Este documento presenta conceptos básicos de geometría como punto, línea, recta, superficie y plano. Explica la medida de ángulos en grados, minutos y segundos. Describe tipos de ángulos como agudos, rectos y obtusos. También cubre conceptos como ángulos complementarios, suplementarios y bisectriz de un ángulo.

1. UNIDAD DE GEOMETRIA  Conceptos iniciales tales como: punto, línea, recta, superficie, plano y relaciones entre estos.  Rayo, trazo, ángulo, medida de un ángulo  Sistema sexagesimal, grados minutos y segundos.  Clasificación de los ángulos según su medida.  Complementos y suplementos de ángulos.  Angulos congruentes, bisectriz de un ángulo.

2. Unidad de geometría : La palabra geometría procede del griego, siendo su significado textual "medida de la tierra". Estudiada por los egipcios, chinos, babilonios, romanos y griegos destacándose entre estos últimos la labor de Thales (600 A.C.), Pitágoras (540 A.C.), Platón (390 A.C.), Aristóteles (350 A.C.) y Euclides (325 A.C.) siendo este último el quien en su libro "Los Elementos" recopila, sistematiza los hallazgos y principios fundamentales de la geometría; texto extraordinario que se ha utilizado durante más de 2.000 años. Actualmente geometría se define como el estudio de las figuras planas y del espacio.

3. Espacio : Conjunto de todos los puntos. IE = {A,B,C,........} Términos no definidos en la geometría : a) Punto : El punto sólo tiene posición, no tiene ni longitud, ni anchura ni espesor, el que se designa por medio de una letra mayúscula colocada en las proximidades de este. · A Desde un punto de vista conjuntista, los puntos son los elementos del espacio.

4. b) Línea : Conjunto parcial de puntos determinados por el desplazamiento de un punto, las que pueden ser recta, curvas o combinaciones de estas, siendo toda línea un subconjunto del espacio. La línea recta o simplemente recta es la determinada por el desplazamiento de un punto que se mueve siempre en la misma dirección . La línea curva es la determinada por el desplazamiento de un punto que cambia permanentemente de dirección. La línea mixta es la determina-da por partes rectas y curvas. L

5. c) La superficie : Conjunto parcial de puntos que se puede representar por una de las caras de una caja, o la parte exterior de una esfera, es decir pueden ser planas o curvas, siendo en consecuencia un subconjunto del espacio. Una superficie plana o simplemente plano es tal que dos puntos cualquiera de esta determinan una recta la que descansa completamente sobre este; plano el que se representa por ejemplo por medio de una pared lisa. De no cumplirse la condición anterior, la superficie es curva . La geometría plana , estudia las figuras planas, es decir las que pueden dibujarse sobre una superficie plana.

6. Algunas relaciones importantes : (a) Por un punto pasan infinitas rectas. (b) Dos puntos determinan una única recta. (c) Si L 1 y L 2 son dos rectas; estas pueden intersectarse, se paralelas o cruzarse.

7. (d) Si P y Q son dos planos, estos pueden ser paralelos o intersectarse; en este caso la intersección es una recta. (e) La intersección de una recta con un plano puede ser un punto, la misma recta si es que esta está contenida en el plano o vacía si es paralela al plano. L

8. Subconjuntos de una recta : (a) Rayo : Parte de una recta limitada por un punto de esta. (b) Trazo : Parte de una recta limitada por dos puntos de esta.

9. Ejercicio : En la siguiente figura se tiene que: Notar que: =  = {A} {B} {C} A B C AB BA AB BA AB BA AB  AC = AB  BC = AC  BC = Rectas: Rayos: Trazos: AB , AC , BC AB , BA AC , CA BC , CB AB , AC , BC

10. 3u Hay distintas unidades de medida de ángulos, las que dependen del sistema de medición de ángulos que se emplee. Angulo : Es la figura formada por la unión de dos rayos que tienen un extremo común. Medida de un ángulo : Consiste en ver cuantas veces una unidad está contenida en este; así en la siguiente figura, se tiene que: La unidad "u" está contenida tres veces en el AOB , luego la medida de este ángulo es " ".

11. Sistema sexagesimal : En este sistema la circunferencia se divide en 360 partes iguales, donde cada una de estas partes es una unidad llamada grado; en consecuencia la circunferencia está dividida en 360 grados (360 o ), donde cada grado es igual a 60 minutos (60') y cada minuto es igual a 60 segundos (60"); luego: 1° = 60’ 1’ = 60” 1º = 3.600” Para transformar de una unidad mayor a otra menor se debe de multiplicar, a diferencia de transformar una unidad menor a otra mayor donde se debe de dividir por la equivalencia respectiva.

12. Ejercicios : 1) Transformar de la unidad dada a la pedida: (a) 5 o a minutos: (b) 420' a grados: (c) 12' a segundos: (d) 840" a minutos: (e) 3 o a segundos: (f) 18.000" a grados: 5 · 60 = 300’ 420 : 60 = 7° 12 · 60 = 720” 840 : 60 = 14’ 3600·3= 10800” 18.000:3600= 5°

13. Clasificación de los ángulos según su medida : (a) Angulo Agudo : Es aquél que mide más de 0 o y menos de 90 o . (b) Angulo Recto : es aquél que mide 90 º o  /2 radianes. (d) Angulo Cóncavo : Es aquél que mide menos de 180 o ; en consecuencia los ángulos agudos rectos y obtusos son cóncavos. (c) Angulo Obtuso : Es aquel que mide más de 90 o y menos de 180 o .

14. (e) Angulo Extendido : Es aquél que mide 180 o o  radianes. (f) Angulo Convexo : Es aquél que mide más de 180 o y menos de 360 o. (g) Angulo Completo : Es aquél que mide 360 o o 2  radianes. Nota :  rad = 180º

15. Ejercicio : En base a la siguiente figura, indique que ángulos se forman y el tipo de ángulo que son: Agudo - cóncavo Recto - cóncavo Extendido Agudo - cóncavo Obtuso - cóncavo Recto - cóncavo O A D B C AOB: AOC: AOD: BOC: BOD: COD:

16. Angulos Complementarios : Dos ángulos son complementarios, cuando la suma de sus medidas es 90°. Ejemplo : Un ángulo de 40° con otro de 50° son complementarios ya que 40° + 50° = 90° Complemento de un ángulo : Es lo que le falta a un ángulo para medir 90°. Ejemplo : El complemento de un ángulo de 67° es otro ángulo de 23° y viceversa. El complemento de un ángulo de medida  es (90° -  ). Nota :

17. Angulos Suplementarios : Dos ángulos son suplementarios, cuando la suma de sus medidas es 180°. Ejemplo : Un ángulo de 70° con otro de 110° son suplementarios ya que 70° + 110° = 180° Suplemento de un ángulo : Es lo que le falta a un ángulo para medir 180°. Ejemplo : El suplemento de un ángulo de 124° es otro ángulo de 56° y viceversa. El suplemento de un ángulo de medida  es (180° -  ). Nota :

18. Ejercicios : 1) Calcular el complemento de cada uno de los siguientes ángulos de medida: a) 27° 36’ 45” b) 57° 29’ c) 76° 21” 89º 59’ 60” 27º 36’ 45” 62º 23’ 15” 89º 59’ 60” 76º 21” 13º 59’ 39” 89º 60’ 57º 29’ 32º 31’

19. 2) Calcular el suplemento de cada una de los siguientes ángulos de medida: a) 128° 16’ 42” b) 73° 37’ c) 143° 31” 179º 59’ 60” 128º 16’ 42” 51º 43’ 18” 179º 59’ 60” 143º 31” 36º 59’ 29” 179º 60’ 73º 37’ 106º 23’

20. 3) Indique si son complementarias o suplementarias las siguientes parejas de ángulos: a) 38° 27’ 32” 51° 32’ 28” b) 74° 59’ 12” 105° 48” c) 53° 59’ 42” 36° 18” d) 87° 52’ 29” 92° 7’ 31” + + + + 89º 59’ 60” 89º 60’ 90º 89º 59’ 60” 89º 60’ 90º 179º 59’ 60” 179º 60’ 180º 179º 59’ 60” 179º 60’ 180º Complementarios Complementarios Suplementarios Suplementarios

21. Ejercicios : 1) Determine dos ángulos complementarios, tales que el mayor exceda al triple del menor en 18°. 2) Determine dos ángulos suplementarios tales que al dividir el mayor por el menor, el cuociente sea 3. Mayor: Menor: x 90-x x = 3(90 - x) + 18 x = 270 - 3x + 18 x + 3x = 270 + 18 4x = 288 /:4 x = 72º Mayor: Menor: x = 90-x = 90-72= 18º 72º Mayor: Menor: x 180-x x : (180 - x) = 3 x = (180 - x)·3 x = 540 - 3x 4x = 540 /:4 x = 135º Mayor: Menor: x = 180-x = 180-135= =45º 135º

22. 3) El suplemento de un ángulo, disminuido en su complemento, equivale al triple de tal ángulo. Determine la medida de tal ángulo. Angulo: x Complemento = Suplemento = 90º - x 180º - x 180º - x - (90º - x) = 3x 180º - x - 90º + x = 3x 90 = 3x /:3 30º = x

23. 2) Calcular “x” en cada una de las siguientes figuras: 180º - 76º 104º 104º 33º 90º - 57º 33º 104º= 33º x = x = 76° x a) b) 57° x

24. 25º +32º 57º 37º +51º 88º 90º -57º 33º 180º - 88º 92º 33º 92º x = x = x 37° 51° d) 25° 32° x c) = 92º 33º =

25. Angulos Congruentes : Dos ángulos son congruentes, si y sólo si estos poseen igual medida; luego:  A O B  ’ A’ O’ B’ ( AOB  A’O’B’)  (  =  ’ )

26. Bisectríz de un ángulo: Es aquél rayo que posee como extremo el origen del ángulo dividiéndolo en dos ángulos congruentes; es decir de igual medida.   =  Ejercicios : B   A C O Si OC bisectriz del AOB  AOC  BOC Si OC es bisectriz del AOB; calcular la medida de los ángulos indicados en:

27. 26º 26º 34º 17º 52º:2=26º 34º =17º =26º =26º Ejercitación : O A C B 52° x y (a) x = y = (b) A C B x y 17° O x = y =

28. 180 -72 108 108:2=54º 54º 54º 180 -72 108 36º 108º =36º 72º 108º= 108º =54º x = y = x = y = (c) O B A x 72° y D C (d) O A C B D x 36° y 54º =

29. 180 -156 24 180 - 48 132 =24º 24º 48º 132º= 24º 132º 45º 135º 45º =45º =45º 135º= (e) O A C B D x 156° y (f) x y z O B D C A x = y = x = y = z =

30. (g) (h) 90 -23 67 67º 67 -23 44 44º= 67 -67 134 134º 180 -134 46 46º= 67º 44º 46º 180 -145 35 180 - 35 145 35º 35º= =145º 90 - 35 55 35º 55º 145º O A C B 23º x z y D E 145º O A B C y x z D E x = y = z = x = y = z = 67º = 55º =

31. 2) Expresar en función de  : =180-   + x = 180º x = 180º-  y + 90 =  y =  - 90º  - 90º=  + x = 90º x = 90º-  =90-  y + 90 -  = 180º y = 180º - 90 +  y = 90 +  90º+  = z +  = 180º z = 180º-  180-  =  x y O A D B C 3) Expresar en función de  :  x y z A B O C D

32. UNIDAD DE GEOMETRIA  Conceptos iniciales tales como: punto, línea, recta, superficie, plano y relaciones entre estos.  Rayo, trazo, ángulo, medida de un ángulo  Sistema sexagesimal, grados minutos y segundos.  Clasificación de los ángulos según su medida.  Complementos y suplementos de ángulos.  Angulos congruentes, bisectriz de un ángulo.