FORMULARIO DE DISTRIBUCIONES DE
             PROBABILIDAD


                                          Jorge M. Galbiati


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DISTRIBUCION BINOMIAL

Funci´n de probabilidad:
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                           n!
              p(x) =              px ...
APROXIMACION POISSON DE LA BINOMIAL.

Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n binomial con par´metros n y p, en-
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DISTRIBUCION POISSON

Funci´n de probabilidad:
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                                 e−λ λx
                          p...
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

Funci´n de probabilidad:
     o
                                          (N −k)!
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APROXIMACION BINOMIAL DE LA HIPERGEOMETRICA

Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n hipergeom´trica con par´metros...
DISTRIBUCION GEOMETRICA

Funci´n de probabilidad:
     o

                       p(x) = p(1 − p)x−1          si x = 1, 2, ...
DISTRIBUCION NORMAL

Funci´n de probabilidad:
     o
                         1            (x − µ)2
            p(x) = √  ...
RELACION CON LA NORMAL ESTANDAR

Los valores de la funci´n de distribuci´n de la normal con par´metros µ y σ 2 se
        ...
FUNCIONES LINEALES DE NORMALES

1.- Si X es una variable aleatoria normal con valor esperado µ y varianza σ 2 , si a
y b s...
DISTRIBUCION JI CUADRADO

Funci´n de densidad:
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                                       1
                     f (x) ...
CONSTRUCCION DE UNA JI-CUADRADO A PARTIR DE NORMALES

1.- Si Z1 , Z2 , ...., Zn son n variables aleatorias normales est´nd...
DISTRIBUCION T DE STUDENT

Funci´n de densidad:
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                        k+1
                   Γ     2           1 ...
APROXIMACION NORMAL DE LA T DE STUDENT

Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n t de student con k grados de libert...
DISTRIBUCION F DE SNEDECOR

Funci´n de densidad:
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                              n+d
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CONSTRUCCION DE UNA F DE SNEDECOR A PARTIR DE DOS
                        JI-CUADRADO

1.- Si X es una variable aleatoria ...
DISTRIBUCION UNIFORME

Funci´n de densidad:
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DISTRIBUCION EXPONENCIAL

Funci´n de densidad:
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                            f (x) = λ · e−λx       si x > 0


Espac...
RELACION ENTRE UNA POISSON Y UNA EXPONENCIAL

1.- Si X es una variable aleatoria Poisson con par´metro λ, que describe el ...
DISTRIBUCION GAMA

Funci´n de densidad: Hay dos formas usuales de parametrizar esta distribuci´n.
     o                  ...
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Casos pa...
RELACIONES ENTRE GAMAS

Lo siguiente se expresa en t´rminos de la primera parametrizaci´n, con el par´metro
              ...
DISTRIBUCION BETA

Funci´n de densidad:
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                          Γ(r + s) r−1
               f (x) =             ...
La funci´n de distribuci´n beta no se puede calcular anal´
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TRANSFORMACION DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

1.- Si X es una variable aleatoria continua con funci´n de densidad fX (...
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Formulario De Distribuciones De Probabilidad

  1. 1. FORMULARIO DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Jorge M. Galbiati p´g. a DISTRIBUCION BINOMIAL 2 DISTRIBUCION POISSON 4 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA 5 DISTRIBUCION GEOMETRICA 7 DISTRIBUCION NORMAL 8 DISTRIBUCION JI-CUADRADO 11 DISTRIBUCION T DE STUDENT 13 DISTRIBUCION F DE SNEDECOR 15 DISTRIBUCION UNIFORME 17 DISTRIBUCION EXPONENCIAL 18 DISTRIBUCION GAMA 20 DISTRIBUCION BETA 23 TRANSFORMACION DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 25 1
  2. 2. DISTRIBUCION BINOMIAL Funci´n de probabilidad: o n! p(x) = px (1 − p)n−x si x = 0, 1, 2, ..., n x!(n − x)! Espacio param´trico: e n ∈ {1, 2, 3, ...} p ∈ (0, 1) Valor esperado: np Varianza: np(1 − p) Funci´n generadora de momentos: o (1 − p + p et )n F(x) p(y) 0 x n y APROXIMACION NORMAL DE LA BINOMIAL Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n binomial con par´metros n y p, o a entonces si n es grande y si p no es ni muy cercano a cero ni muy cercano a 1, la X−np variable aleatoria Z = √(np(1−p)) tiene distribuci´n aproximada normal es’tandar. o En la pr´ctica, si n es grande y p no es ni muy peque˜ o ni muy grande, si se requiere a n la probabilidad acumulada F (x) con F distribuci´n binomial, se puede obtener su o valor aproximado buscando en la tabla normal x − 0,5 − np FN √ (np(1 − p) en que FN es la distribuci´n normal est´ndar. Se puede utilizar, como criterio, las o a condiciones simult´neas n > 30 , np > 5 y n(1 − p) > 5. a 2
  3. 3. APROXIMACION POISSON DE LA BINOMIAL. Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n binomial con par´metros n y p, en- o a tonces si n es grande, y p muy cercano a cero, la variable aleatoria X tiene distribu- ci´n aproximada poisson con par´metro λ = np. o a En la pr´ctica, si n es grande y p cercano a cero, si se requiere la probabilidad acu- a mulada F (x) con F distribuci´n binomial, se puede obtener su valor aproximado o buscando en la tabla poisson x e−λ (λ)y FP (x) = y=0 y! en que FP es la distribuci´n poisson con par´metro λ = np. Se puede utilizar, como o a criterio, las condiciones simult´neas n > 30 y np ≤ 5. a 3
  4. 4. DISTRIBUCION POISSON Funci´n de probabilidad: o e−λ λx p(x) = si x = 0, 1, 2, ... x! Espacio param´trico: e λ ∈ (0, +∞) Valor esperado: λ Varianza: λ e[λ(e −1)] t Funci´n generadora de momentos: o F(x) p(y) 0 x y APROXIMACION NORMAL DE LA POISSON. Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n Poisson con par´metro λ , entonces o a si λ es grande, la variable aleatoria Z = X−λ tiene distribuci´n aproximada normal √ λ o est´ndar. a En la pr´ctica, si λ es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con F a distribuci´n Poisson, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla o normal x−λ FN √ (λ en que FN es la distribuci´n normal est´ndar. Se puede utilizar, como criterio, la o a condici´n λ > 36 . o 4
  5. 5. DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA Funci´n de probabilidad: o (N −k)! k! n!(n−k)! × (n−x)!(N −k−n+x)! p(x) = N! si x = a, a + 1, a + 2, ..., b n!(N −n)! en que a = max(0; n + k − N) y b = min(k, n). x es el n´ mero de ´xitos en la u e muestra. Espacio param´trico: e N,k y n enteros positivos, tales que k < N, n < N y n < N − k. N es el tama˜ o de la poblaci´n. n o k es el n´ mero de ´xitos en la poblaci´n. u e o n es el tama˜ o de la muestra. n nk Valor esperado: N Varianza: nk N (1 − k N ) N −n N −1 Funci´n generadora de momentos: o (N − n)!(N − k)! H(−n; −k; N − k − n + 1; et ) N! pq z p(p+1)q(q+1) z 2 p(p+1)(p+2)q(q+1)(q+2) z 3 donde H(p, q, r, z) = 1 + r 1! + r(r+1) 2! + r(r+1)(r+2) 3! (funci´n hipergeom´trica) o e F(x) p(y) x b y a 5
  6. 6. APROXIMACION BINOMIAL DE LA HIPERGEOMETRICA Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n hipergeom´trica con par´metros o e a k N, k y n, entonces si N es grande y si N no es ni muy cercano a cero ni muy k cercano a 1, X tiene distribuci´n aproximada binomial con par´metros n y p = N . o a 6
  7. 7. DISTRIBUCION GEOMETRICA Funci´n de probabilidad: o p(x) = p(1 − p)x−1 si x = 1, 2, 3, ...b x es el n´ mero de intentos hasta lograr el primer ´xito. u e Espacio param´trico: e p ∈ (0, 1), probabilidad de ´xito en un intento. e 1 Valor esperado: p 1−p Varianza: p2 t Funci´n generadora de momentos: o e p 1−(1−p)et si t < −log(1 − p) F(x) p(y) x b y a 7
  8. 8. DISTRIBUCION NORMAL Funci´n de probabilidad: o 1 (x − µ)2 p(x) = √ exp − para x ∈ (−∞, +∞) (2π) · σ 2σ 2 Espacio param´trico: e media µ ∈ (−∞, +∞) varianza σ 2 ∈ (0, +∞) Valor esperado: µ Varianza: σ2 2 t2 /2) Funci´n generadora de momentos: o e(µt+σ f(y) F(x) 0 x y DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR Es un caso especial de la normal, en que µ = 0 y σ 2 = 1. Funci´n de densidad: o 1 x2 f (x) = √ exp − para x ∈ (−∞, +∞) (2π) 2 Valor esperado: 0 Varianza: 1 2 /2 Funci´n generadora de momentos: o et 8
  9. 9. RELACION CON LA NORMAL ESTANDAR Los valores de la funci´n de distribuci´n de la normal con par´metros µ y σ 2 se o o a obtienen de la tabla de distribuci´n normal est´ndar (en que µ = 0 y σ 2 =1) o a como se muestra a continuaci´n. Por esa raz´n s´lo se entrega la tabla de la normal o o o est´ndar. a Si se requiere la probabilidad acumulada hasta la cuantila x, se efect´ a la transfor- u x−µ maci´n z = σ y se busca la probabilidad asociada a la cuantila z en la tabla de o distribuci´n normal est´ndar. o a Al rev´s, si se quiere saber a qu´ cuantila corresponde una probabilidad acumulada e e dada, F (z), se busca la cuantila z asociada a F (z) en la tabla de distribuci´n nor- o mal est´ndar. Entonces la correspondiente cuantila de la normal con par´metros a a µ y σ 2 es x = σz + µ. 9
  10. 10. FUNCIONES LINEALES DE NORMALES 1.- Si X es una variable aleatoria normal con valor esperado µ y varianza σ 2 , si a y b son constantes, entonces la variable aleatoria a + bX tiene distribuci´n normal, o 2 2 con valor esperado a + bµ y varianza b σ . Como caso particular, la variable aleatoria estandarizada Z = X−µ tiene distribu- σ ci´n normal est´ndar. o a 2.- Si X1 y X2 son variables aleatorias normales (p´g. 50), estad´ a ısticamente inde- pendientes, con valores esperados respectivos µ1 y µ2 , con varianzas respectivas 2 2 σ1 y σ2 , y si a y b son dos n´ meros reales, entonces la variable aleatoria aX1 + bX2 u tiene distribuci´n normal con valor esperado aµ1 + bµ2 y varianza a2 σ1 + b2 σ2 . o 2 2 3.- Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias normales con valor esperado µ, 1 y varianza σ 2 entonces el promedio X= n n i=1 Xi tiene distribuci´n normal con o valor esperado µ y varianza σ 2 /n. TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias estad´ ısticamente independientes, con 2 valor esperado µ y varianza σ y cualquier distribuci´n probabil´ o ıstica, continua o X−µ discreta, entonces si n es grande, la variable aleatoria Z= σ/√n tiene distribuci´n o aproximada normal est´ndar a 10
  11. 11. DISTRIBUCION JI CUADRADO Funci´n de densidad: o 1 f (x) = xk/2−1 e−x/2 si x > 0 2k/2 Γ(k/2) Espacio param´trico: e Grados de libertad k ∈ {1, 2, 3, ...} Valor esperado: k Varianza: 2k k/2 1 Funci´n generadora de momentos: o 1−2t para t < 1/2 f(y) F(x) 0 x y APROXIMACION NORMAL DE LA JI-CUADRADO. Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n ji-cuadrado con k grados de libertad, o X−k entonces si k es grande la variable aleatoria Z = √(2k) tiene distribuci´n aproximada o normal standard. En la pr´ctica, si k es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con a F distribuci´n ji-cuadrado, se puede obtener su valor aproximado buscando en la o tabla normal x−k FN √ (2k) en que FN es la distribuci´n normal est´ndar. Se puede utilizar, como criterio, la o a condici´n k > 200. o 11
  12. 12. CONSTRUCCION DE UNA JI-CUADRADO A PARTIR DE NORMALES 1.- Si Z1 , Z2 , ...., Zn son n variables aleatorias normales est´ndar estad´ a ıstica- mente independientes, entonces la variable aleatoria i=1 Zi2 tiene distribuci´n n o ji-cuadrado con n grados de libertad. 2.- Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias normales con valor esperado µ y −X)2 varianza σ 2 , independientes, entonces la variable aleatoria n (Xiσ2 tiene dis- i=1 tribuci´n ji-cuadrado con n − 1 grados de libertad. o Adem´s esta expresi´n es estad´ a o ısticamente independiente del promedio X. 12
  13. 13. DISTRIBUCION T DE STUDENT Funci´n de densidad: o k+1 Γ 2 1 1 f (x) = ·√ · k+1 para x ∈ (−∞, +∞) Γ k/2 (kπ) x2 2 1+ k Espacio param´trico: e Grados de libertad k ∈ {1, 2, 3, ...} Valor esperado: 0 para k > 1 k Varianza: k−2 para k > 2 Funci´n generadora de momentos: o no existe f(y) F(x) 0 x y VALORES DE PROBABILIDAD MENORES QUE 0.5 Por la simetr´ de la distribuci´n t de student , rige la igualdad F (−x) = 1 −F (x). ıa o Por esa raz´n, la tabla s´lo tiene probabilidades mayores que 0.5, asociadas a cuan- o o tiles positivos. Si se requiere el cuantil asociado a una probabilidad acumulada P menor que 0.5, se ingresa a la tabla el valor de probabilidad acumulada 1 − P ; al correspondiente cuantil x obtenido de la tabla se le pone signo menos, quedando −x como el cuartil requerido. 13
  14. 14. APROXIMACION NORMAL DE LA T DE STUDENT Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n t de student con k grados de libertad, o entonces si k es grande la variable aleatoria X tiene distribuci´n aproximada normal o standard. En consecuencia, si k es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con F distribuci´n t de student, se puede obtener su valor aproximado buscando en la o tabla normal el valor FN (x) , en que FN es la distribuci´n normal standard. Se o puede utilizar, como criterio, la condici´n k > 200 . o CONSTRUCCION DE UNA T DE STUDENT A PARTIR DE UNA NORMAL Y UNA JI-CUADRADO 1.- Si Z es una variable aleatoria normal est´ndar y V es una variable aleatoria a ji-cuadrado con n grados de libertad, ambas estad´ ısticamente independientes, Z entonces la variable aleatoria √(X/n) tiene distribuci´n t de student con n grados o de libertad. 2.- Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias normales con valor esperado µ y varianza σ 2 , estad´ ısticamente independientes, entonces la variable aleatoria √ tiene distribuci´n t de student con n − 1 grados de libertad, en que X es el X−µ o s/ n (Xi −X)2 promedio y s2 = n i=1 n−1 es la varianza muestral. 14
  15. 15. DISTRIBUCION F DE SNEDECOR Funci´n de densidad: o n+d Γ 2 n/2 xn/2−1 f (x) = · n/d · n+d si x > 0 Γ n 2 ·Γ d 2 1+ n x 2 d Espacio param´trico: grados de libertad del numerador n y grados de libertad e del denominador d ambos enteros positivos. d Valor esperado: d−2 para d > 2 2d2 (n+d−2) Varianza: n(d−2)2 (d−4) para d > 4 Funci´n generadora de momentos: o no existe f(y) F(x) 0 x y INVERSION DE LA F DE SNEDECOR Se puede usar la siguiente relaci´n para calcular valores que no aparecen en la tabla: o Si la variable aleatoria X tiene distribuci´n F con n grados de libertad del numerador o y d grados de libertad del denominador, entonces 1/X tiene distribuci´n F, con d o grados de libertad del numerador y n grados de libertad del denominador. Por lo tanto se pueden obtener m´s valores de los que aparecen en la tabla, mediante a 1 en la relaci´n Fn,d (x) = 1 − Fd,n ( x ) en que F es el valor de probabilidad acumulada o de la tabla, el primer sub´ındice corresponde a los grados de libertad del numerador, el segundo a los grados de libertad del denominador. 15
  16. 16. CONSTRUCCION DE UNA F DE SNEDECOR A PARTIR DE DOS JI-CUADRADO 1.- Si X es una variable aleatoria ji-cuadrado con n grados de libertad e Y es una variable aleatoria ji-cuadrado con d grados de libertad, estad´ ısticamente indepen- X/n dientes, entonces el cuociente Y /d tiene distribuci´n F de Snedecorcon n grados o de libertad en el numerador y d grados de libertad en el denominador. e Y /d 2.-Tambi´n X/n tiene distribuci´n F de Snedecor con d grados de libertad en el o numerador y n grados de libertad en el denominador. 16
  17. 17. DISTRIBUCION UNIFORME Funci´n de densidad: o 1 f (x) = si a < x ≤ b b−a Espacio param´trico: e −∞ < a, b < ∞ a<b a+b Valor esperado: 2 (b−a)2 Varianza: 12 Funci´n generadora de momentos: o ebt − eat (b − a)t f(y) 1 b-a F(x) 0 a x b y VALORES DE LA DISTRIBUCION UNIFORME La funci´n de distribuci´n de la uniforme se puede calcular anal´ o o ıticamente mediante la f´rmula o 0 si x ≤ a F (x) = x−a b−a si a < x ≤ b 1 si x > b 17
  18. 18. DISTRIBUCION EXPONENCIAL Funci´n de densidad: o f (x) = λ · e−λx si x > 0 Espacio param´trico: e T asa media de ocurrencia λ > 0 1 Valor esperado: λ 1 Varianza: λ2 λ Funci´n generadora de momentos: o λ−t para t < λ f(y) F(x) 0 x y VALORES DE LA DISTRIBUCION EXPONENCIAL La funci´n de distribuci´n de la exponencial se puede calcular anal´ o o ıticamente me- diante la f´rmula F (x) = 1 − e−λx para x > 0. o 18
  19. 19. RELACION ENTRE UNA POISSON Y UNA EXPONENCIAL 1.- Si X es una variable aleatoria Poisson con par´metro λ, que describe el n´ mero a u de ocurrencias de un fen´meno por unidad de tiempo, entonces la variable aleato- o ria que describe el tiempo entre ocurrencias tiene distribuci´n exponencial con o par´metro λ. En tal caso el par´metro λ es la ”tasa media de ocurrencias” por a a unidad de tiempo, y θ = 1/λ es el ”tiempo medio entre ocurrencias”. 2.- En forma rec´ıproca, si Y es una variable aleatoria exponencial con par´metro a λ, que describe el tiempo entre ocurrencias de un fen´meno, entonces el n´ mero de o u veces que ocurre el fen´meno en una unidad de tiempo, es una variable aleatoria o con distribuci´n Poisson, con el mismo par´metro, que representa la ”tasa media o a de ocurrencias” por unidad de tiempo. 19
  20. 20. DISTRIBUCION GAMA Funci´n de densidad: Hay dos formas usuales de parametrizar esta distribuci´n. o o Primera parametrizaci´n (Par. 1): o λp f (x) = xp−1 e−λx si x>0 Γ(p) Segunda parametrizaci´n (Par. 2): o 1 xp e− θ x f (x) = si x>0 θp Γ(p) Espacio param´trico: e Par. 1: P arametro de escala λ > 0 P arametro de f orma p > 0 Par. 2: P arametro de escala θ > 0 P arametro de f orma p > 0 p Valor esperado: Par. 1: λ Par. 2: pθ Varianza: Par. 1: p λ2 Par. 2: p θ2 Funci´n generadora de momentos: o λ p Par. 1: λ−t para t < λ 1 1 Par. 2: (1−θt)p para t < θ 20
  21. 21. f(y) F(x) 0 x y Casos particulares: 1) Si p=1 (par´metro de forma) entonces la gama se convierte en una expo- a nencial cuyo par´metro es igual al par´metro de escala de la gama, λ (Par. 1) o a a equivalentemente θ (Par. 2). 2) Si p= 1 k , en que k es cualquier n´ mero entero positivo, y si λ= 1 (Par. 1) o 2 u 2 equivalentemente θ=2 (Par. 2) , entonces la gama se convierte en una ji-cuadrado cuyo par´metro grados de libertad es igual a k. a La funci´n de distribuci´n gama no se puede calcular anal´ o o ıticamente, salvo en casos especiales. 21
  22. 22. RELACIONES ENTRE GAMAS Lo siguiente se expresa en t´rminos de la primera parametrizaci´n, con el par´metro e o a λ . Es equivalente para la segunda parametrizaci´n, con el par´metro θ. S´lo se debe o a o sustituir λ por θ. 1.- Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias gama estad´ ısticamente indepen- dientes, con par´metros de forma respectivos p1 , p2 , ...., pn , y con par´metro de a a n escala com´ n λ, entonces la variable aleatoria Y = i=1 Xi tiene distribuci´n gama u o n con par´metro de forma p = i=1 pi y par´metro de escala λ. a a 2.- Si X1 y X2 son variables aleatorias gama estad´ısticamente independientes, con par´metros de forma respectivos p1 y p2 y par´metro de escala com´n λ en- a a u X1 tonces las variables aleatorias U=X1 + X2 y V = X1 +X2 son independientes, U tiene distribuci´n gama con par´metro de forma p1 + p2 y de escala λ , y V tiene o a distribuci´n beta (p´g. 104) con par´metros r = p1 y s = p2 . o a a 3.- Caso especial de 1. Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias exponenciales estad´ısticamente independientes, con par´metro com´n λ, entonces la variable a u n aleatoria Y = i=1 Xi tiene distribuci´n gama con par´metro de forma p = n y o a par´metro de escala λ. a A esta forma especial de gama, con par´metro de forma entero, se le suele dar el a nombre de distribuci´n erlang. o 4.- Caso especial de 1. Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias ji-cuadrado estad´ ısticamente independientes, con par´metros respectivos (grados de liber- a tad) k1 , k2, ...., kn , entonces la variable aleatoria Y = n Xi tiene distribuci´n ji- i=1 o n cuadrado con k = i=1 ki grados de libertad. 22
  23. 23. DISTRIBUCION BETA Funci´n de densidad: o Γ(r + s) r−1 f (x) = x (1 − x)s−1 si 0<x<1 Γ(r) Γ(s) Espacio param´trico: e r>0, s>0 r Valor esperado: r+s rs Varianza: (r+s)2 (r+s+1) Momentos: La funci´n generadora de momentos no tiene una forma o anal´ ıtica. Sin embargo, el momento m-´simo puede obtenerse directamente, medi- e ante la f´rmula o µm = (r+s+1)! (r+m)! (r+s+m+1)! r! para m=1, 2, .. f(y) f(y) F(x) F(x) 0 x 1 y 0 x 1 y En la figura de la izquierda, r < s, mientras que en la figura de la derecha, r > s. Si r y s son iguales, la densidad es sim´trica. e 23
  24. 24. La funci´n de distribuci´n beta no se puede calcular anal´ o o ıticamente, salvo en casos especiales. Caso particular: Si r=1 y s=1 entonces la beta se convierte en una uniforme con par´metros a=0 a y b=1. 24
  25. 25. TRANSFORMACION DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 1.- Si X es una variable aleatoria continua con funci´n de densidad fX (x) y g() es o una funci´n creciente, entonces la nueva variable aleatoria Y = g(X) tiene funci´n o o de densidad dada por la f´rmula o 1 fY (y) = f [g −1(y)] |g [g −1 (y)]| X en que || denota el valor absoluto, g es la derivada y g −1 es la inversa de la funci´n o g. 2.- Caso especial de 1. Si la funci´n g(x) del p´rrafo 1 es una funci´n lineal o a o g(x) = a + bx, en que a y b son constantes, b = 0, entonces la variable aleatoria Y = g(X) tiene densidad 1 fY (y) = f y−a ) |b| X b 25

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