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Capitulo 8 teorema de green

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Capitulo 8 teorema de green

  1. 1. Teoremas Integrales 1-Teorema de Green: Dentro de los Teoremas integrales se desarrolló el Teorema de Green, el cual permitió modelar diversas situaciones en el marco de las teorías de electricidad magnetismo y el análisis de fluidos. ¿Bajo que condiciones una curva plana C definida por una fu cerrada? Una curva plana C definida por una función vectorial
  2. 2. es CERRADA si el punto y el punto coinciden Explique el significado de curva cerrada y simple. función vectorial r(t)=(x(t),y(t)) es Una curva CERRADA y SIMPLE es aquella que no se corta consigo misma y el punto inicial coincide con el punto final Explique el significado de curva suave a trozo. Una curva plana C dada por continuas en [a ,b], Similarmente, una curva C en el
  3. 3. simultáneamente nulas en (a, b). Una curva C es SUAVE A TROZOS (o por partes) si el intervalo [a, b] puede dividirse en un numero finito de sub-intervalos, en cada uno de los cuales C es suave C es suave a trozos Complete los siguientes enunciados: Una curva en el plano, cerrada y simple C, suave a trozo, tiene orientación positiva si está orientada en sentido anti Una curva en el plano cerrada y simple tiene orientación negativa CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss GREEN’S THEOREM – BY GERARDO
  4. 4. , es SUAVE si espacio dada por la siguiente función en R es SUAVE si son continuas en [a,b] y no anti-horario Page 1 son R3
  5. 5. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss si está orientada en sentido anti-horario Una región plana R es SIMPLEMENTE CONEXA si su frontera consiste en una curva cerrada simple Indique que tipo de integrales vincula el Teorema de Green El Teorema de Green vincula una INTEGRAL DOBLE sobre una región plana R con una INTEGRAL DE LÍNEA con respecto a una curva C que es una frontera de R. Tipos de integrales, conceptos básicos Integral Simple Integral Doble Integral de Línea Integra en el intervalo [a, b] Integra una región en el plano R Integra sobre una curva suave a trozos C ! # $ % # ! #' Enuncie el Teorema de Green (we’ll do that three times, just for the sake of practice) Sea R una región del plano simplemente conexa cuyo contorno es una curva C suave a trozos y orientado en sentido positivo. Si M(x, y) y N(x, y) son continuas y tienen derivadas parciales continuas en R y su frontera C, entonces !( +) + # )# $* , +( + - % # En sus apuntes o en el texto encontrará la demostración del Teorema de Green. Léala atentamente y trate de reproducirla justificando cada paso. Demostración: Se hará la demostración para una región que es vertical y horizontalmente simple CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 2
  6. 6. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss La demostración consiste en probar que !( # ,$ +( + % # !) # $ +) + % # Como R es y simple en el grafico derecho donde es verticalmente simple R= {(x, y) / f1(x) ≤ y ≤ f2(x), a ≤ x ≤ b} Su frontera consta de 2 curvas C1 y C2 y al estar C1 parametrizada por x
  7. 7. . / y sobre la curva y C2 parametrizada como
  8. 8. . 0 tenemos lo siguiente !( # !( 1 # !( 2 # !( /# !( 0# !( /# , !( 0# Por otra parte, por el teorema de Fubini, podemos evaluar la integral doble como una integral iterada $ +( + % # ! ! +( + 32 31 ## !4( 531 32 # !6( 0 ,( /7 # Por consiguiente !( # ,$ +( + % # De manera análoga, considerando a R como x simple, a C1 y C2 la consideramos parametrizada por y 8 # . 9/ y sobre la curva y C2 parametrizada como 8 # . 90 !) # !) 1 # !) 2 # !) : : 9/ # !) 90 # !) : 9/ # , !) : 90 # Por otra parte, por el teorema de Fubini, podemos evaluar la integral doble como una integral iterada CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 3
  9. 9. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss $ +) + % # ! ! +) + ;2 ;1 : ## !4) 5;1 ;2 : # !)9/ , )90 = : # ,!)90 , )9/ = : # ,! ! +) + ;2 ;1 : # Por consiguiente !) # ,$ +) + % # Demostración II ! # ,$ + + ? # !@ # $ +@ + ? # Demostraremos la primera ecuación tomando a D como una región tipo 1 D= {(x, y) / g1(x) ≤ y ≤ g2(x), a ≤ x ≤ b} Donde g1 y g2 son funciones continuas. Esto nos permite calcular la integral doble en la parte derecha de la segunda ecuación como sigue: $ + + ? # ! ! + + A2 A1 ## !6 B0 , B/7 # Donde el último paso proviene del teorema fundamental del cálculo Ahora calculamos el lado izquierdo de la ecuación 2 al dividir C como la unión de cuatro curvas C1 C2 C3 y C 4 como la figura. En C1 tomamos a x como el parámetro y escribimos la ecuación paramétrica como x=x, e y=g2(x), a ≤ x ≤ b, entonces ! C # , ! DC # ! B0 # En C2 y C 4 (podríamos usar un solo punto también), x es constante, entonces dx = 0 y ! 2 # E ! F # Entonces CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 4
  10. 10. ! # ! # ! 1 ! 2 Comparando esta expresión con la ecuación # ! C Para completar la demostración del teorema de Green para las int Expresando a D como región tipo II D= {(x, y) / Donde f1 y f2 son funciones continuas Entonces $ +@ + ? 32 # ! ! +@ + 32 : ## Por el Teorema fundamental del cálculo, con referencia a la figura G@ # 1 Entonces Como !@ 2 # Entonces G@ # !@ : Demostración III Se quiere demostrar que !( CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss # ! : +) + GREEN’S THEOREM – BY GERARDO F B/ # , ! B0 # H 6 B0 , B/7 # vemos que ! # ,$ + + ? # integrales de tipo II = f1(y) ≤ x ≤ f2(y), c ≤ y ≤ d} !@0 , @/ = : # G @ 1I2ICIF # !@ 1 # !@ / # !@ F # E !@ : 0 # @0 , @/ = # $* +@ + - ? # (# )# $* , +) + - % # Page 5 # egrales
  11. 11. !( # !( 1 # !( 2 6( 0 , ( /7 !6( Por otro lado $ +( + % 32 # ! ! +( + 31 ## Por consiguiente Para una región tipo II !) # !) J1 # !) J2 )B0 , )B/ = !) : Por otro lado $ +) + % A2 # ! ! +) + A1 : ## Por consiguiente # !( / # !( 0 !4( 531 32 # !6( 0 , ( !( # ,$ +( + % # # !)B/ : : # !)B0 !4) 5A1 A2 : # !)B0 , )B : !) # $ +) + % # Los siguientes ejercicios muestran dos casos en los cuales el cálculo de una integral doble resulta más sencillo que el cálculo de una integral de línea. Calcule las siguientes integrales aplicando el Teorema de Green Evalúe H KL M NK KONO, donde C es la curva triangular formada por los segmentos de recta de (0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1) y de (0,1) a (0,0) La región D limitada por C es simple y tiene orientación positiva Dados P(x, y)=x4 y Q(x, y)=xy, entonces tenemos CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 6 # /7 # # B/ = #
  12. 12. !P # # $ +@ + $* ? / !Q R S 0e T Evalúe H UO , VWVXK M NK YZK La región D limitada por C es el disco luego de aplicar el teorema de Green G[ , ]^_ # Y` a b 0c ! !` , [ T T , + + /D / - # ! ! , E T f/D fT # R S / !R , 0 T 0c ¿Qué entiende por una región simplemente conexa? Una región plana R es Simplemente Conexa T ## # 4, R g b / Aplique el Teorema de Green para encontrar una expresión que me permita encontrar el área de una región plana D limitada por una curva cerrada, suave C. Una aplicación de la aplicación inversa del teorema de green es el calculo de áreas. Como el área de D es d R# ? , podríamos elegir los valores de P y Q de tal forma que Entonces el Teorema de Green se reduce a CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss GREEN’S THEOREM – BY GERARDO R , bh aOL ij NO donde C es el círculo x2 y2 + 0 0 k, entonces cambiemos a coordenadas polares aP Rj # $Q + + Y` aP Rj , + + [ ? ##l m! #l T ! T # [gn si su frontera consiste en una curva cerrada simple. +@ + , + + R Page 7 h T R g = 9 . , ]^_e #
  13. 13. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss ! # @# $* +@ + , + + - # % ! # @# $R# % ! # @# !( # )#
  14. 14. #o
  15. 15. Bpqrs Si elegimos a ( , 0 ) @ 0 , se produce la siguiente integral de línea para el área de la región R del plano acotada por la curva simple C, cerrada y suave a trozos, orientada positivamente: G # ,G # R S G # , # Ejemplo: encontrar el área dentro de la elipse 2 2 2 2 R Solución: ecuaciones parametricas de la elipse x=a cos t e y=b sen t, donde E Sn R S ! # , # R S 0c !
  16. 16. tuv tuv T # , vwx ,
  17. 17. vwx #
  18. 18. S 0c ! # T n
  19. 19. Aplique el Teorema de Green para demostrar el siguiente Teorema: Teorema: “ Sea F= Mi + Nj un campo vectorial sobre una región D abierta y simplemente conexa. Supongamos que M y N tienen derivadas continuas de primer orden y yz y{ en toda la región D. Entonces F es conservativo. yO yK Un campo vectorial es conservativo si yz yO y{ yK por lo que podemos observar en el Teorema de Green que: !( +) + # )# $* , +( + - % # !| # !( # )# !| # $* +) + , +( + - % # +) + , +( + E !| # E .| }8qr}~
  20. 20. p~q Exprese la forma vectorial del Teorema de Green e indique que expresan dichas formas. Formas vectoriales del Teorema de Green -I- !| +) + # $* , +( + - % # $q| % # La primera forma vectorial del teorema de Green relaciona a la integral de línea a lo largo de C (donde C es la frontera de la región R) con la integral doble, sobre la región R mediante el rotacional del campo de vectores | La generalización de esta forma del teorema de Green a tres dimensiones constituye el teorema de Stokes. -II- !| +) + ) #' $* , +( + - % # $#p~| % # CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 8
  21. 21. La segunda forma vectorial del Teorema de Green relaciona a la integral de línea a lo larg con la integral doble sobre la región R mediante la divergencia del campo de vectores generalización de esta forma vectorial del teorema de Green, constituye el Teorema de la Divergencia o Teorema de Gauss -Superficies Paramétricas: ¿Qué es una superficie paramétrica S? Sean X, Y, Z funciones de u y v continuas en un dominio D del plano Paramétrica al conjunto de los puntos (x, y, z) dados por: ~ € ~ € ~ € ~ € ~ largo de C FV. Se llama Superficie ¿Cómo está determinada la ecuación ción paramétrica de la superficie S? Si S es una superficie paramétrica determinada por la función vectorial r, conforme el punto (u, v) se mueve por el dominio D, el vector posición r(u, v) traza la superficie S (un vector que con la punta barre una determinada superficie punto por punto, como una boleadora mas o menos) ¿A qué ecuaciones se les llama ecuaciones paramétricas de la superficie S? Se llama Ecuaciones Parametricas de la Superficie S a las ecuaciones: Identifique y trace la superficie la superficie paramétrica dada por r(u,v)= 2 cos ui + vj + 2 sen k.  S tuv € 4 ‚ S vƒx € „ 0 Encuentre las representaciones paramétrica de las siguientes superficies: Un plano que pasa por el punto Po T € ~ R Una esfera de radio a y centro en el origen al pasar a coordenadas esféricas
  22. 22. vwx … … l
  23. 23. La mitad superior del cono z 2 = 4 CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss GREEN’S THEOREM – BY GERARDO minada € ~ € ~ € ~ † ‡ˆ ‰ Š 0 S0 y contiene a los vectores no paralelos a y b. R R R
  24. 24. ‹S ,R mŒ ‹E [ Œ S€ R , € [~ R m€ ~ K‡ O‡ Ž‡ ‡ tuv l
  25. 25. vwx … vƒx l
  26. 26. tuv … vƒx… tuv l p
  27. 27. vwx … vƒx l 
  28. 28. tuv… 4x2 + 4 y 2 Page 9 | La
  29. 29. Si consideramos a x e y como parámetros tenemos Sa0 0 p  Sa0 0 Como coordenadas polares l vƒx l Sa0 0 S l tuv l p vƒx l  S tuv Obtenga el vector normal a una superficie paramétrica suave S. Sea S una superficie paramétrica suave definida por € ~ ~ € ~p € ~ € ~ Sobre una región D en el plano uv. Sea Un vector normal a S en el punto T T Viene dado por T €T ~T €T ~T €T ~T €T ~T “ ” €T ~T ’ ’ ) ‘ €T ~T un punto en D p  + +€ + +€ + +€ + +~ + +~ + +~ ’ ’ Obtenga la ecuación del plano tangente a una superficie paramétrica S. Sea S una superficie paramétrica suave definida por € ~ ~ € ~p € ~ € ~ Sea )€T ~T el vector normal a la superficie T T Y )€ ~ está definido por )€ ~ ’ ’ p  + +€ + +€ + +€ + +~ + +~ + +~ ’ ’ T €T ~T €T ~T €T ~T * S en el punto T T T con: * + +€ + +~ , + +€ + +~ + +€ - , * + +~ , + +€ + +~ - * Al evaluar )€T ~T podemos establecer la Ecuación del Plano Tangente de la superficie S como: CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss GREEN’S THEOREM – BY GERARDO + +€ Page 10 + +~ , + +€ + +~ -
  30. 30. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss + +€ * + +~ , + +€ + +~ - , T , * + +€ + +~ , + +€ + +~ + +€ - , T * + +~ , + +€ + +~ - , T Otra forma de definir al plano es con la definición de plano tangente que esta dado por ‹ , T , T , TŒ X  €T ~T para (x, y, z), si ) ‹r/ r0 rbŒ r/p r0 rb; quedando la formula: Al evaluar ) r/ , Tp r0 , T rb , T Calcule el área de una superficie paramétrica suave S. Sea S una superficie paramétrica suave € ~ € ~ € ~ € ~ Definida sobre una región abierta D del plano uv. Si cada punto de la superficie S corresponde exactamente a un punto del dominio D, se define al área de la superficie como: '
  31. 31. #o
  32. 32. }€•p8p $# – ' $—‘ “ ”— ? # Donde ‘ + +€ + +€ + +€ ” + +~ + +~ + +~ Calcule el área de una superficie esférica S de radio a. ˜ ˆ ™ ‡ˆ € ~
  33. 33. vwx € tuv ~
  34. 34. vwx € vwx ~
  35. 35. tuv € ‘€ ~
  36. 36. tuv € tuv ~
  37. 37. tuv € vwx ~ ,
  38. 38. vwx € ”€ ~ ,
  39. 39. vwx € vwx ~
  40. 40. vwx € tuv ~ ‘ “ ” š
  41. 41. tuv € tuv ~
  42. 42. tuv € vwx ~ ,
  43. 43. vwx € ,
  44. 44. vwx € vwx ~
  45. 45. vwx € tuv ~ E š
  46. 46. 0}r0€8q}~
  47. 47. 0}r0€}r~
  48. 48. 0}r0€8q}~ —‘ “ ”— a
  49. 49. 0}r0€8q}0
  50. 50. 0}r0€}r~0
  51. 51. 0}r0€8q}~0 a
  52. 52. P}rP€ }r0€8q}0€ a
  53. 53. P}r0€
  54. 54. 0 vwx € }r€ › E E € n $—‘ “ ”— ? c 0c # ! !
  55. 55. 0 T 0c vwx € #€#~
  56. 56. 0 ! S T #‚ mn
  57. 57. 0 T Calcule el área de una superficie generada por la ecuación z=f(x,y) Para una superficie S dada por podemos parametrizar esa superficie tomando la función vectorial Definida sobre la región R del plano xy de CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 11
  58. 58. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss  + +  + +    “  œ R E E R œ ,, Entonces  “  ž0 0 R Esto implica que el área de la superficie S es ' $ žR 0 0 ?Ÿ  ¡¢£¤¥¥¦¢§¤§¨© #ª«#¬ ­ Ejemplo Calcule el área de la parte del paraboloide 0 0 que está debajo del plano k Solución: El plano corta al paraboloide en el círculo 0 0 k por lo que la superficie dada esta encima del disco D con centro en el origen y con radio 3 $®R * + + 0 * - + + 0 - ? # $aR S0 S0 ? # $aR m0 0 ? # Al convertir a coordenadas polares, obtenemos b 0c ! !aR m0 T T b 0c ##l ! !aR m0 T T b0 0c ##l !4R m0 RS œ b #l T T 0c ! ¯ [` b0 RS , R RS ° T #l [`b±0 , R RS 0c ! #l T [`b±0 , R RS Sn Integrales de superficie: Defina integral de superficie de una función escalar f sobre una superficie S Definición: Integral de una función escalar sobre una superficie. “si es una función continua con valores reales definida en una superficie parametrizada S, definimos la integral de f sobre S como $ – #' $ – #' $€ ~ ? —‘ “ ”—# Si la superficie S es una gráfica de una función g de dos variables ¿Cómo puede expresarse, en este caso, la integral sobre S de la función F(x, y, z)? Sean S una superficie de ecuación z=g(x, y) y D su proyección en el plano XY. Si g, gx y gy son continuas en D y f es continua en S, la integral de superficie de f sobre S es $ – #' $ B žB 0 B 0 R ? CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 12
  59. 59. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss Suponga que la superficie S está definida por la función r(u,v), con (u,v) en D, ¿Cómo puede expresarse la integral de superficie de la función f(x,y,z)? ¿Qué condiciones debe cumplir r y sus derivadas?.Justifique. Se puede mostrar que para una superficie S dada por la función vectorial € ~ € ~ € ~ € ~ Definida sobre una región D en el plano uv, la integral de superficie de f(x, y, z) sobre S esta dada por: $ – #' $€ ~ € ~ € ~ ? —‘€ ~ “ ”€ ~—# Justificación Obsérvese la analogía con una integral de línea sobre una curva C en el espacio ! #' ! ——# Evalúe d O ² N² donde S es la superficie z = x + y2 , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 $ – #' ' 0 E R E S '³ B 0 B R B S € S m0 #€ ´# #€ ´ # $ – +B + #' $®R * 0 * - +B + 0 - ? ## $aR R0 S0 ? ## /0 0 / !!S m0 T T ## R ´ 0 / !!S m0 /0 T T ## R ´ / 0 b0 !4S m0 [±S œ T T R RS b0- , *S mE0 / !Q*S mS0 b0 -e # T R RS b0 / !Q*R´ - , *S b0 -e # T R RS b0 Q*R´ - , *S b0 / -e =T R RS b0 Q*R´ - , *S b0 -e µ gRS´ Calcule la integral de superficie d K‡ ² N² donde S es la esfera unitaria x2 y2 z 2 1 + + = La esfera tiene una representación más sencilla en coordenadas esféricas f=a, así que podemos elegir φ y θ en coordenadas esféricas como parámetros ¶vwx … tuv l ¶vwx… vwx l ¶tuv… E … n E l n … l
  60. 60. vwx… tuv l
  61. 61. vwx … vwx l
  62. 62. tuv … ·… l
  63. 63. tuv… tuv l
  64. 64. tuv… vwx l ,
  65. 65. vwx … ¸… l ,
  66. 66. vwx … vwx l
  67. 67. vwx … tuv l CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 13
  68. 68. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss · “ ¸ œ
  69. 69. tuv … tuv l
  70. 70. tuv… vwx l ,
  71. 71. vwx … ,
  72. 72. vwx… vwx l
  73. 73. vwx… tuv l E œ
  74. 74. 0}r0…8q}l
  75. 75. 0}r0…}rl
  76. 76. 0}r0…8q}l · “ ¸ a
  77. 77. 0}r0…8q}l0
  78. 78. 0}r0…}rl0
  79. 79. 0}r0…8q}l0 ®
  80. 80. P ¹}rP…ª}ººr0º…º«º8ºqº}0º…¬ / » a
  81. 81. P}r0…
  82. 82. 0 vwx … ª}ººrº0lº«º8ºqº}º0l¬ / Como
  83. 83. R
  84. 84. 0 vwx … vwx … vwx … tuv l tuv0 l R S R tuv Sl vƒx0 … R , tuv0 … Entonces $0 – #' $… l ? · “ ¸# $vwx… tuv l0 ? vwx … #…#l c 0c ! !}r0… 8q}0l vwx … T T 0c #…#l ! 8q}0l T c #l !}rb… T #… 0c ! R S R , tuv Sl T c #l !R , tuv0 …}r… T #… R S l vwx l=T 0 c ,tuv… tuvb …=T c m [ n Integrales de superficie de campos vectoriales Defina superficie orientable y superficie orientada. Para inducir una orientación en una superficie S en el espacio se utilizan vectores unitarios normales. Se dice que una superficie es orientable si en todo punto de S que no sea un punto frontera puede definirse un vector unitario normal N de manera que los vectores normales vrien continuamente sobre la superficie S. Si esto es posible, S es una superficie orientada. Si la superficie S está definida por una función de dos variables z=g(x,y), ¿quién determina la “orientación hacia arriba de S”? Una superficie orientable B se hace ¼ , B Entonces, S puede orientarse, ya sea por el vector unitario normal orientado hacia Arriba  ) ½¼ —½¼ — ,¾¿À ÁÂ, ¾ÃÀ ÁÄÅ žR ¾¿À Á=0 6¾ÃÀ Á70 O por el vector unitario orientado hacia abajo  ) ,½¼ —½¼ — ¾¿À Á ¾ÃÀ ÁÄ,Å žR ¾¿À Á=0 6¾ÃÀ Á70 CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 14
  85. 85. Indique cuál es la orientación positiva en una superficie cerrada S ¿Cuál es la orientación negativa? En una superficie cerrada S, la orientación positiva es hacia arriba de la superficie, mientras que la orientación negativa es hacia abajo, por ejemplo en una esfera, la orientación positiva es normal hacia afuera de la superficie y la negativa la que apunta al centro de la misma. Defina integral de superficie de una campo vectorial vector normal N. Describa una int cumplir el campo? Sea | . interpretación física de ésta integral. ¿Qué condiciones debe ( ) F, sobre una superficie orientada S, con , , orientada por un vector normal unitario ÆrB
  86. 86. o# Físicamente es la cantidad de flujo que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo Si Ç| es la densidad del fluido en (x, y, z), la integral de flujo Representa la masa del fluido que fluye a través de S por unidad de tiempo Condición del campo M, N y P tienen derivadas parciales continuas sobre la superficie S Si la superficie S es una gráfica de una función g de dos variables (x,y), con (x,y) en D. ¿Cómo puede calcularse en este caso la integral de superficie del campo vectorial Sea S una superficie orientada de ecuación integral de superficie del campo vectorial $| )#' – $| % 6,B $| )#' – $| % 6B CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss GREEN’S THEOREM – BY GERARDO ), se define a #|o€q#|
  87. 87. ~}#' $| )#' – $Ç| )#' – F. Just B y sea R su proyección sobre el plano XY, la | es: , B 7#ÈÉÊVXˏNÌÍʏ B , 7#ÈÉÊVXˏNÌÍʏ Page 15 , erpretación . Justifique ̏ÍʏÉÉÊΏ ̏ÍʏÎÏÈ
  88. 88. Evalúe d Ð ² N² donde F(x,y,z)= y z = 1 - x2 - y2 y el plano z = 0. S consiste en la superficie parabólica superior S superficie circular inferior S2. Puesto que S es una superficie cerrada, utilizaremos la convención de la orientación positiva (hacia afuera), S1 está orientada entonces hacia afuera, ello implica que podremos usar la siguiente ecuación: $| )#' – $| ? (i + x j + z k y S es la región sólida limitada por el paraboloide 6,B S1 y en la Donde D es la proyección de S1 sobre el plano XY resultado el disco 0 0 R En S1 +B + Tenemos entonces $| #' $*, +B + , @ +B + s –1 ? $R m , 0 ? / ! !,b mb T 0c T / Como el disco esta orientado hacia abajo, entonces su vector unidad normal es $| #' –2 $ –2 Como z=0 en S2. Finalmente, calculamos por definición, superficie sobre las regiones S1 y S2 $| #' – Si la superficie S es una superficie definida por este caso la integral de superficie del campo vectorial Para una superficie orientada S definida € ~ Definida sobre una región D del plano uv, se puede definir la integral de flujo de como: CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss GREEN’S THEOREM – BY GERARDO . ica , B 7# dando como @ s R , 0 , 0 ,S +B + ,S s- # $,,S , ,S R , 0 , ? , 0# ! !R m0 tuv l vƒx l , 0 T 0c T # b tuv l vƒx l ##l ! * R m tuv l vƒx l- #l 0c T r $| ,#' 2 $,# ? $E# ? E . d | #' – como la suma de las integrales de $| #' –1 $| #' –2 n S E n S r(u,v), con (u,v) en D ¿Cómo puede evaluarse en F ? por ~ € ~ € ~ € ~ | Page 16 0= # ##l R m Sn E n S , entonces ( a través de S
  89. 89. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss $| )#' – ‘ “ ” —‘ “ ”— $| Ñ Ò —‘ “ ”—# ? $| ‘ “ ”# ? Halle el flujo del campo vectorial F(x,y,z)= z i + y j + x k a través de la esfera unitaria x2 y2 z 2 1 + + = Solución: Usando la representación paramétrica … l vwx … tuv l vwx … vwx l tuv … E … n E l Sn Tenemos | … l tuv … vwx … vwx l vwx … tuv l También tenemos que calcular · “ ¸ … l vwx … tuv l vwx … vwx l tuv… ·… l tuv … tuv l tuv… vwx l , vwx… ¸… l ,vwx… vwx l vwx … tuv l · “ ¸ œ tuv … tuv l tuv… vwx l ,vwx … ,vwx … vwx l vwx … tuv l E œ }r0…8q}l }r0…}rl }r0…8q}… Entonces | … l · “ ¸ tuv… }r0…8q}l vwxb … vwx0 l vwx0 … tuv l 8q}… Como la integral de Superficie de | sobre S $| ) #' – ‘ “ ” —‘ “ ”— $| Ñ Ò —‘ “ ”—# ? $| ‘ “ ”# ? Entonces $| #' – $| · “ ¸# ? c 0c ! !S vƒx0 … tuv… tuv l vƒxb … vƒx0 l T T #…#l c S!vƒx0 … tuv… T 0c #…! tuv l ªºº«ºº¬ T #l T c !vƒxb … T 0c #…! vƒx0 l T #l c E !vƒxb … T 0c #…! vƒx0 l T c #l !vƒx … , vƒx… tuv0…#… T 0c ! R , tuv0 l T #l Q,tuv… R [ tuvb …e c Ql T R [ tuvb le 0c T m [ nÓ tuv0 l R S R tuv Sl Æ#rp#
  90. 90. #}ÔpBqrqÕp8
  91. 91. } vƒx0 … R , tuv0 … CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 17
  92. 92. El ejemplo 5 pag. 1115 (Larson) muestra una aplicación de la integral de superficie para el cálculo del flujo de masa. Lea el ejemplo y verifique los cálculos. Sea S la porción del paraboloide m , 0 , 0 B Que se encuentra sobre el plano XY unitario normal dirigido hacia arriba. Un flujo de densidad constante ρ fluye a través de la superficie S de acuerdo con el campo vectorial | orientado por medio de un vector Hallar la masa o ritmo de flujo de masa a través de S. Solución: Se empieza por calcular las derivadas parciales de g. B ,S B ,S La tasa o ritmo de flujo de masa a través de la superficie S es $Ç| )#' – Ç$| % 6,B , B 6, 6 m , 0 , 0 7 S S # Ç$6 % 0 S0 m , 0 , 0= # Ç$m 0 Ç$S % 0 0c Ç! !m T T 7# % 0c 0##l Ç! RS T #l SnÇ Teorema de Stokes Indique que tipo de integral vincula el teorema de Stokes. El teorema de Stokes establece la relación entre una integral de superficie sobre una superficie orientada S y una integral de línea a lo largo de la curva cerrada C en el espacio que forma la frontera o el borde de S ¿Bajo qué hipótesis es posibles aplicarlo Es posible aplicarlo bajo la hipótesis de que S está orientada hacia arriba, de manera tal que la curva que constituye el borde de S tenga orientación anti-horaria Explique en lenguaje coloquial el significado de la tesis del teorema de Stokes. CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss GREEN’S THEOREM – BY GERARDO orema aplicarlo? Page 18 0= #
  93. 93. El teorema de Stokes relaciona la integral de línea de la componente tangencial de de superficie de la intensidad de circulación por unidad de área en la dirección contraria a la del reloj. Puede también considerarse como una versión superior super dimensionalmente al teorema de Green, cuando Green relaciona una doble integral sobre un plano a una integral de línea alrededor del plano de frontera de dicha curva, Stokes relaciona una superficie integral sobre una superficie S a una integral de línea alrededor de los limites de la curva de S en el espacio. Exprese en lenguaje simbólico la tesis del Teorema de Stokes !| # Demuestre el teorema de Stokes para el caso particular que S es una gráfica y F, S y C son suaves. !| # $q| – )#' La ecuación de S es B derivadas parciales de segundo orden continuas y D es una región plana simple cuya frontera C orientación de S es hacia arriba, entonces la orientación positivan de C corresponde a la orientación positiva de C Si | ( ) donde las derivadas parciales de M, N y P son continuas $q| – #' $Q, ? +) + Donde las derivadas parciales de M, N y P son evaluadas en (x, y, g(x, y)). Entonces si Es una representación paramétrica de C Esto nos permite, basados en la regla de la cadena a evaluar la integral de línea como sigue: !| # !*( # # ) # # # # !Q*( + + - # # $Q + + *) + + ? Luego, usando la regla de la cadena nuevamente y recordando y y z y que z en si es función de x e y, tenemos CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss + + GREEN’S THEOREM – BY GERARDO ea $q| – )#' $q| – # #' $q| – # Ö × y g tiene C1 corresponde a C. Si la C1. Q,* + + , +) + - + + , * +( + , + + - + + * , +( +
  94. 94. C1, entonces la representación paramétrica d B
  95. 95. - # !Q( # # ) # # * # # + + # # *) + + - # # e # !*( + + - # 1 - , + + *( + + -e #qoÔqÕ
  96. 96. # que tanto M, N y P son funciones de x, Page 19 | con la integral ior -e # , de C es # -e # *) + + - # #¼r
  97. 97. !| # $ØÙ +) + ? ØÙ , Ù +( + !| +) + # $Q* ? !| +) + # $Ú¹* ? !| + + # $Ú¹,* ? $q – | #' $Ú¹, ? !| + + # $q| – +) + + + + + + + “ ÛÜÜÝÜÜÞ + + + + + + “ ÛÜÝÜÞ +0 ++ ÛÜÜÝÜÜÞ “ ÛÜÝÜÞ +( + +) + +( + +( + +) + En algunos casos el cálculo de una integral de superficie resulta más sencillo que el cálculo de una integral de línea y en otros puede resultar más fácil calcular la integral de línea sobre una curva C, frontera de una superficie S y en estos casos el teo contrario. Analice los ejemplos 1 y2 Sea C el triangulo orientado situado en el plano EvaluarH | # donde | Solución Usando el teorema de Stokes, se empieza por hallar el rotacional de q| ’ ’ + + + + ,0 Considerando g , S , S B evaluación de la integral de flujo para un vector normal dirigido hacia arriba para obtener CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss GREEN’S THEOREM – BY GERARDO ß +( + + + + + + + + + + + + + “ +0 ++ ßà * +) + + + + + + + - , * +( + + + + + + + -e ¹* , + + - + + * + + , +( + - + + * , +( + -»á ¹ * , +) + - + + , * , + + - + + * +) + , +( + -» ¹ * , +) + - + + , * , + + - + + * , +( + - | #' $q| – #ÔqÕ
  98. 98. #'q} teorema de Stokes se emplea en sentido pág. 434 y 435 (Larson) S S g . ,0 | + + ’ ’ ,, S B , se puede usar la Page 20 Þ # # »á # -»á # -»á # 'q} rema
  99. 99. !| # $q| – )#' ' $,, S 6,B , B $,, % b !,S0 T % bD b S 6S S 7 # ! ! S , m T T b , También se puede evaluar directamente, sin usar el teorema de Stokes. Una manera de hacerlo es considerar a C como la unión de C1, C â/³ â0³ 0 âb³ b El valor de la integral de línea es !| # ! | 1 ã/# b !0 T # æ ç Verificar el teorema de Stokes con | paraboloide m , 0 , 0 y C es la traza del plano XY Solución Como integral de superficie se tiene que q| ’ ’ + + + + + + S 0 ’ ’ Para un vector normal dirigido hacia arriba N se obtiene CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss GREEN’S THEOREM – BY GERARDO ## RE , RS# ä, Sb [ 0 , RSå T , C2 y C3, como sigue / [ , E [ g , S , g [ g , g R´ , S g k ! | 2 ã0# ! | C ãb# !,S g b # !,S RS æ # k , k , S 0 , donde S es la superficie del B m , 0 , 0 y S S S Page 21 7 # ,k k ,k
  100. 100. $q| )#' – aPD2 0 S S S # ! ! m $S S % 0 !S0 m D0 0 !´am , 0 D0 mn R= 0 aPD2 # !Sm Ram , 0 DaPD2 Como integral de línea, se puede parametrizar C como S Para | S 0 , se obtiene !| # !( # )# # 0c ! m tuv0 # T DaPD2 D0 D0 0c 0c Si C representa una curva cerrada y de F alrededor de C. Es la interpretación física del rotacional: el teorema de Stokes proporciona interpretación física del rotacional. En un campo vectorial radio α, centrado en (x, y, z) y con frontera componente Normal | ) y un componente tangencial largo del circulo en lugar de a través de alrededor de âè mide la é}#8pcir ! | Ô Mê #} CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss GREEN’S THEOREM – BY GERARDO # Sam , 0 # Q ´ [ Yam , 0j b±0 am , 0 tuv S vƒx E E Sn !S# m
  101. 101. 8 vƒx # 0# ! E S tuv S T ! R tuv S T # S Q R S }rSe S8q} E=# 0c mn T m R ## S 0 e D0 F un campo de velocidades de un fluido, defina circulación una interesante | sea 'è un pequeño disco circular de âè En cada punto en el círculo âè , | | Ô . Así, un fluido tiende a moverse a lo él. Por consiguiente, se dice que la integral de línea circulación alrededor de Mê ÍÊÉ͘ëÍÊìXNV| ëÉVNVNÈÉNVMê Page 22 n tiene un .
  102. 102. Emplee el teorema de Stokes para explicar el significado velocidades. Para ello usaremos un Punto T í y centro en T. Entonces el rotacional de F(P) que el rotacional de F es continuo. Por ello, según el teorema de Stokes, podemos ten aproximación a la circulación alrededor del circulo ! ~ î # $q~ –î T T T un punto en el fluido y 'è un disco pequeño con radio #' $q –î q~ r#' µ$q~T La exactitud de la aproximación aumenta al T rT ïƒð q~ del rotacional de un campo de P)≈(rot F)(T) para todos los puntos P en âè –î tener la siguiente T rTní0 rT#' q~ n . E aplicando ello tenemos è.T R ní0 ! ~ î # Esta ecuación nos muestra que q~ del eje r el efecto rotacional es mayor en los ejes paralelos al rotacional El teorema de Stokes también sirve para probar que si el rot F= 0 en todo R conservativo, como sabemos que H | superficie orientable S cuyo borde es C, el teorema de Stokes establece que !| 'è puesto ~ r es una medida de el efecto rotacional del fluido alrededor | # $q| # Con ello concluimos que H | # E para cualquier curva cerrada C. Teorema de la Divergencia (Gauss) ~ R3, entonces F es # E para todo curva o camino cerrado C. Entonces en una – #' $E – #' E 3? ¿Qué entiende por regiones sólidas simples en R Las regiones solidas simples en R3 son aquellas regiones cuyo borde es una superfi ello, regiones limitados por elipsoides o cajas rectangulares son regiones solidas simples) Indique que tipo de integrales vincula el teorema de la divergencia El teorema de la divergencia relaciona una integral triple sobre una región de superficie sobre la superficie de Q ¿Bajo qué hipótesis es posible aplicar el teorema de la divergencia? El teorema de la divergencia es aplicable en una superficie cerrada S orientada con vectores normales unitarios que apuntan hacia el exterior de la región solida Q región solida sobre la cual se evalúa una integral triple. También F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q Explique en leguaje coloquial el significado de la tesis del teorema de la divergencia El nombre de divergencia puede entenderse en el contexto del flujo de un fluido. Si F(x, y, z) es la velocidad de un fluido liquido (o gaseoso), entonces la divergencia de F(x, y, z) representa el ritmo de cambio neto (con respecto al tiempo) de la masa de fluido (liquido o gaseoso) fluyendo desde el punto (x, y, z) por unidad de volumen. En otras palabras, la divergencia de F(x, y, z) mide la tendencia del flujo a divertir (expandirse, contraerse circularmente) desde el punto (x, y, z). Si div F=0 entonces F es CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss GREEN’S THEOREM – BY GERARDO solida Q con una integral untan Q. Se supone que Q es una ia vertir Page 23 , superficie cerrada S (por .
  103. 103. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss incompresible. Exprese en lenguaje simbólico la tesis del teorema de la divergencia. Partimos de una forma alternativa del teorema de Green como sigue !| +( + )#' $* +) + - % # $×p~| % # Entonces !| )#' ñ×p~| ò #‚ Demuestre el teorema de la divergencia y justifique cada paso. Note que el método de demostración es muy semejante al aplicado en la demostración del teorema de Green. Teorema de la divergencia Sea Q una región sólida acotada por una superficie cerrada S, orientada por vectores normales unitarios dirigidos hacia el exterior de Q. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q, entonces ∫ ∫ ⋅ = ∫∫∫div F F N dS dV S Q Demostración: Escribiendo F(x, y, z) = Mi + Nj + Pk , el teorema afirma que ∂ + P ∂ + N ∂ M   ( ) dV  ∫ ∫ F ⋅ N dS = ∫ ∫ M i ⋅N + N j⋅N + P k ⋅N dS = ∫∫∫ S  ∂ x ∂ y ∂ z Q   Puede demostrarse esta igualdad verificando que las tres ecuaciones siguientes son ciertas ∂ M S ∫ ∫ ∫∫∫ ∂ dV x ⋅N = Mi dS Q ∂ N S ∫ ∫ ∫∫∫ ∂ dV y ⋅N = Nj dS Q ∂ P S ∫ ∫ ∫∫∫ ∂ dV z ⋅N = Pk dS Q Como las tres comprobaciones son similares, vamos a detallar solamente la tercera. Restringimos la demostración a una región sólida simple con superficie superior z g (x, y) 2 = Superficie superior Y superficie inferior z g (x, y) 1 = Superficie inferior Cuyas proyecciones sobre el plano xy coinciden y constituyen la región R. si Q tiene una superficie lateral S3, como la de la figura, en ella un vector normal es horizontal, de manera que Pk٠N=0. por consiguiente, ∫ ∫ Pk ⋅ NdS =∫ ∫ Pk ⋅ NdS +∫ ∫ Pk ⋅ NdS + S S S 1 2 0 En la superficie superior S2, los vectores normales dirigidos hacia el exterior apuntan hacia arriba, mientras que en la superficie inferior S1 apuntan hacia abajo. Entonces CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 24
  104. 104. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss ∂ − g ∂ g   ( ( )) j k dA P(x y g (x y))dA  ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 = − ∫ ∫ 1    − ⋅ = ⋅ , , , , , , 1 ∂ y i x Pk NdS P x y g x y k 1 ∂ S R R ∂ − g ∂ g   ( ( )) j k dA P(x y g (x y))dA  ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 = − ∫ ∫ 2    − ⋅ = ⋅ , , , , , , 2 ∂ y i x Pk NdS P x y g x y k 2 ∂ S R R Sumando estos resultados llegamos a la conclusión de que Pk NdS [P(x y g (x y)) P(x y g (x y))]dA S R ∫ ∫ ⋅ =∫ ∫ , , , − , , , 2 1 ∂   ∂ P P ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ g ( x 2 , y ) ∫∫∫ ( ) ∂ =   dz dA z ∂ ⋅ = Q Pk NdS S R g x y dV z , 1 Teorema de la divergencia II Sea E una región solida simple S el borde de la superficie de E, en una orientación positiva (hacia afuera). Sea | el campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a E. Entonces $| #' – ñ#p~ ó | #‚ Lo que el teorema de la divergencia establece, es que, bajo ciertas condiciones, el flujo de | a través del borde de la superficie de E es igual a la triple integral de la divergencia de | sobre E Demostración: Sea | @ s Entonces ñ#p~ ó | #‚ ñ + + ó #‚ ñ +@ + ó #‚ ñ +s + ó #‚ Si r es el normal unitario hacia afuera de S, entonces la integral de superficie sobre la izquierda del teorema de la divergencia es $| #' – $| r – #' $ @ s r – #' $ r – #' $@ r – #' $s r – #' Por consiguiente, para probar el teorema de la Divergencia, es suficiente probar las tres ecuaciones siguientes: $ r – #' ñ + + ó #‚ $@ r – #' ñ +@ + ó #‚ $s r – #' ñ +s + ó #‚ Usaremos el hecho de que E es una región tipo I é ô 5 Ö × €/ €0 õ Donde D es la proyección de E sobre el plano XY. Luego CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 25
  105. 105. ñ +s + ó ‘2 #‚ $ö ! ? Luego, por el teorema fundamental del calculo ñ +s + ó #‚ +s + ‘1 #÷ # $6s €0 , s €/ 7# ? Los bordes la superficie S consiste en tres piezas, la del fondo S1, el superior S2 y el intermedio S3 que suele estar o no (depende de la geometría del cuerpo). Se notara que en el caso de S3 tenemos que r E, esto es porque y r horizontal, entonces $s r –C #' $ $E #' E –C es vertical Por ello, sin importar que haya o no una superficie vertical, podemos escribir que $s r – #' $s r –1 #' $s r –2 En la ecuación de S2 es €0 entonces al reemplazar F por Rk, tenemos Ö × , y los puntos exteriores apuntando hacia arriba, s r #' $s €0 # $s –2 Sobre S1 tenemos €/ abajo, por lo que debemos multiplicar por Ö × pero aquí los puntos normales exteriores n, apuntan hacia bemos -1 $s –1 Entonces $s r – #' Luego #' ? r #' ,$s €/ # ? $6s €0 , s €/ 7# ? $s r – #' ñ +s + ó #‚ Las otras ecuaciones con S2 y S3 se pueden demostrar de igual manera usando las expresiones como regiones tipo II y tipo III, respectivamente Encuentre el flujo del campo vectorial x2 y 2 z 2 1 + + = . Dé una interpretación al resultado obtenido. Solución Primero calculamos la divergencia de #p~| F(x,y,z)= z i + y j + x k a través de la esfera unitaria | | + + + + + + R 0 0 0 R La esfera unidad S es el borde del una bola B unitaria dada por CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 26 7 7 para E
  106. 106. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss Entonces el teorema de la divergencia nos da el flujo como $| – #' ñ#p~ ø | #‚ ñR ø #‚ ‚ø m [ nRb m [ n Analice los ejemplos 1, 2 y 3 del texto (Larson) pag. 428 y 429. Ejemplo 1: Aplicación del teorema de la divergencia Sea Q la región sólida acotada por los planos de coordenadas y por el plano 2x + 2y + z = 6 , y sea F = xi + y2 j + zk . Calcular S ∫ ∫ ⋅ F N dS Donde S es la superficie de Q. Solución: En la figura vemos que Q esta acotada por cuatro porciones de superficie. En consecuencia, serian necesarias cuatro integrales de superficie para calcular S ∫ ∫ ⋅ F N dS Sin embargo, el teorema de la divergencia permite llegar al resultado con solo una integral triple. Como ∂ + ∂ + ∂ = div F =1+ 2 +1 = 2 + 2 y y M ∂ z M ∂ y M ∂ x Tenemos ∫ ∫ ⋅ = ∫∫∫ F N dS div F dV Q S S 0 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − y x y 3 3 6 2 2 dS ( y)dz dx dy ⋅ = + F N 2 2 0 0 ∫ ∫ ⋅ = ∫ 3 ∫ 3 − y F N dS ( 2 z + 2 yz)] 6 − 2 x − 2 y dx dy 0 S 0 0 y dS ( x x xy x y xy )dx dy ∫ ∫ ∫ 3 ∫ 3 − S ⋅ = − + − − 2 2 2 F N 12 2 8 2 4 0 0 dS [ x x xy x y xy ] dy y ∫ ∫ ⋅ = ∫ 3 − 2 + − 2 − 2 3 − F N 12 2 8 2 4 0 S 0 3 F N dS (18 6y 10y 2y ) dy ∫ ∫ ⋅ = ∫ + − + S 0 2 3 63 2 ∫ ∫ y y ⋅ = + − 10 + 3 4 3 2  dS y y F N 18 3 3  =  0 2 S  Ejemplo 2: Verificación del teorema de la divergencia Sea Q la región sólida entre el paraboloide 2 2 z = 4 − x − y Y el plano xy. Verificar el teorema de la divergencia para F(x y z) zi xj y k 2 , , = 2 + + Solución: En la figura vemos que el vector normal a la superficie S1 que apunta hacia fuera es N1=-k, mientras que el de la superficie S2 es + + xi yj k 2 2 = 2 + + x y 2 2 4 4 1 N Así pues, ∫ ∫ ⋅ =∫ ∫ ⋅ +∫ ∫ ⋅ F NdS F N dS F N dS S S 1 S 2 1 2 CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 27
  107. 107. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss ∫ ∫ ⋅ =∫ ∫ ⋅ (− ) +∫ ∫ ⋅ ( + + ) F NdS F k dS F 2xi 2yj k dS S S R 1 ∫ ∫ ⋅ =∫ ∫ − +∫ ∫ ( + + ) F NdS y2dA xz xy y2 dA 4 2 S R R y 2 F ⋅ NdS = − y dx dy + ( xz + xy + y )dx dy y y 2 4 2 − 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − − − S y 4 4 2 2 4 − 4 2 2 4 2 2 y 2 − 2 4 F NdS ( xz xy)dx dy 2 ∫ ∫ ∫ ∫ − ⋅ = + − − S y 4 2 2 4 2 4 − y 2 F NdS [ x( x y ) xy]dx dy 2 ∫ ∫ ∫ ∫ − ⋅ = − − + − − S y 2 2 4 4 2 2 4 2 4 − y 2 F NdS ( x x xy xy)dx dy 2 ∫ ∫ ∫ ∫ − ⋅ = − − + − − S y 3 2 16 4 4 2 2 4 ∫ ∫ ∫ ∫− [ ] − 2 − 2 F NdS x x x y x y dy dy y ⋅ = − − + 4 = 2 = 2 4 2 2 2 8 4 4 2 0 0 − − 2 2 S y 2 4 Por otra parte, como ∂ ∂ div F = [2 ] [ ] + [ y 2 ] = 0 + 0 + 0 = 0 ∂ ∂ + x y ∂ ∂ z z x Podemos aplicar el teorema de la divergencia para obtener el resultado equivalente ∫ ∫ ⋅ = ∫∫∫ = ∫∫∫ = F N dS div F dV 0dV 0 Q Q S Ejemplo 3: Aplicación del teorema de la divergencia Sea Q el sólido acotado por el cilindro 4 x2 + y2 = , el plano x + z = 6 y el plano xy como el de la figura. Calcular S ∫ ∫ ⋅ F N dS Donde S denota la superficie de Q y F(x, y, z) = (x + senz)i + (xy + cos z) j + eyk 2 Solución: La evaluación directa de esta integral seria ardua. Sin embargo, el teorema de la divergencia permite calcularla del siguiente modo ∫ ∫ F ⋅ N dS = ∫∫∫ div F dV S Q ∫ ∫ ⋅ = ∫∫∫( + + ) F N dS 2x x 0 dV S Q ∫ ∫ ⋅ = ∫∫∫ F N dS 3x dV Q S π r θ S 0 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − 2 2 6 cos dS ( r )r dz dr dθ ⋅ = θ F N 3 cos 0 0 ∫ ∫ π ⋅ = ∫ 2 ∫ 2 dS ( r θ − r θ ) dr dθ 0 F N 18 cos 3 cos 0 ∫ ∫ ⋅ dS = ∫ ( − ) dθ 2 2 2 S π 2 θ 2 θ 0 S F N 48cos 12cos π ∫ ∫ ⋅ = −  dS sen + 1 sen 2  − =   θ θ θ π  2 12 2   F N 48 6 0 S  CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 28
  108. 108. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss En el cálculo de la integral triple hemos utilizado coordenadas cilíndricas, con x = r cosθ y dV = r dz dr dθ Como se define a la integral de línea? Definición de integral de línea: Si f esta definida en una región que contiene una curva suave C de longitud finita, entonces la integral de línea de f a lo largo de C esta dada por éroo
  109. 109. rq! #' ïƒð —ù—.T ü úû ûù}û ûf/ éroé}•
  110. 110. 8pq! #' ïƒð —ù—.T ü úû û ûù}û ûf/ Enuncie y demuestre el teorema de Green Demostración: Se hará la demostración para una región que es vertical y horizontalmente simple La demostración consiste en probar que !( # ,$ +( + % # !) # $ +) + % # Como R es y simple en el grafico derecho donde es verticalmente simple R= {(x, y) / f1(x) ≤ y ≤ f2(x), a ≤ x ≤ b} Su frontera consta de 2 curvas C1 y C2 y al estar C1 parametrizada por x
  111. 111. . / y sobre la curva y C2 parametrizada como
  112. 112. . 0 tenemos lo siguiente !( # !( 1 # !( 2 # !( /# !( 0# !( /# , !( 0# Por otra parte, por el teorema de Fubini, podemos evaluar la integral doble como una integral iterada CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 29
  113. 113. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss $ +( + % # ! ! +( + 32 31 ## !4( 531 32 # !6( 0 ,( /7 # Por consiguiente !( # ,$ +( + % # De manera análoga, considerando a R como x simple, a C1 y C2 la consideramos parametrizada por y 8 # . 9/ y sobre la curva y C2 parametrizada como 8 # . 90 !) # !) 1 # !) 2 # !) : : 9/ # !) 90 # !) : 9/ # , !) : 90 # Por otra parte, por el teorema de Fubini, podemos evaluar la integral doble como una integral iterada $ +) + % # ! ! +) + ;2 ;1 : ## !4) 5;1 ;2 : # !)9/ , )90 = : # ,!)90 , )9/ = : # ,! ! +) + ;2 ;1 : # Por consiguiente !) # ,$ +) + % # Que significa que una integral de línea es independiente de la trayectoria? El teorema fundamental de las integrales de línea dice que Sea C una curva suave a trozos contenida en una región abierta R y dada por
  114. 114. Si | ( ) es conservativo en R, y M y N son continuas en R, entonces !| # !½ # , Donde f es una función potencial de | . Es decir | ½ De ello se desprende de que | es continuo y conservativo en una región abierta R, el valor de H | # es el mismo para toda curva suave a trozos C que vaya de un punto fijo de R a otro punto fijo de R. Esto se describe diciendo que la integral de línea H | # es Independiente de la trayectoria en la región R. CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 30
  115. 115. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss Que método utiliza para saber si una integral de línea es independiente de la trayectoria? Independencia del camino y campos conservativos Si F es continuo en una región abierta y conexa, la integral de línea ∫ ⋅ F dr C Es independiente del camino si y solo si F es conservativo. Demostración: Si F es conservativo, el teorema fundamental de las integrales de línea asegura que la integral de línea es independiente del camino. Demostraremos el reciproco para una región del plano. Sea F(x,y)=Mi+Nj, y consideremos un punto fijado ( ) 0 0 x , y en R. Si (x, y) es un punto arbitrario de R, elegimos una curva suave a trozos C que vaya de ( ) 0 0 x , y a (x, y) y definimos ( ) = ∫ ⋅ = ∫ + f x, y F dr Mdx Ndy C C La existencia de una tal C en R viene garantizada por el carácter conexo de R. Se puede probar que f es una función potencial de F sin mas que considerar dos caminos diferentes entre ( ) 0 0 x , y y (x, y). Para el primero, escogemos u punto (x , y) 1 en R con 1 x ≠ x (posible por ser R abierta) y tomamos C y C como lo indica la figura. De la independencia del camino se 1 2 sigue que f ( x y ) = ∫ Mdx + Ndy =∫ Mdx + Ndy +∫ Mdx + Ndy C C C 1 2 , Como la primera integral no depende de x y en la segunda es dy=0, concluimos que ( ) = ( )+ ∫ f x, y g y Mdx Cx De modo que la derivada parcial de f respecto de x es f (x y) M x , = . Para el segundo camino, tomamos un punto ( ) 1 x, y . Por razonamientos similares a los de antes llegamos a la conclusión de que f (x y) N y , = . Por tanto, f (x y) f (x y)i f (x y) j ∇ , = x , + y , ∇f (x, y) = Mi + Nj = F(x, y) Luego F es conservativo CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 31

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