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LIMITE DE FUNCIONES INDETERMINADAS

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ingeniería de sistemas

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LIMITE DE FUNCIONES INDETERMINADAS

  1. 1. LIMITES INDETERMINADOS E INFINITOS
  2. 2. TABLA DE CONTENIDO • Límites indeterminados. • Límites infinitos
  3. 3. Solución lim 𝑋→2 𝑥 − 2 𝑥2 − 4 = 2 − 2 22 − 4 = 0 0 LIMITES INDETERMINADOS Un límite indeterminado es aquel que al ser evaluado en el punto dado la solución es una indeterminación, a/0 está indeterminación se da cuando en el denominador el resultado es 0 y es una indeterminación debido que la división por cero no es posible. Ejemplo 1. Halle: lim 𝑋→2 𝑥−2 𝑥2−4 Como vemos este límite es una indeterminación por que su resultado es 0/0
  4. 4. Para solución indeterminaciones en los limites, los que se debe es aplicar elementos algebraicos como la factorización y la racionalización, los cuales van a permitir transformar la expresión o simplificarla, de tal forma que al volver a evaluar el limite, la indeterminación ya no existe. Solución al ejemplo anterior lim 𝑋→2 𝑥 − 2 𝑥2 − 4 = lim 𝑋→2 𝑥−2 (𝑥+2)(𝑥−2) Se factoriza el denominador = lim 𝑋→2 1 𝑥+2 Se simplifica la expresión = 1 2+2 se evalúa el límite 1 4 se halla el límite de la expresión
  5. 5. Ejemplo 2. Halle el limite de la siguiente expresión lim 𝑋→𝑜 𝑥2−2𝑥 𝑥 Se plantea eliminar la indeterminación por factorización lim 𝑋→𝑜 𝑥2 − 2𝑥 𝑥 = lim 𝑋→𝑜 𝑥(𝑥−2) 𝑥 factorizamos el numerador = lim 𝑋→𝑜 𝑥 − 2 Se simplifica la expresión = 0 - 2 Se evalúa el límite = -2 se halla el resultado del limite lim 𝑋→𝑜 𝑥2−2𝑥 𝑥 = 02 −2 0 = −2 0 Se evalúa el limite y se obtiene indeterminación
  6. 6. Ejemplo 3. Halle el limite de la siguiente expresión lim 𝑋→2 𝑥2−4 𝑥−2 Se plantea eliminar la indeterminación por factorización y racionalización lim 𝑋→2 𝑥2 − 4 𝑥 − 2 = lim 𝑋→2 (𝑥−2)(𝑥+2) 𝑥−2 . 𝑥−2 𝑥−2 factorizamos el numerador y se racionaliza el denominador = lim 𝑋→2 (𝑥−2)(𝑥+2) 𝑥−2 ( 𝑥−2)2 Se multiplican los denominadores = lim 𝑋→2 (𝑥−2)(𝑥+2) 𝑥−2 𝑥−2 Se simplifica el radical en el denominador = lim 𝑋→2 (𝑥 + 2) 𝑥 − 2 Se simplifica la expresión x-2 en el numerador y el denominador = (2 + 2) 2 − 2 se evalúa el limite =4( 0) = 0 se halla el resultado del limite lim 𝑋→2 𝑥2−4 𝑥−2 = 22 −4 2−2 = 4−4 2−2 = 0 0 = 0 0 Se evalúa el limite y se obtiene indeterminación
  7. 7. Ejemplo 4 Halle el limite de la siguiente expresión lim 𝑋→3 𝑥2−7𝑥+12 𝑥 −3 lim 𝑋→3 𝑥2−7𝑥+12 𝑥 −3 = 32−7(3)+12 3 −3 = 9−21+12 9 = 0 0 lim 𝑋→3 𝑥2−7𝑥+12 𝑥 −3 = lim 𝑋→3 (𝑥−4)(𝑥−3) 𝑥 −3 = lim 𝑋→3 𝑥 − 4 = 3 – 4 =- -1
  8. 8. LIMITES INFINITOS Un límite es infinito cuándo la función crece o decrece infinitamente para un punto de la función Ejemplo 5 Analizar la función 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 −2 la cual se analiza para x= 2, de la que se obtiene la siguiente grafica Grafica realizada con el programa graphmatica para Windows Se observa como la función crece sin limite cuando x tiene a 2 por la derecha y como decrece sin limite cuando la función tiene a 2 por la izquierda
  9. 9. En la función 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 −2 se evalúan los limites laterales de la función en el punto x= 2, de donde tenemos lim 𝑥→2+ 1 𝑥 − 2 = ∞, 𝑜 lim 𝑥→2− 1 𝑥 − 2 = − ∞ Lo que nos indica que este limite no tiene una solución real, por ello es un limite infinito o indeterminado.
  10. 10. Ejemplo 6 Analizar la función 𝑓 𝑥 = 1 𝑥2−4 la cual se analiza para x= ±2, de la que se obtiene la siguiente grafica Grafica realizada con el programa graphmatica para Windows Se observa como la función crece o decrece sin limite cuando x tiene a ± 2 por la izquierda y/o por la derecha.
  11. 11. En la función 𝑓 𝑥 = 1 𝑥2−4 se evalúan los limites laterales de la función en el punto x= ± 2, de donde tenemos lim 𝑥→2 1 𝑥2 − 4 = 1 22−4 = 1 4−4 = 1 0 lim 𝑥→−2 1 𝑥2 − 4 = 1 (−2)2−4 = 1 4−4 = 1 0
  12. 12. BIBLIOGRAFIA • Calculo; Jorge B. Thomas Jr; ISBN Ebook: 9786073201650, • Calculo Diferencial, Jorge Luis Gil Sevilla; Ebook: 9786073219495 • Introducción al cálculo diferencial; Garcia, Gomez y Larios; Ebook: ISBN 9781449227180 • Cálculo diferencial e integral; Luna, Mena, Violeta; Ebook: ISBN 9781456217433 • Cálculo diferencial; Camacho, Alberto; Ebook: ISBN 9788499690971

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