Cuadernillo de algebra espe 12 12 12

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Guías para la asignatura de álgebra impartida en los cursos de nivelación preuniversitario en la ESPE extensión Latacunga.
Realizado por Iván Collantes, Docente

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Cuadernillo de algebra espe 12 12 12

  1. 1. ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO EXTENSIÓN - LATACUNGA CUADERNILLO PARA LA ASIGNATURA DE ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y ECUACIONESING. IVÁN COLLANTES VÁSCONEZ DOCENTE Diciembre de 2012.
  2. 2. 1
  3. 3. ÍndicePRESENTACIÓN ………………………………………………………………………………… 3GENERALIDADES ……………………………………………………………………………… 4 I. EXPRESIONES ALGEBRAICAS1.1 Números Reales: Clasificación, definición y propiedades ……………… …………61.2 Exponentes y radicales ………………………………………………………………… 141.3 Polinomios, definición, grado, clases de polinomios y valor numérico ………… 191.4 Operaciones con polinomios: suma, resta, multiplicación y división……………… 231.5 Teoremas del residuo y del factor ……………………………………………………… 251.6 Productos y cocientes notables ………………………………………………………… 271.7 Binomio de Newton ……………………………………………………………………… 351.8 Descomposición factorial, métodos directos y por evaluación ……………………411.9 Máximo Común Divisor y mínimo común múltiplo ………………………………… 481.10 Fracciones algebraicas: definición, propiedades y operaciones……………………501.11 Racionalización…………………………………………………………………………… 531.12 Ejercicios de repaso……………………………………………………………………… 58 II. ECUACIONES2.1 Conceptos básicos, identidad, ecuación y clasificación ……………………………672.2 Ecuación de primer grado con una incógnita………………………………………… 702.3 Ecuación de segundo grado con una incógnita, análisis del discriminante y propiedades de las raíces…………………………………………………………………752.4 Ecuaciones reducibles a segundo grado ……………………………………………… 732.5 Ecuaciones polinómicas, raíces reales de un polinomio …………………………… 742.6 Sistemas de ecuaciones lineales, métodos de resolución, reducción, igualación, Sustitución ………………………………………………………………………………… 752.7 Sistemas de ecuaciones no lineales …………………………………………………… 832.8 Aplicaciones de las ecuaciones en problemas literales……………………………… 852.9 Ejercicios de repaso……………………………………………………………………… 87BIBLIOGRAFÍA …………………………………………………………………………………… 94 2
  4. 4. PresentaciónEl fortalecimiento de la Escuela Politécnica del Ejército, Extensión Latacunga, en elárea de Matemática, se ha ido dando de manera sustentada en diversasconcepciones teóricas y metodológicas, orientadas al pensamiento lógico, crítico ycreativo de los jóvenes que conforman nuestra comunidad politécnica.Este proceso de enseñanza – aprendizaje en el área de matemática se basa en unsistema de desarrollo que combina conocimientos destrezas y habilidades a travésde situaciones en contexto y de métodos participativos, que posibiliten laconstrucción del conocimiento esperado en el perfil de la carrera que cada uno delos estudiantes a escogido como su futura profesión.El fundamento integrador para entender matemáticas es desarrollar el pensamientológico y crítico, para poder interpretar y resolver los problemas de la vida, es decir,el proceso enseñanza – aprendizaje promueve en los estudiantes politécnicos lahabilidad de plantear y resolver problemas con tal variedad de estrategias,metodologías y recursos que constituyan un hábito o costumbre para hacer frente atodo tipo de actividad cotidiana.Lo más importante es evitar que la resolución de un problema se convierta en unsimple proceso mecánico que se debe seguir cual si fuera una receta, sin un análisisque genere otros conocimientos y que permita aplicar los conocimientos adquiridosen otros contextos de la vida.Es en este ámbito que el presente cuadernillo de álgebra pretende poner al alcancetanto de docentes como estudiantes, varias metodologías, estrategias y técnicas enla solución de problemas, que se evidencian de manera práctica en el desarrollo delos ejercicios paso a paso, y en las sugerencias para resolver ciertos problemas demanera directa o simplificando algunos pasos que resultan demasiado evidentes.Estas técnicas y estrategias de solución estimulan el razonamiento y demostraciónpara alcanzar interpretaciones más acertadas y trabajen juntos por una mejorcalidad y competitividad en su formación profesional continua. 3
  5. 5. GENERALIDADESLa matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal que sigue una serie de convenciones propias,cuyos símbolos representan un concepto, una operación, una entidad matemática según ciertas reglas.Estos símbolos no deben considerarse abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.Uno de los usos más comunes de los símbolos matemáticos se encuentra en la Programación de Sistemasde Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema detoma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana.En álgebra se utilizan muchos símbolos y algoritmos que permiten un desarrollo lógico para resolver unproblema o un ejercicio. Algunos principios básicos que debemos considerar son: • Los símbolos algebraicos de una constante o una variable se representan en letra cursiva: a, b, i, k, x, y, n, etc. • Los símbolos de una operación se representan en letra redonda: cos x, ln y, sen a, log b, tan π , lim x , etc. x→c No debe escribirse lnx en lugar de ln x porque eso representaría el producto l × n × x en lugar del logaritmo neperiano. Nótese que la función seno se representa con letras redondas mientras que la variable a se representa con letra cursiva. • Según la norma ISO 31 los operadores diferenciales y las constantes matemáticas universales (i, e), también se escriben con letra redonda: aex, a + b i, etc. • La nomenclatura universalmente utilizada en matemáticas es la siguiente: Operación Simbología Se lee Pertenencia x∈ A x pertenece a A x∉ A x no pertenece a A Inclusión A⊂ B A está contenido en B A⊆ B A está contenido en B o es igual a B A⊃ B A contiene a B A⊇B A contiene a B o es igual a B A⊄ B A no está contenido en B Conjuntos A∪ B A unión B A∩ B A intersección B AB A menos B 4
  6. 6. Ø Conjunto vacío ∞ InfinitoIgualdad x=y x es igual a y x = ±y x es igual al valor positivo y negativo de y x =y El valor absoluto de x es yCongruencia x≡y x es congruente con yDesigualdad x>y x es mayor que y (aunque también puede leerse y es menor que x) x< y x es menor que y (pero también puede leerse y es mayor que x) x≠ y x no es igual a y x≥ y x es mayor o igual a y x≤ y x es menor o igual que y x≈y x es aproximadamente igual a y x→ y x tiende a yCuantificadores ∀x Para todo x ∃x Existe por lo menos un x ∃! x Existe un único x x/ y x tal que y ∑ Sumatoria n Sumatoria desde k = 0 hasta n ∑ k =0 x∴ y x por lo tanto y x⇒ y x entonces y x⇔ y x si y sólo si y (condición sine qua non)Negación ¬ p Excepto p, no pConjunción p∧q pyqDisyunción p∨ q poq 5
  7. 7. I. EXPRESIONES ALGEBRAICAS1.1 LOS NÚMEROS REALES: CLASIFICACIÓN DEFINICIÓN Y PROPIEDADESLos Números Naturales es el conjunto de números que sirven para designar la cantidad de elementos quetiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N: N = {1, 2, 3, 4,…}El cero, por lo general, se excluye del conjunto de los números naturales.Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar loselementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo), 3º (tercero),…Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas decontar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultadode sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que sonoperaciones internas.La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos númerosnaturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Poreso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro,cualesquiera que sean éstos.La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede noser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea elconjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por elcero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de uncociente se obtiene un resto.Números enteros Z, son cualesquier elemento del conjunto formado por los números naturales y susopuestos incluyendo el cero. El conjunto de los números enteros se designa por Z: Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, 0, 1, 2,…, 10, 11,…}Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenarpor encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores acero grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo, etc.).Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque suresultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si eldividendo es múltiplo del divisor. 6
  8. 8. Número racional Q es el que se puede expresar como cociente o razón de dos números enteros, es decir,en forma de fracción. Los números enteros también son racionales, pues se pueden expresar como acociente de ellos mismos por la unidad: a = . 1Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales sedesigna por Q. Q= { q : p ∈ Z ∧ q ∈ Z {0}} pSi bien en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8,el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionalesexisten infinitos números.Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad elresultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal seobtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran losfactores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hayalgún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo: 7 = 1 .4 decimal exacto 5 15 = 2.142857142857142857 decimal periódico 7 71 = 1.183333333333 decimal periódico 60Número irracional, es el número no racional, es decir, que no se puede poner como cociente de dosnúmeros enteros.La necesidad de los números irracionales surge de medir longitudes sobre algunas figuras geométricas: lalongitud de la diagonal de un cuadrado tomando como unidad el lado del mismo es 2 ; la longitud de ladiagonal de un pentágono tomando como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo;la longitud de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número irracional π; el número e 1es el valor de la expresión (1 + ) n cuando n tiende al infinito, etc. nLa expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas.Existen infinitos números irracionales. Todos ellos, junto con los racionales, los enteros y los naturales,forman el conjunto de los números reales.El conjunto de todos los números reales, por lo general se denota mediante el símbolo R y se puederepresentar sobre una recta numérica, o recta real, del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le 7
  9. 9. asocia el cero, se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 sedenomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros.Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose deconstrucciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho deque a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en larecta. De este modo se establece una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta(a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa). El número real que corresponde a uncierto punto de la recta es su abscisa.La recta real es la base de las coordenadas cartesianas y, por tanto, de la geometría analítica y de larepresentación gráfica de las funciones.Una estrategia para entender los números es la utilización de la geometría, por ejemplo si se quiererepresentar un número al cuadrado, a 2 , podemos usar la representación geométrica del área de una figurarectangular: el área de un rectángulo es base por altura, ∴ el área de un cuadrado es a × a = a 2Un número elevado al cubo, a 3 , puede representarse como el volumen de un prisma recto o exaedro: el volumen de un exaedro es base por altura y por profundidad, ∴ el volumen de un cubo es a × a × a = a 3También podemos representar en la recta numérica el punto exacto donde se encuentra la raíz de 2,utilizando un arco de circunferencia donde el radio es 2 , así: Por construcción, el triángulo rectán– gulo es también isósceles cuyos catetos son la unidad, y la hipotenusa por Pitágoras es 2 . Si se traslada la hipotenusa con un arco de circunferencia, se tiene la posición exacta en la recta numérica. 8
  10. 10. De manera similar podríamos obtener la posición en la recta de otros números irracionales como 5, 8, 10 , 13 , etc., pero resulta imposible ubicar otros números como 3, 6, 7 , etc., ¿puede ustedadvertir por qué?Así tenemos:Finalmente vamos a representar con figuras geométricas, rectangulares y cuadradas, los números naturalesen la recta, de tal manera que podamos identificar cuáles son primos y cuáles cuadrados perfectos, así:Los números que tienen una sola representación geométrica son primos, a excepción del 1 que es unnúmero especial, el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc. son primos.Mientras que los que pueden representarse con figuras cuadradas, son cuadrados perfectos, a excepcióndel 1 que es un número especial, el 4, 9, 16, 25, etc. son cuadrados perfectos. 9
  11. 11. Clasificación:Propiedades de los Números Reales.En R hay dos operaciones, suma y producto, respecto de las cuales se cumplen las siguientes propiedades:1) Propiedad clausurativa (o cerradura), si a y b son números reales, entonces, a + b y a.b son números reales únicos. ∀a, b ∈ R ⇒ a + b ∈ R ∀a, b ∈ R ⇒ a ⋅ b ∈ R Este axioma garantiza que, cuando se realizan las operaciones de adición y multiplicación con números reales, la suma y el producto son números reales. A este axioma se le llama propiedad de cerramiento o cerradura debido a que se dice que un conjunto es cerrado respecto a una cierta operación, cuando al efectuar una operación con elementos del conjunto, se obtiene otro elemento del mismo conjunto, así: { El conjunto A = 1,2,3,4 } no es cerrado respecto a la adición, pues al efectuar dicha operación aditiva con elementos del conjunto no se obtiene necesariamente un elemento del conjunto. Por ejemplo, 2 + 3 = 5, pero 5 no es un elemento de A. Pero el conjunto de los números naturales pares es cerrado respecto a la adición y a la multiplicación, ya que cualquier suma o multiplicación de dos números naturales pares siempre da como resultado números naturales pares. Por ejemplo 6 + 8 = 14 y 6 . 8 = 48, en los dos casos son números naturales pares.2) Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c ) , ∀a, b, c ∈ R3) Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a , ∀a, b ∈ R 10
  12. 12. 4) Propiedad modulativa o elemento neutro (cero) para la suma: hay un número real, que denotamos por 0, tal que 0 + a = a + 0 = a , expresado simbólicamente: ∀a ∈ R, ∃0 ∈ R/ a + 0 = 0 + a = a5) Elemento opuesto para la suma (inverso aditivo): hay un número real (y solo uno), que denotamos por −a, tal que (−a) + a = a + (−a) = 0 ∀a ∈ R, ∃ − a ∈ R/ a + (− a ) = − a + a = 06) Propiedad asociativa del producto: (a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c ) ∈ R7) Propiedad conmutativa del producto: ab = ba.8) Propiedad modulativa o elemento neutro (identidad) para el producto: hay un número real distinto de 0, que denotamos por 1, tal que 1 · a = a ·1 = a ∀a ∈ R, ∃1 ≠ 0,1 ∈ R/ a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a9) Elemento inverso multiplicativo para el producto: si a ≠ 0 , hay un número real (y solo uno) que 1 denotamos por a −1 o , tal que a −1a = a ⋅ a −1 = 1 a ∀a ∈ R, ∃a −1 ∈R/ a ⋅ a −1 = a −1 ⋅ a = 110) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c , ∀a, b, c ∈ R11) Axiomas de orden: En el conjunto de los números reales, existe un subconjunto llamado de los números positivos, para el que si a es un número real, exactamente uno de los tres siguientes enunciados es válido: a=0 a>0 a<0 Puesto que el conjunto R de los números reales satisface el axioma de orden y los axiomas de campo, decimos que R es un campo ordenado. 11
  13. 13. Los opuestos de los números positivos forman el conjunto de los números negativos. a) Propiedad de tricotomía: ∀a, b, c ∈R, se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: a<b a=b a>b b) Propiedad transitiva: Si a < b y b < c entonces a < c c) Si a < b ⇒ a + c < b + c, ∀a, b, c ∈ R d) Si a < b, c > 0 ⇒ a ⋅ c < b ⋅ c e) Si a = b ⇒ a + c = b + c, ∀a, b, c ∈ R f) Si a + c = b + c ⇒ a = b, ∀a, b, c ∈ R g) Si a = b ⇒ a ⋅ c = b ⋅ c, ∀a, b, c ∈ R h) Si a ⋅ c = b ⋅ c, c ≠ 0 ⇒ a = b, ∀a, b, c ∈Conjuntos e intervalos.Un conjunto es una colección de objetos que se denominan elementos del conjunto. Si S es un conjunto, lanotación a ∈ S significa que a es un elemento que pertenece a S, y b ∉ S quiere decir que b no es unelemento de S. Por ejemplo si Z representa el conjunto de los enteros, entonces − 3 ∈ Z pero π ∉ Z.Los conjuntos normalmente serán denotados por letras mayúsculas en tanto que se usarán minúsculas pararepresentar a los elementos. Siempre se supondrá que todos los conjuntos en consideración estáncontenidos en un conjunto universo X.A los conjuntos se los puede describir acomodando sus elementos dentro de llaves. Por ejemplo si unconjunto A consiste en todos los enteros positivos menores que 7 se expresa como A = { ,2,3,4,5,6}. 1Pero también podemos escribir A en notación de conjuntos de la siguiente forma: A = {x / x ∈ Z ∧ 0 < x < 7 }Si S y T son conjuntos, entonces la unión S ∪ T es un nuevo conjunto que consta de todos loselementos que están en S o en T o en ambos. La intersección de S y de T es un nuevo conjunto S ∩ Tque consiste en todos los elementos que están tanto en S como en T. En otras palabras, S ∩ T es la parteque es común a S y a T. El conjunto vacío denotado por Ø es el conjunto que no tiene elementos.Representación gráfica.Ciertos conjuntos de números reales, llamados intervalos, se presentan con mucha frecuencia en elcálculo y corresponden geométricamente a segmentos lineales. Si a < b , entonces el intervalo abiertodesde a hasta b consta de todos los números entre a y b y se denota como (a, b ) . El intervalo cerrado 12
  14. 14. desde a hasta b comprende los extremos y se denota con [a, b] . Usando la notación de conjuntos podemosescribir (a, b ) = {x / a < x < b} y [a, b] = {x / a ≤ x ≤ b} .El símbolo ∞ (“infinito”) no es un número. La notación (a, ∞ ) indica simplemente que el intervalo notiene punto final a la derecha, sino que se prolonga hacia el infinito en la dirección positiva. Mientras quela notación (− ∞, ∞ ) representa a R, todo el conjunto de los números reales. Intervalo abierto (a, b ) Intervalo cerrado [a, b]Valor absoluto y distancia.El valor absoluto de un número a denotado por a , es la distancia desde a hasta cero sobre la recta de losnúmeros reales. La distancia es siempre positiva o nula, de modo que tenemos a ≥ 0 para cada número a.Se debe tener en cuenta que − a es positiva cuando a es negativa, y entonces tenemos la siguientedefinición:  Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es a = a si a ≥ 0 − a si a < 0 El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo. Por ejemplo 3 − π = − (π − 3) = π − 3 .Propiedades del valor absoluto.1) a ≥0 El valor absoluto de un número es siempre positivo o cero.2) a = −a Un número y su negativo tienen el mismo valor absoluto.3) a ⋅b = a b El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos. a a4) = El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos. b bDistancia entre puntos de la recta de los números reales.Si a y b son números reales, entonces la distancia entre los puntos a y b en la recta numérica es d (a, b ) = b − a 13
  15. 15. 1.2 EXPONENTES Y RADICALESExponentes.Se define un exponente como b n = P , donde b es la base, n es el exponente y P es la potencia de b n . 4veces 4 64748nSi n ∈ N entonces b consiste en multiplicar la base n veces por sí misma, así: b = b × b × b... × b . n nLos exponentes se efectúan bajo las siguientes propiedades o leyes: ∀a, b, c ∈R ∧ n, m, x, y ∈ R1) Toda base elevada a la cero es 1, excepto el cero: b0 = 1 ; b ≠ 02) Toda base elevada a uno es igual a la misma base: b1 = b 13) Un exponente negativo es el recíproco de la potencia positiva: b− n = ; b≠0 bn −1 1 Nótese que − 8− 2 = 2 =− 8 644) En el producto con bases iguales, se mantiene la base y se suman los exponentes: b n × b m = b n + m bn5) Para la división de bases iguales, se mantiene la base y se restan los exponentes: m = b n−m ; b ≠ 0 b6) En una base con doble exponente, se multiplican los exponentes: b n ( ) m = b nm7) Para un producto elevado a un exponente, cada factor se eleva a ese exponente: (ab )n = a nb n n a an8) En un cociente elevado a un exponente; cada factor se eleva a ese exponente:   = n b b −n n a b9) Un cociente con exponente negativo es el recíproco del cociente positivo:   =  b a10) Un cociente donde cada término tiene exponente negativo es el recíproco positivo de cada término: a −m b n = ; a ≠ 0, b ≠ 0 b −n a m11) En un producto de varios exponentes agrupados en un solo exponente, cada factor se distribuye con el exponente principal: (a m bnc y ) x = a mx b nx c xy 14
  16. 16. Ejemplos:Reducir a su mínima expresión: 5 −1 −2 −1 4 −1  1  31) E= − −  − 8 −1  2 − 3−1 2 ( ) 1 5−6 1− 4 1 3 −1 − − E= 4 − (− 2) − 3 = 4 +2− 3 = 4 +2+3 = −6 + 5 = −1 1  1 1 1 1  2 8 3  8 9 82) [ ( x = 3−1 ÷ 0.3−3 × 0.35 ) −1 ] + (− 3 × 10 −2 )  1  10 3 35  −1   3  1  32 −1  3 1 10 2 3 3 3 x =  ÷ 3 × 5   + − 2  = ÷  2  − 2 = ÷ 2 − 2 = − 2 =0 3  3 10    10    3  10    10 3 3 10 10 2 10  −2  2a −2b 2 c −4 3) K =  −3 −1 2   3a b c    2  3a −3b −1c 2  9a −6 b −2 c 4 9c12 K =  −2 2 − 4   2a b c  = − 4 4 −8 = 2 6   4a b c 4a b  3 24) E = (1.33333... ÷ 0.066666...) −  0.303030... ×  +  5  11  3 6   30 3  2 4 1   2  2 4 E = 1 + ÷  −  ×  + =  ÷ − + = × 15 = 20  9 90   99 5  11  3 15   11  11 3 15
  17. 17. 7 2 ⋅ 8 3 ⋅ 4 2 n +15) J= 2 4 n + 7 − 16 n ⋅ 32 2 7 2 ⋅ 29 ⋅ 2 4 n + 2 7 2 ⋅ 29 ⋅ 2 4 n ⋅ 2 2 49 ⋅ 211 ⋅ 24 n = = = 24 n + 7 − 2 4 n ⋅ 210 2 4 n ⋅ 2 7 − 2 4 n ⋅ 2 7 ⋅ 23 ( 2 4 n ⋅ 27 ⋅ 1 − 23 ) 49 ⋅ 2 4 49 ⋅ 16 = = = −7 ⋅ 2 4 1− 8 −7Radicales. k kSe define un radical como n b =b k n que no es más que un exponente fraccionario b = P , donde n k nb es la base, n es el índice de la raíz, k es el exponente de la base y P es la potencia de b .Las propiedades y leyes de los radicales son básicamente las mismas de los exponentes, tomando encuenta lo siguiente:1) Las raíces impares de números negativos son negativas, mientras que las raíces pares de números negativos no existen para el conjunto de los números reales, así: 3 − 22 = −3 22 ; 4 − 16 = no existe ; 3 − 2 x 9 y 12 = − x 3 y 4 3 2 ; − 4 = no existe2) La raíz cuadrada de todo número positivo tiene doble signo, así:  x3 3   5x 2  3x 6 =  ; 25 x 4 =  ; 4 = ±2  − x3 3   − 5x 2  Sin embargo, por lo general se considera solamente la raíz positiva, aunque los dos signos son válidos, así decimos que la raíz cuadrada de 4 es 2 y la raíz cuadrada de 36 es 6, etc. 16
  18. 18. Radicales Dobles.Se aplica una de las siguientes fórmulas, según sea el caso: a+m a−m a+m a−m a+ b = + ; a− b = − , donde: m = a 2 − b 2 2 2 2Así por ejemplo:Descomponer en radicales simples los siguientes radicales dobles: 5 21) E = 5 + 24 2) P= + 3) E = 11 + 2 30 6 3 25 2 m= − m = 25 − 24 36 3 E = 11+ 120 m =1 1 m= 6 5 1 5 1 + − 5 +1 5 −1 6 6 + 6 6 m = 121 − 120 E= + P= 2 2 2 2 m =1 1 1 11 + 1 11 − 1 E= 3+ 2 P= + E= + 2 3 2 2 E= 6+ 5Para los radicales dobles con raíz cúbica se utilizan las fórmulas:3 A+ B = k + k2 −m ; 3 A− B = k − k2 −men donde m = 3 A 2 − By el valor de k es la raíz real en la fórmula A = 4k 3 − 3km 4k 3 − 3km − A = 0De las tres raíces de k solo una es real y las otras dos son complejas. 17
  19. 19. Ejemplos:1) Descomponga en radicales simples el siguiente radical doble: 3 7+5 2 3 7+5 2 = 3 7 + 50 = 3 A+ B ∴ m = 3 49 − 50 m = −1 7 = 4k 3 − 3mk 4k 3 + 3k − 7 = 0 4(1) + 3(1) − 7 = 0 (por tanteo) k =1 3 A+ B = k + k2 −m ⇒ 3 7 + 50 = 1 + 1 − (− 1) = 1+ 22) Obtenga el valor de  3 2 + 3   3 2 − 3          ( = 3 2+ 3 2− 3)( ) = 3 4−3 =1 18
  20. 20. 1.3 POLINOMIOS, DEFINICIÓN, NOTACIÓN, GRADO, CLASES DE POLINOMIOS Y VALOR NUMÉRICOLa terminología expresión algebraica se emplea para indicar una constante y una variable, o unacombinación de variables y constantes, en la que interviene una cantidad finita de operaciones, comosuma, resta, multiplicación , división, elevación a potencia, y extracción de raíz.Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son: 3x 2 − 6 xy + y 2 x+ y −4 E= ; J= ; P = 5x 2 − 8x + 2 x + 3y (z + 2)3 − x 3A una expresión algebraica que tiene únicamente potencias enteras no negativas de una o más variables yque no tiene variables en el denominador se le denomina polinomio.Así, de los ejemplos arriba expresados sólo P = 5 x 2 − 8 x + 2 puede considerarse un polinomio.Otros ejemplos de polinomios son: Q = 2 x ; S = 4 x 5 − 6 x 3 + 3 x 2 − 1 ; V = 3 x 2 y 5 + 8 xy − 7 x + y − 3 .Cada parte de un polinomio se denomina término y cada término puede estar compuesto por unaconstante y una variable o varias variables, de la siguiente manera:Los términos que sólo difieren en sus coeficientes reciben el nombre de términos semejantes, los mismosque pueden combinarse algebraicamente usando la propiedad distributiva que no es más que el factorcomún de los términos semejantes: 6 x 2 + x + 7 + 3x 2 − 4 x + 5 ( ) = 6 x 2 + 3 x 2 + ( x − 4 x ) + (7 + 5) = x 2 (6 + 3) + x(1 − 4 ) + (12 ) = 9 x 2 − 3 x + 12Después de reducir los términos semejantes, el polinomio puede ser monomio si tiene un solo término,binomio si tiene dos, y trinomio si tiene tres términos.El grado de un polinomio está dado por el exponente más alto de la variable en cualquiera de lostérminos; y si tiene más de una variable, su grado es la mayor suma de los exponentes de todas las 19
  21. 21. variables que tenga en cada término. Por consiguiente, P( x, y ) = 2 x + 4 x 2 y − 5 y 2 − 7 es un polinomio degrado es 3, pues el término con la suma más grande de exponentes es 4 x 2 y , cuyo grado es 3.Valor numérico de un polinomio o de una expresión algebraica es el que se obtiene al reemplazar lasvariables y los coeficientes por números reales y efectuar sus correspondientes operaciones.Puesto que las variables y los coeficientes de los polinomios pueden reemplazarse por números reales,podemos aplicarles las definiciones, axiomas y propiedades del conjunto R, así por ejemplo:1) Calcule el valor numérico de x = 2 E= ( ) x + y 2 + ( x − y )( x + y ) − 5 x 2 y 1 2  si  7 y = 5  = 1 7 (2 + 5) + ( 2− 5 )( ) 2 + 5 − 5 ⋅2⋅ 5 = 1 (7 ) + (2 − 5) − 10 7 = 1 − 3 − 10 = −12 al igualar los polinomios (8 − 3a )x + 3b = 2 x + 7 a2) Halle el valor numérico de b Correspondientemente cada término del polinomio de la izquierda es igual a cada término del de la derecha, así 8 − 3a = 2 y 3b = 7 7 a 6 Por lo tanto a = 2 , y b= , luego = 3 b 7 a+b3) Halle el valor numérico de si el polinomio P ( x ) = ax 2 + (b + 2 )x + c + 1 es igual a−b+c al polinomio Q( x ) = 0 Cada coeficiente del primer polinomio es correspondientemente igual a cero, por lo tanto: ax 2 + (b + 2 )x + (c + 1) = 0 20
  22. 22. a=0 ; b+2=0 ; c +1 = 0 b = −2 ; c = −1 a+b 0−2 = = −2 a − b + c 0 + 2 −14) Halle el valor de (m − n )(n − p ) al igualar mx 2 − 6 x 2 − 5 x + nx + p + 5 = −2 x 2 + 3 x − 2 x 2 (m − 6 ) + x(n − 5) + ( p + 5) = −2 x 2 + 3 x − 2 ∴ m − 6 = −2 n−5 = 3 p + 5 = −2 m=4 n=8 p = −7 (m − n)(n − p ) = (4 − 8)(8 + 7) = −60 a+b e+35) Halle el valor numérico de ⋅ al igualar los polinomios: − 2d − 1 f − 6 1 3 1 2 1   4 2 2 1 5 (  x − x + x − 5  +  x − x + x −  = − ax + bx + dx + ex + f 4 3 2 ) 4 3 2   3 4 2 1 3 3 15 x4 + x − x 2 + x − = − ax 4 − bx 3 − dx 2 − ex − f 4 4 2 1 3 15 −a =1 −b = − d = −1 −e = − f =− 4 4 2 1 3 15 a = −1 b=− d =1 e=− f = 4 4 2 1 3 −1− − +3 ∴ a+b e+3 ⋅ = 4⋅ 4 = 5 3 ⋅ = 5 − 2d − 1 f − 6 − 2 − 1 15 12 2 8 −6 2 21
  23. 23. 6) Si a + b = 2 3 , ab = 1 , entonces calcule el valor de a 3 + b 3 (a + b )2 = 4 × 3 ( a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 − ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 = 12 = 2 3 (10 − 1) a + b = 12 − 2 2 2 = 18 3 a 2 + b 2 = 10 22
  24. 24. 1.4 OPERACIONES CON POLINOMIOS, SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓNSuma y Resta de polinomios.Se puede efectuar la suma y la resta en forma horizontal o colocándolos en filas paralelas con sus términossemejantes situados en una misma columna, así: 4 x 3 + 7 x 2 + 3x − 8 + 6x3 − 2x 2 +4 10 x 3 + 5 x 2 + 3 x − 4Se debe tener especial cuidado con el signo negativo al efectuar la diferencia de polinomios: 2x3 + x 2 + 4x − 3 – 4x 3 − 8x 2 + x + 6 − 2 x 3 + 9 x 2 + 3x − 9Es decir que puede agruparse en un paréntesis el polinomio precedido por el signo negativo y aplicar lapropiedad distributiva para efectuar la sustracción: ( 6 x 4 − 2 x 2 + 3x − 1 − 8 x 4 − 5 x 3 − 2 x 2 + 6 ) = 6 x 4 − 2 x 2 + 3x − 1 − 8 x 4 + 5 x 3 + 2 x 2 − 6 = −2 x 4 + 5 x 3 + 3 x − 7Multiplicación de polinomios.Para los productos entre polinomios se utiliza la propiedad distributiva, respetando las leyes de losexponentes al momento de multiplicar las variables, así: (3x 3n − 2x n ) (4 x 4n + x 2n ) si n ∈ N = 12 x 7 n + 3 x 5n − 8 x 5n − 2 x 3n = 12 x 7 n − 5 x 5n − 2 x 3nExisten productos cuyo resultado es tan evidente que no necesitan que se aplique la propiedad distributivay su resultado se lo obtiene por la memorización de fórmulas, tal como se explica en el tema productos ycocientes notables. 23
  25. 25. División de polinomios.Tradicionalmente la división entre números reales se la realiza entre el dividendo y el divisor hastaobtener un cociente y un residuo o resto que puede o no existir, es decir: 47 = dividendo 47 3 divisor 3 17 15 cociente 2 restoEn donde el cociente es la parte entera de la división y el residuo es la parte fraccionaria, así en el ejemploanterior tenemos: 47 2 = 15 + 3 3La misma lógica de la división entre números reales se cumple en la división de polinomios, así tenemos: x3 − 6x + 5 dividendo P(x) x3 + 0 − 6x + 5 x 2 + 3x − 2 divisor D(x)E= 2 – x 3 − 3x 2 + 2 x x + 3x − 2 −3 x 2 − 4 x + 5 x−3 cociente Q(x) 3x 2 + 9 x − 6 5x − 1 resto R(x) ∴ x3 − 6x + 5 = x −3+ 2 5x − 1 x + 3x − 2 2 x + 3x − 2Esto último nos permite formular un proceso mecánico donde intervienen los polinomios dividendo,divisor, cociente y resto, en donde: P(x ) R(x ) = Q( x ) + D( x ) D(x ) 24
  26. 26. 1.5 TEOREMAS DEL RESIDUO Y DEL FACTORRegla de Ruffini.Puede utilizarse únicamente para divisiones cuyo denominador es de la forma x ± a y sigue unprocedimiento mecánico, en donde se toman los coeficientes del dividendo en forma descendentecompletando con ceros de no existir los términos correspondientes y se divide para el términoindependiente del divisor cambiado de signo, obteniendo directamente los coeficientes del cociente y elresiduo, siendo éste último un número real únicamente.Así por ejemplo, podemos dividir usando la regla de Ruffini los siguientes polinomios: 2 x 3 − 5x 2 + 6 x − 3 2–5+6–3 2 E= x−2 4–2+8 2 – 1 + 4 +5 residuo 2 x 3 − 5x 2 + 6x − 3 5Por lo tanto, = 2x 2 − x + 4 + x−2 x−2Esto nos permite expresar los polinomios como: ( ) 2 x 3 − 5 x 2 + 6 x − 3 = (x − 2) 2 x 2 − x + 4 + 5Que es el fundamento de los teoremas del residuo y del factor, como se indica a continuación.Teorema del residuo.Si P(x) es un polinomio y a es un número real, entonces cuando P(x) se divide entre x ± a se obtienecomo cociente un polinomio único Q(x) cuyo residuo es un número real R, de tal manera que para todoslos valores de x se cumple: P ( x ) = ( x ± a ) Q( x ) + RAsí en la división del último ejemplo, tenemos: 2 x 3 − 5x 2 + 6 x − 3 x − 2 = 0E= ; P(x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + 6 x − 3  x−2 x = 2 P (2) = 2(2 ) − 5(2 ) + 6(2 ) − 3 3 2 P(2) = 5 25
  27. 27. Que no es más que el residuo, por lo tanto se resume que, si P(x) es un polinomio y a es un número real,entonces P(x) dividido entre x ± a , da como resultado el residuo P(a) = R. 2 x 2 + 3x + 5Ejemplo: Obtenga el residuo de la división K= x+3P(x ) = 2 x 2 + 3x + 5 x + 3 = 0  ∴ P (− 3) = 2(− 3) + 3(− 3) + 5 2  x = −3 P(− 3) = 18 − 9 + 5 R = 14Puede comprobarse por la regla de Ruffini o por la división tradicional que el residuo es 14.Teorema del factor.Es una consecuencia del teorema del residuo, el mismo que permite determinar si una expresión específicade la forma x ± a es un factor de un polinomio dado y se define como:Si P(x) es un polinomio y a es un número real, entonces P(x) tiene a x ± a como factor si y sólo siP(a ) = 0Es decir que, cuando la división es exacta o el residuo es cero, el divisor es factor del polinomiodividendo.Ejemplo: Diga si ( x + 2) es un factor del polinomio P ( x ) = x 2 + 5 x + 6Calculamos el resto, P (− 2 ) = (− 2 ) + 5(− 2 ) + 6 2 P(− 2 ) = 4 − 10 + 6 =0Por consiguiente, de acuerdo con el teorema del factor, ( x + 2) si es un factor de P(x). 26
  28. 28. 1.6 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLESSe llama productos y cocientes notables a ciertas multiplicaciones y divisiones en las que se cumplenreglas determinadas y cuyo resultado puede darse directamente sin necesidad de realizar las operacionesrespectivas.Productos Notables1. Aplicando la propiedad distributiva, el producto de un monomio por una suma algebraica es: m(a + b + c ) = ma + mb + mc El producto de un monomio por una suma algebraica es igual a la suma de los productos del monomio por cada término del polinomio. Ejemplos: x 2 (2a + 3b − c ) = 2ax 2 + 3bx 2 − cx 2 ( ) 5 p x 2 − y 2 + z 2 = 5 px 2 − 5 py 2 + 5 pz 2 x3 (x 2 ) − 2 x + 3 = x 5 − 2 x 4 + 3x 32. El producto de dos binomios: (a + b )(c + d ) = ac + ad + bc + bd El producto de dos binomios cualquiera es un polinomio cuyos términos son los productos de cada uno de los términos del primer binomio multiplicados por cada uno de los del segundo binomio. Ejemplos: (2a + b )(3c + d ) = 6ac + 2ad + 3bc + bd (a − b )(x − y ) = ax − ay − bx + by (2 x − y )(3a − 2b ) = 6ax − 4bx + 2by Otra vez podemos representar geométricamente un producto (a + b )(c + d ) = ac + ad + bc + bd utilizando segmentos y áreas, en este caso de una figura rectangular: Son 4 áreas rectangulares. Cada una se obtiene con su correspondiente fórmula geométrica: base por altura. Así: (a + b )(c + d ) = ac + bc + ad + bd 27
  29. 29. Observe la representación geométrica del producto notable (a − b )(c − d ) : La diferencia de segmentos no debe confundirse con segmentos negativos, ya que geométricamente no existen segmentos negativos ni distancias negativas. Más bien la diferencia de segmentos es recortar un segmento pequeño de uno más grande, y en el caso de áreas, recortar varias áreas rectangulares pequeñas de una más grande, así: (a − b )(c − d ) = ac − bd − (a − b )d − (c − d )b = ac − bd − ad + bd − bc + bd = ac − ad − bc + bd3. El cuadrado de la suma de dos términos: (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo y más el cuadrado del segundo término. Ejemplos: (3 a +2 b )2 = 9a + 12 ab + 4b (a 2 + b3 ) 2 = a 4 + 2a 2 b 3 + b 6 Geométricamente (a + b ) representa un cuadrado de lados (a + b ) cuya área es lado por lado y 2 constituye la suma de 4 figuras, dos rectángulos y dos cuadrados: (a + b ) (a + b ) = a 2 + ab + ab + b 2 (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 28
  30. 30. 4. El cuadrado de la diferencia de dos términos: (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2 El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término, menos el duplo del primero por el segundo término y más el cuadrado del segundo término. La demostración geométrica nos permite visualizar la diferencia de segmentos. Recuerde que debe evitarse caer en el error de representar un segmento negativo, ya que no existen las distancias negativas: Lo correcto es “cortar” el segmento b del a y su resultante es otro segmento (a − b ) cuyo valor por lógica tiene que ser positivo, así: La representación geométrica por lo tanto es un cuadrado de lado a, cuyo segmento a − b forma otro cuadrado (a − b ) que se marca en la figura con sombreado amarillo: 2 (a − b )2 = a 2 − b(a − b ) − b(a − b ) − b 2 (a − b )2 = a 2 − ab + b 2 − ab + b 2 − b 2 (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 25. El cuadrado de un trinomio: (a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc El cuadrado de un trinomio es igual a la suma de los cuadrados de sus términos, más la suma de todos los duplos de cada término por cada uno de los términos que le preceden con sus propios signos. Se deja al estudiante la demostración geométrica de (a + b + c ) . 2 29
  31. 31. 6. La suma por la diferencia de dos cantidades: (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2 La suma por la diferencia de dos cantidades es igual a la diferencia de sus cuadrados. Ejemplos: (2 a + 3b )(2 a − 3b ) = 4a − 3b (3x − 5 y )(3x + 5 y ) = 9 x − 25 y 2 3 2 3 4 6 (x x + y )(x x − y ) = x − y 2 2 3 6 La representación geométrica implica una diferencia de segmentos: Esta diferencia (a − b ) causa un segmento más pequeño, mientras que la suma (a + b ) genera un segmento más grande, así la figura que se forma es un rectángulo de lados (a − b ) y (a + b ) , cuya área es base por altura o lado por lado. El área sombreada en rojo es la solución del producto notable (a + b ) (a − b ) : (a − b )(a + b) = a (a + b ) − ab − b 2 = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b27. Multiplicación de dos binomios que tienen un término común (x + a )(x + b ) = x 2 + (a + b )x + ab El producto de dos binomios que tienen un término común es igual al cuadrado del término común, más la suma algebraica de los términos no comunes por el término común y más el producto de los términos no comunes. 30
  32. 32. Ejemplos: (x+2)(x+3) = x2+5x+6 (x+5)(x-3) = x2+2x-15 (x-5)(x-3) = x2-8x+158. Misceláneo (ax + b)(cx + d ) = acx 2 + adx + bcx + bd = acx 2 + (ad + bc )x + bd No tiene regla fija de resolución. Ejemplos: (2 x + 3)(4 x + 5) = 8 x 2 + 22 x + 15 (2 x + 3)(4 x − 5) = 8 x 2 + 2 x − 15 (2 x − 3)(4 x − 5) = 8 x 2 − 22 x + 15 (4 x + 1)(2 x − 3) = 8 x 2 − 10 x − 39. El cubo de la suma de dos cantidades (a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triplo del primero por el cuadrado del segundo y más el cubo del segundo. Ejemplos: (2 x + 3 y )3 = 8 x 3 + 36 x 2 y + 54 xy 2 + 27 y 3 (53 a + 3 3b ) 3 = 125a + 753 3a 2 b + 153 9ab 2 + 3b Puesto que el grado 3 significa la tercera dimensión (longitud, ancho y profundidad) la representación geométrica, en contraste con los cuadrados, es una figura en el espacio cuyo volumen está expresado en unidades cúbicas (cm3, m3, etc.) y la figura geométrica que la representa es el cubo (todos sus lados iguales). 31
  33. 33. Así podemos demostrar geométricamente (a + b ) como el volumen de un cubo, que es la suma de 3 los volúmenes de varias figuras en tres dimensiones: (a + b )3 = a 3 + a 2 b + ba 2 + b 2 a + b 2 a + b 3 + b 2 a + a 2 b (8 volúmenes en total) ∴ (a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 310. El cubo de una diferencia (a − b )3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 El cubo de una diferencia es igual al cubo del primer término, menos el triple producto del primero elevado al cuadrado por el segundo, más el triple del primero por el segundo elevado al cuadrado y menos el cubo del segundo; es decir que los signos de cada término están alternados. Ejemplos: (3 x − 2 y )3 = 27 x 3 − 54 x 2 y + 36 xy 2 − 8 y 3 (a − 1)3 = a 3 − 3a 2 + 3a − 1 (2 3 x − y2 ) 3 = 8 x − 123 x 2 y 2 + 63 x y 4 − y 6 Se deja al estudiante la tarea de demostrar geométricamente el producto notable (a − b ) . 311. Casos especiales: (a + b )(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3 (a − b )(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3 32
  34. 34. Cocientes NotablesDe los productos notables estudiados anteriormente resultan cocientes correspondientes que llamaremostambién notables, y que comprenden los siguientes: ma + mb + mc m(a + b + c )1. = = a+b+c m m a 2 + 2ab + b 2 (a + b ) 22. = a+b a+b a+b a 2 − 2ab + b 2 (a − b ) 23. = = a−b a−b a. − b a 2 − b 2 (a + b )(a − b )4. = = a−b a+b a+b a 2 − b 2 (a + b )(a − b )5. = = a+b a−b a−b6. = ( a 3 + b 3 (a + b ) a 2 − ab + b 2 ) = a 2 − ab + b 2 a+b a+b7. = ( a 3 − b 3 (a − b ) a 2 + ab + b 2 ) = a 2 + ab + b 2 a−b a−b8. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de dichas cantidades: a5 − b5 a) = a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 a−b a 4 − b4 = a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 a−b Es decir que a n − b n es siempre divisible por a – b, siendo n cualquier número entero par o impar. 33
  35. 35. a 4 − b4b) = a 3 − a 2 b + ab 2 − b 3 a+b Por lo tanto, a n − b n es divisible por a+b, si y solo si n es un número entero par. a 5 + b5c) = a 4 − a 3 b + a 2 b 2 − ab 3 + b 4 a+b Así, a n + b n es divisible por a + b , si y solo si n es un número entero impar. a4 + b4d) ≠ a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 (no es divisible si n es par) a+b a4 + b4 ≠ a 3 − a 2 b + ab 2 − b 3 (no es divisible si n es par) a−bPara los dos últimos casos a n + b n nunca es divisible para a + b ni para a − b si n es un númeroentero par. 34
  36. 36. 1.7 BINOMIO DE NEWTONFactorial.Si n ≥ 0 es un entero, el factorial n! se define como:0! = 1 ; 1! = 1 ; 2! = 2 ⋅ 1 ; 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ; 4! = 4 ⋅ 3! ; … ; n!= n ⋅ (n − 1)!Así, el factorial de 65 resulta ser un número sumamente grande: 65! = 8.24765x1090Y el factorial de 70 resulta imposible obtener en una calculadora ya que es mayor que 10100. nCoeficiente binomial    j  Es la sucesión que se obtiene del factorial de n tomada de j en j para valores de 0 ≤ j ≤ n y se definecon la fórmula: n n!  =  j  j!(n − j )!  Ejemplos: Así tenemos que 8 8! 403201)  =  3  3!(8 − 3)! = 6(120 ) = 56    4 4! 242)  =  2  2!(4 − 2 )! = 2(2 ) = 6   5 5! 5!3)  =  0  0!(5 − 0 )! = 1 ⋅ 5! = 1   7 7! 7!4)  =  7  7!(7 − 7 )! = 7! ⋅ 0! = 1   35
  37. 37. Los dos últimos casos nos permiten definir que n   =1 0 ∧ n   =1 n     nque son los coeficientes extremos de   cuando 0 ≤ j ≤ n .  j   n  n − 15) Para qué valor de n se cumple la igualdad 6  = n 6     4    6× n! = n× (n − 1)! 6!(n − 6 )! 4!(n − 1 − 4 )! n(n − 1)! (n − 1)! 6× = n× 6 × 5 × 4!×(n − 6 )! 4!(n − 5)! 1 1 = 5 × (n − 6 )! (n − 5)( x − 6 )! 1 = 1 ∴ n = 10 5 n−5Triángulo de Pascal nSe forma al acomodar los diferentes valores de los coeficientes   en forma triangular como se muestra  j  en la siguiente figura: 36
  38. 38. Los mismos que al desarrollar su factorial dan como resultado la siguiente sucesión: 1 n=0 1 1 n=1 1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 1 6 15 20 15 6 1 n=6Que no son más que los coeficientes de los términos desarrollados en un binomio de la forma ( x + a ) . nTeorema del binomio.Si a y x son números reales y n un entero positivo, se cumple: n n ( x + a )n = Σ   x n− j a j j = 0 j    nEn donde el símbolo   es el coeficiente de cada uno de los términos del desarrollo del binomio y  j   n n!pueden obtenérselos del triángulo de Pascal o desarrollando la fórmula   =  j  j!(n − j )!  Por lo tanto el desarrollo de(x + a )5 =  5  5−0 0  5  5−1 1  5  5−2 2  5  5−3 3  5  5− 4 4  5  5−5 5   x a +  x a +  x a +  x a +  x a +  x a  1   2 3  4  5 0          (x + a )5 = x 5 + 5 x 4 a + 10 x 3 a 2 + 10 x 2 a 3 + 5 xa 4 + a 5De lo que podemos sacar como conclusión que el número total de términos del binomio es: N = n +1El número de orden del término corresponde a: T = j +1  n  n− j jEl exponente de x en el término correspondiente es:  x a n− j   37
  39. 39. Ejemplos: Obtenga el tercer término en el desarrollo del binomio ( x + a ) 51) Sabemos previamente que el tercer término corresponde al valor j = 2 y es 10 x 3 a 2 Pero además podemos calcularlo utilizando la fórmula resumida en esta última parte, a saber:  5  5− 2 2   En el tercer término j = 2, y el desarrollo está dado por:  5 − 2x a    5 3 2 5! Cuyo desarrollo es:  x a =  3 x 3 a 2 = 10 x 3 a 2   3!(5 − 3)! Encuentre el término de y 8 en el desarrollo de (2 y + 3) 102) Para que y esté elevado al exponente 8, j = 2. Por lo tanto el orden del término es el tercero, y se lo obtiene con la fórmula:  10   10 − 2 (2 y ) (3) = 8!(10 − 8)! ⋅ 2 y ⋅ 9 10 − 2 10!   2 8 8   = 45 ⋅ 256 ⋅ 9 y 8 = 103.680 y 8 Determine el sexto término en el desarrollo de ( x + 2 ) 93)  9  9−5 5 9!    9 − 5  x 2 = 4!(9 − 4)! ⋅ 32 x 4 Para el sexto término j = 5, por lo tanto   = 4032 x 4 38
  40. 40. El coeficiente de x 6 en el desarrollo de ( x + 3) 104) Si n − j = 6 ; j = 4 ; la variable x 6 está ubicada en el quinto término.  10  10−4 4 10! El coeficiente está implícito en la fórmula    10 − 4  x ⋅3 = ⋅ 81x 6   6!(10 − 6 )! = 17.010 x 6 Por lo tanto el coeficiente es 17.010 10  2 5) El término completo que contiene x en el desarrollo de  x − 4     x Ahora necesitamos determinar cómo obtener x 4 al combinar los dos términos del binomio pues tienen la misma base x, así: j    2  x 4 = x n− j  1   2  x  j 10 − j − x =x 4 2 20 − 2 j − j x4 = x 2 20 − 3 j 4= 2 ∴ j=4 El término correspondiente es el quinto.  10  10− 4 2 4 Finalmente aplicando la fórmula tenemos:    10 − 4  x ⋅ 4   x2 10! = ⋅ 16 x 4 6!(10 − 6 )! = 3360x 4 39
  41. 41. 6) ( )n En el desarrollo del binomio 2 + 3 x 2 , el coeficiente de x 24 es cuatro veces el coeficiente de x 22 . Calcule el valor de n.  n  n− j 2 ( ) (2 ) 3 x ∴ j  ⇒ x 24 = x 2 j j1 = 12 n− j   x 22 = x 2 j ∴ j2 = 11  n  n−12 12    (2 ) (3) = 4 n (2 )n−11 (3)11  n − 12   n − 11     n! 2n n! 2n × 12 × 312 = 4 × × 11 × 311 (n − 12)!×12! 2 (n − 11)!×11! 2 (n − 11)!×11! × 3 = 1 (n − 12)!×12 × 11! 2 × 4 (n − 11) × (n − 12)! × 3 = 1 (n − 12)!×12 8 (n − 11) × 1 =1 32 n − 11 = 32 n = 43 40
  42. 42. 1.8 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL, MÉTODOS DIRECTOS Y POR EVALUACIÓNSi un polinomio es el producto de otros polinomios, entonces a cada uno de los polinomios se lesdenomina factor primo del original.Ya que ( x + 5) ( x − 5) ( x − 1) = x 3 − x 2 − 25 x + 25entonces los polinomios x + 5 , x − 5 , y x − 1 son los factores primos de x 3 − x 2 − 25 x + 25 .El proceso de obtención de los factores primos de un polinomio constituye la descomposición en factoreso factorización de dicho polinomio. La factorización es importante al trabajar con fracciones y pararesolver ecuaciones.Factor Común.Si todos los términos de un polinomio son divisibles por un mismo monomio, entonces por la propiedaddistributiva el polinomio puede factorizarse como los productos entre el factor monomial común y elcociente obtenido al dividir el polinomio original para el factor común.Ejemplos: am + bm + cm = m(a + b + c ) ( 4 x 2 − 6 x 4 = 2 x 2 2 − 3x 2 ) (a + b )xy 2 − (a + b )2 y = y(a + b )(xy − a − b ) x( x + 1) − x − 1 = x( x + 1) − ( x + 1) = ( x + 1)(x − 1) ( x 2 n + x n+ 2 = x n x n + x 2 )Factorización por Agrupación.En muchos casos la factorización puede realizarse por agrupación para luego volver a obtener un factorcomún.Ejemplos:1) xz + yu + xu + yz = ( xz + xu ) + ( yu + yz ) = x( z + u ) + y (u + z ) = (z + u )( x + y )2) ( ) a 2 + ab − bd − ad + ac − cd = a 2 + ab + ac − (bd + ad + cd ) = a(a + b + c ) − d (b + a + c ) = (a + b + c )(a − d ) 41
  43. 43. Trinomio cuadrado perfecto.Un trinomio cuadrado perfecto es un polinomio de tres términos en el que dos de ellos son positivos ycuadrados perfectos y el tercero positivo o negativo es el doble producto de las bases de dichos cuadrados.Ejemplo: x2 3 + 9 y 2 + xy 16 2 x2 3 = + xy + 9 y 2 16 2 2 x  =  + 3y  4 Diferencia de cuadrados.Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la diferencia de lasmismas.Ejemplos:1) a 2 − b 2 = (a + b )(a − b )2) x 2 − 36 = ( x + 6 )( x − 6 )3) ( )( 25 x 2 n − 49 x 2 k = 5 x n + 7 x k 5 x n − 7 x k )4) ( x − y − x 2 + y 2 = (x − y ) − x 2 − y 2 ) = ( x − y ) − ( x + y )( x − y ) = (x − y )(1 − x − y )5) Demuestre geométricamente la diferencia de cuadrados a 2 − b 2 = (a + b )(a − b ) Geométricamente hablando una diferencia de cuadrados es restar un cuadrado de otro, así: El área sombreada en verde es la suma de las áreas de las 3 figuras rectangulares: a 2 − b 2 = b(a − b ) + (a − b )(a − b ) + b(a − b ) a 2 − b 2 = (a − b )(b + a − b + b ) a 2 − b 2 = (a − b )(a + b ) 42
  44. 44. Factorización completando el cuadrado.En algunos casos es posible transformar un trinomio que no es un cuadrado perfecto, en una diferencia decuadrados, sumando y restando un término que cumpla con la condición de cuadrado perfecto.Ejemplos:1) x4 + x2 y2 + y 4 = x4 + x2 y2 + y4 + x2 y 2 − x2 y 2 = x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 − x 2 y 2 ( = x2 + y2 ) 2 − x2 y 2 = (x 2 )( + y 2 + xy x 2 + y 2 − xy )2) x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4 − 4x 2 ( )2 = x 2 + 2 − 4x 2 = (x 2 )( + 2 + 2x x 2 + 2 − 2x )Trinomio de la forma x 2 + bx + cLos factores de este trinomio se deben encontrar entre los sumandos lineales del segundo término, endonde se cumpla: b = m+n c = m×n x 2 + bx + c = ( x + m )(x + n )Ejemplos:1) x 2 + 5 x + 6 = ( x + 3)( x + 2 )2) x 2 − 5 x + 6 = ( x − 3)( x − 2 )3) x 2 + 5 x − 6 = ( x + 6 )( x − 1)4) x 2 − 5 x − 6 = ( x − 6 )( x + 1) 43
  45. 45. Trinomio de la forma ax 2 + bx + cSe factoriza de una manera similar a la anterior, teniendo cuidado de multiplicar al polinomio por elcoeficiente de x 2 para, finalmente, dividir por el mismo coeficiente.Ejemplos:1) 3x 2 + 5 x + 2 = 3 x 2 (3) + 5 x(3) + 2(3) [÷ 3] = (3 x ) + 5(3 x ) + 6 2 = (3x + 3)(3x + 2) (÷ 3) = 3( x + 1)(3x + 2) ÷ 3 = ( x + 1)(3x + 2) 6a 2 − 13a + 6 = (6a ) − 13(6a ) + 36 [÷ 6] 22) = (6a − 9 )(6a − 4) ÷ 6 = 3(2a − 3) 2(3a − 2 ) ÷ 6 = (2a − 3)(3a − 2)Cubo perfecto de binomios.Para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio debecumplir con las siguientes condiciones: a) Tener cuatro términos. b) Que el primero y el último términos sean cubos perfectos. c) Que el segundo término sea positivo o negativo el triple de la base del primero elevado al cuadrado, por la base del último término. d) Que el tercer término sea positivo el triple de la base del primer término, por la base del último elevado al cuadrado.Ejemplos: a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b ) 31) a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = (a − b ) 32)3) ( 8 x 6 − 36 x 4 y 3 + 54 x 2 y 6 − 27 y 9 = 2 x 2 − 3 y 3 ) 3 1 + 12a + 48a 2 + 64a 3 = (1 + 4a ) 34) 44
  46. 46. Factorización de binomios de la forma x n ± y na) Suma o Diferencia de dos cubos. Se obtiene dos factores, el primero es la suma o diferencia de sus bases, y el segundo factor es el cuadrado de la primera base menos o más, respectivamente, el producto de las dos bases y más el cuadrado de la segunda base, así: ( a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 − ab + b 2 ) a3 − b3 = (a − b )(a 2 + ab + b 2 ) Ejemplos: 1) ( 8 x 3 + 125 y 3 = (2 x + 5 y ) 4 x 2 − 10 xy + 25 y 2 ) 2) 64m 3 − 27 n 3 = (4m − 3n ) 16m 2 + 12mn + 9n 2 ( )b) Suma o Diferencia de la forma x n + y n y x n − y n Para la diferencia de binomios x n − y n en donde n es un entero par positivo, puede factorizarse como la diferencia de dos cuadrados. Cuando n es impar positivo y divisible para 3, el binomio puede descomponerse como la diferencia de dos cubos. Si n es divisible por 2 y 3 la descomposición se facilita tratando como diferencia de dos cuadrados. Finalmente el binomio x n + y n donde n es un número positivo múltiplo de 3 se factoriza como la suma de dos cubos. Pero si n no es múltiplo de 3 puede o no tener descomposición factorial. Ejemplos: 1) ( )( x 4 − y 4 = x2 + y 2 x2 − y 2 ) = (x + y )( x + y )( x − y ) 2 2 2) x3 − y9 = (x − y )(x + xy + y ) 3 2 3 6 3) x6 + y6 = (x + y )(x − x y + y ) 2 2 4 2 2 2 4) x6 − y6 = (x + y )(x − y ) 3 3 3 3 = ( x + y )(x − xy + y )( x − y )(x + xy + y ) 2 2 2 2 5) x5 + y5 = ( x + y )(x − x y + x y − xy + y ) 4 3 2 2 3 4 6) x9 + y9 = (x + y )(x − x y + y ) 3 3 6 3 3 6 = ( x + y )(x − xy + y )(x − x y + y ) 2 2 6 3 3 6 45
  47. 47. Factorización de la forma kx 4 + px 3 + qx 2 + mx + c o grado superior.Por el teorema del resto, los números enteros que anulan a un polinomio se encuentran entre los divisoresdel término constante o independiente, es decir c.Regla de Ruffini: a) Se ordenan los polinomios dados. b) Se escriben solamente los coeficientes, sin olvidar escribir el coeficiente cero cuando falte algún término en el orden de los polinomios dados. c) Se coloca el primer término del dividendo en tercera fila, el cual se multiplica por el divisor, el mismo que se ubica bajo el segundo término del dividendo, se resta y el resultado va a la tercera línea, se multiplica por el divisor y el resultado se coloca bajo el tercer término de manera sucesiva. d) Si la división da un resultado exacto la respuesta se coloca con signo cambiado en el primer factor y el segundo se inicia con el exponente siguiente al de la igualdad. Ejemplos: 1) Factorizar por evaluación: x 3 − 5x + 4 = x 3 + 0 − 5x + 4 → 1 + 0 − 5 + 4 ( divisores de 4 = ± 1, 2, 4 ) Para x = 1 (1)3 + 0 − 5(1) + 4 = 0 Al conseguir la anulación del polinomio realizamos la evaluación para el factor hallado ( x = 1) , de la siguiente manera: (Dividendo) 1+0–5+4 1 (Divisor) 1+1-4 1+1–4+0 Si el valor de x = 1 entonces el factor es ( x − 1) Por lo tanto, ( x 3 − 5 x + 4 = ( x − 1) x 2 + x − 4 ) 46
  48. 48. 2) Factorizar por evaluación 6 x 3 − 13 x 2 − 14 x − 3 Para x = 3 ⇒ 6(3) − 13(3) − 14(3) = 0 3 2 (Dividendo) 6 - 13 – 14 - 3 3 (Divisor) 18 + 15 + 3 6+5 + 1+0 ( 6 x 3 − 13 x 2 − 14 x − 3 = (x − 3) 6 x 2 + 5 x + 1) y tenemos: = (x − 3)(6 x + 3)(6 x + 2 ) ÷ 6 = (x − 3)(2 x + 1)(3x + 1) 47

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