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formulario matematicas

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farmulario calculo,integrales y series de Fourier

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formulario matematicas

  1. 1. MATEMรTICAS โ€“ FIME โ€“ E2015 C CALCULO DIFERENCIAL ๐ท ๐‘ฅ(๐‘ข) ๐‘› = ๐‘›(๐‘ข) ๐‘›โˆ’1 ๐‘‘๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ[๐‘ข โˆ— ๐‘ฃ] = ๐‘ข๐ท ๐‘ฅ ๐‘ฃ + ๐‘ฃ๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ [ ๐‘ข ๐‘ฃ ] = ๐‘ฃ๐ท ๐‘ฅ ๐‘ขโˆ’๐‘ข๐ท ๐‘ฅ ๐‘ฃ ๐‘ฃ2 ๐ท ๐‘ฅ[๐‘™๐‘›๐‘ข] = 1 ๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ [๐ฟ๐‘œ๐‘” ๐‘Ž ๐‘ข] = 1 ๐‘ข๐‘™๐‘›๐‘Ž ๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ[๐‘’ ๐‘ข] = ๐‘’ ๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ[๐‘Ž ๐‘ข] = ๐‘Ž ๐‘ข ln๐‘Ž๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ[๐‘†๐‘’๐‘›๐‘ข] = ๐ถ๐‘œ๐‘ ๐‘ข๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ[๐ถ๐‘œ๐‘ ๐‘ข] = โˆ’๐‘†๐‘’๐‘›๐‘ข๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ[๐‘‡๐‘Ž๐‘›๐‘ข] = ๐‘†๐‘’๐‘2 ๐‘ข๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ[๐ถ๐‘œ๐‘ก๐‘ข] = โˆ’๐ถ๐‘ ๐‘2 ๐‘ข๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ[๐‘†๐‘’๐‘๐‘ข] = ๐‘†๐‘’๐‘๐‘ข๐‘‡๐‘Ž๐‘›๐‘ข๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ[๐ถ๐‘ ๐‘๐‘ข] = โˆ’๐ถ๐‘ ๐‘๐‘ข๐ถ๐‘œ๐‘ก๐‘ข๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ[๐‘†๐‘’๐‘›โ„Ž๐‘ข] = ๐ถ๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ข)๐ท๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ[๐ถ๐‘œ๐‘ โ„Ž๐‘ข] = ๐‘†๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ข)๐ท๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ[๐‘‡๐‘Ž๐‘›โ„Ž๐‘ข] = ๐‘†๐‘’๐‘โ„Ž2 (๐‘ข)๐ท๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ[๐ถ๐‘œ๐‘กโ„Ž๐‘ข] = โˆ’๐ถ๐‘ ๐‘โ„Ž2 (๐‘ข)๐ท๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ[๐‘†๐‘’๐‘โ„Ž๐‘ข] = โˆ’๐‘†๐‘’๐‘โ„Ž(๐‘ข)๐‘‡๐‘Ž๐‘›โ„Ž(๐‘ข)๐ท๐‘ข ๐ท ๐‘ฅ[๐ถ๐‘ ๐‘โ„Ž๐‘ข] = โˆ’๐ถ๐‘ ๐‘โ„Ž(๐‘ข)๐ถ๐‘œ๐‘กโ„Ž(๐‘ข)๐ท๐‘ข ๐ท๐‘ฅ[ ๐ด๐‘Ÿ๐‘๐‘†๐‘’๐‘›๐‘ข] = ๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข โˆš1โˆ’๐‘ข2 ๐ท๐‘ฅ[ ๐ด๐‘Ÿ๐‘๐ถ๐‘œ๐‘ ๐‘ข] = โˆ’๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข โˆš1โˆ’๐‘ข2 ๐ท๐‘ฅ[ ๐ด๐‘Ÿ๐‘๐‘‡๐‘Ž๐‘›๐‘ข] = ๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข 1+ ๐‘ข2 ๐ท๐‘ฅ[ ๐ด๐‘Ÿ๐‘๐ถ๐‘œ๐‘ก๐‘ข] = โˆ’๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข 1+ ๐‘ข2 ๐ท๐‘ฅ[ ๐ด๐‘Ÿ๐‘๐‘†๐‘’๐‘๐‘ข] = ๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข |๐‘ข|โˆš๐‘ข2โˆ’1 ๐ท๐‘ฅ[ ๐ด๐‘Ÿ๐‘๐ถ๐‘ ๐‘๐‘ข] = โˆ’๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข |๐‘ข|โˆš๐‘ข2โˆ’1 ๐ท ๐‘ฅ[ ๐‘†๐‘’๐‘›โ„Žโˆ’1 ๐‘ข] = ๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข โˆš๐‘ข2+ 1 ๐ท ๐‘ฅ[ ๐ถ๐‘œ๐‘ โ„Žโˆ’1 ๐‘ข] = ๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข โˆš๐‘ข2โˆ’ 1 ๐ท ๐‘ฅ[ ๐‘‡๐‘Ž๐‘›โ„Žโˆ’1 ๐‘ข] = ๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข 1 โˆ’ ๐‘ข2 ๐ท ๐‘ฅ[ ๐ถ๐‘œ๐‘กโ„Žโˆ’1 ๐‘ข] = ๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข 1 โˆ’ ๐‘ข2 ๐ท ๐‘ฅ[ ๐‘†๐‘’๐‘โ„Žโˆ’1 ๐‘ข] = โˆ’ ๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข ๐‘ข โˆš1โˆ’๐‘ข2 ๐ท ๐‘ฅ[ ๐ถ๐‘ ๐‘โ„Žโˆ’1 ๐‘ข] = โˆ’ ๐ท ๐‘ฅ ๐‘ข |๐‘ข|โˆš1โˆ’๐‘ข2 REGLAS BASICAS DE LA INTEGRACION โˆซ[๐‘“(๐‘ฅ) ยฑ ๐‘”(๐‘ฅ)]๐‘‘๐‘ฅ = โˆซ ๐‘“(๐‘ฅ) ยฑ โˆซ ๐‘”(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ โˆซ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ + ๐ถ โˆซ ๐‘ฅ ๐‘› ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ ๐‘›+1 ๐‘›+1 + ๐ถ โˆซ ๐พ๐‘“(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ = ๐พ โˆซ ๐‘“(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ ๐Š = ๐œ๐ญ๐ž CAMBIO DE VARIABLE โˆซ ๐‘’ ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข = ๐‘’ ๐‘ข + ๐ถ โˆซ ๐‘Ž ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข = ๐‘Ž ๐‘ข ln ๐‘Ž + ๐ถ โˆซ ๐‘ข ๐‘› ๐‘‘๐‘ข = ๐‘ข ๐‘›+1 ๐‘›+1 + ๐ถ ๐ง โ‰  โˆ’๐Ÿ En donde u es una funciรณn polinomial o trascendental ๐’† = ๐‘ช๐’•๐’†. ๐’…๐’† ๐‘ฌ๐’–๐’๐’†๐’“ = ๐Ÿ. ๐Ÿ•๐Ÿ๐Ÿ– ๐‘ƒ๐‘Ÿ๐‘œ๐‘๐‘–๐‘’๐‘‘๐‘Ž๐‘‘: ๐‘’ ๐‘™๐‘›๐‘ฅ = ๐‘ฅ FUNCION LOGARITMICA ๐ฟ๐‘› 1 = 0 โˆซ ๐‘‘๐‘ข ๐‘ข = ๐‘™๐‘›|๐‘ข| + ๐ถ Propiedades: Ln (pq) = Ln p + Ln q Ln e=1 Ln( ๐‘ ๐‘ž ) = ๐ฟ๐‘›(๐‘) โˆ’ ๐ฟ๐‘›(๐‘ž) Ln ๐‘ ๐‘Ÿ = ๐‘Ÿ ๐ฟ๐‘› ๐‘ FUNCIONES EXPONENCIALES FUNCIONES TRIGONOMร‰TRICAS โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘›(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = โˆ’๐ถ๐‘œ๐‘ (๐‘ข) + ๐ถ โˆซ ๐ถ๐‘œ๐‘ (๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = ๐‘†๐‘’๐‘›(๐‘ข) + ๐ถ โˆซ ๐‘‡๐‘Ž๐‘›(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = ln|๐‘†๐‘’๐‘(๐‘ข)| + ๐ถ = โˆ’ln|๐ถ๐‘œ๐‘ (๐‘ข)| + ๐ถ โˆซ ๐ถ๐‘œ๐‘ก(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = โˆ’ln|๐ถ๐‘ ๐‘(๐‘ข)| + ๐ถ = ln|๐‘†๐‘’๐‘›(๐‘ข)| + ๐ถ โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = ln|๐‘†๐‘’๐‘(๐‘ข) + ๐‘‡๐‘Ž๐‘›(๐‘ข)| + ๐ถ โˆซ ๐ถ๐‘ ๐‘(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = ln|๐ถ๐‘ ๐‘(๐‘ข) โˆ’ ๐ถ๐‘œ๐‘ก (๐‘ข)| + ๐ถ โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘2(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = ๐‘‡๐‘Ž๐‘›(๐‘ข) + ๐ถ โˆซ ๐ถ๐‘ ๐‘2(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = โˆ’ ๐ถ๐‘œ๐‘ก(๐‘ข) + ๐ถ โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘(๐‘ข)๐‘‡๐‘Ž๐‘›(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = ๐‘†๐‘’๐‘(๐‘ข) + ๐ถ โˆซ ๐ถ๐‘ ๐‘(๐‘ข)๐ถ๐‘œ๐‘ก(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = โˆ’๐ถ๐‘ ๐‘(๐‘ข) + ๐ถ
  2. 2. FUNCIONES HIPERBร“LICAS โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = ๐ถ๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ข) + ๐ถ โˆซ ๐ถ๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = ๐‘†๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ข) + ๐ถ โˆซ ๐‘‡๐‘Ž๐‘›โ„Ž(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = ๐‘™๐‘›|๐ถ๐‘œ๐‘ โ„Ž ๐‘ข| + ๐ถ โˆซ ๐ถ๐‘œ๐‘กโ„Ž(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = ๐‘™๐‘›|๐‘†๐‘’๐‘›โ„Ž ๐‘ข| + ๐ถ โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘โ„Ž2(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = ๐‘‡๐‘Ž๐‘›โ„Ž(๐‘ข) + ๐ถ โˆซ ๐ถ๐‘ ๐‘โ„Ž2(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = โˆ’ ๐ถ๐‘œ๐‘กโ„Ž(๐‘ข) + ๐ถ โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘โ„Ž(๐‘ข)๐‘‡๐‘Ž๐‘›โ„Ž(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = โˆ’๐‘†๐‘’๐‘โ„Ž(๐‘ข) + ๐ถ โˆซ ๐ถ๐‘ ๐‘โ„Ž(๐‘ข)๐ถ๐‘œ๐‘กโ„Ž(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข = โˆ’๐ถ๐‘ ๐‘โ„Ž(๐‘ข) + ๐ถ FUNCIONES TRIGONOMร‰TRICAS INVERSAS โˆซ ๐‘‘๐‘ข โˆš๐‘Ž2โˆ’ ๐‘ข2 = ๐‘†๐‘’๐‘›โˆ’1 ( ๐‘ข ๐‘Ž ) + ๐ถ โˆซ ๐‘‘๐‘ข ๐‘Ž2+ ๐‘ข2 = 1 ๐‘Ž ๐‘‡๐‘Ž๐‘›โˆ’1 ( ๐‘ข ๐‘Ž ) + ๐ถ โˆซ ๐‘‘๐‘ข ๐‘ข โˆš๐‘ข2โˆ’ ๐‘Ž2 = 1 ๐‘Ž ๐‘†๐‘’๐‘โˆ’1 ( ๐‘ข ๐‘Ž ) + ๐ถ FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS โˆซ ๐‘‘๐‘ข โˆš๐‘Ž2+ ๐‘ข2 = ๐‘†๐‘’๐‘›โ„Žโˆ’1 ( ๐‘ข ๐‘Ž ) + ๐ถ โˆซ ๐‘‘๐‘ข โˆš๐‘ข2โˆ’ ๐‘Ž2 = ๐ถ๐‘œ๐‘ โ„Žโˆ’1 ( ๐‘ข ๐‘Ž ) + ๐ถ โˆซ ๐‘‘๐‘ข ๐‘ข โˆš๐‘Ž2+ ๐‘ข2 = โˆ’1 ๐‘Ž ๐ถ๐‘ ๐‘โ„Žโˆ’1 ( ๐‘ข ๐‘Ž ) + ๐ถ โˆซ ๐‘‘๐‘ข ๐‘ข โˆš๐‘Ž2โˆ’ ๐‘ข2 = โˆ’1 ๐‘Ž ๐‘†๐‘’๐‘โ„Žโˆ’1 ( ๐‘ข ๐‘Ž ) + ๐ถ โˆซ ๐‘‘๐‘ข ๐‘Ž2โˆ’ ๐‘ข2 = 1 ๐‘Ž ๐‘‡๐‘Ž๐‘›โ„Žโˆ’1 ( ๐‘ข ๐‘Ž ) + ๐ถ โˆซ ๐‘‘๐‘ข โˆš ๐‘ข2ยฑ ๐‘Ž2 = ln (๐‘ข + โˆš ๐‘ข2 ยฑ ๐‘Ž2) + ๐ถ โˆซ ๐‘‘๐‘ข ๐‘Ž2โˆ’ ๐‘ข2 = 1 2๐‘Ž ๐‘™๐‘› | ๐‘Ž+๐‘ข ๐‘Žโˆ’๐‘ข | + ๐ถ โˆซ ๐‘‘๐‘ข ๐‘ข โˆš ๐‘Ž2ยฑ ๐‘ข2 = โˆ’ 1 ๐‘Ž ๐‘™๐‘› ( ๐‘Ž+โˆš ๐‘Ž2ยฑ ๐‘ข2 |๐‘ข| ) + ๐ถ Forma equivalente de las integrales que dan como resultado HIPERBร“LICAS INVERSAS SUSTITUCIร“N TRIGONOMร‰TRICA Forma Sustituciรณn la raรญz se sustituye por: โˆš๐‘Ž2 โˆ’ ๐‘ข2 u= aSen๐œƒ aCos๐œƒ โˆš๐‘Ž2 + ๐‘ข2 u= aTan๐œƒ aSec๐œƒ โˆš๐‘ข2 โˆ’ ๐‘Ž2 u= aSec๐œƒ aTan๐œƒ ๏‚ฎ ๏‚ฎ ๏‚ฎ ๏‚ฎ ๏‚ฎ ๏‚ฎ ๏‚ฎ ๏‚ฎ INTEGRAL POR PARTES โˆซ ๐‘ข๐‘‘๐‘ฃ = ๐‘ข๐‘ฃ โˆ’ โˆซ ๐‘ฃ๐‘‘๐‘ข CASOS TRIGONOMร‰TRICOS โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘› ๐‘›(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข; โˆซ ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐‘›(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข CASO I. En donde n es entero impar positivo Expresar: ๐‘†๐‘’๐‘› ๐‘›(๐‘ข) = ๐‘†๐‘’๐‘› ๐‘›โˆ’1(๐‘ข) ๐‘†๐‘’๐‘› (๐‘ข) Usar: ๐‘บ๐’†๐’ ๐Ÿ(๐’–) = ๐Ÿ โˆ’ ๐‘ช๐’๐’” ๐Ÿ(๐’–) ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐‘›(๐‘ข) = ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐‘›โˆ’1(๐‘ข) ๐ถ๐‘œ๐‘ (๐‘ข) Usar: ๐‘ช๐’๐’” ๐Ÿ(๐’–) = ๐Ÿ โˆ’ ๐‘บ๐’†๐’ ๐Ÿ(๐’–) CASO II : โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘› ๐‘›(๐‘ข) ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐‘š(๐‘ข)๐‘‘๐‘ข ; En donde al menos un exponente es entero impar positivo, utilizar: ๐‘บ๐’†๐’ ๐Ÿ(๐’–) + ๐‘ช๐’๐’” ๐Ÿ(๐’–) = ๐Ÿ de manera similar al CASO I NOTA: Si los dos exponentes son enteros impares positivos se cambia el impar menor ๐ด๐‘ฅ + ๐ต ๐‘Ž๐‘ฅ2 + ๐‘๐‘ฅ + ๐‘ CASO III. Factores cuadrรกticos distintos. A cada factor cuadrรกtico (๐‘Ž๐‘ฅ2 + ๐‘๐‘ฅ + ๐‘) le corresponde una fracciรณn de la forma ๐ด1 ๐‘ฅ + ๐ต1 ๐‘Ž๐‘ฅ2 + ๐‘๐‘ฅ + ๐‘ + โ‹ฏ + ๐ด ๐‘˜ ๐‘ฅ + ๐ต ๐‘˜ (๐‘Ž๐‘ฅ2 + ๐‘๐‘ฅ + ๐‘) ๐‘˜ CASO IV. Factores cuadrรกticos repetidos. A cada factor cuadrรกtico repetido (๐‘Ž๐‘ฅ2 + ๐‘๐‘ฅ + ๐‘) ๐‘˜ le corresponde la suma de k fracciones parciales de la forma: TEOREMAS DE SUMATORIAS Sean m y n enteros positivos, c= constante 1. โˆ‘ ๐’„ ๐’‡(๐’Š) = ๐’„ โˆ‘ ๐’‡(๐’Š)๐’ ๐’Š=๐Ÿ ๐’ ๐’Š=๐Ÿ 2. โˆ‘ [๐’‡(๐’Š) ยฑ ๐’ˆ(๐’Š)] = โˆ‘ ๐’‡(๐’Š) ยฑ โˆ‘ ๐’ˆ(๐’Š)๐’ ๐’Š=๐Ÿ ๐’ ๐’Š=๐Ÿ ๐’ ๐’Š=๐Ÿ 3. โˆ‘ ๐’‡(๐’Š) = โˆ‘ ๐’‡(๐’Š) + โˆ‘ ๐’‡(๐’Š) ๐’Ž < ๐’๐’ ๐’Š=๐’Ž+๐Ÿ ๐’Ž ๐’Š=๐Ÿ ๐’ ๐’Š=๐Ÿ 4. โˆ‘ ๐’„ = ๐’๐’„๐’ ๐’Š=๐Ÿ 5. โˆ‘ ๐’Š๐’ ๐’Š=๐Ÿ = ๐’(๐’+๐Ÿ) ๐Ÿ 6. โˆ‘ ๐’Š ๐Ÿ = ๐’(๐’+๐Ÿ)(๐Ÿ๐’+๐Ÿ) ๐Ÿ” ๐’ ๐’Š=๐Ÿ 7. โˆ‘ ๐’Š ๐Ÿ‘ = [ ๐’(๐’+๐Ÿ) ๐Ÿ ] ๐Ÿ ๐’ ๐’Š=๐Ÿ SUMA DE RIEMANN โˆซ ๐‘“(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ = lim ๐‘›โ†’โˆž โˆ‘ ๐‘“(๐‘๐‘–)โˆ†๐‘ฅ๐‘› ๐‘–=1 ๐‘ ๐‘Ž โˆ†๐‘ฅ = ๐‘โˆ’๐‘Ž ๐‘› , ๐‘๐‘– = ๐‘Ž + ๐‘– โˆ— โˆ†๐‘ฅ FRACCIONES PARCIALES ๐ด ๐‘Ž๐‘ฅ + ๐‘ CASO I: Factores lineales distintos. A cada factor lineal (ax + b) le corresponde una fracciรณn de la forma: ๐ด1 ๐‘Ž๐‘ฅ + ๐‘ + ๐ด2 (๐‘Ž๐‘ฅ + ๐‘)2 + โ‹ฏ + ๐ด ๐‘˜ (๐‘Ž๐‘ฅ + ๐‘) ๐‘˜ CASO II: Factores lineales repetidos. A cada factor lineal repetido (ax + b) ๐‘˜ . Le corresponde la suma de k fracciones parciales de la forma:
  3. 3. Tipo de Integral Condiciรณn Identidad รบtil 1 โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘› ๐‘› ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข, โˆซ ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐‘› ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข, donde n es un entero impar positivo ๐‘†๐‘’๐‘›2 ๐‘ข + ๐ถ๐‘œ๐‘ 2 ๐‘ข = 1 2 โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘› ๐‘› ๐‘ข ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐‘š ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข, donde n o m es un entero impar positivo ๐‘†๐‘’๐‘›2 ๐‘ข + ๐ถ๐‘œ๐‘ 2 ๐‘ข = 1 3 โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘› ๐‘› ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข, โˆซ ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐‘› ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข, โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘› ๐‘› ๐‘ข ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐‘š ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข, donde n y m son enteros pares positivos ๐‘†๐‘’๐‘›2 ๐‘ข = 1โˆ’๐ถ๐‘œ๐‘  2๐‘ข 2 ๐ถ๐‘œ๐‘ 2 ๐‘ข = 1+๐ถ๐‘œ๐‘  2๐‘ข 2 ๐‘†๐‘’๐‘› ๐‘ข ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐‘ข = 1 2 ๐‘†๐‘’๐‘› 2๐‘ข 4 โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘› (๐‘š๐‘ข) ๐ถ๐‘œ๐‘ (๐‘›๐‘ข)๐‘‘๐‘ข โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘› (๐‘š๐‘ข) ๐‘†๐‘’๐‘›(๐‘›๐‘ข)๐‘‘๐‘ข โˆซ ๐ถ๐‘œ๐‘  (๐‘š๐‘ข) ๐ถ๐‘œ๐‘ (๐‘›๐‘ข)๐‘‘๐‘ข donde n y m son cualquier nรบmero ๐‘†๐‘’๐‘› ๐ด ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐ต = 1 2 [๐‘†๐‘’๐‘› (๐ด โˆ’ ๐ต) + ๐‘†๐‘’๐‘› (๐ด + ๐ต)] ๐‘†๐‘’๐‘› ๐ด ๐‘†๐‘’๐‘› ๐ต = 1 2 [ ๐ถ๐‘œ๐‘  (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆ’ ๐ถ๐‘œ๐‘  (๐ด + ๐ต)] ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐ด ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐ต = 1 2 [ ๐ถ๐‘œ๐‘  (๐ด โˆ’ ๐ต) + ๐ถ๐‘œ๐‘  (๐ด + ๐ต)] 5 โˆซ ๐‘‡๐‘Ž๐‘› ๐‘› ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข, โˆซ ๐ถ๐‘œ๐‘ก ๐‘› ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข donde n es cualquier nรบmero entero 1 + ๐‘‡๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ข = ๐‘†๐‘’๐‘2 ๐‘ข 6 โˆซ ๐‘†๐‘’๐‘ ๐‘› ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข, โˆซ ๐ถ๐‘ ๐‘ ๐‘› ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข donde n es un entero par positivo 1 + ๐‘‡๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ข = ๐‘†๐‘’๐‘2 ๐‘ข 1 + ๐ถ๐‘œ๐‘ก2 ๐‘ข = ๐ถ๐‘ ๐‘2 ๐‘ข 7 โˆซ ๐‘‡๐‘Ž๐‘› ๐‘š ๐‘ข ๐‘†๐‘’๐‘ ๐‘› ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข โˆซ ๐ถ๐‘œ๐‘ก ๐‘š ๐‘ข ๐ถ๐‘ ๐‘ ๐‘› ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข donde n es un entero par positivo 1 + ๐‘‡๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ข = ๐‘†๐‘’๐‘2 ๐‘ข 1 + ๐ถ๐‘œ๐‘ก2 ๐‘ข = ๐ถ๐‘ ๐‘2 ๐‘ข 8 โˆซ ๐‘‡๐‘Ž๐‘› ๐‘š ๐‘ข ๐‘†๐‘’๐‘ ๐‘› ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข โˆซ ๐ถ๐‘œ๐‘ก ๐‘š ๐‘ข ๐ถ๐‘ ๐‘ ๐‘› ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข donde m es un entero impar positivo 1 + ๐‘‡๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ข = ๐‘†๐‘’๐‘2 ๐‘ข 1 + ๐ถ๐‘œ๐‘ก2 ๐‘ข = ๐ถ๐‘ ๐‘2 ๐‘ข CASOS TRIGONOMETRICOS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ๐ด = โˆซ [(๐น๐‘ข๐‘›๐‘๐‘–รณ๐‘› ๐‘‘๐‘’ ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘–๐‘๐‘Ž) โˆ’ (๐‘“๐‘ข๐‘›๐‘๐‘–รณ๐‘› ๐‘‘๐‘’ ๐‘Ž๐‘๐‘Ž๐‘—๐‘œ)]๐‘‘๐‘ฅ ๐‘ ๐‘Ž ๐ด = โˆซ [(๐น๐‘ข๐‘›๐‘๐‘–รณ๐‘› ๐‘‘๐‘’๐‘Ÿ๐‘’๐‘โ„Ž๐‘Ž) โˆ’ (๐‘“๐‘ข๐‘›๐‘๐‘–รณ๐‘› ๐‘–๐‘ง๐‘ž๐‘ข๐‘–๐‘’๐‘Ÿ๐‘‘๐‘Ž)]๐‘‘๐‘ฆ ๐‘ ๐‘Ž รREA: ๐‘‰ = 2๐œ‹ โˆซ ๐‘Ÿ(๐‘ฆ)โ„Ž(๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฆ ๐‘ ๐‘Ž ๐‘‰ = 2๐œ‹ โˆซ ๐‘Ÿ(๐‘ฅ)โ„Ž(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ ๐‘ ๐‘Ž VOLUMEN / METODO DE CAPAS O CORTEZA Cuando el eje de revoluciรณn es horizontal Cuando el eje de revoluciรณn es vertical VOLUMEN / METODO DEL DISCO O ARANDELA V= ๐œ‹ โˆซ [(๐‘…2(๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘Ÿ2 (๐‘ฅ)]๐‘‘๐‘ฅ ๐‘ ๐‘Ž V= ๐œ‹ โˆซ [(๐‘…2(๐‘ฆ) โˆ’ ๐‘Ÿ2 (๐‘ฆ)]๐‘‘๐‘ฆ ๐‘ ๐‘Ž LONGITUD DE ARCO ๐‘† = โˆซ โˆš1 + [๐‘“ยด(๐‘ฅ)]2 ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘ ๐‘Ž ๐‘† = โˆซ โˆš1 + [๐‘”ยด(๐‘ฆ)]2 ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘ ๐‘ TRABAJO ๐‘พ = โˆซ ๐‘ญ(๐’™)๐’…๐’™ ๐’ƒ ๐’‚CALCULO DE INTEGRALES DOBLES โˆฌ ๐‘“(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐ด๐‘… = โˆซ โˆซ ๐‘“(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฆ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘”2(๐‘ฅ) ๐‘”1(๐‘ฅ) ๐‘ ๐‘Ž โˆฌ ๐‘“(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐ด๐‘… = โˆซ โˆซ ๐‘“(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)๐‘‘๐‘ฅ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘”2(๐‘ฆ) ๐‘”1(๐‘ฆ) ๐‘ ๐‘Ž
  4. 4. IDENTIDADES TRIGONOMร‰TRICAS INVERSAS ๐‘†๐‘’๐‘›(๐‘ข) = 1 ๐ถ๐‘ ๐‘(๐‘ข) Csc(๐‘ข) = 1 ๐‘†๐‘’๐‘›(๐‘ข) ๐ถ๐‘œ๐‘ (๐‘ข) = 1 ๐‘†๐‘’๐‘(๐‘ข) ๐‘†๐‘’๐‘(๐‘ข) = 1 ๐ถ๐‘œ๐‘ (๐‘ข) ๐‘‡๐‘Ž๐‘›(๐‘ข) = 1 ๐ถ๐‘œ๐‘ก(๐‘ข) ๐ถ๐‘œ๐‘ก(๐‘ข) = 1 ๐‘‡๐‘Ž๐‘›(๐‘ข) FORMA DE COCIENTE ๐‘‡๐‘Ž๐‘›(๐‘ข) = ๐‘†๐‘’๐‘›(๐‘ข) ๐ถ๐‘œ๐‘ (๐‘ข) ๐ถ๐‘œ๐‘ก(๐‘ข) = ๐ถ๐‘œ๐‘ (๐‘ข) ๐‘†๐‘’๐‘›(๐‘ข) PITAGร“RICAS ๐‘†๐‘’๐‘›2(๐‘ข) = 1 โˆ’ ๐ถ๐‘œ๐‘ 2 (๐‘ข) ๐ถ๐‘œ๐‘ 2(๐‘ข) = 1 โˆ’ ๐‘†๐‘’๐‘›2 (๐‘ข) ๐‘†๐‘’๐‘2(๐‘ข) = 1 + ๐‘‡๐‘Ž๐‘›2 (๐‘ข) ๐‘‡๐‘Ž๐‘›2(๐‘ข) = ๐‘†๐‘’๐‘2(๐‘ข) โˆ’ 1 ๐ถ๐‘ ๐‘2(๐‘ข) = 1 + ๐ถ๐‘œ๐‘ก2 (๐‘ข) ๐ถ๐‘œ๐‘ก2(๐‘ข) = ๐ถ๐‘ ๐‘2(๐‘ข) โˆ’ 1 ANGULO DOBLE Sen2u= 2Sen(u)Cos(u) Cos2u = ๐ถ๐‘œ๐‘ 2(๐‘ข) โˆ’ ๐‘†๐‘’๐‘›2(๐‘ข) ๐‘†๐‘’๐‘›2(๐‘ข) = 1โˆ’cos(2๐‘ข) 2 ๐ถ๐‘œ๐‘ 2(๐‘ข) = 1+cos(2๐‘ข) 2 IDENTIDADES HIPERBร“LICAS ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž2(๐‘ข) โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž2(๐‘ข) = 1 ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž2(๐‘ข) + ๐‘ก๐‘Ž๐‘›โ„Ž2(๐‘ข) = 1 ๐‘๐‘œ๐‘กโ„Ž2(๐‘ข) โˆ’ ๐‘๐‘ ๐‘โ„Ž2(๐‘ข) = 1 ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(2๐‘ข) = 2๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ข)cosh(๐‘ข) cosh(2๐‘ข) = ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž2(๐‘ข) + ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž2(๐‘ข) ๐‘ก๐‘Ž๐‘›โ„Ž(2๐‘ข) = 2tanh(๐‘ข) 1+๐‘ก๐‘Ž๐‘›โ„Ž2(๐‘ข) ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž2(๐‘ข) = ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(2๐‘ข)โˆ’1 2 ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž2(๐‘ข) = ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(2๐‘ข)+1 2 ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž ๐‘ฅ = ๐‘’ ๐‘ฅโˆ’๐‘’โˆ’๐‘ฅ 2 ๐ถ๐‘œ๐‘ โ„Ž ๐‘ฅ = ๐‘’ ๐‘ฅ+๐‘’โˆ’๐‘ฅ 2 ๐‘‡๐‘Ž๐‘›โ„Ž ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž๐‘ฅ ๐ถ๐‘œ๐‘กโ„Ž ๐‘ฅ = ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž๐‘ฅ ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž๐‘ฅ ๐‘†๐‘’๐‘›โ„Ž ๐‘ฅ๐ถ๐‘ ๐‘โ„Ž๐‘ฅ = 1 ๐ถ๐‘œ๐‘ โ„Ž ๐‘ฅ๐‘†๐‘’๐‘โ„Ž๐‘ฅ = 1 ๐‘‡๐‘Ž๐‘›โ„Ž ๐‘ฅ๐ถ๐‘œ๐‘กโ„Ž๐‘ฅ = 1 FUNCIONES TRIGONOMร‰TRICAS ๐‘†๐‘’๐‘›๐œƒ = ๐ถ.๐‘‚. ๐ป๐‘–๐‘ ๐ถ๐‘œ๐‘ก๐œƒ = ๐ถ.๐ด. ๐ถ.๐‘‚. ๐ถ๐‘œ๐‘ ๐œƒ = ๐ถ.๐ด. ๐ป๐‘–๐‘ ๐‘†๐‘’๐‘๐œƒ = ๐ป๐‘–๐‘. ๐ถ.๐ด. ๐‘‡๐‘Ž๐‘›๐œƒ = ๐ถ.๐‘‚. ๐ถ.๐ด. ๐ถ๐‘ ๐‘๐œƒ = ๐ป๐‘–๐‘. ๐ถ.๐‘‚. ๐‘†๐‘’๐‘›(โˆ’๐ด) = โˆ’๐‘ ๐‘’๐‘›(๐ด) ๐ถ๐‘œ๐‘ (โˆ’๐ต) = cos(๐ต) ๐‘ ๐‘’๐‘›(0) = 0 ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐œ‹) = 0 ๐‘ ๐‘’๐‘›(2๐œ‹) = 0 ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘›๐œ‹) = 0 ๐‘ ๐‘’๐‘› [(2๐‘› โˆ’ 1) ๐œ‹ 2 ] = โˆ’(โˆ’1) ๐‘› = (โˆ’1) ๐‘›+1 ๐‘๐‘œ๐‘ (0) = 1 ๐‘๐‘œ๐‘ (๐œ‹) = โˆ’1 ๐‘๐‘œ๐‘ (2๐œ‹) = 1 ๐‘๐‘œ๐‘ (2๐‘›๐œ‹) = 1 ๐‘๐‘œ๐‘  [(2๐‘› โˆ’ 1) ๐œ‹ 2 ] = ๐‘๐‘œ๐‘  [(1 โˆ’ 2๐‘›) ๐œ‹ 2 ] = 0 ๐‘๐‘œ๐‘ (โˆ’๐‘›๐œ‹) = ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘›๐œ‹) = (โˆ’1) ๐‘› VALORES IMPORTANTES DEL SENO Y COSENO ๐‘†๐‘’๐‘› (๐‘›๐‘Š๐‘œ๐‘ก) = 1 2๐‘— (๐‘’ ๐‘—๐‘›๐‘Š๐‘œ๐‘ก โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘—๐‘›๐‘Š๐‘œ๐‘ก ) ๐ถ๐‘œ๐‘  (๐‘›๐‘Š๐‘œ๐‘ก) = 1 2 (๐‘’ ๐‘—๐‘›๐‘Š๐‘œ๐‘ก + ๐‘’โˆ’๐‘—๐‘›๐‘Š๐‘œ๐‘ก ) ๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐œ‹ 2 ) = 1 ๐‘ ๐‘’๐‘› ( 3 2 ๐œ‹) = โˆ’1 ๐‘ ๐‘’๐‘›(โˆ’๐‘›๐œ‹) = โˆ’๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘›๐œ‹) = 0 ๐‘๐‘œ๐‘  ( ๐œ‹ 2 ) = 0 ๐‘๐‘œ๐‘  ( 3 2 ๐œ‹) = 0 ๐‘๐‘œ๐‘ (2๐‘› โˆ’ 1)๐œ‹ = โˆ’1 ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘›๐œ‹) = (โˆ’1) ๐‘› ๐‘’ยฑ๐‘—๐‘›๐œ‹ = cos(๐‘›๐œ‹) ยฑ ๐‘— ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘›๐œ‹) ๐‘Ž ๐‘š ๐‘Ž ๐‘› = ๐‘Ž ๐‘š+๐‘› ( ๐‘Ž ๐‘ ) ๐‘š = ๐‘Ž ๐‘š ๐‘ ๐‘š (๐‘Ž ๐‘š ) ๐‘› = ๐‘Ž ๐‘š๐‘› ๐‘Žโˆ’๐‘› = 1 ๐‘Ž ๐‘› (๐‘Ž๐‘) ๐‘š = ๐‘Ž ๐‘š ๐‘ ๐‘š ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ž = โˆš ๐‘Ž ๐‘๐‘ž ๐‘Ž ๐‘š ๐‘Ž ๐‘› = ๐‘Ž ๐‘šโˆ’๐‘› ๐‘š > ๐‘› ๐‘Ž0 = 1 ๐‘Ž ๐‘š ๐‘Ž ๐‘› = 1 ๐‘Ž ๐‘›โˆ’๐‘š ๐‘š < ๐‘› LEYES DE EXPONENTES
  5. 5. TABLA DE TRANSFORMADAS ELEMENTALES f(t) F(s) 1 C ๐‘ช ๐’” , ๐’” > 0 2 t ๐Ÿ ๐’” ๐Ÿ , ๐’” > 0 3 ๐’• ๐’ ๐’! ๐’” ๐’+๐Ÿ , ๐’” > 0 4 ๐’† ๐’‚๐’• ๐Ÿ ๐’” โˆ’ ๐’‚ , ๐’” > ๐‘Ž 5 ๐‘บ๐’†๐’ ๐’‚๐’• ๐’‚ ๐’” ๐Ÿ + ๐’‚ ๐Ÿ , ๐’” > 0 6 Cos at ๐’” ๐’” ๐Ÿ + ๐’‚ ๐Ÿ , ๐’” > 0 7 Senh at ๐’‚ ๐’” ๐Ÿ โˆ’ ๐’‚ ๐Ÿ , ๐’” > |๐‘Ž| 8 Cosh at ๐’” ๐’” ๐Ÿ โˆ’ ๐’‚ ๐Ÿ , ๐’” > |๐‘Ž| 9 ๐’• ๐’ ๐’† ๐’‚๐’• ๐’! (๐’” โˆ’ ๐’‚) ๐’+๐Ÿ 10 ๐’† ๐’ƒ๐’• ๐‘บ๐’†๐’ ๐’‚๐’• ๐’‚ (๐’” โˆ’ ๐’ƒ) ๐Ÿ + ๐’‚ ๐Ÿ 11 ๐’† ๐’ƒ๐’• ๐‘ช๐’๐’” ๐’‚๐’• ๐’” โˆ’ ๐’ƒ (๐’” โˆ’ ๐’ƒ) ๐Ÿ + ๐’‚ ๐Ÿ 12 ๐’† ๐’ƒ๐’• ๐‘บ๐’†๐’๐’‰ ๐’‚๐’• ๐’‚ (๐’” โˆ’ ๐’ƒ) ๐Ÿ โˆ’ ๐’‚ ๐Ÿ 13 ๐’† ๐’ƒ๐’• ๐‘ช๐’๐’”๐’‰ ๐’‚๐’• ๐’” โˆ’ ๐’ƒ (๐’” โˆ’ ๐’ƒ) ๐Ÿ โˆ’ ๐’‚ ๐Ÿ TRANSFORMADAS DE LAPLACE TABLA DE TRANSFORMADAS INVERSAS ELEMENTALES F(s) f(t) 1 ๐‘ช ๐’” C 2 ๐Ÿ ๐’” ๐Ÿ t 3 ๐Ÿ ๐’” ๐’+๐Ÿ ๐’• ๐’ ๐’! 4 ๐Ÿ ๐’” โˆ’ ๐’‚ ๐’† ๐’‚๐’• 5 ๐Ÿ ๐’” ๐Ÿ + ๐’‚ ๐Ÿ ๐‘บ๐’†๐’ ๐’‚๐’• ๐’‚ 6 ๐’” ๐’” ๐Ÿ + ๐’‚ ๐Ÿ Cos at 7 ๐Ÿ ๐’” ๐Ÿ โˆ’ ๐’‚ ๐Ÿ ๐‘บ๐’†๐’๐’‰ ๐’‚๐’• ๐’‚ 8 ๐’” ๐’” ๐Ÿ โˆ’ ๐’‚ ๐Ÿ Cosh at 9 ๐Ÿ (๐’” โˆ’ ๐’‚) ๐’+๐Ÿ ๐’• ๐’ ๐’† ๐’‚๐’• ๐’! 10 ๐Ÿ (๐’” โˆ’ ๐’ƒ) ๐Ÿ + ๐’‚ ๐Ÿ ๐’† ๐’ƒ๐’• ๐‘บ๐’†๐’ ๐’‚๐’• ๐’‚ 11 ๐’” โˆ’ ๐’ƒ (๐’” โˆ’ ๐’ƒ) ๐Ÿ + ๐’‚ ๐Ÿ ๐’† ๐’ƒ๐’• ๐‘ช๐’๐’” ๐’‚๐’• 12 ๐Ÿ (๐’” โˆ’ ๐’ƒ) ๐Ÿ โˆ’ ๐’‚ ๐Ÿ ๐’† ๐’ƒ๐’• ๐‘บ๐’†๐’๐’‰ ๐’‚๐’• ๐’‚ 13 ๐’” โˆ’ ๐’ƒ (๐’” โˆ’ ๐’ƒ) ๐Ÿ โˆ’ ๐’‚ ๐Ÿ ๐’† ๐’ƒ๐’• ๐‘ช๐’๐’”๐’‰ ๐’‚๐’• โ„’{๐‘“(๐‘›) (๐‘ก)} = ๐‘  ๐‘› ๐น(๐‘ ) โˆ’ ๐‘  ๐‘›โˆ’1 ๐น(0) โˆ’ ๐‘  ๐‘›โˆ’2 ๐นโ€ฒ(0) โˆ’ โ‹ฏ โˆ’ ๐‘ ๐น(๐‘›โˆ’2) (0) โˆ’ ๐น(๐‘›โˆ’1) (0) โ„’ {โˆซ ๐‘“(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก ๐‘ก 0 } = ๐น(๐‘ ) ๐‘  โ„’{๐‘ก ๐‘› ๐‘“(๐‘ก)} = (โˆ’1) ๐‘› ๐น ๐‘› (๐‘ ) โ„’โˆ’1{๐‘“(๐‘  โˆ’ ๐‘Ž)} = ๐‘’ ๐‘Ž๐‘ก ๐น(๐‘ก) โ„’โˆ’1 {๐น ๐‘› (๐‘ )} = (โˆ’1) ๐‘› ๐‘ก ๐‘› ๐‘“(๐‘ก) โ„’โˆ’1 { ๐น(๐‘ ) ๐‘  ๐‘› } = โˆซ โ€ฆ โˆซ ๐‘“(๐‘ก)๐‘‘๐‘ก โ€ฆ ๐‘‘๐‘ก ๐‘ก 0 ๐‘ก 0 โ„’โˆ’1{๐น(๐‘ )๐บ(๐‘ )} = โˆซ ๐‘“(๐‘ข)๐‘”(๐‘ก โˆ’ ๐‘ข)๐‘‘๐‘ข ๐‘ก 0 = โˆซ ๐‘”(๐‘ข)๐‘“(๐‘ก โˆ’ ๐‘ข)๐‘‘๐‘ข ๐‘ก 0 Transformada de la derivada Transformada de la Integral Multiplicaciรณn por ๐ญ ๐ง Primera Propiedad de Traslaciรณn Transformada Inversa de la Derivada Divisiรณn por s Teorema de Convoluciรณn o Transformada Inversa del Producto Si โ„’โˆ’1{๐น(๐‘ )} = ๐‘“(๐‘ก) ๐‘ฆ โ„’โˆ’1{๐บ(๐‘ )} = ๐‘”(๐‘ก), entonces:
  6. 6. ๐‘“(๐‘ก) = 1 2 ๐‘Ž0 + โˆ‘[๐‘Ž ๐‘› cos(๐‘›๐œ”0 ๐‘ก) + ๐‘ ๐‘› sen(๐‘›๐œ”0 ๐‘ก)] โˆž ๐‘›=1 Fรณrmula General ๐‘Ž0 = 2 ๐‘‡ โˆซ f(t) ๐‘‘๐‘ก ๐‘‡ 2โ„ โˆ’๐‘‡ 2โ„ ๐‘Ž ๐‘› = 2 ๐‘‡ โˆซ f(t)cos(๐‘›๐œ”0 ๐‘ก)๐‘‘๐‘ก ๐‘‡ 2โ„ โˆ’๐‘‡ 2โ„ ๐‘ ๐‘› = 2 ๐‘‡ โˆซ f(t)sen(๐‘›๐œ”0 ๐‘ก)๐‘‘๐‘ก ๐‘‡ 2โ„ โˆ’๐‘‡ 2โ„ Simetrรญa Par ๐‘Ž0 = 4 ๐‘‡ โˆซ f(t) ๐‘‘๐‘ก ๐‘‡ 2โ„ 0 ๐‘Ž ๐‘› = 4 ๐‘‡ โˆซ f(t)cos(๐‘›๐œ”0 ๐‘ก)๐‘‘๐‘ก ๐‘‡ 2โ„ 0 ๐‘ ๐‘› = 0 Simetrรญa Impar ๐‘Ž0 = 0 ๐‘Ž ๐‘› = 0 ๐‘ ๐‘› = 4 ๐‘‡ โˆซ f(t)sen(๐‘›๐œ”0 ๐‘ก)๐‘‘๐‘ก ๐‘‡ 2โ„ 0 Simetrรญa de Media Onda ๐‘Ž0 = 0 ๐‘Ž2๐‘›โˆ’1 = 4 ๐‘‡ โˆซ f(t)cos[(2๐‘› โˆ’ 1)(๐œ”0 ๐‘ก)]๐‘‘๐‘ก ๐‘‡ 2โ„ 0 ๐‘2๐‘›โˆ’1 = 4 ๐‘‡ โˆซ f(t)sen[(2๐‘› โˆ’ 1)(๐œ”0 ๐‘ก)]๐‘‘๐‘ก ๐‘‡ 2โ„ 0 Simetrรญa de un cuarto de onda Par ๐‘Ž0 = 0 ๐‘Ž2๐‘›โˆ’1 = 8 ๐‘‡ โˆซ f(t)cos[(2๐‘› โˆ’ 1)(๐œ”0 ๐‘ก)]๐‘‘๐‘ก ๐‘‡ 4โ„ 0 ๐‘2๐‘›โˆ’1 = 0 Simetrรญa de un cuarto de onda Impar ๐‘Ž0 = 0 ๐‘Ž2๐‘›โˆ’1 = 0 ๐‘2๐‘›โˆ’1 = 8 ๐‘‡ โˆซ f(t)sen[(2๐‘› โˆ’ 1)(๐œ”0 ๐‘ก)]๐‘‘๐‘ก ๐‘‡ 4โ„ 0 SERIES DE FOURIER ๐ถ ๐‘› = 1 ๐‘‡ โˆซ ๐‘“(๐‘ก)๐‘’โˆ’๐‘—๐‘›๐‘Š๐‘œ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก ๐‘‡ 2โ„ โˆ’๐‘‡ 2โ„ ๐‘“(๐‘ก) = โˆ‘ ๐ถ ๐‘› โˆž ๐‘›=โˆ’โˆž ๐‘’ ๐‘—๐‘›๐‘Š๐‘œ๐‘ก Serie De Fourier (FORMA COMPLEJA) n= 0ยฑ1ยฑ2ยฑ3โ€ฆ ๐ถ ๐‘› = 1 2 (๐‘Ž ๐‘›โˆ’๐‘— ๐‘ ๐‘›) ๐ถ0 = 1 2 ๐‘Ž0 Si se conoce ๐š ๐ง, ๐š ๐ŸŽ y ๐› ๐ง se obtiene: ๐‘Ž ๐‘› = 2๐‘…๐‘’[๐ถ ๐‘›] ๐‘ ๐‘› = โˆ’2๐ผ๐‘š[๐ถ ๐‘›] ๐‘Ž0 = 2๐ถ0 Si se conoce ๐‚ ๐ง, ๐‚ ๐ŸŽ se obtiene: ๐œ”๐‘œ = 2๐œ‹ ๐‘‡

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