Ejercicios estadistica inferencial

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ejercicios resueltos de estadistica inferencial y resumen teórico
2º Bachillerato de CCSS

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Ejercicios estadistica inferencial

  1. 1. EJERCICIOSDEESTADÍSTICA© Inmaculada Leiva Tapia IES Alborán
  2. 2. 2DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES.TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE.APLICACIONES.
  3. 3. 3Teorema central del límitePractica
  4. 4. 4Consecuencias del TCL
  5. 5. 5Control de las medias muestrales
  6. 6. 6Control de la suma de todos los individuos de la muestraPractica
  7. 7. 7EJERCICIO 1:Los parámetros de una variable estadística son: media µ = 16,4,y desviacióntípica σ = 4,8 .Se extrae una muestra de n = 400 individuos.a) ¿Qué distribución siguen las medias muestrales x extraídas aleatoriamentede la población?Justifica la respuesta.b) Halla el intervalo característico para las medias muestrales x correspondientesa una probabilidad p = 0,99c) Calcula P(16 < x < 17)
  8. 8. 8Solución a):
  9. 9. 9Solución b):
  10. 10. 10Solución c):
  11. 11. 11EJERCICIO 2:Los sueldos x (en euros),de los empleados de una fábrica se distribuyenN(1200,400).a)¿A qué distribución se ajusta la variable “suma de los sueldos” en las muestrasde tamaño 25 extraídas aleatoriamente de la población?Justifica la respuesta.b) Elegida al azar una muestra de 25 individuos, ¿cuál es la probabilidad de quela suma de sus sueldos sea superior a 35000 €?c) Halla el intervalo característico para las sumas de los sueldos de 25 individuoscorrespondientes a una probabilidad del 0,9.
  12. 12. 12
  13. 13. 13ESTIMACIÓN DE LA MEDIA
  14. 14. 14La fórmula E = zα/2 ·σ/√n relaciona las tres variables.Siempre se fijan dos de ellas,y se calcula la tercera;por ello hay tres tipos de ejercicios:Conocidos (1 – α) , n ==> E ?Conocidos (1 – α) , E ==> n ?Conocidos E , n ==> (1 – α) ?Intervalo de confianza para estimación de la media
  15. 15. 15EJERCICIO :Sea x una variable aleatoria que se distribuye normal,con media desconocida μy desviación típica σ = 4.Tomamos una muestra de tamaño n = 22,en la que seobtiene una media muestral x = 5.a) Halla el intervalo de confianza para estimar la media de la población,con unnivel de confianza del 82,62%.b) Si queremos reducir el error para que sea menor o igual que una décima,manteniendo el nivel de confianza al 82,62%,¿hasta qué valor habrá queaumentar el tamaño mínimo de la muestra elegida para realizar la estimación?c) ¿Cuál sería el nivel de confianza con que haríamos la estimación utilizandomuestras de tamaño 22,y admitiendo como error máximo una décima?¿Interesaría hacer la estimación en tales condiciones?
  16. 16. 16Intervalo de confianza para estimación de la media:1) Hallar el error máximo admisible E
  17. 17. 17Intervalo de confianza para estimación de la media:2) Hallar el tamaño n de la muestra
  18. 18. 18PracticaIntervalo de confianza para estimación de la media:3) Hallar el nivel de confianza (1 - α)
  19. 19. 19DISTRIBUCIÓN DE LASPROPORCIONES MUESTRALES
  20. 20. 20Sea una población donde p es la proporción de individuos que posee una determinadacaracterística C.Tomamos muestras del mismo tamaño n.En cada una de esas muestrashabrá una proporción pr de individuos con C.¿Cómo se distribuye la variable pr?Distribución de las proporciones muestralesDemostración:Si x = nº individuos en cada muestra de tamaño n con la característica C, x es B(n,p).Si además np ≥ 5 y nq ≥ 5,entonces: x es B(n,p) ≈ N(np ,√npq).Si pr = proporción de individuos de la muestra con la característica C,entonces pr = x/ny,por tanto,la distribución de pr es como la de x,pero con los parámetros media y desv.típica divididos por n: pr es N(np/n ,√npq/n) = N(p ,√pq/n)PROPOSICIÓN:si np ≥ 5 y nq ≥ 5, entonces la proporción pr de individuos con la característica C en lasmuestras de tamaño n,es una variable estadística que sigue una distribución normal demedia p y de desviación típica √pq/n:np ≥ 5 y nq ≥ 5 ==> pr es N(p ,√pq/n )
  21. 21. 21Control de las proporciones muestrales
  22. 22. 22ESTIMACIÓN DE LA PROPORCIÓN
  23. 23. 23Intervalo de confianza para estimación de la proporciónSe desea estimar la proporción p de individuos de una población con una característica C.Se toma una muestra aleatoria de tamaño n,y se obtiene en ella la proporción muestral pr.Si n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5,y además la muestra es grande (n ≥ 30), entonces el intervalo deconfianza para la estimación de la proporción p en la población,con un nivel deconfianza de (1 – α) ·100% , es el intervalo simétrico centrado en pr:( pr – E, pr + E) = ( pr - zα/2 ·√pr·(1-pr)/n , pr + zα/2 ·√pr·(1-pr)/n )en el que se cumple que P( pr – E < p < pr + E ) = 1 – α.La fórmula E = zα/2 ·√pr·(1-pr)/n relacionalas tres variables.Siempre se fijan dos de ellas,y se calcula latercera;por ello hay tres tipos de ejercicios:Conocidos (1 – α) , n ==> E ?Conocidos (1 – α) , E ==> n ?Conocidos E , n ==> (1 – α) ?
  24. 24. 24EJERCICIO :Tomada una muestra de 300 personas mayores de 15 años en una gran ciudad,se encontró que 104 de ellas leían el periódico regularmente.a)Halla,con un nivel de confianza del 90%,un intervalo para estimar la proporciónde lectores del periódico entre los mayores de 15 años.b)A la vista del resultado anterior,se pretende repetir la experiencia para lograruna cota de error de 0,01,con el mismo nivel de confianza del 90%.¿Cuántosindividuos debe tener la muestra?c)A partir de una muestra de 100 individuos,se ha estimado la proporciónmediante el intervalo de confianza (017; 025).¿Cuál es el nivel de confianzacon el que se ha hecho la estimación?
  25. 25. 25Intervalo de confianza para estimación de la proporción:1) Hallar el error máximo admisible E
  26. 26. 26Intervalo de confianza para estimación de la proporción:2) Hallar el tamaño n de la muestra
  27. 27. 27Intervalo de confianza para estimación de la proporción:3) Hallar el nivel de confianza (1 - α)Practica
  28. 28. CONTRASTES DE HIPÓTESIS
  29. 29. 29Enunciación: de las hipótesis nula H0 y alternativa H1.Deducción de conclusiones: suponiendo cierta la hipótesis nula H0 , el parámetromuestral (media x o proporción pr ,de las muestras),se distribuye mediante una normalcon parámetros conocidos.Entonces,se elige un nivel de significación α y se construye la zona de aceptación,quees el intervalo (o semirrecta) fuera del cual sólo se encuentran el α·100% de los casos“raros” de la población.Verificación: se extrae ahora una muestra de tamaño n, y en ella se calcula el parámetromuestral.Decisión: si el valor del parámetro muestral obtenido cae dentro de la zona de aceptación,se acepta la hipótesis nula con un nivel de significación α. En caso contrario,se rechaza lahipótesis nula y se acepta la alternativa.Hay dos tipos de contrastes: bilateral y unilateral.Pasos para efectuar un contraste de hipótesis:
  30. 30. 30Contrastes de hipótesis para la media (bilateral)
  31. 31. 31EJERCICIO 27:Un fabricante de lámparas está ensayando un método de producciónque se considera aceptable si las lámparas así obtenidas dan lugar auna población normal de duración media 2400 horas,con una desviacióntípica de 300 horas.Se toma una muestra de 100 lámparas,dando una duración media de2320 horas. ¿Se puede aceptar la hipótesis de validez del nuevo procesode fabricación con un riesgo igual o menor al 5%?
  32. 32. 32
  33. 33. 33EJERCICIO 28:Se sabe por experiencia que el tiempo obtenido por los participantesolímpicos de la prueba de 100 metros,en la modalidad de decathlon,es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con media12 segundos y desviación típica 1,5 seg.Para contrastar,con un nivel de significación del 5%,si no ha variado eltiempo medio en la última Olimpiada,se extrajo una muestra aleatoriade 10 participantes y se anotó el tiempo obtenido por cada uno,con lossiguientes resultados en segundos:13 12 11 10 1111 9 10 12 11a) ¿Cuáles son la hipótesis nula y la alternativa del contraste?b) Determina la región crítica.c) Realiza el contraste.
  34. 34. 34
  35. 35. 35EJERCICIO 29:Se ha comprobado que el tiempo de espera (en minutos) hasta ser atendido,en cierto servicio de urgencias,sigue un modelo normal de probabilidad.A partir de una muestra de 100 personas atendidas en dicho servicio,se hacalculado un tiempo medio de espera de 14,25 minutos y una desviacióntípica de 2,5 minutos.a)¿Podríamos afirmar,con un nivel de significación del 5%,que el tiempomedio de espera en urgencias,no es de 15 minutos?b)¿Qué podríamos concluir si el nivel de significación hubiese sido del 0,1%?c)¿Existe contradicción entre ambas situaciones?
  36. 36. 36Solución a):
  37. 37. 37Solución b) y c):
  38. 38. 38Contrastes de hipótesis para la media (unilateral,a la derecha)
  39. 39. 39EJERCICIO 30:La duración de las bombillas de 100 vatios de una fábrica sigue una distribuciónnormal con una desviación típica de 120 horas.Su vida media está garantizadadurante un mínimo de 800 horas.Se escoge,al azar,una muestra de 50 bombillas de un lote y tras probarlas, seobtiene una vida media de 750 horas.Con un nivel de significación de 0,01,¿habría que rechazar el lote por no cumplirla garantía?
  40. 40. 40
  41. 41. 41Contrastes de hipótesis para la media (unilateral,a la izquierda)
  42. 42. 42EJERCICIO 31:Una encuesta,realizada a 64 empleados de una fábrica,concluyó que el tiempomedio de duración de un empleo en la misma era de 6,5 años con unadesviación típica de 4 años.¿Sirve esta información para aceptar,con un nivel de significación del 5%,queel tiempo medio de empleo en la fábrica es menor o igual que 6 años?
  43. 43. 43
  44. 44. 44Contrastes de hipótesis para la proporción (bilateral)
  45. 45. 45EJERCICIO 32:Un dentista afirma que el 40% de los niños de 10 años presentan indiciosde caries dental.Tomada una muestra de 100 niños,se observó que 30 presentaban indiciosde caries.Con un nivel de significación del 5%,¿se puede rechazar la afirmación deldentista?
  46. 46. 46
  47. 47. 47EJERCICIO 33:Una empresa farmaceútica afirma que uno de sus medicamentosreduce de foma considerable los síntomas de la alergia primaveralen el 90% de la población.Una asociación de consumidores ha experimentado dicho fármacoen una muestra de 200 alérgicos,obteniendo el resultado indicadopor la empresa en170 casos.Determina si la asociación de consumidores puede considerar quela afirmación de la farmacéutica es estadísticamente correcta,al nivelde significación de 0,05.
  48. 48. 48
  49. 49. 49Contrastes de hipótesis para la proporción(unilateral,a la izquierda)
  50. 50. 50EJERCICIO 34:El 42% de los escolares suele perder,al menos,un día de clase a causade gripes y catarros.Sin embargo,un estudio sobre 1000 escolares revelaque en el último curso hubo 450 en tales circunstancias.Las autoridades sanitarias defienden que el porcentaje del 42% para todala población de escolares,se ha mantenido.Contrasta,con un nivel de significación del 5%,la hipótesis defendida porlas autoridades sanitarias,frente a que el porcentaje ha aumentado, comoparecen indicar los datos,explicando claramente a que conclusión se llega.
  51. 51. 51
  52. 52. 52Contrastes de hipótesis para la proporción(unilateral,a la derecha)
  53. 53. 53EJERCICIO 35:En una muestra aleatoria de 225 habitantes de una población, hay 18que hablan alemán.A un nivel de significación de 0,05,¿hay suficiente evidencia para refutarla afirmación de que al menos el 10% de los habitantes de la poblaciónhablan alemán?
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  55. 55. 55EJERCICIO 36:En el año 2005 un estudio indicaba que un 15% de los conductoresutilizaban el móvil con el vehículo en marcha.Con el fin de investigar la efectividad de las campañas realizadaspara reducir estos hábitos,se ha hecho una encuesta a 120 conductoresde los cuales 12 reconocieron hacer un uso indebido del móvil.Plantea un test para contrastar que las campañas no han cumplido suobjetivo frente a que sí lo han hecho,como parecen indicar los datosobtenidos.¿A qué conclusión se llega con un nivel de significación del 4%?
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  57. 57. 57© Inmaculada Leiva Tapia IES AlboránFIN

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