Sequências

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Sequências

  1. 1. (S, e, q, u, ê, n, c, i, a, s) (S, u, c, e, s, s, õ, e, s) (P, r, o, g, r, e, s, s, õ, e, s)
  2. 2. <ul><li>Observe os números listados a seguir. </li></ul><ul><li>3, 10, 19, 30, 43, 58, ... </li></ul><ul><li>Que número virá após o 58? </li></ul><ul><li>Fonte da imagem: http://3.bp.blogspot.com </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Em certo ano, o primeiro dia de outubro caiu em uma terça-feira. Em que dia da semana cairá o último dia de novembro? </li></ul><ul><li>http://api.ning.com </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Nas atividades propostas, os elementos apresentados estão dispostos em uma lista que apresenta uma ordem. </li></ul><ul><li>Chamamos de série, sequência, sucessão ou progressão uma lista de termos ordenados. </li></ul>
  5. 5. Uma sequência pode ter ou não um padrão que a define. <ul><li>(janeiro, junho, julho) </li></ul><ul><li>Meses do ano cujo nome começa pela letra j. </li></ul><ul><li>Fonte da imagem: http://www.naturaljoias.com </li></ul>
  6. 6. <ul><li>(3, 0, 2, 6, 7, 5, 1, 4) </li></ul><ul><li>Algarismos que compõem o número do meu telefone. </li></ul><ul><li>Fonte da imagem: http://inusitatus.blogtv.com.pt </li></ul>
  7. 7. Uma sucessão pode ser finita ou infinita. <ul><li>(dó, ré, mi, fá, sol, lá, si) </li></ul><ul><li>O conjunto das notas musicais é finito. </li></ul><ul><li>Fonte da imagem: http://www.geammaldecoracao.com.br </li></ul>
  8. 8. <ul><li>(1, 4, 9, 16, 25, ...) </li></ul><ul><li>O conjunto dos quadrados dos números inteiros positivos é infinito. </li></ul><ul><li>Fonte da imagem: http://bp1.blogger.com </li></ul>
  9. 9. <ul><li>Podemos generalizar uma sequência, escrevendo seus termos com o auxílio de uma letra e seus respectivos índices (pequenos números que indicam a posição do termo). </li></ul><ul><li>a 1 – primeiro termo da sucessão </li></ul><ul><li>a 2 – segundo termo </li></ul><ul><li>... </li></ul><ul><li>a n – enésimo termo da sucessão </li></ul>
  10. 10. <ul><li>Dessa forma, podemos escrever sucessões finitas </li></ul><ul><li>(a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ) </li></ul><ul><li>ou infinitas. </li></ul><ul><li>(a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...) </li></ul>
  11. 11. Algumas sucessões numéricas apresentam um padrão de formação, o que nos permite estabelecer seu termo geral. <ul><li>(1, 4, 9, 16, 25, ...) </li></ul><ul><li>Sequência dos quadrados dos números inteiros positivos. </li></ul><ul><li>Termo geral: a n = n 2 </li></ul>
  12. 12. Da mesma forma, tendo o termo geral de uma sucessão numérica, podemos escrevê-la enumerando seus elementos. <ul><li>Termo geral: a n = 2n – 1 </li></ul><ul><li>a 1 = 2.1 – 1 = 1 </li></ul><ul><li>a 2 = 2.2 – 1 = 3 </li></ul><ul><li>a 3 = 2.3 – 1 = 5 </li></ul><ul><li>... </li></ul><ul><li>Logo, teremos a sucessão </li></ul><ul><li>(1, 3, 5, ...). </li></ul>
  13. 13. <ul><li>São várias as sucessões possíveis... </li></ul><ul><li>Vamos tratar mais detalhadamente de dois tipos de sequências muito recorrentes: </li></ul><ul><li>progressões aritméticas; </li></ul><ul><li>progressões geométricas. </li></ul>
  14. 14. Progressão Aritmética <ul><li>O médico de Roberto o orientou para que fizesse caminhadas diariamente. Ele deve começar com 15 minutos de atividade e aumentar 5 minutos a cada semana, chegando ao máximo de 1 hora de caminhada diária. </li></ul><ul><li>http://www.zegs.com.br </li></ul>
  15. 15. Acompanhando o desempenho de Roberto Semana Tempo de caminhada 1 15 min 2 20 min 3 25 min 4 30 min 5 35 min 6 40 min 7 45 min 8 50 min 9 55 min 10 60 min
  16. 16. <ul><li>A tabela é um recurso de organização de dados. </li></ul><ul><li>Ela nos fornece uma lista de informações ordenadas, logo, uma sucessão! </li></ul><ul><li>(15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60) </li></ul><ul><li>a 1 = 15 </li></ul><ul><li>a 2 = 20 </li></ul><ul><li>... </li></ul><ul><li>a 10 = 60 </li></ul>
  17. 17. Esclarecendo os cálculos <ul><li>a 1 = 15 </li></ul><ul><li>a 2 = 15 + 5 = 20 </li></ul><ul><li>a 3 = (15 + 5) + 5 = 15 + 2.5 = 20 </li></ul><ul><li>a 4 = (15 + 5 + 5) + 5 = 15 + 3.5 = 20 </li></ul><ul><li>... </li></ul><ul><li>a 10 =15 + 9.5 = 60 </li></ul><ul><li>Logo, podemos escrever o termo geral da progressão aritmética, para o intervalo dado, como </li></ul><ul><li>a n = 15 + (n – 1).5 </li></ul>
  18. 18. <ul><li>Termo geral: a n = 15 + (n – 1).5 </li></ul><ul><li>Observando o termo geral dessa progressão, podemos perceber que para escrevê-la foram necessários apenas o primeiro termo (a 1 ) e o valor que aumenta a cada semana que chamamos de razão (r). </li></ul><ul><li>Logo, podemos escrever o termo geral de uma progressão aritmética como </li></ul><ul><li>a n = a 1 + (n – 1).r </li></ul>
  19. 19. Gráfico do programa de caminhada de Roberto.
  20. 20. <ul><li>Podemos perceber que a sequência apresenta um crescimento linear. </li></ul><ul><li>Não poderia ser diferente, pois seu termo geral equivale à equação da função afim. </li></ul><ul><li>a n = 15 + (n – 1).5 </li></ul><ul><li>a n = 5n + 10 </li></ul><ul><li>f(x) = ax + b </li></ul>
  21. 21. <ul><li>Numa progressão aritmética, os termos crescem (razão positiva) ou decrescem (razão negativa) linearmente. </li></ul>
  22. 22. Progressão Geométrica <ul><li>Existe uma lenda sobre a origem do jogo de xadrez. </li></ul><ul><li>O rei perguntou ao inventor do jogo o que ele queria como recompensa por sua criação. </li></ul><ul><li>Fonte da imagem: http://www.clubedoxadrez.com.br </li></ul>
  23. 23. <ul><li>O inventor disse que queria receber 1 grão de trigo pela primeira casa do jogo, 2 grãos de trigo pela segunda casa, 4 grãos pela terceira casa, 8 pela quarta casa e assim, sucessivamente. </li></ul><ul><li>Fonte da imagem: http://www.cearaagora.com </li></ul>
  24. 24. <ul><li>Essa ideia nos dá a seguinte sequência </li></ul><ul><li>(1, 2, 4, 8, 16, 32, ...) </li></ul><ul><li>Como o jogo de xadrez possui 64 casas, teríamos que prosseguir os cálculos, dobrando os valores, até o 64 o termo. </li></ul><ul><li>O rei deveria dar ao inventor do jogo o somatório desses valores. </li></ul>
  25. 25. Esclarecendo os cálculos <ul><li>a 1 = 1 </li></ul><ul><li>a 2 = 1 . 2 = 2 </li></ul><ul><li>a 3 = (1 . 2) . 2 = 1 . 2 2 = 4 </li></ul><ul><li>a 4 = 4 . 2 = 1 . 2 3 = 8 </li></ul><ul><li>... </li></ul><ul><li>a 64 = 1 . 2 63 = 9,223372.10 18 </li></ul><ul><li>Logo, podemos escrever o termo geral dessa progressão, para o intervalo dado, como </li></ul><ul><li>a n = 1 . 2 (n-1) </li></ul>
  26. 26. <ul><li>Termo geral: a n = 1 . 2 (n-1) </li></ul><ul><li>De forma análoga à progressão aritmética, para escrever o termo geral de uma progressão geométrica só precisamos do primeiro termo (a 1 ) e do valor que sempre será multiplicado para encontrar o termo seguinte. Esse fator também é chamado de razão e será representado pela letra q. </li></ul><ul><li>a n = a 1 . q (n-1) </li></ul>
  27. 27. Gráfico do número de grãos em função do número de casas do jogo de xadrez
  28. 28. <ul><li>Podemos perceber que o crescimento do número de grãos não é linear e, sim, exponencial. </li></ul><ul><li>Essa idéia também é ratificada quando comparamos o termo geral de uma progressão geométrica com a equação da função exponencial. </li></ul><ul><li>a n = a 1 . q (n-1) </li></ul><ul><li>f(x) = a x </li></ul>
  29. 29. Uma situação do cotidiano <ul><li>Clara aplicou 5000 reais na caderneta de poupança, em janeiro de 2009. </li></ul><ul><li>Se a taxa de reajuste for de 0,65% ao mês, qual será seu saldo em dezembro de 2009? </li></ul><ul><li>Fonte da imagem: http://organismo.art.br </li></ul>
  30. 30. Acompanhando o saldo de Clara Mês Saldo Mês Saldo Janeiro 5000,00 Julho 5198,20 Fevereiro 5032,50 Agosto 5231,98 Março 5065,21 Setembro 5265,99 Abril 5098,14 Outubro 5300,22 Maio 5131,27 Novembro 5334,67 Junho 5164,63 Dezembro 5369,35
  31. 31. <ul><li>Podemos perceber que o valor acrescido não é o mesmo em todos os meses. Logo, a sucessão não constitui uma progressão aritmética. </li></ul><ul><li>Vamos entender como é feito o cálculo... </li></ul>
  32. 32. Determinando o fator de aumento <ul><li>Dar um aumento de 0,65% equivale a somar ao valor (100%) o equivalente a esse percentual. </li></ul><ul><li>100% + 0,65% = 100,65% </li></ul><ul><li>= 100,65 ∕ 100 </li></ul><ul><li>= 1,0065 </li></ul><ul><li>↓ </li></ul><ul><li>fator de aumento </li></ul>
  33. 33. <ul><li>Aplicando o fator de aumento, teremos </li></ul><ul><li>a 1 = 5000 </li></ul><ul><li>a 2 = 5000 . 1,0065 = 5032,50 </li></ul><ul><li>a 3 = 5032,50 . 1,0065 = 5000 . (1,0065) 2 = 5065,21 </li></ul><ul><li>... </li></ul><ul><li>a 11 = 5300,22 . 1,0065 = 5000 . (1,0065) 10 = 5334,67 </li></ul><ul><li>a 12 = 5334,67 . 1,0065 = 5000 . (1,0065) 11 = 5369,35 </li></ul>
  34. 34. <ul><li>Podemos perceber que o segundo termo é o produto entre o primeiro termo e o fator de aumento, o terceiro termo é o produto entre o segundo e o fator de aumento, e assim sucessivamente. </li></ul><ul><li>Logo, o conjunto dos saldos resultantes da aplicação de um valor na caderneta de poupança constitui uma progressão geométrica. </li></ul>
  35. 35. <ul><li>O mesmo ocorre com empréstimos ou dívidas. Mas, nesse caso, como a taxa de juros é bem superior a 0,65%, o valor devido cresce rapidamente. </li></ul><ul><li>Fonte da imagem: http://rsurgente.zip.net </li></ul>
  36. 36. <ul><li>Agora, Clara tem uma dívida com o cartão de crédito, no valor de 5000 reais. </li></ul><ul><li>A financeira do cartão cobra 12% de juros, ao mês, sobre o saldo devedor. </li></ul><ul><li>A tabela a seguir mostra a evolução do saldo devedor de Clara, ao longo de um ano. </li></ul>
  37. 37. Crescimento do saldo devedor no cartão de crédito Mês Saldo Mês Saldo Janeiro 5000,00 Julho 9869,11 Fevereiro 5600,00 Agosto 11053,41 Março 6272,00 Setembro 12379,82 Abril 7024,64 Outubro 13865,39 Maio 7867,60 Novembro 15529,24 Junho 8811,71 Dezembro 17392,75
  38. 38. Crescimento do saldo devedor no cartão de crédito
  39. 39. <ul><li>Agora fica mais fácil entender... </li></ul><ul><li>porque as financeiras oferecem tantos cartões de crédito; </li></ul><ul><li>porque é tão fácil se endividar usando o cartão de crédito de modo indiscriminado; </li></ul><ul><li>porque o setor bancário é o que gerou mais lucro nos últimos anos em nosso país. </li></ul>

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