias.El último de los estadios identificados por Piaget, el ajustado a las operaciones formales, secaracteriza por unas destrezas que tienen especial relación con procesos de pensamientohabituales en la ciencia. Esta etapa corresponde a los alumnos adolescentes y a la edad
  62. 62. 46adulta. Las particulares que definen el pensamiento formal pueden clasificarse enfuncionales y estructurales. Las primeras se refieren a los enfoques y estrategias paraabordar los problemas y tareas, mientras los rasgos estructurales se refieren a estructuraslógicas que sirven para formalizar el pensamiento de los sujetos (Carretero, 1980, p. 3).A continuación se detallan las características funcionales del estadio de las operacionesformales tal como fueron propuestas inicialmente por Piaget:• Lo real se concibe como un subconjunto de lo posible: a diferencia de los sujetosque están todavía en el estadio de las operaciones concretas, los que han alcanzadoel estadio formal pueden concebir otras situaciones distintas de las reales cuandoabordan las tareas a que son sometidos. Por tanto, son capaces de obtener todas lasrelaciones posibles entre un conjunto de elementos.• Carácter hipotético deductivo: la hipótesis es el instrumento intelectual que seutiliza para entender las relaciones entre elementos. Ello es así porque muchas delas relaciones que el sujeto concibe no han sido comprobadas. Los sujetos estaríancapacitados para comprobar estas hipótesis mediante las deduccionescorrespondientes y ello podría hacerse con varias hipótesis a la vez, de manerasimultánea o sucesiva.• Carácter proposicional: las hipótesis se expresan mediante afirmaciones y lo sujetospueden razonar sobre estas afirmaciones mediante el uso de la disyunción, laimplicación, la exclusión y otras operaciones lógicas. Mientras los sujetos en elestadio de las operaciones concretas realizarían estas operaciones directamente apartir de los datos de la realidad, los sujetos formales convierten los datos enproposiciones y actúan sobre ellas.Las características estructurales que definen el estadio de las operaciones formales sonlas siguientes:
  63. 63. 47• La combinatoria: las posibles combinaciones de unos elementos determinadosconstituyen una estructura que representa la capacidad de los sujetos para concebirtodas las relaciones posibles entre los elementos de un problema.• El grupo de las cuatro transformaciones: esta estructura representa la capacidad delos sujetos formales para operar simultáneamente con la identidad, la negación, lareciprocidad y la correlación. Estas operaciones formarían una estructura deconjunto, ya que cualquiera de ellas puede expresarse como una combinación de lasrestantes.La propuesta inicial de Inhelder y Piaget añadía unas suposiciones adicionales sobre eldesarrollo del pensamiento formal que son relevantes para el aprendizaje de las ciencias(Pozo y Carretero, 1987, p. 37):• El pensamiento formal es cualitativamente distinto de las operaciones concretas.• El pensamiento formal se desarrolla de modo espontáneo y sería universal. Este tipode pensamiento estaría generalizado a partir de los 14 o 15 años.El pensamiento formal sería uniforme y homogéneo y permitiría resolver todo tipo detareas con independencia del contenido de las mismas.2. 5. Enfoque constructivista de la enseñanza de las matemáticasEl enfoque que se tiene como apoyo para el aprendizaje de las Matemáticas es elconstructivismo. Bustos (1994) puntualiza el constructivismo desde tres niveles:• Constructivismo Epistemológico: en este el sujeto conoce las manifestacionesdel objeto, mediante una construcción que surge de la interacción sujeto – objeto.En este nivel la realidad es una especie de límite matemático que el sujeto buscaapropiar para que se constituya en una realidad conocida, una ESTRUCTURA.
  64. 64. 48• Constructivismo Psicológico: en este el sujeto construye el objeto deconocimiento, haciéndolo significativo gracias a la ACCIÓN – REFLEXIÓN.• Constructivismo Didáctico: en este la interacción sujeto – objeto en un proceso deaprendizaje parte de las estructuras previas del sujeto, de manera que mediantesituaciones desequilibrantes cree relaciones, transforme y obtenga generalidadespara construir modelos. La didáctica tiene en cuenta tanto el desarrollo del sujetotanto la evolución del objeto de conocimiento, así como también lasparticularidades del ambiente y del docente que orienta la interacción.Dado que el ser humano construye acciones, operaciones y conceptos. Vale la penadefinir cada uno de estos conceptos en el seno de esta teoría. Según Bustos (1994) lasacciones son formas de obrar como respuesta a una demanda del medio, por tanto sonconscientes y tiene una intencionalidad, una transformación que se puede captar por lossentidos, tiene una construcción interna que es comprensible; en tal sentido no sonsimples habilidades y de ellas se deriva todo el conocimiento pues sobre ellas sepiensa, se instauran en esquemas y posteriormente se formalizan en estructuras.Los esquemas de acción son conjuntos de acciones que se acopian como un todo conestructura propia, se pueden reproducir y aplicar a situaciones nuevas. El acopioacumulativo de esquemas de acción conforma el saber actuar; si bien ese saber actuarse puede y debe aprender por razón de situaciones problemáticas que le propone elmedio y le conducen a actuar.La construcción de operaciones atañe a un acto inteligente de abstracción a partir de lasacciones y los esquemas de acción, de tal forma que consigue movilidad en relación consus elementos, con la disponibilidad pronta y segura en el repertorio de los esquemas deacción. La operación es la conciencia de la abstracción, que se caracteriza por sumovilidad, por no ser acabada, por ser asociativa y reversible.La construcción de los conceptos concierne a los momentos de concreción de un procesoy tienen características fundamentales o dimensiones que permiten diferenciar unos de

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