Reduccion de orden

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Reduccion de orden

  1. 1. REDUCCIÓNREDUCCIÓN DE ORDENDE ORDEN INTEGRANTES: Johana Caraguay Nora Estrada Mariuxi Maza Jackeline Palacios
  2. 2. INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN La solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden 0)()()( 012 =+′+′′ yxayxayxa (1)
  3. 3. Es una combinación lineal donde y son soluciones que constituyen un conjunto linealmente independiente en algún intervalo I. En este tema se examinará un método para determinar estas soluciones cuando los coeficientes de la ED en (1) son constantes. Este método, que es un ejercicio directo en álgebra, falla en algunos casos y produce sólo una solución simple y1 de la ED. 2211 ycycy += 1y 2y
  4. 4. Resulta que se puede construir una segunda solución y2 de una ecuación homogénea (1) e incluso cuando los coeficientes en (1) son variables; siempre y cuando se conozca una solución no trivial y1 de la ED. La idea básica que describe este tema es darles a conocer que la ecuación (1) se puede reducir a una ED lineal de primer orden por medio de una sustitución en la que interviene la solución conocida y1, a partir de la cual hallaremos una segunda solución y2 de (1) (esto va ha ser evidente después de resolver la ED de primer orden)
  5. 5. REDUCCIÓN DE ORDENREDUCCIÓN DE ORDEN Uno de los hechos matemáticos más interesantes al estudiar ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda solución, y2, para la ecuación homogénea: 0)()()( 012 =+′+′′ yxayxayxa
  6. 6. en un intervalo I a partir de una solución y1 no trivial. Buscamos una segunda solución, y2(x), de la ecuación (1) tal que y1 y y2 sean linealmente independientes en Z. Recordemos que si y1 y y2 son linealmente independientes, su relacióny2/y1 es no constante en I esto es, y2/y1= u(x) o y2 = u(x)y1(x). La idea es determinar la función u(x) sustituyendo y2(x) = u(x)y1(x) en la ecuación diferencial dada. Este método se llama reducción de orden porque debemos resolver una ecuación lineal de primer orden para hallar u.
  7. 7. Fórmula para hallar la segunda solución y2 a partir de una conocida y1 01, )( )( 212 1 )( 12 == ∫ = ∫ − cycdoconsiderandx xy e xyy dxxp (2)
  8. 8. EJEMPLO 1.EJEMPLO 1. Dado que y1(x) = x^-2 es solución de la ecuación diferencial Encuentre su solución general en el intervalo (0,α). SOLUCIÓNSOLUCIÓN Verifiquemos que y1(x) es solución de la ecuación diferencial. Tenemos que Construcción de una segunda solución y2 a partir de una conocida y1 mediante el método de reducción de orden
  9. 9. Sustituyendo en resulta Así, efectivamente y1 es una solución . Ahora utilizaremos el resultado del teorema anterior para determinar una segunda solución de la ecuación diferencial, con y1. Primero, reescribimos en la forma:
  10. 10. de aquí que en este caso p(x) = -7/x y entonces Note que una segunda solución l.i. con y1(x) es simplemente 2ỹ (x) = x^10. De modo que la solución general en (0, α) de la ecuación diferencial (4.16) es
  11. 11. EJEMPLO 2.EJEMPLO 2. Encuentre la solución general en (0,α) de la ecuación diferencial si y1(x)=cos ln x, es una solución de la ecuación. SOLUCIÓNSOLUCIÓN Nuevamente emplearemos la ecuación anterior para obtener una segunda solución y2. En este caso p(x) = 1/x , por lo cual:
  12. 12. En consecuencia De donde la solución general en (0, α) de (4.17) es
  13. 13. EJEMPLOEJEMPLO Dado que la función es una solución de Usando el método de reducción de orden hallar una segunda solución y2 y determine la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo 2 1 xy = 0432 =+′−′′ yyxyx ),0( ∞ SOLUCIÓNSOLUCIÓN PASO1:PASO1: Se pone en la forma estándar la ED 0 43 2 =+′−′′ y x y x y Este ejercicio se explicó en la pizarra:
  14. 14. PASO2:PASO2:Se localiza p(x) en la ED del paso 1 y se encuentra el F. I. 3lnln33 3 .. xeeeIF xxx dx === ∫ = PASO3:PASO3: Aplicando la fórmula (2) se tiene: xx x dx xdx x x xdx x e xy x dx ln22 4 3 2 4 3 2 2 === ∫ = ∫∫ ∫ PASO3:PASO3: Por tanto la solución general en el intervalo dado es:: xxcxcy ln2 2 2 1 +=

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