Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Matemática unidad I tema 2

148 views

Published on

Producto Cartesiano

Published in: Technology
  • Be the first to comment

Matemática unidad I tema 2

  1. 1. Ética, Valores y Deontología _ Unidad VI _ Capitulo 1 Unidad I Tema 2 Matemática Producto Cartesiano
  2. 2. - 1 - Producto Cartesiano Producto Cartesiano. Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente: A x B = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B} En consecuencia: (x, y) ∈ A x B ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B (x, y) ∉ A x B ⇔ x ∉ A ∨ y ∉ B En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene: R x R = {(x, y) / x ∈R ∧ y ∈ R }. R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de R x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico. Se establece una relación biunívoca entre R x R y el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x,y) con el punto P(x,y). Ejemplo 1: Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.
  3. 3. - 2 - Producto Cartesiano Ejemplo 2: Sean A = {x / x ∈R∧1 < x ≤ 3 }, B = {x / x ∈R∧-2 ≤ x < 2 }. Su representación geométrica es: A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR. Ejemplo 3: Sean A = {x / x ∈N∧1 ≤ x < 4}, B = {x / x ∈R ∧1 ≤ x ≤ 3}. Representar A x B en el plano cartesiano.
  4. 4. - 3 - Producto Cartesiano Nota: La definición de producto cartesiano puede generalizarse al producto entre n conjuntos A1, A2,..., An. En este caso, al conjunto formado por todas las n-adas ordenadas (a1, a2,..., an) tales que ai∈ Ai con i = 1, 2,..., n, se llama producto cartesiano de A1, A2,..., An y se denota A1 x A2 x ... x An. Propiedades del producto cartesiano. 1) A ⊂ X ∧ B ⊂ Y ⇔ A x B ⊂ X x Y. 2) A x B = 0 ⇔ A = 0 ∨ B = 0. 3) A ≠ B ∧ A x B ≠ 0 ⇒ A x B ≠ B x A. 4) A x (B • C) = (A x B)( A x C). 5) A x ( B + C) = (A x B) + ( A x C ). Demostración de la propiedad 2: Suponga que A x B = 0. Razonando por reducción al absurdo, sí A ≠ 0 y B ≠ 0; entonces existen elementos a y b tales que a ∈ A y b ∈ B. Luego la pareja (a,b) ∈ A x B, en contradicción con la hipótesis de que A x B = 0. Recíprocamente si A = 0, debe ser A x B = 0 pues si se llega a dar que Ax B ≠ 0, existirá (a, b) ∈ A x B entonces a ∈ A en contradicción con la suposición de que A = 0. Análogamente se razona en el caso de que B = 0. Demostración de la propiedad 4: (x, y) ∈ A x (B • C) ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B • C. ⇔ x ∈ A ∧ ( y ∈ B ∧ y ∈ C). ⇔ ( x ∈A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ C). ⇔ (x, y) ∈ A x B ∧ (x, y) ∈ A x C. ⇔ (x, y) ∈ (A x B) • (A x C).
  5. 5. - 4 - Producto Cartesiano 3 Número de elementos del producto cartesiano. (Técnicas de conteo). Para conjuntos finitos A y B se tiene: | A x B | = | A| | B| .puesto que: A x B = {(a, b): a ∈ A ∧ b ∈ B}.y para cada una de las | A | elecciones de a en A hay | B| elecciones de b en B para formar el par ordenado (a, b). Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Entonces A x B consta de 12 elementos, los cuales se pueden representar por medio de una tabla organizada en la siguiente forma: Para el producto de más de dos conjuntos, se cumple una identidad semejante. Reglas del producto. Para conjuntos finitos A1, A2,..., Ak, se tiene: k | A1x A2x ... x An|= ∏ | Aj | j =1 De manera más general, suponga que un conjunto puede considerarse como un conjunto de k-adas ordenadas de la forma (a1, a2,..., ak) con la siguiente estructura. Hay n1 elecciones posibles de a1. Dado a1, hay n2 elecciones posibles de a2. Dados a1 y a2 hay n3 elecciones posibles de a3. En general dados a1, a2,..., aj-1 hay nj elecciones posibles de aj. Entonces el conjunto tiene n1, n2,..., nk elementos.

×