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ペットボトルロケットの水の量

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ペットボトルロケットの水の最適量に関する計算

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ペットボトルロケットの水の量

  1. 1. ペットボトルロケットの水の量 が1/3が最適な理由を大まかに 計算してみる 2017年6月17日 ロケット小僧@j_rocket_boy
  2. 2. 水ロケットってなんぞや • ペットボトルの中に水と圧縮空気を入れて、水を噴射して飛ぶロケッ ト • 1/3ぐらい水を入れて飛ばすのがいいと言われてる。 • なぜ?
  3. 3. よく飛ぶの定義 • 斜めに打つと、飛距離が長い方が良く飛ぶと言える。 • しかし、斜めの解析めんどくさい • 真上に打ち上げたと考えたほうがシンプル • 水の噴射による増速度分ΔVが大きいほうがよく飛ぶと定義する • 空気噴射は無視する。(めんどくさい)
  4. 4. 使う記号と水ロケットの諸元 • VT : 推進タンク容積[m3] • VW: 水容積[m3] • P0 : タンク圧力[Pa] • Pa : 大気圧[Pa] = 1013×102 [Pa] • ρ:水密度[kg/m3] ≒ 1000[kg/m3] • A : 噴射口断面積[m3] • AT : タンク断面積[m3] • u : 噴射速度[m/s2] • uT : 水位低下速度[m/s2] • mD:ロケット乾燥重量[kg] • h : 水位[m] • g: 重力加速度[m/s2] ≒ 9.8[m/s2] 図:推進タンクと諸元 水 圧縮空気 VT[m3] VW[m3] ρ[kg/m3] AT[m2] uT[m/s] A[m2] u[m/s] PT[Pa] h[m]
  5. 5. 噴射速度を出す①  ρρρ TTa PghuPu  22 2 1 2 1 • ベルヌーイの式より ここでペットボトルの大きさからh<0.3[m] ρgh < 1000 * 9.8 * 0.3 < 3000 << P0 ※5気圧入れたらP0 ≒ 500[kPa] • 右辺第二項を無視して 図:推進タンクと諸元 水 圧縮空気 VT[m3] VW[m3] ρ[kg/m3] AT[m2] uT[m/s] A[m2] u[m/s] PT[Pa] h[m]  ρρ TTa PuPu  22 2 1 2 1 ・・・① ・・・①’
  6. 6. 噴射速度を出す② • 連続の式より • ①'②式より 図:推進タンクと諸元 水 圧縮空気 VT[m3] VW[m3] ρ[kg/m3] AT[m2] uT[m/s] A[m2] u[m/s] PT[Pa] h[m]  TT AuuA    ρ 2 )1( )(2 T aT A A PP u    ・・・② ・・・③
  7. 7. 噴射速度を出す③ 噴射開始時のタンク圧をPT0 噴射終了時のタンク圧をPTFとする 断熱変化と仮定すると これを変形して  γ TTFWTT VPVVP  )(0 図:推進タンクと諸元 水 圧縮空気 VT[m3] VW[m3] ρ[kg/m3] AT[m2] uT[m/s] A[m2] u[m/s] PT[Pa] h[m]  γ )1(0 T W TTF V V PP  ・・・④ ・・・④’
  8. 8. 増速分を出す ツィオルコフスキーの公式より m0は初期重量 uは有効噴射速度 乾燥質量に水の重さを加えて m0= mD + ρVW uのかわりに、開始時と終了時の平均 値を使うことにする。  Δ )ln( 0 Dm m uV  図:推進タンクと諸元 水 圧縮空気 VT[m3] VW[m3] ρ[kg/m3] AT[m2] uT[m/s] A[m2] u[m/s] PT[Pa] h[m] ・・・⑤
  9. 9. グラフにしてみる。 諸元 値 大気圧Pa[Pa] 101325 水密度ρ[kg/m^3] 1000 ノズル断面積A[m^2] 6.36173E-05 タンク断面積A0[m^2] 0.006361725 空気比熱比 1.403 重力加速度[m/s^2] 9.8 初期圧力Pt0[Pa] 202650 ロケット空重量[kg] 0.15 タンク容積[m^3] 0.00150 2 4 6 8 10 12 14 16 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ΔV[m/s] タンクに対する水の比率 ※ノズル断面積:直径9mmの円として計算 ※タンク断面積:直径90mmの円として計算
  10. 10. 初期圧力を変えてプロット 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 2気圧 3気圧 4気圧 5気圧 6気圧
  11. 11. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 2気圧 3気圧 4気圧 5気圧 6気圧 初期圧力を変えてプロット 1/3 1/2
  12. 12. 考察 • 2気圧では1/3が最適水量 • 3気圧~6気圧の範囲では1/3~1/2あたりが最適水量 • 2気圧では1/2の水を入れると、水が全部出ない • 先のグラフでプロットが0になってるのは、噴射終了時のタンク内の圧力が負 圧になってるため計算エラーになってる。 • 3気圧までは1/2より1/3のほうが飛ぶ。 • 重力損失を無視しているが、水が増えるにつれて、噴射時間が長く なるので、4気圧以上でも必ずしも1/3より1/2のほうが飛ぶとは限ら ない。
  13. 13. 結論 • ペットボトルロケットにおいてタンクの1/3ぐらいに水を入れて飛ばす のは妥当。 • 特に、子供たち向けに水ロケット大会を開いたときなどの水量の目 安としては適切。 • ママチャリ用のポンプで大人が連続して入れられる圧力はおそらくそんなに 大きくない。 • 子供たちが水をちょうど1/3で計れるとは限らない。
  14. 14. 参考文献 ペットボトルロケットの力学 http://www.asahi-net.or.jp/~hy9n-knk/sec4.htm ツィオルコフスキーの公式(wikipedia) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A3%E3%82%AA%E 3%83%AB%E3%82%B3%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83 %BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F 断熱過程(wikipedia) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AD%E7%86%B1%E9%81%8E%E 7%A8%8B

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