Este documento presenta un sistema de deducción natural para el cálculo proposicional. El sistema mejora una versión anterior con el objetivo de facilitar la enseñanza y el aprendizaje de las reglas lógicas. El sistema clasifica las reglas en cinco grupos y provee ejemplos para cada regla, mostrando su nombre, abreviatura, forma lógica, y utilidad individual, grupal y sistémica.

1. UN SISTEMA DEUN SISTEMA DE
DEDUCCIÓN NATURALDEDUCCIÓN NATURAL
PARA EL CÁLCULOPARA EL CÁLCULO
PROPOSICIONALPROPOSICIONAL
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Dr. Pedro Arturo Ramos VillegasDr. Pedro Arturo Ramos Villegas
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Academia de Filosofía, UACMAcademia de Filosofía, UACM
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Colegio de Filosofía, FFyL, UNAMColegio de Filosofía, FFyL, UNAM
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parv@servidor.unam.mxparv@servidor.unam.mx

2. ANTECEDENTESANTECEDENTES
 Una primera versión del sistema de reglas de deducciónUna primera versión del sistema de reglas de deducción
natural para el cálculo proposicional que presento anatural para el cálculo proposicional que presento a
continuación fue elaborada por los profesores Raúlcontinuación fue elaborada por los profesores Raúl
Orayen, Arturo Yáñez y yo en la primera mitad de laOrayen, Arturo Yáñez y yo en la primera mitad de la
década de los 90s. Hasta la fecha, no he sabido dedécada de los 90s. Hasta la fecha, no he sabido de
alguien más que proponga un sistema similar a aquél.alguien más que proponga un sistema similar a aquél.
 La elaboración de ese sistema obedecía a objetivosLa elaboración de ese sistema obedecía a objetivos
pedagógicos y prácticos.pedagógicos y prácticos.
 El sistema que presento a continuación pretendeEl sistema que presento a continuación pretende
mejorar el sistema original atendiendo a los mismosmejorar el sistema original atendiendo a los mismos
objetivos.objetivos.

3. OBJETIVOS DEL SISTEMAOBJETIVOS DEL SISTEMA
 EN LO PEDAGÓGICO:EN LO PEDAGÓGICO:
 Está diseñado expresamente para facilitar la enseñanzaEstá diseñado expresamente para facilitar la enseñanza
y el aprendizaje de las reglas del cálculo proposicional,y el aprendizaje de las reglas del cálculo proposicional,
al clasificarlas en cinco grupos atendiendo a susal clasificarlas en cinco grupos atendiendo a sus
propiedades lógicas y su utilidad; a diferencia de laspropiedades lógicas y su utilidad; a diferencia de las
presentaciones tradicionales, que las clasificanpresentaciones tradicionales, que las clasifican
únicamente en dos grupos, como reglas de implicación yúnicamente en dos grupos, como reglas de implicación y
reglas de equivalencia, atendiendo sólo a su formareglas de equivalencia, atendiendo sólo a su forma
lógica.lógica.
 EN LO PRÁCTICO:EN LO PRÁCTICO:
 Está diseñado expresamente para facilitar el empleo deEstá diseñado expresamente para facilitar el empleo de
las reglas al efectuar deducciones, justo debido a suslas reglas al efectuar deducciones, justo debido a sus
ventajas pedagógicas.ventajas pedagógicas.

4. VENTAJAS PEDAGÓGICAS DEL SISTEMAVENTAJAS PEDAGÓGICAS DEL SISTEMA
 El sistema está diseñado expresamente para facilitarEl sistema está diseñado expresamente para facilitar
la enseñanza y el aprendizaje de la lógicala enseñanza y el aprendizaje de la lógica
proposicional, debido básicamente a dos aspectos:proposicional, debido básicamente a dos aspectos:
1.1. Debido al modo peculiar en que se expone yDebido al modo peculiar en que se expone y
contextualiza dentro del sistema cada regla encontextualiza dentro del sistema cada regla en
particular, como ilustraremos a continuación.particular, como ilustraremos a continuación.

5. VENTAJAS PEDAGÓGICAS DEL SISTEMAVENTAJAS PEDAGÓGICAS DEL SISTEMA
2. Debido a que anexo a cada grupo de reglas se incluyen2. Debido a que anexo a cada grupo de reglas se incluyen
dos conjuntos de ejercicios. uno, diseñado para eldos conjuntos de ejercicios. uno, diseñado para el
grupo mismo y otro, para la conjunción de ese grupogrupo mismo y otro, para la conjunción de ese grupo
con los anteriores que ya hayan sido expuestos.con los anteriores que ya hayan sido expuestos.
De modo que al final de la exposición del sistema elDe modo que al final de la exposición del sistema el
alumno adquiere los siguientes saberes prácticos:alumno adquiere los siguientes saberes prácticos:
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Sabe para qué sirve cada regla, en particular, ySabe para qué sirve cada regla, en particular, y
cómo articular ese saber práctico dentro del manejocómo articular ese saber práctico dentro del manejo
del grupo al que la regla pertenece y, más endel grupo al que la regla pertenece y, más en
general, dentro del manejo del sistema en el quegeneral, dentro del manejo del sistema en el que
ésta se inserta.ésta se inserta.
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Es capaz de realizar inferencia con todas las reglasEs capaz de realizar inferencia con todas las reglas
de manera fluida.de manera fluida.

6. ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LAASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA
EXPOSICIÓN DE CADA REGLAEXPOSICIÓN DE CADA REGLA
 Hay seis aspectos de cada regla que se consideran dentroHay seis aspectos de cada regla que se consideran dentro
del sistema. Veamos un ejemplo:del sistema. Veamos un ejemplo:
1.1. NombreNombre:: Doble Negación.Doble Negación.
2.2. AbreviaturaAbreviatura:: DN.DN.
3.3. PresentaciónPresentación formalformal:: AA ≡≡ ∼∼∼∼A.A.
4.4. LecturaLectura estructuralestructural: Una fórmula equivale a su doble: Una fórmula equivale a su doble
negación.negación.
5.5. Prueba de validezPrueba de validez::
AA AA ≡≡ ∼∼∼∼AA
vv
ff
v vfv vf
v fvv fv

7. ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LAASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA
EXPOSICIÓN DE CADA REGLAEXPOSICIÓN DE CADA REGLA
6. Utilidad:6. Utilidad:

Individual:Individual: Permite introducir o eliminar el signo dePermite introducir o eliminar el signo de
negación en fórmulas o subfórmulas individuales.negación en fórmulas o subfórmulas individuales.

Grupal:Grupal: Misma que anterior, dado que el grupo deMisma que anterior, dado que el grupo de
reglas al que pertenece incluye una sola regla.reglas al que pertenece incluye una sola regla.

Sistémica:Sistémica: Es auxiliar de todas aquellas reglas queEs auxiliar de todas aquellas reglas que
incluyen negación.incluyen negación.

8. REGLA AUXILIARREGLA AUXILIAR
1.1. Doble NegaciónDoble Negación ((DNDN))
AA ≡≡ ∼∼∼∼AA

9. I. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARAI. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA
LA CONJUNCIÓN Y LA DISYUNCIÓNLA CONJUNCIÓN Y LA DISYUNCIÓN
22. Conjunción. Conjunción ((ConjConj)) 3.3. SimplificaciónSimplificación ((SimpSimp))
AA AA ∧∧ BB
BB____________ //∴∴ AA
//∴∴ AA ∧∧ BB
4.4. AdiciónAdición (Ad)(Ad) 5.5. Silogismo DisyuntivoSilogismo Disyuntivo ((SDSD))
AA____________ AA ∨∨ BB
//∴∴ AA ∨∨ BB ∼∼A __A __
//∴∴ BB

10. II. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARAII. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA
EL CONDICIONALEL CONDICIONAL
6.6. Modus PonensModus Ponens ((MPMP)) 7.7. Modus TollensModus Tollens ((MTMT))
AA ⊃⊃ BB AA ⊃⊃ BB
A___A_____ ∼∼B___B___
//∴∴ BB //∴∴ ∼∼AA
8.8. Silogismo HipotéticoSilogismo Hipotético ((SHSH))
AA ⊃⊃ BB
BB ⊃⊃ C___C___
//∴∴ AA ⊃⊃ CC

11. III. REGLAS DE EQUIVALENCIAIII. REGLAS DE EQUIVALENCIA
PARA LA CONJUNCIÓN Y LAPARA LA CONJUNCIÓN Y LA
DISYUNCIÓNDISYUNCIÓN
9.9. ConmutaciónConmutación ((ConmConm)) 10.10. AsociaciónAsociación ((AsocAsoc))
((AA ∧∧ BB)) ≡≡ ((BB ∧∧ AA)) [[AA ∧∧ ((BB ∧∧ CC)])] ≡≡ [(A[(A ∧∧ BB)) ∧∧ CC]]
((AA ∨∨ BB)) ≡≡ ((BB ∨∨ AA)) [[AA ∨∨ ((BB ∨∨ CC)])] ≡≡ [(A[(A ∨∨ BB)) ∨∨ CC]]
11.11. IdempotenciaIdempotencia ((IdemIdem)) 12.12. DistribuciónDistribución ((DistDist))
AA ≡≡ ((AA ∧∧ AA)) [[AA ∧∧ ((BB ∨∨ CC)])] ≡≡ [([(AA ∧∧ BB)) ∨∨ ((AA ∧∧ CC)])]
AA ≡≡ ((AA ∨∨ AA)) [[AA ∨∨ ((BB ∧∧ CC)])] ≡≡ [([(AA ∨∨ BB)) ∧∧ ((AA ∨∨
CC)])]

12. IV. REGLAS DE EQUIVALENCIAIV. REGLAS DE EQUIVALENCIA
PARA EL CONDICIONALPARA EL CONDICIONAL
13.13. TransposiciónTransposición ((TrTr)) 14.14. ExportaciónExportación ((ExpExp))
((AA ⊃⊃ BB)) ≡≡ ((∼∼BB ⊃⊃ ∼∼AA)) ((AA ∧∧ BB)) ⊃⊃ CC]] ≡≡ [[AA ⊃⊃ ((BB ⊃⊃ CC)])]
15.15. Distribución del CondicionalDistribución del Condicional ((DCDC))
[(A[(A ∨∨ BB)) ⊃⊃ CC)])] ≡≡ [(A[(A ⊃⊃ CC)) ∧∧ ((BB ⊃⊃ CC)])]
[A[A ⊃⊃ ((BB ∧∧ CC)])] ≡≡ [(A[(A ⊃⊃ BB)) ∧∧ ((AA ⊃⊃ CC)])]

13. V. REGLAS DE TRADUCCIÓNV. REGLAS DE TRADUCCIÓN
16.16. Leyes de MorganLeyes de Morgan ((de Mde M)) 17.17. Implicación MaterialImplicación Material((IMIM))
∼∼((AA ∧∧ BB)) ≡≡ ((∼∼AA ∨∨ ∼∼BB)) ((AA ⊃⊃ BB)) ≡≡ ((∼∼AA ∨∨ BB))
∼∼((AA ∨∨ BB)) ≡≡ ((∼∼AA ∧∧ ∼∼BB)) ((AA ⊃⊃ BB)) ≡≡ ∼∼((AA ∧∧ ∼∼BB))
18.18. Equivalencia MaterialEquivalencia Material ((EMEM)) 19.19. Ley ExpansivaLey Expansiva
FundamentalFundamental
((LEFLEF))
(A(A ≡≡ BB)) ≡≡ [(A[(A ⊃⊃ BB)) ∧∧ ((BB ⊃⊃ AA)])] AA ≡≡ [([(AA ∨∨ BB)) ∧∧ ((AA ∨∨ ∼∼BB)])]
(A(A ≡≡ BB)) ≡≡ [(A[(A ∧∧ BB)) ∨∨ ((∼∼AA ∧∧ ∼∼BB)])] AA ≡≡ [([(AA ∧∧ BB)) ∨∨ ((AA ∧∧ ∼∼BB)])]

14. GRACIAS POR SUSGRACIAS POR SUS
COMENTARIOS YCOMENTARIOS Y
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