Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
HOMOMORFISMA GRUPA. PENDAHULUAN       Pada pertemuan sebelumnya telah diberikan pengertian grup, sub grup dan sifat-sifatn...
B. PEMBAHASAN1. PEMETAAN / FUNGSI   Deskripsi Singkat :          Pembahasan yang pertama yakni mengenai definisi dan sifat...
1.3.   ContohSoal       1) Diketahui pemetaan seperti terlihat pada gambar di bawah ini:                                  ...
Ditanya :Termasuk fungsi apakah gambar 1.2 di atas dan jika๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ 2 maka               termasuk fungsi apakah ? Jelaskan ...
Homomorfisma grup merupakan suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat tertentu.2.1.      Definisi Homomorfisma   ...
Contoh 2.2.2:Misalkan G = R โ€“ {0} adalah grup dari bilangan-bilangan real tak nol terhadapperkalian,     ๐บ = {1, -1} juga ...
Contoh 2.2.4:Ambil grup aditif bilangan bulat (Z,+). Buat pemetaan ฯ• : Z ๏‚ฎ Z sebagai berikut:ฯ• (x) = 2x. Maka ฯ• (x+y) = 2(...
2.4.1. Definisi          Diketahui himpunan A, B, X, Y dengan A โŠ‚ X dan B โŠ‚ Y. Misalkan ๐œ™: X ๏ƒ  Ypemetaan. Maka:1.   Bayang...
โˆ’12.   Akan dibuktikan ๐œ™ ๐‘”โˆ’1 =       ๐œ™ ๐‘”     Bukti :     ๐‘”๐œ–๐บ, ๐‘”๐‘”โˆ’1 = ๐‘’     Sehingga     ๐œ™ ๐‘”๐‘”โˆ’1 = ๐œ™ ๐‘’ = ๐‘’     ๐œ™ ๐‘”). ๐œ™(๐‘”โˆ’1 =...
Oleh karena itu :       b-1a โˆˆ Ker ๐œ™           (dilihat dari lemma properties of cosets no. 5 di chapter 7                ...
Teorema 2. Misalkan ๐œ™ merupakan homomorfisma dari grup G ke grup ๐บ dan Hmerupakan subgrup dari G. Maka :1.   ๐œ™(H) = [๐œ™(h) ...
Bukti :Definisi ๐œ™ : G ๏ƒ  G/N dengan ๐œ™(g) = gN. (Pemetaan ini disebut homomorfisma naturaldari G ke G/N). Maka ๐œ™(xy) = (xy)N...
Contoh Soal :1.   Misalkan (G, *) adalah grup, maka fungsi f : G ๏ƒ  G sehingga f(x) = x untuk setiap     x โˆˆ G adalah homom...
Jawab :     Misalkan ฮฑ, ฮฒ โˆˆ G. Keduanya genap, keduanya ganjil, atau satu ganjil dan yang     lainnya genap., Kasus 1: ked...
= (+1)(+1)               = ๐œ™ (ฮฑ) ๐œ™ (ฮฒ)     Kasus 2: keduanya refleksi, maka ฮฑ. ฮฒ adalah rotasi.     ๐œ™ (ฮฑ. ฮฒ) = +1         ...
GLOSARIUMHomomorfisma   : suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat tertentu.Monomorfisma   : homomorfisma yang 1...
DAFTAR PUSTAKAAljabar-Abstrak-I-Bab4.     Online:   http://zaki.math.web.id/diktat/Aljabar-Abstrak-I-     Bab4.pdf. Diakse...
Upcoming SlideShare
Loading in โ€ฆ5
×

Homomorfisma

18,812 views

Published on

  • Be the first to comment

Homomorfisma

  1. 1. HOMOMORFISMA GRUPA. PENDAHULUAN Pada pertemuan sebelumnya telah diberikan pengertian grup, sub grup dan sifat-sifatnya. Pada pertemuan kali ini, akan dibahas mengenai pengertian pemetaan ataufungsi di antara dua grup, yang dinamakan dengan homomorfisma grup. Makalah inimembahas uraian tentang pemetaan dari suatu struktur grup ke struktur grup yang lain.Untuk mengikuti uraian materi dalam makalah ini, harus sudah dikuasai konseppemetaan, pemetaan injektif,surjektif dan bijektif. Selainitu juga harus dikuasai konsepgrup, grup simetri, grup siklik, sub grup, sub grup normal dan grup faktor. Pembahasan dalam makalah ini dimulai dari pemetaan / fungsi. Kemudiandilanjutkan dengan membahas homomorfisma yang meliputi definisi, teorema โ€“teorema dan sifatโ€“sifat homomorfisma. Setelah mempelajari makalah ini, mahasiswadiharapkan mampu :1. Memahami konsep homomorfisma dan menggunakannya dalam struktur yang ada : a. Mengidentifikasi apakah suatu pemetaan (fungsi) merupakan homomorfisma atau bukan. b. Membuktikan suatu fungsi merupakan homomorfisma atau tidak.2. Memahami sifat-sifat sederhana dari homomorfisma : a. Menjelaskan sifat-sifat dari homomorfisma. b. Membuktikan sifat-sifat dalam homomorfisma. c. Menentukan kernel suatu homomorfisma. d. Menunjukkan kernel homomorfisma adalah sub group normal. e. Membuktikan bahwa bayangan dari homomorfima adalah subgroup.
  2. 2. B. PEMBAHASAN1. PEMETAAN / FUNGSI Deskripsi Singkat : Pembahasan yang pertama yakni mengenai definisi dan sifat โ€“ sifat fungsi serta contoh soal.1.1. Pengertian Fungsi Fungsi dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunankepada anggota himpunan yang lain (Wikipedia, 2012). Selain itu, menurut Leibniz(Markaban, 2004:1) fungsi adalah suatu hubungan yang khas antara dua himpunan.1.2. Sifat โ€“ Sifat Fungsi Tiga sifat fungsi yakni sebagai berikut : a. Injektif (Satu โ€“ satu) Misalkan fungsi f menyatakan A ke B, maka fungsi f disebut suatu fungsi satu โ€“ satu (injektif). Apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f : A โ†’ B yaitu fungsi injektif, apabila a โ‰  aโ€™. Sehingga f(a) โ‰  f(b) atau ekuivalen. Jikaf(a) = f(aโ€™) maka a โ‰  aโ€™. b. Surjektif (Onto) Misalkan f yaitu suatu fungsi yang memetakan A ke B, maka daerah hasil f(A) dari fungsi f yaitu himpunan bagian dari B atau f(A) โŠ‚ B. apabila f(A) = B, sehingga setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang โ€“ kurangnya satu elemen di A maka dapat disimpulkan bahwa f yaitu suatu fungsi surjektif atau โ€œ f memetakan A onto B โ€œ . c. Bijektif (Korespondensi Satu โ€“ satu) Suatu pemetaan f : A โ†’B sedemikian hingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dapat dikatakan โ€œ f yaitu fungsi yang bijektif โ€œ atau A dan B berada dalam korespondensi satu โ€“ satu.
  3. 3. 1.3. ContohSoal 1) Diketahui pemetaan seperti terlihat pada gambar di bawah ini: 1 2 1 3 2 4 3 5 4 6 7 8 9 A B f Gambar 1.1 Ditanya :Termasuk fungsi apakah gambar 1.1 di atas dan jika f(x) = x2 maka termasuk fung siapakah ? Jelaskan ! Jawab Adapun fungsi pada A = {bilangan asli} yang didefinisikan dengan ๐‘“ ๐‘ฅ = 2๐‘ฅ adalah fungsi satu-satu, sebab kelipatan dua dari setiap dua bilangan yang berlainan adalah berlainan pula. Fungsi ๐‘“ pada ๐‘… yang didefinisikan dengan ๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ 2 bukan suatu fungsi satu- satu sebab ๐‘“ โˆ’2 = ๐‘“ 2 . 2) Diketahui pemetaan seperti terlihat pada gambar di bawah ini: a x b y c z d A B Gambar 1.2
  4. 4. Ditanya :Termasuk fungsi apakah gambar 1.2 di atas dan jika๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ 2 maka termasuk fungsi apakah ? Jelaskan ! Jawab Misal ๐ด = ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘, ๐‘‘ dan ๐ต = {๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘ง} dan fungsi ๐‘“: ๐ด โ†’ ๐ต yang didefinisikan dengan diagram panah adalah suatu fungsi yang surjektif karena daerah hasil ๐‘“ adalah sama dengan kodomain dari ๐‘“ (himpunan B). Fungsi ๐‘“: ๐‘… โ†’ ๐‘… yang didefinisikan dengan rumus ๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ 2 bukan fungsi yang onto karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi tersebut. 3) Diketahui pemetaan seperti terlihat pada gambar di bawah ini: a p b q c r Gambar 1.3 Ditanya :Termasuk fungsi apakah gambar 1.3 di atas dan jika๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ 2 maka termasuk fungsi apakah ? Jelaskan ! Jawab Relasi dari himpunan ๐ด = {๐‘Ž, ๐‘, ๐‘} ke himpunan ๐ต = {๐‘, ๐‘ž, ๐‘Ÿ} yang didefinisikan sebagai diagram diatas adalah fungsi bijektif. Fungsi ๐‘“ yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negara- negara didunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif), karena tidak ada satu kotapun yang menjadi ibu kota dua negara yang berlainan.2. HOMOMORFISMA GRUP Deskripsi Singkat : Pembahasan yang kedua pada makalah ini yaitu mengenai definisi, teorema โ€“teorema dan sifat โ€“ sifat homomorfisma.
  5. 5. Homomorfisma grup merupakan suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat tertentu.2.1. Definisi Homomorfisma Homomorfisma ฯ• dari G ke ๐บ adalah pemetaan dari ฯ• : G โ†’ ๐บ yangmempertahankan operasi pada grup sehingga berlaku ฯ•(ab) = ฯ•(a)ฯ•(b) untuk setiap a,b๐œ– ๐บ.2.1.1. Contoh Soal Diketahui ฮ– merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat.Maka, ฯ• : ฮ– โ†’ ฮ– dengan ฯ• (a) = โˆ’a, untuk setiap a โˆˆ ฮ– merupakan homomorfismagrup.2.1.2. Contoh Soal Diketahui (Z,+) dan (R+, .) keduanya merupakan grup. Didefinisikan ฯ• : Z ๏ƒ R+dengan ฯ•(n) = 2n untuk setiap n โˆˆ Z. Jelas ฯ• merupakan fungsi dan ฯ•(m+n) = 2m+n =2m.2n = ฯ•(m) ฯ•(n). Jadi ฯ• merupakan homomorfisma grup.2.2. Jenis-jenis Homomorfisma Grup Misalkan ๐œ™ : G ๏ƒ  ๐บ homomorfisma grup(i) ๐œ™ dinamakan monomorfisma apabila ๐œ™ injektif.(ii) ๐œ™ dinamakan epimorfisma apabila ๐œ™ surjektif.(iii) ๐œ™ dinamakan isomorfisma apabila ๐œ™ bijektif.(iv) ๐œ™ dinamakan endomorfisma apabila G = G(v) ๐œ™ dinamakan automorfisma apabila G = G dan ๐œ™ bijektifContoh 2.2.1:Diketahui (Z, +) dan (R+, . ) keduanya merupakan grup. Didefinisikan ฯ• : Z ๏ƒ  R+dengan ฯ• n = 2n untuk setiap n โˆˆ ฮ–. Jelas ฯ• merupakan fungsi dan ฯ• (m + n) = 2m+n= 2m .2n = ฯ• m ฯ• n . Jadi, ฯ• merupakan homomorfisma grup yang dinamakanmonomorfisma.
  6. 6. Contoh 2.2.2:Misalkan G = R โ€“ {0} adalah grup dari bilangan-bilangan real tak nol terhadapperkalian, ๐บ = {1, -1} juga grup terhadap perkalian. Telah ditunjukkan suatuhomomorfisma f dari G ke ๐บ yang didefinisikan, โˆ€x โˆˆ G = R โ€“ {0} berlaku : 1 jika x bilangan real positif f x = โˆ’1 jika x bilangan real negatifmisalkan x,y โˆˆ G, x โ‰  0 dan y โ‰  0, karena R โ€“ {0} bilangan real tanpa nol, maka1. x > 0, y > 0 3. x < 0, y > 0 f(x) = 1, f(y) = 1 f(x) = -1, f(y) = 1 f(xy) = f(x). F(y) f(xy) = f(x). F(y) = (1). (1) = (-1). (1) =1 = -12. x > 0, y < 0 4. x < 0, y < 0 f(x) = 1, f(y) = -1 f(x) = -1, f(y) = -1 f(xy) = f(x). F(y) f(xy) = f(x). F(y) = (1). (-1) = (-1). (-1) = -1 =1Selanjutnya, karena bayangan f atau f(G) = {1, -1} = ๐บ maka f suatu fungsi surjektif(pada/onto) maka homomorfisma f adalah epimorfisma.Contoh 2.2.3:Homomorfisma h dari Z ke 2Z didefinisikan : h(a) = 2a untuk โˆ€a โˆˆ ฮ– . Maka hmerupakan isomorfisma, sebab :i. h injektif : โˆ€a,b โˆˆ ฮ–, jika h(a) = h(b) maka 2a = 2b atau a = bii. h surjektif : โˆ€x โˆˆ 2ฮ–, maka x = 2n = h(n), untuk suatu n โˆˆ ฮ–
  7. 7. Contoh 2.2.4:Ambil grup aditif bilangan bulat (Z,+). Buat pemetaan ฯ• : Z ๏‚ฎ Z sebagai berikut:ฯ• (x) = 2x. Maka ฯ• (x+y) = 2(x+y) = 2x + 2y = ฯ•(x) + ฯ•(y), untuk setiap x,y ๏ƒŽ Z.Bentuk ฯ• merupakan suatu endomorfisma.Contoh 2.2.5:Apakah pemetaan (G, . ), T : x ๏ƒ  โ€“ x adalah automorfisma dari Grup yang diberikanJawab:Pengawetan:๐‘‡ ๐‘ฅ๐‘ฆ = โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฆ = โˆ’(๐‘ฅ. โˆ’ โˆ’๐‘ฆ ) = โˆ’๐‘ฅ. โˆ’๐‘ฆ = ๐‘‡(๐‘ฅ). ๐‘‡(๐‘ฆ)Ambil x, y ๏ƒŽ G dan misalkan ๐‘ฅ๐‘‡ = ๐‘ฆ๐‘‡ โˆ’๐‘ฅ = โˆ’๐‘ฆ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ ๏œ T ( 1-1)Ambil y ๏ƒŽ G maka pilih ๐‘ฅ = โˆ’๐‘ฆ ๐‘ฅ๐‘‡ = โˆ’๐‘ฅ = โˆ’ (โˆ’๐‘ฆ) = ๐‘ฆ ๏œ T onto๏œ Jadi, bahwa ๐‘‡: ๐‘ฅ โ†’ โˆ’๐‘ฅ adalah automorfisma2.3. Definisi Kernel Homomorfisma Grup Misalkan ๐œ™: G ๏ƒ  ๐บ adalah homomorfisma dengan identitas e. Kernel dari ๐œ™adalah { x โˆˆ G | ๐œ™(x) = e}. Kernel dari ๐œ™ dinotasikan dengan Ker ๐œ™.2.4. Sifatโ€“ sifat Homomorfisma Grup Sebelum mengkaji sifat-sifat homomorfisma grup perlu melihat kembalibeberapa pengertian berikut :
  8. 8. 2.4.1. Definisi Diketahui himpunan A, B, X, Y dengan A โŠ‚ X dan B โŠ‚ Y. Misalkan ๐œ™: X ๏ƒ  Ypemetaan. Maka:1. Bayangan (image) dari A oleh ๐œ™ didefinisikan ๐œ™(A) = { ๐œ™(a) | a โˆˆ A}2. Prapeta (invers image) dari B oleh ๐œ™ didefinisikan ๐œ™-1(B) = ( x โˆˆ ๐‘‹ | ๐œ™(๐‘ฅ) โˆˆ B)3. ๐œ™(X) = { ๐œ™(x) | x โˆˆ X} dinamakan range (bayangan) dari X oleh ๐œ™ dan disimbolkan dengan im(๐œ™) Menggunakan istilah sebagaimana dinyatakan dalam definisi 2.4.1 dapatdibuktikan teorema berikut:Teorema 1. Misalkan ๐œ™ merupakan homomorfisma dari grup G ke grup ๐บ dan misalkang merupakan elemen dari G. Maka :1. Jika e elemen identitas di G maka ๐œ™ ๐‘’ = ๐‘’ dengan ๐‘’ identitas di ๐บ2. ๐œ™ (gn) = (๐œ™ (g))n untuk semua n โˆˆ Z.3. Jika |g| finite, maka |๐œ™ (g)| membagi |g|.4. Ker ๐œ™ adalah subgroup G.5. ๐œ™ (a) =โˆ… (b) jika dan hanya jika a Ker ๐œ™ = b Ker ๐œ™.6. Jika ๐œ™ (g) = ๐‘”, maka ๐œ™-1 (๐‘”) = ๐‘ฅ โˆˆ ๐บ | ๐œ™ ๐‘ฅ = ๐‘” = ๐‘” Ker ๐œ™.Bukti :1. Ambil sembarang a โˆˆ G. Diperoleh ๐œ™(a) = ๐œ™(ae) โ†” ๐œ™(a) = ๐œ™(a) ๐œ™(e) โ†” ๐œ™(a)-1 ๐œ™(a) = (๐œ™(a)-1 ๐œ™(a)) ๐œ™(e) โ†” ๐œ™(a-1a) = (๐œ™(a-1a)) ๐œ™(e) โ†” ๐œ™(e) = ๐œ™(e) ๐œ™(e) โ†” ๐‘’ = ๐‘’ ๐œ™(e) โ†” ๐‘’ = ๐œ™(e) Jadi, ๐‘’ identitas di ๐บ
  9. 9. โˆ’12. Akan dibuktikan ๐œ™ ๐‘”โˆ’1 = ๐œ™ ๐‘” Bukti : ๐‘”๐œ–๐บ, ๐‘”๐‘”โˆ’1 = ๐‘’ Sehingga ๐œ™ ๐‘”๐‘”โˆ’1 = ๐œ™ ๐‘’ = ๐‘’ ๐œ™ ๐‘”). ๐œ™(๐‘”โˆ’1 = ๐‘’ ๐‘. ๐‘Ž = ๐‘’ ๐‘ โˆ’1 . ๐‘. ๐‘Ž = ๐‘ โˆ’1 . ๐‘’ ๐‘’. ๐‘Ž = ๐‘ โˆ’1 . ๐‘’ ๐‘Ž = ๐‘ โˆ’1 ๐œ™ ๐‘”โˆ’1 = (๐œ™ ๐‘” )โˆ’1 Dengan menginduksi, berlaku untuk semua bilangan asli, maka didapat : ๐œ™ ๐‘”โˆ’๐‘› = (๐œ™ ๐‘” )โˆ’๐‘›3. Untuk membuktikan sifat ketiga. Digunakan sifat 1 dan sifat 2 diatas dengan gn = e (|g| = n) menunjukkan bahwa e = ฯ• (e) = ฯ• (gn) = (ฯ• (g))n. Sehingga berdasarkan teorema 4.1 pada buku Galian deketahui bahwa ak = e menunjukkan bahwa |a| membagi k. Karenanya didapatkan | ฯ• (g)| membagi |g| atau | ฯ• (g)| membagi n4. Ker ๐œ™ tak kosong Misalkan : a,b โˆˆ Ker๐œ™ maka ๐œ™(ab) = ๐œ™(a) ๐œ™(b) = ๐‘’. ๐‘’ = ๐‘’. Sehingga, a,b โˆˆ Ker๐œ™ Misalkan a โˆˆ Ker๐œ™ . Perhatikan ๐œ™(a-1) = ๐œ™(a)-1 = ๐‘’ โˆ’1 = ๐‘’. Sehingga, a-1 โˆˆ Ker๐œ™ Jadi, Ker๐œ™ adalah subgrup dari G5. 1. Akan dibuktikan ๐œ™(a) = ๐œ™(b) => a Ker ๐œ™ = b Ker ๐œ™ Misalkan : ๐œ™(a) = ๐œ™(b) Maka : e = (๐œ™(a))-1 ๐œ™(a) e = (๐œ™(b))-1 ๐œ™(a) = ๐œ™(b-1)๐œ™(a) = ๐œ™(b-1a)
  10. 10. Oleh karena itu : b-1a โˆˆ Ker ๐œ™ (dilihat dari lemma properties of cosets no. 5 di chapter 7 menjelaskan bahwa jika aH = bH maka a-1b โˆˆ H) Sehingga : a Ker ๐œ™ = b Ker ๐œ™ 2. a Ker ๐œ™ = b Ker ๐œ™ => ๐œ™(a) = ๐œ™(b) Misalkan : a Ker ๐œ™ = b Ker ๐œ™ Dengan menggunakan lemma properties of cosets no. 5 di chapter 7 menjelaskan bahwa jika aH = bH maka a-1b โˆˆ H, didapat : a-1b โˆˆ Ker ๐œ™ a (a-1b) = b (a-1b) (a a-1) b = b a-1b e b = b a-1b e b b-1 = b a-1 b b-1 e = b a-1 e = a-1 b ๐œ™(e) = ๐œ™(a-1 b) e = ๐œ™(a-1) ๐œ™(b) e = (๐œ™(a))-1 ๐œ™(b) karena ๐‘’ = (๐œ™(a))-1 ๐œ™(a), maka : ๐œ™(a) = ๐œ™(b)6. Harus ditunjukkan bahwa ๐œ™-1(๐‘”) โŠ† g Ker ๐œ™ dan g Ker ๐œ™ โŠ† ๐œ™-1(๐‘”) 1. Untuk membuktikan ๐œ™-1(๐‘”) โŠ† g Ker ๐œ™ misalkan ๐‘ฅ โˆˆ ๐œ™-1(๐‘”), sehingga ๐œ™(x) = ๐‘”, maka ๐œ™(g) = ๐œ™(๐‘ฅ). Dari teorema 5 diatas kita dapatkan g Ker ๐œ™ = x Ker ๐œ™ oleh karena itu ๐‘ฅ โˆˆ g Ker ๐œ™ maka ๐œ™-1(๐‘”) โŠ† g Ker ๐œ™ 2. Untuk membuktikan bahwa g Ker ๐œ™ โŠ† ๐œ™-1(๐‘”). Misalkan k โˆˆ Ker ๐œ™, maka ๐œ™(gk) = ๐œ™(g) ๐œ™(k) = ๐‘” e = ๐‘” Dari definisi diketahui gk โˆˆ ๐œ™-1(๐‘”)
  11. 11. Teorema 2. Misalkan ๐œ™ merupakan homomorfisma dari grup G ke grup ๐บ dan Hmerupakan subgrup dari G. Maka :1. ๐œ™(H) = [๐œ™(h) | h โˆˆ H] adalah subgrup dari ๐บ2. Jika H cyclic, maka ๐œ™(H) cyclic3. Jika H abelian, maka ๐œ™(H) abelian4. Jika H normal di G, maka ๐œ™(H) normal di ๐œ™(G)5. Jika | Ker ๐œ™ | = n, maka ๐œ™ adalah n ke 1 pemetaan dari G onto ๐œ™(G).6. Jika |H| = n, maka |๐œ™(H)| membagi n7. Jika ๐พ adalah subgrup dari ๐บ , maka ๐œ™-1(๐พ ) = {k โˆˆ G | ๐œ™(k) โˆˆ ๐พ } adalah subgrup dari G8. Jika ๐พ adalah subgrup normal dari ๐บ , maka ๐œ™-1(๐พ ) = {k โˆˆ G | ๐œ™(k) โˆˆ ๐พ } adalah subgrup normal dari G9. Jika ๐œ™ onto dan ker ๐œ™ = [e], maka ๐œ™ adalah isomorfisma dari G ke ๐บTeorema 3 : jika ๐œ™ : G ๏ƒ ๐บ hohomorfisma grup maka Ker ๐œ™ merupakan subgrupnormal dari GBukti :Karena {๐‘’}subgrup dari ๐บ maka berdasarkan teorema, Ker(๐œ™) = ๐œ™-1({๐‘’}) merupakansubgrup dari G.Untuk menunjukkan bahwa Ker(๐œ™) normal di G, berdasarkan teorema cukupditunjukkan ghg-1 โˆˆ Ker(๐œ™) untuk setiap g โˆˆ G dan h โˆˆ Ker(๐œ™).Ambil sembarang g โˆˆ G dan h โˆˆ Ker(๐œ™).Diperoleh ๐œ™(ghg-1) = ๐œ™(g) ๐œ™(h) ๐œ™(g-1) = ๐œ™(g) ๐‘’ [๐œ™(g)]-1 = ๐œ™(g) [๐œ™(g)]-1 = ๐‘’Jadi ghg-1 โˆˆ Ker(๐œ™) sehingga terbukti bahwa Ker(๐œ™) normal di G.Teorema 4 : setiap subgrup normal dari grup G adalah Kernel dari homomorfisma G.Khususnya, subgrup normal N adalah kernel pemetaan g ๏ƒ  gN dari G ke G/N
  12. 12. Bukti :Definisi ๐œ™ : G ๏ƒ  G/N dengan ๐œ™(g) = gN. (Pemetaan ini disebut homomorfisma naturaldari G ke G/N). Maka ๐œ™(xy) = (xy)N = xNyN = ๐œ™(x) ๐œ™(y). Selain itu g โˆˆ Ker(๐œ™) jikadan hanya jika gN = ๐œ™(g) = N. Benar jika dan hanya jika g โˆˆ N (lihat sifat 2 padalemma di bab 7 buku Galian)
  13. 13. Contoh Soal :1. Misalkan (G, *) adalah grup, maka fungsi f : G ๏ƒ  G sehingga f(x) = x untuk setiap x โˆˆ G adalah homomorfisma. Faktanya : f(x*y) = x*y = f(x)*f(y)2. Diberikan grup (M2 (R), + ) dan (R, +). Diberikan fungsi g: M2 (R) ๏ƒ  R dengan a b a b definisi g = a + b โˆ’ c โˆ’ d, untuk โˆˆ M2 (R). Buktikan bahwa g c d c d merupakan homomorfisma grup. Jawab : a b e f Diambil sembarang A, B โˆˆ M2 (R), misalkan A = dan B = , maka c d g h diperoleh bahwa a b e f g A+B = g + c d g h a+e b+f =g c+g d+h = a+e+b+fโˆ’ c+g โˆ’ d+h =a+e+b+fโˆ’cโˆ’gโˆ’dโˆ’h = a + b โˆ’ c โˆ’ d + (e + f โˆ’ g โˆ’ h) a b e f =g +g c d g h =g A +g B Terbukti bahwa g merupakan homomorfisma grup3. Let G be a group of permutations. For each ฯƒ in G, define: + 1 if ฯƒ is an even permutation sgn(ฯƒ) = โˆ’1 if ฯƒ is an odd permutation Prove that sgn is homomorphism from G to the multiplicative group {+1,โˆ’1}. What is the kernel?
  14. 14. Jawab : Misalkan ฮฑ, ฮฒ โˆˆ G. Keduanya genap, keduanya ganjil, atau satu ganjil dan yang lainnya genap., Kasus 1: keduanya genap. Maka ฮฑ, ฮฒ adalah genap. sgn(ฮฑ. ฮฒ) = +1 = (+1)(+1) = sgn(ฮฑ)sgn(ฮฒ) Kasus 2: keduanya ganjil, maka ฮฑ. ฮฒ adalah genap. sgn(ฮฑ. ฮฒ) = +1 = (โˆ’1)(โˆ’1) = sgn(ฮฑ)sgn(ฮฒ) Kasus 3: satu ganjil, satu genap. Maka ฮฑ. ฮฒ adalah ganjil. Misalkan ฮฑ adalah ganjil dan ฮฒ adalah genap. sgn(ฮฑ. ฮฒ) = โˆ’1 = (โˆ’1)(+1) = sgn(ฮฑ)sgn(ฮฒ) ker(sgn) = {x โˆˆ G|sgn(x) = 1} = {x โˆˆ G|x is an even permutation}.4. Let G be a subgroup of some dihedral group. For each ๐‘ฅ โˆˆ G, define: + 1 if x is a rotation ๐œ™(ฯƒ) = โˆ’1 if x is a reflection Prove that ๐œ™ is homomorphism from G to the multiplicative group {+1,โˆ’1}. What is the ker(๐œ™)? Jawab : Misalkan ฮฑ, ฮฒ โˆˆ G. Keduanya rotasi, keduanya refleksi, atau satu refleksi dan yang lainnya rotasi Kasus 1: keduanya rotasi. Maka ฮฑ. ฮฒ adalah rotasi. ๐œ™ (ฮฑ. ฮฒ) = +1
  15. 15. = (+1)(+1) = ๐œ™ (ฮฑ) ๐œ™ (ฮฒ) Kasus 2: keduanya refleksi, maka ฮฑ. ฮฒ adalah rotasi. ๐œ™ (ฮฑ. ฮฒ) = +1 = (โˆ’1)(โˆ’1) = ๐œ™ (ฮฑ) ๐œ™ (ฮฒ) Kasus 3: satu refleksi dan yang lainnya rotasi. Maka, ฮฑ. ฮฒ refleksi. Misalkan ฮฑ adalah refleksi dan ฮฒ adalah rotasi. ๐œ™ (ฮฑ. ฮฒ) = โˆ’1 = (โˆ’1)(+1) = ๐œ™ (ฮฑ) ๐œ™ (ฮฒ) ker(๐œ™) = {x โˆˆ G| ๐œ™ (x) = 1} = {x โˆˆ G|x is an even permutation}.5. Suppose that ๐œ™ is a homomorphism from Z30 to Z30 and that Ker(๐œ™) = {0; 10; 20}. If ๐œ™ (23) = 9, determine all elements that map to 9. Jawab : Kita butuh menemukan ๐œ™-1(9). Dari teorema 1 poin 5. Jika ๐œ™ (g) = ๐‘”, maka ๐œ™-1 (๐‘”) = ๐‘ฅ โˆˆ ๐บ| ๐œ™ ๐‘ฅ = ๐‘” = ๐‘” Ker ๐œ™. Di Z30 adalah operasi penjumlahan mod 30. Maka teorema 1 poin 5 menjadi : Jika ๐œ™ (g) = ๐‘”, maka ๐œ™-1 (๐‘”) = ๐‘” + Ker ๐œ™, mod 30 Dari soal, kita ketahui bahwa ๐œ™(23) = 9, maka : ๐œ™-1 (9) = 23 + Ker ๐œ™ = 23 + {0, 10, 20} mod 30 = {23, 3, 13} Jadi, elemen pemetaan ke 9 adalah 3, 13, dan 23
  16. 16. GLOSARIUMHomomorfisma : suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat tertentu.Monomorfisma : homomorfisma yang 1-1 (injektif)Epimorfisma : homomorfisma yang onto (surjektif)Isomorfisma : homomorfis yang 1-1 dan onto (bijektif)Endomorfisma : homomorfisma ke dalam diri sendiriAutomorfisma : isomorfisma pada diri sendiriKernel : elemen-elemen yang dipetakan ke 0โ€™ atau pemetaannya mengahsilkan elemen identitas.
  17. 17. DAFTAR PUSTAKAAljabar-Abstrak-I-Bab4. Online: http://zaki.math.web.id/diktat/Aljabar-Abstrak-I- Bab4.pdf. Diakses pada tanggal 4 oktober 2012Ekstra-Teorema Fundamental. Online: http://wijna.web.ugm.ac.id. Diakses pada tanggal 18 nopember 2012Gallian, J.A. 2010. Contemporary Abstract Algebra. United State of America: Brooks/Cole Cengage learning.Homomorphisms And Isomorphisms. Online: http://cims.nyu.edu/~kiryl/teaching/ aa/les110703.pdf. Diakses pada tanggal 28 nopember 2012Pengantar Struktur Aljabar 1 (Isnarto, S). Online: http://www.angelputriafiles.wordpress.com/2011/01. diakses pada tanggal 18 nopember 2012Pertemuan-9-26tgm1a. Online: http://mazhend.edublogs.org/files/2011/04/Pertemuan- 9-26tgm1a.pdf. Diakses pada tanggal 9 oktober 2012RelasiFungsi. Online: http://p4tkmatematika.org/downloads/smk/RelasiFungsi.pdf. Diakses pada 4 oktober 2012-12-04S_d015_056045_chapter 2. Online: http://www.repository.upi.edu/operator/upload. diakses pada tanggal 28 nopember 2012

ร—