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Apostila Geometria Espacial -2013

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Apostila Geometria Espacial -2013

  1. 1. 1 LICEU MUNICIPAL PREFEITO CORDOLINO AMBRÓSIO Apostila de Matemática – 3º Bimestre 3001 – 3002 – 3003 1 PRISMA 1.1 Conceito  Suas superfícies são constituídas de polígonos;  Cada um tem pelo menos duas faces contidas em planos paralelos;  Os planos que contêm as outras faces interceptam-se dois a dois em retas paralelas entre si. Considerando α e β como sendo dois planos paralelos diferentes, podemos considerar uma região poligonal contendo n lados que está contida em α e uma reta r que interrompe os planos α e β nos pontos A e B respectivamente. Podemos chamar de prisma, a união dos diversos segmentos paralelos ao segmento da reta AB. 1.2 Elementos  bases (polígonos);  faces (paralelogramos);  arestas das bases (lados das bases);  arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases);  vértices (pontos de encontro das arestas);  altura (distância entre os planos das bases).
  2. 2. 2 1.3 Classificação 1.3.1 Quanto ao número de lados Classifica-se quanto ao número de lados dos polígonos de cada base: triangular, quadrangular, pentagonal, etc. 1.3.2 Quanto à inclinação Classifica-se devido à inclinação de suas arestas laterais em relação aos planos das bases. 1.4 Paralelepípedo Um prisma cujas bases são paralelogramos é chamado paralelepípedo. O paralelepípedo pode ser:  Oblíquo: a superfície total é a reunião de seis paralelogramos.  Reto: a superfície total é a reunião de quatro retângulos (faces laterais) com dois paralelogramos (bases).
  3. 3. 3  Retângulo ou reto-retângulo: a superfície total é a reunião de seis retângulos.  Cubo (paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes): a superfície total é a reunião de seis quadrados. 1.4.1 Paralelepípedo Retângulo Vamos considerar o paralelepípedo representado na figura abaixo, no qual os lados do retângulo da base medem a e b e a altura mede c; dizemos que a, b e c são as dimensões do paralelepípedo. 1.4.1.1 Cálculo da área total Fazendo uma planificação do paralelepípedo retângulo dado, observa-se que a sua área total S é igual à soma das áreas de seis retângulos, dois a dois congruentes. Assim: 321 .2.2.2 AAAS  ou seja: bcacabS 222  Note que: Área lateral bcacSl 22  Área das bases abSb 2
  4. 4. 4 1.4.1.2 Cálculo da diagonal Sejam d a medida da diagonal do paralelepípedo e d’ a medida da diagonal da base, observe que os triângulos BAD e D’DB são retângulos: Temos: No ∆BAD: 222 ' bad   (1) No ∆D’DB: 222 ' cdd   (2) Substituindo (1) em (2) temos: 2222 cbad  ou seja  222 cbad  1.4.1.3 Cálculo do volume O volume V de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado pela fórmula: cbaV .. Sendo ba. a área da base bA e c a altura h do paralelepípedo, temos:  cbaV ..  hAV b .
  5. 5. 5 Exemplo 1 Um marceneiro deve construir um tabuleiro de xadrez na forma de um paralelepípedo retângulo, para construí- lo recebeu as seguintes instruções:  As dimensões do tabuleiro deveriam ser de 40 cm de comprimento por 20 cm de largura, por 5 cm de altura;  Ele deveria ser envernizado apenas na superfície superior e nas superfícies laterais;  A madeira deveria ser o ipê. a) Se esse marceneiro gasta, em média, R$ 15,00 para revestir de verniz uma superfície de 1m², quanto gastará para envernizar o tabuleiro? Primeiro, calculemos a área S da superfície a ser envernizada. Essa superfície é composta de uma das bases e das quatro faces laterais do paralelepípedo retângulo de dimensões a=40cm, b=20cm e c=5cm. Assim, bcacabS 22  , e temos: 22 14,01400 200400800 5.20.25.40.220.40 mcmS S S    O custo para envernizar o tabuleiro pode ser obtido pela regra de três simples: xm reaism   2 2 14,0 151 reaisxx 10,215.14,0  b) Se por 1m³ de ipê ele paga R$ 900,00 ao seu fornecedor, qual será o custo da madeira a ser usada na confecção do tabuleiro? O volume V da madeira a ser usada na confecção do tabuleiro é igual ao volume do paralelepípedo retângulo de dimensões a=40cm, b=20cm e c=5cm. Assim, cbaV .. , e temos: 33 004,04000 5.20.40 mcmV V   O custo da madeira pode ser obtido pela regra de três: xm reaism   3 3 004,0 9001 reaisxx 60,3900.004,0 
  6. 6. 6 1.4.2 Cubo O cubo é um paralelepípedo retângulo cujas seis faces são quadrados. Assim, suas 12 arestas são congruentes entre si. Já temos as fórmulas da área, da diagonal e do volume de um paralelepípedo retângulo que são: bcacabS 222  222 cbad  hAV b . Fazendo cba  , em cada fórmula temos: 1.4.2.1 Área do cubo S aaaaaaS 222   2 6aS  1.4.2.2 Diagonal do cubo d 222 cbad  = 2 3a  3ad  1.4.2.3 Volume do cubo V aaaV ..  3 aV  Exemplo 2 Na figura ao lado tem-se um peso feito de ferro. Ele tem a forma de um cubo, cuja área total é de 150 cm². Sabendo-se que a densidade do ferro é 7,8 g/cm³, qual é a massa desse peso?  Sabe-se que a área total de um cubo de aresta a é dada por: cmaaaaS 52561506 222   O volume do peso (cubo) é: 333 1255 cmVVaV   Como a densidade do ferro é 7,8g/cm³, isto é, a massa de 1cm³ de ferro é igual a 7,8g, a regra de três nos permite obter a massa do peso: xm gcm   3 3 125 8,71 gxx 9758,7.125 
  7. 7. 7 Exercícios propostos 1- Calcule a diagonal, a área e o volume de cada um dos paralelepípedos, cujas medidas estão indicadas abaixo: a) cubo b) paralelepípedo retângulo c) paralelepípedo retângulo 2- Represente, por meio de expressões algébricas, a diagonal, a área total e o volume de cada um dos paralelepípedos cujas medidas estão indicadas abaixo: a) cubo b) paralelepípedo retângulo c) paralelepípedo retângulo 3- Calcule a terceira dimensão de um paralelepípedo, sabendo que duas delas medem 4 cm e 7 cm e que sua diagonal mede 103 cm. 4- Determine a diagonal de um paralelepípedo, sendo 62cm² sua área total e 10 cm a soma de suas dimensões. 5- Para revestir a superfície do cubo representado na figura ao lado, um artesão usou 300 cm² de papel. Se ele usou a menor quantidade possível de papel, determine: a) a aresta do cubo; b) o volume do cubo. 5- Calcule a aresta de um cubo de 27 m³ de volume. 6- Calcule a diagonal, a área total e o volume de um cubo cuja soma das medidas das arestas vale 30 cm.
  8. 8. 8 7- (UF-PR, adaptado) Pelo regulamento de uma companhia de transportes aéreos, é permitido levar a bordo objetos de tamanho tal que a soma de suas dimensões (comprimento, largura e altura) não exceda a 115 cm. Assim, quais das afirmações seguintes estão corretas? a) É permitido levar uma caixa em forma de cubo com altura de 0,35 m. b) É permitido levar um pacote com 55 cm de comprimento, 30 cm de largura e 40 cm de altura. c) Para que possa ser levada a bordo uma caixa de comprimento, largura e altura, respectivamente indicados por a, b e c, em centímetros, é necessário que as medidas verifiquem a condição 115 cba . d) Um pacote com formato de paralelepípedo reto de base quadrada de lado 30 cm poderá ser levado a bordo se qualquer face lateral tiver uma de suas diagonais medindo 530 cm. e) Se um objeto a bordo tem formato de paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 20 cm, 30 cm e 40 cm, então o seu volume é 100% maior do que o volume de outro objeto com mesmo formato e de dimensões 10 cm, 15 cm e 80 cm. 8- (UF-AL, adaptado) Considere o paralelepípedo retangular representado abaixo. Assinale V ou F, conforme as proposições seguintes sejam, respectivamente, verdadeiras ou falsas. a) ( ) Seu volume é xxx 107 23  . b) ( ) A área da face ABCD é xx 22  . c) ( ) Se a área da face ABCD é 24cm², então x = 6 cm. d) ( ) A área total é 10216 2  xx . e) ( ) Se x = 2 cm, então a área total é 10 cm². 1.5 Áreas e Volumes de um Prisma 1.5.1 Área da base ( bA ) Como a base de um prisma é um polígono, a área da base de um prisma é a área de um polígono. Por exemplo, se a base de um prisma for um quadrado de lado a, então 2 aAb  ; se a base do prisma for um triângulo de base b e altura h, então 2 .hb Ab  . 1.5.2 Área lateral ( lA ) Como a superfície lateral de um prisma é a reunião de suas faces laterais, então a área dessa superfície é a soma das áreas das faces laterais. lA = soma das áreas das faces laterais
  9. 9. 9 1.5.3 Área total ( tA ) Como a superfície total de um prisma é a reunião da superfície lateral com as bases, a área total de um prisma é dada por: blt AAA .2 1.5.4 Volume (V ) O volume de um prisma, como o de um paralelepípedo retângulo, é igual ao produto da área da base pela medida da altura: hAV b . Exemplo 3 Uma marmoraria fabrica mesas como a mostrada na figura ao lado, a qual é composta de dois prismas de mármore acoplados:  O tampo, com 0,5 m de altura, é um prisma regular hexagonal cuja aresta da base mede 0,70 m;  O suporte do tampo é um paralelepípedo retângulo que tem 0,70m de altura e cuja base é um quadrado com 0,50 m de lado. Considerando esses dados, responda: a) Qual o volume do mármore que compõe a estrutura da mesa? Devemos calcular o volume dos dois prismas. V1: volume do prisma regular hexagonal 4 3 2 2 3 . 2 3 2 . 2 . l A l l A l h hl A eq                   , assim 2 3 .3 4 3 .6 22 ll Ahex  Logo, a área da base é: 2 2 3735,0 2 349,0 .3 2 3.7,0 .3 mAhex  2 27,1 mAhex  Como hAV b .1  , então: 3 11 064,005,0.3735,0 mVV 
  10. 10. 10 V2: volume do paralelepípedo retângulo   222 25,050,0 mlAb  3 222 175,070,0.25,0. mVVhAV b  Volume total do mármore: 3 21 239,0175,0064,0 mVVVVV  b) Se para aplicar uma resina impermeabilizante na pedra o fabricante cobra R$ 20,00 o metro quadrado, quanto custaria aplicar essa resina na superfície dos dois prismas que compõem a mesa? Vamos calcular as áreas totais dos dois prismas. At:área total do prisma regular hexagonal )____.(2)____.(6 regularhexágonoumdeárealateralfaceumadeáreaAt  Como       ),___(27,1___ 035,005,0.70,0____ 2 2 anterioritemnocalculadamregularheágonodoárea mmmlateralfaceumadeárea Temos: 2 75,227,1.2035,0.6 mAA tt  A’t:área total do paralelepípedo retângulo     2 2 90,1' 50,0.270,0.50,0.4' )___.(2)____.(4' mA A quadradoumdeárealateralfaceumadeáreaA t t t    Logo, a área total a ser impermeabilizada é: 2 65,490,175,2' mAA tt  Se o fabricante cobra R$ 20,00 para aplicar a resina em uma superfície de 1 m², então pagará pela aplicação nas superfícies dos prismas: 9320.65,4  reais.
  11. 11. 11 Exercícios propostos 9- Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada um dos prismas abaixo. a) prisma reto (triangular) b) prisma regular (hexagonal) c) prisma oblíquo (base quadrado) 10- Represente, por meio de expressões algébricas, a área lateral, a área total e o volume de cada um dos prismas. a) prisma regular (triangular) b) prisma regular (hexagonal) c) prisma reto (triangular) 11- A base de um prisma de 10 cm de altura é um triângulo retângulo isósceles de 6 cm de hipotenusa. Calcule a área lateral e o volume do prisma. 12- Determine a área lateral e o volume de um prisma reto de 25 cm de altura, cuja base é um hexágono regular de apótema 34 cm. 13- Determine a aresta da base de um prisma triangular regular, sendo seu volume 8 m³ e sua altura 80 cm. 14- Um prisma reto tem por base um hexágono regular. Qual é o lado do hexágono e a altura do prisma, sabendo- se que o volume é de 4 m³ e a superfície lateral de 12 m²? 15- Um prisma pentagonal regular tem 8 cm de altura, sendo 7 cm a medida da aresta da base. Calcule a área lateral desse prisma.
  12. 12. 12 16- (UF-GO) A figura ao lado representa um prisma reto, de altura 10 cm e cuja base é um pentágono ABCDE. Sabendo-se que AB = 3 cm e BC = CD = DE = EA = 2 cm, calcule o volume do prisma. 17- (Vunesp-SP) Um tanque para criação de peixes tem a forma da figura abaixo. Em que ABCDEFGH representa um paralelepípedo retângulo e EFGHII, um prisma cuja base EHI é um triângulo retângulo (com ângulo reto no vértice H e ângulo α no vértice I tal que 5 3 sen ). A superfície interna do tanque será pintada com material impermeabilizante líquido. Cada metro quadrado necessita de 2 litros de impermeabilizante, cujo preço é R$ 2,00 o litro.Sabendo-se que AB = 3 m, AE = 6 m e AD = 4 m, determine: a) as medidas EI e HI; b) a área da superfície a ser pintada e quanto será gasto, em reais. 18- (UF-MG) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A medida de sua diagonal, em centímetros é: a) 38,0 b) 6 c) 60 d) 360 e) 3900
  13. 13. 13 2.0 PIRÂMIDE 2.1 Conceito Consideremos um polígono num plano α e um ponto V fora de α. Tomemos segmentos de reta, cada um com uma extremidade em V e a outra num ponto do polígono: a reunião desses segmentos é um sólido chamado pirâmide. Note que, na figura ao lado, o polígono ABCD é um quadrilátero – daí a pirâmide ser chamada de pirâmide quadrangular. 2.2 Elementos Considerando a pirâmide VABCDE, temos:  V (vértice da pirâmide);  O polígono ABCDE (base da pirâmide);  Os lados AB, BC, CD, DE e EA (arestas da base);  Os segmentos VA, VB, VC, VD e VE (arestas laterais);  Os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE e VEA (faces laterais);  Distância de V ao plano da base (altura da pirâmide) 2.3 Classificação São classificadas de acordo com as bases. 2.3.1 Pirâmide regular Sua base é um polígono regular e suas arestas laterais são congruentes entre si.
  14. 14. 14 Uma pirâmide regular tem as seguintes características:  A projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base;  As faces laterais são triângulos isósceles congruentes;  O apótema da pirâmide regular, indicado por g, é a altura de uma face lateral.  Relação notável: 222 hmg  2.3.1.1 Áreas e Volume 2.3.1.1 Área da base ( bA ) Calcula-se pela área do polígono de base. 2.3.1.2 Área lateral ( lA ) A superfície lateral de uma pirâmide é constituída de triângulos, então: lateraisfacesdasáreasdassomaAl _____ 2.3.1.3 Área total ( tA ) lbt AAA 
  15. 15. 15 2.3.1.4 Volume ( V ) )__).(__( 3 1 alturadamedidabasedaáreaV  hAV b . 3 1  2.4 Tetraedro regular Tetraedro regular é uma pirâmide que tem as quatro faces congruentes. Observe na figura:  As seis arestas são congruentes;  As faces ABC, ACD, ABD e BCD são triângulos eqüiláteros, e qualquer uma delas pode ser considerada base do tetraedro regular. 2.4.1 Área total ( tA ) tA é quatro vezes a área de uma face, que é um triângulo equilátero de lado a.          4 3 .4.4 2 a AAA tfacet 32 aAt  2.4.2 Altura ( h ) Para calcular a altura, olhando a pirâmide, temos:      222 BOAOAB  , onde procuramos AO. 3 3 .. a h equiltriang  Como:            3 3a OB hAO aAB Aplicando no teorema de Pitágoras temos: 9 6 9 6 9 39 9 3 9 3. 3 3 22 2 22 2 2 22 2 22 2 22 a h a h aa h a ah a ha a ha            3 6a h 
  16. 16. 16 2.4.3 Volume (V ) Temos a fórmula para calcular o volume de uma pirâmide hAV b . 3 1  , assim:          3 6 4 3 )__(___ 2 a h a equiláterotriângulofaceumadeáreaAb Aplicando na fórmula:  3.4.3 23 3.4.3 18 3 6 . 4 3 . 3 1 . 3 1 332 a V a V aa VhAV b 12 23 a V  Exemplo Quando a pirâmide de Quéops terminou de ser construída tinha 146 m de altura e 233 m de aresta da base. Sabendo que essa pirâmide é uma pirâmide regular quadrangular, vamos calcular sua área e seu volume. Área A área da base é:     222 289.54233 mmABAb  A área lateral é a soma dos quatro triângulos isósceles:             2 2 2 22 222 78,186 25,34888 25,1357221316 2 233 146 mVM VM VM VM MHVHVM                  2 48,039.8778,186.2332 ..2 2 . .4 .4 mA VMABA VMAB A AA l l l AVBl      A área total é: 2 48,328.14148,039.87289.54 mAAA lbt  Volume    32 67,064.642.2146.289.54. 3 1 . 3 1 mmmhAV b 
  17. 17. 17 Exercícios propostos 1- Classifique em cada caso a pirâmide, sabendo que possui: a) 6 faces b) 8 faces c) 12 arestas d) 20 arestas 2- Calcule a área lateral, a área total e o volume da cada uma das pirâmides regulares. a) b) 3- Sabendo que a aresta de um tetraedro regular mede 3 cm, calcule sua altura, sua área total e seu volume. 4- Determine a área lateral e a área total de uma pirâmide regular triangular de 7 cm de apótema, sendo 2 cm o raio do círculo circunscrito à base. 5- Uma pirâmide tem por base um retângulo cujas dimensões valem 10 cm e 24 cm, respectivamente. As arestas laterais são iguais à diagonal da base. Calcule a área total da pirâmide. 6- A base de uma pirâmide de 6 cm de altura é um quadrado de 8 cm de perímetro. Calcule seu volume. 7- Pretende-se construir um obelisco de concreto, de forma piramidal regular, no qual a aresta da base quadrangular mede 6 m e a aresta lateral mede 53 m. Determine: a) a área total do obelisco; b) o volume do obelisco; c) o ângulo α, de inclinação, entre cada face lateral e a base do obelisco. 8- Calcule o volume de uma pirâmide de 12 cm de altura, sendo a base um losango cujas diagonais medem 6 cm e 10 cm.
  18. 18. 18 9- De uma pirâmide regular de base quadrada sabe-se que a área da base é 32 dm² e que o apótema da pirâmide mede 6 dm. Calcule: a) a aresta da base(l); b) o apótema da base(m) c) a altura da pirâmide(h); d) a aresta lateral(a); e) a área lateral(Al); f) a área total(At). 10- Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sendo 24 cm o perímetro da base e 30 cm a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais. 11- Uma pirâmide regular hexagonal de 12 cm de altura tem aresta da base medindo 3 310 cm. Calcule: a) o apótema da base; b) o apótema da pirâmide (g); c) a aresta lateral; d) a área da base (Ab); e) a areal lateral (Al); f) a área total (At); g) o volume (V). 12- Um grupo de amigos foi acampar e levou uma barraca de lona que, depois de montada, tinha a forma de uma pirâmide regular hexagonal cuja aresta da base media 2 m. Se, depois de montada, o ar em seu interior ocupava um volume de 35 m³, quantos metros quadrados de lona tinha a barraca? 13- Calcule a aresta da base de uma pirâmide regular, sabendo que o apótema da pirâmide mede 6 cm e a aresta lateral, 10 cm. 14- (Ucsal-BA) A aresta de um Tetraedro regular mede 4 cm. Sua área total, em centímetros quadrados, é: a) 32 b) 34 c) 38 d) 316 e) 332
  19. 19. 19 3 CILINDRO 3.1 Conceito Um cilindro possui as seguintes características:  Apresenta duas superfícies regulares de raios congruentes, que se situam em planos paralelos;  Sua superfície lateral é constituída de todos os segmentos congruentes que têm extremidades nas circunferências dos círculos e são paralelos à reta que contém os centros desses círculos. 3.2 Elementos No cilindro representado abaixo, temos:  Os círculos de centro O e O’ e raio r (bases do cilindro);  Os segmentos paralelos a OO’, com extremidades em pontos das circunferências das bases (geratrizes do cilindro);  A reta OO’ (eixo do cilindro);  A distância h, entre os planos das bases (altura do cilindro). 3.3 Classificação Quanto à inclinação da geratriz em relação aos planos de suas bases, os cilindros classificam-se em:  Cilindro oblíquo – geratriz oblíqua às bases;  Cilindro reto – geratriz perpendicular às bases. Nesse caso, a geratriz é a altura do cilindro.
  20. 20. 20 Obs.: O cilindro reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados. 3.4 Áreas e volume 3.4.1 Área da base ( bA ) A área de um círculo de raio r é a área da base: 2 .rAb  3.4.2 Área lateral ( lA ) Área lateral refere-se à um retângulo de base r.2 , em que r é o raio do cilindro e h é sua altura. Isso pode ser visualizado se planificarmos a superfície lateral do cilindro. Assim, retânguloumdelateraláreaAl ____ hrAl ..2 3.4.3 Área total ( tA ) A superfície total de um cilindro é a reunião da superfície lateral com os cículos das bases. Assim, a área total é: blt AAA .2 Temos:      2 . ..2 rA hrA b l   Substituindo na fórmula:  2 ..2..2 rhrAt  )(.2 rhrAt   3.4.4 Volume (V ) Seu volume é obtido da mesma forma que o volume de um prisma: hAV b . Como 2 .rAb  , temos: hrV .. 2 
  21. 21. 21 3.5 Seção meridiana e cilindro eqüilátero Seção meridiana de um cilindro é a interseção deste com um plano que contém o segmento OO’.  A seção meridiana de um cilindro oblíquo é um paralelogramo.  A seção meridiana de um cilindro reto é um retângulo. Cilindro eqüilátero é um cilindro cuja seção meridiana é um quadrado, onde rhg .2 Como obter a área lateral( lA ), a área total ( tA ) e o volume (V) de um cilindro eqüilátero de raio r: Área lateral        rrA rh hrA l l .2..2 .2 ..2   2 .4 rAl  Área total           22 2 2 ..2.4 . .4 2 rrA rA rA AAA t b l blt    2 .6 rAt  Volume        rrV rh hrV .2.. .2 . 2 2   3 .2 rV  Exemplo Uma vela tem a forma de um cilindro reto, com área total de 108π cm² e raio de base igual a 5 1 da altura. Vamos determinar sua área lateral e seu volume. Sendo r a medida do raio da base e h a medida da altura, temos:       108 5 1 tA hr Se blt AAA .2 , então     2 2 54 54 ..2108 ..2...2108 rrh rhr rhr rhr      
  22. 22. 22 Substituindo hr 5 1  : 1522561350 2525 5 54 255 54 5 1 . 5 1 54 54 2 22 22 2 2            hhh hh hh hhh rrh Agora calculamos o raio: 315. 5 1 5 1   rr hr Logo       322 2 _13515.3... _9015.3.2..2 cmVVhrV cmAAhrA lll   Exercícios propostos 1- Calcule a área lateral de um cilindro circular reto, sabendo que o raio da base mede 4 cm e a geratriz, 10 cm. 2- O raio de um cilindro circular reto mede 3 cm e a altura, 3 cm. Determine a área lateral, a área total e o volume desse cilindro. 3- Qual a altura de um reservatório cilíndrico, sendo 150 m o raio da base e 900π m² sua área lateral? 4- Calcule a área lateral, a área total e o volume dos sólidos abaixo. a) cilindro equilátero b) cilindro reto c) semicilindro reto
  23. 23. 23 5- Na decoração de uma festa foram usadas lanterninhas orientais, como as mostradas na figura ao lado. Determine a área da superfície lateral de uma lanterninha, sabendo que ela tem a forma de um cilindro eqüilátero cuja geratriz mede 15 cm. 6- Determine a área total de um cilindro, sabendo que sua área lateral é de 80 cm² e sua seção meridiana é um quadrado. 7- A cúpula do abajur mostrado na figura ao lado tem a forma de um cilindro reto cuja área da base é 144π cm². Se a altura da cúpula é igual a 3 5 do raio da base, determine a área de sua superfície lateral. 8- Determine a área lateral e o volume de um cilindro de altura 10 cm, sabendo que a área total excede em 50π cm² sua área lateral. 9- O bolo mostrado na figura ao lado tem a forma de um cilindro reto cuja área total é 720π cm². Se a altura desse bolo é igual a 5 3 do raio da base, qual é o seu volume? 10- Determine a altura e o raio de um cilindro reto, sendo 5 9 sua razão, nessa ordem, e 270π cm² a área lateral.
  24. 24. 24 11- Um fabricante de goiabada vende seu produto em latas cilíndricas (figura 1), ao preço de R$ 2,40 a lata. Ele pretende substituir a embalagem que usa por outra lata, também cilíndrica, mostrada na figura 2. Se o preço de venda de uma lata é diretamente proporcional ao volume de goiabada no seu interior, por quanto ele deverá vender a nova lata? 12- O volume de um cilindro de revolução é 96π cm³ e a área de sua seção meridiana é 48 cm². Qual é a área total desse cilindro? 13- Uma lata, cheia de manteiga, tem a forma de um cilindro eqüilátero de 8 cm de altura. Que volume ocupa a manteiga no seu interior? (Use π = 3,14.) 14- O desenvolvimento de uma superfície cilíndrica de revolução é um retângulo de 4 cm de altura e 7 cm de diagonal. Calcule o raio do cilindro. 15- (Ucsal-BA) Pode-se fabricar um cilindro reto, de volume V1, curvando-se uma placa metálica retangular de maneira que coincidam os dois lados maiores: Pode-se fabricar outro cilindro reto, de volume V2, com outra placa de mesmas dimensões, curvando-a de maneira que coincidam os lados menores: Nessas condições, de acordo com as medidas dadas nas figuras, expresse V2 em função de V1.
  25. 25. 25 4 CONE 4.1 Conceito Consideremos um círculo de centro O e raio r, situado num plano α, e um ponto V, fora de α. Chama-se cone circular, ou cone, a reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a outra em um ponto do círculo. 4.2 Elementos  Ponto V ( vértice do cone );  Círculo de raio r ( base do cone );  Cada segmento com uma extremidade em V e outra num ponto da circunferência da base ( geratriz do cone );  Distância h do vértice ao plano da base ( altura do cone ). 4.3 Classificação Classifica-se quanto à inclinação da reta OV em relação ao plano da base.  Cone oblíquo:  Cone reto: Obs.: O cilindro reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados.
  26. 26. 26 4.4 Áreas e volume 4.4.1 Área da base ( bA ) É a área de um círculo de raio r: 2 .rAb  4.4.2 Área lateral ( lA ) É a área de um setor circular cujo raio é g (geratriz do cone) e cujo comprimento do arco é r.2 (perímetro da base): Observe que o raio do setor é g e o comprimento do arco do setor é r.2 . A área do setor circular de raio g e comprimento de arco r.2 , isto é, a área lateral lA , é obtida pela regra de três:     g rg Al   2 .22 rgAl . 4.4.3 Área total ( tA ) É a reunião da superfície lateral com o círculo da base: lbt AAA  Substituindo rgAl . e 2 .rAb  , temos:  2 .. rrgAt   rgrAt  . 4.4.4 Volume (V) Assim como a pirâmide: hAV b . 3 1  Como 2 .rAb  , temos: hrV .. 3 1 2 
  27. 27. 27 4.5 Seção meridiana e cone eqüilátero Seção meridiana de um cone é a interseção dele com um plano que contém o segmento OV . Cada seção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles. Cone equilátero é um cone reto cuja seção meridiana é um triângulo eqüilátero. Num cone eqüilátero, rg 2 . 4.5.1 Áreas e volume do cone eqüilátero 4.5.1.1 Área lateral       rrA rg grA l l .2.. .2 ..   2 .2 rAl  4.5.1.2 Área total       22 2 ..2 . rrA rA AAA t b blt   2 .3 rAt  4.5.1.3 Volume hrV .. 3 1 2  Obs.: Para calcular a altura h:    22222222 32 rhrrhgrh 3rh  Exemplo 1 O receptáculo da taça mostrada a seguir tem a forma de um cone reto de geratriz 7,5 cm e raio da base 4,5 cm. Vamos determinar quantos milímetros de uma bebida ocupariam 3 2 de sua capacidade.
  28. 28. 28 Vamos primeiro determinar a altura h da taça, visto no esquema abaixo. No AVOret :         cmhhhh 6365,45,75,75,4 2222222  Logo:   mlcmVVhrV 17,12717,1276.5,4.14,3. 3 1 .. 3 1 322   Agora temos: mlV 78,8417,127. 3 2 3 2  Resposta: 84,78 ml da bebida ocupariam 3 2 da capacidade do receptáculo. Exemplo 2 A superfície lateral de um cone reto desenvolvida num plano é um setor circular de 120º e 6 cm de raio. Calculemos a área lateral, a área total e o volume desse cone. Área lateral   12 360 6..120 ______120 6.______360 22      lo o l l o o AA A Para calcular a área total precisamos ter o valor do raio. Raio Como grAl .. e 6g , vem: cmrrrgrAl 2 6 12 6..12..     Área total Como 2 .rAb  e 2r , vem: 22 _164122.12 cmAAAAAA tttblt   Para calcular o volume, precisamos antes calcular a altura. Altura (h) Como 222 ghr  , temos: cmhhhh 243236462 22222  Volume     322 _ 3 216 24.4. 3 1 24.2.. 3 1 ... 3 1 .. 3 1 cmVVVhrVhAV b   Resposta: A área lateral é 12π cm², a área total é 16π cm² e o volume é  3 216 cm³
  29. 29. 29 Exercícios propostos 1- Determine a medida da altura de um cone reto cuja geratriz mede 10 cm, sendo 12 cm o diâmetro de sua base. 2- Determine a medida do raio da base de um cone de revolução cuja altura mede 3 cm e cujo volume é 9π cm. 3- A geratriz de um cone reto mede 14 cm e a área da base, 80π cm². Calcule a medida da altura e o volume desse cone. 4- O chapéu do bruxo mostrado na figura ao lado tem a forma de um cone de revolução de 12 cm de altura e 100π cm³ de volume. Se ele é feito de cartolina, quanto desse material foi usado para fazer a superfície lateral? 5- Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada uma das figuras. a) cone equilátero b) cone reto c) semicone 6- Determine a altura de um cone eqüilátero cuja área total é 54π cm². 7- Calcule a área total e o volume de um cone eqüilátero, sabendo que a área lateral é igual a 24π cm². 8- Determine a altura de um cone, sendo 42 cm o diâmetro da base e 1050π cm² sua área total.
  30. 30. 30 9- Em uma festa foi servido doce de leite em cones retos, cada um com 2 cm de raio da base e geratriz medindo 53 cm. Determine quantos litros de doce de leite foram necessários para encher 600 cones que foram servidos nessa festa.    . . Use     7 22  10- Determine a área total de um cone, sendo 40 cm o diâmetro de sua base e 420 cm² a área de sua seção meridiana. 11- Determine a geratriz de um cone de revolução, sabendo que a área da base é equivalente à seção meridiana do cone e que sua altura é 9π cm. 12- Determine o volume de um cone de revolução, sendo 126π cm² sua área lateral e 200π cm² sua área total. 13- Um semicone reto tem altura igual ao raio e seu volume é 576π cm³. Calcule a área lateral do semicone. 14- A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2 e um de seus ângulos agudos mede 60°. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtém-se um cone. Qual é o volume desse cone? 15- Determine a área lateral, a área total e o volume do sólido que segue.
  31. 31. 31 5 ESFERA 5.1 Conceito 1º) A superfície esférica é gerada pela rotação de uma semicircunferência em torno de um eixo que contém seu diâmetro. 2º) A esfera é o sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. 5.2 Elementos A nomenclatura seguinte deve-se ao fato de a Terra ser considerada aproximadamente uma esfera, tomando-se e como eixo de rotação.  Interseções da superfície com o eixo (Pólos 1P e 2P ).  Seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície (Equador).  Seção (circunferência) paralela ao Equador (Paralelo)  Seção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo (Meridiano)
  32. 32. 32 5.3 Seção da esfera Toda seção plana de uma esfera é um círculo. Na figura ao lado, o plano α determina uma seção plana na esfera de centro O e raio r. Sendo d a distância de α ao centro O e s o raio da seção, temos: MOA é retângulo 222 dsr  Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como seção um círculo máximo da esfera. 5.4 Área e volume 5.4.1 Área da esfera (A) 2 .4 rA  5.4.2 Volume da esfera (V) 3 . 3 4 rV  Exemplo 1 Considere que as superfícies das bolhas de sabão mostradas na figura têm áreas de 64π cm² e 100π cm². Vamos calcular: a) a razão entre os raios da menor e da maior bolha; b) o volume de ar contido no interior de cada bolha. a) Temos 1A e 2A as áreas das superfícies das bolhas maior e menor: cmrrrrrA cmrrrrrA 525 4 100 100.4.4 416 4 64 64.4.4 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 11         Logo: 5 4 2 1  r r
  33. 33. 33 b) Temos 1V e 2V os volumes das esferas representadas pelas bolhas menor e maior: 3 22 3 2 3 22 3 11 2 1 3 11 3 500 125. 3 4 5. 3 4 . 3 4 3 256 64. 3 4 4. 3 4 . 3 4 cmVVVrV cmVVVrV       Logo, o volume de ar no interior da bolha menor é 3 3 265 cm  e na bolha maior é 3 3 500 cm  . Exemplo 2 Duas esferas são concêntricas, e a menor tem 9 cm de raio. A área da seção feita na esfera maior por um plano tangente à esfera menor é 144π cm². Calculemos a área e o volume da esfera maior e o comprimento de sua circunferência máxima. Interpretando o problema, temos a figura ao lado, na qual:  d – raio da esfera menor = 9cm  s – raio da seção  r – raio da esfera maior 12 144 144.144 22  sssAseção    Substituindo d=9 e s=12 na relação 222 dsr  , vem: 1522514481129 22222222  rrrrdsr Substituindo r=15 nas expressões dos valores pedidos, vem: Área da esfera  900225.415.4.4 22  AAArA Volume da esfera  4500 3 13500 3375. 3 4 15. 3 4 . 3 4 33  VVVVrV Circunferência máxima  3015.2.2  CCrC Logo, a área é 900 cm², o volume é 4500 cm³ e a circunferência mede 30 cm.
  34. 34. 34 Exercícios propostos 1- Calcule a área e o volume de cada uma das esferas. a) b) 2- Determine a área e o volume de uma esfera de 58 cm de diâmetro. 3- Um fabricante de sucos vende seu produto em embalagens cilíndricas, todas com 6 cm de diâmetro da base e 12 cm de altura. Ele pretende substituir essas embalagens por outras de forma esférica. Qual deve ser o diâmetro da nova embalagem para que possa conter a mesma quantidade de suco que a primeira? 4- Determine o raio de uma esfera de superfície 36π cm². 5- Determine a área uma esfera, sendo 2 304π cm³ o seu volume. 6- Considerando a Terra uma esfera cujo diâmetro é 12 800 km e considerando a Lua uma esfera cujo diâmetro é 4 1 do da Terra, calcule a razão entre os volumes dos dois astros. 7- Considere uma esfera de 6 cm de raio, feita com massa de modelar. Divide-se essa massa em quatro partes iguais e são construídas quatro novas esferas. Qual o raio de cada uma dessas quatro esferas?
  35. 35. 35 8- Obtenha o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um cículo de raio 20 cm, sendo 21 cm a distância do plano ao centro da esfera. 9- Um plano seciona uma esfera de 34 cm de diâmetro. Determine o raio da seção obtida, sendo 8 cm a distância do plano ao centro da esfera. 10- Um aquecedor a gás tem a forma de um cilindro com duas semiesferas acopladas em suas extremidades, conforme mostra a figura ao lado. Se o diâmetro do aquecedor é 0,90 m e seu comprimento total é 1,50 m, calcule: a) a área de sua superfície; b) o volume máximo de gás que o seu interior pode conter. 11- A seção plana de uma esfera feita a 35 cm do centro tem 144π cm² de área. Calcule a área do círculo máximo dessa esfera. 12- Determine a área de uma superfície esférica, sendo 26π cm o comprimento da circunferência do círculo máximo. 13- Determine a área da superfície e o volume de uma esfera, sabendo que o seu raio mede 5 1 do raio de outra esfera cujo volume é 4 500π cm³. 14- Os raios de duas esferas concêntricas medem, respectivamente, 15 cm e 8 cm. Calcule a areada seção feita na esfera maior por um plano tangente à outra esfera. 15- (UF-CE) Um silo tem a forma de um cilindro circular reto (com fundo) encimado por uma semiesfera, como na figura ao lado. Determine o volume e a área da superfície desse silo, sabendo que o raio do cilindro mede 2 m e que a altura do silo mede 8 m.

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