GEOMETRI    POSTULAT EUCLID SACCHERI                    OLEH :                PRAMITHA SARIDOSEN PENGAMPU : 1. DR. YUSUF H...
A. Giovanni Girolamo Saccheri (5 September 1667 – 25 Oktober 1733)     Saccheri lahir di San Remo, Genoa (sekarang Italia)...
Teorema 1      Segiempat saccheri adalah segiempat ABCD dengan AB sebagai alasnya,AD dan BC adalah kaki-kakinya sedemikian...
Jika postulat kesejajaran Euclide diasumsikan, maka hipotesis sudut siku-siku benar (karena postulat kesejajaran Euclide b...
N            D                                        C                               O            A                      ...
DC = DC           .... Refeksif      Berdasarkan sisi-sudut-sisi maka ACD  BDC akibatnya D = C.     Jadi, terbukti b...
Bukti:3. Lukislah                     dengan    berlainan pihak dengan     dari sisi   , dan       bersesuaian dengan     ...
Maka                   (karena         adalah persegipanjang).         Andai             , maka        Jadi           ,  ...
REFERENSIhttp://academic.brcc.edu/ryanl/modules/geometry/quadrilaterals/quad_sacc.htmldiakses tanggal 14 September 2012htt...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Makalah geometri pramitha sari (06122502019)

5,677 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
5,677
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
53
Actions
Shares
0
Downloads
204
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Makalah geometri pramitha sari (06122502019)

  1. 1. GEOMETRI POSTULAT EUCLID SACCHERI OLEH : PRAMITHA SARIDOSEN PENGAMPU : 1. DR. YUSUF HARTONO 2. DR. NILA KESUMAWATI, M.Si.PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SRIWIJAYA 2O12 / 2013
  2. 2. A. Giovanni Girolamo Saccheri (5 September 1667 – 25 Oktober 1733) Saccheri lahir di San Remo, Genoa (sekarang Italia). Saccheri adalah anakdari seorang pengacara. Dia mulai ikut pelatihan akademik dengan Yesuit diGenoa pada tahun 1685 dan 5 tahun kemudian terdaftar di Kampus Jesuit Brerauntuk belajar filsafat dan teknologi. Salah seorang guru, seorang penyair dan ahlimatematika yang bernama Tommaso Ceva, yakin untuk mengarahkan energiSaccheri ke arah matematika dan menjadi pembimbing akademik. Denganbimbingan Ceva, Saccheri menerbitkan buku pertamanya, “Quaesita Geometrica”pada tahun 1693. Ia ditahbiskan sebagai imam pada tahun 1694 di Como, Italia. Pada tahunyang sama, Saccheri mulai mengajar filsafat di Universitas Turin sampai 1697.Selama tinggal disana, ia menerbitkan “Logica Demonstrativa”, salah satukaryanya yang paling penting. Pada tahun 1697 Saccheri berganti pekerjaan lagi, kali ini ia pindah keUniversitas Jesuit Pavia (juga dikenal sebagai Universitas Ticinese), di tempatitulah mana ia mengajar selama sisa hidupnya. Dua tahun kemudian, ia menjadipimpinan di bidang matematika yang diangkat oleh Senat Milan. Pada 1708,Saccheri menerbitkan “Neo Statica” yang berhubungan dengan mekanika.Kemudian karya lainnya“Euclides ab Omni Naevo Vindicatus” mencoba untukmembuktikan postulat paralel Euclid. Saccheri meninggal di Milan, Italia pada tanggal 25 Oktober 1733. Dalamkaryanya sintesis, Saccheri memberikan analisa lengkap tentang masalahkesejajaran dalam hal segiempat.B. Segiempat Saccheri dalam Geometri Hiperbolik Saccheri menarik garis yang tegak lurus pada ujung- D C ujung dua buah segmen garis yang saling sejajar. Bangun yang terbentuk ini disebut sebagai segiempat saccheri (Saccheri Quadrilateral) pada gambar1. A B Gambar 1
  3. 3. Teorema 1 Segiempat saccheri adalah segiempat ABCD dengan AB sebagai alasnya,AD dan BC adalah kaki-kakinya sedemikian sehingga AD = BC. A dan Bmerupakan sudut siku-siku. A dan B dinamakan sudut alas dan C dan Ddinamakan sudut puncak. Misalkan ABCD adalah segiempat Saccheri dengan AD = BC dan A= B = 90o. Saccheri mampu membuktikan C = D. Dan selanjutnyamempertimbangkan tiga kemungkinan mengenai sudut C dan sudut D (gambar 2).(a) Hipotesis sudut siku-siku ( C = D = 90o)(b) Hipotesis sudut tumpul ( C = D > 90o)(c) Hipotesis sudut lancip ( C = D < 90o) Gambar 2
  4. 4. Jika postulat kesejajaran Euclide diasumsikan, maka hipotesis sudut siku-siku benar (karena postulat kesejajaran Euclide berakibat bahwa jumlah sudutsebarang segiempat adalah 360o). Dasar argumen Saccheri sebagai berikut: Dengan menunjukkan bahwahipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip keduanya menimbulkan suaukontradiksi, berarti postulat kesejajaran Euclide benar. Dengan menggunakan serangkaian teorema secara hati-hati, Saccherimampu membuktikan bahwa hipotesis sudut tumpul menimbulkan suatukontradiksi. Selanjutnya dalam membuktikan hipotesis sudut lancip, Saccheritidak sampai pada suatu kontradiksi, meskipun dia berpikiran seharusnya terjadikontradiksi, hingga sampai saat ini teori Saccheri tentang hipotesis sudut lancipbebas dari kontradiksi dalam geometri Euclide. Kegagalan Saccheri dalammenangani postulat kesejajaran Euclide telah membuat suatu lompatan logisdalam geometri non-Euclide. Teorema 2 Sudut puncak Saccheri adalah sama (Dengan menggunakan kelima postulat). Bukti: Pertimbangkan DAB dan CBA DAB = CBA = 90, AD = BC, AB adalah garis lurus. Dengan SAS postulat, DAB dan CBA adalah kongruen. Pertimbangkan ACD dan BDC Dimana AD = BC, AC = BD, CD adalah garis lurus. Dengan SSS postulat, ACD dan BDC adalah kongruen. Juga ACD = BDC, sehingga OD = OC dan OB = OA. Teorema 3 Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari dasar dan puncak tegak lurus terhadap keduanya (gambar 4).
  5. 5. N D C O A B M Gambar 4 Bukti: M adalah titik tengah AB dan N adalah titik tengah DC. Denganteorema sebelumnya OD = OC, DN = CN, dan ON = OM.Dengan SSS postulat, OCN dan ODN adalah kongruen. Sehingga CNO =DNO = 90, yaitu ON tegak lurus terhadap CD.Demikian pula, OAM dan OBM adalah kongruen. Sehingga OAM =OBM = 90, yaitu OM tegak lurus terhadap AB.Selain itu, CNO = DON, COB = DOA, BOM = AOM.Jadi, CON + COB + BOM = DON + DOA + AOM = 180.MON adalah garis lurus, dimana MN tegak lurus terhadap AB dan CD.Teorema 4Pada segiempat Saccheri, sudut-sudut atasnya sama besar.Bukti: Misal diketahui segiempat ABCD. Tarik diagonal AC dan BD sehingga terbentuk dua segitiga, yaitu ABD dan BAC. Pandang ABD dan BAC AD = BC .... Definisi 1 A = B .... Definisi 1 AB = AB .... Refeksif Berdasarkan sisi-sudut-sisi maka ABD  BAC akibatnya AC = BD Pandang ACD dan BDC AD = BC .... Definisi 1 AC = BD .... Akibat ABD  BAC
  6. 6. DC = DC .... Refeksif  Berdasarkan sisi-sudut-sisi maka ACD  BDC akibatnya D = C. Jadi, terbukti bahwa sudut-sudut atas segiempat Saccheri sama besar. Teorema 5 Pada segiempat Saccheri, sudut-sudut atasnya lancip. Bukti: Berdasarkan Akibat 1 Teorema 3, yaitu jumlah besar sudut-sudut dalam segiempat kurang dari 360 maka A + B + C + D < 360 90 + 90 + C + D < 360 .... Definisi 1 C + D < 180 2C < 180 .... Teorema 4 C < 90 Jadi, terbukti bahwa C dan D adalah lancip. (terbukti)Latihan soal:1. Buktikan bahwa besar sudut pada segiempat ABCD ini berjumlah2. Buktikan bahwa sudut pada segitiga siku-siku di bawah ini adalah
  7. 7. Bukti:3. Lukislah dengan berlainan pihak dengan dari sisi , dan bersesuaian dengan . Buktikan bahwa ADCE adalah persegipanjang.Jawab:1. Bukti  Diberikan segiempat ABCD.  Hubungkan dua titik sudut yang tidak segaris, misal B dan D maka terbentuk dua segitiga, yaitu dan  Sehingga diperoleh: . Jadi Jumlah besar sudut-sudut segiempat  360 0.2. Bukti:  Misal adalah segitiga siku-siku, yang siku-siku di  Ada persegi panjang dengan Kemudian hubungkan titik dengan titik .  Misal: adalah jumlah besar sudut-sudut pada segitiga
  8. 8. Maka (karena adalah persegipanjang).  Andai , maka Jadi , sehingga jumlah besar sudut segitiga siku-siku adalah .3.Karena jumlah sudut adalah , maka: Karena Maka kita peroleh: dan Tetapi , dan Jadi Berarti E persegipanjang.
  9. 9. REFERENSIhttp://academic.brcc.edu/ryanl/modules/geometry/quadrilaterals/quad_sacc.htmldiakses tanggal 14 September 2012http://en.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Girolamo_Saccheri diakses tanggal 14September 2012http://web.mnstate.edu/peil/geometry/c2euclidnoneuclid/6Saccheri.htm diaksestanggal 14 September 2012

×