Estadística básica con R y R Commander

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Excelente manual de la Universidad de Cádiz para el uso de este excelente software estadístico

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Estadística básica con R y R Commander

  1. 1. Estad´ ıstica B´sica a conR y R–Commander
  2. 2. Estad´ ıstica B´sica a conR y R–Commander (Versi´n Febrero 2008) o Autores: A. J. Arriaza G´mez o F. Fern´ndez Palac´ a ın M. A. L´pez S´nchez o a M. Mu˜oz M´rquez n a S. P´rez Plaza e A. S´nchez Navas a
  3. 3. Copyright c 2008 Universidad de C´diz. Se concede permiso para copiar, distribuir y/o amodificar este documento bajo los t´rminos de la Licencia de Documentaci´n Libre de e oGNU, Versi´n 1.2 o cualquier otra versi´n posterior publicada por la Free Software Foun- o odation. Una traducci´n de la licencia est´ incluida en la secci´n titulada “Licencia de o a oDocumentaci´n Libre de GNU”. oCopyright c 2008 Universidad de C´diz. Permission is granted to copy, distribute and/or amodify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Ver-sion 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation. A copy of thelicense is included in the section entitled “GNU Free Documentation License”.Edita: Servicio de Publicaciones de la Universidad de C´diz aC/ Dr. Mara˜on, 3 n´11002 C´diz ahttp://www.uca.es/publicacionesISBN:Dep´sito legal: o
  4. 4. ´ Indice generalPr´logo o V 1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o V 2. History (Hist´rico) o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 3. Licencia de Documentaci´n Libre de GNU . . . . . . . . . IX o 4. GNU Free Documentation License . . . . . . . . . . . . . . XIX1 Comenzando con R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1 2. Instalaci´n de R y R–Commander . . . . . . . . . . . . . . o 3 3. Ejecuci´n de Rcmdr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 42 An´lisis Exploratorio de Datos Unidimensional . . . . a 5 1. La organizaci´n de la informaci´n . . . . . . . . . . . . . . o o 6
  5. 5. II ´ Indice general 2. Naturaleza de los caracteres: Atributos y Variables . . . . 8 3. An´lisis de atributos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 a 4. An´lisis de variables ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 13 a 5. An´lisis de variables de escala . . . . . . . . . . . . . . . . 17 a 6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 An´lisis Exploratorio de Datos multidimensional . . . 23 a 1. Tipos de relaciones entre caracteres . . . . . . . . . . . . . 24 2. An´lisis de relaciones entre dos atributos . . . . . . . . . . 25 a 3. An´lisis de relaciones entre dos variables . . . . . . . . . . 31 a 4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 Distribuciones de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1. Distribuciones discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2. Distribuciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3. Generaci´n de valores aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . 73 o 4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755 Inferencia cl´sica en poblaciones Normales . . . . . . . . . 81 a 1. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
  6. 6. III 2. Inferencias sobre una poblaci´n . . . . . . . . . . . . . . . 85 o 3. Inferencias sobre dos poblaciones . . . . . . . . . . . . . . 88 4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936 Inferencia no param´trica. Diagnosis del modelo . . . 97 e 1. Pruebas de aleatoriedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2. Pruebas de bondad de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3. Contrastes de localizaci´n y escala . . . . . . . . . . . . . . 106 o 4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107 Introducci´n al An´lisis de la Varianza . . . . . . . . . . . . 113 o a 1. Conceptos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 a 2. Diagnosis del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3. Test de la F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4. Alternativa no param´trica. Test de Kruskal Wallis . . . . 119 e 5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121A Ficheros de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123B Tabla de medidas estad´ ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125C Tabla de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
  7. 7. IV
  8. 8. Estad´ ıstica B´sica con R y R-commander a (Versi´n Febrero 2008) o Autores: A. J. Arriaza G´mez, F. Fern´ndez Palac´ o a ın, M. A. L´pez S´nchez, M. Mu˜oz M´rquez, S. P´rez Plaza, o a n a e A. S´nchez Navas a c 2008 Servicio de Publicaciones de la Universidad de C´diz a http://knuth.uca.es/ebrcmdr Pr´logo o1. Introducci´n o La Universidad de C´diz es pionera en Espa˜a en la b´squeda de a n usoluciones de conocimiento abierto, consciente de que es la forma m´s aeficiente de lograr sus objetivos institucionales relacionados con la do-cencia y la investigaci´n. En concreto, el Punto 1 del Art´ o ıculo 2 de susEstatutos, que describe los fines esenciales de la instituci´n, establece co- omo objetivo fundamental: “La creaci´n, desarrollo, transmisi´n y cr´ o o ıticade la ciencia, la t´cnica y la cultura y su integraci´n en el patrimonio e ointelectual heredado”. Mientras que en el Punto 6 del mismo art´ ıculodice: “Acoger, defender y promover los valores sociales e individualesque le son propios, tales como la libertad, el pluralismo, el respeto delas ideas y el esp´ ıritu cr´ ıtico, as´ como la b´squeda de la verdad”. ı u La creaci´n de la Oficina de Software Libre (OSLUCA) el 15 de omarzo de 2004, la aprobaci´n de la Normativa para el intercambio de oinformaci´n institucional el 27 de septiembre de 2004 y la utilizaci´n o ode herramientas de formato abierto en las aplicaciones de comunicaci´n oy gesti´n de la Universidad, son actuaciones que ponen de manifiesto oel decidido apoyo del Equipo de Gobierno de la UCA a las solucionesbasadas en formatos abiertos. Desde un plano mucho m´s modesto, bajo el auspicio del Vice- arrectorado de Tecnolog´ de la Informaci´n e Innovaci´n Docente y ıas o oa trav´s de la Oficina de Software Libre de la Universidad de e
  9. 9. VIC´diz (OSLUCA), nace el Proyecto R UCA. Dicho proyecto, cuyas l´ a ıneasprincipales de actuaci´n pueden consultarse en la p´gina web del proyec- o ato http://knuth.uca.es/R, contempla, entre otras acciones, la elabora-ci´n de material para la docencia y la investigaci´n, siendo en el primero o ode estos aspectos, el docente, en el que se enmarca este manual. En la misma l´ınea que nuestros ´rganos de gobierno, pensamos que ouna instituci´n como la Universidad debe preocuparse por proveer a sus omiembros de las mejores herramientas para desarrollar su tarea, en arasde la mejora global del conocimiento. Pero la creaci´n de conocimiento se over´ muy mermada si se emplean soluciones tecnol´gicas que se ofrecen a ocomo cajas negras, es decir que no pueden ser analizadas ni modificadas,y que adem´s limita fuertemente el uso que se haga de los resultados aque se consigan a partir de ellas. El uso de software propietario en ´reas como la Estad´ a ıstica, dondeexisten alternativas con igual o mejor calidad con licencia libre, no s´lo otiene consecuencias negativas desde un punto de vista econ´mico, sino oque supone un aut´ntico “harakiri” intelectual, porque limita el ejercicio ede uno de los aspectos que mejor caracterizan a nuestra instituci´n: su oesp´ıritu anal´ıtico y cr´ ıtico, ¿c´mo se va a fomentar ese esp´ o ıritu con eluso de herramientas absolutamente herm´ticas?, y si alguien consiguiera edescifrarlas y manipularlas se convertir´ formalmente en un delincuente. ıa Centr´ndonos en los aspectos intr´ a ınsecos de la cuesti´n, cuando onos planteamos confeccionar este manual, tuvimos claro que no quer´ ıamosense˜ar a manejar un programa, sino a hacer an´lisis estad´ n a ısticos con elapoyo de una herramienta que facilitara el c´lculo y la aplicaci´n de los a oprocedimientos. De ah´ el nombre del libro: “Estad´ ı ıstica b´sica con R y aRcmdr”. La decisi´n de elegir R fue f´cil, ning´n otro programa en la actua- o a ulidad re´ne las condiciones de madurez, cantidad de recursos y manejabi- ulidad que posee R, adem´s de ser el que tiene una mayor implantaci´n a oen la comunidad cient´ ıfica. El incorporar la interfaz gr´fica de usuario a(GUI) Rcmdr pretende, en primera instancia, facilitar el manejo de R y,en segundo lugar, servir como generador de instrucciones R. Es posible
  10. 10. 0.1 Introducci´n o VIIque muchos de nuestros alumnos no necesiten otro nivel de uso que elque proporciona Rcmdr, pero unos pocos y la mayor´ del personal ıainvestigador, una vez superado el respeto inicial a la herramienta, sedecantar´n por manejarse directamente con la consola de R, creando y aeditando instrucciones con una evidente econom´ de recursos y, lo que ıaes m´s importante, con un control total sobre los procedimientos que en acada momento se van a aplicar. Respecto a los contenidos, el libro pretende abarcar las necesidadespr´cticas de un programa b´sico de estad´ a a ıstica, y as´ salvo el primer ı,cap´ ıtulo, donde se presenta de forma muy sucinta el software, el restoest´ dedicado a los t´picos habituales de un curso introductorio: An´lisis a o aExploratorio en una y dos Dimensiones, Distribuciones de Probabilidad,Inferencia Param´trica y no Param´trica y An´lisis de la Varianza de e e aun Factor. El esquema de presentaci´n de los temas incluye una breve odescripci´n de los conceptos, la resoluci´n de una serie de ejemplos con o ola ayuda de R y la propuesta de ejercicios para evaluar los conocimientosadquiridos. Al objeto de facilitar el uso del software, los primeros cap´ ıtulosest´n soportados b´sicamente sobre la interfaz Rcmdr. A partir del a acap´ıtulo 5 aumenta el uso de funciones construidas directamente en elindicador de mandatos, en parte por necesidad y en parte por moti-vos estrat´gicos, puesto que para entonces consideramos que nuestros ealumnos est´n bien familiarizados con la sintaxis de las funciones de R. a Esperamos que este manual sea de utilidad y, en cualquier casoy con m´s motivos, dado que se trata de la primera versi´n, ponemos a onuestro trabajo a disposici´n de la comunidad cient´ o ıfica para que sehagan las mejoras, ampliaciones y adaptaciones que se deseen. Los autores,
  11. 11. VIII2. History (Hist´rico) o Este libro surge como material de apoyo a un curso de estad´ ısticab´sica con R. La g´nesis est´ en la creaci´n del proyecto R UCA en mayo a e a odel 2007 y su primera versi´n ve la luz en enero de ese mismo a˜o. Los o nautores en orden alfab´tico inverso son Antonio S´nchez Navas, Sonia e aP´rez Plaza, Manuel Mu˜oz M´rquez, Mar´a Auxiliadora L´pez S´nchez, e n a ı o aFernando Fern´ndez Palac´n y Antonio Jes´s Arriaza G´mez. a ı u o Una versi´n electr´nica de este documento se encuentra en: o o http://knuth.uca.es/ebrcmdr
  12. 12. IX3. Licencia de Documentaci´n Libre de GNU o This is an unofficial translation of the GNU Free Documentation License(Version 1.2, Noviembre 2002) into Spanish. It was not published by the FreeSoftware Foundation, and does not legally state the distribution terms for do-cumentation that uses the GNU FDL – only the original English text of theGNU FDL does that. However, we hope that this translation will help Spanishspeakers understand the GNU FDL better. ´ Esta es una traducci´n no oficial de la GNU Free Document License o(Versi´n 1.2, Noviembre 2002) a Espa˜ ol (Castellano). No ha sido publica- o nda por la Free Software Foundation y no establece legalmente los t´rminos ede distribuci´n para trabajos que usen la GFDL (s´lo el texto de la ver- o osi´n original en Ingl´s de la GFDL lo hace). Sin embargo, esperamos que o eesta traducci´n ayude los hispanohablantes a entender mejor la GFDL. La oversi´n original de la GFDL esta disponible en la Free Software Foundation. ohttp://www.gnu.org/copyleft/fdl.html Esta traducci´n est´ basada en una o ade la versi´n 1.1 de Igor T´mara y Pablo Reyes. Sin embargo la responsabilidad o ade su interpretaci´n es de Joaqu´ Seoane. o ın Copyright (C) 2000, 2001, 2002 Free Software Foundation, Inc. 59 Tem-ple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA. Se permite la copia y dis-tribuci´n de copias literales de este documento de licencia, pero no se permiten ocambios1 . Pre´mbulo a El prop´sito de esta Licencia es permitir que un manual, libro de texto, u ootro documento escrito sea “libre” en el sentido de libertad: asegurar a todo elmundo la libertad efectiva de copiarlo y redistribuirlo, con o sin modificaciones,de manera comercial o no. En segundo t´rmino, esta Licencia proporciona al eautor y al editor2 una manera de obtener reconocimiento por su trabajo, sinque se le considere responsable de las modificaciones realizadas por otros. Esta Licencia es de tipo “copyleft”, lo que significa que los trabajosderivados del documento deben a su vez ser libres en el mismo sentido. Com-plementa la Licencia P´ blica General de GNU, que es una licencia tipo copyleft udise˜ ada para el software libre. n 1´ Esta es la traducci´n del Copyright de la Licencia, no es el Copyright de esta otraducci´n no autorizada. o 2 La licencia original dice “publisher”, que es, estrictamente, quien publica, dife-rente de editor, que es m´s bien quien prepara un texto para publicar. En castellano aeditor se usa para ambas cosas.
  13. 13. X Hemos dise˜ ado esta Licencia para usarla en manuales de software libre, nya que el software libre necesita documentaci´n libre: un programa libre debe ovenir con manuales que ofrezcan la mismas libertades que el software. Pero estalicencia no se limita a manuales de software; puede usarse para cualquier texto,sin tener en cuenta su tem´tica o si se publica como libro impreso o no. a Recomendamos esta licencia principalmente para trabajos cuyo fin seainstructivo o de referencia. 1. Aplicabilidad y definiciones Esta Licencia se aplica a cualquier manual u otro trabajo, en cualquiersoporte, que contenga una nota del propietario de los derechos de autor queindique que puede ser distribuido bajo los t´rminos de esta Licencia. Tal nota egarantiza en cualquier lugar del mundo, sin pago de derechos y sin l´ ımite detiempo, el uso de dicho trabajo seg´ n las condiciones aqu´ estipuladas. En u ıadelante la palabra “Documento” se referir´ a cualquiera de dichos manuales ao trabajos. Cualquier persona es un licenciatario y ser´ referido como “Usted”. aUsted acepta la licencia si copia. modifica o distribuye el trabajo de cualquiermodo que requiera permiso seg´ n la ley de propiedad intelectual. u Una “Versi´n Modificada” del Documento significa cualquier trabajo oque contenga el Documento o una porci´n del mismo, ya sea una copia literal oo con modificaciones y/o traducciones a otro idioma. Una “Secci´n Secundaria” es un ap´ndice con t´ o e ıtulo o una secci´n opreliminar del Documento que trata exclusivamente de la relaci´n entre los oautores o editores y el tema general del Documento (o temas relacionados)pero que no contiene nada que entre directamente en dicho tema general (porejemplo, si el Documento es en parte un texto de matem´ticas, una Secci´n a oSecundaria puede no explicar nada de matem´ticas). La relaci´n puede ser a ouna conexi´n hist´rica con el tema o temas relacionados, o una opini´n legal, o o ocomercial, filos´fica, ´tica o pol´ o e ıtica acerca de ellos. Las “Secciones Invariantes” son ciertas Secciones Secundarias cuyost´ ıtulos son designados como Secciones Invariantes en la nota que indica que eldocumento es liberado bajo esta Licencia. Si una secci´n no entra en la defini- oci´n de Secundaria, no puede designarse como Invariante. El documento puede ono tener Secciones Invariantes. Si el Documento no identifica las Secciones In-variantes, es que no las tiene. Los “Textos de Cubierta” son ciertos pasajes cortos de texto que selistan como Textos de Cubierta Delantera o Textos de Cubierta Trasera en lanota que indica que el documento es liberado bajo esta Licencia. Un Texto de
  14. 14. XICubierta Delantera puede tener como mucho 5 palabras, y uno de CubiertaTrasera puede tener hasta 25 palabras. Una copia “Transparente” del Documento, significa una copia paralectura en m´quina, representada en un formato cuya especificaci´n est´ dis- a o aponible al p´ blico en general, apto para que los contenidos puedan ser vistos uy editados directamente con editores de texto gen´ricos o (para im´genes com- e apuestas por puntos) con programas gen´ricos de manipulaci´n de im´genes o e o a(para dibujos) con alg´ n editor de dibujos ampliamente disponible, y que sea uadecuado como entrada para formateadores de texto o para su traducci´n au- otom´tica a formatos adecuados para formateadores de texto. Una copia hecha aen un formato definido como Transparente, pero cuyo marcaje o ausencia de´l haya sido dise˜ ado para impedir o dificultar modificaciones posteriores pore nparte de los lectores no es Transparente. Un formato de imagen no es Trans-parente si se usa para una cantidad de texto sustancial. Una copia que no es“Transparente” se denomina “Opaca”. Como ejemplos de formatos adecuados para copias Transparentes est´n aASCII puro sin marcaje, formato de entrada de Texinfo, formato de entradade L TEX, SGML o XML usando una DTD disponible p´ blicamente, y HTML, A uPostScript o PDF simples, que sigan los est´ndares y dise˜ados para que los a nmodifiquen personas. Ejemplos de formatos de imagen transparentes son PNG,XCF y JPG. Los formatos Opacos incluyen formatos propietarios que pue-den ser le´ ıdos y editados unicamente en procesadores de palabras propietarios, ´SGML o XML para los cu´les las DTD y/o herramientas de procesamiento ano est´n ampliamente disponibles, y HTML, PostScript o PDF generados por ealgunos procesadores de palabras s´lo como salida. o La “Portada” significa, en un libro impreso, la p´gina de t´ a ıtulo, m´s las ap´ginas siguientes que sean necesarias para mantener legiblemente el material aque esta Licencia requiere en la portada. Para trabajos en formatos que notienen p´gina de portada como tal, “Portada” significa el texto cercano a la aaparici´n m´s prominente del t´ o a ıtulo del trabajo, precediendo el comienzo delcuerpo del texto. Una secci´n “Titulada XYZ” significa una parte del Documento cuyo ot´ ıtulo es precisamente XYZ o contiene XYZ entre par´ntesis, a continuaci´n e ode texto que traduce XYZ a otro idioma (aqu´ XYZ se refiere a nombres de ısecci´n espec´ o ıficos mencionados m´s abajo, como “Agradecimientos”, “De- adicatorias”, “Aprobaciones” o “Historia”. “Conservar el T´ ıtulo” de talsecci´n cuando se modifica el Documento significa que permanece una secci´n o o“Titulada XYZ” seg´ n esta definici´n3 . u o 3 En sentido estricto esta licencia parece exigir que los t´ ıtulos sean exactamen-te “Acknowledgements”, “Dedications”, “Endorsements” e “History”, en
  15. 15. XII El Documento puede incluir Limitaciones de Garant´ cercanas a la nota ıadonde se declara que al Documento se le aplica esta Licencia. Se considera queestas Limitaciones de Garant´ est´n incluidas, por referencia, en la Licencia, ıa apero s´lo en cuanto a limitaciones de garant´ cualquier otra implicaci´n que o ıa: oestas Limitaciones de Garant´ puedan tener es nula y no tiene efecto en el ıasignificado de esta Licencia. 2. Copia literal Usted puede copiar y distribuir el Documento en cualquier soporte, seaen forma comercial o no, siempre y cuando esta Licencia, las notas de copyrighty la nota que indica que esta Licencia se aplica al Documento se reproduzcan entodas las copias y que usted no a˜ ada ninguna otra condici´n a las expuestas en n oesta Licencia. Usted no puede usar medidas t´cnicas para obstruir o controlar la electura o copia posterior de las copias que usted haga o distribuya. Sin embargo,usted puede aceptar compensaci´n a cambio de las copias. Si distribuye un on´ mero suficientemente grande de copias tambi´n deber´ seguir las condiciones u e ade la secci´n 3. o Usted tambi´n puede prestar copias, bajo las mismas condiciones esta- eblecidas anteriormente, y puede exhibir copias p´ blicamente. u 3. Copiado en cantidad Si publica copias impresas del Documento (o copias en soportes quetengan normalmente cubiertas impresas) que sobrepasen las 100, y la nota delicencia del Documento exige Textos de Cubierta, debe incluir las copias concubiertas que lleven en forma clara y legible todos esos Textos de Cubierta:Textos de Cubierta Delantera en la cubierta delantera y Textos de CubiertaTrasera en la cubierta trasera. Ambas cubiertas deben identificarlo a Ustedclara y legiblemente como editor de tales copias. La cubierta debe mostrarel t´ ıtulo completo con todas las palabras igualmente prominentes y visibles.Adem´s puede a˜ adir otro material en las cubiertas. Las copias con cambios a nlimitados a las cubiertas, siempre que conserven el t´ıtulo del Documento ysatisfagan estas condiciones, pueden considerarse como copias literales. Si los textos requeridos para la cubierta son muy voluminosos para queajusten legiblemente, debe colocar los primeros (tantos como sea razonablecolocar) en la verdadera cubierta y situar el resto en p´ginas adyacentes. a Si Usted publica o distribuye copias Opacas del Documento cuya canti-dad exceda las 100, debe incluir una copia Transparente, que pueda ser le´ ıdaingl´s. e
  16. 16. XIIIpor una m´quina, con cada copia Opaca, o bien mostrar, en cada copia Opaca, auna direcci´n de red donde cualquier usuario de la misma tenga acceso por omedio de protocolos p´ blicos y estandarizados a una copia Transparente del uDocumento completa, sin material adicional. Si usted hace uso de la ultima ´opci´n, deber´ tomar las medidas necesarias, cuando comience la distribuci´n o a ode las copias Opacas en cantidad, para asegurar que esta copia Transparentepermanecer´ accesible en el sitio establecido por lo menos un a˜ o despu´s de a n ela ultima vez que distribuya una copia Opaca de esa edici´n al p´ blico (direc- ´ o utamente o a trav´s de sus agentes o distribuidores). e Se solicita, aunque no es requisito, que se ponga en contacto con losautores del Documento antes de redistribuir gran n´ mero de copias, para darles ula oportunidad de que le proporcionen una versi´n actualizada del Documento. o 4. Modificaciones Puede copiar y distribuir una Versi´n Modificada del Documento bajo las ocondiciones de las secciones 2 y 3 anteriores, siempre que usted libere la Versi´n oModificada bajo esta misma Licencia, con la Versi´n Modificada haciendo el orol del Documento, por lo tanto dando licencia de distribuci´n y modificaci´n o ode la Versi´n Modificada a quienquiera posea una copia de la misma. Adem´s, o adebe hacer lo siguiente en la Versi´n Modificada: o A. Usar en la Portada (y en las cubiertas, si hay alguna) un t´ ıtulo distinto al del Documento y de sus versiones anteriores (que deber´n, si hay alguna, a estar listadas en la secci´n de Historia del Documento). Puede usar el o mismo t´ ıtulo de versiones anteriores al original siempre y cuando quien las public´ originalmente otorgue permiso. o B. Listar en la Portada, como autores, una o m´s personas o entidades a responsables de la autor´ de las modificaciones de la Versi´n Modificada, ıa o junto con por lo menos cinco de los autores principales del Documento (todos sus autores principales, si hay menos de cinco), a menos que le eximan de tal requisito. C. Mostrar en la Portada como editor el nombre del editor de la Versi´n o Modificada. D. Conservar todas las notas de copyright del Documento. E. A˜ adir una nota de copyright apropiada a sus modificaciones, adyacente n a las otras notas de copyright.
  17. 17. XIV F. Incluir, inmediatamente despu´s de las notas de copyright, una nota de e licencia dando el permiso para usar la Versi´n Modificada bajo los t´rmi- o e nos de esta Licencia, como se muestra en la Adenda al final de este documento. G. Conservar en esa nota de licencia el listado completo de las Secciones Invariantes y de los Textos de Cubierta que sean requeridos en la nota de Licencia del Documento original. H. Incluir una copia sin modificaci´n de esta Licencia. o I. Conservar la secci´n Titulada “Historia”, conservar su T´ o ıtulo y a˜ adirle n un elemento que declare al menos el t´ ıtulo, el a˜ o, los nuevos autores y n el editor de la Versi´n Modificada, tal como figuran en la Portada. Si o no hay una secci´n Titulada “Historia” en el Documento, crear una o estableciendo el t´ ıtulo, el a˜ o, los autores y el editor del Documento, tal n como figuran en su Portada, a˜ adiendo adem´s un elemento describiendo n a la Versi´n Modificada, como se estableci´ en la oraci´n anterior. o o o J. Conservar la direcci´n en red, si la hay, dada en el Documento para el o acceso p´ blico a una copia Transparente del mismo, as´ como las otras u ı direcciones de red dadas en el Documento para versiones anteriores en las que estuviese basado. Pueden ubicarse en la secci´n “Historia”. Se o puede omitir la ubicaci´n en red de un trabajo que haya sido publicado o por lo menos cuatro a˜ os antes que el Documento mismo, o si el editor n original de dicha versi´n da permiso. o K. En cualquier secci´n Titulada “Agradecimientos” o “Dedicatorias”, o Conservar el T´ıtulo de la secci´n y conservar en ella toda la sustancia o y el tono de los agradecimientos y/o dedicatorias incluidas por cada contribuyente. L. Conservar todas las Secciones Invariantes del Documento, sin alterar su texto ni sus t´ ıtulos. N´ meros de secci´n o el equivalente no son conside- u o rados parte de los t´ıtulos de la secci´n. o M. Borrar cualquier secci´n titulada “Aprobaciones”. Tales secciones no o pueden estar incluidas en las Versiones Modificadas. N. No cambiar el t´ ıtulo de ninguna secci´n existente a “Aprobaciones” ni o a uno que entre en conflicto con el de alguna Secci´n Invariante. o O. Conservar todas las Limitaciones de Garant´ ıa. Si la Versi´n Modificada incluye secciones o ap´ndices nuevos que ca- o elifiquen como Secciones Secundarias y contienen material no copiado del Do-cumento, puede opcionalmente designar algunas o todas esas secciones como
  18. 18. XVinvariantes. Para hacerlo, a˜ ada sus t´ n ıtulos a la lista de Secciones Invariantesen la nota de licencia de la Versi´n Modificada. Tales t´ o ıtulos deben ser distintosde cualquier otro t´ıtulo de secci´n. o Puede a˜ adir una secci´n titulada “Aprobaciones”, siempre que con- n otenga unicamente aprobaciones de su Versi´n Modificada por otras fuentes ´ o–por ejemplo, observaciones de peritos o que el texto ha sido aprobado por unaorganizaci´n como la definici´n oficial de un est´ndar. o o a Puede a˜ adir un pasaje de hasta cinco palabras como Texto de Cubierta nDelantera y un pasaje de hasta 25 palabras como Texto de Cubierta Trasera enla Versi´n Modificada. Una entidad solo puede a˜ adir (o hacer que se a˜ ada) o n nun pasaje al Texto de Cubierta Delantera y uno al de Cubierta Trasera. Si elDocumento ya incluye textos de cubiertas a˜ adidos previamente por usted o npor la misma entidad que usted representa, usted no puede a˜adir otro; pero npuede reemplazar el anterior, con permiso expl´ ıcito del editor que agreg´ el otexto anterior. Con esta Licencia ni los autores ni los editores del Documento dan permi-so para usar sus nombres para publicidad ni para asegurar o implicar aprobaci´n ode cualquier Versi´n Modificada. o 5. Combinaci´n de documentos o Usted puede combinar el Documento con otros documentos liberadosbajo esta Licencia, bajo los t´rminos definidos en la secci´n 4 anterior para e oversiones modificadas, siempre que incluya en la combinaci´n todas las Sec- ociones Invariantes de todos los documentos originales, sin modificar, listadastodas como Secciones Invariantes del trabajo combinado en su nota de licencia.As´ mismo debe incluir la Limitaci´n de Garant´ ı o ıa. El trabajo combinado necesita contener solamente una copia de esta Li-cencia, y puede reemplazar varias Secciones Invariantes id´nticas por una sola ecopia. Si hay varias Secciones Invariantes con el mismo nombre pero con conte-nidos diferentes, haga el t´ ıtulo de cada una de estas secciones unico a˜ adi´ndole ´ n eal final del mismo, entre par´ntesis, el nombre del autor o editor original de esa esecci´n, si es conocido, o si no, un n´ mero unico. Haga el mismo ajuste a los o u ´t´ ıtulos de secci´n en la lista de Secciones Invariantes de la nota de licencia del otrabajo combinado. En la combinaci´n, debe combinar cualquier secci´n Titulada “Histo- o oria” de los documentos originales, formando una secci´n Titulada “Historia”; ode la misma forma combine cualquier secci´n Titulada “Agradecimientos”, oy cualquier secci´n Titulada “Dedicatorias”. Debe borrar todas las secciones otituladas “Aprobaciones”.
  19. 19. XVI 6. Colecciones de documentos Puede hacer una colecci´n que conste del Documento y de otros docu- omentos liberados bajo esta Licencia, y reemplazar las copias individuales deesta Licencia en todos los documentos por una sola copia que est´ incluida en ela colecci´n, siempre que siga las reglas de esta Licencia para cada copia literal ode cada uno de los documentos en cualquiera de los dem´s aspectos. a Puede extraer un solo documento de una de tales colecciones y distri-buirlo individualmente bajo esta Licencia, siempre que inserte una copia deesta Licencia en el documento extra´ y siga esta Licencia en todos los dem´s ıdo, aaspectos relativos a la copia literal de dicho documento. 7. Agregaci´n con trabajos independientes o Una recopilaci´n que conste del Documento o sus derivados y de otros odocumentos o trabajos separados e independientes, en cualquier soporte dealmacenamiento o distribuci´n, se denomina un “agregado” si el copyright oresultante de la compilaci´n no se usa para limitar los derechos de los usuarios ode la misma m´s all´ de lo que los de los trabajos individuales permiten. Cuando a ael Documento se incluye en un agregado, esta Licencia no se aplica a otrostrabajos del agregado que no sean en s´ mismos derivados del Documento. ı Si el requisito de la secci´n 3 sobre el Texto de Cubierta es aplicable a oestas copias del Documento y el Documento es menor que la mitad del agregadoentero, los Textos de Cubierta del Documento pueden colocarse en cubiertasque enmarquen solamente el Documento dentro del agregado, o el equivalenteelectr´nico de las cubiertas si el documento est´ en forma electr´nica. En caso o a ocontrario deben aparecer en cubiertas impresas enmarcando todo el agregado. 8. Traducci´n o La Traducci´n es considerada como un tipo de modificaci´n, por lo que o ousted puede distribuir traducciones del Documento bajo los t´rminos de la esecci´n 4. El reemplazo de las Secciones Invariantes con traducciones requiere opermiso especial de los due˜ os de derecho de autor, pero usted puede a˜ adir n ntraducciones de algunas o todas las Secciones Invariantes a las versiones origi-nales de las mismas. Puede incluir una traducci´n de esta Licencia, de todas olas notas de licencia del documento, as´ como de las Limitaciones de Garant´ ı ıa,siempre que incluya tambi´n la versi´n en Ingl´s de esta Licencia y las ver- e o esiones originales de las notas de licencia y Limitaciones de Garant´ En caso ıa.
  20. 20. XVIIde desacuerdo entre la traducci´n y la versi´n original en Ingl´s de esta Licen- o o ecia, la nota de licencia o la limitaci´n de garant´ la versi´n original en Ingl´s o ıa, o eprevalecer´. a Si una secci´n del Documento est´ Titulada “Agradecimientos”, “De- o adicatorias” o “Historia” el requisito (secci´n 4) de Conservar su T´ o ıtulo (Sec-ci´n 1) requerir´, t´ o a ıpicamente, cambiar su t´ ıtulo. 9. Terminaci´n o Usted no puede copiar, modificar, sublicenciar o distribuir el Documentosalvo por lo permitido expresamente por esta Licencia. Cualquier otro intentode copia, modificaci´n, sublicenciamiento o distribuci´n del Documento es nulo, o oy dar´ por terminados autom´ticamente sus derechos bajo esa Licencia. Sin a aembargo, los terceros que hayan recibido copias, o derechos, de usted bajo estaLicencia no ver´n terminadas sus licencias, siempre que permanezcan en total aconformidad con ella. 10. Revisiones futuras de esta licencia De vez en cuando la Free Software Foundation puede publicar versionesnuevas y revisadas de la Licencia de Documentaci´n Libre GNU. Tales versiones onuevas ser´n similares en esp´ a ıritu a la presente versi´n, pero pueden diferir en odetalles para solucionar nuevos problemas o intereses. Vea http://www.gnu.org/copyleft/. Cada versi´n de la Licencia tiene un n´ mero de versi´n que la distingue. o u oSi el Documento especifica que se aplica una versi´n numerada en particular ode esta licencia o “cualquier versi´n posterior”, usted tiene la opci´n de o oseguir los t´rminos y codiciones de la versi´n especificada o cualquiera posterior e oque haya sido publicada (no como borrador) por la Free Software Foundation.Si el Documento no especifica un n´ mero de versi´n de esta Licencia, puede u oescoger cualquier versi´n que haya sido publicada (no como borrador) por la oFree Software Foundation. ADENDA: C´mo usar esta Licencia en sus documentos o Para usar esta licencia en un documento que usted haya escrito, incluyauna copia de la Licencia en el documento y ponga el siguiente copyright y notade licencia justo despu´s de la p´gina de t´ e a ıtulo:
  21. 21. XVIII ˜ Copyright (c) ANO SU NOMBRE. Se concede permiso para co- piar, distribuir y/o modificar este documento bajo los t´rminos de e la Licencia de Documentaci´n Libre de GNU, Versi´n 1.2 o cual- o o quier otra versi´n posterior publicada por la Free Software Founda- o tion; sin Secciones Invariantes ni Textos de Cubierta Delantera ni Textos de Cubierta Trasera. Una copia de la licencia est´ incluida a en la secci´n titulada GNU Free Documentation License. o Si tiene Secciones Invariantes, Textos de Cubierta Delantera y Textos deCubierta Trasera, reemplace la frase “sin ... Trasera” por esto: siendo las Secciones Invariantes LISTE SUS T´ ITULOS, siendo los Textos de Cubierta Delantera LISTAR, y siendo sus Textos de Cubierta Trasera LISTAR. Si tiene Secciones Invariantes sin Textos de Cubierta o cualquier otracombinaci´n de los tres, mezcle ambas alternativas para adaptarse a la situa- oci´n. o Si su documento contiene ejemplos de c´digo de programa no triviales, orecomendamos liberar estos ejemplos en paralelo bajo la licencia de softwarelibre que usted elija, como la Licencia P´ blica General de GNU (“GNU Ge- uneral Public License”), para permitir su uso en software libre.
  22. 22. XIX4. GNU Free Documentation License Version 1.2, November 2002 Copyright c 2000,2001,2002 Free Software Foundation, Inc. 51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies of this license document, but changing it is not allowed. Preamble The purpose of this License is to make a manual, textbook, or other fun-ctional and useful document “free”in the sense of freedom: to assure everyonethe effective freedom to copy and redistribute it, with or without modifying it,either commercially or noncommercially. Secondarily, this License preserves forthe author and publisher a way to get credit for their work, while not beingconsidered responsible for modifications made by others. This License is a kind of “copyleft”, which means that derivative worksof the document must themselves be free in the same sense. It complementsthe GNU General Public License, which is a copyleft license designed for freesoftware. We have designed this License in order to use it for manuals for freesoftware, because free software needs free documentation: a free program shouldcome with manuals providing the same freedoms that the software does. Butthis License is not limited to software manuals; it can be used for any textualwork, regardless of subject matter or whether it is published as a printed book.We recommend this License principally for works whose purpose is instructionor reference. 1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS This License applies to any manual or other work, in any medium, thatcontains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributedunder the terms of this License. Such a notice grants a world-wide, royalty-freelicense, unlimited in duration, to use that work under the conditions statedherein. The “Document”, below, refers to any such manual or work. Anymember of the public is a licensee, and is addressed as “you”. You accept the
  23. 23. XXlicense if you copy, modify or distribute the work in a way requiring permissionunder copyright law. A “Modified Version” of the Document means any work containingthe Document or a portion of it, either copied verbatim, or with modificationsand/or translated into another language. A “Secondary Section” is a named appendix or a front-matter sectionof the Document that deals exclusively with the relationship of the publishersor authors of the Document to the Document’s overall subject (or to relatedmatters) and contains nothing that could fall directly within that overall sub-ject. (Thus, if the Document is in part a textbook of mathematics, a SecondarySection may not explain any mathematics.) The relationship could be a matterof historical connection with the subject or with related matters, or of legal,commercial, philosophical, ethical or political position regarding them. The “Invariant Sections” are certain Secondary Sections whose titlesare designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says thatthe Document is released under this License. If a section does not fit the abovedefinition of Secondary then it is not allowed to be designated as Invariant.The Document may contain zero Invariant Sections. If the Document does notidentify any Invariant Sections then there are none. The “Cover Texts” are certain short passages of text that are listed,as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that theDocument is released under this License. A Front-Cover Text may be at most5 words, and a Back-Cover Text may be at most 25 words. A “Transparent” copy of the Document means a machine-readablecopy, represented in a format whose specification is available to the generalpublic, that is suitable for revising the document straightforwardly with generictext editors or (for images composed of pixels) generic paint programs or (fordrawings) some widely available drawing editor, and that is suitable for inputto text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitablefor input to text formatters. A copy made in an otherwise Transparent fileformat whose markup, or absence of markup, has been arranged to thwart ordiscourage subsequent modification by readers is not Transparent. An imageformat is not Transparent if used for any substantial amount of text. A copythat is not “Transparent”is called “Opaque”. Examples of suitable formats for Transparent copies include plain AS-CII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML orXML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML,PostScript or PDF designed for human modification. Examples of transparentimage formats include PNG, XCF and JPG. Opaque formats include proprie-
  24. 24. XXItary formats that can be read and edited only by proprietary word processors,SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generallyavailable, and the machine-generated HTML, PostScript or PDF produced bysome word processors for output purposes only. The “Title Page” means, for a printed book, the title page itself, plussuch following pages as are needed to hold, legibly, the material this Licenserequires to appear in the title page. For works in formats which do not haveany title page as such, “Title Page”means the text near the most prominentappearance of the work’s title, preceding the beginning of the body of the text. A section “Entitled XYZ” means a named subunit of the Documentwhose title either is precisely XYZ or contains XYZ in parentheses followingtext that translates XYZ in another language. (Here XYZ stands for a speci-fic section name mentioned below, such as “Acknowledgements”, “Dedi-cations”, “Endorsements”, or “History”.) To “Preserve the Title” ofsuch a section when you modify the Document means that it remains a section“Entitled XYZ.according to this definition. The Document may include Warranty Disclaimers next to the noticewhich states that this License applies to the Document. These Warranty Dis-claimers are considered to be included by reference in this License, but onlyas regards disclaiming warranties: any other implication that these WarrantyDisclaimers may have is void and has no effect on the meaning of this License. 2. VERBATIM COPYING You may copy and distribute the Document in any medium, either com-mercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices,and the license notice saying this License applies to the Document are repro-duced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to thoseof this License. You may not use technical measures to obstruct or controlthe reading or further copying of the copies you make or distribute. However,you may accept compensation in exchange for copies. If you distribute a largeenough number of copies you must also follow the conditions in section 3. You may also lend copies, under the same conditions stated above, andyou may publicly display copies. 3. COPYING IN QUANTITY If you publish printed copies (or copies in media that commonly haveprinted covers) of the Document, numbering more than 100, and the Docu-
  25. 25. XXIIment’s license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in co-vers that carry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Textson the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers mustalso clearly and legibly identify you as the publisher of these copies. The frontcover must present the full title with all words of the title equally prominentand visible. You may add other material on the covers in addition. Copyingwith changes limited to the covers, as long as they preserve the title of theDocument and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying inother respects. If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly,you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actualcover, and continue the rest onto adjacent pages. If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbe-ring more than 100, you must either include a machine-readable Transparentcopy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy acomputer-network location from which the general network-using public hasaccess to download using public-standard network protocols a complete Trans-parent copy of the Document, free of added material. If you use the latteroption, you must take reasonably prudent steps, when you begin distributionof Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remainthus accessible at the stated location until at least one year after the last timeyou distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) ofthat edition to the public. It is requested, but not required, that you contact the authors of theDocument well before redistributing any large number of copies, to give thema chance to provide you with an updated version of the Document. 4. MODIFICATIONS You may copy and distribute a Modified Version of the Document underthe conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the ModifiedVersion under precisely this License, with the Modified Version filling the roleof the Document, thus licensing distribution and modification of the ModifiedVersion to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these thingsin the Modified Version: A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission.
  26. 26. XXIIIB. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities res- ponsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has fewer than five), unless they release you from this requirement.C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher.D. Preserve all the copyright notices of the Document.E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices.F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below.G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document’s license notice.H. Include an unaltered copy of this License.I. Preserve the section Entitled “History”, Preserve its Title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section Entitled “History”in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence.J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the “History”section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission.K. For any section Entitled “Acknowledgements.or “Dedications”, Preserve the Title of the section, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein.L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not consi- dered part of the section titles.
  27. 27. XXIV M. Delete any section Entitled “Endorsements”. Such a section may not be included in the Modified Version. N. Do not retitle any existing section to be Entitled “Endorsements.or to conflict in title with any Invariant Section. O. Preserve any Warranty Disclaimers. If the Modified Version includes new front-matter sections or appendicesthat qualify as Secondary Sections and contain no material copied from theDocument, you may at your option designate some or all of these sections asinvariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in theModified Version’s license notice. These titles must be distinct from any othersection titles. You may add a section Entitled “Endorsements”, provided it containsnothing but endorsements of your Modified Version by various parties–forexample, statements of peer review or that the text has been approved byan organization as the authoritative definition of a standard. You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and apassage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of CoverTexts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and oneof Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) anyone entity. If the Document already includes a cover text for the same cover,previously added by you or by arrangement made by the same entity you areacting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one,on explicit permission from the previous publisher that added the old one. The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this Licen-se give permission to use their names for publicity for or to assert or implyendorsement of any Modified Version. 5. COMBINING DOCUMENTS You may combine the Document with other documents released underthis License, under the terms defined in section 4 above for modified versions,provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of allof the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sectionsof your combined work in its license notice, and that you preserve all theirWarranty Disclaimers. The combined work need only contain one copy of this License, andmultiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If thereare multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make
  28. 28. XXVthe title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses,the name of the original author or publisher of that section if known, or else aunique number. Make the same adjustment to the section titles in the list ofInvariant Sections in the license notice of the combined work. In the combination, you must combine any sections Entitled “History”inthe various original documents, forming one section Entitled “History”; likewisecombine any sections Entitled “Acknowledgements”, and any sections Entitled“Dedications”. You must delete all sections Entitled “Endorsements”. 6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS You may make a collection consisting of the Document and other do-cuments released under this License, and replace the individual copies of thisLicense in the various documents with a single copy that is included in the co-llection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copyingof each of the documents in all other respects. You may extract a single document from such a collection, and distributeit individually under this License, provided you insert a copy of this License intothe extracted document, and follow this License in all other respects regardingverbatim copying of that document. 7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS A compilation of the Document or its derivatives with other separate andindependent documents or works, in or on a volume of a storage or distributionmedium, is called an “aggregate”if the copyright resulting from the compilationis not used to limit the legal rights of the compilation’s users beyond what theindividual works permit. When the Document is included in an aggregate, thisLicense does not apply to the other works in the aggregate which are notthemselves derivative works of the Document. If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copiesof the Document, then if the Document is less than one half of the entireaggregate, the Document’s Cover Texts may be placed on covers that bracketthe Document within the aggregate, or the electronic equivalent of covers if theDocument is in electronic form. Otherwise they must appear on printed coversthat bracket the whole aggregate.
  29. 29. XXVI 8. TRANSLATION Translation is considered a kind of modification, so you may distributetranslations of the Document under the terms of section 4. Replacing InvariantSections with translations requires special permission from their copyright hol-ders, but you may include translations of some or all Invariant Sections inaddition to the original versions of these Invariant Sections. You may includea translation of this License, and all the license notices in the Document, andany Warranty Disclaimers, provided that you also include the original Englishversion of this License and the original versions of those notices and disclaimers.In case of a disagreement between the translation and the original version ofthis License or a notice or disclaimer, the original version will prevail. If a section in the Document is Entitled “Acknowledgements”, “Dedica-tions”, or “History”, the requirement (section 4) to Preserve its Title (section1) will typically require changing the actual title. 9. TERMINATION You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document exceptas expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify,sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminateyour rights under this License. However, parties who have received copies, orrights, from you under this License will not have their licenses terminated solong as such parties remain in full compliance. 10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE The Free Software Foundation may publish new, revised versions of theGNU Free Documentation License from time to time. Such new versions willbe similar in spirit to the present version, but may differ in detail to addressnew problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/. Each version of the License is given a distinguishing version number. Ifthe Document specifies that a particular numbered version of this License “orany later version.applies to it, you have the option of following the terms andconditions either of that specified version or of any later version that has beenpublished (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Documentdoes not specify a version number of this License, you may choose any versionever published (not as a draft) by the Free Software Foundation.
  30. 30. XXVII ADDENDUM: How to use this License for your documents To use this License in a document you have written, include a copy ofthe License in the document and put the following copyright and license noticesjust after the title page: Copyright c YEAR YOUR NAME. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later ver- sion published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled “GNU Free Docu- mentation License”. If you have Invariant Sections, Front-Cover Texts and Back-Cover Texts,replace the “with...Texts.”line with this: with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the Front-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST. If you have Invariant Sections without Cover Texts, or some other com-bination of the three, merge those two alternatives to suit the situation. If your document contains nontrivial examples of program code, we re-commend releasing these examples in parallel under your choice of free softwarelicense, such as the GNU General Public License, to permit their use in freesoftware.
  31. 31. XXVIII
  32. 32. Estad´ ıstica B´sica con R y R-commander a (Versi´n Febrero 2008) o Autores: A. J. Arriaza G´mez, F. Fern´ndez Palac´ o a ın, M. A. L´pez S´nchez, M. Mu˜oz M´rquez, S. P´rez Plaza, o a n a e A. S´nchez Navas a c 2008 Servicio de Publicaciones de la Universidad de C´diz a http://knuth.uca.es/ebrcmdr Cap´ ıtulo 1 Comenzando con R1. Introducci´n o El que un libro que pretende incidir sobre los aspectos pr´cticos de ala Estad´ ıstica, comience con un cap´ ıtulo dedicado al software, no deber´ ıasorprender, aun cuando en el Pr´logo se haya dejado claro que no es un oobjetivo fundamental ense˜ar a manejar un programa inform´tico. De n ahecho, este manual seguir´ teniendo utilidad aun cuando se usara otra ıainterfaz gr´fica distinta a la que se propone o, incluso, otro software; abastar´ en ese caso con acomodar los men´s y/o la sintaxis. No obstante, ıa uel que existan varias soluciones inform´ticas, no quiere decir que optar apor una de ellas no tenga un inter´s determinante y, por tanto, deben eemplearse para su elecci´n criterios objetivos de eficiencia, no solo de ocar´cter estad´ a ıstico, sino que atiendan tambi´n a su facilidad de uso. e Para la elecci´n de R se han evaluado pues distintos aspectos, sien- odo especialmente destacables sus bondades en lo que se refiere a calidad,a la cantidad de t´cnicas y funciones implementadas, a que es libre y a ela gran comunidad cient´ ıfica que lo usa como est´ndar para el an´lisis a ade datos. Dicha comunidad ha desarrollado y desarrolla herramientasintegradas en paquetes–en la actualidad m´s de 800–, que dan soluci´n a oa una gran variedad de problemas estad´ ısticos.
  33. 33. 2 Cap´ ıtulo 1. Comenzando con R R es un lenguaje de programaci´n y un entorno para an´lisis es- o atad´ıstico y la realizaci´n de gr´ficos. Debido a su naturaleza es f´cilmente o a aadaptable a una gran variedad de tareas. Fue inicialmente escrito porRobert Gentleman y Ross Ihaka del Departamento de Estad´stica de la ıUniversidad de Auckland en Nueva Zelanda. R actualmente es el resulta-do de un esfuerzo de colaboraci´n de personas del todo el mundo. Desde omediados de 1997 se form´ lo que se conoce como n´cleo de desarrollo de o uR, que actualmente es el que tiene la posibilidad de modificaci´n directa odel c´digo fuente. Por otra parte, R es un proyecto GNU similar a S, odesarrollado ´ste por los Laboratorios Bell. Las diferencias entre R y S eson importantes, pero la mayor´ del c´digo escrito para S corre bajo R ıa osin modificaciones. R abarca una amplia gama de t´cnicas estad´ e ısticas que van desdelos modelos lineales a las m´s modernas t´cnicas de clasificaci´n pasan- a e odo por los test cl´sicos y el an´lisis de series temporales. Proporciona a auna amplia gama de gr´ficos que adem´s son f´cilmente adaptables y a a aextensibles. La calidad de los gr´ficos producidos y la posibilidad de in- acluir en ellos s´ ımbolos y f´rmulas matem´ticas, posibilitan su inclusi´n o a oen publicaciones que suelen requerir gr´ficos de alta calidad. a El c´digo de R est´ disponible como software libre bajo las condi- o aciones de la licencia GNU-GPL. Adem´s est´ disponible precompilado a apara una multitud de plataformas. La p´gina principal del proyecto es ahttp://www.r-project.org. Una diferencia importante entre R, y tambi´n S, con el resto del esoftware estad´ ıstico es el uso del objeto como entidad b´sica. Cualquier aexpresi´n evaluada por R tiene como resultado un objeto. Cada objeto opertenece a una clase, de forma que las funciones pueden tener compor-tamientos diferentes en funci´n de la clase a la que pertenece su objeto oargumento. Por ejemplo, el resultado de la funci´n print evaluada so- obre un vector da como resultado la impresi´n de todos los elementos odel vector mientras que la misma funci´n evaluada sobre una funci´n o omuestra informaci´n sobre ella. De la misma manera, la funci´n plot o ono se comporta igual cuando su argumento es un vector que cuando esun fichero de datos o una funci´n.o
  34. 34. 1.2 Instalaci´n de R y R–Commander 3 o A continuaci´n se dan unas breves instrucciones que permitir´n o acomenzar a usar R y su interfaz gr´fica R-Commander, que se de- anotar´ abreviadamente como Rcmdr. Instrucciones m´s detalladas y a aactualizadas pueden encontrarse en http://knuth.uca.es/R en la sec-ci´n R Wiki. Por ultimo, existen multitud de documentos que ilustran o ´sobre el manejo de R, algunos de ellos pueden descargarse desde http://knuth.uca.es/R en la secci´n Documentaci´n. Los autores de este o omanual han redactado un somero documento t´cnico sobre el uso de R, ea cuyo repositorio puede accederse en la direcci´n http://knuth.uca. oes/R-basico.2. Instalaci´n de R y R–Commander o2.1. Instalaci´n en GNU/Linux o Para la instalaci´n, distribuciones derivadas de debian (Ubuntu, oGuadalinex,. . . ), en una consola se introduce en una sola l´ ınea:sudo apt-get install r-base-html r-cran-rcmdr r-cran-rodbcr-doc-html r-recommended Otra opci´n es utilizar el gestor de paquetes de la propia distribu- oci´n e instalar los paquetes r-base-html, r-cran-rcmdr, r-cran-rodbc, or-doc-html y r-recommended.2.2. Instalaci´n en Windows o La descarga de R en el equipo se efectua desde:http://cran.es.r-project.org/bin/windows/base/release.htm Luego se procede con la ejecuci´n, siguiendo las instrucciones. Pa- ora la instalaci´n de Rcmdr, se arranca R desde Inicio→Todos los oprogramas→ R. A continuaci´n, Paquetes→Instalar Paquete(s) y oelegido el mirror desde el cual se quiere instalar el paquete, por ejemploSpain (Madrid), se selecciona Rcmdr.
  35. 35. 4 Cap´ ıtulo 1. Comenzando con RR–Nota 1.1Har´n falta m´s paquetes para la instalaci´n completa de Rcmdr, pero a a ose instalar´n autom´ticamente la primera vez que se ejecute. a a3. Ejecuci´n de Rcmdr o En ambos sistemas operativos, la carga de la librer´ se efec- ıatuar´ mediante la instrucci´n library("Rcmdr"). a oR–Nota 1.2Si se cierra Rcmdr (sin cerrar R), para volver a cargarlo se debe ejecutarla instrucci´n Commander(). o
  36. 36. Estad´ ıstica B´sica con R y R-commander a (Versi´n Febrero 2008) o Autores: A. J. Arriaza G´mez, F. Fern´ndez Palac´ o a ın, M. A. L´pez S´nchez, M. Mu˜oz M´rquez, S. P´rez Plaza, o a n a e A. S´nchez Navas a c 2008 Servicio de Publicaciones de la Universidad de C´diz a http://knuth.uca.es/ebrcmdr Cap´ ıtulo 2 An´lisis Exploratorio de Datos Unidimensional a En este m´dulo, a trav´s de una serie de medidas, gr´ficos y mode- o e alos descriptivos, se caracterizar´ a un conjunto de individuos, intentando adescubrir regularidades y singularidades de los mismos y, si procede,comparar los resultados con los de otros grupos, patrones o con estudiosprevios. Se podr´ considerar que este estudio es una primera entrega de ıaun estudio m´s completo o, por contra, tener un car´cter finalista; en a acualquier caso, se trata de un an´lisis calificable como de exploratorio, ay de ah´ el nombre del cap´ ı ıtulo. Las conclusiones obtenidas ser´n aplicables exclusivamente a los aindividuos considerados expl´ıcitamente en el estudio, sin que puedanhacerse extrapolaciones con validez cient´ ıfica fuera de ese contexto. Losresultados del An´lisis Exploratorio de Datos (AED) s´ que podr´ a ı ıanemplearse para establecer hip´tesis sobre individuos no considerados oexpl´ ıcitamente en dicho an´lisis, que deber´ ser posteriormente con- a ıantrastadas. Formalmente, se podr´ definir el AED como un conjunto de t´cni- ıa ecas estad´ ısticas cuya finalidad es conseguir un entendimiento b´sico de alos datos y de las relaciones existentes entre las variables analizadas;aunque esta primera entrega se centrar´ en un an´lisis de tipo unidi- a amensional.
  37. 37. 6 Cap´ ıtulo 2. An´lisis Exploratorio de Datos Unidimensional a1. La organizaci´n de la informaci´n o o Al conjunto de individuos f´ısicos considerados en un an´lisis se ale denominar´ Colectivo o Poblaci´n, aunque tambi´n se utilizar´n esos a o e amismos t´rminos para referirse a la(s) caracter´ e ıstica(s) de esos individuosque son objeto de estudio. De hecho, desde un punto de vista estad´ ıstico,los individuos s´lo interesan como portadores de rasgos que son suscep- otibles de marcar diferencias entre ellos. La obtenci´n y materializaci´n o oen formato anal´gico o digital de las caracter´ o ısticas consideradas cons-tituir´ el conjunto de datos que ser´ estad´ a a ısticamente analizado. Los datos constituyen pues la materia prima de la Estad´ ıstica,pudi´ndose establecer distintas clasificaciones en funci´n de la forma e oen que ´stos vengan dados. Se obtienen datos al realizar cualquier tipo ede prueba, experimento, valoraci´n, medici´n, observaci´n, . . . , depen- o o odiendo de la naturaleza de los mismos y del m´todo empleado para su eobtenci´n. Una vez obtenidos los datos por los procedimientos que se oconsideren pertinentes, pueden generarse nuevos datos mediante trans-formaci´n y/o combinaci´n de las variables originales. Al conjunto de o odatos convenientemente organizados se le llamar´ modelo de datos. a1.1. La matriz de datos En una primera instancia se supondr´ que, sobre un conjunto de n aindividuos f´ısicos, se obtienen una serie de k caracteres u observacionesde igual o distinta naturaleza. Es importante tener en cuenta, ya desdeeste momento, que la calidad del an´lisis que se realice, va a depender ade la habilidad que se tenga a la hora de seleccionar los caracteres quese obtendr´n del conjunto de individuos seleccionados. a Los datos obtenidos se organizar´n en una matriz n × k, donde acada fila representa a un individuo o registro y las columnas a las ca-racter´ ısticas observadas. Las columnas tendr´n naturaleza homog´nea, a epudiendo tratarse de caracteres nominales, dicot´micos o polit´micos, o opresencias–ausencias, ordenaciones, conteos, escalas de intervalo, razo-nes,. . . ; tambi´n se podr´ tener variables compuestas como ratios, den- e ıansidades,. . . En ocasiones se a˜ade una columna que se suele colocar en n
  38. 38. 2.1 La organizaci´n de la informaci´n o o 7primer lugar y que asigna un nombre a cada individuo; dicha columnarecibe el nombre de variable etiqueta. F´ ısicamente, la es-tructura de una matriz dedatos se corresponde conel esquema de una basede datos o una hoja dec´lculo. Al igual que pasa acon los editores de los pro-gramas de tratamiento dedatos, las dos dimensionesde una pantalla se acomo-dan perfectamente al tan-den individuo–variable. Sise consideran los indivi-duos identificados por los t´rminos I1 , I2 , . . . , In y los caracteres por eC1 , C2 , . . . , Ck , la casilla xij representa el comportamiento del individuoIi respecto al car´cter Cj . En la figura se muestra la matriz de datos del afichero Iris del paquete datasets de R. R se refiere a este tipo de estructura de datos como data.frame.Este es el formato que requiere el programa para aplicar la mayor´ de ıalos procedimientos estad´ ısticos.1.1.1. Anomal´ de la matriz de datos ıas Hay veces en que por distintos motivos la matriz de datos presentacasillas vac´ ello se debe a que no se ha podido medir un dato o a que ıas,se ha perdido la observaci´n. En otras ocasiones un dato presente en ola matriz ha sido depurado por presentar alg´n tipo de anomal´ como u ıa,haber sido mal medido, mal transcrito a la matriz de datos, pertenecer aun colectivo distinto del que se est´ analizando, etc. . . La identificaci´n a ode estos elementos an´malos se realiza mediante un proceso de detecci´n o ode inconsistencias o de evaluaci´n de valores extremos, muy grandes o omuy peque˜os, que determinar´ si razonablemente pueden pertenecer n aal colectivo bajo estudio. A veces se sustituye el valor depurado de un
  39. 39. 8 Cap´ ıtulo 2. An´lisis Exploratorio de Datos Unidimensional aindividuo por uno que sea congruente con el resto de caracteres del mis-mo, mediante t´cnicas que se conocen como de imputaci´n. Los huecos e oque definitivamente queden en la matriz se referir´n como valores omi- atidos o, m´s comunmente, como valores missing. En R estos valores se arepresentan con NA (Not Available). En funci´n del tipo de an´lisis que o ase est´ realizando, el procedimiento desestimar´ s´lo el dato o todo el e a oregistro completo. En este m´dulo se analizar´n –salvo excepciones que se indicar´n o a acon antelaci´n– de forma independiente cada uno de los caracteres de la omatriz de datos, de forma que cada car´cter describir´ parcialmente al a aconjunto de individuos. La integraci´n de todos los an´lisis deber´ dar o a auna cierta visi´n general de la poblaci´n. En cualquier caso, este enfoque o oest´ muy lejos de ser eficiente, entre otras cosas porque habitualmente alas variables individuales comparten informaci´n y dicha redundancia odistorsionar´ las conclusiones del estudio, siendo en general preferible ıadecantarse por un an´lisis global en vez del secuencial. Por tanto, la pre- atensi´n de este cap´ o ıtulo es tratar algunos conceptos b´sicos y adquirir adestreza en el manejo de medidas estad´ ısticas que ser´n empleadas ma- asivamente cuando se aborden, m´s adelante, modelos m´s sofisticados. a a2. Naturaleza de los caracteres: Atributos y Variables Respecto a la cantidad de informaci´n que porta cada tipo de ocar´cter, se puede considerar que los caracteres nominales son los m´s a a“pobres”, puesto que ni siquiera poseen orden, mientras que los m´s aricos ser´ las escalas de intervalos y las razones, que tienen orden, ıanson cuantitativas y en el caso de las razones el cero lo es en t´rminos eabsolutos, es decir, el 0 representa la ausencia de la caracter´ ıstica. Enposiciones intermedias se situar´ el resto en el orden en que se han ıanintroducido en la figura 2.1.Ejemplo 2.1El caso m´s evidente para apreciar las diferencias entre las escalas de aintervalo y las razones o escalas de cociente, lo ofrece el term´metro. oUn term´metro genera una variable de escala de intervalo, porque la o
  40. 40. 2.2 Naturaleza de los caracteres: Atributos y Variables 9 Figura 2.1: Esquema de cantidad de informaci´n odiferencia real entre 2 y 3 grados es la misma que entre 40 y 41 grados,pero no se puede decir que cuando el term´metro marca 30 grados hace oel doble de calor que cuando marca 15. Por otra parte, muchas magnitudes f´ ısicas, como el peso, la longi-tud o la intensidad de corriente, son razones porque, por ejemplo en elcaso del peso, un objeto de 20 kilogramos pesa el doble que otro de 10kilogramos. Es decir existe el cero absoluto. Como ya se ha comentado, la naturaleza del car´cter condicio- anar´ su tratamiento, aunque en ning´n caso hay que confundir la canti- a udad de informaci´n que porta con su valor intr´ o ınseco para analizar a losindividuos del colectivo. En una primera instancia, se distinguir´ entre los caracteres que ano est´n ordenados y los que s´ lo est´n, los primeros jugar´n en general a ı a aun rol de atributos mientras que los segundos habitualmente actuar´n acomo variables. Los atributos tendr´n la misi´n de establecer clases, a odividiendo el colectivo global en subgrupos o categor´ por su parte, las ıas;variables caracterizar´n a dichos subgrupos e intentar´n establecer dife- a arencias entre unos y otros, para lo que necesariamente se debe consideraralgun tipo de m´trica. Pero ello es una regla general que tiene muchas eexcepciones y as´ en ocasiones, un car´cter llamado a adoptar el papel ı, ade variable podr´ mediante una operaci´n de punto de corte, actuar ıa, ocomo atributo, mientras que es factible definir una medida de asociaci´nosobre caracteres intr´ınsecamente de clase que permita caracterizar a losindividuos del colectivo en base a una serie de atributos.

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