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Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 1
5.1 Ecuación generalizada de esfuerzo de Hooke
Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton, y
contribuyente prolífico de la arquitectura. Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo
utilizada en ingeniería y construcción, así como en la ciencia de los materiales. Ante el temor
de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso
anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama
significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza")
En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos
del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un
material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada :
Siendo:
El alargamiento,
La longitud original,
: Módulo de Young,
La sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un
límite denominado límite elástico.
Ley de Hooke para los resortes:
La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la
ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza ejercida en el resorte con la
elongación o alargamiento producido:
Donde se llama constante elástica del resorte y es su elongación o variación que
experimenta su longitud.
La energía de deformación o energía potencial elástica asociada al estiramiento del resorte
viene dada por la siguiente ecuación:
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Unidad 5 Página 2
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 3
POTENCIAL ELÁSTICO
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 4
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 5
INVERSIÓN DE LA LEY DE HOOKE. MÓDULO DE YOUNG. COEFICIENTE DE
POISSON
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 6
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 7
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ELÁSTICO LINEAL
ECUACIONES DE GOBIERNO
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 8
CONDICIONES DE CONTORNO
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 9
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 10
Es importante notar que la antes definida depende de la longitud del muelle y de su
constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la
longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle.
Multiplicando por la longitud total, y llamando al producto o intrínseca, se tiene:
Llamaremos a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de
sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, a la constante de un pequeño
trozo de muelle de longitud a la misma distancia y al alargamiento de ese pequeño
trozo en virtud de la aplicación de la fuerza . Por la ley del muelle completo:
Tomando el límite:
Que por el principio de superposición resulta:
Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo , se obtiene como ecuación
de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios (Ver: Muelle elástico). La
velocidad de propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 11
Ley de Hooke en sólidos elásticos:
En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más
complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el
caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los
esfuerzos internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones.
Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de
Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que
caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma
general:
“Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones
pequeñas, se involucran sólo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación”.
De tal forma que la deformación es una cantidad adimensional, el módulo se expresa en
las mismas unidades que el esfuerzo (unidades ). El máximo valor del esfuerzo
para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de
proporcionalidad de un material. En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de
cedencia definido; en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia
fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo para el que la
similitud entre y deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el
límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo. En resistencia de
materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales, como resistencia, ductibilidad
y resistencia de corrosión; que pueden afectarse debido a la aleación, el tratamiento térmico y
el proceso de manufactura.
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5.2 Aplicaciones a problemas de elasticidad lineal
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
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A partir del modulo de Young y el coeficiente de Poisson se puede obtener la relación
Tension-deformacion en un punto sometido a un estado tensional arbitrario, encontrando la
llamada ley de Hooke generalizada, pues extiende al continuo la relación elástica de los
resortes. Para obtener dicha relación partimos primero de la siguiente observación: el estado
tensional más complejo que puede ejercerse sobre un diferencial de volumen es un estado
triaxial de tracción/compresión. Efectivamente cualquier estado tensional puede expresarse,
en la base principal de tensión, como un estado triaxial de tracción/compresión. En dicho
estado las tres tensiones normales se denominan y coinciden con las tensiones
principales.
Debido a la hipótesis de linealidad, se puede aplicar el principio de superposición y se puede
obtener la respuesta al estado triaxial de tensión superponiendo tres estados de
tracción/compresión uniaxial. Comenzando por la tracción/compresión sobre un plano
perpendicular a la dirección principal primera, el estado de tensión y deformación
correspondiente es
Estudiando a continuación un estado de tracción/compresión uniaxial en la dirección principal
de tensión segunda obtenemos un nuevo estado de deformación
Finalmente, considerando el tercer estado de tensión posible se obtiene que la tensión y
deformación sean
Por el principio de superposición, la deformación debida a un estado tensional
( ) ( ) ( )
es la suma ( ) ( ) ( )
o en forma de matriz:
La primera conclusión que se obtiene de lo anterior es que, en un material elástico isótropo,
las bases principales de tensión y deformación coinciden. Sobre todo, esta expresión indica la
relación más general posible entre tensión y deformación de un material de estas
características cuando estas dos cantidades se expresan en componentes de la base principal.
Para hallar la expresión intrínseca, válida para cualquier sistema de coordenadas, no
necesariamente cartesiano reformulamos la anterior expresión de la siguiente manera:
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 21
Esta última expresión depende solo de operadores intrínsecos, pues en ningún lugar se hace
referencia a componentes o sistemas de coordenadas, así que se puede formular de manera
completamente general la siguiente ley de Hooke generalizada:
Para la resolución de problemas resulta útil recoger la expresión en componentes cartesianas.
Definimos para ello el modulo de cortante o cizalla ( )
y escribimos:
En estas expresiones se puede leer un resultado adicional importante: en los materiales
elásticos isótropos las tensiones normales solo producen deformaciones longitudinales (en las
tres direcciones debido al efecto Poisson) y las tensiones cortantes solo produce
deformaciones angulares (cada tensión cortante produce una deformación angular
desacoplada del resto).
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 22
5.3 Ecuación de Navier-Cauchy
SIMETRÍA DEL TENSOR DE TENSIONES DE CAUCHY
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 23
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 24
5.4 Ecuación de Navier-Stokes
Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel
Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen
el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes
oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en
el que se involucren fluidos newtonianos.
Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la
termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral
de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas
consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una
relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta
manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los
problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.
Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en
derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de
ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una
solución analítica; por lo que en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico para
determinar una solución aproximada. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la
obtención de estas soluciones mediante métodos numéricos se la denomina dinámica de
fluidos computacional
En particular, para un fluido newtoniano, e isótropo (las propiedades del fluido no cambian
con la dirección), el conjunto de leyes anteriores se concreta en las ecuaciones de Navier-
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 25
Stokes, que se obtienen directamente de las ecuaciones de continuidad y del movimiento. La
ecuación de continuidad será directamente la expresión de la ley de conservación de la masa.
La ecuación del movimiento, se obtiene de analizar la naturaleza de las fuerzas que actúan
sobre el fluido por unidad de volumen. Estas fuerzas son las que ejerce el propio fluido más
las fuerzas exteriores que puedan existir.
En la deducción de las ecuaciones se plantea el equilibrio de fuerzas sobre un volumen de
control. Las fuerzas que se ejercen sobre el contorno de este volumen de control, por parte
del propio fluido o de un contorno material, son unas tensiones sobre la superficie del mismo
que se pueden representar con un tensor de tensiones , de manera que los elementos de la
diagonal de este tensor son las fuerzas normales por unidad de superficie en el contorno del
volumen y el resto de componentes serían las componentes tangenciales de dichas fuerzas.
Por equilibrio de momentos se demuestra que el tensor de tensiones es simétrico. El resto de
fuerzas exteriores las agrupamos bajo el término b (fuerzas por unidad de masa), aunque en
general sólo consideraremos la gravedad y la fuerza de Coriolis debido a la rotación de la
tierra. Aplicando directamente la ley de conservación de la cantidad de movimiento con las
consideraciones anteriores sobre el volumen de control, y utilizando el teorema de Gauss o de
la divergencia en la superficie cerrada que es su contorno, se obtiene:
El tensor de tensiones se puede descomponer a su vez, para el caso de fluido incompresible,
en la suma de dos. El primero representa su parte isótropa, que es una matriz diagonal de
componentes iguales, mientras que el resto se podría llamar tensor de tensiones viscosas , es
decir:
donde representa la matriz identidad y es un escalar que viene dado por:
( )
es la traza (suma de los elementos de la diagonal) del tensor de tensiones, que para un
fluido en movimiento se conoce por presión dinámica. Para el caso de fluidos compresibles
(excepto en el caso de gases monoatómicos) esto no es exactamente cierto ya que habría que
considerar la influencia de una viscosidad adicional debida a la dilatación volumétrica del
fluido. Stokes formuló la hipótesis de que esta influencia se podría despreciar siempre; en este
caso, de las dos ecuaciones anteriores se desprende que la traza de es igual a cero. El
tensor de tensiones viscosas representa la parte no isótropa del tensor de tensiones. Sus
elementos de la diagonal son las tensiones viscosas normales, mientras que el resto son las
tensiones viscosas tangenciales, por lo que la hipótesis de Stokes implica que la suma de las
tensiones viscosas normales es cero. Un fluido newtoniano es aquel que cumple la ley de
Newton, según la cual la tensión tangencial entre dos capas de fluido en movimiento es
proporcional a la velocidad relativa entre dichas capas. Matemáticamente esto se traduce en
que el tensor de tensiones totales es proporcional a la parte simétrica del tensor velocidad de
deformación, y se escribe como:
Donde es la parte simétrica del tensor velocidad de deformación que, en componentes,
responde a la expresión:
( )
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 26
donde sería la componente de la velocidad en la dirección del espacio dada por . es el
coeficiente de viscosidad dinámica que relaciona el tensor de tensiones con el tensor velocidad
de deformación Sustituyendo la ley de Newton, y teniéndola en cuenta a su vez en la
expresión de la presión se obtiene que:
( )
Esta expresión, juntamente con la ecuación del movimiento y algunas operaciones
matemáticas nos permite obtener la ecuación del movimiento para un fluido isótropo,
newtoniano, que, juntamente con la ecuación de continuidad, teniendo en cuenta que la
densidad del fluido es precisamente la masa por unidad de volumen, constituyen las
ecuaciones de Navier-Stokes
( )
5.5 Aplicaciones a problemas de mecánica de fluidos
FLUIDOS INCOMPRESIBLES
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 27
FLUIDOS CON VISCOSIDAD VOLUMÉTRICA NULA (FLUIDOS DE STOKES)
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 28
FLUIDOS PERFECTOS
HIDROSTÁTICA
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 29
Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos
Unidad 5 Página 30
Fuentes de información:
http://bigmac.mecaest.etsii.upm.es/Site/MSD_files/cap4.pdf
http://www.slideshare.net/krinashavz/ley-de-hooke-15014251
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Navier-Stokes
http://www.dmae.upct.es/~jlguirao/panel/archivos/docencia1422.pdf
https://sites.google.com/site/alejandrocastillonmedios/unidad-5-ecuaciones-constitutivas

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ecuaciones constitutivas, mecanica de los medios continuos

  • 1. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 1 5.1 Ecuación generalizada de esfuerzo de Hooke Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton, y contribuyente prolífico de la arquitectura. Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo utilizada en ingeniería y construcción, así como en la ciencia de los materiales. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza") En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada : Siendo: El alargamiento, La longitud original, : Módulo de Young, La sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico. Ley de Hooke para los resortes: La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza ejercida en el resorte con la elongación o alargamiento producido: Donde se llama constante elástica del resorte y es su elongación o variación que experimenta su longitud. La energía de deformación o energía potencial elástica asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:
  • 2. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 2
  • 3. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 3 POTENCIAL ELÁSTICO
  • 4. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 4
  • 5. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 5 INVERSIÓN DE LA LEY DE HOOKE. MÓDULO DE YOUNG. COEFICIENTE DE POISSON
  • 6. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 6
  • 7. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 7 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ELÁSTICO LINEAL ECUACIONES DE GOBIERNO
  • 8. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 8 CONDICIONES DE CONTORNO
  • 9. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 9
  • 10. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 10 Es importante notar que la antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando por la longitud total, y llamando al producto o intrínseca, se tiene: Llamaremos a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud a la misma distancia y al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza . Por la ley del muelle completo: Tomando el límite: Que por el principio de superposición resulta: Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo , se obtiene como ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios (Ver: Muelle elástico). La velocidad de propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:
  • 11. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 11 Ley de Hooke en sólidos elásticos: En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general: “Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas, se involucran sólo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación”. De tal forma que la deformación es una cantidad adimensional, el módulo se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo (unidades ). El máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material. En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedencia definido; en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo para el que la similitud entre y deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo. En resistencia de materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales, como resistencia, ductibilidad y resistencia de corrosión; que pueden afectarse debido a la aleación, el tratamiento térmico y el proceso de manufactura.
  • 12. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 12 5.2 Aplicaciones a problemas de elasticidad lineal
  • 13. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 13
  • 14. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 14
  • 15. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 15
  • 16. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 16
  • 17. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 17
  • 18. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 18
  • 19. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 19
  • 20. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 20 A partir del modulo de Young y el coeficiente de Poisson se puede obtener la relación Tension-deformacion en un punto sometido a un estado tensional arbitrario, encontrando la llamada ley de Hooke generalizada, pues extiende al continuo la relación elástica de los resortes. Para obtener dicha relación partimos primero de la siguiente observación: el estado tensional más complejo que puede ejercerse sobre un diferencial de volumen es un estado triaxial de tracción/compresión. Efectivamente cualquier estado tensional puede expresarse, en la base principal de tensión, como un estado triaxial de tracción/compresión. En dicho estado las tres tensiones normales se denominan y coinciden con las tensiones principales. Debido a la hipótesis de linealidad, se puede aplicar el principio de superposición y se puede obtener la respuesta al estado triaxial de tensión superponiendo tres estados de tracción/compresión uniaxial. Comenzando por la tracción/compresión sobre un plano perpendicular a la dirección principal primera, el estado de tensión y deformación correspondiente es Estudiando a continuación un estado de tracción/compresión uniaxial en la dirección principal de tensión segunda obtenemos un nuevo estado de deformación Finalmente, considerando el tercer estado de tensión posible se obtiene que la tensión y deformación sean Por el principio de superposición, la deformación debida a un estado tensional ( ) ( ) ( ) es la suma ( ) ( ) ( ) o en forma de matriz: La primera conclusión que se obtiene de lo anterior es que, en un material elástico isótropo, las bases principales de tensión y deformación coinciden. Sobre todo, esta expresión indica la relación más general posible entre tensión y deformación de un material de estas características cuando estas dos cantidades se expresan en componentes de la base principal. Para hallar la expresión intrínseca, válida para cualquier sistema de coordenadas, no necesariamente cartesiano reformulamos la anterior expresión de la siguiente manera:
  • 21. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 21 Esta última expresión depende solo de operadores intrínsecos, pues en ningún lugar se hace referencia a componentes o sistemas de coordenadas, así que se puede formular de manera completamente general la siguiente ley de Hooke generalizada: Para la resolución de problemas resulta útil recoger la expresión en componentes cartesianas. Definimos para ello el modulo de cortante o cizalla ( ) y escribimos: En estas expresiones se puede leer un resultado adicional importante: en los materiales elásticos isótropos las tensiones normales solo producen deformaciones longitudinales (en las tres direcciones debido al efecto Poisson) y las tensiones cortantes solo produce deformaciones angulares (cada tensión cortante produce una deformación angular desacoplada del resto).
  • 22. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 22 5.3 Ecuación de Navier-Cauchy SIMETRÍA DEL TENSOR DE TENSIONES DE CAUCHY
  • 23. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 23
  • 24. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 24 5.4 Ecuación de Navier-Stokes Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos. Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos. Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante métodos numéricos se la denomina dinámica de fluidos computacional En particular, para un fluido newtoniano, e isótropo (las propiedades del fluido no cambian con la dirección), el conjunto de leyes anteriores se concreta en las ecuaciones de Navier-
  • 25. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 25 Stokes, que se obtienen directamente de las ecuaciones de continuidad y del movimiento. La ecuación de continuidad será directamente la expresión de la ley de conservación de la masa. La ecuación del movimiento, se obtiene de analizar la naturaleza de las fuerzas que actúan sobre el fluido por unidad de volumen. Estas fuerzas son las que ejerce el propio fluido más las fuerzas exteriores que puedan existir. En la deducción de las ecuaciones se plantea el equilibrio de fuerzas sobre un volumen de control. Las fuerzas que se ejercen sobre el contorno de este volumen de control, por parte del propio fluido o de un contorno material, son unas tensiones sobre la superficie del mismo que se pueden representar con un tensor de tensiones , de manera que los elementos de la diagonal de este tensor son las fuerzas normales por unidad de superficie en el contorno del volumen y el resto de componentes serían las componentes tangenciales de dichas fuerzas. Por equilibrio de momentos se demuestra que el tensor de tensiones es simétrico. El resto de fuerzas exteriores las agrupamos bajo el término b (fuerzas por unidad de masa), aunque en general sólo consideraremos la gravedad y la fuerza de Coriolis debido a la rotación de la tierra. Aplicando directamente la ley de conservación de la cantidad de movimiento con las consideraciones anteriores sobre el volumen de control, y utilizando el teorema de Gauss o de la divergencia en la superficie cerrada que es su contorno, se obtiene: El tensor de tensiones se puede descomponer a su vez, para el caso de fluido incompresible, en la suma de dos. El primero representa su parte isótropa, que es una matriz diagonal de componentes iguales, mientras que el resto se podría llamar tensor de tensiones viscosas , es decir: donde representa la matriz identidad y es un escalar que viene dado por: ( ) es la traza (suma de los elementos de la diagonal) del tensor de tensiones, que para un fluido en movimiento se conoce por presión dinámica. Para el caso de fluidos compresibles (excepto en el caso de gases monoatómicos) esto no es exactamente cierto ya que habría que considerar la influencia de una viscosidad adicional debida a la dilatación volumétrica del fluido. Stokes formuló la hipótesis de que esta influencia se podría despreciar siempre; en este caso, de las dos ecuaciones anteriores se desprende que la traza de es igual a cero. El tensor de tensiones viscosas representa la parte no isótropa del tensor de tensiones. Sus elementos de la diagonal son las tensiones viscosas normales, mientras que el resto son las tensiones viscosas tangenciales, por lo que la hipótesis de Stokes implica que la suma de las tensiones viscosas normales es cero. Un fluido newtoniano es aquel que cumple la ley de Newton, según la cual la tensión tangencial entre dos capas de fluido en movimiento es proporcional a la velocidad relativa entre dichas capas. Matemáticamente esto se traduce en que el tensor de tensiones totales es proporcional a la parte simétrica del tensor velocidad de deformación, y se escribe como: Donde es la parte simétrica del tensor velocidad de deformación que, en componentes, responde a la expresión: ( )
  • 26. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 26 donde sería la componente de la velocidad en la dirección del espacio dada por . es el coeficiente de viscosidad dinámica que relaciona el tensor de tensiones con el tensor velocidad de deformación Sustituyendo la ley de Newton, y teniéndola en cuenta a su vez en la expresión de la presión se obtiene que: ( ) Esta expresión, juntamente con la ecuación del movimiento y algunas operaciones matemáticas nos permite obtener la ecuación del movimiento para un fluido isótropo, newtoniano, que, juntamente con la ecuación de continuidad, teniendo en cuenta que la densidad del fluido es precisamente la masa por unidad de volumen, constituyen las ecuaciones de Navier-Stokes ( ) 5.5 Aplicaciones a problemas de mecánica de fluidos FLUIDOS INCOMPRESIBLES
  • 27. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 27 FLUIDOS CON VISCOSIDAD VOLUMÉTRICA NULA (FLUIDOS DE STOKES)
  • 28. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 28 FLUIDOS PERFECTOS HIDROSTÁTICA
  • 29. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 29
  • 30. Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos Unidad 5 Página 30 Fuentes de información: http://bigmac.mecaest.etsii.upm.es/Site/MSD_files/cap4.pdf http://www.slideshare.net/krinashavz/ley-de-hooke-15014251 http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Navier-Stokes http://www.dmae.upct.es/~jlguirao/panel/archivos/docencia1422.pdf https://sites.google.com/site/alejandrocastillonmedios/unidad-5-ecuaciones-constitutivas