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XOMPERO Roberta - A scuola con il tangram

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XOMPERO Roberta - A scuola con il tangram

  1. 1. SOMMARIOPREFAZIONE DI GIOVANNI LARICCIA ....................................................................................... 51. LA MATEMATICA NELLE INDICAZIONI PER IL CURRICOLO ............................................. 10 1.1. L’insegnamento della matematica .......................................................................... 11 1.1.1. Il laboratorio matematico .......................................................................................... 11 1.1.2. La risoluzione dei problemi ........................................................................................ 12 1.1.3. Il gruppo di apprendimento ....................................................................................... 13 1.1.4. La riflessione sul percorso seguito ............................................................................. 14 1.1.5. La costruzione del pensiero matematico ................................................................... 16 1.2. Gli obiettivi di apprendimento ................................................................................ 172. PROBLEM SOLVING, METACOGNIZIONE, RAPPRESENTAZIONE DELLE CONOSCENZE ... 21 2.1. Il concetto di problema ........................................................................................... 21 2.1.1. Il valore formativo della risoluzione di problemi ....................................................... 23 La parola ai bambini ............................................................................................................. 23 I documenti ministeriali ....................................................................................................... 24 Problemi a scuola ................................................................................................................. 25 2.1.2. Problemi: elementi costitutivi .................................................................................... 26 La formulazione del problema ............................................................................................. 27 Il contesto ............................................................................................................................ 27 Le soluzioni di un problema ................................................................................................. 28 I metodi di approccio ........................................................................................................... 28 2.2. Metacognizione e matematica ................................................................................ 29 2.2.1. Atteggiamento metacognitivo e apprendimento matematico: il ruolo di credenze e convinzioni................................................................................................................... 29 1.2.2. Processi di controllo metacognitivo ........................................................................... 31 Il ruolo del linguaggio ........................................................................................................... 32 2.3. Problem solving e metacognizione.......................................................................... 33 2.3.1. Problem solving.......................................................................................................... 34 2.3.2. Problem solving a scuola ............................................................................................ 34 2.3.3. Decisioni tattiche ....................................................................................................... 35 Le abilità di comprensione ................................................................................................... 37 Le abilità di rappresentazione .............................................................................................. 38 Le abilità di categorizzazione ............................................................................................... 38 Le abilità di pianificazione .................................................................................................... 39 Lo sviluppo del piano e le abilità di monitoraggio ............................................................... 39 La valutazione finale ............................................................................................................ 40 2.3.4. Decisioni strategiche .................................................................................................. 41 Problematizzazione .............................................................................................................. 42 Comprensione e definizione del problema-compito ........................................................... 42 Collegamento con compiti simili .......................................................................................... 43 Attivazione delle conoscenze precedenti coinvolte in quel tipo di compito ....................... 43 Integrazione delle varie informazioni provenienti da fonti diverse ..................................... 43 Raccolta e valutazione dei feedback .................................................................................... 44 Definizione del livello di performance atteso. Valutazione della distanza della soluzione. Valutazione dei risultati finali. ..................................................................................... 44 2.3.5. Conclusioni ................................................................................................................. 45 2.4. Conoscenza e rappresentazioni............................................................................... 47 2.4.1. La conoscenza ............................................................................................................ 47 Pagina 1 su 167 pagine
  2. 2. Roberta Xompero, A scuola con il tangram 2.4.2. Le rappresentazioni.................................................................................................... 49 2.4.3. Proprietà delle rappresentazioni ............................................................................... 49 2.4.4. Le mappe.................................................................................................................... 49 Le mappe ............................................................................................................................. 50 2.5. Le mappe concettuali .............................................................................................. 51 2.5.1. Fondamenti psicologici delle mappe concettuali....................................................... 51 2.5.2. L’apprendimento significativo ................................................................................... 54 2.5.3. Nascita e sviluppo delle mappe concettuali .............................................................. 55 2.5.4. Le mappe concettuali e la loro funzione .................................................................... 56 2.5.5. Le mappe concettuali. Elementi fondamentali .......................................................... 57 Le parole-concetto ............................................................................................................... 58 I collegamenti....................................................................................................................... 58 Le parole-legame ................................................................................................................. 60 2.5.6. Metodi di realizzazione .............................................................................................. 60 Foglio di carta molto grande e oggetti concreti ................................................................... 60 Lavagna e gesso ................................................................................................................... 61 Post-it ................................................................................................................................... 61 Pc e software idonei............................................................................................................. 61 Concept Map Tools© ........................................................................................................... 623. LA GEOMETRIA A SCUOLA .............................................................................................. 64 3.1. Imparare la geometria ............................................................................................. 64 3.1.1. Conoscere per immagini mentali ............................................................................... 64 3.1.2. Insegnare Geometria ................................................................................................. 66 Uno sguardo alla tradizione ................................................................................................. 66 I Livelli di pensiero geometrico ............................................................................................ 67 3.1.3. Difficoltà nell’apprendimento della geometria .......................................................... 70 Il contratto didattico ............................................................................................................ 70 Eccesso di rappresentazioni semiotiche .............................................................................. 72 Immagini e modelli formatisi troppo presto ........................................................................ 72 Conflitti e misconcezioni ...................................................................................................... 73 Stili cognitivi ................................................................................................................... 74 Ostacoli ........................................................................................................................... 74 Mancanza di situazioni adidattiche ..................................................................................... 75 3.1.4. Una proposta ............................................................................................................. 764. IL TANGRAM ................................................................................................................... 77 4.1. Un oggetto misterioso ............................................................................................. 77 4.1.1. Proviamo ad immaginare un puzzle ........................................................................... 77 4.1.2. Un puzzle un po’ speciale ........................................................................................... 77 4.2. Fra storia e leggenda ............................................................................................... 79 4.2.1. Narra la leggenda ....................................................................................................... 79 4.2.2. La storia del tangram ................................................................................................. 80 4.3. Le regole del gioco................................................................................................... 83 4.4. Un gioco a scuola..................................................................................................... 835. LA GEOMETRIA CON IL TANGRAM ................................................................................. 85 5.1. Un percorso in 5 mosse ........................................................................................... 85 5.1.1. Prima mossa: Inquiry.................................................................................................. 86 Per incominciare .................................................................................................................. 86 Cominciano il gioco e l’apprendimento ............................................................................... 88 5.1.2. Seconda mossa: Direct orientation ............................................................................ 88 5.1.3. Terza mossa: Explicitation .......................................................................................... 89 5.1.4. Quarta mossa: Free orientation ................................................................................. 91 Pagina 2 su 167 pagine
  3. 3. Roberta Xompero, A scuola con il tangram 5.1.5. Quinta mossa: Integration ......................................................................................... 92 5.2. Problemi con il tangram .......................................................................................... 92 5.3. Il nostro progetto .................................................................................................... 94 5.3.1. Metodo e scopo del lavoro ........................................................................................ 94 5.3.2. Il gruppo di osservazione ........................................................................................... 95 5.3.3. Fase progettuale: avvio dell’attività ........................................................................... 96 5.4. Problemi di tangram sull’area ................................................................................. 97 5.4.1. Equiestensione ........................................................................................................... 97 Fase 1 ................................................................................................................................... 97 Fase 2 ................................................................................................................................... 98 5.4.2. Relazioni fra le superfici occupate dai pezzi del tangram .......................................... 98 Fase 1 ................................................................................................................................... 99 Fase 2 ................................................................................................................................... 996. LA FASE OPERATIVA ..................................................................................................... 101 6.1. Primo approccio al tangram .................................................................................. 101 6.2. Analisi dei pezzi del tangram ................................................................................ 103 6.2.1. Conflitto cognitivo sul triangolo isoscele ................................................................. 104 6.2.2. Lessico: parallelismo dei lati .................................................................................... 106 6.2.3. Immagini e modelli troppo presto formatisi. Uso di figure stereotipate ................. 106 6.2.4. Il ricorso all’esperienza concreta ............................................................................. 107 6.3. I problemi di tangram: superficie.......................................................................... 109 6.3.1. Superficie o area? Un problema di termini .............................................................. 109 6.3.2. Il lavoro comune ...................................................................................................... 110 6.3.3. Lavoro individuale 1 - E. ........................................................................................... 112 6.3.4. Lavoro individuale 1 - P. ........................................................................................... 115 6.4. I problemi di tangram: relazioni fra superfici........................................................ 118 6.4.1. Il lavoro comune ...................................................................................................... 119 6.4.2. Lavoro individuale 2 - E. ........................................................................................... 119 6.4.3. Lavoro individuale 2 - P. ........................................................................................... 123 6.5. Fase riflessiva......................................................................................................... 126 6.5.1. La verbalizzazione dei processi di pensiero ............................................................. 126 6.5.2. Il contesto adidattico ............................................................................................... 127 6.5.3. Il lavoro di gruppo e l’approccio ludico .................................................................... 128 6.5.4. L’utilizzo del tangram............................................................................................... 129 6.5.5. I protocolli di osservazione ...................................................................................... 129 6.6. Conclusioni ............................................................................................................ 1327. I PROTOCOLLI OSSERVATIVI ......................................................................................... 136 Primo approccio al tangram......................................................................................... 136 Analisi dei pezzi del tangram ....................................................................................... 139 I problemi di tangram .................................................................................................. 142 1. Problema di equiestensione .......................................................................................... 142 Fase 1 ................................................................................................................................. 143 Fase 2 ................................................................................................................................. 144 Protocollo di osservazione E. ....................................................................................... 145 Protocollo di osservazione P. ....................................................................................... 147 2. Problema di relazioni fra i pezzi del tangram........................................................... 149 Fase 1 ................................................................................................................................. 150 Fase 2............................................................................................................................ 151 Protocollo di osservazione E. ....................................................................................... 151 Protocollo di osservazione P. ....................................................................................... 153 Pagina 3 su 167 pagine
  4. 4. Roberta Xompero, A scuola con il tangram8. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................... 1569. DOCUMENTI MINISTERIALI .......................................................................................... 16510. SITOGRAFIA .................................................................................................................. 166ROBERTA XOMPERO ............................................................................................................ 167 Pagina 4 su 167 pagine
  5. 5. Roberta Xompero, A scuola con il tangramPREFAZIONE DI GIOVANNI LARICCIAQuesto lavoro, il sesto volume della collana di “Informatica della mente,didattica della matematica e metacognizione”, rappresenta ad un tempo siaun prodotto di altissima qualità, dovuto al lavoro rigoroso, approfondito e diampio respiro dell’autrice, la dottoressa Roberta Xompero1; sia un’ulterioreconferma della validità delle idee che sono alla base della nostra collana.Cerchiamo di riassumere alcune di queste idee, quelle fondamentali,accostandole ai risultati che emergono da questo lavoro.L’idea principale da cui ha origine la collana è che non si può insegnare lamatematica calandola dall’alto, in modo direttivo, ma se ne può e se ne devepromuovere l’apprendimento attraverso il gioco e l’attività di scoperta e disoluzione di problemi. Questo perché le ricerche più recenti sembranoprovare che tutti gli esseri umani nascono con un “pallino dellamatematica”2, ovvero con alcune capacità matematiche innate e con unanaturale predisposizione ad ampliarle attraverso l’esperienza e la riflessionesu di essa. Questo “assioma” a partire dagli anni sessanta3 è stato associatoad un antico detto cinese che recita “Se ascolto dimentico, se vedo ricordo,se faccio, capisco”.La seconda idea guida è presa direttamente dal matematico ed epistemologoSeymour Papert4, seguace di Jean Piaget e fondatore con Minsky del Mit AI1 Roberta Xompero insegna attualmente in una scuola primaria in provincia di Varese: nepotete trovare una breve biografia alla fine di questo libro.2 Si veda in proposito il bellissimo libro di Stanislas Dehaene [DEHAENE, 2000].3 Negli anni ’60 viene avviato in Gran Bretagna un progetto di rinnovamentodell’insegnamento della matematica nella scuola primaria intitolato “Se faccio, capisco”.4 Si veda il Memo del Laboratorio di Intelligenza Artificiale del Massachusetts Institute ofTechnology (MIT AI Lab Memo) riportato in bibliografia generale come [PAPERT, 1971] esintetizzato a pagina 185 e seguenti del volume di G. LARICCIA, Informatica della mente,appena pubblicato in questa collana. Pagina 5 su 167 pagine
  6. 6. Roberta Xompero, A scuola con il tangramLab. Papert sostiene che l’attività mentale soggiacente all’apprendimento perscoperta della matematica da parte dei bambini può essere vista comeomogenea all’attività mentale degli scienziati e, in particolare, deimatematici. I bambini che imparano la matematica, in altre parole, sicomportano come dei piccoli matematici, se appena concediamo loroqualche possibilità di esplorare determinati spazi di esperienza e diconoscenza. L’attività di scoperta svolta dai bambini secondo Papert (che inquesto riprende e porta avanti le idee di Piaget) procederebbe percongetture, conferme e smentite attraverso una serie di raffinamentisuccessivi, passando attraverso errori che possono essere interpretati come“teorie imperfette”.Partendo da questo “assioma”, ulteriormente raffinato dagli scienziati dellacognizione infantile, ha un senso chiedere ai bambini di esprimere ad altavoce quello che pensano durante l’esecuzione di un compito. Perchél’osservazione abbia un senso i bambini devono essere guidati da unintervistatore esperto. Attraverso questo dialogo è possibile osservare neibambini dei comportamenti per cui possiamo considerarli dei piccolimatematici. La trascrizione del dialogo tra bambini ed intervistatore devesuccessivamente essere effettuata in modo rigoroso e preciso. A questatrascrizione5 si possono quindi aggiungere delle immagini, per consentire allettore di visualizzare più facilmente i progressi fatti dai bambini nello spaziodel problema. Ancora più sofisticata, ma assai più problematica e costosapotrebbe essere una ripresa video, che richiederebbe tuttavia accorgimenti etecnologie più avanzate, normalmente non accessibili al singolo insegnante –ricercatore.5 A questa trascrizione, eseguita secondo un certo insieme di regole, si fa riferimento disolito con il termine di protocollo dell’osservazione. Pagina 6 su 167 pagine
  7. 7. Roberta Xompero, A scuola con il tangramDall’analisi dei protocolli, poi, è possibile ricavare delle vere e proprie teoriesul comportamento intelligente dei bambini, i quali scoprono la matematicainsita in un certo dominio di conoscenze, anche di tipo ludico, come èavvenuto nel nostro caso.Se, dopo avere letto i capitoli introduttivi, provate a leggere i protocolli deidialoghi tra l’autrice e le sue piccole “cavie”, riportati integralmente nelcapitolo 7 di questo libro, potrete avere l’impressione di assistere alleconversazioni come se foste proprio lì, davanti al gruppo di lavoro, con lapossibilità di osservare senza essere osservati.Questo materiale, preziosissimo, potrebbe anche dare luogo, in futuro, ariletture ed approfondimenti, per mettere in luce aspetti sin qui inesplorati.Terza considerazione. Scelto uno spazio ludico, come quello fornito dal giocodel tangram (che presenta un numero virtualmente infinito di possibilicompiti, di tipo sia creativo che problematico), si possono rappresentare lecompetenze richieste ed il comportamento dei bambini in un unico spaziocognitivo, nel cui ambito operano (si muovono) sia il bambino chel’intervistatore. Tale spazio può essere rappresentato mediante delle mappeconcettuali, semplici ma efficaci.A tale scopo, l’autrice ha utilizzato l’applicazione CmapTools, disponibilegratuitamente e largamente diffusa anche nelle scuole italiane, dimostrandocome essa sia strumento adeguato per la rappresentazione delle conoscenzedei bambini durante la risoluzione di problemi.Quarta ed ultima considerazione. L’analisi dei protocolli consente di vederel’attività mentale dei bambini in modo assai più ricco e dettagliato:l’insegnante può infatti rendersi conto di avere davanti a sé delle mentidotate di capacità insospettate e quindi può guidare il loro percorso discoperta in modo assai meno direttivo di quanto non faccia solitamentementre svolge il normale curricolo scolastico. Da quanto emerge dall’analisi Pagina 7 su 167 pagine
  8. 8. Roberta Xompero, A scuola con il tangramdei protocolli fatta dall’autrice, inoltre, le regole ed i principi matematici che ibambini sono in grado di ricavare dalla risoluzione dei problemi, rimangonopiù impressi nella loro mente se l’apprendimento viene guidato dallascoperta. E i bambini sono in una certa misura consapevoli di quello cheaccade nella loro mente, del fatto che stanno facendo i matematici, tantoche, sulla base di questa esperienza, sono disponibili a rivedere in sensopositivo il loro rapporto con la matematica. Attratti così dal fascino dellascoperta, una volta sperimentato il potere di attrazione legato alla soluzionedei problemi matematici, i bambini possono essere così indotti a rivedere ilproprio giudizio sulle attività ordinarie del curriculum scolastico, anch’essepotenzialmente ricche di significati e di sorprese, ma troppo spessoconsiderate come attività dotate di regole severe e stringenti.Riassumiamo il percorso sviluppato nel libro.Nel capitolo 1 viene fatta un’analisi approfondita del ruolo della matematicanelle Indicazioni per il Curricolo. Nel capitolo 2 viene presentato un rapidoexcursus sulle teorie riguardanti la rappresentazione delle conoscenze, ilpunto più alto raggiunto dalla scienza cognitiva per la didattica. Il capitolo 3parla di alcune recenti teorie, dovute a Van Hiele, sull’apprendimento el’insegnamento della geometria nella scuola.La seconda parte del lavoro, dal capitolo 4 in poi, rappresenta una fullimmersion nella varietà di situazioni didattiche che si offrono agli insegnantipartendo dal gioco del tangram e si conclude con l’analisi dei protocolli didue bambine che dialogano con l’autrice nella veste di intervistatrice.Non possiamo, certo, aspettarci che un insegnante in servizio possafrequentemente dedicare tante energie a questo tipo di analisi. La solapossibilità, però, che alcune persone, a conclusione di un corso di laurea perfuturi maestri, siano in grado di produrre questo tipo di risultati, ci rendeottimisti sul futuro della nostra classe insegnante e, quindi, della nostra Pagina 8 su 167 pagine
  9. 9. Roberta Xompero, A scuola con il tangramscuola.Ci auguriamo che anche le famiglie vengano attratte da queste esperienzecon i giochi matematici creativi anche grazie alle nuove tecnologie. Le quali,come noto, consentono ormai di ricreare i relativi spazi cognitivi sotto formadi programmi di edutainment6 fruibili direttamente nelle case dei nostribambini. In questo modo, forse, si potrà avviare, anche nel nostro paese, unprocesso di riconciliazione con la matematica e di maggiore diffusione dellecompetenze matematiche stesse.6 La parola edutainment nel mercato del software in lingua inglese indica un acronimo chenasce dalla unione delle parole education (educazione, insegnamento) ed entertainment(divertimento). Rientrano nella categoria edutainment quei programmi, soprattutto giochi,le cui finalità si collocano a metà strada tra l’ educazione (apprendimento) e il divertimento. Pagina 9 su 167 pagine
  10. 10. Roberta Xompero, A scuola con il tangram1. LA MATEMATICA NELLE INDICAZIONI PER IL CURRICOLOPer comprendere meglio lo scopo finale del nostro lavoro conviene partiredalla lettura di ciò che le Indicazioni per il curricolo, il documento ministerialepresentato nel settembre 2007 dall’allora Ministro della Pubblica Istruzione,Giuseppe Fioroni, cui gli insegnanti sono tenuti a fare riferimento nella loroazione didattica, dicono a proposito dell’insegnamento della matematica edel suo ruolo all’interno del curricolo del singolo alunno. *…+ la matematica ha uno specifico ruolo nello sviluppo della capacità generale di operare e comunicare significati con linguaggi formalizzati e di utilizzare tali linguaggi per rappresentare e costruire modelli di relazioni fra oggetti ed eventi. In particolare, la matematica dà strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi utili nella vita quotidiana; inoltre contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri.Il bambino si pone in relazione con oggetti ed eventi. Proprio per questomotivo, gli obiettivi di apprendimento proposti all’interno delle Indicazionisono indicati con nomi indicanti oggetti concreti: - Numeri - Spazio e figure - Relazioni, misure, dati e previsioni.Egli si rapporta agli oggetti e agli eventi del mondo, che cerca di descrivereattraverso l’uso di un linguaggio formalizzato, idoneo non solo per farsicomprendere, ma per renderlo in grado di argomentare in modo corretto e dicapire i punti di vista degli altri interlocutori.Solo questo processo di scambio con il mondo circostante (fatto in questo Pagina 10 su 167 pagine
  11. 11. Roberta Xompero, A scuola con il tangramcaso sì di oggetti ed eventi, ma anche di persone) consente all’alunno diacquisire consapevolezza e capacità critica e di giudizio.1.1. L’insegnamento della matematica1.1.1. Il laboratorio matematicoPer realizzare un insegnamento efficace, pare anzitutto necessaria lacostruzione di un laboratorio matematico, che definiamo riportando le paroledi Bruno D’Amore: Che cos’è un laboratorio di matematica? Cercherò di definirlo parola per parola: Laboratorio = è un ambiente dove si costruiscono oggetti, si lavora concretamente, si ottiene qualche “cosa”; soprattutto è caratteristica del laboratorio una certa qual pratica inventiva; nel laboratorio deve essere viva una tensione verso l’ideazione, la progettazione, la realizzazione di qualche cosa di non ripetitivo né banale; di matematica = perché l’oggetto concreto, risultato finale della realizzazione è di contenuto matematico. Dunque, il laboratorio di matematica è un luogo nel quale si costruisce qualche cosa di concreto che ha a che fare con la matematica7.Dove si può dunque costruire qualcosa di concreto, se non laddove vi è unaopportunità di confronto con i pari (e quindi di discussione) e un ambientesignificativo?Il laboratorio matematico prevede che il soggetto apprenda con un fareattivo, dove il suo fare corrisponde alla risposta a bisogni, curiosità, domandeed interrogativi: l’azione è finalizzata ad una conoscenza, ad unapprendimento/prodotto e si esplica in un’attività di azione che si fa ricerca,in un rimodellamento costante del proprio sentire.7 B. D’AMORE, I. MARAZZANI, Laboratorio di matematica nella scuola primaria. Attività percreare competenze, Pitagora, Bologna 2005, 1-10. Pagina 11 su 167 pagine
  12. 12. Roberta Xompero, A scuola con il tangram1.1.2. La risoluzione dei problemiSin dall’inizio della scuola primaria, è opportuno sviluppare i concettimatematici in attività didattiche significative, in cui l’alunno possa essereattivamente coinvolto e quindi motivato ad affrontare e a risolvere problemi.Un’attività didattica viene considerata significativa nel momento in cuiconsente l’introduzione motivata di strumenti culturali della matematica perstudiare oggetti ed eventi attraverso un approccio quantitativo, secontribuisce alla costruzione dei loro significati e se dà senso al lavororiflessivo su di essi.Ecco, allora, perché il ruolo dei problemi viene considerato cruciale nellapratica della matematica: essi vengono considerati come questioni autentiche e significative, legate spesso alla vita quotidiana.I problemi sono quindi “pezzi di mondo” da comprendere: scegliere comecomportarsi in situazioni problematiche sembra essere un veicolo eccellenteper la formazione di concetti.Nella pratica, il bambino che si trova ad affrontare un problema deve: - individuare (da situazioni concrete note all’allievo o proposte dall’insegnante) gli elementi essenziali del problema; - selezionare le informazioni utili per prospettare una possibile risoluzione del problema; - individuare le informazioni necessarie per raggiungere un obiettivo in una situazione problematica (a partire dai dati forniti dal testo o dal contesto); - individuare dati mancanti o sovrabbondanti o contraddittori; - essere consapevole dell’obiettivo da raggiungere in una situazione problematica, del processo risolutivo seguito controllando le soluzioni prodotte; - riflettere sul procedimento seguito e confrontarsi con altre possibili soluzioni; Pagina 12 su 167 pagine
  13. 13. Roberta Xompero, A scuola con il tangram - formalizzare il procedimento risolutivo seguito; - stabilire la possibilità di applicare i procedimenti utilizzati anche in altre situazioni.Nell’ambito di porsi e risolvere problemi, l’errore cessa di avere valenzanegativa, poiché, grazie anche al lavoro cooperativo ed al confronto con icompagni, acquisisce la sostanza di strumento concettuale atto almiglioramento, strategico e di calcolo, delle capacità risolutive dell’alunno.L’insegnante svolge la funzione di mediatore, consentendo all’alunno diconfrontarsi con sempre nuove e significative situazioni problematiche diapprendimento.1.1.3. Il gruppo di apprendimentoAbbiamo già avuto modo di affermare che la classe è gruppo diapprendimento, e lo è perché è la società che l’ha stabilita in questo modo.È anche vero però che, quando parliamo di classe, ci riferiamo ad unorganismo complesso all’interno del quale si intrecciano e influenzanoreciprocamente la struttura istituzionale e quella sub-istituzionale, lerelazioni fra i compagni, quelle fra il gruppo e l’insegnante, le regole e i ruoli8.Il gruppo di apprendimento, che può essere sia l’intera classe che isottogruppi in cui essa viene suddivisa, utilizza il suo capitale di relazioni percostruire conoscenze e quindi contribuire alla crescita culturale e personaledei singoli membri del gruppo (in questa definizione è evidente il rapporto diinterdipendenza fra livello affettivo-relazionale e quello cognitivo delfunzionamento del gruppo).Compito dell’insegnante è gestire e organizzare la vita del gruppo, affinchénon si verifichino deviazioni di tipo economicista o, all’opposto, fusionale,8 S. C. NEGRI, Il lavoro di gruppo nella didattica, Carocci, Torino 2007. Pagina 13 su 167 pagine
  14. 14. Roberta Xompero, A scuola con il tangrammantenendo in equilibrio gli aspetti cognitivo e affettivo-relazionale in mododa creare una vera comunità di apprendimento.Se l’apprendimento è negoziazione di significati culturali e se il mediatore pereccellenza di tale processo è il linguaggio9, l’apprendimento ha perciòcarattere eminentemente sociale, che si crea grazie all’incessantenegoziazione di significati culturali, cioè di conoscenze e pratiche condivisecon il gruppo di appartenenza. Si impara, quindi, attraverso il lavoro comune,che porta alla comunicazione e all’utilizzo sempre più consapevole dellinguaggio.1.1.4. La riflessione sul percorso seguitoLa guida dell’insegnante e lo scambio con i pari favoriscono, a lungo termine,la capacità, per il bambino, di affrontare con fiducia situazioni-problema,rappresentandole in diversi modi, conducendo le esplorazioni opportune earrivando a congetturare varie possibili soluzioni.Questo processo potrebbe portare il bambino stesso ad avere, fin dai primianni della scuola primaria, un controllo sul processo risolutivo e a confrontarei risultati con gli obiettivi, nella consapevolezza che non ci sono procedimentirisolutivi validi in assoluto, ma solo in relazione ad alcune specifichecircostanze e che, quindi, l’errore (un processo risolutivo più o meno vicinoalla reale soluzione del problema) può essere considerato una conquista.L’insegnante ha quindi il compito di favorire nell’alunno la capacità di esporree discutere con i compagni le soluzioni e i procedimenti seguiti, interagendo9 Come spiega Pontecorvo, il linguaggio è un modo per mettere ordine in pensieri,percezioni e azioni che riguardano la realtà; è uno strumento di comunicazione etransazione con gli altri (C. PONTECORVO, La condivisione della conoscenza, La Nuova Italia,Firenze 1993, 5). Pagina 14 su 167 pagine
  15. 15. Roberta Xompero, A scuola con il tangramin prima persona con l’alunno stesso attraverso una continua indaginerelativa alla motivazione di una risposta data, alla scelta di un particolarepercorso, a cosa succede al percorso risolutivo nel caso vengano alteratiparzialmente i dati o nel caso venga tolta o aggiunta una delle ipotesi.Questo perché l’interazione sociale consente al bambino di conoscere lapropria mente e il suo funzionamento attraverso la conoscenza della mentedell’altro10: l’osservazione di strategie e la condivisione di credenze su comefunziona la mente, ha mostrato di orientare i comportamenti dei bambini.Conoscere la propria mente, attraverso la conoscenza della mente dell’altro,porta alla costruzione di ulteriore conoscenza, sia generale, siametacognitiva.A tal proposito, Cornoldi, parlando di metacognizione, propone unadistinzione fra conoscenza metacognitiva e processi metacognitivi dicontrollo.Con la prima, conoscenza metacognitiva , indica le rappresentazioni checiascuno di noi elabora in relazione al funzionamento cognitivo; invece iprocessi metacognitivi di controllo prevedono, accompagnano, pianificano emonitorano il comportamento umano11.In relazione a quanto affermato poco sopra, possiamo ritenere che, grazie alcostante confronto con gli altri, i bambini hanno la possibilità di sviluppareentrambi gli aspetti cui lui fa riferimento.Il lavoro di metacognizione condotto dallo studente (in maniera autonoma ograzie alla guida dell’insegnante), lo porterà a raggiungere quella capacità diimparare ad apprendere che fungerà per lui da guida in tutti gliapprendimenti successivi.10 NEGRI, Il lavoro di gruppo nella didattica, 66-69.11 C. CORNOLDI, Metacognizione e apprendimento, Il Mulino, Bologna 1995 (capitolo 1). Pagina 15 su 167 pagine
  16. 16. Roberta Xompero, A scuola con il tangram1.1.5. La costruzione del pensiero matematicoFin dai suoi primi giorni di vita, il bambino si trova a dover affrontaresituazioni problematiche e fin dai primi giorni egli mostra “competenzematematiche”12 che in seguito sviluppa e approfondisce ciclicamente e condiverso spessore nel corso del tempo: La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese.Rifacendoci a Gallo-Vezzani: Ogni teoria matematica, così come ogni gioco, si basa su uno specifico sistema di regole. *…+ La presa di coscienza delle regole è graduale *…+. Le regole sono capite riprendendole più volte, in modo da eliminare fraintendimenti o interpretazioni errate. *…+ Le regole della matematica prendono senso progressivamente, usandole: comparandole, sperimentandole con problemi, esempi, controesempi, applicandole a situazioni diverse e valutandone le conseguenze13.È per questo motivo che i traguardi per lo sviluppo della competenza altermine della scuola secondaria di primo grado sono presentati comeun’evoluzione di quelli per la quinta classe della scuola primaria (eccone dueesempi). Traguardi per lo sviluppo della competenza Al termine della classe quinta Al termine della classe terza della scuola primaria della scuola secondaria di primo grado L’alunno sviluppa un L’alunno ha rafforzato un12 K. DEVLIN, L’istinto matematico, Raffaello Cortina Editore, Milano 2007, 1-11; D. LUCANGELI, S.POLI, A. MOLIN, L’intelligenza numerica 2, Erickson, Trento 2003, 12-14; G. LAKOFF, R. E. NÙÑEZ, Dadove viene la matematica, Bollati Boringhieri, 2005, 41-48.13 P. GALLO, C. VEZZANI, Mondi nel mondo. Fra gioco e matematica, Mimesis, Milano 2007, 138-139. Pagina 16 su 167 pagine
  17. 17. Roberta Xompero, A scuola con il tangram atteggiamento positivo rispetto atteggiamento positivo rispetto alla alla matematica, anche grazie a matematica e, attraverso esperienze in molte esperienze in contesti contesti significativi, ha capito come gli significativi, che gli hanno fatto strumenti matematici appresi siano utili intuire come gli strumenti in molte situazioni per operare nella matematici che ha imparato siano realtà. utili per operare nella realtà. Utilizza rappresentazioni di dati Ha consolidato le conoscenze teoriche adeguate e le sa utilizzare in acquisite e sa argomentare (ad esempio situazioni significative per sa utilizzare i concetti di proprietà ricavare informazioni. caratterizzante e di definizione), grazie ad attività laboratoriali, alla discussione tra pari e alla manipolazione di modelli costruiti con i compagni.È ancora per questo motivo che gli obiettivi di apprendimento, per ciascunlivello, contengono anche quelli del livello precedente, seppur con un gradomaggiore di complessità rispetto alle situazioni fatte oggetto diconsiderazione e del livello di padronanza dell’alunno.Naturalmente, l’evoluzione dei traguardi e degli obiettivi ha aspetti sia diconsolidamento, sia di approfondimento, il quale, ultimo, richiedeconsapevolezza e simbolizzazione diverse.Per dimostrare quanto affermato, ci serviamo degli obiettivi diapprendimento che troviamo sotto la voce Spazio e figure al termine dellaclasse terza e al termine della classe quinta della scuola primaria e limetteremo a confronto.1.2. Gli obiettivi di apprendimentoVale la pena soffermarsi un istante per alcune considerazioni generali inmerito agli obiettivi di apprendimento.Nella scuola primaria, gli obiettivi di apprendimento in Matematica sono tre: - Numeri - Spazio e figure Pagina 17 su 167 pagine
  18. 18. Roberta Xompero, A scuola con il tangram - Relazioni, misure, dati e previsioni.Ci sembra interessante notare come i temi siano stati titolati con i nomi dioggetti matematici e non di teorie (numeri anziché aritmetica, spazio e figureanziché geometria, relazioni anziché algebra, dati e previsioni anzichéprobabilità e statistica): ciò, probabilmente, allo scopo di valorizzare, nelprimo ciclo di istruzione, gli oggetti con cui gli alunni devono fare esperienza,rispetto alla loro sistemazione teorica, certo da non tralasciare. Unacostruzione di carattere più fortemente teorico è auspicata invece per lamatematica del secondo ciclo di istruzione.Gli obiettivi, invece, sono indicati utilizzando verbi e sono essenzialmenteabilità e competenze, nella cui descrizione sono necessariamente utilizzaticoncetti, la cui conoscenza è, quindi, implicitamente richiesta. Obiettivi di apprendimento in Spazio e figure Al termine della classe Al termine della classe terza della scuola primaria quinta della scuola primaria – Comunicare la posizione di – Descrivere e classificare figure oggetti nello spazio fisico, sia geometriche, identificando elementi rispetto al soggetto, sia rispetto ad significativi e simmetrie, anche al fine altre persone o oggetti, usando di farle riprodurre da altri. termini adeguati (sopra/sotto, davanti/dietro, destra/sinistra, – Riprodurre una figura in base a una dentro/fuori). descrizione, utilizzando gli strumenti opportuni (carta a quadretti, riga e – Eseguire un semplice percorso compasso, squadre, software di partendo dalla descrizione verbale geometria). o dal disegno, descrivere un percorso che si sta facendo e dare – Utilizzare il piano cartesiano per le istruzioni a qualcuno perché localizzare punti. compia un percorso desiderato. – Costruire e utilizzare modelli materiali nello spazio e nel piano come supporto a una prima capacità di visualizzazione. – Riconoscere figure ruotate, traslate e riflesse. – Riconoscere, denominare e descrivere figure geometriche. – Riprodurre in scala una figura assegnata (utilizzando ad esempio la Pagina 18 su 167 pagine
  19. 19. Roberta Xompero, A scuola con il tangram – Disegnare figure geometriche e carta a quadretti). costruire modelli materiali anche nello spazio, utilizzando strumenti – Determinare il perimetro di una appropriati. figura. – Determinare l’area di rettangoli e triangoli e di altre figure per scomposizione.Molti obiettivi fanno riferimento alla necessità che le abilità siano collocate insituazioni concrete, prevedendo così che l’alunno sappia dare unavalutazione consapevole di quando e come utilizzare tali abilità e di qualistrumenti siano i più opportuni a seconda delle finalità e dei contesti; moltialtri, invece, riguardano la comunicazione e l’argomentazione, e quindi lanecessità basilare di riflettere sull’apprendimento per poi renderlo condiviso.L’attenzione pare subito soffermarsi sull’aspetto comunicativo che risultaevidente all’interno degli obiettivi riportati: fin dalle prime classi i bambinidovranno raggiungere apprendimenti significativi grazie alla comunicazione:della propria posizione e della posizione degli oggetti all’interno dello spaziofisico; di un percorso eseguito o da eseguire o far eseguire; dellecaratteristiche delle figure geometriche, che dovrà riconoscere, denominaree descrivere.La realtà circostante, e quindi lo spazio di cui il bambino fa esperienza, sono ilpunto di avvio dello studio della geometria: a partire da essi, infatti, ilbambino sviluppa la capacità di visualizzare mentalmente lo spazio e glioggetti geometrici e di passare quindi dall’oggetto tridimensionale alla suarappresentazione bidimensionale (con un itinerario che va dallo spazio alpiano, per ritornare poi allo spazio stesso).Infine, l’uso di modelli concreti (indicati negli Obiettivi come modellimateriali), del disegno (strumenti appropriati) e della comunicazione tra glialunni intorno a questi modelli, dovrebbe essere un modo per favorire lapercezione dello spazio, la sua organizzazione secondo canoni consolidati e la Pagina 19 su 167 pagine
  20. 20. Roberta Xompero, A scuola con il tangramcapacità di “pensare” lo spazio stesso, garantendo quindi al bambinol’esercizio di una cittadinanza consapevole. Pagina 20 su 167 pagine
  21. 21. Roberta Xompero, A scuola con il tangram2. PROBLEM SOLVING, METACOGNIZIONE, RAPPRESENTAZIONE DELLE CONOSCENZENel capitolo che segue ci occupiano, sia pure in modo rapido e succinto, di treargomenti fondamentali per la preparazione di un insegnante:  il problem solving,  il rapporto fra matematica e metacognizione;  la rappresentazione delle conoscenze.2.1. Il concetto di problemaChe cos’è un problema?Per capire cosa intendiamo quando parliamo di problema, facciamoriferimento a Polya14, il matematico svizzero-statunitense che per lunghi annisi è occupato di didattica e di educazione matematica nella scuola primaria. Abbiamo un problema. Vale a dire che abbiamo una meta A che non possiamo raggiungere immediatamente e che siamo alla ricerca di qualche azione atta a farcela raggiungere. La meta A può essere pratica o teorica, forse matematica – un oggetto matematico (un numero, un triangolo, …) che desideriamo trovare (calcolare, costruire, …) od una proposizione che desideriamo dimostrare. Ad ogni modo, desideriamo raggiungere la nostra meta A.14 G. POLYA, La scoperta matematica I-II, Feltrinelli 1971, 131; 272. Pagina 21 su 167 pagine
  22. 22. Roberta Xompero, A scuola con il tangramFig. 2.1 – Risolvere un problema Avere un problema significa cercare coscientemente un’azione appropriata per ottenere uno scopo chiaramente concepito ma non immediatamente ottenibile.Partendo dalle affermazioni di Polya, ci rendiamo conto che i problemicostituiscono un’esperienza caratteristica della vita quotidiana di ciascuno: inogni momento della giornata, ci si trova a dover affrontare situazioniproblematiche, a voler cioè raggiungere obiettivi/scopi che non sonoottenibili immediatamente ma, per arrivare ai quali, è necessario compiereun’azione in grado di farci pervenire all’obiettivo prefissato (in questo senso,anche il semplice “bere un bicchier d’acqua” può essere individuato comeproblema). Risolvere i problemi è compito specifico dell’intelligenza, e l’intelligenza è il dono specifico dell’uomo. L’abilità di aggirare un ostacolo, di intraprendere una strada indiretta, là dove non si presenta una strada diretta, innalza l’animale intelligente sopra quello ottuso, innalza l’uomo di gran lunga sopra il più intelligente degli animali e gli uomini di talento sopra i loro compagni di umanità.Potremmo addirittura affermare che la risoluzione dei problemi è l’attivitàumana più caratteristica, quella che ha fatto avanzare l’umanità nella storia e Pagina 22 su 167 pagine
  23. 23. Roberta Xompero, A scuola con il tangramche permette ad ogni individuo di crescere e di aumentare il bagaglio deglistrumenti cognitivi necessari per affrontare l’esistenza stessa.2.1.1. Il valore formativo della risoluzione di problemiLa parola ai bambiniCosa pensano i bambini dei problemi?Fig. 2.2 – Cosa pensano i bambini dei problemi Pagina 23 su 167 pagine
  24. 24. Roberta Xompero, A scuola con il tangramEcco cosa hanno raccolto De Candia, Cibinel e Lucangeli nella lorosperimentazione per la pubblicazione del volume Risolvere problemi in 6mosse15.I documenti ministerialiIl valore formativo dei problemi è stato più volte sottolineato all’interno deidocumenti ministeriali relativi all’approccio didattico-educativo della scuolaprimaria.Nei Programmi della Scuola Elementare (1985), la risoluzione di problemisembra essere di pertinenza dell’insegnamento della matematica: basata susituazioni concrete e su esperienze reali del bambino, essa è il mezzofondamentale per l’acquisizione delle nozioni e delle abilità matematiche.Le Raccomandazioni per l’attuazione delle Indicazioni Nazionali per la ScuolaPrimaria, nella parte dedicata alle singole discipline, sviluppano il tema deiproblemi identificandolo come una procedura del pensiero matematico, perla quale non vengono indicate conoscenze o abilità, ma soltanto competenzealle quali l’insegnante deve prestare attenzione, per aiutare i bambini adinteriorizzare un metodo.Le Indicazioni per il curricolo16 considerano la risoluzione dei problemi comeuno strumento a vantaggio dell’evolversi della conoscenza, che permette diacquisire nuovi concetti e abilità e di arricchire di significato concetti giàappresi; la capacità di esporre e discutere con i compagni le soluzioni e iprocedimenti seguiti fanno inoltre di questa attività la base di lancio per unapprendimento costruttivo e, conseguentemente, significativo.15 C. DE CANDIA, N. CIBINEL, D. LUCANGELI, Risolvere problemi in 6 mosse, Erickson, Trento, 2009.Riportiamo affermazioni e disegni tratti dal testo citato.16 Rimandiamo al capitolo 3 per una più diffusa illustrazione. Pagina 24 su 167 pagine
  25. 25. Roberta Xompero, A scuola con il tangramProblemi a scuolaNella prassi didattica però, molto frequentemente, la principale funzione deiproblemi pare essere quella di fornire pretesti per fare esercizi di calcolo.In realtà: Un problema è una situazione che differisce da un esercizio, poiché colui che deve risolverlo non ha a disposizione un procedimento, o algoritmo, che può con certezza condurlo alla soluzione17.In un contesto di assimilazione del problema all’esercizio, il testo/contestodel problema diventa, per l’alunno, qualcosa di superfluo, finendo conl’essere immediatamente dimenticato non appena sono stati identificati inumeri e l’operazione da eseguire con questi numeri: la distanza emotiva deicontenuti proposti dai problemi e la stereotipizzazione18 dei testi deiproblemi scolastici standard, conducono l’alunno a perdere l’abitudine dianalizzare con cura il testo, portando il bambino a seguire le convenzioniscolastiche piuttosto che il reale testo che ha sotto mano. Una grande scoperta risolve un grande problema, ma nella soluzione di qualsiasi problema c’è un pizzico di scoperta. Il tuo problema può essere modesto, ma se stimola la tua curiosità, tira in ballo la tua inventiva e lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi sperimentare la tensione e gioire del trionfo della scoperta.17 La definizione di problema data da Kantowzki è stata tratta da R. BORASI, Che cos’è un problema inwww.alceoselvi.it.18 Gli stereotipi più comuni dei testi dei problemi scolastici possono essere così indicati:il campo di conoscenze in cui cercare la soluzione è definito esplicitamente a priori;si dovranno sicuramente utilizzare le conoscenze scolastiche acquisite precedentemente in quelcampo;bisogna utilizzare tutti i dati e non mancano dati essenziali;la soluzione esiste ed è unica;il testo del problema è scarno (o da scarnificare ad opera del bambino);la difficoltà si misura con le operazioni aritmetiche con cui il problema si risolve;la possibilità di una soluzione per tentativi non è mai contemplata.G. BOLONDI, La matematica quotidiana, Mimesis, Milano 2005, 7-31. Pagina 25 su 167 pagine
  26. 26. Roberta Xompero, A scuola con il tangramFornire un apprendimento significativo, tramite un approccio di tipoproblematico e di scoperta, significa consentire al bambino di andare oltre airigidi schemi imposti dal modello scolastico predominante. Ciò comporta, perlui, il confrontarsi con testi/contesti ricchi, che siano reale rappresentazionedi situazioni problematiche quotidiane, nelle quali i dati importanti arrivanoinsieme ad altri, superflui od insignificanti, con una conseguente necessità didiscernimento e selezione fra di essi.Lavorare con testi ricchi, magari per piccoligruppetti, consente ai bambini di immergersinel testo del problema, di scambiarsi lestrategie nel corso del lavoro e di effettuareverifiche sui risultati parziali. Fig. 2.3 – Scambio di strategie per la risoluzione di problemi2.1.2. Problemi: elementi costitutiviQualsiasi sia il problema che si voglia andare ad affrontare, esso presentaalcuni elementi strutturanti, così classificabili19:19 BORASI, Che cos’è un problema, 5-11. Pagina 26 su 167 pagine
  27. 27. Roberta Xompero, A scuola con il tangramFig. 2.4 – Elementi costitutivi del problemaLa formulazione del problemaLa corretta e precisa definizione di ciò in cui consiste il problema è dettaformulazione del problema.Tale formulazione può essere esplicitata nel testo, sotto forma di specifichedomande a cui rispondere o di compiti da eseguire, oppure demandata a chiaffronta il problema. In questo secondo caso, persone diverse definiranno,verosimilmente, in maniera differente il problema, così che ogniformulazione influenzerà l’intero approccio al problema stesso,condizionandone la soluzione.Il contestoIl contesto indica tutto ciò che viene implicitamente o esplicitamenteespresso nel testo, allo scopo di inquadrare il problema e fornire informazioninecessarie alla sua risoluzione.Il contesto deve sempre far parte del testo del problema; quando la suaformulazione non è precisa, si potrebbe pensare all’esistenza di un maggiornumero di soluzioni reali per il problema stesso. Il suo ruolo dovrebbe, Pagina 27 su 167 pagine
  28. 28. Roberta Xompero, A scuola con il tangramquindi, concentrare su di sé maggiore considerazione di quanta ne vieneinvece dedicata20.Le soluzioni di un problemaIl concetto di risolvibilità è un elemento fondamentale del modo di impostareun problema: i problemi che non ammettono nessuna soluzione, spesso, dalsentire comune, non vengono per nulla considerati problemi.Le diverse formulazioni alternative del problema originale consentono invecedi scoprire cosa può essere considerato come soluzione accettabile di unproblema.I metodi di approccioPer metodi di approccio si intendono i metodi e le strategie che si possonoutilizzare per affrontare la soluzione del problema; essi dipendonoessenzialmente da due fattori: il problema in sé e la preparazione delsoggetto che deve risolverlo.Una generale classificazione dei metodi di approccio al problema è quellasuggerita da Polya:  la regola sotto il naso, quando il problema può essere risolto semplicemente attraverso l’utilizzo di una algoritmo appena studiato;  applicazione con scelta, quando l’algoritmo più adatto deve essere selezionato tra diversi, studiati precedentemente;  scelta di una combinazione, quando per raggiungere la soluzione è necessario combinare in modo opportuno alcuni tra gli algoritmi precedentemente studiati;  vicino al livello di ricerca, quando è richiesta l’elaborazione di un nuovo algoritmo per risolvere il problema dato.20 Si faccia riferimento a quanto affermato sulla distinzione fra problema ed esercizio. Pagina 28 su 167 pagine
  29. 29. Roberta Xompero, A scuola con il tangram2.2. Metacognizione e matematicaPoiché la metacognizione è capace di far luce sullo sviluppo del pensiero, equindi anche sul successo scolastico, essa è divenuta un punto di riferimentoper la spiegazione della complessa dinamica che caratterizza l’apprendimentomatematico. Buone prestazioni in matematica sembrano infatti poter essereimputabili all’insieme delle conoscenze che lo studente acquisisce circa lacognizione (cioè la conoscenza metacognitiva che gli provienedall’osservazione e dalla riflessione sui suoi atteggiamenti metacognitivi) e lasua regolazione (i processi di controllo attraverso cui l’individuo controlla epianifica la propria attività e, conseguentemente, regola il suocomportamento). Cognizione e regolazione, se ben organizzate, costituisconouna vera e propria teoria della mente in grado di guidarlo nel mettere in attocomportamenti strategici con buoni risultati nelle prestazioni.Se è vero che la natura epistemologica della matematica l’ha condotta alpassaggio da disciplina formale e descrittiva a disciplina sostanziale ecostruttiva, è anche vero, perciò, che le conoscenze matematiche sono fruttodi un apprendimento attivo che beneficia del buon livello di metacognizioneposseduto dallo studente impegnato in compiti matematici21.2.2.1. Atteggiamento metacognitivo e apprendimentomatematico: il ruolo di credenze e convinzioniIl sistema di convinzioni e aspettative che il soggetto sviluppa sullamatematica (ma anche su di sé) può avere un ruolo determinante sia nelfacilitare l’apprendimento e la disposizione ad apprendere, sia nell’ostacolaretale disponibilità: l’esistenza di convinzioni, aspettative, intuizioni può21 B. CAPONI, G. FALCO, R. FOCCHIATTI, C. CORNOLDI, D. LUCANGELI, Didattica metacognitiva dellamatematica, Erickson, Trento 2006. Pagina 29 su 167 pagine
  30. 30. Roberta Xompero, A scuola con il tangramconfluire cioè in vere e proprie credenze epistemologiche relative alla naturadella conoscenza che, a loro volta, influenzano il modo di pensare, ragionare,imparare e prendere decisioni dell’individuo22.Ecco le più comuni idee sulla disciplina23:  in matematica influisce maggiormente l’abilità innata e la conoscenza delle regole;  in matematica è più frequente aspettarsi di memorizzare e applicare ciò che si è imparato meccanicamente piuttosto che ciò che si è capito;  la matematica è un’attività solitaria, da svolgere individualmente;  la matematica imparata a scuola ha poco o niente a che fare con la vita reale;  le dimostrazioni formali sono irrilevanti per la scoperta e l’invenzione;e sulla risoluzione dei problemi24:  quello che si deve fare è definito da un singolo quesito che si trova alla fine del testo;  esiste un solo modo giusto per risolvere un problema (in genere, applicare l’ultima regola che l’insegnante ha spiegato in classe);  tutti i problemi possono essere risolti con l’utilizzo di una o più operazioni;  l’ operazione che porta alla soluzione è indicata da una parola chiave che di solito si trova nell’ultima domanda, per cui non è necessario tenere presente l’intero problema;  la risoluzione richiede necessariamente pochi minuti di lavoro;22 D. LUCANGELI, C. CORNOLDI, Metacognizione e Matematica: i processi individuali el’insegnamento/apprendimento in ALBANESE, DOUDIN, MARTIN, Metacognizione ed educazione,205-215.23 Le abbiamo tratte da A. H. SCHOENFELD, Learning to think mathematically: Problem Solving,Metacognition, and Sense-Making in Mathematics inhttp://gse.berkeley.edu/Faculty/AHSchoenfeld/AHSchoenfeld.html#Publications, 69; riportiamodirettamente in traduzione.24 C. CORNOLDI, B. CAPONI, G. FALCO, R. FOCCHIATTI, D. LUCANGELI, M. TODESCHINI, Matematica emetacognizione, Trento 2007 (1995), 13-14 e CAPONI et al., Didattica metacognitiva dellamatematica, 13. Pagina 30 su 167 pagine
  31. 31. Roberta Xompero, A scuola con il tangram  la capacità matematica si identifica nella velocità di esecuzione;  la decisione di controllare la correttezza del lavoro svolto dipende dalla disponibilità di tempo;  la difficoltà di un problema è determinata da: la quantità di numeri presenti; la loro grandezza; la lunghezza del testo; il numero delle domande poste dal problema.L’individuo che utilizza in modo controllato la propria mente, a motivo delleconoscenze e delle opinioni circa il lavoro della sua mente e dellecaratteristiche del compito da affrontare, ha la possibilità di dirigere econtrollare i propri processi di pensiero: i processi di controllo svolgonoperciò funzione di adattamento e hanno il compito di attivare, mantenere ointerrompere l’attività che si sta compiendo, in modo più o menoconsapevole o automatico.1.2.2. Processi di controllo metacognitivoAlcuni fondamentali processi di controllo metacognitivo sono stati individuatida Brown, che ha formulato l’ipotesi dell’esistenza di un sistema mentalesuperordinato capace di controllare la sua efficacia prima, durante e dopol’esecuzione di compiti di apprendimento. Questo controllo strategico, cheprende avvio da una corretta comprensione del compito e delle rispettiverichieste, avviene mediante processi cognitivi di: Pagina 31 su 167 pagine
  32. 32. Roberta Xompero, A scuola con il tangram  previsione del proprio livello di prestazione in un compito specifico, della difficoltà della prova, o del risultato dell’applicazione di una certa strategia;  pianificazione delle operazioni che conducono ad un certo obiettivo; capacità di organizzare le azioni in vista del raggiungimento della meta finale;  monitoraggio e supervisione di un compito già intrapreso;Fig. 2.5 – I processi di controllo25  valutazione della propria prestazione, delle strategie utilizzate, del risultato ottenuto.Il ruolo del linguaggioI processi di autoregolazione, e quindi di autocontrollo, esprimono ilcomplesso rapporto che l’individuo ha con il suo sistema cognitivo e lemodalità concrete di uso di specifiche strategie regolatorie in varie situazionidi apprendimento e di problem solving: essi, infatti, portano il soggetto aselezionare, combinare e coordinare le strategie in modo diverso. Affinchéquesto avvenga, però, è necessario che l’individuo sviluppi un atteggiamentoriflessivo che lo conduca ad attivare un «dialogo interno» con se stesso e loguidi nel controllo consapevole del compito. Tale dialogo privato ed25 Lo schema è tratto da CAPONI et al., Didattica metacognitiva della matematica, materiali per ilconduttore 6. Pagina 32 su 167 pagine
  33. 33. Roberta Xompero, A scuola con il tangramindividuale è tuttavia il risultato di un processo di co-costruzione sociale26.Il linguaggio sociale esterno, che si realizza quando l’individuo interagisce ecoopera con persone a lui vicine (nel caso degli alunni, gli insegnanti e icompagni) che lo portano a riflettere e ad autoregolare il propriocomportamento, viene progressivamente trasferito al controllo interno. Ilprocesso di interiorizzazione è stimolato dalla possibilità di riflettere suquanto si sta facendo, di confrontarsi con gli altri, di chiarire le proprieposizioni difendendole dalle obiezioni altrui, di spiegare in modo che gli altricapiscano quello che si vuole dire27. Tutto ciò mediante l’utilizzo dellinguaggio, mediatore dell’apprendimento.2.3. Problem solving e metacognizione Un problema tipico è quello di trovare la strada per raggiungere un dato posto in un paese poco noto. *…+ Può darsi, oppure no, che questa sia la ragione per la quale la risoluzione di un problema ci sembri assomigliare in qualche modo al trovare una strada: una strada che ci faccia uscire da una difficoltà, una strada che ci faccia girare (superare, ndr.) un ostacolo28.26 A tal riguardo, Vygotskij sosteneva che i comportamenti mentali inferiori venissero gradualmentetrasformati in superiori attraverso l’interazione sociale: egli era infatti interessato alle proprietàtrasformazionali della parola, dalla sua origine sociale al linguaggio egocentrico e, successivamente,al discorso interno. L. DIXON-KRAUSS (a cura di), Vygotskij nella classe, Erickson, Trento 2000 (1996),29.27 Questa può essere riconosciuta, a tutti gli effetti, come costruzione attiva dell’apprendimento daparte dell’individuo (e, nel caso particolare, dell’alunno). L’origine sociale del controllo cognitivoassume maggior valore se la si interseca con il concetto di zona di sviluppo prossimale: lo spaziointermedio fra il livello di sviluppo attuale del bambino, determinato dalla sua capacità di risolvereindipendentemente situazioni problematiche, e il suo livello di sviluppo potenziale, determinatodalla sua capacità di soluzione di problemi con l’assistenza di un adulto o attraverso la collaborazionedi compagni più capaci. Ciò significa che, se la qualità della mediazione dei compagni nei gruppi diapprendimento ha un ruolo strategico nel permettere al soggetto di riflettere ed appropriarsi delleconoscenze, contemporaneamente lo sviluppo delle abilità metacognitive è condizione necessariaper rinforzare la capacità di valutare e quindi di trasferire e di generalizzare una strategia,sviluppando così competenze di ordine superiore.28 POLYA, La scoperta matematica, 131. Pagina 33 su 167 pagine
  34. 34. Roberta Xompero, A scuola con il tangram2.3.1. Problem solvingNei contesti di problem solving29, l’individuo si trova a dover cercare unastrada, a fronteggiare una situazione nuova, che spesso non può risolvere conle consuete modalità. In queste circostanze egli avrà bisogno di attivaredistinti livelli di conoscenza e, quindi, di strategie di controllo. È necessarioinfatti che possegga operazioni e strategie appropriate di soluzione(conoscenza strategica), all’interno di una più generale conoscenza delleprocedure utilizzabili (conoscenza procedurale). Perché esse possanosussistere, è prima di tutto indispensabile una conoscenza/comprensionedegli elementi da modificare (conoscenza dichiarativa), a sua volta sostenutada una capacità efficace di rappresentazione (conoscenza schematica).2.3.2. Problem solving a scuolaI problemi di matematica generalmente affrontati a scuola sono problemiche, attraverso un testo di tipo verbale, per lo più narrativo, presentano uncompito risolvibile tramite strategie, procedure e algoritmi di tipomatematico (dalla letteratura psicologica d’oltreoceano, vengono infatticlassificati come mathematical word problem solving).La capacità di soluzione di tali compiti sembra richiedere abilità cognitive emetacognitive identificabili in alcune componenti principali30:29 Il cognitivismo ha messo in evidenza che la soluzione di problemi non è un processo, o insieme diprocessi, peculiare di situazioni e compiti difficili o problematici, *…+ ma è piuttosto una dimensionecognitiva, che riguarda tutti i compiti, a vari livelli di complessità, in cui un individuo utilizza dei pianie delle strategie per raggiungere un obiettivo (P. BOSCOLO, Psicologia dell’apprendimentoscolastico, UTET, Torino 1997, 336).30 Questa identificazione delle componenti dell’abilità di soluzione dei problemi matematici vieneproposta, facendo riferimento a Polya (G. POLYA, Come risolvere i problemi di matematica,Feltrinelli, Milano 1983 (1957)), negli studi successivi. Nel nostro lavoro abbiamo considerato, inparticolare, G. PERTICONE, Problemi senza problemi, Erickson, Trento 2008 e D. LUCANGELI, M.IANNELLI, E.FRANCESCHINI, G. BOMMASSAR, S. MARCHI, Laboratorio logica, Erickson, Trento 2002. Pagina 34 su 167 pagine
  35. 35. Roberta Xompero, A scuola con il tangram  la comprensione delle situazioni problema, attraverso l’identificazione e l’integrazione delle informazioni verbali ed aritmetiche;  la rappresentazione dello schema matematico;  la categorizzazione della struttura del problema;  la pianificazione delle procedure e delle operazioni;  il monitoraggio e la valutazione finale.Fig. 2.6 – Modello delle componenti dell’abilità di soluzione dei problemi matematici31Le conoscenze metacognitive e i processi di controllo dirigono l’alunno nellapresa di decisioni relative alla scelta di un particolare metodo euristico oalgoritmo (decisioni tattiche), oppure nella gestione del percorso di soluzionescelto e nella distribuzione di risorse (decisioni strategiche) durante ilprocesso di soluzione di un problema32.2.3.3. Decisioni tatticheLe decisioni tattiche riguardano i processi inerenti il livello cognitivo della31 Sebbene la comprensione risulti gerarchicamente sovraordinata a tutte le altre componenti(rappresentazione, categorizzazione, pianificazione ed autovalutazione), queste possono contribuireseparatamente alla soluzione senza bisogno di postulare una qualche dipendenza reciproca. Ciòstarebbe a confermare l’esistenza di profili diversi di difficoltà e di cause cognitive alla base di esse(schema e spiegazione sono tratti da: LUCANGELI et al., Laboratorio logica, 16).32 CAPONI et al., Didattica metacognitiva della matematica, 23-24; LUCANGELI, CORNOLDI,Metacognizione e matematica, 211-212. Pagina 35 su 167 pagine
  36. 36. Roberta Xompero, A scuola con il tangramsoluzione dei problemi. È possibile inserire lo studio di tali processinell’ambito delle teorie dell’Human Information Processing (elaborazionedell’informazione nell’uomo) secondo le quali il processo di soluzione, alivello cognitivo, può essere suddiviso in un certo numero di stadi; all’internodi ogni stadio si possono distinguere vari processi cognitivi, ognunocaratterizzato da un particolare tipo di conoscenza, generale e/o specifica. Intale prospettiva33, il comportamento di soluzione di un problema èun’interazione fra:  un sistema di elaborazione dell’informazione: l’essere umano, che risolve il problema. Si tratta di un sistema che opera serialmente e dispone di strutture di conoscenza e di un repertorio di strategie che lo aiutano a interpretare il problema, a cercare nella memoria le procedure e gli algoritmi disponibili, a mettere in relazione gli elementi di conoscenza, immagazzinati separatamente, per produrre la soluzione;  l’ambiente del compito, cioè il problema, così come viene definito dallo sperimentatore/osservatore. Comprende tutti gli elementi del problema che possono avere consistenza fisica, essere presentati verbalmente o in forma simbolica;  lo spazio del problema, cioè la rappresentazione che l’individuo si crea di quel particolare problema. Dall’ambiente del compito il soggetto ricava delle informazioni che codifica in modo da poterle interpretare in base alle strutture di conoscenza di cui dispone; il tipo di rappresentazione può essere diverso – verbale, iconico, simbolico, etc. - e serve ad attivare differenti tipi di conoscenza e strategie. Lo spazio del problema è prodotto da ciò che il solutore capisce dei dati e33 Sviluppatasi in stretto rapporto con le ricerche sull’Intelligenza Artificiale, essa ha trovatocompiuta sistemazione teorica nell’opera di A. Newell e H.A. Simon (1972) Human Prolem Solving(BOSCOLO, Psicologia dell’apprendimento scolastico, 337-346). Abbiamo fatto riferimento ancheall’articolo H. A. SIMON, A. NEWELL, Human Problem Solving: the state of the theory in 1970, inwww.cog.brown.edu. L’articolo preannuncia le conclusioni emerse dal lavoro edito nel 1972. Pagina 36 su 167 pagine
  37. 37. Roberta Xompero, A scuola con il tangram dell’obiettivo del problema, nonché delle strategie da usare).Partendo dalle considerazioni sviluppate da Polya nel suo testo e dal modelloclassico di Mayer34, consideriamo ora il metodo euristico (quindi dei processicognitivi), mediante il quale lo studente dovrebbe giungere alla risoluzione diun problema.Riprendiamo le tappe già esplicitate al paragrafo precedente35.Le abilità di comprensione Non ha senso rispondere ad una domanda che non si è compresa. È duro lavorare per uno scopo che non si desidera.In tale competenza rientrano abilità più generali di comprensione dei testiverbali e abilità più specifiche di comprensione dello schema matematicovero e proprio.Innanzitutto deve risultare comprensibile l’enunciato del problema: da esso,gli studenti dovrebbero essere in grado di illustrare con facilità il problemastesso e di distinguerne le parti principali (i dati, l’incognita, la relazione fraessi).Secondo il modello proposto da Mayer, la comprensione dei problemimatematici (che lui chiama codifica del problema) corrisponde alla traduzione34 Già citato, POLYA, Come risolvere i problemi di matematica (sue, dal medesimo testo, anche leseguenti citazioni). Myer e collaboratori, nell’ambito della linea teorica che si rifà all’HumanInformation Processing, hanno specificato in maniera più dettagliata tali processi fondamentali (liabbiamo esaminati grazie ai lavori di Passolunghi, (M. C. PASSOLUNGHI, Memoria, metacognizione esoluzione dei problemi, in O. ALBANESE (a cura di), Metacongizione e apprendimento, FrancoAngeli2003; M. C. PASSOLUNGHI, Apprendimento matematico: competenza e disabilità nella soluzione deiproblemi, in «Difficoltà in matematica» 1/1 (ottobre 2004), Erickson) e a LUCANGELI, Laboratoriologica.35 Al paragrafo 1.4.2. (abilità di comprensione, rappresentazione, categorizzazione, pianificazione,monitoraggio e valutazione). Per sviluppare le abilità proposte qui di seguito, Perticone (PERTICONE,Problemi senza problemi) propone di riorientare la didattica dei problemi verso una scelta diversa daquella di svolgere tanti problemi per intero: svolgere moltissimi esercizi di parti del problema,avendo l’accortezza di mantenere l’attenzione del bambino all’interno di una cornice risolutoriagenerale. Pagina 37 su 167 pagine
  38. 38. Roberta Xompero, A scuola con il tangramo decodifica delle informazioni. Mediante questo processo, ogni affermazionecontenuta nel testo del problema viene trasformata da parte del soggetto inuna rappresentazione semantica in memoria: partendo cioè dal testo verbale,il soggetto inizia a costruirsi una rappresentazione interna del problema.Le abilità di rappresentazionePerché la rappresentazione ci sia, ciascuna informazione, semplice ocomplessa, deve essere messa in relazione con tutte le altre, così da ottenereuna rappresentazione cognitiva dell’intera situazione problema (Mayerchiama questa fase integrazione).La capacità di integrazione/rappresentazione sembra cruciale per guidare lascelta della soluzione corretta, ma risulta ancora poco chiaro se si debbatrattare solamente si una rappresentazione interna, cognitiva, o se questapossa anche utilizzare supporti esterni, quali la rappresentazione figurale oschematica delle informazioni stesse36.Le abilità di categorizzazioneLa capacità di rappresentazione è fortemente legata ad un’altra componentecruciale della più generale abilità di risoluzione dei problemi matematici, cioèalla capacità di categorizzazione. Essa, attraverso il riconoscimento dellesomiglianze e delle differenze tra schemi di soluzione, consente di individuarecome simili i problemi che si risolvono nello stesso modo e,36 Nel loro lavoro, Risolvere problemi in 6 mosse, Candia, Cibinel e Lucangeli affermano che ilproblema può essere rappresentato in entrambi i modi: sia attraverso la rappresentazione figurale, ovignetta, sia attraverso la rappresentazione schematica. La prima viene in genere prediletta dairisolutori più piccoli, la seconda dai più grandi.Per essere efficace, la rappresentazione-vignetta deve contenere i dati, la relazione fra i dati e ladomanda; la rappresentazione-simbolica utilizza invece dei simboli, come → ? + } per rappresentaredelle quantità, dei numeri o delle proporzioni. Pagina 38 su 167 pagine
  39. 39. Roberta Xompero, A scuola con il tangramconseguentemente, di riconoscerli come appartenenti alla medesimacategoria. Questa categoria generale cui il problema appartiene, consente diriconoscere la struttura profonda del testo del problema e di riconoscere lo“spazio di quel problema” determinato.L’abilità di categorizzazione è, insieme all’abilità di rappresentazione, unprocesso fondamentale che permette di connettere fra di loro le informazionidel problema e di selezionare quelle rilevanti per giungere alla soluzione. Ilriconoscimento di un modello familiare nel testo proposto facilita gli individuinel rapido accesso alle procedure risolutive.Le abilità di pianificazione Possiamo dire di avere realizzato un piano quando conosciamo, anche solo per linee generali, quali calcoli, computi oppure costruzioni si devono eseguire per ottenere l’incognita. *…+ La compilazione di un piano è l’impresa più ardua nella risoluzione di un problema; essa può procedere per gradi.*…+La pianificazione è la capacità che si rende necessaria, una volta compresi ilproblema e la sua struttura, per elaborare un vero piano d’azione, traducibilein operazioni concrete e di calcolo, nella corretta sequenza risolutoria.Le condizioni necessarie per ottenere successo nella pianificazione sono:essere in grado di generare sotto-obiettivi37 e possedere delle risorsesufficienti nella memoria di lavoro per poter mantenere attiva e facilmentedisponibile la struttura delle mete da raggiungere.Lo sviluppo del piano e le abilità di monitoraggioMalgrado le abilità di monitoraggio, per certi versi, rientrino piùpropriamente fra le abilità metacongitive di risoluzione dei problemi,37 Lo stesso Polya, a tal riguardo, affermava: Se non riesci a risolvere un problema, ce ne sarà uno piùfacile che riesci a risolvere: trovalo. Pagina 39 su 167 pagine
  40. 40. Roberta Xompero, A scuola con il tangrampossono tuttavia essere inserite nell’ambito delle abilità cognitive laddove siapossibile connetterle allo sviluppo del piano e ad un controllo della suaregolare esecuzione passo per passo. Lo sviluppo del piano è un’impresa molto più semplice; richiede soprattutto pazienza e precisione. Il piano fornisce un abbozzo generale; ci si deve convincere che i dettagli rientrano necessariamente in tale traccia e quindi vanno esaminati ad uno ad uno, pazientemente, finché ciascuno di essi risulti perfettamente chiaro e non resti nessun punto oscuro ove possa celarsi qualche errore.Conseguentemente alla pianificazione, ha luogo il processo di esecuzione, incui il solutore identifica quali sono le operazioni per ottenere i differentisotto-obiettivi e le esegue. Per svolgere questa fase è necessario possedere laconoscenza degli algoritmi di calcolo e monitorare il loro utilizzo sequenzialeper giungere alla soluzione del problema.La valutazione finale Persino gli studenti migliori, quando hanno ottenuto la soluzione del problema e hanno copiato in bella il loro esercizio, chiudono il quaderno e passano ad altro. In tale modo essi trascurano una fase del lavoro tanto importante quanto istruttiva. *…+ Nessun problema di matematica si può considerare definitivamente chiuso. Resta sempre qualcosa da dire ancora sopra di esso; con uno studio ed un’applicazione accurati, si può perfezionare qualunque risoluzione e, in ogni caso, si può sempre giungere ad una più profonda comprensione del risultato.Arrivati al termine del problema, è quindi opportuno verificare e perfezionarela risoluzione: una soluzione più semplice o veloce ed intuitiva è semprepreferibile ad un procedimento lungo e difficoltoso. È importante nonlasciare mai negli alunni l’impressione che i problemi di matematica sianoslegati fra loro, e che non vi sia alcun legame fra questi problemi e quelli dialtro genere. A tal riguardo un’attività sempre molto produttiva è spronare gli Pagina 40 su 167 pagine
  41. 41. Roberta Xompero, A scuola con il tangramalunni ad inventare esercizi ai quali sia applicabile il procedimento valido peril problema proposto (problem posing).2.3.4. Decisioni strategicheOltre a questi processi generali, oggetto della ricerca cognitivista, gli studiosiinteressati alla metacognizione hanno sottolineato la necessità, in ognimomento dell’esecuzione di un problema, di tener conto delle abilitàsovraordinate di tipo metacognitivo, che possono influenzare in modocausale la prestazione.La Brown ha individuato una serie di processi di controllo metacognitivo chefavoriscono la corretta esecuzione di una prova:  predizione, cioè la capacità di predire se si ritiene di essere in grado di risolvere il problema;  pianificazione, sviluppare un piano che permetta di raggiungere la soluzione;  monitoraggio, controllare passo dopo passo i vari processi risolutivi;  valutazione, valutare il risultato ottenuto.Schoenfeld ha precisato il ruolo di sei metacomponenti: la decisione sullanatura del problema, la selezione delle componenti per la soluzione, laselezione di una strategia per la combinazione degli elementi, la decisione suuna rappresentazione mentale, la distribuzione delle risorse e il monitoraggiodei processi di soluzione38.Cornoldi39 elenca una lunga serie di processi metacognitivi di controllo: li38 Per entrambi abbiamo fatto riferimento a CORNOLDI, Metacognizione e apprendimento, 309-310;CORNOLDI et al., Matematica e metacognizione, 14, ed (esclusivamente per le spiegazioni inerenti iprocessi di controllo metacognitivi proposti dalla Brown) a PASSOLUNGHI, Memoria, metacognizionee soluzione dei problemi; PASSOLUNGHI, Apprendimento matematico: competenza e disabilità nellasoluzione dei problemi.39 In C. CORNOLDI, Autocontrollo, metacognizione e psicopatologia dello sviluppo, «Orientamenti Pagina 41 su 167 pagine
  42. 42. Roberta Xompero, A scuola con il tangrampresentiamo in una mappa concettuale per poi offrire una panoramica deiprincipali.Fig. 2.7 – I processi metacognitivi di controllo, in relazione alle componenti del problemsolvingProblematizzazioneOssia il riconoscimento dell’esistenza di un problema.La fase dell’identificazione del problema può essere critica, in quanto ilsoggetto può non accorgersi che esiste un problema o non riconoscereesattamente qual è il problema, soprattutto in caso di situazioni naturali,quando i problemi si celano all’interno di contesti complessi, oppure quandoci si trova di fronte a problemi mal definiti.Comprensione e definizione del problema-compitoDopo che il problema è stato identificato e compreso, il solutore devePedagogici», vol. 3 (1990). Noi traiamo tale elenco da IANES, Metacognizione e insegnamento, 23-24;i relativi commenti da CORNOLDI, Metacognizione e apprendimento, 309-322 e CORNOLDI,Matematica e metacognizione, 14-19. Pagina 42 su 167 pagine
  43. 43. Roberta Xompero, A scuola con il tangramdeterminare quali sono gli elementi noti, quali gli sconosciuti e che cosaesattamente viene richiesto: in questo modo sarà così possibile, per lui,definire la difficoltà del problema stesso.Nel caso di problemi mal definiti, la difficoltà consiste nel ridefinire ilproblema, nel definirlo in modi nuovi.Collegamento con compiti similiLa comprensione di un qualunque problema è fortemente aiutata dalrecupero di uno schema di memoria che si riferisca a quel tipo di problema.Attivazione delle conoscenze precedenti coinvolte in queltipo di compitoLo schema di memoria, in connessione con un insieme di idee metacognitivesulle tipologie dei problemi, è ciò che aiuta il soggetto a riconoscere lasomiglianza fra quel problema ed altri svolti in passato o fra problemiproposti in un determinato momento.Integrazione delle varie informazioni provenienti da fontidiverseL’integrazione avviene mediante l’uso di mappe mentali (di vario tipo eformato, funzionali a seconda del tipo di problema proposto), che si basanosulla selezione, reinterpretazione e riorganizzazione degli elementi offerti daltesto del problema.Entra in gioco l’attività iniziale di pianificazione che prevede che gli elementivengano organizzati in un certo modo.I buoni solutori, procedendo nella soluzione del problema, devono teneresotto controllo, aggiornare e controllare il piano iniziale, proponendoalternative differenti da quelle inizialmente previste.Un soggetto con buone abilità metacognitive non è necessariamente quello Pagina 43 su 167 pagine
  44. 44. Roberta Xompero, A scuola con il tangramche pianifica maggiormente, ma quello che sa capire fino a che punto èappropriato pianificare e quando è necessario cambiare piano40.Raccolta e valutazione dei feedbackL’autocontrollo e l’automonitoraggio è facilitato dalla verbalizzazione di cuisarebbe, in parte, una forma di interiorizzazione. Con la tecnica del pensiero avoce alta e la successiva analisi dei protocolli di osservazione, è possibileosservare come, durante l’attività di risoluzione del problema, si realizzino,da parte del soggetto, processi di trasformazione del piano, di orientamento,di monitoraggio, di direzione, di esame e di stimolazione. La verbalizzazione,inoltre, pare migliorare il livello di ragionamento, ma anche l’autoregolazione(coinvolge infatti maggiormente l’attenzione del soggetto, la propensione avalutare l’andamento della prova, …).La self-regulation, inferita dal pensiero ad alta voce, costituisce un buonpredittore della prestazione del soggetto.Definizione del livello di performance atteso. Valutazionedella distanza della soluzione. Valutazione dei risultatifinali.Esiste una grande variabilità negli elementi utilizzati per dare una stima, unavalutazione della soluzione41 in itinere e al termine del percorso.I bambini della scuola primaria utilizzano indici relativi alle loro abilità, ad40 Questo riguarda alcuni aspetti fortemente correlati all’automonitoraggio ed all’autovalutazione: lagenerazione delle alternative per la soluzione del problema; l’esame delle alternative e delle possibilidecisioni; l’applicazione del piano strategico di soluzione scelto; l’inibizione delle alternative che peril momento non si vogliono attivare; gli aggiustamenti del piano che si sta seguendo; la decisione diquando è opportuno sospendere l’esecuzione del piano e la decisione di riprovare o di predisporreun piano strategico alternativo.41 Intesa secondo la duplice accezione data da Polya di soluzione come oggetto che soddisfa allacondizione del problema e di procedimento risolutivo (POLYA, La scoperta matematica I, 142). Pagina 44 su 167 pagine

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