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GEOMETRÍAANALÍTICA
Para centros de enseñanza su pe rio r
SÉTIMA EDICIÓN
2006
© Impreso en:
E D I C I O N E S
Jr. Loreto 16...
PROLOGO
Aunque en esta renovada Edición se han conservado
ios iineamientos esenciales de las anteriores ediciones esta
obr...
Aprovecho la oportunidad para expresar mi
agradecimiento al equipo con quien trabajé durante varios
meses, haciendo los di...
V
CONTENIDO
Q CONCEPTOS PRELIMINARES_________
1.1 Campo de la Geometría Analítica 1
1.2 Segmentos orientados 1
1.3 Sistema...
VI Contenido
2.5 Asíntotas / 72
2.5.1 Asíntotas horizontales 73
2.5.2 Asíntotas verticales 73
2.5.3 Asíntotas oblicuas 75
...
Contenido V II
4.7 Bisectriz de un ángulo 169
ejercicios : Grupo 14 171
4.8 Familia de rectas en el plano 173
4.8.1 Famili...
LA PARABOLA
V III ________________________________________________________________ Contenido
7.1 Introducción 273
7.2 Elem...
Contenido IX
8.3 Ecuación general de la elipse en posición ordinaria 360
Ejercicios : Grupo 36 364
8.4 Ecuación general de...
X Contenido
9.10.1 Diámetros conjugados 443
Ejercicios: Grupo 49 445
9.11 Propiedades de la hipérbola 445
Ejercicios : Gru...
CONCEPTOS
PRELIMINARES
f f f f l CAMPO DE LA GEOMETRIA A N A LITIC A
La Geometría Analítica es una de las partes de las Ma...
2 Capítulo I: Conceptos preliminares
do primero el origen y después el extremo , esto es :
ÁB
El segmento AB será positivo...
Sección 1.3: Sistema coordenado lineal 3
La demostración del Teorema 1.1 para las otras cuatro posiciones diferentes de ¡o...
4 Capítulo 1: Conceptos preliminares
Pero , OA = x, , AB = d(A , B) y OB =
entonces : x, + d(A , B) = x,
de donde :
d(A , ...
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 5
ü E JE M P L O S ILU S T R A T IV O S
( e j e m p l o T ) Segmentos orientados
Sobre una recta l s...
Capítulo I: Conceptos preliminares
Como MD = ÁM <=> BD = BM + AM
sumando ambos extremos de las re
laciones (1 ) y (2) obte...
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS 7
Como ambas soluciones satisfacen la desigualdad x < 7 , ubicamos en la recta
real los puntos A(-...
8 Capítulo 1: Conceptos preliminares
C e je m p lo 7 ) Trazado de un conjunto solución con intervalos____________
Caracter...
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 9
CEJEMPLO 8 ) Hallar las distancias dirigida y no dirigida entre los puntos A(-2)
y B(-7)
Solución....
10 Capítulo I: Conceptos preliminares
[ e j e m p l o 1 1 ) El segmento orientado de extremos A(-1) y B(3) se prolonga
has...
EJERCICIOS : Grupo I_____(_ 11
b) Ix2 - 4 I = 4 - 2x e) I x - 4 12 - 5 1x - 4 I + 6 = O
c) I x + 2 1 + 1x - 3 1 = i y f) 2...
12 Capítulo /. Conceptos preliminares
14. Dados los puntos A(-1) , B{3) y C(6) . determinar el punto P(x) que divide al
se...
Sección 1.5: Distancia entre dos punios 13
FIGURA 1.8
b) Recíprocamente a cada punto P del plano le corresponde uno y sola...
14 Capítulo I: Conceptos preliminar'^
¿ (P ,Q )= |x 2-x, I ‘ (1)
Del mismo modo,-si M (x, yr) y N(x , y,) son dos puntos c...
Sección 1.5: Distancia entre dos punios 15
En efecto, por la fórmula de la distancia, tenemos :
IÁC I = V(4 + 3)2+ (-4 - I...
16 Capitulo I . Conceptos prp/,,, (
( EJEM PLO 5 J Demostrar que el^eoádrilátero cuyos vértices son A(-6 -2)
B(-2 , -1), C...
Sección 1.5: Distancia entre dos puntos 17
f EJEMPLO 7 ) Los extremos de la cuerda de una circunferencia, cuyo radio
es 3^...
18 Capitulo 1: Conceptos preliminares
Si a es el ángulo de inclinación del seg-
mentó AB con respecto al eje positivtí'bx ...
EJERCICIOS : Grupo 2 19
EJERCICIOS: Grupo 2
1. Hallar la distancia que separa a los puntos A y B. escribir el resultado en...
20 Capitulo I: Conceptos preliminares
13. Dados tres vértices A(3 , -7) , B(5 , -7) , C(-2 , 5) de un paralelogramo ABCD,
...
Sección 1.6: División de un segmento en una razón dada 21
Por la geometría elemental sabemos que tres
rectas paralelas det...
22 Capítulo!: Conceptos preliminares
Método 1. Consiste en hacer uso de las"éGuaciones (5) del Teorema 1.4
A
Como el punto...
Sección 1.6: División de un segmento en una razón dada 23
s¡ — ^/3 _ ^ - Xs _ v y s _ t
B T “ 2/3 " 2 ~ yT - y ¡ - 2 |*---...
24 Capítulo I: Conc¿p!(,s preliminares
Solución. Como las razones son negativas, los puntos P y Q se encuentran en la
prol...
Sección 1.6: División de un segmento en una razón dada 25
(/EJEM PLO 8 ) En el triángulo de vértices A(x, , y,) , B(x2 , y...
26 Capítulo I: Conceptos preliminares
(EJEM PLO 10) Sea da el triángulo A( 1,1), B( 1, 3) y C(-2 ,-3). Hallar la longitud
...
Sección 1.6: División de un segmento en uno razón dada 27
Se sabe por geometría elemental que una paralela a uno de los la...
28 Capítulo I: Conceptos preliminares
[EJEMPLO 13) Los vértices de un cuadrilátero son A(-4 , 6), B(-2 , -1), C(8 , 0)
y D...
Sección 1.6: División de un segmento en una razón dada
La intersección L(x , y) de las medianas BI y CD de los triángulos ...
30 Capítulo /. Conceptos prelii uñares
hallar el centro de gravedad de una lámina homogénea cualquiera, se divide ésta en
...
EJERCICIOS Grupo.! 31
x = nx' + mx* y = ny’ + my?
m + n ’ y m + n
5. El segmento que une A(-1 , 2) con B(2 , -5) se prolon...
32 Capítulo 1: Conceptos preliminares
X
17. Los vértices de un triángulo son A(3 , -£>), B(1 , -3) y C(2 , -2). Hallar la ...
Sección 1.7: Pendientes de una recta 33
K Q PENDIENTES DE UNA RECTA______________________________
Dada una recta 31en el p...
34 Capítulo I: Conceptos preliminares
inclinación de la recta, de modo que
m - elevación _ y¡ ~y¡
desplazamiento x2- x,
TE...
Sección 1.8. Recias paralelas y perpendiculares 35
C T 1 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
(
TEOREMA 1.6 Pendientes de re...
36 Capítulo I: Conceptos preliminares
Demostración. Si las rectas JZ?y S2, son perpendiculares, entonces a, y a, difieren
...
Sección 1.8: Rectas paralelas y perpendiculares 37
Resolviendo por simultáneas (1) y (2) obtenemos : x = 3 , y = 6
P = (3 ...
38 Capítulo I: Conceptos preliminares
Obsérvese que las pendientes de los lados AB y DC son cada una el negativo del
recíp...
Sección 1.8: Rectas paralelas y perpendiculares 39
o x, = 4 ó x, = - 8
Luego, en (2): y, = - 5 ó y2= 7
Por lo tanto, hay d...
40 Capítulo h: Conceptos preliminares
(E J E M P L O 1 0 ) Los puntos A(1 . 1), ¡3(5 , -2) y C(3 , 4) son tres vértices de...
Sección !.H: Rectas paralelas ypcrpe/u :nres
b) Sean (x , y) las coordenadas del punto M
Si AM x + 4 _ y - 1
2 - x 7 - yMD...
Capítulo /. Conceptos preliminares
EJERCICIOS; Grupo 4
1. Una recta de pendiente 2/5 pasa por el punto P(3 , -4) y por A(x...
Sección 1.9: Fórmula del ángulo entre dos rectas 43
11. Hallar lapendiente de la recta que pasa por el punto medio del seg...
44 Capítulo I: Conceptos preliminares
Dado que al cortarse dos rectas coplanares se forman varios ángulos, para
evitar con...
Sección 1.9: Fórmula deI ángulo entre « celas 45
y si designamos Tga2y Tga, por m, y m, respectivamente, obtenemos
m, - m,...
46 Capítulo I: Conceptos preliminares
{EJEMPLO 3 ) Dos rectas se cortan formando un ángulo cuya tangente es 3/2.
Si una de...
Sección 1.9: Fórmula del ángulo entre di -v rectas 47
( A y C )e <=> m, =
/AComo Tg(y) = ^
9 - 3
10-2
m, - m
m . m.
y Tg(A...
48 Capítulo I : Conceptos preliminares
[ E JE M P L O 8 ) Si A(-3 , 2) y B(2 , 5) son dos vértices de un triángulo rectáng...
Sección ¡ 9: Fórmula del ángulo entre Jos recias 49
_ m - m,
En el AABC : Tga - ( 1)1 + m . m
Dado que el cuadrilátero ABC...
50 Capitulo I: Conceptos preliminares
7. Los vértices de un triángulo son A(-4 , -1), B(4 , b) y C(-6 , 13). Hallar el val...
Sección 1.10: El área del triángulo 51
no importa, pues la expresión que está dentro de las barras en el segundo miembro d...
Capitulo i: Conceptos preliminares
TEOREMA 1.9 El área del triángulo
El área de un triángulo que tiene por vértices los pu...
Sección 1.10: El área del triángulo 53
y,
y>
y3
y,
= 0 (17)
f EJEMPLO 2 j Sean los conjuntos de puntos :
a) A(-5 , 7), B(-...
54 Capítulo 1: Conceptos preliminares
f EJEMPLO 4 j Si dos vértices de un triángulo son A(-4 , 6) y B(3 , -8), hallar las
...
Sección 1.10: El área del triángulo 55
Solución. Sean (x , y) las coordenadas del
vértice A. Dado que el AABC es isós­
cel...
56 Capítulo I: Conceptos preliminares
En (1), las variables x e y no llevan subíndices por­
que representan a las coordena...
Geometría analítica   r. figueroa g.
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  1. 1. www.freelibros.com
  2. 2. GEOMETRÍAANALÍTICA Para centros de enseñanza su pe rio r SÉTIMA EDICIÓN 2006 © Impreso en: E D I C I O N E S Jr. Loreto 1696 Breña (Lima 5) Telefax 423 8469 E-mail: ediciciones_2@hotmail.com Todos los derechos reservados conforme al Decreto Ley N° 26905 HECHO EL DEPÓSITO LEGAL N° 15010599-2572 RAZÓN SOCIAL : RICARDO FIGUEROA GARCÍA DOMICILIO: Jr. Loreto 1696 Breña Este libro no puede reproducirse total o parcialmente por ningún medio electrónico, mecánico o fotocopia u otros medios sin el previo y expreso permiso del autor. www.freelibros.com
  3. 3. PROLOGO Aunque en esta renovada Edición se han conservado ios iineamientos esenciales de las anteriores ediciones esta obra difiere de aquellas en que se han incluido nuevas materias y otras se presentan de un modo más moderno habiéndose añadido una serie completa de nuevos ejercicios. El contenido de este libro está organizado de acuerdo con el sistema de instrucción personalizada, por lo que , las definiciones y teoremas principales se titulan en forma destacada, se numeran y distribuyen, para fácil referencia y para mantener la estructura más importante del material ante los ojos del lector. El número 2.4, por ejemplo, se refiere a la Sección, Definición o Teorema cuartos del Capítulo 2. Cada tema desarrollado de los 11 capítulos que consta la obra (Conceptos Preliminares, Gráfica de una ecuación, Lugares Geométricos, Linea Recta, Circunferencia, Transformación de Coordenadas, Parábola, Elipse, Hipérbola, ecuación de Segundo Grado >• Coordenadas Polares) están suficientemente motivadas y reforzadas por una gran variedad de ejemplos ilustrativos de todos los niveles de dificultad, algunos sobre dem ostraciones de teoremas, otros para fijar ideas presentadas en el texto y ayudar al estudiante a alcanzar el dominio en las técnicas de la geometría analítica y que le permitirán resolver con éxito los numerosos ejercicios propuestos, cuyas respuestas dadas al final del libro, verificarán las soluciones alcanzadas. www.freelibros.com
  4. 4. Aprovecho la oportunidad para expresar mi agradecimiento al equipo con quien trabajé durante varios meses, haciendo los dibujos del libro en computadora, armando, revisando y corrigiendo errores, y; en fin, trabajando intensamente para resolver las dificultades inherentes a la publicación del texto. Asimismo una mención especial de gratitud va dirigida a dos personas: al señor Joige Galarza E., encargado de la diagramación y a la señorita Abilia Sánchez P. por su dedicación y abnegada labor en el tipeo de la obra. Creo que la excelente colaboración de ambos ha sido inestimable. Finalmente, se ha tenido especial cuidado en reducir las erratas lo más posible. A un cuando todo autor sueña con producir un libro excento de errores ninguno ha logrado esa aspiración, al menos que yo sepa. Por tanto, agradecería que me hagan notar cualquier error que pueda haber persistido todavía. EL AUTOR DEDICATORIA .t la memoria de mi querida e inolvidable madre, a cuyos sacrificios debo el haberme aficionado al estudio, dedico ■” testa obra como símbolo de mi gratitud. www.freelibros.com
  5. 5. V CONTENIDO Q CONCEPTOS PRELIMINARES_________ 1.1 Campo de la Geometría Analítica 1 1.2 Segmentos orientados 1 1.3 Sistema coordenado lineal 3 Ejercicios : Grupo 1 10 1.4 El sistema coordenado rectangular 12 1.5 Distancia entre dos puntos 13 Ejercicios : Grupo 2 19 1.6 División de un segmento en una razón dada 20 Ejercicios : Grupo 3 30 1.7 Pendiente de una recta 33 1.8 Rectas paralelas y perpendiculares 35 Ejercicios : Grupo 4 42 1.9 Fórmula del ángulo entre dos rectas 44 Ejercicios : Grupo 5 49 1.10 El área del triángulo 50 Ejercicios ; Grupo 6 56 1.11 Demostraciones analíticas 57 Ejercicios : Grupo 7 60 GRAFICA DE UNA ECUACION 2.1 Introducción 63 2.2 Coordenadas al origen 65 2.3 Criterios de simetría 66 2.3.1 Simetría respecto al eje X 67 2.3.2 Simetría respecto al eje Y 67 2.3.3 Simetría respecto al origen 68 2.4 Extensión 69 www.freelibros.com
  6. 6. VI Contenido 2.5 Asíntotas / 72 2.5.1 Asíntotas horizontales 73 2.5.2 Asíntotas verticales 73 2.5.3 Asíntotas oblicuas 75 © Gráficas de funciones racionales 76 © Gráficas de ecuaciones de la forma yJ= función racional o x! = función racional 82 © Gráficas de ecuaciones que contienen raíces cuadradas 90 © Gráficas de ecuaciones con valor absoluto 93 Ejercicios : Grupo 8 96 2.6 La gráfica por factorización 97 2.7 Intersección de curvas 100 Ejercicios : Grupo 9 103 LUGARES GEOMETRICOS 3.1 Introducción 105 3.2 Deducción de la ecuación de un lugar geométrico 105 Ejercicios : Grupo-10 119 LA ILINEA RECTA 4.1 y Introducción 123 4.2 Ecuaciones para una recta 123 4.2.1 La forma punto - pendiente 124 4.2.2 La forma de los dos puntos 124 Ejercicios : Grupo II 132 4.2.3 La forma pendiente y ordenada al origen 134 4.2.4 La forma de las coordenadas al origen 134 Ejercicios : Grupo 12 138 4.2.5 La forma general 139 4.3 Relaciones entre dos rectas coplanares 140 4.3.1 Rectas paralelas 141 4.3.2 Rectas coincidentes 141 4.3.3 Rectas perpendiculares 141 4.3.4 Rectas oblicuas 142 Ejercicios : Grupo 13 154 4.4 Forma normal de la ecuación de una recta 157 4.5 Reducción a la forma normal 159 4.6 Distancia y sentido de un punto a una recta 160 www.freelibros.com
  7. 7. Contenido V II 4.7 Bisectriz de un ángulo 169 ejercicios : Grupo 14 171 4.8 Familia de rectas en el plano 173 4.8.1 Familia de rectas paralelas a una recta dada 173 4.8.2 Familia de rectas perpendiculares a una recta dada 174 4.8.3 Familia de rectas qUe pasan por la intersecciónde dos rectas 174 Ejercicios : Grupo 15 181 4.9 Puntos arriba y debajo de una recta 183 Ejercicios : Grupo 16 188 LA CIRCUNFERENCIA 5.1 Introducción 191 Ejercicios : Grupo 17 204 5.2 Ecuación general de una circunferencia 206 5.3 La circunferencia y tres condiciones 207 5.4 Potencia de punto con relación a una circunferencia 208 Ejercicios : Grupo 18 214 5.5 Familia de circunferencias 216 5.5.1 Familia de circunferencias que pasan por laintersección de dos circunferencias dadas 216 5.5.2 El eje radical 217 Ejercicios : Grupo 19 223 5.6 Tangentes a una circunferencia 225 Ejercicios : Grupo 20 232 5.7 Lugares geométricos relativos a una circunferencia 233 Ejercicios : Grupo 21 236 5.8 Conjunto de puntos asociados con circunferencias 238 Ejercicios : Grupo 22 242 TRANSFORMACION DE COORDENADAS 6.1 Introducción 245 6.2 Traslación de ejes 245 6.3 Simplificación de unaecuación portraslación 246 6.4 Otras aplicaciones de latraslación de ejes 248 Ejercicios : Grupo 23 253 6.5 Rotación de ejes 255 Ejercicios : Grupo 24 261 INTRODUCCION A LAS SECCIONES CONICAS 267 www.freelibros.com
  8. 8. LA PARABOLA V III ________________________________________________________________ Contenido 7.1 Introducción 273 7.2 Elementos de una parábola 273 7.3 Formas cartesianas de. la ecuación de una parábola 274 Primera forma : Parábola de eje coincidente con el eje X 274 Segunda forma : Parábola de eje coincidente con el eje Y 275 Ejercicios : Grupo 25 280 Tercera forma : Parábola de eje paralelo al eje X 281 Cuarta forma : Parábola de eje paralelo aleje Y 281 Ejercicios : Grupo 26 287 7.4 Ecuación general de una parábola 288 Ejercicios : Grupo 27 292 7.5 Ecuación de la tangente a una parábola 293 Ejercicios: Grupo 28 302 7.6 Cuerda de contacto 304 7.7 Diámetro de una parábola 305 7.8 La función cuadrática 307 Ejercicios : Grupo 29 312 7.9 Propiedades de una parábola 313 Ejercicios : Grupo 30 324 7.10 Aplicaciones de la parábola 326 Ejercicios: Grupo 31 330 7.11 Lugares geométricos relativos a una parábola 331 Ejercicios: Grupo 32 335 7.12 Conjunto de punto asociados con parábolas 336 Ejercicios : Grupo 33 »‘.i*v- 339 LA ELIPSE 8.1 Definición 341 8.2 Formas cartesianas de la ecuación de una elipse 341 Primera forma : Elipse con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje X 341 Segunda forma : Elipse con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje Y 345 Ejercicios : Grupo 34 350 Tercera forma : Elipse con eje mayor paralelo-s^fSje X 352 Cuarta forma : Elipse con eje mayor paralelo al eje Y 353 Ejercicios : Grupo 35 358 www.freelibros.com
  9. 9. Contenido IX 8.3 Ecuación general de la elipse en posición ordinaria 360 Ejercicios : Grupo 36 364 8.4 Ecuación general de la elipse en posición no ordinaria 365 Ejercicios : Grupo 37 370 8.5 Tangente a una elipse 371 Ejercicios : Grupo 38 377 8.6 Cuerda de contacto 379 8.7 Diámetro de una elipse 381 8.7.1 Diámetros conjugados 382 Ejercicios : Grupo 39 384 8.8 Propiedades de la elipse 385 Ejercicios : Grupo 40 393 8.9 Lugares geométricos relativos a una elipse 394 Ejercicios: Grupo 41 398 8.10 Conjunto de puntos asociados con elipses 399 Ejercicios : Grupo 42 401 LA HIPERBOLA 9.1 Definición 403 9.2 Formas cartesianas de la ecuación de una hipérbola 403 Primera forma : Hipérbola con centro en el origen y eje transverso coincidente con el eje X 403 Segunda forma : Hipérbola con centro en el origen y eje transverso coincidente con el eje Y 405 Asíntotas de una hipérbola 406 Ejercicios: Grupo 43 412 Tercera forma : Hipérbola con eje focal paralelo al eje X 413 Cuarta forma : Hipérbola con eje focal paralelo al eje Y 414 Ejercicios: Grupo 44 418 9.3 Hipérbola equilátera 419 9.4 Casos especiales de hipérbolas equiláteras 420 9.5 Hipérbolas conjugadas 424 Ejercicios : Grupo 45 426 9.6 Ecuación general de una hipérbola en posición ordinaria 427 Ejercicios : Grupo 46 430 9.7 Ecuación general de una hipérbola en posición no ordinaria 430 Ejercicios : Grupo 47 434 9.8 Tangentes a una hipérbola 435 Ejercicios : Grupo 48 439 9.9 Cuerda de contacto 440 www.freelibros.com
  10. 10. X Contenido 9.10.1 Diámetros conjugados 443 Ejercicios: Grupo 49 445 9.11 Propiedades de la hipérbola 445 Ejercicios : Grupo 50 457 9.12 Lugares geométricos relativos a una hipérbola 459 Ejercicios : Grupo 51 462 9.13 Conjunto de puntos asociados con hipérbolas 463 Ejercicios : Grupo 52 465 I ] LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO 10.1 Clasificación de las cónicas de ecuación A x2+C y2+D x+E y+F = 0 10.2 Ecuación general de las cónicas Ejercicios : Grupo 53 10.3 Clasificación de las cónicas de ecuación general Ejercicios : Grupo 54 COORDENADAS POLARES 467 467 478 479 488 1 1.1 definiciones 491 11.2 Relaciones entre coordenadas polares y rectangulares 493 Ejercicios : Grupo 55 496 11.3 Distancia entre dos puntos 498 11.4 Area del Triángulo 498 Ejercicios : Grupo 56 499 11.5 Ecuación polar de la recta 500 11.6 Ecuación polar de la circunferencia 505 Ejercicios : Grupo 57 506 11.7 Ecuación polar de las cónicas 507 Ejercicios: Grupo 58 511 11.8 Gráficas de ecuaciones polares 512 Ejercicios : Grupo 59 11.9 Intersecciones de gráficas para ecuaciones polares 522 Ejercicios : Grupo 60 524 11.10 Lugares geométricos en coordenadas polares 525 Ejercicios : Grupo 61 528 RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS 530 www.freelibros.com
  11. 11. CONCEPTOS PRELIMINARES f f f f l CAMPO DE LA GEOMETRIA A N A LITIC A La Geometría Analítica es una de las partes de las Matemáticas que tiene por objeto el estudio de las relaciones entre el álgebra y la geometría euclidiana. Difiere en procedimiento de la que se estudia en la escuela secundaria por el hecho de que aquella emplea un sistema de coordenadas. La geometría analítica comprende en su estudio de puntos, rectas, curvas, ángulos y superficies a los números reales, por lo que debemos estar familiarizados con algunas de sus propiedades. Aunque en este libro no se toma interés en mostrar como tales propiedades se derivan de los axiomas de adición, multiplicación y or­ den, ya que estas consideraciones pertenecen al curso de Matemática Básica, sin embargo, dada su importancia y con la finalidad de darle mayor objetividad al curso, indicaremos en su oportunidad ¡as propiedades aplicadas. Así, pues, emplearemos parte de nuestro tiempo en aprender a construir una curva que corresponda a una ecuación dada, y el resto en formar una ecuación cuando se den las condiciones suficientes para determinarla. Por la geometría plana se sabe que un segmento rectilíneo es una porción de recta ( comprendida entre dos puntos A y B , cuya longitud se representa por AB o BA. No se hace mensión de su sentido. En el estudio de la geometría analítica es necesario considerar tanto la longitud como el sentido. El sentido de un segmento es el de la traslación de un móvil que lo recorre partiendo del origen o punto inicial A al extremo o puntofinal B. Se indica escribien­ C D SEGMENTOS ORIENTADOS www.freelibros.com
  12. 12. 2 Capítulo I: Conceptos preliminares do primero el origen y después el extremo , esto es : ÁB El segmento AB será positivo o negativo según que su sentido sea el positi- * / vo o el negativo de la recta t que lo contiene. Así, si la recta í está orientada positi­ vamente, de izquierda a derecha, como lo indica la flecha (Figura 1.1), entonces el segmento orientado AB tiene longitud positiva y el segmento BA, longitud negativa. Por lo que podemos escribir: ÁB = - BA (1) de donde : ÁB + BA = 0 l --------------- 4-------------------£------------ ^ (Sentido) V____________________________________________________) FIGURA 1.1 Consideremos ahora la posición de un tercer punto C, sobre el segmento orientado, con relación a los puntos A y B TEOREMA 1.1 Teorema de Chasles_______________________________________ Cualquiera que sea la posición de tres puntos A , B y C, de una misma recta , se verifica siempre la relación ÁC = ÁB + BC V____________________________________________________________________________ Demostración. En efecto, existen 3! = 6 ordenaciones posibles de los puntos A , B, y C sobre una misma recta l , dos de las cuales se muestran en la Figura 1.2 FIGURA 1.2 En la Figura 1,2a se tiene : AC + CB = BA Pero, según la relación (1), CB = - BC , por lo que : ÁC - BC = ÁB => ÁC = ÁB + BC En forma similar, en la Figura 1.2b : CB = CA + AB Por ser, CB = - BC y CA = - AC , la relación anteriorse convierte en : - BC= - ÁC + ÁB ■=> ÁC = ÁB + BC □ www.freelibros.com
  13. 13. Sección 1.3: Sistema coordenado lineal 3 La demostración del Teorema 1.1 para las otras cuatro posiciones diferentes de ¡os puntos A , B y C se deja como ejercicio. m SISTEMA COORDENADO LIN EAL__________________________ Sobre una recta orientada X’X cuya dirección positiva es de izquierda a de­ recha, coloquemos el punto fijo O , llamado origen. Si A es un punto a una unidad y a la derecha de O, entonces el punto P, contiene x, veces la unidad establecida de longitud OA ; luego diremos que el punto P, corresponde al número positivo xr Análogamente, si P,es un punto cualquiera de la recta X'X situado a la izquierda O, diremos que el punto que el punto P2corresponde al número negativo r De esu, modo cualquier número real x puede representarse por un punto P sobre la recta X’X. recíprocamente, cualquier punto dado P situado sobre la recta X’X representa un número real x, cuyo valor numérico es igual a la longitud del segmento OP y cuyo signo es positivo o negativo según que P esté a la derecha o a la izquierda de O. A esta correspondencia biunívoca que existe entre puntos de una recta numérica y los números reales se llama sistema coordenado lineal. X’ <- 0 A (Xj) (0) (1) (x,) (x) FIGURA 1.3 El número real x correspondiente al punto P se llama coordenada del punto P y se le representa por (x). El punto P con su coordenada (x) es la representación geométrica del número real x , y se escribe P(x) o P = (x). (Figura 1.3) TEOREMA 1.2 Distancia dirigida En un sistema coordenado lineal, la distancia dirigida entre dos puntos A(x,) y B(x2) sobre una recta está dada por ; d(A , B) = Xj - x, (2) Demostración. En efecto, sean A(x,) y B(x,) dos puntos cualesquiera de la recta dirigida X’X. (Figura 1.4) Por el teorema de Chasles : ÓA + ÁB = ÓB www.freelibros.com
  14. 14. 4 Capítulo 1: Conceptos preliminares Pero , OA = x, , AB = d(A , B) y OB = entonces : x, + d(A , B) = x, de donde : d(A , B) = x2- x, □ | OBSERVACIONES (1) La distancia dirigida entre dos puntos de un sistema coordenado lineal se obtie­ ne restando la coordenada del origen de la coordenada del extremo. (2) Cuando la distancia de A(x,) a B(x,) está en el sentido positivo , x2> x , , enton­ ces x2- x, es un número positivo (Figura 1.4). Es decir: AB > 0 , si A está a la izquierda de B. (3) Cuando la distancia de A(x,) a B(x,) está en el sentido negativo, x2< x , entonces x2 - x, es un número ne­ gativo (Figura 1.5). Es decir: FIGURA 1.5 AB < 0, si A está a la derecha de B. X'- (x2) (0) (x,) X (0) A -O- (x.) (x2) X FIGURA 1.4 DEFINICION 1.1 Distancia no dirigida En un sistema coordenado lineal, la distancia no dirigida en­ tre dos puntos A(xt) y B(x2) se define como el valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos , esto es : d(A , B) = Ix - x I = V(x, - x )2 (3) Los signos de valor absoluto se usan en esta ecuación para no especificar cuál de las coordenadas x, y x, es la m ayor, pues : | x2- x, I = Ix, - x2l | OBSERVACION 1.1 Si í es una recta orientada, entonces existe una función d : (x (- > R llamada distancia no dirigida entre dos puntos A y B de l , que cumple las siguientes propiedades a) d(A , B) > 0 , V A . B e R b) d(A , B) = 0 A = B c) d(A, B) = d(B, A) , VA , B e R d) d(A, C) < d{A , B) + d{B , C) , VA , B , C e R (Desigualdad triangular). www.freelibros.com
  15. 15. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 5 ü E JE M P L O S ILU S T R A T IV O S ( e j e m p l o T ) Segmentos orientados Sobre una recta l se ubican consecutivamente los puntos A , C , D y B ; siendo D punto medio de AB. Demostrar que CD = ~ (CB - ÁC) Demostración. En efecto, por el teorema de Chasles ÁD = ÁC + CD => CD = ÁD -Á C (1) También: CB = CD + D B = > C D = CB-DB (2) Sumando ambos extremos de (1) y (2) se tiene : 2CD = ÁD - ÁC + CB - DB Como D es punto medio de AB <=> AD = DB , por lo que : 2CD = CB - ÁC => CD = i(C B - ÁC) □ ( E J E M P L O 2 ) Segmentos orientados Sobre una recta ( se dan los puntos A , B , C y E ; de modo que AB = BC , CE=2AC y AD = | (AE). Demostrar que AD = AB + AC. Demostración. Efectivamente, por el teorema de Chasles se tiene : ÁE = ÁC + CE => ÁE = ÁC + 2ÁC = 3ÁC Si ÁD = ^(ÁÉ) => ÁD = |(Á C ) Luego , 2ÁD = 3(ÁC) = ÁC + 2ÁC = (ÁB + BC) + 2ÁC Como ÁB = BC ■=> 2ÁD = 2ÁB + 2ÁC ■=> ÁD = ÁB + ÁC □ ( E J E M P L O 3 J Segmentos orientados_____________________________________ Sobre una recta t se toman los puntos consecutivos A , B , C y D en el cual M es punto medio de AD (M en BC). Si MC - MB = 2 y AC + BD = 24, calcular AD. Solución. Por el teorema de Chasles : AC = AM + MC (1) BD = BM + MD 2 AC D FIGURA 1.6 www.freelibros.com
  16. 16. Capítulo I: Conceptos preliminares Como MD = ÁM <=> BD = BM + AM sumando ambos extremos de las re laciones (1 ) y (2) obtenemos : ÁC + BD = 2AM + MC + B~M = AT> + (MC - MB) <=> 24 = AD + 2 , de donde : AD = 22 (2) c 1 )< J B M C D FIGURA 1.7 □ ( E J E M P L O 4 J Trazado de puntos en la recta real En un sistema coordenado lineal trazar los puntos P(3) y Q(-V5) Solución. Sobre una recta numérica fijamos el origen O. En seguida a 3 unidades establecidas, a la derecha de O, ubicamos el punto P. Para encontrar el punto Q, construimos un triángulo rectángulo BAC , de catetos AB = 1 y AC = 2. Por el teorema de Pitágoras obtenemos : BC = V(1)J+ (2)2= V5 . Luego con un compás, haciendo centro en O, trasladamos la magnitud BC sobre el eje real, a la izquierda de O , y ubicamos de este modo el punto A(-V5) (-V5) (3) □ (~ E JE M P LO 5 j Trazado de un conjunto solución en la recta real Trazar los puntos, cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones : a) Ix- 2 I = 5 b) 13x - 5! = 7 - x c ) | x + 2 | + | x - l | = 5 Solución.Según la propiedad : | x i = a <=> a > 0 a (x = a v x = - a ) , se sigueque : a) Ix- 2 1 =5 <=> (x- 2 = 5) v (x - 2 = -5) <=> (x = 7) v (x = -3) Luego , dibujamos en la recta real los puntos A(-3) y B(7) b) | 3x - 5 I = 7 - x <=> (7 - x > 0) a (3x - 5 = 7 - x) v (3x - 5 = - 7 + x) <=> ( x < 7 ) a ( x = 3 v x = - 1) www.freelibros.com
  17. 17. EJERCICIOS ILUSTRATIVOS 7 Como ambas soluciones satisfacen la desigualdad x < 7 , ubicamos en la recta real los puntos A(- 1) y B(3) X ' « ¿----------------- * X (-D (3) c) |x + 2l + | x ■ 1I = 5 Según la definición de valor absoluto x + 2 , si x > -2 , . r x - 1 , si x > 1 x + 2 I r x + ¿ , six ¿ -¿ . . r x - l , "i -x - 2 , si x < -2 ■ l x - l l = i - x + l , si x < 1 Entonces en la ecuación dada : Si x < - 2 ■=> (- x - 2) + (- x + l ) = 5. <=> x = - 3 - 2 < x < 1 ■=> (x + 2) + (- x + 1) = 5 <=> 3 = 5 (Absurdo) x > l ■=$ (x + 2) + ( x - 1) = 5 c=> x = 2 Por lo tanto , trazamos en la recta real los puntos A(- 3) y B(2) X - * ,■ ■ , § , S------------ > x □ (-3) <2) { E JE M P L O 6 ) Relación de orden en la recta real_________________________ Si a < b determinar tres números que están entre a y b , y des­ cribir la relación de orden entre ellos. Solución. Si A y B son dos puntos diferentes de una recta X’X, cuyas coordenadas son a y b respectivamente , entonces existe un punto C de dicha recta tal que C está entre A y B. Según este enunciado , si a < b , entonces a * ^ es tal que : a < < b Del mismo modo , si a < a * ^ _entonces a < - - y < ^ « a < 3 i ± b < i i b (1) a ± b +b a + b . a + b _ 2 ■u 11 2 + b , a + 3b . LTambién , si — — < b ^ ^----- < b ^— < b ¿.) Por lo que , de (1) y (2) se sigue que : „ , 3 a + b , a + b ^ a + 3b . u a< — 4- < - 5- < — j - < b x>< A m C___________________ B____ ^ x (a) |3a + bj + bj ^a + 3bj (b) www.freelibros.com
  18. 18. 8 Capítulo 1: Conceptos preliminares C e je m p lo 7 ) Trazado de un conjunto solución con intervalos____________ Caracterizar geométricamente la posición de los puntos , cu­ yas coordenadas satisfacen las desigualdades dadas. a) 2x ~1 < 1 b) x2 + x - 12 > 0 c) I x + 5 1 < 2 x - 2 Solución. Aprovechando las propiedades de los números reales para desigualda­ des procedemos a resolver cada ejercicio a) _ 1 < o ü l < o x - 2 x - 2 o ( x + 1 < O a x - 2 > O ) v ( x + 1 > 0 a x - 2 < 0 ) <=í> (x < - ! a x > 2 ) v (x > - 1 a x < 2 ) o ( 0 ) v (- 1 < x < 2) Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo acotado [ -1 , 2 > , esto es , los puntos que satisfacen la desigualdad dada se encuentran dentro del segmento limitado por los puntos A (-l) y B(2), incluyendo A. A B -o- (-1) (2) b) Completando el cuadrado en la desigualdad dada se tiene : x2+ x + l > 1 2 + l « (x + i ) 2> ^ 4 4 V 21 4 De la propiedad : x2>a « x S - V a ó x>Va ,se sigue que Í V J . 4 5 Y 4 . 1 < 7 , 1 > 7 (X + ^J 2 T ~ X + 2 - " 2 0 "2 "2 o x < - 4 ó x > 3 Por tanto, la posición de los puntos que satisfacen la desigualdad están dados fuera del segmento limitado por los puntos A(-4) y B(3), incluyendo ambos. X’ •*-* — o——-------------------------- *— i» ► X (-4) (0) (3) c) |x + 5| <2 « - 2 < x + 5 < 2 <=> - 7 < x < -3 La posición de los puntos que satisfacen la desigualdad se encuentran en el intervalo < -7 , -3 > ; segmento acotado por los puntos A(-7) y B(-3) X’ «--------------------- o-------------------o-----*---- .— o--------------------- * X □ (-7) (-3) (0) www.freelibros.com
  19. 19. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 9 CEJEMPLO 8 ) Hallar las distancias dirigida y no dirigida entre los puntos A(-2) y B(-7) Solución. Por el Teorema 1.2 : d(A , B) = x2 - x, = -7 - (-2) = -5 y por la Definición 1.1 : d(A , B) = | x, -x, I = |-5 | = 5 O EJEMPLO 9 ) La distancia entre dos puntos es 4 , si la coordenada de unode los puntos es (-1) t hallar el otro punto. Interpretar geométricamente el resultado. Solución. Supóngase que A = (-1), d(A , B) = 4 y B(x2) es el punto buscado. Por L Definición 1.1: d(A ,B)= I x2 - x, I , entonces si I x j- (-1)| =4 <=> |x2+ I I =4 o x2 + 1 = 4 ó x2+ 1 = -4 « x2= 3 ó x2= -5 Por lo tanto , hay dos soluciones : B(3) y B’(-5) Interpretación geométrica. (.---------- 4 ----------- + ----------- 4 -----------^ X’ «---------------§----- 1------ *------.----- á -----*------ .-------------§--------------- * X □ (-5) (-1) (3) ( e j e m p lo 1 0 ) Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los puntos A(-8) y B(10) Solución. Sean P(xt) y Q(x2) los puntos de trisección y M(x) el punto medio del segmento dirigido AB. A_________________ P________ M_______Q________________ B (-8) (x,) (x) (x2) (10) AP 1 — — Si pg = y pb = 2A P, ypor el Teorema 1.2 : xB- xp= 2(xp - xA) 10 - x, = 2[x, - (-8)], de donde : x, = - 2 O es el puntomedio de PB ■=> PQ = QB •=> Q- xp= xB- cz» X,- (-2) = 10 - x 2 « x, = 4 M es el punto medio de AB ■=> AM = MB ■=> x - (-8) = 10 - x <=> x = 1 En consecuencia , los puntos solución son : P(-2) , Q(4) y M( 1) □ www.freelibros.com
  20. 20. 10 Capítulo I: Conceptos preliminares [ e j e m p l o 1 1 ) El segmento orientado de extremos A(-1) y B(3) se prolonga hasta el punto P de manera ^ue 2AP = 3AB. Hallar la coorde­ nada del punto Q(x) que divide al segmento PB en la razón 1/3 Solución. Supóngase que P(x,). Si 2AP = 3AB , entonces por el Teorema 1.2 : 2[ x, - (-1) ] = 3[ 3 - (-1) ] , de donde x, = 5 ^ p(5) S i g = 4 =» 3PQ = QB .=* 3(x - 5) = 3 - X <=> x = 9/2 Q(9/2) □ [E J E M P L O 1 2 ) El punto P(1) divide al segmento AB en la razón 3/2. Si I ABI = 15 , hallar las coordenadas de A y B. Solución. Sean A(x,) y B(x,) AP 3 — — S i ^ - = y => 2AP = 3 PB c=> 2(1 -x,) = 3(x,- 1) (Teorema 1.2) ■=> 2x, + 3x, = 5 (1) Dado que (AB I=15 «=> |x 2- x , | =15 <=> x2- x, = ± 15 (2) Resolviendo simultáneamente laecuación (1) con las ecuaciones (2), obtenemos : Xj = -8 , x2= 7 ó x, = 10 , x, = -5 Por lo tanto , los extremos del segmento AB son : A(-8) y B(7) ó A(10) y B(-5) □ EJERCICIOS: Grupo 1 1. Sobre una recta í se toma 4 puntos consecutivos A, B, C, y D. Si E y F son pun­ tos medios de AB y CD, demostrar que EF = 1(AC + BD). / 2. Sobre una recta ( se toman los puntos consecutivos A, B, C. y D, de modo que = . Si BC x CD = 28 y CD - BC = 7 , hallar el valor del segmento AC. E3C C/D 3. Sobre una recta /' se dan los puntos consecutivos A, B, C, y D. Se toma M punto medio de AB y N punto medio de CD; si AC = 18 y BD = 4, hallar el valor de MN. 4. Sobre un sistema coordenado lineal trazar los puntos A(-3/2), B(V3 ), C(-3/7) , D(V7), E(- VÍ2 ) 1 5. Trazar los puntos cuyas coordenadas satisfacen a las ecuaciones dadas, a) 13x - 1 | = 2x + 5 J d) 2 - 5 1 - 3 1 = 5x - 8 www.freelibros.com
  21. 21. EJERCICIOS : Grupo I_____(_ 11 b) Ix2 - 4 I = 4 - 2x e) I x - 4 12 - 5 1x - 4 I + 6 = O c) I x + 2 1 + 1x - 3 1 = i y f) 2 1 x + 1 ! - 3 1x - 2 1+ Ix ¿ 5 1= x + 2 6. Si a < b , ubicar los números dados en la recta real y dar la relación deorden que cumplen . ( Guía: Ejemplo 6) a + 7b , a + 3h , 7a + b , 3a + b , a + b 8 4 8 4 2 / 7. Caracterizar geométricamente la posición de los puntos cuyas coordenadas satisfacen a las siguientes desigualdades a) 1 < JLlI < 2 d) U - .8I - * + I * + 4 | < 3 5 x + 1 3 x + 2 b) 3x2 - 5x > 2 e) 12x - 3 |2 + 2 12x - 3 1 - 8 < 0 c) x(3x + 2) :£(x + 2)2 f) Ix2 - 5x I< 6 8. En la recta real se consideran cuatro puntos A, B, C, y D que cumplen -é) | A - B l - l A - C l = I B - C l ■LL) | B - A I - I B - D | = IA - D | ¿U) IA - D | < I C - A | Ubicar los puntos en dicha recta. 9. En los ejercicios siguientes se dan la distancia entre dos puntos y uno de los puntos; se pide hallar, en cada caso, el otro punto. Interpretar geométricamente el resultado. (Guía: Ejemplo 9) • - A n/ i/ -■ > ¡ 1 ■: a) d(A , B) = 5 , B(-2) / c) d(A , B) = 3 , A(-5) b) d(A , B) = 8 , A(3) J d) d(A , B) = 6 , B(2) P ' ^ h ^ ^------------------- .S ' ^ í • 10. En los ejercicios siguientes se dan los puntos A y B. Hallar los puntos P y Q que trisecan al segmento AB. (Guía: Ejemplo 10) a) A(2) , B(14) b) A(-2) , B(9) 14. En un sistema coordenado lineal, A(x,) y B(x2) son los puntos extremos dados de un segmento dirigido. Demostrar que la coordenada (x) de un punto P que — AP x. + r x, divide a AB en la razón dada r = -Q=- , es : x = —-—— , r * -1 PB 1 + r 2. El segmento que une los puntos A(-2) y B(4) se prolonga hasta un punto P(x), de modo que AP = 3BP. Hallar las coordenada del punto P. 12. 13. En un segmento rectilíneo limitado por los puntos A(-4) y B(2) se prolonga hasta y el punto P(x), de modo que 5 BP = 2 AP. Hallar la coordenada del punto Q(x) que divide al segmento PB en la razón r = 3/2 (Guía: Ejemplo 11). . . . . www.freelibros.com
  22. 22. 12 Capítulo /. Conceptos preliminares 14. Dados los puntos A(-1) , B{3) y C(6) . determinar el punto P(x) que divide al segmento AB en la misma razón en que divide al segmento BC. 15. Determinar la coordenada del punto M conociendo : a) A(-1), B(3) y r ^ = - 2 b) A(1) ■B('3) V r = g j* = '3 16. El punto P(-3) divide al segmento orientado AB en la razón 1/3. Hallar las coor­ denadas de A y B , sabiendo que IAB I = 8. (Guía: Ejemplo 12). 17. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento dividido en tres partes iguales por los puntos P(-17) y Q(-5) 18. Dados los punios A(5) y B(-3), determinar: a) la coordenada del punto M simétrico al punto A con respecto al punto B b) la coordenada del punto N simétnco al punto B con respecto al punto A [Sugerencia: a) AM = 2BM , b) BN = 2ANJ. lO Fa EL SISTEM A COORDENADO RECTANGULAR_____________ Consideremos dos rectas perpendiculares entre si, que se interceptan en el punto O y dividen al plano en cuatro cuadrantes. La recta horizontal OX se llama eje X o eje de las abscisas, y la recta vertical OY se llama eje Y o eje de las ordenadas Su intersección O es el origen de coordenadas. El sentido positivo de la recta hori­ zontal es hacia !a derecha y el de la vertical hacia arriba. Cualquier punto P en el plano está identificado por un par ordenado (x , y) de números reales asociados con él. El número x, llamado abscisa, representa la dis­ tancia dirigida desde el eje Y al punto, y el número y, llamado ordenada, ia distancia dirigida desde eje X al punto. Ambos números constituyen las coordenadas dei pun­ to P y se simboliza P(x , y) o P = (x , y). El modelo para su representación se llama sistema coordenado rectangular o plano cartesiano y se le simboliza por Rr, esto es R1= { (x , y) ¡ x e y son números reales } Los puntos A y B son, respectivamente, las proyecciones del punto P sobre los ejes X e Y. Sobre el signo que asumen las abscisas y ordenadas en los cuatro cuadrantes del plano se indica en la Figura 1.8. En seguida dos afirmaciones que nos permiten identificar cada punto del plano cartesiano con los elementos del mismo. a) A cada par de números reales (x , y) le corresponde uno y solamente un punto P del plano coordenado. www.freelibros.com
  23. 23. Sección 1.5: Distancia entre dos punios 13 FIGURA 1.8 b) Recíprocamente a cada punto P del plano le corresponde uno y solamen­ te un par de coordenadas (x , y). La localización de un punto en el plano por medio de sus coordenadas se llama trazado del punto. Por ejemplo, para trazar el punto P(-4,5), señalamos prime­ ro el punto A sobre el eje X, cuatro unidades a la izquierda del eje Y, luego el punto B, sobre el eje Y, cinco unidades arnba del eje X. La intersección de las paralelas a ambos ejes trazados de los puntos A y B localizan al punto P. (Figura 1.9) I OBSERVACION 1.2 Todos los puntos situados sobre una recta paralela al eje Y tienen la misma coorde­ nada x , y todos los puntos sobre una recta paralela al eje X tienen la misma coorde­ nada y. Así, los puntos A (2, l ), B(2 ,4), C(2 , -3) están sobre una línea vertical, y los puntos D(-3 , 3), E(0 , 3), F(5 , 3) están sobre una línea horizontal. 0 9 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS TEOREMA 1.2 Lafórmula de la distancia La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano cartesia­ no A(Xj, y,) y B(x2, y2) viene dada por la fórmula d(A , B) = V(x2- x,)! + (y, - y,)2 (4) Demostración. Sean P(x( , y) y Q (x,, y) dos puntos cualesquiera sobre una línea horizontal. Entonces, por la Definición 1.1 : www.freelibros.com
  24. 24. 14 Capítulo I: Conceptos preliminar'^ ¿ (P ,Q )= |x 2-x, I ‘ (1) Del mismo modo,-si M (x, yr) y N(x , y,) son dos puntos cualesquiera sobre una línea vertical, entonces d(M . N) = I y2- y ,! (2) Consideremos ahora A (x ,, y,) y B (x,, y2) dos puntos cualesquiera en el plano (Figu­ ra 1.10). Si la recta que contiene a A yB no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, dibujamos una recta que pase por A paralela al eje X y una recta que pase por B paralela al eje Y, si C es el punto de intersección de estas paralelas, sus coorde­ nadas, según la Observación 1.2, son (x2, y,). Luego, por el Teorema de Pitágoras : I ÁB 12= IÁC 12+ ICB I: Pero, por (1) y (2): I AC I = I x, - x, I , ICB | = I y2- y, I c=> I ÁB 12= (x2- x,)2+ (y2- y,)2 Por lo que : d (A , B) = V(x2- x,)2+ (y2- y,)2 □ E JE M P L O S IL U S T R A T IV O S ( EJEM PLO 1 ) La abscisa dé un punto es -6 y su distancia al punto A(1 ,3) es V74. Hallar la ordenada del punto. Solución. Sqa P(-6 , y) el punto cuya ordenada se desea conocer. Si d (A , P) = V74 <=* V(-6 - 1)2+ (y - 3)2= V74 (Teorema 1.3) Elevando al cuadrado ambos extremos de esta ecuación obtenemos 49 - (y - 3)2= 74 <=> (y - 3)2= 25 <=> y - 3 = 5 ó y - 3 = -5 « - y = 8 ó y = -2 Q [E JE M P LO 2 j Demostrar mediante la fórmula de la distancia que los puntos A(-3 , 10) , B(1 , 2) y C(4 , -4) son colipeales, es decir, que están sobre una misma línea recta. Demostración. Si A, B y C son puntos colineales, entonces por el Teorema de Chasles, se debe verificar que : IAC I = !AB I + IBC I www.freelibros.com
  25. 25. Sección 1.5: Distancia entre dos punios 15 En efecto, por la fórmula de la distancia, tenemos : IÁC I = V(4 + 3)2+ (-4 - I0)2= 7 V5 I ÁB I = V(1 + 3)2+ (2 - 10)2= 4 VJ |BC| = V(4 - l )2+ (-4 - 2)2= 3 <5 Dado que : 7 V5 = 4 V5 + 3 5 IÁC I = I ÁB I + IBC | V v O ' K , > > / a ' ' □ r^ EJEMPLO 3 J Hallar las coordenadas del punto que equidista de los puntos fijos A(4 , 3), B(2 , 7) y C(-3 , -8). Solución. Sea P(x , y) el punto que equidista de los puntos A, B y C. Entonces se debe verificar que: s j d(A , P) = d(B , P) = d(C , P) Si d(A , P) = d(B , P) => V(x - 4)2+ (y - 3)2= V(x - 2)2+ (y - 7)J<=> x - 2y + 7 = 0(1) Si d(B , P) = d(C , P) <=> V(x - 2)’ + (y - 7)! = V(x + 3)2+ (y + 8)2<=> x + 3y + 2 = 0(2) De (1) y (2), por simultáneas, se obtiene las coordenadas del punto buscado, esto es, x = 5 , y = -1 , oseaP(5,-l) Q ( EJEMPLO 4 ) Demostrar que eltriángulode vértices A(4 , 7), B(-1 ,-8) y C(8 , -5) es un triángulorectángulo. Hallar elperímetro ysu área. Demostración. Si A, B y C son los vértices de un triángulo rectángulo (Figura 1.11), entonces por el Teorema de Pitágoras se debe verificar que : I ÁB 12= I BC12+ IC A 12 En efecto, por el teorema de la distancia, se tiene: I ÁB I = V(-l - 4)-’ + (-8 - 7)2= V25Ó= 5 VTo Ib c ! = V(8 + l )2 + (-5 + 8)2= V90 = 3 VTo I CA I = V(4 - 8)2+ (7 + 5)2= VÍ6Ó= 4 v'lO Dado que : (y¡250)2= (V90y + (VTóO)2 | AB 12 =I BC 12+ ICA |2 Perímetro del AABC: 2p = (5 + 3 + 4) VÍO = 12 VIO a(AABC) = —[ IBC I ) ( ICA I) = |(3V l0 ) ( 4 ^ ) = 60 u2 INota. Aunque la Figura 1.11 no era esencial para resolver el ejemplo 4, se recomienda al lector que maneje figuras auxiliares al resolver problemas. www.freelibros.com
  26. 26. 16 Capitulo I . Conceptos prp/,,, ( ( EJEM PLO 5 J Demostrar que el^eoádrilátero cuyos vértices son A(-6 -2) B(-2 , -1), C(-1 , 3), D(-5 , 2) es un rombo. Hallar su área Demostración. Debemos probar que IAB I = I BC I = ICD | = i DA I y IAC !^ | Bf> En efecto, por el Teorema 1.3 )AB | = V(-2 + 6)2+ (-1 + 2)- = VÍ7 IBC I = V(-l + 2)2+ (3 + l)2' = rf7 ICD I = V(-5 + y+ (2-3): = Vj7 !DA I = V(-6 + 5)2+ (-2 - 2)2= VT7 IÁC I = V(-l +6)’ +(3 + 2)J= 5 VI IbdI = V(-5 + 2)-’ + (2 + 1)“' = 3 VI Por lo que : IÁB I = IBC I = ICD I = I DA I y IÁC I ^ BD CE J E M P L O 6 ^ Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(3 , 1) y B(-1 , -1). hallar las coordenadas del tercer vértice. Solución. Sean (x , y) las coordenadas del tercer vértice C Para que el triángulo sea equilátero es necesario que IAB I = IBC I = ICA | IÁB I = V(-1 - 3)2+ (-1 - l)2= 2 V5 De I ÁB I = I BC I : 2 V5 = V(x + 1)2+ (y + 1)’- o x2+ y2+ 2x + 2y = 18 (1 ) De | ÁB I = i CÁ | : 2 V5 = V(x - 3)2+ (y - l )2 c=> x2+ y2- 6x - 2y ) = 10 (2) Restando (1) - (2) se obtiene 2x + y = 2 ■=> y = 2 -2 x (3) Como se sabe, (3) representa la mediatriz del segmento AB. Sustituyendo (3) en (1) se tiene : x2+ (2 -2x)2+ 2x + 2(2 - 2x) = 18 <=> x2- 2x - 2 = 0 de donde : x, = 1 - VI ó x, = 1 + VI Valores que sustituidas en (3) dan : y, = 2 VI ó y, = -2 VI Hay , por lo tanto, dos soluciones : C(1 - V I, 2 VI) ó C’(l + VI , -2 VI) □ www.freelibros.com
  27. 27. Sección 1.5: Distancia entre dos puntos 17 f EJEMPLO 7 ) Los extremos de la cuerda de una circunferencia, cuyo radio es 3^5, son A(10 , -8) y B(7 , 1). Determinar las coordenadas del centro de ésta. Solución. Sea C(x , y) el centro de la circunferencia d(A , C) = d(B , C ), por ser radios => /(x - 10)2+ (y + 8)2= V(x - 7)2+ (y - l)2, de donde x = 3y + 19 (1) Dado que : IBCI = 3^5 «=>V(x - 7)2+ (y -l )2 =3^5 *=> x2+ y2- 14x -2y + 5= 0 (2) Resolviendo, por simultáneas (1) y (2), obtenemos C(13 , -2) ó C(4 , -5) □ ( EJEMPLO 8 J Determinar el punto Q simétrico al punto P(-1 , 6) con respecto a la recta que pasa por los puntos A(-5 , -1) y B(3 , 3) Solución. Como se sabe la recta que pasa por los puntos A y B es mediatriz del segmento de extremos Py Q, pues ambos están a la misma distancia de dicha recta. En consecuencia IAP| = IAQ | ■=>V(-l + 5)2+ (6 + 1)2= V(x +5Y + (y+ l )2 x2+ y2+ 1Ox + 2y = 39 (1) I BPI = I BQ | <=>V(-l - 3)2+ (6 - 3)2= V(x - 3)2+ (y - 3)2 .=>x2+ y2- 6x - 6y = 7 (2) Restando (1) - (2)obtenemos2x + y = 3 <=* y = 4-2 x Sustituyendo este valor en (2) , se tiene : x2+ (4 - 2x)2- 6x - 6(4 - 2x) = 7 o x2- 2x - 3 = 0 <=> x = 3 ó x = -1 Dado que x = -1 es la abscisa de P, entonces x = 3 es la abscisa de Q , luego y = 4 - 2(3) = -2 . Por lo que , Q = (3 , -2). CD I OBSERVACION 1.3 En un sistema coordenado rectangular, la proyección de un segmento AB, de extremos A(x,, y,) y B(x2, y2), sobre el eje OX se indica con el símbolo X = ProyxAB , y la proyección sobre el eje OY, con el símbolo Y = ProyecAB. Ambas proyecciones pueden calcularse por las fórmulas X = x2- x, (5) Y = y2-y , (6) :> ^CL V_____ V ^ R ( 3 ,3) • ^ V s .-T T ~ V ' " " T I " A - ~ OQ(x.y) , V FIGURA 1.15 www.freelibros.com
  28. 28. 18 Capitulo 1: Conceptos preliminares Si a es el ángulo de inclinación del seg- mentó AB con respecto al eje positivtí'bx . y d = d(A , B) , las fórmulas X = d Cos a Y = d Sena (7) expresan las proyecciones de un segmento arbitrario sobre los ejes coordenados me­ diante su longitud y su ángulo de inclinación o ángulo polar a. De las ecuaciones (7) se deducen las fórmulas d = dX2+ Y3 Cosa = X Sena = FIGURA 1.16 Y VX2+ Y2 (8) dX2+ Y2 que expresan la longitud y el ángulo polar del segmento mediante sus proyecciones sobre los ejes coordenados. □ ( e j e m p l o 9 ) Dadas las proyecciones del segmento AB sobre los ejes coor­ denados X = 5 , Y = -4 ; hallar las coordenadas de su extremo, sabiendo que su origen está en el punto A(-2 , 3) Solución. Haciendo uso de las ecuaciones (5) y (6) tenemos : X = x -x, •=> 5 = x, - (-2) ■=* x, = 3 j- B(3 , -1) Y = y -y c* -4 = y2-(3) =* y = - l □ ( e j e m p lo 1 0 ) La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto M(3 , -2), la proyección sobre el eje de abscisas es igual a -12. Hallar las coordenadas del extremo de este segmento, si forma con el eje de ordenadas : a) un ángulo agudo , b) un ángulo obtuso. Solución. Supóngase que N = (x2- y2) Si X = -12 => x2 - x, = -12 y como x, = 3 => x, = 3 - 12 = -9 | MN 1 = 13 «=> V(-9 - 3)2+ (y2+ 2)2= 13 , de donde : (y, + 2)2= 25 « y2+ 2 = 5 ó y2+ 2 = -5 o y2= 3 ó y2= -7 Luego, los puntos buscados son : a) N(-9 , 3) , b) N’(-9 , -7) □ f Nc Yj "N i N’< v <3 "1 >X 1 -J FIGURA 1.17 www.freelibros.com
  29. 29. EJERCICIOS : Grupo 2 19 EJERCICIOS: Grupo 2 1. Hallar la distancia que separa a los puntos A y B. escribir el resultado en la forma más simplificada posible. a) A(m , n ) , B (m-^ 1^ , n + ^ ^ ) b) A(Sena , C osa), B(- Sen(3, CosP) 2. La ordenada de un punto es 8 y su distancia al punto B(5 , -2) es 2V4T; liailar la abscisa del punto. (Guía: Ejemplo 1). v •=• ^ / 3. Determinar el valor de b si la distancia entre los puntos A(7 , 1 ) y B(3 , b) es 5. 4. Usando la fórmula de la distancia, demostrar que los puntos dados son colinea- les (Guía: Ejemplo 2). a) A(-2 ,-5) , B(1 ,-1) , C(4 , 3) 5. Determinar la naturaleza de cada uno de los siguientes triángulos cuyos vérti­ ces son los puntos dados. (Guía: Ejemplo 4) a) A(-5 , 3), B(3 , 2 ), C(-1 ,-4) c) A(3,1),B(-1 , -1 ), C ( 1 - , 2 V3) b) A(2 , -1) , B(6 , 7) , C(-4 , -3) d) A(6 , 5), B(3 , 7), C(2 , -1) 6. Hallar las coordenadas del punto P que equidista de los tres puntos dados (Guía: Ejemplo 3). a) A(-11 , 3) , B(6 , 10) , C(1 , 11) b) R(2 , 3), S(4 , -1), T(5 , 2) 7. Demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son A(-8 , -3), B(-2 , 6), C(8 , 5) y D(2 , -4) es un paralelogramo. (Guía: Ejemplo 5. Lados iguales dos a dos y diagonales de diferente longitud). 8. Demostrar que el cuadrilátero con vértices en A(-2 , -1), B(5 , -4), C(-1 , -18) y D(-8 , -15) es un rectángulo. (Guía: Ejemplo 5. Lados iguales dos a dos y diagonales de igual longitud). 9. El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos A(2 , -1) y B(-1 , 2) y los lados iguales miden cada uno unidades, hallar el vértice opuesto al lado desigual. (Guía: Ejemplo 6). 10. Hallar un punto sobre la gráfica de SB= {(x , y) | x - 3y - 9 = 0} que equidista de los puntos A(3 , 3) y B(8 , -2) 11. Los extremos de la cuerda de una circunferencia, cuyo radio es 5, son A(2 , 6) y B(1 , -1). Hallar las coordenadas del centro de la circunferencia. 12. Dos vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(1 , 0) y B(-1 , 2^3). Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Guía: Ejemplo 6). www.freelibros.com
  30. 30. 20 Capitulo I: Conceptos preliminares 13. Dados tres vértices A(3 , -7) , B(5 , -7) , C(-2 , 5) de un paralelogramo ABCD, cuyo cuarto vértice D es opuesto a B, determinar las longitudes de las diagonales de este paralelogramo. 14. El lado de un rombo es igual a 5V10 y dos de sus vértices opuestos son los puntos P(4 , 9) y Q(-2 , 1) Calcular el área de este rombo. 15. Los puntos A(-3 . 1). B(0 , 2) y C(-2;3 , 2) son vértices de un triángulo. Calcular su ángulo externo con el vértice en el punto A (Sug. Calcular las longitudes de los lados del triángulo y luego aplicar la ley de los cosenos). 16. La longitud del segmento MN es igual a 17, su extremo está en el punto N(-7 , 3) y la proyección sobre el eje de ordenadas es igual a 15. Hallar las coordenadas del origen de este segmento, si se sabe que forma con el eje de abscisas , a) un ángulo agudo , b) un ángulo obtuso. (Guía: Ejemplo 9). 17. Hallar en el eje X un punto M, cuya distancia hasta el punto N(2 , -3) es igual a 5. 18. Dados los puntos M(2 , 2) y N(5 , -2), hallar en el eje de abscisas un punto P de modo que el ángulo MPN sea recto. 19. Por el punto M(1 , -2) se ha trazado una circunferencia de radio 5 , tangente al eje X. Determinar el centro de la misma. 20. Determinar las coordenadas del punto P, simétrico al punto Q(1 . 2) con respec­ to a la recta que pasa por los puntos A(-1 , 0) y B(-1 , -2). (Guía: Ejemplo 8). 21. Los vértices de un triángulo son : A(-3 . 6), B(9 , -10) y C(-5 , 4). Hallar el centro C y el radio r de la circunferencia circunscrita en él. (Guía: Ejemplo 3). DIVISIO N DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA Sean A ( x , y,) y B(x., y,) dos puntos del plano que determinan el segmento dirigido AB. Trataremos de hallar las coordenadas x e y de un punto P que esté contenido en él o en su prolongación, de modo que divida a éste es una razón dada, esto es : M = r (1) Para determinar x , por los puntos A , P y B tracemos perpendiculares al eje X , tal como se indica en la Figura 1.18. Llamemos a los pies de estas perpendiculares C , Q y D respectivamente. www.freelibros.com
  31. 31. Sección 1.6: División de un segmento en una razón dada 21 Por la geometría elemental sabemos que tres rectas paralelas determinan sobre dos secan­ tes segmentos proporcionales. Esto es AP CQ PB QD Dado que CQ = x - t y QD = x2- x , entonces AP _ x - X, m PB x, - x Luego, de (1 ) y (2) se sigue que : x - xl _ x, + r x2 r * -1 Xj- x i + r De manera semejante, podemos comprobar que y .+ r y2 + r r * - l Hemos demostrado pues el siguiente teorema. FIGURA 1.18 TEOREMA 1.4 Si A (x,, y,) y B (x,, y2) son los extremos de un segmento diri- rigido AB , las coordenadas de un punto P(x , y) que divide a este segmento en la razón dada , r = , son : x = x, + r x, 1 + r ’ y 1 + r a) Si r > 0 , el punto P es interno al segmento dirigido AB b) Si r < 0 , el punto P es externo al segmento dirigido AB _ y, + r y2 t * - l (5) Para el caso particular en que r = ) tenemos el siguiente corolario. COROLARIO Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido cuyos extremos son A(x, , y,) y B(x2 , y2) están dadas por : x = i ( x , + x2) , y = I ( y , + y2) a (6) □ E JE M P L O S IL U S T R A T IV O S ñ ♦ - 1 ( EJEMPLO 1 ) El segmento que une A(-2 , -1) con B(2 ,2) se prolonga hasta C. Sabiendo que BC = 3AB , hallar las coordenadas de C. Solución. Resolveremos el problema por dos métodos. www.freelibros.com
  32. 32. 22 Capítulo!: Conceptos preliminares Método 1. Consiste en hacer uso de las"éGuaciones (5) del Teorema 1.4 A Como el punto C(x , y) está en la prolonga­ ción de AB , entonces r = - 4/3 , luego : „ _ x, + r x2 -2 + (-4/3)(2) _ ~ T T T ~ 1-4/3 " ,4 y = Y, + r Y, _ -1 +(-4/3)(2) } C(14 , 11) 1+ r 1-4/3 Método 2. Consiste en escribir directamente la razón dada y hacer uso del Teore­ ma 1 .2 , esto es , s i: BC = 3 ^ xc - xB _ yc - yB _ 3 _ x - 2 _ y - 2 _ AB xB- x A yB- y A 2 - (-2) " 2 - (-1) de donde : x = 14 , y = 1 , por lo que C( 14 , 1 1 ) IZ1 Es evidente que este método es mucho más práctico que el anterior, pues aquí no es necesario conocer, de antemano, el signo de la razón y recordar las fórmulas del Teorema 1.4. ( EJEM PLO 2 ) Hallar los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son los puntos A(-5 , 3) y B(4 , 21). Solución. Sean P y Q los puntos de trisección del segmento AB. Entonces s i: ap _ i .. Xi>- xA yp - ya i . PB ~ 2 xB- xp yB- y„ 2 j 1 * r 1 x - (-5) _ y - 3 1 A p Q B ^ 4 - x 21 - y 2 - 'i ? ) de donde : x = -2 , y = 9 , por lo que P(-2 , 9) Q es punto medio de PB , entonces, según las ecuaciones (6), tenemos : x = |(-2 + 4) = 1 , y = 1(9+ 21)= 15 . Porto tanto : Q (1 , 15) □ Jv 'VJSKi ( EJEM PLO 3 ) Si A es punto medio del segmento cuyos extremos son Q (-5,2) y R(1 , 6) y B es el punto que está a una tercera parte de la distancia que separa a S(-2 , 6) de T(1 , 9), hallar la d(A , B). >. Solución. Si A es punto medio de QR => a ( — <=> A(-2 , 4) Sean (x , y) las coordenadas de B. www.freelibros.com
  33. 33. Sección 1.6: División de un segmento en una razón dada 23 s¡ — ^/3 _ ^ - Xs _ v y s _ t B T “ 2/3 " 2 ~ yT - y ¡ - 2 |*--------1/3------- +------------------- 2/3------------------i o----------------o o X - (-2) _y -6 _ J_ S B T 1 - x 9 - y 2 de donde obtenemos : x = -1 , y = 7 <=>B (-l , 7) d(A , B) = V(-l + 2)2 +(7 - 4)2= VTÓ □ ( EJEMPLO 4 ) Sean los puntos A(-1 , -2) y B(0 , 0), y sea rlarazón en que el punto P(a , b) de la gráfica de SU: 2y = 4 + x ,divide al segmen­ to AB . Hallar el valor de r y las coordenadas de P. Solución. Si P(a , b) e SÉ■=> 2b = 4 + a => b = -i (4 + a) (1) AP Xp- xA _ Vp-yA PB xB- x,, y, - yp V = b j ^ ) ,de donde : b = 2a (2) 0 <J[ ) 0 - b Al resolver, por simultáneas, (1) y (2) obtenemos : a = 4/3 y b = 8/3 Por lo que : P(4/3 , 8/3) y r Á - ~L □ ( EJEMPLO 5 ) Hallar las coordenadas del punto P que está a 3/5 partes de la distancia de A(7 , 4) a B(-3 , 2). Si M es el punto medio de AB, calcular la d{P , M). Solución. Sea r = * 1 --------------- (■-----------------3/5-----------------1— - 2/5 i PB 2/5 2 o------------------------- »— o o A M P B Xp- xA _ Yp - Ya _ _3 xb - xp y„-yr 2 / ■=> = y —- = > de donde : x = 1 , y = 14/5 >=> P(1 , 14/5) M es punto medio del segmento AB ■=> <=> M(2 , 3) d(P , M) =V(2- l)2+ (3 - 14/5)2_ V26 □ 5 ( EJEMPLO 6 ) El segmento de extremos A(-2 , 4) y B(1 , 0) es dividido por los puntos P y Q en las razones -3/2 y -2/3 respectivamente. Hallar la d(P, Q). www.freelibros.com
  34. 34. 24 Capítulo I: Conc¿p!(,s preliminares Solución. Como las razones son negativas, los puntos P y Q se encuentran en la prolongación del segmentó AB. Luego , si P = (x , y ) , y AP _ _3 xP- x A _ yP- yA _ 3. PB ' 2 x - xp y - y 2 -o X - (2) _ y - (-4) 3 Q A B P ^ 1 -x 0 - y ' 2 de donde : x = 7 , y = 8 ■=> P(7, 8) ^ x, - (-2) y , -(-4) 2 1- x, 0 -y , 3 de donde : x, = -8 , y, = - 12 => Q = (-8 , -12) d(P , Q) = V(7 + 8)-’ + (8 + 12)2= 25 □ [E JE M P LO 7 J Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabien­ do que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son M(-2, 1) , N (5 ,2 )y P(2 ,-3). Solución. Sean A (x,, y ,) , B(x2, y2) y C (x,, yj las coordenadas de los vértices del triángulo. Si M , N y P son puntos medios de la lados AB , BC y AC respectivamente, tenemos: r , r 10 o. x, + x3 = 2(5) = 10 / ' V V M (2) . ‘ - A - r v j. v _ i/m - axi + x, = 2(2) = 4 (3) Sumando : 2(x, + x2+ x3) = 10 =» x, + x, + x, = 5 (4) Resolviendo (4) con (1), (2) y (3) obtenemos : x, = -5 , x2= 1 , x, = 9 Análogamente para las ordenadas tenemos : y, + y 2= 2(1) = 2 y 2+ y, = 2(2)= 4 y, + y, = 2(-3) = -6 Sumando : 2(y, + y2+ y,) = 0 ■=> y, + y, + y, = 0 Resolviendo esta última ecuación con las tres primeras resulta : y, = -4 , y 2= 6 , y, = -2 Por lo que, los vértices son : A(-5 , -4) , B(1 , 6) y C(9 , -2) O www.freelibros.com
  35. 35. Sección 1.6: División de un segmento en una razón dada 25 (/EJEM PLO 8 ) En el triángulo de vértices A(x, , y,) , B(x2 , y2) y C(x3 , y3) demostrar que las coordenadas del baricentro G(x , y) son : x = ^(x, + x2 + x3) , y 1 (y, + y2+ y33 J 1 1 . '2 ' > 3/ Demostración. En efecto, por la geometría elemental, se sabe que las medianas de un triángulo se cortan en un punto, llamado baricentro, qui está a una distancia 2/3 del vértice y a 1/3 de la base. (Figura 1.20) Luego : r - AC = =2 GD 1/3 X G ' X A 1 0 > 1 X D ” X G 1 1 Cl 1 X - X, y- y2+ y3 = 2 -y ''f o-V ^ c i 2 2 de donde obtenemos: x = {(x , + x2+ x3) , y = -^y, + y, + y,) V fixr-S ( EJEMPLO 9 ) Si G(2 , 3) es el baricentro de un triángulo ABC y G,(4 , 6), G2(3 , -1) son los baricentro de dos triángulos formados unien­ do G con los vértices A, B y C; determinar las coordenadas de estos vértices. Solución. Sean A(x,, y ,), B(x2, y2) y C(x3 , y3) las coordenadas de los vértices del triángulo Según las fórmulas obtenidas en el ejemplo anterior: x, + x2+ x, = 3(2) = 6 (1) yi + y2+ y3= 3(3) = 9 (2) En el AAGC : 4 = y(x, + 2 + <=$ x, + x?= 10 (3) 6 = -j(y, + 3 + y,) ■=> y, + y , = 15 (4) En el AGBC : 3 = -j(x 2+ 2 + x,) => x, + x3= 7 (5) -1 = j( y 2+ 3 + y,) =» y2+ y, = -6 (6) FIGURA 1.21 Resolviendo (3) y (5) con (1) se tiene : x, = -1 , x2=-4 , x, = 11 y de (4) y (6) con (2) se obtiene : yt = 15 , y2 = -6 , y3= 0 A(-l , 15) , B(-4 , -6) y C(ll ,0) □ www.freelibros.com
  36. 36. 26 Capítulo I: Conceptos preliminares (EJEM PLO 10) Sea da el triángulo A( 1,1), B( 1, 3) y C(-2 ,-3). Hallar la longitud de los lados, el centro de gravedad y la longitud de la bisectriz del ángulo A. Solución, a) Longitud de los lados IÁB I = Vfl - 1): + (3 - l)! = 1 I BC I = r(-1 -l)‘ + (-3 - 3)2= 3'5 ICÁI = V(1 + 2)3 + (1 +})> = 5 b) Coordenadas del baricentro : G(x , y) Según las fórmulas obtenidas en el Ej. 8 ; x = I ( x 1 + x2+ x , )= |( 1 + 1 - 2 )= 0 y = ^(y, + y2+ y,)= + 3 - 3 ) = i Por lo que : G = (0 , 1/3) RP AR c) Por el teorema de la bisectriz : c rL LA FIGURA 1.22 Luego , xp- xR y p -yB yc - y. x - 1 -2 - x BP _ PC " y - 3 -3-7 de donde obtenemos : x = 1/7 , y = 9/7 P = (1/7, 9/7) En consecuencia : IAPI = V(l/7 - l )2+ (9/7 - l )2= ^VTo □ (EJEMPLO 1 l) Sea el triángulo de vértices A(6 , 7), B(2 ,1) y C(-1 ,3). Por el punto D en que la bisectriz del ángulo externo del vértice B interseca a la prolongación del lado AC, se traza una paralela al lado BC; hallar las coordenadas del punto en que dicha paralela interseca a la prolongación del lado ÁB. Solución. IAB I = '(2 - 6): + (1 - 7)J= 2T3 I BC I =V (-1 -2)-’ + (3- 1): = V ñ Por el Teorema de la bisectriz : ÁD _ AB ^ AD _ DC BC DC Como D es exterior al segmento AC => r = -2 Luego : x - 6• —" ¿ A —- O -N .=> D = (-8S } -1) FIGURA 1.23 www.freelibros.com
  37. 37. Sección 1.6: División de un segmento en uno razón dada 27 Se sabe por geometría elemental que una paralela a uno de los lados de un triángu­ lo, determina sobre los otros dos, segmentos proporcionales, esto es, ’ A - Is A x = - 2 - 2 Si BC II PD ^ ^ » S ~8+ 1 X' l CD BP -3 - 7 _ 1-7 -1-3 y - I P = (-2 , -5) □ ■=> y = - 5 -1-3 y - 1 1 ( e je m p lo 1 2 ) Se tiene un triángulo ABC. El punto P(19/3,11/3) divide al seg­ mento AB en la relación AP : PB = 1 : 2. El punto A(13/3 , 4/31 divide al segmento BC en la relación BQ : QC = 1 : 2. El punto R(13/3 , 8) divide al segmento AC en la relación AR : RC = 2 : 1. Hallar las coordenadas de los vértices del triángulo. Solución. Sean A(x,, y ,), B(x2, y;) y C(x3, y,) las coordenadas de los vértices del triángulo. 19/3 - x, = _1 c¡ AP _ 1 _ / Sl PB ~ 2 ~ 1 , , , , „ = i => 2y , + y 2= l l (2) x, - 19/3 = 2 ^ 2x. + x< = 19 <1> J2 2 13T M = T ■=» 2xr + x 3= 13 4/3 - y2 _ 1 “ = 2 o j X> ' 13' 3 RC { 13/3- X , = 2 cr» x, + 2x =13 (5) ^ = 2 <=* y, + 2y, = 24 (6) Sumando (1) + (3) + (5) y luego (2) + (4) + (6), obtenemos respectivamente x, + x2+ x3 = 15 (7) y, + y2+ y3= 13 (8) Resolviendopor simultáneas (1), (3) y (5) con (7) setiene : x,= 7 , x2= 5 , x, = 3 luego (2), (4)y (6) con (8) resulta : y, = 20/3 , y, =-7/3 , y3= 26/3 Por lo tanto : A(7 , 20/3), B(5 , -7/3), C(3 , 26/3). www.freelibros.com
  38. 38. 28 Capítulo I: Conceptos preliminares [EJEMPLO 13) Los vértices de un cuadrilátero son A(-4 , 6), B(-2 , -1), C(8 , 0) y D(6 ,11). Hallar la razón r = BP : PD en que la diagonal AC divide a BD, donde P es el punto de intersección de las diagonales. R P A P Solución. Sean r = y r, = ^ Haciendo uso de las fórmulas (5) del Teorema í.4 se tiene : „ _ -2 + r (6) -4 + r, (8) 1 + r ~ 1 + r, de donde : r, 5r+ 1 r + 5 y = _ -1 + r (II) _ 6 + r, (0) 1 + r 1 + r. de donde : r, = 5r-1-- 1 1 - I Ir De (1) y (2) se sigue que : 5r + 1 r + 5 5r - 7 1 - 1 Ir ■=> 5r: + 2r-3 = 0 o r = 3/5 ó r = -l Dado que r * -1 , entonces r = 3/5 [EJEMPLO 1 4 ) En el triángulo ABC de vértices A(-1 , 6), B(-3, -4) y C(5 , 0) ca­ da lado está dividido en tres partes iguales: el lado AB por los puntos D y E , el lado BC por los puntos F y G , el lado CA por los puntos H e 1. Hallar los puntos L , M y N intersecciones de los segmentos BI y CD , AF y CE , AG y BH respectivamente. Solución. Hallemos los puntos de trisección de cada lado del triángulo Lado A B : AD _ 1 DB 2 . => x+ 1 -3 - x _ y -6 _ 1 -4- y 2 0 x = - 5/3 , y = 8/3 :D = (-5/3 , 8/3) fc=(- -5/3 - 2 3 8/3 - 1 2 w - - !> Lado AC : AI _ 1 1C 2 - í - ’ x' * y - 6 _ 1 0 - y 2 <=> x = 1 , y = 4 C=> 1= (1 ,4) H - ( 1 + 5 2 . 4 : ° ) = (3,2) Lado BC : BF _ 1 FC 2 , x + 3 _ 5 - x y + 4 _ 1 0 - y 2 <=> x = -1/3 , y = -8/3 ^ F = (-1/3 , -8/3) www.freelibros.com
  39. 39. Sección 1.6: División de un segmento en una razón dada La intersección L(x , y) de las medianas BI y CD de los triángulos ABH y ACT respectivamente, determina sobre estos, segmentos proporcionales, esto es : x + 3 _ x - 5 <=> x = 0 BL LI l d y ± 4 = 2 J<=> v = 2 4 - y 8/3 - y J Para el punto M(x , y) y las medianas AF y EC, tenemos x + I _ x -5 ^ x = _ 1/2 AM CM MF ME --------------------- — W A —" 1/¿ -n -1/3' X -7/3’ X M = (-1/2 .-1/2) = o y = . 1/2 J<=> y = - 1/2 -8/3 - y -2/3 - y J y para el punto N(x , y) y las medianas BH y AG : AN NG x + ! _ x + 3 ^ x = y2 Í= -M N ^ / 7/3' x 3 ' x N Í (372 ,7/2) * NH _ ^ 6 _ = y ± 4 0 v = 1/2 / / V . J r . -4/3 -y 2 -y ^ y 1/2 (EJEMPLO 15) En una lámina homogénea que tiene la forma de un cuadrado, de lado igual a 12, se ha hecho un corte cuadrangular (Figura 1.26), las rectas del corte pasan por el centro del cuadrado; los ejes coordena*dos están dirigidos por los lados de la lámina. Determinar el centro de gravedad de esta, lámina. Solución. El centro de gravedad de una lámina homogénea es el punto de equili­ brio de dicha placa. Como se sabe, la posición del centro de gravedad de una lámina triangular es el baricentro (intersección de las medianas), el de una lámina rectangular es su centro geométrico (intersección de sus diagonales), el de un polígono regular y lámina circular es su centro geométrico, etc. Entonces para www.freelibros.com
  40. 40. 30 Capítulo /. Conceptos prelii uñares hallar el centro de gravedad de una lámina homogénea cualquiera, se divide ésta en n subláminas homogéneas, todas de figuras geométricas cuyos centros de grave­ dad conocemos. Luego, si A, , A2 , A , Anson respectivamente, las áreas de cada sublámina y G ^ x ,, y ,), G,(x2, y2) , G,(x.,, y , ) ,. -Gn(xn, y j son sus respectivos centros de gravedad, entonces las coordenadas del centro de gravedad G de la lámina dada, están dadas p or: I x A ^ i c ♦ n X a . yG = X y , A t ¿= 1_____ n X a , ) Por las condiciones del problema dividimos la lámina dada en tres subláminas cua­ dradas (Figura 1.27) cuyos centros de gravedad son G,(3 , 9) , G,(3 , 3) y G,(9 , 3). Ahora, en concordancia con las fórmulas (7) podemos escribir : x,A, + x2A2+ x.A, A, + A2• yc = y,A, + y2A2+ y,A, A, ’ A, + A2+ Aj Pero como A, = A2= = A (área del cuadrado del lado 6), entonces : = A(x, + x2+ X3) i 3A “ = 3 ’ (XI + X2+ X,) ■ r o - 3A - 3 Hemos obtenido así las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices G. y G, (Figura 1.27). Por lo tanto : xG= j( 3 + 3 + 9)= 5 , yc = I ( 9 + 3 + 3) = 5 ^ G(5 , 5) A(y, + y2+ y,) i . , ; = - T T — L = T (y. + *2 + y>) □ EJERCICIOS: Grupo 3 1. Hallar las coordenadas de un punto P(x , y) que divide al segmento que deter­ minan A y B en la relación r = AP : PB a) A(-2 , 1 ), B(3 , -4), r = - 8/3 b) A(-5 , 2 ), B(1 , 4), r = - 5/3 2. Dos vértices de un triángulo son A(2 , -3) y B(-5 , 1). El tercer vértice C está sobre el eje Y y el punto de intersección de las medianas sobre el eje X. Hallar el punto C. 3. En los ejercicios siguientes, calcular los puntos de trisección del segmento cu­ yos extremos son S y T. (Guía: Ejemplo 2) a) S(2 , 5), T(-10 , -1) b) S(-5 , 3 ), T(4 , 21) 4. Sean m y n enteros positivos, demostrar que las coordenadas del punto P(x , y) que divide al segmento de recta P,P2 en la razón m/n , son : www.freelibros.com
  41. 41. EJERCICIOS Grupo.! 31 x = nx' + mx* y = ny’ + my? m + n ’ y m + n 5. El segmento que une A(-1 , 2) con B(2 , -5) se prolonga hasta C(x , y),sabien­ do que AC = 3 AB , hallar las coordenadas de C: (Guia: Ejemplo 1). 6. El punto A está a 2/3 de distancia de P(1 , 10) a Q(-8 , 4) y B está en el punto medio del segmento que une R(0 , -7) con T(6 , -11). Hallar la cl(A , B) (Guía: Ejemplo 5). 7. Los puntos medios de los lados de un triángulo son P(2 , 5), Q(4 , 2) y R(1 , 1). Hallar las coordenadas de los tres vértices. (Guía: Ejemplo 7). 8. Un triángulo tiene por vértices A(-1 , 3), B(3 , 5) y C(5 , -1). Por el punto E(15, 4, 11/4) del lado BC se traza una paralela a AC que corta al lado AB en el punto D. Hallar las coordenadas de D. 9. Dados los puntos P(2 , 1) y Q(5 , 3) tales que PB = 2AP , 3AQ = 4AB ; hallar las coordenadas de los puntos A y B. 10. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es dividi­ do en tres partes iguales por los puntos P(2 , 2) y Q(1 , 5). 11. Si G(3 , 4) es el baricentro de un triángulo ABC y G,(4/3 , 2), G2(3,19/3) son los baricentros de los triángulos formados uniendo G con los vértices A , B y C; determinar las coordenadas de estos vértices. (Guía: Ejemplo 9). 12. El punto P(3, 6) es la intersección de los segmentos OA y BC . Si P divide a ambos segmentos en la misma relación y 0(0, 0), A(5 ,1 0), B(5, 2 ) , hallar las coordenadas del extremo C. 13. Dado el triángulo de vértices A(1 , 3), B(-2 , -3), C(3 , -1), hallar la longitud de la bisectriz trazada desde el vértice A. 14. Los vértices de un triángulo son A(2 , -5), B(1 , -2) y C(4 , 7); hallar el punto de intersección del lado AC con la bisectriz del ángulo interno el vértice B. (Guía: Ejemplo 10). 15. Los vértices de un triángulo son A(3 , -5) , B(-3 , 3) y C(-1 , -2). Determinar la longitud de la bisectriz del ángulo interno del vértice A. 16. Los vértices de un triángulo son A(-1 , -1), B(3 , 5) y C(-4 ,1). Hallar el punto de intersección de la bisectriz del ángulo externo del vértice A con la prolongación del lado BC. www.freelibros.com
  42. 42. 32 Capítulo 1: Conceptos preliminares X 17. Los vértices de un triángulo son A(3 , -£>), B(1 , -3) y C(2 , -2). Hallar la longitud de la bisectriz del ángulo externo del vértice B. 18. Hallar el punto de intersección de la bisectriz del ángulo interior en B con el lado AC , del triángulo de vértices A(-2 , 2), B(2 , 5) y C(11 , -7). (Guía: Ejemplo 10) 19. Sean A(2 , 1), B(5 , 5) y C(8 , 1) los vértices de un triángulo. Si P divide a BC en la razón r = 2 y Q divide a AC en la misma razón; mostrar que R, intersección de AP y BQ, divide a estos segmentos en la razón s = 3. 20. Los vértices de un cuadrilátero son A(-3 , 12), B(3 , -4), C(5 , -4) y D(5 , 8). Hallar la razón r = BP : PD en que la diagonal AC divide a BD, donde P es el punto de intersección de las diagonales. (Guía: Ejemplo 13). 21. En el triángulo ABC de vértices A(2 , 9), B(-5 , -3) y C(5 , -1), cada lado está dividido en tres partes iguales: El lado AB por los puntos D y E, el lado BC por los puntos F y G, el lado CA por los puntos H e I. Hallar los puntos L , M y N intersecciones de los segmentos Bl y CD , AF y CE , AG y BH respectivamente. (Guía: Ejemplo 14). 22. En una lámina homogénea que tiene la forma de un rectángulo, con los lados iguales a a y b, se ha hecho un corte rectangular (Figura 1.28); las rectas del corte pasan por el centro, los ejes coordenados están dirigidos por los lados de la lámina. Determinar el centro de gravedad de esta lámina. (Guía: Ejemplo 15). 23. De una lámina homogénea que tiene la forma de un cuadrado de lado 2a, se ha recortado un triángulo (Figura 1.29); la línea de córte une los puntos medios de los lados adyacentes y los ejes coordenados están dirigidos por los lados de la lámina. Determinar el centro de gravedad de la misma. (Guía: Ejemplo 15). FIGURA 1.28 FIGURA 1.29 www.freelibros.com
  43. 43. Sección 1.7: Pendientes de una recta 33 K Q PENDIENTES DE UNA RECTA______________________________ Dada una recta 31en el plano R2, indicaremos su dirección por el ángulo que forma con el eje X; es decir, por la inclinación de una recta 3Jse entiende el ángulo a que hace 31 con la parte positiva del eje X, medido en sentido antihorario, desd-'» el eje X al encuentro de 31 (Figura 1.30) DEFINICION 1.2 Pendiente de una recta___________________________________ La pendiente de una recta no vertical es la tangente de su ángulo de inclinación, se denota por m , y se escribe m = Tga como un enunciado simbólico. V__________________________________ J Una recta vertical no tiene pendiente, ya que la tangente de 90° no existe. Todas las demás rectas tienen pendiente. Cuando al ángulo de inclinación es agudo (Figura 1.30a), es decir, si 0 < a < 90, la pendiente m es positiva. Cuando el ángulo de inclinación es obtuso (Figura 1.30b), es decir, si 90 < a < 180, la pendiente es nega­ tiva. Consideremos ahora una recta no vertical y seleccionemos sobre ella puntos distin­ tos A(x, , y,) y B(Xj , y2) como en la Figura 1.31. Al movernos de A hasta B, el cambio de altura es y, - y ( (elevación) , mientras que el cambio horizontal ha sido x, - x, (desplazamiento o avance). El cociente (y, - y () / (x, - x,) es una medida de la FIGURA 1.30 La inclinación de una recta paralela o coincidente con el eje X se define como cero. Para cualquier otra recta : 0° < a < 180° La dirección de una recta se expresa convenientemente por la tangente de su ángu­ lo de inclinación, por lo que establecemos la siguiente definición. a) 0 £ a < 90“ b) 90“ < a S 180° www.freelibros.com
  44. 44. 34 Capítulo I: Conceptos preliminares inclinación de la recta, de modo que m - elevación _ y¡ ~y¡ desplazamiento x2- x, TEOREMA 1.5 La pendiente m, de la recta no vertical que pasa por los puntos A (x ,, y,) y B(x2, y2) es : m : Demostración. En efecto, sean los puntos A , B y Q la intersección de una horizon­ tal por A con una vertical por B, cuyas coordenadas se muestran en la Figura 1.31. En a), la inclinación de la recta es el ángulo a, y como a = 9, entonces, Tga = Tg0 , de modo q u e : = o) AQ * 2-x, La inclinación de la recta en la Figura 1.31b es el ángulo obtuso a, y como a y 9 son suplementarios, se deduce que : Tga = - Tg0 = = |2) X,-X2 X j-X , Por tanto, de (1) y (2) vemos que la pendiente de una recta que pasa por A y B es : y2-y.m = a) Rectaconm>0 b) Rectaconm<0 •yj y.) Q(*i •y.) FIGURA 1.31 www.freelibros.com
  45. 45. Sección 1.8. Recias paralelas y perpendiculares 35 C T 1 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES ( TEOREMA 1.6 Pendientes de rectas paralelas a y Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si, sus pen­ dientes son iguales. Esto es : á? 11 .2? <=* m, = m2 (9) v s ' J Demostración. En efecto, es claro, como se muestra en la Figura 1.32 que si dos rectas son paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación, pe tanto, si 2?||.2? a, = o, y Tga, = Tga2 (1) Recíprocamente e sigue de la ecuación (1) que dos rectas ,2? y ^ no verticales tienen la misma pendiente y que dos rectas con la misma pendiente son paralelas, esto es, si m, = m2 .=> .2? || á?2 (2) esto completa la demostración del teorema. Q TEOREMA 1.7 Pendientes de rectasperpendiculares Dos rectas ^ y 5? con pendientes m, y m?son perpendiculares si sólo si m( .m2= -l (10) Es decir, la pendiente de cada una es el negativo del recíproco de la pendiente de la otra. FIGURA 1.33FIGURA 1.32 www.freelibros.com
  46. 46. 36 Capítulo I: Conceptos preliminares Demostración. Si las rectas JZ?y S2, son perpendiculares, entonces a, y a, difieren en 90s. En efecto, por el punto de intersección de 3/y 5?, dibuja­ mos unarecta horizontal como se muestra en la Figura 1.33, endondese observa que a2= a t + 90°. Por tanto, si 1 % => Tga2= Tg(oc, + 90°) = - Cotg«, = - esto es, si 31. ± ,5?. ■=> m = - >=> m. . m, = -1 (1) i 2 2 m , 1 2 Recíprocamente, si m2= --|J- ■=> Tga2= -Cotgai , y oc2= a, + 90° es decir ,si ml .m ¡ = - 1 =» J ? ,l (2) En consecuencia, de (1) y (2), se sigue que : « m m = - l □ □ E JE M P L O S IL U S T R A T IV O S ( EJEM PLO 1 j Demostrar que los puntos A(1 , -1), B(3 , 2) y C(7 , 8) son coli- neales en dos formas : a) Usando la fórmula de la distancia, b)- Usando pendientes. Demostración. En efecto, haciendo uso de las fórmulas (4) y (8) tenemos : a) Por distancias : b) Por pendientes IÁB I = V(3 - 1)2+ (2+ 1)2= V n m _ 2+ 1 _ 3 *B 3 -1 2 IBC I = V(7 - 3)2+ (8 - 2)1= 2VT3 I ÁC I =V(7- l )2+ (8 + 1)’- = Como : 3VI3 = 2VT3 + V ñ => | AC I = I ÁB I +1 A , B y C son colineales AC I = V(7 - l )2+ (8 + 1)- = 3VÍ3 mBC= = | m - 8+ 1 - 3 | AC I = I AB I + I BC I m* c " 7 -1 ~ 2 A , B y C son colineales ( EJEM PLO 2 ) Un punto P(x , y) equidista de los puntos A(-2 , 3) y B(6 , 1), y la pendiente de la recta que une dicho punto a C(5 , 10) es 2. Hallar sus coordenadas. Solución. Si P(x , y) equidista de A y B, entonces d(A , P) = d(B , P), por lo que : V(x + 2)2+ (y - 3)2= V(x - 6)2+ (y - l )2 => 4x - y = 6 (1) V - 10 Dado que mcp= 2 ■=> x ^ = 2 « 2x - y = 0 (2) www.freelibros.com
  47. 47. Sección 1.8: Rectas paralelas y perpendiculares 37 Resolviendo por simultáneas (1) y (2) obtenemos : x = 3 , y = 6 P = (3 , 6) □ ( EJEMPLO 3 ) Si la recta ^ que contiene a lospuntos A(a , 2) yB(0 , 2a) es paralela a la recta 3tv que contiene a los puntos C(-a ,3) v 0(1 , -2 a ), hallar el valor de a. Polución. Si A y B 6 ■=> m, = m ^ = 2a ' 2 U - 3 C y D e 3 => m2= mCD= Luego, por el Teorema 1.6 : 11&2 <=> m, = m2 ■=> 2? a 2 = 3~a 2a de donde : a = - 2/3 O ( EJEM PLO 4 ) Si la recta ^ que contiene a los puntos A(1 , -2) y B(3 , a) es perpendicular a la recta que contiene a los puntos C(-3 , 1) y D(a , 4), hallar el valor de 5m, + m2. Solución. Si A y B e ■=> m ,= a * 2 (1) C y D e .2? => m2= G - ^ (2) Si ^ ± se2 <=> m, . m2= - 1 1=» (-y y ) (g-G-y) = - 1 , de donde a = - 12/5 Sustituyendo en (1) y (2) obtenemos : m, = - 1/5 , m2= 5 5m, + m2= 4 Q ( EJEMPLO 5 ) Demostrar que los puntos A(-1 , 3), B(5 , 0), C(7 , 4) y D(1 , 7) son los vértices de un paralelogramo. Solución. En efecto, por el Teorema 1.5, tenemos : m = ^ G = . ! m = ± J = . l AB 5+1 2 ’ ^ 7-1 2 Dado que m ^ = m^. ■=> AB 11 DC Del mismo modo, para los lados ÁD y BC, se tiene : mAD= f n = 2 ’ mBc= 7 T 3 = 2 Como mAD= mBC <=> AD i I BC Por lo tanto, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. FIGURA 1.34 www.freelibros.com
  48. 48. 38 Capítulo I: Conceptos preliminares Obsérvese que las pendientes de los lados AB y DC son cada una el negativo del recíproco de las pendientes de los lados AD y BC, por lo que el cuadrilátero ABCD tiene lados opuestos paralelos y dos lados adyacentes perpendiculares y conclui­ mos que ABCD es también un rectángulo. Q l EJEMPLO 6 ) Una recta de pendiente m = 7/3 pasa por el punto A' 1 2 ); hallar las coordenadas de dos puntos sobre la recta c n V58 unidades de A. Solución. Sea P(x , y) uno de los puntos buscados Si ^ i r f = i ** y - 2 = i ( x -'> w Se sabe además que d(A , P) = V58 ■=* V(x - 1)2+ (y - 2)J= V58 Teniendo en cuenta (1) y elevando al cuadrado obtenemos : ( x - l ) - + 4p (x - l )2= 58 =* (x - 1)2= 9 ' ' 9 ' q a P » x - l = 3 ó x - l = - 3 o--------------------- — ------- ° . . h------ 458------ +-------V58------- i » x = 4 o x = -2 Sustituyendo en (1) se tiene : y = 9 ó y = - 5 Por lo tanto, los puntos requeridos son : p(4 , 9) y Q(-2 , -5) d l E J E M P L O 7 J El punto A(-2 , 1) es el vértice correspondiente al ángulo recto de un triángulo rectángulo isósceles. El punto P(1 , 4) divide al cateto AC en la relación AP : AC = 1 : 2. Hallar las coordenadas del vértice B. Solución. Sean los vértices B = (x , y) y c = (x, , yt) - <-2) _ 4 - I _ J_ y . - i Si AP = 1 0 AC 2 x, - (-2) y, - 1 2 de donde obtenemos : x, = 4 , y, = 7 *=> c = (4 ,7) Como el AABC es isósceles ■=> | AB I = | a c j .es decir V(x + 2)2+ (y - l )2= '(4 + 2)! + (7TJp =» (x + 2)2+ (y- l )2= 72 (1 ) Pendiente de AC : m, = 7 - 1 4 + 2 — V - 1 Pendiente de AB : m, = ——- 2 x + 2 Si AC ± AB <=> m, . m, = 1 Yj 4 A^ S __________ r } ’ 1 1 1 1 1 1 -2 v______ 1 J => y - i = - (x + 2) (2) FIGURA 1.35 Sustituyendo (2) en (1) se tiene : (x + 2)! = 36 « x + 2 = 6 ó x + 2 = - 6 www.freelibros.com
  49. 49. Sección 1.8: Rectas paralelas y perpendiculares 39 o x, = 4 ó x, = - 8 Luego, en (2): y, = - 5 ó y2= 7 Por lo tanto, hay dos soluciones : B(4 , -5) o B(-8 , 7) □ ( EJEMPLO 8 J Sean A(-2 , 1 ) y B(4 , 7) los vértices de un triángulo ABC ; sa­ biendo que las alturas se cortan en el punto P(4/3 , 5/3), hallar las coordenadas del vértice C. Solución. Sean (x , y) las coordenadas del tercer vértice C. De la Figura 1.36 obtenemos lo siguiente : 7 - (5/3)_ (5/3) -1 = I *>■ (4/3) + 2 5 Si AP _LBC <=> mBC= Si PB _L AC « mAC= • 4 - (4/3) . y -7 = 2 = -5 mAP x -4 .=> 5x + y-25 = 0 (1) 1 — y - 1 _ 1 mpB x + 2 c=» x + 2y = 0 (2 ) Resolviendo, por simultáneas , (1) y (2) obtenemos : x = 6 , y = -3 <=> C = (6 ,- 3 ) □ r 7 i h - b x / t i W / 1 1 X / i 1 r / i 1 ----- í 1 *2 0 -3 L 4 1 ; >x ■ 1 i i rí FIGURA 1.36 ( EJEMPLO 9 ) Dado el triángulo de vértices en A(-10 , -13), B(-2 , 3) y C(2 , 1 ); hallar la longitud de la perpendicular bajada desde el vértice B a la mediana trazada desde el vértice C. Solución. Si M es punto medio de AB , entonces M = ( ^ ^ , (-6,-5) Los puntos M, P y C son colineales, luego : - 1 +5 x + 6 Pendiente de MC : mu Si BP1M C « mMP= - 1 + 6 . 1 + 5 ‘ 2 + 8 1 ■=> 3x - 4y = 2 (1) y -3 _ 4 mMC x + 2 3 =» 4x + 3y = 1 (2) Resolviendo, por simultáneas, (1) y (2) obtenemos x - 2/5 , y = - 1/5 ■=> P = (2/5 , - 1/5) I BPI = V(2/5 + 2)2+ (- 1/5 - 3)2= 4 FIGURA 1.37 □ www.freelibros.com
  50. 50. 40 Capítulo h: Conceptos preliminares (E J E M P L O 1 0 ) Los puntos A(1 . 1), ¡3(5 , -2) y C(3 , 4) son tres vértices de un paralelogramo. Hallar todas las posibles coordenadas del cuarto vértice. Solución. El problema admite tres soluciones : los paralelogramos ABCD , AD’BC y ABD"C. Como AB 11DD” , Á C 11D’D” y BC 11D’D, los puntos A, B y C constituyen los vértices de un triángulo mediano, es decir, son los puntos medios de los lados del triángulo fundamental DD’D” . En consecuencia, para resolver el pro­ blema, usaremos el método empleado en el ejem­ plo 7 de la página 24, esto es, sean D = (x, , y,), D’ = (x2, y,) y D" = (x ,, y,) las coordenadas del cuarto vértice , entonces : x , + x , = 2(l) = 2 x2+ x3= 2(5) = 10 x,-+ X, = 2(3) = 6 y, + y2= 2(1) = 2 y2+ y, = 2(-2) = - 4 y, + y, = 2(4) = 8 FIGURA 1.38 Sumando miembro a miembro cada una de estas ecuaciones tenemos : 2(x, + x2+ x,) = 18 , 2(y, + y, + y3) = 6 => x, + x2 + x, = 9 , y, + y2+ y, = 3 Finalmente, resolviendo por simultáneas, estas ecuaciones con las anteriores, obte­ nemos : D = (-1 ,7) . x, = 7 ; y, = 7 . y2= - 5 D ' = ( 3 , - 5 ) y D” = (7 , 1) □ (EJEMPLO iT ) Tres vértices de un paralelogramo ABCD son A(-4 ,1), B(2 , 3) y C(8 , 9). a) Hallar el vértice D, sabiendo que AC es una de las diagonales b) Sean M. N los puntos de trisección de AD , hallar M y N c) Hallar el punto S , punto de intersección del segmento BM con la diagonalAC. Solución. Como las diagonales de un paralelogramo se cortan en supunto medio, entonces, P es punto medio de la diagonal AC, luego P = , 4 * ) = (2 ,5 ) P también es punto medio de BD ; si D = (x , y) j i ± l = 2 « x = 2 . 1 ^ = 5 0 y = 7 I =* D = (2 , 7) www.freelibros.com
  51. 51. Sección !.H: Rectas paralelas ypcrpe/u :nres b) Sean (x , y) las coordenadas del punto M Si AM x + 4 _ y - 1 2 - x 7 - yMD 2 de donde : x = - 2 , y = 3 = N es punto medio de M D : -2 + 2 3 + 7 N = (" M = (-2 , 3) )= (0,5) 2 ’ 2 c) Sean (x , y) las coordenadas del punto S= { BM } fl { ÁC } _____ Como ios puntos M, S y B son colineales, entonces FIGURA 1.39 41 x + 2 2 + 3 J (Obsérvese que los puntos M, S y B están sobre una línea horizontal, pues mMB= 0) También los puntos A , S y C son colineales, entonces m = m ■=* X l i - J - l i = 1 ^ 2x - 3y + II = 0 as a c x + 4 8 + 3 3 J Para y = 3 ■=> 2x - 3(3) + 11=0 <=> x = - 1 ■=> S = (-1 , 3) Q [EJEMPLO 12) Desde el punto A(9 , 1) se traza una perpendicular a una recta 3¡ que pasa por P(-1 , -1) y Q(1 , 2) y que la corta en B ; tomando AB como base de un triángulo isósceles cuyo tercer vértice C se encuentra sobre el eje X, determinar el baricentro del triángulo ABC. Solución. La pendiente de la recta .2? es miv = +- Como P, Q y B(x , y) son colineales 3 y - 2 3 de donde : 3x - 2y + 1 = 0 (1) Si AB 1 <£ o m.„ = - 1 m y -1 x - 9 FIGURA 1.40 <=> 2x + 3y = 21 (2) De (1) y (2) por simultáneas, se obtiene : x = 3 , y = 5 B = (3 , 5) Siendo ABC un triángulo isósceles, entonces : IÁC I = I BC I => V(x - 9)2+ (1 - O)2= V(x - 3)2+ (5 - O)2, de donde : x = 4 C = (4 , 0) Coordenadas del baricentro; x = 1(9 + 4 + 3) = - y , y = 1 ( 1 + 0 + 5 ) = 2 ^ G = (16/3,2) □ www.freelibros.com
  52. 52. Capítulo /. Conceptos preliminares EJERCICIOS; Grupo 4 1. Una recta de pendiente 2/5 pasa por el punto P(3 , -4) y por A(x , -2) y B(-7 , y). Hallar la abscisa de A y la ordenada de B. 2. Una recta de pendiente -3/2 pasa por el punto P(6 , -2) y por los puntos A(x , x + 2) y B(x + 6 , y). Hallar la distancia entre A y B. 3. Un punto P(x ,y) equidista de los puntos A(-3 , 2) y B(5 , -2) y la pendic la recta que une dicho punto a C(-1 , -2) es -1/2. Halle sus coordenadas. 4. En los ejercicios siguientes determinar los valores de k para los cuales los puntos dados son colineales. (Guía: Ejemplo 1) a) A(k , 3) , B(-4 , -5 - k) , C(2k + 1 , 8 ) b) A(-1 , k - 6) , B(2k - 1 , 3 ) , C(-9 , 4 - k). 5. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos dados son los vértices de un paralelogramo. (Guía: Ejemplo 5). a) A(9 ,2) ,B(11 , 6) , C(3 , 5) , D(1 , 1) b) A(4 , 0) ,B(7 , 5) , C(-2 , 3) , D(-5 , -2) c) A(-1 , -5) , B(2 , 1) , C(1 ,5) , D(-2.-1) 6. Hallar los valores de k de modo que los puntos dados sean vértices de un triángulo rectángulo, recto en B. a) A(-1 , k - 4) , B(2k , -1) , C(-2 , 2k + 3) b) A(2k , 5) , B(1 , k) , C(2k - 1 ,-7) c) A(3 , k) ,B(k , k - 3) , C (2 -k ,-1 ) 7. Por medio de pendientes, demostrar que el cuadrilátero de vértices A(1 , -4), B(8 , -2), C(-4 , 16) y D(-3 , 2) es un trapecio. 8. Los puntos dados son los vértices de un cuadrilátero ABCD, usando pendien­ tes mostrar si es o no un rectángulo. a) A(-2 , -1 ) , B(5 , -4) , C(-1,-18) y D(-8,-15) b) A(-1 , 3) , B(5 , 7) , C(9 , 1) y D(3 , -3) 9. Dados los puntos A(-1 , 5), B(3 , 2) y C(4 , 3), hallar la pendiente de la recta <2? que pasa por C y que divide al segmento AB en la razón - 3/2. 10. Hallar la pendiente de la recta que pasa por el punto medio del segmento que une A(-4 , 4) con B(2 , 2) y el punto que está a los 3/5 de la distancia de C(5 , 3) a D(-3 , -2). www.freelibros.com
  53. 53. Sección 1.9: Fórmula del ángulo entre dos rectas 43 11. Hallar lapendiente de la recta que pasa por el punto medio del segmento que une los puntos M(-3 , 2) y N(7 , 6) y el punto P(x , y) tal que AP : PB = 1: 2, siendo A(0 , 2) y B(5 ,0). 12. Un punto M(x , y) dista del punto C(2 , 5), VTo unidades. La pendiente del seg­ mento que une a M con A(7 , 5) es 1/2; hallar las coordenadas de M. 13. La pendiente de una recta que pasa por el punto A(3 , 2) es igual a 3/4. Situar dos puntos P y Q sobre la recta que distan 5 unidades de A. (Guía: Ejemplo 6). 14. Sea P(x, y) un punto que equidista de los puntos A(-3, 4) y B(3,2). Si la pendiente de la recta que pasa por P y el origen es 3/5, halle las coordenadas de P. 15. Sean A(3,1) y B(-2 , -6) los vértices de un triángulo, sabiendo que las alturas se cortan en el punto P(4 , -4), hallar las coordenadas del tercer vértice. 16. Los puntos A, B y C dados , son tres vértices de un paralelogramo. Hallar todas las posibles coordenadas del cuarto vértice. (Guía: Ejemplo 10). a) A(0 , 0) , B(1 ,4) , C(5 , 1) b) A(3 , 12) , B(8 , 1) , C(-2 , -5) 17. Sean A (5, 3), B(-1 ,2) y C(1 , -1) tres vértices de un paralelogramo ABCD, hallar la distancia del cuarto vértice D al punto P(-2 , 6). 18. Se tiene un triángulo de vértices A(-4 , -3), B(1 , 4) y C(7 , 10). Por el punto E cuya ordenada es 8 y está sobre BC, se traza una paralela al lado AB. Hallar las coordenadas del punto en que dicha paralela corta a AC. 19. Dado el triángulo de vértices A(1 , 2), B(5, 3) y C(4 , 4); calcular las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde el vértice B a la mediana trazada desde el punto C.(Guía: Ejemplo 9). 20. Los puntos A(-2 , 5), B(1 , -1), C(7 , 1) y D son vértices de un paralelogramo ABCD, siendo B y D vértices opuestos. Sean M e AB tal que AM = ^ AB y N punto medio de BC. Hallar la intersección de los segmentos MC y DN. f i n FORMULA DEL ANGULO ENTRE DOS RECTAS___________ Consideraremos dos rectas cualesquiera no perpendiculares 3^ y 3L ningu­ na de las cuales es paralela al eje Y, y deduciremos una fórmula para el ángulo de 3? a en función de sus pendientes. www.freelibros.com
  54. 54. 44 Capítulo I: Conceptos preliminares Dado que al cortarse dos rectas coplanares se forman varios ángulos, para evitar confusión hacemos la siguiente definición. DEFINICION 1.3 Angulo entre dos rectas Si dos rectas se cortan, designemos por ,2?2la recta con mayor inclinación a 2(recta final), y por JZ, la recta de menor inclinación a, (recta inicial). Entonces el ángulo 0 entre las rectas se define por 9 = a, - a. FIGURA 1.41 v____________________ FIGURA 1.42 La Figura 1.41 muestra un caso en que el ángulo 0 de .2? a ^ es agudo, y la Figura 1.42, un caso en que ese ángulo es obtuso. TEOREMA 1.8 Si Sf. y 3>. son dos rectas que se cortan con pendientes m, y m„I l L respectivamente, y si 0 es el ángulo en y ,2?, entonces TgB= (11) 1 + rrij. m2 con tal que ^ sea la recta con mayor inclinación , y 0 * 90°. Demostración. En efecto, en las Figuras 1.41 y 1.42 se observa claramente que a, = a, + 0 ya que a, es un ángulo externo de un triángulo cuyos ángulos internos no adyacen­ tes son a, y 0. Por consiguiente 0 = a 2- a. Si aplicamos tangentes a ambos extremos de esta igualdad resulta que : _ Tgct, - Tgg, 1 + Tga, . Tga, www.freelibros.com
  55. 55. Sección 1.9: Fórmula deI ángulo entre « celas 45 y si designamos Tga2y Tga, por m, y m, respectivamente, obtenemos m, - m, Tg9 = ■=— i !— s I + mt . m2 Hay dos casos especiales en que no se puede emplear esta fórmula : (1) Si las dos rectas son perpendiculares entre si, entonces m, m2+ l = 0, y la división entre cero no tiene sentido (?.) Si o S2es paralela al eje Y, entonces TgO, o TgO, no está definida. ‘Jota. En ocasiones, cuando se desconoce el lado de la recta de mayor o menor ángulo de inclinación a , se puede hacer uso de la fórmula l m -m . i Tgo= I r V m '-. m j <12> □ EJEMP’ OS ILUSTRATIVOS ( EJEMPLO 1 ] El ángulo que forma la recta .2?que pasa por A(2 , -1) y B(x , 3), con la recta &2, que pasa por C(-1 , 5) y D(8 , 2) es 135“ Halle la abscisa de B. Solución. Si (A y B) e ^ ■=» m, = ^ + 1 - 4 y si (C y D) e m = x - 2 x - 2 2 -5 1 J 8+1 1 3 x - 2Luego , si Tg9 = ----- — Tg 135° = . .— l+(-í)(lT2) Como Tg 135° = -1 -■=> -1 = ~* + , de donde : x = 10 D 3x - 6 - 4 ( EJEMPLO 2 ) Hallar el ángulo obtuso que forman las rectas -2? con pendiente m y la recta .5?con pendiente m ~ 1 . m + 1 Solución. Por la fórmula (11) del Teorema 1.8 , se tiene : www.freelibros.com
  56. 56. 46 Capítulo I: Conceptos preliminares {EJEMPLO 3 ) Dos rectas se cortan formando un ángulo cuya tangente es 3/2. Si una de las rectas pasa por los puntos A(-2 , -1) y B(2 , 3), hallar la pendiente de la otra recta. Solución. Obsérvese que en este ejemplo se desconoce el lado de la recta de mayor o menor inclinación , por que lo si designamos con m, = mAU o m, = 2 ~+ = 4 • y m la Pend'en,e de la otra recta, entonces según la fórm'-'~ '12): Toe = 1 = I _m - 1/2 I = i M d l D 2 11+ ( l/2)m I lm + 2* ■=>3|m + 2 | = 2 | 2 m - l | < = > m = 8 ó m = -4/7 Q ( EJEMPLO 4 j Demostrar que A(-2, 5), B(-3, -3) y C(5, 1) forman los vértices de un triángulo isósceles, mostrando para ello que dos de sus ángulos son iguales. Demostración. La orientación, en sentido antihorario, de los lados del triángulo se muestra en la Figura 1.43. Hallemos la pendiente de cada uno de ellos: 4 m, = m 5 + 3 = 8 , m = m = ' —AB . 2 + 3 1 + 3 1 2■bc 5 + 3 Aplicando la fórmula (11) en cada vértice se tiene : n y m, _ .4/7 . 8 _ 12 TgA = Tgc 1+ m.i • mj 1-32/7 m,- m, 8- 1/2 1 + m: . m. 1 + 8/2 " m,- m2 1/2 + 4/7 p ~ A . . Y - i ll I m, I * I I I i I 1 11 i -------------( - ^ V c -3; 1 - 2 0 5 ----- -3 V FIGURA 1.43 -4/14 2 Dado que TgB =TgC <=> m(^B) = m(.£C), por lo tanto, el triángulo ABC es isósceles. [~EJEMPLO 5 ) Hallar la pendiente de la recta 5^que biseca el ángulo que la recta 7, que pasa por A(10 , 9) y B(3 , -15), hace con la recta 7‘2que pasa por A( 10 , 9) y C(2 , 3). Solución. Si (A y B) e •=* m, = = y www.freelibros.com
  57. 57. Sección 1.9: Fórmula del ángulo entre di -v rectas 47 ( A y C )e <=> m, = /AComo Tg(y) = ^ 9 - 3 10-2 m, - m m . m. y Tg(A) = Entonces (24/7>' m - m ’ (3/4> ■ 1+ (24/7)rn “ 1+ (3/4)m de donde : 117m! - 88m - 117 = 0 [ EJEMPLO 6 J Hallar un punto situado en la parte positiva del eje X, desde el cual se ve el segmento de extremos A(-3 , 4) y B(3 , 8), bajo un ángulo de 45®. Solución. Sea P = (x , 0) el punto buscado. Uniendo P con los extremos del segmento dado , tenemos : m„ =m , = - A - , m.„ = m ,= ' 4 •b p i x - 3 ’ AP 2 x + 3 -4 8 m, - m, * * * .-i Tg 45» = — 1------!— ,=> | = * + J x J 1 • rr» m1 + m ,. m, , ^ ( ¿ L ) de donde : x2- 4x - 13 = 0 <=> x = 2± VTT Como x > 0 ■=> P = (2 + V l7 , 0) Q FIGURA 1.45 ( EJEMPLO 7 J Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles tiene pendiente m , hallar la suma de las pendientes de los catetos. Solución. Por ser el AABC rectángulo isósceles, los ángulos iguales A y C miden 45° m - m m - m, Luego, si TgC = -¡— —— <=> 1 = ^ A— a a 1+ m . m, 1 + m . m. de donde : m, = m - 1 ' m + 1 AB 1 BC «=> m2= - l/m 1 t=> m2= - Por lo que : m, + m = -A ™ ^ 1 2 1- m- m + 1 m - 1 □ www.freelibros.com
  58. 58. 48 Capítulo I : Conceptos preliminares [ E JE M P L O 8 ) Si A(-3 , 2) y B(2 , 5) son dos vértices de un triángulo rectángu­ lo ABC recto en B, y el vértice C está en el eje X; hallar la medida del ángulo A. 5 - 2Solución. Pendiente de AB : m, = ^ _ — 2 2 + 3 5 0 -5S iA B IB C c=> m ,= -I/m , => - x - 2 de donde obtenemos x = 5 => C = (5 , 0) 0 - 2 1 Pendiente de AC : m, = Por lo que , si TgA ' 5 + 3 m, - m, TgA = 3/5 + 1/4 + (3/5)(-1/4) 1 + m, . m, = 1 => A = 45° , entonces r k 5 m, - - t i 1 __B 1i 2 1 111, 1 -3 O V 2 •C(x,0) ' A □ FIGURA 1.47 [ E J E M P L O 9 J Los vértices de un triángulo son A(3 , 3), B(1 , -3) y C(-1 , 2). Hallar el valor del ángulo agudo que forma la mediana que co­ rresponde al lado AB con la mediatriz del lado AC. Solución. Las coordenadas de M, punto medio de ÁB, son : M = . ^ x ) = (2.0) Pendiente de la mediana CM : m, = Pendiente del lado ÁC : m = 0- 2 2 + 1 2 -3 I -1-3 4 Pendiente de la mediatriz del lado AC : mt = - 4 Luego , T g a : - mi _ (- 2/3) + 4 _ jo 1+ m ,. m 1+ C-2/3)(-4) 11 a = are Tg( 10/11) ( e j e m p lo 1 0 ) Dados dos vértices opuestos A(3 , 0) y C(-4 , 1) de un cuadra­ do, hallar las coordenadas de los otros dos vértices. Solución. Sean B = (x,, y,) y D = (x: , y2) las coordenadas de los otros dos vértices. Pendiente de la diagonal AC : m = 1 -0 -4-3 www.freelibros.com
  59. 59. Sección ¡ 9: Fórmula del ángulo entre Jos recias 49 _ m - m, En el AABC : Tga - ( 1)1 + m . m Dado que el cuadrilátero ABCD es un cuadrado la m(a) = 45°, por lo que en (1) se tiene : -1/7- m, I = -— , . , de donde : m, = - 4/3 « . 4x + 3y = 12 » 3x, - 4y, = - 16 ™ab= ^ =AB X] . 3 - 1 BC x,+ 4 De (2) y (3), por simultáneas, obtenemos : x, = 0 , y, =4 => B = (0 , 4) M es punto medio de AC => M = - ~ M es también punto medio de BD (2) (3) 0+ 1 2 f0 + x. 4 + y; ( - 4 • i ) = ( 2 • - ! Por igualdad de pares ordenados obtenemos : x; = - I , y = - 3 <=> D = (-1 , -3) CU EJERCICIOS: Grupo 5 1. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45° La recta de menor inclinación pasa por P(-2 , 1) y Q (9, 7), y la recta de mayor inclinación pasa por A(3 , 9) y B(-2 , y). Hallar la ordenada de B. (Guía: Ejemplo 1). 2. Hallar el valor del ángulo determinado por la recta que pasa por A(-3 , 1) y B(4 , 3) con la recta que pasa por C(1 , 2) y D(6 , 7). 3. Hallar el ángulo que forman la recta que pasa por A(-4 , 5) y B(3 , 9) pon la recta que pasa por C(-2 , 4) y D(9 , 1). 4. Hallar las tangentes de los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos dados a) A(-2 , 1 ), B(3 , 4 ) , C(5 , 2) ' • b) A(4 , 1) , B(-1 , 3), C(-5 , -2) 5. Demostrar que A(-1 , 2 ), B(3 , -2) y C (6, 5) forman los vértices de un triángulo isósceles, mostrando para ello que dos de sus ángulos son iguales. 6. Tres rectas .S?, , -3| y .S?3se interceptan en M(-6 , 4), si y .2j^copt¡enen a los puntos A(2 , 2) y B(0, 0) respectivamente y 2?, es bisectriz del ángulo que hacen 5?, y hallar la pendiente de (Guía: Ejemplo 5). www.freelibros.com
  60. 60. 50 Capitulo I: Conceptos preliminares 7. Los vértices de un triángulo son A(-4 , -1), B(4 , b) y C(-6 , 13). Hallar el valor de b si la altura que pasa por C intercepta a la mediatriz que pasa por B formando un ángulo de 45®. 8. Dado el triángulo A(-2 , 3), B(-4 , -4) y C(3 , -2), hallar el ángulo que forman la mediatriz del lado ÁB con la mediana trazada desde C. (Guía: Ejemplo 9). 9. Hallar las coordenadas de los puntos situados sobre el eje X, desde los cuales se ve el segmento que une A(-2 , 3) con 8(5 , 7) bajo un ángulo de 45 10. Sea r la recta que pasa por los puntos A(2 , 1) y B(4 , -3). Cuál es la pendiente de una recta St tal que el ángulo entre r y & es 45a. 11. Dados dos vértices opuestos de un cuadrado A (2, 2) y C(-5 , 3), hallar los otros dos vértices. (Guía: Ejemplo 10). C T O EL AREA DEL TRIANGULO_________________________________ En esta sección desarrollaremos una fórmula para el área de un triángulo en función de las coordenadas de sus vértices. Se presentan dos casos. CASO 1. Cuando uno de los vértices coincide con el origen Sean A(x, , y,) y B(x2, y,) las coordenadas de los otros dos vértices. En la Figura 1.50 pode­ mos observar que a(AOAB) + a(AOMA) = a(AONB) + a(NMAB) => a(AOAB) + I(x,y,) = = ^ (x 2y2) + ^ (y , + y2)(x, - x2) = j ( x ,y. - x2y , + x ,y2) ^ a(AOAB) = i( x ,y 3- x2y,) Esta fórmula del área puede recordarse más fácilmente escribiéndola como un de­ terminante , esto es : I NOTA. Si los vértices son numerados en sentido antihorario, esta fórmula da el área. Si no son numerados de esta manera, obtenemos el negativo del área. Sin embargo, ello FIGURA 1.50 www.freelibros.com
  61. 61. Sección 1.10: El área del triángulo 51 no importa, pues la expresión que está dentro de las barras en el segundo miembro de (13), es el valor absoluto del desarrollo del determinante. CE J E M P L O 1 ) Hallar el área del triángulo de vértices A(0 , 0) , B(-2 , 3) y C(4 , 2). Solución. Usaremos la fórmula (13) con los vértices numerados en sentido horario y antihorario, a) En sentido horario : a(AABC) = I I ' 2 3| 2 I 4 2 I = i I (-2)(2) - (4)(3) I = -i- I -16 I = 8u2 ■y I (4)(3) - (”2)(2) I = I |16| = 8u2 b) En sentido antihorario : i 14 2i a(AABC) = 3| CASO 2. Cuando ninguno de los vértices coincide con el origen Sea el triángulo de vértices A (x,, y ,), B(x2, y2) C(x3, y3). En la Figura 1.51 , se tiene : a(AABC) = a(AOAB) + a(AOBC) - a(AOAC) Según el caso 1 : a(AOAB) = |(x ,y 2- x 2y,) a(AOBC) = I ( x 2y3-X jy2) a(AOAC) = I(x ,y , - x3y,) Luego : a(AABC) = -~ y, + i X2 y 2 . i x , y,i X2 y2 2 x , y3 2 X3 y j FIGURA 1.51 _ i x . y, x , y, x r y*l 1- + 2 X 2 y2 X 3 y, X3 y,l J La expresión entre corchetes es el desarrollo , por los elementos de la tercera co­ lumna, del determinante y , 1 x2 y3 > x, y ,1 Así, hemos demostrado el siguiente teorema. www.freelibros.com
  62. 62. Capitulo i: Conceptos preliminares TEOREMA 1.9 El área del triángulo El área de un triángulo que tiene por vértices los puntos A(x, , y,) , B(x2, y2) y C (x,, y,) está dado por x , y . 1 ^ y2 1 x, y31 debiéndose tomar el valor absoluto del determinante. S - — 2 (14) Para fines prácticos, el determinante de la fórmula (14) se puede escribir x ^ y , y, 'y, (15) cuyo desarrollo es : s = x ,y2+ x2y 3+ x,y, - x ,y3- x ,y 3- x 2y , 1 I OBSERVACIONES 1. 2. En la fórmula (15) , los productos que se indican por flechas con trazo lleno se toman con su propio signo, mientras que los productos señalados por flechas con trazo punteado se toman con signo contrario. La fórmula (15) se puede generalizar para calcular el área de cualquier polí­ gono en función de las coordenadas de sus vértices. Así, si los vértices de un polígono son los puntos P,(x( , y,), P2(x2, y2)........ Pn(xn, yJ, entonces su área está dado p o r: S = T y. y 2 y. y, (16) 3. Si tres puntos diferentes son colineales , pueden ser considerados como los vértices de un triángulo cuya área es cero. En consecuencia , por el Teorema 1.9, si los tres puntos diferentes A(x, , y,), B(x2, y,) y C (x,, y.) son colineales, entonces S = 0 , esto es www.freelibros.com
  63. 63. Sección 1.10: El área del triángulo 53 y, y> y3 y, = 0 (17) f EJEMPLO 2 j Sean los conjuntos de puntos : a) A(-5 , 7), B(-1 , 4) y C(3 ,1 ) b) A(1 , 6), B(-3 , -4) y C(2 , -2) Determinar si son colineales; en caso contrario, hallar el área del triángulo determi­ nando por tales puntos. Solución. Por el determinante de la fórmula (17) se tiene : a) -5 - i 3 -5 = ¡(-5)(4) + (-!)(!) + (3)(7) - (-5)(1) ; (3)(4) - (-1)(7) I = 1 -2 0-1+ 21 + 5 -1 2 + 71 =0 Luego , los puntos A(-5 , 7), B(-l , 4) y C(3 , 1) son colineales b) 1 6 -3 -4 2 - 2 1 6 = I(O H ) + (-3)(-2) + (2)(6) - (l)(-2) - (2)(-4) - (-3)(6) I = 1-4 + 6+ 12 + 2 + 8+ 18 I =42 Luego , los puntos A(1 ,6), B(-3 , -4) y C(2 ,2) no son colineales, son vértices de un triángulo cuya área, según la fórmula (15) es S = 4r 142 I = 21 u2 □ ( EJEM PLO 3 ) Hallar el área del pentágono de vértices A(1 , 5) , B(-2 , 4) C(-3 , -1), D(2 , -3) y C(5 ,1). Solución. Haciendo uso de la fórmula (16) se tiene : 1 5 -2 4 - 3 - 1 2 -3 5 1 1 5 = i | 4 + 2 + 9 + 2 + 25 - (1 - 1 5 - 2 - 12 - 10)1 = ^ 142 - (-38) I S = 40 u2 □ www.freelibros.com
  64. 64. 54 Capítulo 1: Conceptos preliminares f EJEMPLO 4 j Si dos vértices de un triángulo son A(-4 , 6) y B(3 , -8), hallar las coordenadas del tercer vértice y el área del triángulo sabiendo que las medianas se intersecan en el punto G(2 , 6). Solución. Sean C = {x , y) las coordenadas del tercer vértice. Si G(2 , 6) es el bari­ centro del triángulo , entonces : 2 = i (-4 + 3 + x) y 6 = ^-(6 - 8 + y) de donde obtenemos x = 7 e y = 20 >=> C = (7 , 20) Conocidos los tres vértices del triángulo, usaremos la fórmula (15) para c a v ia r su área, esto es: S = -4 6 3 -8 7 20 -4 6 = i I 32 + 60 + 42 + 80 + 56 - 18 I = 126 u2 □ ( EJEM PLO 5 j El área de un triángulo es S = 24.5 u2, dos de sus vértices son los puntos A(-3 , 4) y B(6 , 2); el tercer vértice está sobre la recta X : 2x + y - 5 = 0. Halle las coordenadas de C. Solución. Sean ( x ,, y,) las coordenadas del tercer vértice C Si S = 24.5 => -3 x 6 - 3 4 . y, 2 4 = 24.5 ■=> I-3y, + 2x, + 24 + 6 - 6y, - 4x, I = 49 =* |-2x, - 9y, + 301=49 « -2x, - 9y, + 30 = 49 ó -2x, - 9y, + 30 = -49 <=> 2x, + 9y, + 19 = 0 ó 2x, + 9y, - 79 = 0 Como C(x, , y,) e => 2x, + y, - 5 = 0 En consecuencia : (2x, + y, = 5) n (2x, + 9y, + 19 = 0)= ¿(4 , -3) (2x, + y, = 5) D (2x, + 9y, = 79) = C’(-17/8 , 37/8) La Figura 1.52 muestra una solución para C. □ < V.....—- "N / -3 O -3 i / r > x i # c FIGURA 1.52 ( EJEM PLO 6 ^ El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos B(-1 , -4) y C(3 , 2). Calcular las coordenadas del tercer vértice A sabiendo que el área del triángulo es 26 u2. www.freelibros.com
  65. 65. Sección 1.10: El área del triángulo 55 Solución. Sean (x , y) las coordenadas del vértice A. Dado que el AABC es isós­ celes , entonces IBAI = | CA | =* V(x + l)2+ (y + 4)2= V(x - 3)2+ (y - 2)2 De donde obtenemos la ecuación de la media- triz del segmento BC, esto es , A e . 2 ? : 2 x + 3 y + l = 0 Por otro lado , a(AABC) = 26 , entonces 3 2 26 = x y - I -4 3 2 = y 13y - 4x - 2 + 12 + y - 2x I =* | 2y - 3x + 5 I =26 o 2y - 3x + 5 = 26 ó 2y - 3x + 5 = -26 <=> SH2: 3x - 2y + 21 = 0 ó á?: 3x - 2y - 31 = 0 Son dos ecuaciones que contienen a las coordenadas del vértice A. En consecuen­ cia : D $2= (2x + 3y + 1= 0) D (3x - 2y + 21 = 0) = A(-5 , 3) ^ 0 = (2x + 3y + 1= 0) fl (3x - 2y - 31 = 0) = A’(7 , -5) ( EJEMPLO 7 ) El área de un triángulo es S = 9u2, dos de sus vértices son los puntos A(3 , 1) y B(1 , -3); el centro de gravedad de este trián­ gulo está situado en el eje X. Determinar las coordenadas del tercer vértice C. Solución. Sean (x , y), las coordenadas del vértice C 3 Si S = 9 ■=> 9 = 4 ■=» 18 = 13y - 3x + I+ 9 - y - x I de donde : 12x - y - 5 1 =9 Si G( x , 0) es el baricentro , entonces 0= y (1 - 3 + y) <=> y = 2 Luego ,en(1): 12x - 7 1 =9 <=> 2x - 7 = 9 ó 2x - 7 = -9 o x = 8 ó x = -1 Por tanto, hay dos soluciones : C(8 , 2) y C’(-l , 2) □ www.freelibros.com
  66. 66. 56 Capítulo I: Conceptos preliminares En (1), las variables x e y no llevan subíndices por­ que representan a las coordenadas de C o D. Dado que G( x , 0) es la intersección de las diagona­ les, entonces es punto medio deAC y BD. Luego,para ÁC : 0 = -1(3 + y,) y, = -3 y para BD : 0 = -i (4 + y2) =* y2= -4 Sustituyendo estos valores en (1) tendremos : y, = -3 c=> | x, - 5 I =12 <=> x, - 5 = -12 ó x, - 5 = 12 x, = -7 ó x, = 17 y2= -4 <=> I Xj - 6 1 =12 <=> x2 - 6 = -12óx2- 6 = 12 o x2= -6 ó x2= 18 Por tanto , hay dos soluciones para cada vértice C(-7 , -3) ó C’(17 , -3) ; D(-6 , -4) ó D'(18 , -4) □ EJERCICIOS: Grupo 6 1. Hallar el área de los polígonos cuyos vértices son a) A(V2 , 2), B(-4 , 6) , C(4 , -2<2) b) A(2 , 5) , B(7 , 1), C(3 , -4) , D(-2 , 3) c) A(3 , 2) , B(-1 , 4) , C(-5 , 1), D(-3 , -3), E(1 , -4) 2. El área de un triángulo es S = 8u2, dos de sus vértices son lospuntos A(1, -2) yB(2 , 3) y el tercer vértice C está sobre la recta CP : 2x + y -2 = 0 Hallar sus coordenadas. (Guía: Ejemplo 5). FIGURA 1.55 ( E J E M P L O 8 ) El área de un paralelogramo es 12 u2, dos de sus vértices son los puntos A(-1 , 3), y B(-2 , 4). Hallar los otros dos vértices de este paralelogramo, sabiendo que el punto de intersección de sus diagonales está situado en el eje de abscisas. Solución. Supóngase que (x,, y,) y (x2, y2) sean las coordenadas de C y D respec­ tivamente. El área del AABC es la mitad del área del paralelogramo 3 , de donde I x + y - 2 1= 12 (1) ^ 6 = 2 www.freelibros.com

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