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Disenos factoriales

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Diseño factorial

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Disenos factoriales

  1. 1. Diseño factorial En muchos experimentos interviene el estudio de los efectos de dos o más factores. En general, los diseños factoriales son los más eficientes para este tipo de experimentos. Por diseño factorial se entiende que en cada ensayo o réplica completa del experimento se investigan todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores
  2. 2. Definición general Arreglar a cond. nuestras Clasificación Diseño factorial A x B, completamente al azar Representación de los efectos factoriales Modelo estructural, análisis y componentes de variaciónDISEÑO FACTORIAL ESQUEMA GENERAL
  3. 3. Concepto El diseño factorial, como estructura de investigación, es la combinación de dos o más diseños simples (o unifactoriales); es decir, el diseño factorial requiere la manipulación simultánea de dos o más variables independientes (llamados factores), en un mismo experimento. ..//..
  4. 4. En función de la cantidad de factores o variables de tratamiento, los formatos factoriales se denominan, también, diseños de tratamientos x tratamientos, tratamientos x tratamientos x tratamientos, etc, y se simbolizan por AxB, AxBxC, etc.
  5. 5. Criterios de clasificación Por la cantidad de niveles Criterios Cantidad de combinaciones Tipo de control
  6. 6. Clasificación del diseño factorial por criterio A) Según la cantidad de niveles o valores por factor, el diseño factorial se clasifica en: Cantidad constante Cantidad de valores Cantidad variable
  7. 7. La notación del diseño es más sencilla cuando la cantidad de niveles por factor es igual (es decir, constante). Así, el diseño factorial de dos factores a dos niveles se representa por 2², el de tres factores por 23, etc. En términos generales, los diseños a dos niveles y con k factores se representan por 2k; a tres niveles, por 3k; a cuatro niveles por 4k, etc. ..//..
  8. 8. Cuando los factores actúan a más de dos niveles (es decir, cuando la cantidad de valores por factor es variable), el diseño se representa por 2 x 3, 2 x 3 x 4, etc. A su vez, cabe considerar la posibilidad de que, tanto en un caso como en otro, el diseño sea balanceado (proporcionado) o no balanceado (no proporcionado); es decir, diseños con igual cantidad de sujetos por casilla y diseños con desigual cantidad de sujetos por casilla.
  9. 9. B) El segundo criterio hace hincapié en la cantidad de combinaciones de tratamiento realizadas o ejecutadas. Con base a este criterio, el diseño factorial se clasifican en: Diseño factorial completo Cantidad de combinaciones de tratamiento Diseño factorial incompleto y fraccionado
  10. 10. Si el diseño factorial es completo, se realizan todas las posibles combinaciones entre los valores de las variables. Así, cada combinación de tratamientos determina un grupo experimental (grupo de tratamiento o casilla). Por ejemplo, el diseño factorial completo 2x2 determina cuatro grupos de tratamiento; un diseño 3x3 nueve grupos, etc. ..//..
  11. 11. Asumiendo que sólo se ejecute una parte del total de las combinaciones, el diseño factorial es incompleto o fraccionado, según el procedimiento seguido.
  12. 12. C) En función del control de variables extrañas. Diseño factorial completamente al azar Diseño factorial de bloques aleatorizados Diseño factorial de Cuadrado Grado de control Latino Diseño factorial jerárquico o anidado Diseño factorial de medidas repetidas
  13. 13. Según el control de los factores extraños y la reducción de la variancia del error, el diseño factorial puede ser, en primer lugar, completamente al azar; es decir, aquel formato donde sólo se aplica el azar como técnica de control y donde los grupos se forman mediante la asignación aleatoria de los sujetos. ..//..
  14. 14. En segundo lugar, el diseño factorial de bloques aleatorizados permite el control de una variable extraña. Según esa estrategia, cada bloque es un réplica completa del experimento, y los grupos intra bloque (dentro de cada bloque) se forman al azar. ..//..
  15. 15. Siguiendo con el criterio de bloques, el diseño factorial de Cuadrado Latino o de doble sistema de bloques controla dos fuentes de variación extrañas, aunque sólo se realiza una parte del total de combinaciones. ..//..
  16. 16. El diseño factorial jerárquico o anidado requiere la manipulación experimental de la variable y, al mismo tiempo, la anidación (o inclusión) de una variable dentro de las combinaciones de tratamientos de los factores. ..//..
  17. 17. Por último, el diseño factorial de medidas repetidas incorpora la técnica intra-sujeto; es decir, el sujeto actúa de control propio y recibe todas las combinaciones de tratamiento generados por la estructura factorial.
  18. 18. Criterios (resumen) Diseño Cantidad de valores por factor Igual cantidad de niveles: 2k, 3k, etc. Cantidad de niveles variable: 2x3; 2x3x4, etc. Cantidad de combinaciones de tratamientos Diseño factorial completo Diseño factorial incompleto y fraccionado Grado de control Diseño factorial completamente al azar Diseño factorial de bloques Diseño factorial de Cuadrado Latino Diseño factorial jerárquico Diseño factorial de medidas repetidas
  19. 19. Efectos factoriales estimables 1. Efectos simples 2. Efectos principales 3. Efectos secundarios
  20. 20. Efectos factoriales simples Es posible definir el efecto factorial simple como el efecto puntual de una variable independiente o factor para cada valor de la otra.
  21. 21. Efectos factoriales principales Los efectos factoriales principales, a diferencia de los simples, son el impacto global de cada factor considerado de forma independiente, es decir, el efecto global de un factor se deriva del promedio de los dos efectos simples.
  22. 22. Efectos factoriales secundarios El efecto secundario o de interacción se define por la relación entre los factores o variables independientes, es decir, el efecto cruzado.
  23. 23. Diseño factorial al azar 2x2
  24. 24. Estructura del diseño
  25. 25. Combinación de tratamientos por grupo o casilla Diseño factorial 2x2 A1B1 A1B2 A2B1 A2B2
  26. 26. Formato del diseño factorial completamente al azar s e l e c c M i P ó n Asignación al azar S1 S1 S1 S1 Sn1 Sn2 Sn3 Sn4 V.E. Z1 Z2 Z3 Z4 V.I. A1B1 A1B2 A2B1 A2B2
  27. 27. Caso paramétrico. Ejemplo Se pretende probar, en una situación de aprendizaje discriminante animal, si la magnitud del incentivo (variable incentivo) actúa según el aprendizaje sea simple o complejo (variable dificultad de aprendizaje o variable tarea). En esta hipótesis se afirma que a mayor incentivo, más acusada es la diferencia entre las dos tareas (simple o compleja). ..//..
  28. 28. Para ello, se registra la cantidad de discriminaciones correctas (variable dependiente) en función de un criterio general de aprendizaje, que asume como suficientes 15 ensayos. Se toma, como medida de la variable dependiente o de respuesta, la cantidad de respuestas correctas, para un máximo de 15, bajo el supuesto de que cada discriminación correcta tiene la misma dificultad de aprendizaje. ..//..
  29. 29. Para probar la hipótesis propuesta se asignan 32 sujetos, de una muestra experimental, a las combinaciones de tratamientos o casillas (ocho sujetos por casilla), de forma totalmente aleatoria.
  30. 30. Modelo de prueba de hipótesis Paso 1. Según la estructura del diseño son estimables tres efectos. Por esa razón, se plantean tres hipótesis de nulidad relativas a la variable A, variable B e interacción: H0: α1 = α2 = 0 H0: ß1 = ß2 = 0 H0: (αß)11 = (αß)12 = (αß)21 = (αß)22 = 0
  31. 31. Paso 2. Por hipótesis experimental, se espera que los efectos principales y el de la interacción sean significativos. Estas hipótesis se representan, al nivel estadístico, por H1: α1  α2, o no todas las α son cero H1: ß1  ß2, o no todas las ß son cero H1: (αß)11  (αß)12  (αß)21  (αß)22, o no todas las αß son cero.
  32. 32. Paso 3. El estadístico de la prueba es la F de Snedecor, con un α de 0.05, para las tres hipótesis de nulidad. El tamaño de la muestra experimental es N = 32 y el de las submuestras n = 8. Paso 4. Cálculo del valor empírico de las razones F. Para ello, se toma, de nuevo, la matriz de datos del experimento.
  33. 33. 60 7.5 70 8.75 27 3.375 52 6.5 8 6 9 9 8 7 7 6 7 9 10 8 10 9 10 7 4 3 4 5 2 3 4 2 10 9 4 8 8 4 3 6 A2B2A2B1A1B2A1B1 DISEÑO FACTORIAL 2X2 Totales: Medias: 209 6.53
  34. 34. ANOVA factorial
  35. 35. MODELO ESTRUCTURAL DEL AVAR: DISEÑO FACTORIAL 2X2 ijkjkkjijk εαββαμY +)(+++=
  36. 36. Espeficación del modelo Yijk = la puntuación del i sujeto bajo la combinación del j valor del factor A y el k valor del factor B. μ = la media común a todos los datos del experimento. αj = el efecto o impacto de j nivel de la variable de tratamiento A. ßk = efecto del k valor de la variable de tratamiento B. (αß)jk = efecto de la interacción entre el i valor de A y el k valor de B. εij = error experimental o efecto aleatorio de muestreo.
  37. 37. Descomposición polietápica de las Sumas de cuadrados SCA SCentre-grupos SCB SCtotal SCAB SCintra-grupos SCS/AB
  38. 38. Cálculo de las Sumas de Cuadrados: primera etapa SCtotal = SCentre-grupos + SCintra-grupos SCtotal = [(10)² + (9)² + ... + (6)²] – [(209)²/(8)(4)] = 203.97 SCentre-grupos = [(52)²/8 + (27)²/8 + ... +(60)²/8] – [(209)²/(32)] = 126.59 SCintra-grupos = [(10)² + (9)² + ... + (6)²] – [(52)²/8 + (27)²/8 + ... + (60)²/8] = 77.38
  39. 39. CUADRO RESUMEN DELAVAR PRIMERA ETAPA: DISEÑO FACTORIAL 2X2 F0.95(3/28) = 2.95 abn-1=31203.97Total (T) <0.0515.2842.19 2.76 ab-1=3 ab(n-1)=28 126.59 77.38 Entre G Intra G (E) pFCMg.l.SCF.V.
  40. 40. Inferencia del primer análisis Del primer análisis se concluye que los grupos de tratamiento o experimentales difieren significativamente entre sí; la probabilidad de que un valor F de 15.28 ocurra al azar es menor que el riesgo asumido (α = 0.05). ..//..
  41. 41. En consecuencia, se procede a determinar las causas de esa significación. Nótese que este análisis no obedece a ningún propósito de investigación, ya que sólo sirve para detectar si, en términos globales, hay o no diferencia entre los grupos. De hecho, es como si se hubiera aplicado un modelo uni-factorial de la variancia.
  42. 42. Cálculo de las Sumas de Cuadrados: segunda etapa SCentre-grupos = SCfactor A + SCfactor B + SCinteracción AxB El cálculo de estas Sumas de Cuadrados requiere la previa construcción de la tabla de los totales por columnas.
  43. 43. MATRIZ DE DATOS ACUMULADOS 20987122TOTALES 1306070A2 792752A1 TOTALESB2B1
  44. 44. Cálculo del valor empírico de las Sumas de cuadrados SCA = [(79)²/16 + (130)²/16] – [(209)²/32] = 81.28 SCB = [(122)²/16 + (87)²/16] – [(209)²/32] = 38.28 SCAB = SCentre-grupos – SCA – SCB = 126.59 – 81.28 - 38.28 = 7.03
  45. 45. CUADRO RESUMEN DELAVAR SEGUNDA ETAPA: DISEÑO FACTORIAL 2X2 <0.05 <0.05 >0.05 29.94 13.87 2.55 81.28 38.28 7.03 (a-1)=1 (b-1)=1 (a-1)(b-1)=1 81.28 38.28 7.03 Factor A Factor B Inter AxB F0.95(3/28) = 2.95; F0.95(1/28) = 4.20 abn-1=31203.97Total (T) <0.0515.2842.19 2.76 ab-1=3 ab(n-1)=28 126.59 77.37 Entre-g Intra-g pFCMg.lSCF.V.
  46. 46. Inferencia del segundo análisis Paso 5. De los resultados del análisis se infiere la no-aceptación de las hipótesis de nulidad para los efectos principales de A y B, con riesgo de error del 5 por ciento. En cambio, se acepta la hipótesis de nulidad para la interacción. En suma, sólo se deriva la significación de los efectos principales.
  47. 47. No interacción (Hipótesis nula) A1 A2 B1 B2
  48. 48. Interacción positiva A1 A2 B1 B2
  49. 49. Interacción negativa A1 A2 B1 B2
  50. 50. Interacción inversa A2 A1 B1 B2
  51. 51. Representación gráfica de la interacción A1 A2 B1 B2 Interacción nula A1 A2 B2 B1 Interacción positiva A1 A2 B2 B1 Interacción negativa A1 A2 B1 B2 Interacción inversa
  52. 52. MEDIAS DE GRUPOS DE TRATAMIENTO 7.58.75A2 3.386.5A1 B2B1
  53. 53. GRÁFICO INTERACCIÓN
  54. 54. Ventajas del diseño factorial Se ha descrito, a lo largo de ese tema, los conceptos básicos del diseño factorial o estructura donde se manipulan, dentro de una misma situación experimental, dos o más variables independientes (o factores). En aras a una mejor exposición del modelo se ha descrito, básicamente, el diseño bifactorial a dos niveles, dentro del contexto de grupos completamente al azar. ..//..
  55. 55. La disposición bifactorial aporta información no sólo de cada factor (efectos principales), sino de su acción combinada (efecto de interacción o efecto secundario). De esta forma, con la misma cantidad de sujetos requerida para experimentos de una sola variable independiente o factor, el investigador puede estudiar simultáneamente la acción de dos o más variables manipuladas. ..//..
  56. 56. Ello supone un enorme ahorro de tiempo y esfuerzo. Si se tiene en cuenta la posibilidad de analizar la acción conjunto o cruzada de las variables, se concluye que el diseño factorial es una de las mejores herramientas de trabajo del ámbito psicológico, puesto que la conducta es función de muchos factores que actúan simultáneamente sobre el individuo. ..//..
  57. 57. PROBLEMA 1 (Diseño de experimentos de dos niveles y 3 factores) En el mantenimiento de un Generador de Vapor, se desea mejorar el proceso de soldadura de un componente de acero inoxidable. Para lo cual se realiza un diseño de experimentos de 3 factores y 2 niveles. Factor Nivel bajo Nivel Alto A. Caudal de gas (l/min.) 8 12 B. Intensidad de Corriente (A) 230 240 C. Vel. de Cadena (m/min.) 0.6 1
  58. 58. Diseños factoriales 2 x 2 de bloques Bloque 1 Bloque 2 Bloque k …………………………………………. …………………………………………. A1B1 A2B1 A1B2 A2B2 S11 S12 S14S13 S21 S22 S24S23 Sk1 Sk2 Sk4Sk3
  59. 59. Pag. 177 Analisis estadístico del modelo factorial con valores fijos.+
  60. 60. DISEÑO FACTORIAL DE 2 FACTORES Hay a niveles del factor A y b niveles del factor B, los cuales se disponen en un diseño factorial; es decir, cada réplica del experimento contiene todas las ab combinaciones de los tratamientos. En general, hay n réplicas.
  61. 61. EJEMPLO DE UN DISEÑO FACTORIAL 2X2 Como ejemplo de un diseño factorial en el que intervienen dos factores, un ingeniero está diseñando una batería que se usará en un dispositivo que se someterá a variaciones de temperatura extremas. El único parámetro del diseño que puede seleccionar en este punto es el material de la placa o ánodo de la batería, y tiene tres elecciones posibles.
  62. 62. Cuando el dispositivo esté fabricado y se envíe al campo, el ingeniero no tendrá control sobre las temperaturas extremas en las que operará el dispositivo, pero sabe por experiencia que las altas temperaturas afectaran la vida media de las baterías. Las temperaturas si pueden ser reguladas en el laboratorio y se pueden realizar pruebas experimentales para lograr una batería más robusta o duradera. CONDICIONES DEL EXPERIMENTO

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