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Investigacion Operativa Aspectos Generales

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Investigacion Operativa Aspectos Generales

  1. 1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA Curso 2003/2004 ASPECTOS GENERALES DE PROGRAMACION LINEAL
  2. 2. Tema 2 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA <ul><li>Introducción. Relación con la Programación Lineal Continua </li></ul><ul><li>Aplicaciones. Medida de la eficiencia productiva mediante modelos de análisis envolvente de datos (DEA). </li></ul><ul><li>Formulación de problemas de programación entera y mixta. Aplicaciones. </li></ul><ul><li>Algoritmos de solución </li></ul><ul><li>Implementación informática </li></ul><ul><li>Estudios de casos reales de aplicación </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Introducción. Programación Lineal Continua </li></ul><ul><li>Objetivos: minimizar o maximizar una función lineal en la presencia de restricciones lineales del tipo desigualdad o igualdad. </li></ul><ul><li>Llamamos “vector factible” al conjunto de valores que satisfacen todas las restricciones. </li></ul><ul><li>Resolución: consiste en encontrar aquel valor del vector factible que minimiza/maximiza la función objetivo “solución óptima”. </li></ul>
  4. 4. Formulación del problema Función objetivo: Max(Min) Z=c 1 x 1 +c 2 x 2 +..+c n x n Restricciones (limitaciones del conjunto de soluciones) s.a a 11 x 1 +a 12 x 2 +..+a 1n x n   = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +..+a 2n x n   = b 2 ................................................. a m1 x 1 +a m2 x 2 +..+a mm x n   = b m Otras restricciones características del tipo de variables x 1 ,x 2 ,...x n  0 Variables de decisión (incógnitas) x j (j=1,2,....n) Recursos disponibles (datos) b 1 ,b 2 ,...b m Coeficientes tecnológicos a ij , c j (i=1,2,..,m: j=1,2,....,n)
  5. 5. Ejemplo1 X 1 cantidad de producto 1 X 2 cantidad de producto 2     Planta Capacidad usada Capacidad disponible   Producto 1 Producto 2   1 2 3 1 0 3 0 2 2 4 12 18 Ganancia 3  5   
  6. 6.     Lupita está preocupada por su sobrepeso y el costo de la comida diaria, ella sabe, que para bajar de peso, debe consumir a lo más, 1350 k c alorías, pero requiere de un mínimo de 500 mgr de vitamina A, 350 mgr . de Calcio, 200 m gr . de proteinas y 150 m gr de minerales. Con los alimentos de la tabla, formula el PL que resolvería la dieta de Lupita. ALIMENTO PORCION VITAM. A CALCIO PROTEINAS MINERALES COSTO KALORIAS LECHE 1 TAZA 105 75 50 35 $ 5 60 HUEVO 2 PIEZAS 75 80 50 15 $ 7 50 ESPINACAS 1 RACION 100   125 78 $ 2   CHULETAS 2 CHULETS 25 10 55   $45 175 PESCADO 1 MOJARRA 150 50 100 50 $60 150 PASTEL 2 REB. 30 05 08   $50 200
  7. 7. Ejercicio 2 La cadena de re s taurantes California, que trabaja 24 h. a l día, ha abierto un nuevo restaurante en Las Palmas , y por ello requiere contratar camareros . El administrador ha dividido las 24 horas en varios turnos. Si cada camarero trabaja 3 horarios consecutivos, formular el problema de P.L. que determin e el mínimo número de camarero s por contratar. Horario mínimo camarero s 0-3 4 3-6 3 6-9 8 9-12 6 12-15 7 15-18 14 18-21 10 21-24 5
  8. 8. Ejercicio 3 U na empresa determinada tiene disponible un millón de euros para invertir. El gerente tiene a su cargo, la díficil tarea de decidir en cuales de los cinco proyectos siguientes desea invertir: Si el elegir un proyecto implica, pagar el costo total del mismo, formular el modelo P.L. que defina la mejor inversión para la empresa. PROYECTO COSTO UTILIDAD 1 500000 325000 2 200000 122000 3 195000 095000 4 303000 111000 5 350000 150000
  9. 9. Métodos de resolución: Método Gráfico Muy fácil de utilizar pero sólo es aplicable a problemas con dos variables. Max Z= X1+1.4X2 S.a X1+0.5X2  6, 0.5X1+X2  6, X1+X2  7 1.4X1+X2  9 X1,X2  0
  10. 10. Resolver gráficamente el problema de P.L del Ejemplo1: Max Z=3x 1 +5x 2 s.a. x 1  4 2x 2  12 3x 1 +2x 2  18 x 1 ,x 2  0
  11. 11. Métodos de resolución: Método Simplex <ul><li>Suposiciones: </li></ul><ul><li>El conjunto formado por las restricciones es convexo </li></ul><ul><li>La solución siempre ocurre en un punto extremo </li></ul><ul><li>Un punto extremo siempre tiene dos puntos adyacentes </li></ul><ul><li>Método: </li></ul><ul><li>Encontrar una solución inicial factible y calcular su valor en la la función objetivo </li></ul><ul><li>Examinar un punto extremo adyacente al encontrado en la etapa 1 y calcular el nuevo valor de Z. Si el Z mejora repetir la etapa 2. Caso contrario examinar otro punto. </li></ul><ul><li>Regla de parada: cuando no existe ningún extremo adyacente que mejore la solución, nos hallamos en el óptimo. </li></ul>
  12. 12. Programación Lineal Entera <ul><li>De aplicación cuando las variables de decisión han de ser enteras (número de personal a contratar). </li></ul><ul><li>Debemos indicar qué variables ha de tomar valores enteros </li></ul><ul><li>El Método Simplex no garantiza un solución factible adecuada al problema </li></ul><ul><li>Algoritmo de Bifurcación y Acotamiento ABA </li></ul><ul><li>Primeramente aplicamos el M. Simplex para obtener una solución inicial. Si esta es entera (final) </li></ul><ul><li>Caso contrario aplicamos ABA: cada iteración de ABA escoge un variable que presenta solución no entera y divide el problema en dos sub-problemas añadiendo a cada uno de ellos una nueva restricción (valor superio/inferior). Cada sub-problema se resuleve aplicando el M. Simplex </li></ul>
  13. 13. Programación Lineal Binaria De aplicación cuando las variables de decisión sólo pueden tomar dos valores Xi (0,1) “Ejercicio 3” Max Z=325x 1 +122x 2 +95x 3 +11x 4 +150x 5 s.a 500x 1 +200x 2 +195x 3 +303x 4 +350x 5  1000 Resolución: Mediante el algoritmo ABA modificado, sujeto a Xi (0,1)
  14. 14. Programación Multiobjetivo En muchas ocasiones, el decisor se enfrenta a situaciones en donde existen varios objetivos a maximizar o minimizar: Ejemplo: Podemos querer maximizar el bienestar de la población minimizando los costes de implantación de una determinada política “ El enfoque multiobjetivo busca el conjunto de soluciones eficientes o pareto óptimas Max Z1=2x 1 -x 2 +95x 3 +11x 4 +150x 5 Max Z2=-x 1 +5x 2 s.a x 1 +x 2  8 -x 1 +x 2  3 x 1  6, x 2  4 , x 1 ,x 2  0
  15. 15. Análisis Envolvente de Datos (DEA)

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